Прочность стержневых элементов конструкций из слоистых композитов с учетом их структуры тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.06, кандидат наук Соловьев Павел Владимирович

• Соловьев Павел Владимирович
• кандидат наук
• 2016

Оглавление диссертации кандидат наук Соловьев Павел Владимирович

Введение

ГЛАВА 1. Современное состояние механики несбалансированных слоистых композитов

ГЛАВА 2. Теоретические основы механики КМ при наличии несбалансированности структуры с учетом изменения температуры

2.1 Предпосылки модели деформирования несбалансированных многослойных композитов

2.2 Произвольная ориентация главных направлений упругости слоев в плоскости укладки

2.3 Определения составляющих матриц жесткости и податливости однонаправленного слоя

2.4 Постоянные податливости и жесткости в направлении под углом к главным направлениям упругости

2.5 Расчет на прочность и жесткость несбалансированных многослойных композиционных балок при изгибе с учетом сдвиговых деформаций

2.6 Учет влияния температур на упругие характеристики слоистых композитов... 51 ГЛАВА 3. Особенности напряженно-деформированного состояния стержневых элементов конструкций из несбалансированных композитов при растяжении и изгибе

3.1 Оценка влияния несбалансированности на напряженно-деформированное состояние пера композитной лопатки компрессора

3.1.1 Моделирование пера лопатки на основе сплошной модели с использованием слоистого элемента SOLID

3.1.2 Моделирование пера лопатки на основе многообъемной модели с послойным моделированием геометрии и конечно-элементной сетки слоев

3.1.3 Послойный анализ прочности перьев композитных лопаток компрессора

из углемагния

3.2 Особенности НДС двутавровых балок из гибридных несбалансированных композиционных материалов

3.2.1 Кинетика разрушения двутавровой балки из несбалансированных гибридных композитов

3.3 Компенсация влияния несбалансированности на деформационное поведение композитных балок

3.4 Вопросы обоснования параметра несбалансированности и определения границ допускаемых технологических отклонений

ГЛАВА 4. Остаточные технологические напряжения в элементах композитных конструкций. Экспериментальное исследование влияния несбалансированности на деформационное поведение слоистых композитов при изгибе

4.1 Влияние несбалансированности структуры слоистого композита на технологические (остаточные) напряжения

4.2 Экспериментальное определение остаточных технологических напряжений в многослойных композитных углепластиках

4.3 Экспериментальное исследование влияния несбалансированности на деформационное поведение слоистых композитов при изгибе

4.3.1 Структура образцов

4.3.2 Испытания полученных образцов

4.3.3 Расчет упругих характеристик образцов из слоистого композиционного материала

4.3.4 Расчет влияния несбалансированности на деформационное поведение угле-полипропиленовой балки в программном комплексе АКБУБ

4.3.5 Сравнение экспериментальных данных с результатами программного расчета

Выводы

Список литературы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Прочность стержневых элементов конструкций из слоистых композитов с учетом их структуры»

ВВЕДЕНИЕ

Актуальность работы. Одним из основных направлений улучшения тактико-технических характеристик авиационной техники в настоящее время является использование в авиационных конструкциях композитных материалов (КМ), что подтверждается целым рядом теоретических и экспериментальных исследований отечественных и зарубежных авторов. Композиты обеспечивают высокие удельные характеристики конструкций (в первую очередь удельные прочность и жесткость) при существенной экономии массы и времени на обслуживание при эксплуатации.

Актуальность исследований в данном направлении подчеркивается постановлением правительства РФ от 24 июля 2013 г № 1307-р «Развитие отрасли производства композитных материалов» (план мероприятий «дорожная карта») и высказываниями президента Российской Федерации Владимира Владимировича Путина, выступающего за возрождение отечественной индустрии композиционных материалов, без которой Россия рискует потерять конкурентоспособность своей экономики, от 24.10.2012: «Считаю, что без развития этого сектора мы рискуем потерять конкурентоспособность многих наших отраслей. Это именно то направление, где мы можем значительно продвинуться вперед».

Применение композитов открывает широкие возможности для создания конструкций, оптимальным образом подходящих для различных условий эксплуатации. Важнейшим этапом создания и изготовления изделий из КМ является проектирование структуры многослойного композита. Именно структура композиционного материала определяет весь комплекс упругих, прочностных, теплофизических и других свойств. Варьируя структурой КМ: углами и последовательностью укладки слоев, коэффициентом объемного содержания волокон, степенью гибридности композита, - можно обеспечить высокие эксплуатационные свойства композитной конструкции.

При практической реализации изделия возможны технологические отклонения структуры от заданной, которые приводят к изменению напряженно-деформированного состояния (НДС) конструкции по отношению к расчетному.

В связи с этим возникает необходимость исследования напряженного состояния и деформационного поведения элементов конструкций из несбалансированных композитов, анализа факторов, приводящих к нарушению сбалансированности, выявления зависимостей изменения НДС от величины несбалансированности структуры, определения границ допустимых технологических отклонений и разработки методов компенсации влияния несбалансированности.

Конструктивный характер анизотропии КМ позволяет подобрать составляющие компоненты, установить их соотношение, рассчитать структурные и технологические параметры таким образом, чтобы композит обладал всем комплексом необходимых свойств и наилучшим образом отвечал условиям эксплуатации изделия.

Выбор той или иной структуры дает возможность управлять упругими и прочностными характеристиками композиционных материалов, существенно влиять на их деформационное поведение и оптимальным образом согласовывать внешнее поле нагрузок с внутренними полями сопротивления. Это одно из важнейших преимуществ слоистых композитов по сравнению с традиционными изотропными материалами. В сочетании с высокой удельной жесткостью и прочностью эти особенности делают композиционные материалы перспективными не только в авиационной, но и во всех других отраслях промышленности.

Варьирование структурой расширяет возможности развития оптимального проектирования как значимой ветви развития механики элементов конструкций из КМ, которая стала возможной именно благодаря композитам.

На данный момент в конструкции фюзеляжей современных самолетов массовая доля композитов составляет более 50%, что позволяет сократить расход топлива до 25%. Применение композитов в авиации повышает усталостную прочность, уменьшает количество сборочных единиц, сокращает время клепальных и других видов работ. В конструкциях отечественных ближне-среднемагистрального пассажирского самолета МС-21, истребителя Т-50 ПАК ФА крылья и хвостовое оперение изготавливаются из КМ.

Высокие удельные прочность и жесткость композитов предопределяют их использование в двигателестроении. В конструкции современных двигателей КМ широко используются в лопатках вентиляторов (размер лопатки до 1,5 м), корпусах компрессора, панелях шумоглушения, створках реактивных сопел.

Практически все крупные самолетостроительные и двигателестроительные компании мира широко используют КМ. Наибольшее использование в авиационных и космических конструкциях и машиностроении имеют стержневые элементы (лопатки вентиляторов, лонжероны крыльев самолетов, лопастей вертолетов и ветроэнергетических установок). Необходимые прочность и жесткость обеспечиваются при существенном снижении веса конструкции (до 50 и более процентов).

Все вышесказанное предопределяет актуальность исследований в области механики слоистых композиционных материалов по установлению влияния структуры КМ на их напряженно-деформированное состояние.

Особенностью технологического процесса изготовления изделий из КМ является появление в слоях остаточных технологических напряжений, величина и знак которых зависят от соотношений физико-механических характеристик матричной и армирующей компонент, а также от структуры слоев в слоистом КМ. Остаточные напряжения приводят к короблению и уменьшению несущей способности композитных конструкций.

Учет остаточных технологических напряжений возможен только при послойном анализе напряженно-деформированного состояния, который позволяет оценивать НДС каждого слоя в отдельности и пакета в целом.

Структура композита полностью обуславливает его механические характеристики. В элементах конструкций из слоистых КМ обычно используется сбалансированная структура укладки слоев, под которой понимается структура слоистого композиционного материала, отвечающая следующим требованиям:

- симметрии физико-механических характеристик слоев относительно срединной поверхности слоистого пакета (включая углы укладки, последовательность укладки, толщины слоев, их упругие и термоупругие свойства);

- каждому слою с углом укладки +ф должен соответствовать слой с углом укладки -ф , находящийся на таком же расстоянии по другую сторону от срединной поверхности.

Сбалансированная структура имеет место в двух случаях:

1) в однонаправленно армированном композите;

2) при укладке слоев под углами О0 и 900.

При укладке слоев под углами, отличными от упомянутых, удовлетворение требованию симметрии исключает удовлетворение второму условию (условие "±ф"). Если структура КМ не удовлетворяет хотя бы одному из вышеперечисленных требований, она считается несбалансированной.

При изготовлении изделий из слоистых КМ имеют место отклонения структуры от расчетной. Изменение структуры может быть вызвано технологическими и эксплуатационными факторами: отклонениями углов укладки слоев от расчетных, нарушением последовательности укладки слоев, наличием разнотолщинности слоев, неоднородным воздействием температуры, влиянием влажности, локальным разрушением связующего в слоях. Это приводит к изменению напряженного состояния композитной конструкции и появлению деформаций, несвойственных данному виду нагружения и недопустимых при эксплуатации.

В связи с этим актуальными являются:

- исследование и прогнозирование влияния структуры на напряженное и деформированное состояния элементов конструкций из слоистых КМ;

- исследование влияния структуры композитов на величину остаточных технологических напряжений в слоях;

- разработка методов компенсации влияния несбалансированности на напряженно-деформированное состояние композитных конструкций;

- разработка численно-аналитической методики проектирования композитных структур для получения заданного деформационного поведения.

Исследования по теме диссертационной работы проводились в рамках гранта министерства науки и образования по теме: АД-АД-06.11 КФ - «Повышение надежности и ресурса ГТД транспортных средств, эксплуатирующихся в условиях запыленной атмосферы и морской среды».

Цель и задачи исследования. Целью исследования является установление закономерностей влияния структуры слоистых композитных материалов на напряженное состояние и деформационное поведение элементов конструкций из композитов в процессе проектирования и изготовления.

В рамках поставленной цели в работе решаются следующие задачи:

1) установить влияние структуры и ее изменения, вызванного технологическими отклонениями углов укладки слоев, нарушением заданной последовательности укладки, наличием разнотолщинности слоев, локальным разрушением связующего в слоях, на напряженное и деформированное состояния элементов конструкций из слоистых композитов;

2) выявить влияние структуры композита на остаточные технологические напряжения;

3) разработка методов компенсации влияния несбалансированности на напряженно-деформированное состояние элементов композитных конструкций;

4) экспериментальная проверка влияния несбалансированности на деформационное поведение слоистых КМ.

Научная новизна.

1) решена комплексная задача прогнозирования влияния структуры композитов на напряженное и деформированное состояния элементов конструкций из слоистых КМ (композитные лопатки осевых компрессоров, двутавровые балки и другие стержневые элементы конструкций);

2) выявлено влияние структуры слоистых КМ на величину остаточных технологических напряжений;

3) установлены аналитические зависимости напряженного и деформированного состояний для структур композитов от углов укладки, последовательности укладки, толщин и количества слоев;

4) предложен параметр несбалансированности композитных структур, который характеризует влияние отклонений структуры от сбалансированности;

5) разработана методика анализа несбалансированных структур композитов с целью получения заданного деформационного и напряженного состояний элементов конструкций из КМ (лопаток осевых компрессоров, двутавровых балок и др.).

Практическая ценность результатов работы заключается в:

- установлении влияния структур многослойных композитов на деформированное и напряженное состояния (послойно) элементов конструкций из КМ с учетом остаточных напряжений, что позволяет конструкторам выбирать более рациональные структуры для проектируемых изделий;

- в создании справочных данных о влиянии структуры на прочность и жесткость эле -ментов конструкций из композитов, что дает возможность определить границы допускаемых технологических отклонений для проектируемых изделий;

- в использовании методов компенсации изначальной и технологической несбалансированности слоистых КМ, что позволяет компенсировать отклонения структур от расчетных на этапе проектирования;

- в целевом создании структур для получения заданного деформационного поведения.

ГЛАВА 1. Современное состояние механики несбалансированных слоистых композитов

Наибольший вклад в современную механику КМ внесли Болотин В.В., Васильев В.В., Королев В.И., Лехницкий С.Г., Образцов И.Ф., Скудра А.М., Булавс Ф.Я., Тарнопольский Ю.М., Tsai S.W., Jones R.M. и др. Их работы [1, 2, 3, 5; 29, 39, 41, 44, 55, 80, 88, 112] в значительной мере раскрыли механику процессов деформирования слоистых композитов симмет -ричной структуры.

Методы расчета стержней, балок, панелей, пластин и оболочек из композиционных материалов изложены в работе Васильева В.В. [22]. На основе универсальной расчетной модели автором получены уравнения механики, с помощью которых решается широкий круг задач статики, динамики и устойчивости композитных элементов конструкций.

Теоретическими основами регулирования свойств слоистых КМ являются зависимости, устанавливающие связь между свойствами слоистых композитов и их компонентов. Этому посвящены работы А.Л. Рабиновича [59-61], Хоффа [99], Г.Д. Шермергора и А.Г. Фокина [84].

Выражения для определения матриц упругой податливости ортотропных слоистых композитов с учетом временного фактора были получены А.М. Скудрой, Ф.Я. Булавсом и К.А. Роценсом [69, 75, 76].

Идея прогнозирования прочностных и деформативных свойств композиционного материала (боропластика, стеклопластика и др.) по свойствам его компонентов лежит в основе монографии [75]. Актуальность приведенных в работе исследований при простых видах нагружения обусловливается тем, что получаемые результаты используются в построении поверхности прочности, определяющей несущие свойства волокнистых композитов в случае плоского или объемного напряженного состояния.

В книге А.М. Скудры и Ф.Я. Булавса [74] изложены результаты теоретических и экспериментальных исследований упругих и прочностных свойств армированных пластиков, рассматриваются вопросы прогнозирования свойств композитов с учетом их структуры, упругих и прочностных свойств компонентов и внутреннего поля напряжений. Прочностные и упругие свойства армированных пластиков рассматриваются при основных видах нагру-жения: растяжении, сжатии, сдвиге и комбинированном нагружении. На основании закона деформирования слоистых композиционных материалов в работе показано, как должны быть уложены однонаправленные слои по толщине композита, чтобы растягивающие или сжимающие усилия, действующие в плоскости материала, не вызывали нежелательных эффектов

изгиба или кручения. Разработанная в работе совокупность условий разрушения, называемая структурными критериями прочности армированного пластика, при анализе прочности позволяет учесть характер нагружения, структуру материала и свойства его структурных элементов.

Послойный подход для оценки деформативных свойств композиционных материалов был реализован в работе [58], На основании трудов [68, 99], автором рассмотрено определение упругих констант композитной плиты путем осреднения упругих констант матричной и армирующей компонент.

Современные методы расчета тонкостенных композитных конструкций на основе моделей слоистых материалов, состоящих из однонаправленных ортотропных слоев, наделенных определенными физико-механическими, теплофизическими, гигроскопическими и другими свойствами, приведены в работе [53]. Слоистая модель позволяет описывать послойное напряженно-деформированное состояние композита под воздействием различных факторов: механическая нагрузка, температура, влажность и т.д. Использование слоистой модели поз -воляет анализировать влияние технологических и эксплуатационных факторов на деформационное поведение конструкции. Однонаправленные ортотропные слои, составляющие слоистую модель, считаются квазиоднородными. Это позволяет анализировать реальные напряженное и деформированное состояния каждого отдельного слоя.

Работы В.В. Болотина с сотр. [17, 18] посвящены армированным слоистым композитам с малыми начальными неправильностями, в них рассматриваются упругая и упруговяз-кая модели, армирующие слои в которых имею слегка искривленную форму.

Проблемы численного моделирования задач по определению напряженно-деформированного состояния конструкций из композитных материалах рассмотрены в работах [6, 32, 111].

В работе [63] на основе методики конечно-элементного моделирования предложен метод расчета упругих характеристик композитов с различным соотношением компонентов, входящих в состав композита.

Некоторые аспекты создания оптимальной структуры композитов затронуты в работе [39]. В ней приводится решение часто встречающихся инженерных задач с рекомендациями по рациональному проектированию элементов конструкций из слоистых композитов.

Во всех вышеуказанных работах сведений о несбалансированных по структуре композиционных материалах и влиянии несбалансированности на их НДС не содержится.

Модель деформирования слоистых композитов с произвольной ориентацией слоев в плоскости укладки и формулы для определения составляющих упругой податливости слои-

стых КМ приведены в работе К.А. Роценса и К.Н. Штейнерса [70]. Компоненты матриц податливости для ортотропных композитов получены в явном виде, составляющие матрицы упругой податливости несимметричных композитов приводятся в неявном виде, что требует их аналитического вывода для расчета и анализа несимметричных композитных структур. Фигурирующее в работе понятие сбалансированных композитов, в которых «элементарные слои с одинаковыми физико-механическими характеристиками и одинаковой ориентацией главных направлений упругости (относительно главных направлений упругости композита в целом) расположены симметрично относительно срединной плоскости композита», неоднозначно и в некоторой степени отождествляется с понятием симметричности. Модели слоистых композитов представлены в трехмерной постановке. Адекватность моделей подтверждается экспериментально, однако соответствующих теоретических выкладок не приводится. Сопоставление экспериментальных значений составляющих матрицы податливости слоистого композита с вычисленными аналитически показывает совпадение с точностью до пределов 98%-ных доверительных интервалов средних экспериментальных значений. Появление несбалансированности, по мнению авторов, обусловлено «несимметричным относительно срединной плоскости композита изменением физико-механических характеристик элементарных слоев». Причинами изменений могут быть несовершенства технологического характера, старение, воздействие влажности, температуры, агрессивных сред и других факторов. Анализ влияния структурной несбалансированности на напряженное и деформированное состояние слоистых композитов в работе отсутствует.

В работе [62] представлен методика анализа напряженно-деформированного состояния многослойной композитной панели с учетом ориентации слоев и технологического натяжения волокон. В работе подчеркивается, что назначение строго определенных допусков на отклонения углов укладки слоев является обязательным требованием при проектировании формо- и размеростабильных конструкций для минимизации негативных последствий снижения прочности композитов в период эксплуатации. Работа посвящена анализу НДС конкретной композиционной панели и не позволяет судить об изменении деформационного поведения и напряженного состояния типовых элементов конструкций из КМ при наличии не -сбалансированности структуры.

Результаты зарубежных исследований несбалансированных слоистых композитов приведены в работах Ashton'a, Azzi, Dong'a, Jones'a, Reissner'a, Tsai и др. [91-93, 97, 101, 105-108], в которых предложены зависимости для определения жесткости композитов по характеристикам элементарных слоев.

Понятие несимметричных композитов фигурирует в работе [108]. В ней описаны основы микро- и макромеханика слоистых композиционных материалов на основе феноменологического подхода, проанализированы критерии прочности применительно к оценке несущей способности многослойных КМ. Анализ, приведенный в работе, не дает полного представления о деформационном поведении несимметричного элемента композиционного материала, не позволяет установить закономерности влияния несбалансированности структуры многослойных композитов на напряженное состояние и деформационное поведение элементов конструкций из них.

Антисимметричные композиты упоминаются в работе [101]. Схемы таких композитов, рассматриваемые автором, представлены на рис. 1.1.

Рис. 1.1. Схемы антисимметрично армированных композиционных материалов [108]

В работе приводится анализ влияния числа слоев на упругие свойства композиционного материала при фиксированной толщине композита и однотипной укладке. Антисимметричный композит у Джонса, так же как и у Цая, строится из элементарных блоков, повторяющихся п — е количество раз, слои в блоке уложены под углами (+ф / —ф) . Понятие сбалансированной структуры в работе не приводится, анализ влияния несимметрии структуры на напряженное состояние и деформационное поведение композитных конструкций отсутствует.

Авторы работы [87] упоминают о возможности использования искусственно созданной несбалансированности структуры для обеспечения заданного деформационного поведения изделия. Работа направлена на управление остаточными напряжениями и не дает подробного анализа влияния несбалансированности на НДС элементов конструкций из многослойных композитных материалов, что необходимо для прогнозирования деформационного поведения конструкции при создании искусственной несбалансированности структуры.

Напряженно-деформированное состояние слоистых композитов при температурном воздействии рассматривается в работах [100; 115].

В работе [71] приведены расчетные формулы, позволяющие определить деформации, кривизны изгиба и кручения слоистого многокомпонентного материала в условиях неоднородной влажности.

Структура слоистых композиционных материалов обуславливает частоты собственных колебаний композитной конструкции. Вопросы свободных и вынужденных колебаний ортотропных и анизотропных пластинок и оболочек рассмотрены в работе [10].

Во всех вышеуказанных работах влияние структуры слоистых композитов на механи -ческое поведение элементов конструкций из них при воздействии различных силовых факторов освещены недостаточно.

Волокнистые композиты крайне чувствительны к разориентации и искривлениям волокон. Под разориентацией понимается отклонение направления волокон в слоях материала от проектируемого. Такие отклонения могут быть обусловлены несовершенством технологии и приводят к существенному отличию упругих и прочностных свойств изготавливаемого композита от заданных проектировщиком.

Представление о влиянии разориентации на механические свойства композита дают диаграммы изменения упругих свойств при повороте осей, а также экспериментальные данные, приведенные в работе [48]. Исходное состояние материала, соответствующее заложенной проектировщиком структуре, названо «идеальным». В работе приведены формулы для определения отклонений упругих характеристик материалов с однородной и противофазной разориентациями.

Влияние разориентации слоев на прочность композиционных материалов рассмотрено в работе [7]. Критерий прочности, предлагаемый в работе, позволяет оценивать прочность однонаправленного слоя при несовпадении направления армирования с направлением действия внешних сил. Применимость данного критерия подкрепляется его относительной простотой и хорошей аппроксимации экспериментальных данных.

Аналогичную разориентации роль играет искривление арматуры. Отклонения армирующих волокон от прямолинейности у некоторых материалов имеют случайный характер и обусловлены несовершенством переработки этих материалов в изделия. Особенно заметны искривления волокон в деталях, изготовленных контактным формованием и прессованием в замкнутых пресс-формах. Технологические искривления могут наблюдаться также при намотке с небольшими усилиями натяжения и последующей опрессовкой и других широко применяемых способах изготовления волокнистых композитов. Также к искривлению воло-

кон может приводить усадка связующего. С увеличением габаритов детали, вызывающих дополнительные затруднения при укладке армирующих волокон в пресс-форму, вероятность местных искривлений волокон возрастает.

Приведенные в работе [80] экспериментальные данные, полученные при испытаниях стеклопластиков разной структуры, свидетельствуют о необходимости учета отступления от идеализированной модели материала (прямолинейности) при обработке результатов испыта -ний. Сравнительно малые, почти незаметные на глаз искривления могут исказить модуль упругости некоторых композитов на 10-15%.

Способом уменьшения искривлений волокон является их предварительное натяжение до отверждения связующего. Причины, вызывающие местные искривления волокон, характер искривлений, величина и роль технологического натяжения армирующей компоненты при разных способах формования стеклопластиков подробно рассмотрены в работах [31, 96].

Анализ работ, посвященных вопросам разориентации и искривления волокон в волокнистых КМ показал, что влияние технологических отклонений углов укладки слоев на напряженное и деформированное состояния элементов конструкций из слоистых КМ изучено недостаточно глубоко. Допускаемые в работах варианты отклонения структуры (однородная и противофазная разориентация) не охватывают весь спектр возможных структурных дефектов. Разориентация всех слоев композита, упомянутая в работах, является маловероятной при формовании изделия, в то время как отклонения углов укладки отдельных слоев в большинстве случаев имеют место. Другие факторы, нарушающие структуру композита (нарушение последовательности укладки, наличие разнотолщинности слоев, локальное разрушение связующего в слое) в работах не исследуются. Влияние несбалансированности структуры на деформированное состояние конструкции из КМ и методы его устранения не рассматриваются.

Исследование деформативных свойств анизотропных материалов приведено в работах [21, 46, 74].

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Соловьев Павел Владимирович, 2016 год

— + -

21

V Е1 Е2

Е О

Е1 О12 У

2

б1п2 ф соб2 ф;

¿16 =

б1п2 ф соб2 ^ 1 Г 1 2у ^

V О12

соб 2ф

У

б1п 2ф;

. _ Б1П ф ¿22 = ;;

Е

1 2у

21

V О12

Л 4

• 2 2 соб ф

Б1П ф СОБ ф + ■ '

¿26 =

соб2 ф б1п2 ф 1

'1 У Г

Е

2

1 2у,

V О12

СОБ 2ф

1У

б1п 2ф;

¿66 =+ 4 О12

1 1 2у

— + -

21

V Е1 Е2

Е О

Е1 О12 У

б1п2 ф соб2 ф;

(2.4.13)

(2.4.14)

(2.4.15)

(2.4.16)

(2.4.17)

(2.4.18)

Составляющие матрицы жесткости в новой системе координат для ортотропного тела (слоя) находятся следующим образом:

Си = Сп соб4 ф + С22 б1п4 ф + 2С12 б1п2 ф соб2 ф + 4С66 б1п2 ф соб2 ф; (2.4.19)

С = (Сп + С12 )§1п2 ф соб2 ф+С12 (соб4 ф+б1п4 ф) - 4С66 б1п2 ф соб2 ф; (2.4.20)

С = = [С22 б1п2 ф - Сп соб2 ф + (2С66 + С12 )(соб2 ф - б1п2 ф)] б1п ф соб ф; (2.4.21)

С С22 = Сп б1п4 ф + С22 соб4 ф + 2С12 б1п2 ф соб2 ф + 4С66 б1п2 ф соб2 ф; (2.4.22)

С = С26 = [С22 соб2 ф-Сп б1п2 ф-(2Сбб + С12)(соб2 ф-б1п2 ф)]б1пф собф; (2.4.23)

С66 = 14(сп -2С12 + С22)В1п2 2ф + С66СО^ 2ф- (2.4.24)

Таким образом, приведены аналитические выражения для определения всех составляющих матриц упругой податливости и жесткости модели деформирования несбалансированных композитов.

2.5 Расчет на прочность и жесткость несбалансированных многослойных композиционных балок при изгибе с учетом сдвиговых деформаций

Расчет проводится с учетом сдвиговых деформаций и произвольным расположением слоев [22, 15].

Рассмотрим балку, показанную на рис. 2.5.1. Выделим из нее элемент (рис. 2.5.2) и запишем условия равновесия

I, IV

г, и1

Рис. 2.5.1. Характер нагружения балки

Рис. 2.5.2. Выделенный элемент с действующими по его граням силами

д(хЪдх)1 7 , д(аЬёг) ,

-а Ъаг-т Ъах + т Ъах + --аг + а Ъаг + ——--ах = 0,

х хг хг х 7

дг дх (2.5.1)

7 . д(а Ъах) 7 7 , д(тЪйг) , 7 , 7 ,

а Ъах +--2-аг + т Ъаг +----ах-а Ъах-т Ъаг = 0.

г ^ хг г хг

дг дх

<

ь ^+ = 0,

дх

д(Ьа,)

дг

+ Ь ^ = о. дх

(2.5.2)

(2.5.3)

Расчетное напряженное состояние рассматриваемого элемента представлено на рис.

2.5.3.

Рис. 2.5.3. Напряжения, действующие на элемент балки

Рассматривается упругое состояние, определяемое законом Гука:

8 х =

а V а

х хг г

Е, Е.

Р - +

8, =---г ■

Е Е_

в„„ = ■

0„

(2.5.4)

здесь 8Ж, в2 - относительные линейные деформации; вхг - деформация сдвига.

Деформации выражаются через перемещения соотношениями Коши

д и

д Ж

д О дЖ

в =—-; 8 =—-; 8 =—- + ■

х ^ ? г ^ ? хг

дх

дг

дг дх

(2.5.5)

В качестве основной гипотезы примем предположение об абсолютной жесткости рассматриваемого материала в направлении оси 2, следовательно Е2 ^ го, ^ = 0 .

<

хг

Тогда справедливо равенство

Ж. &

= 0;

(2.5.6)

Из этого следует, что Ж не зависит от г, т.е.

Ж = Ж (х);

(2.5.7)

Поперечное сечение многослоной композитной балки приведено на рис. 2.5.4. В самом общем случае, данная балка может включать в себя к слоев переменной ширины (рис. 2.5.4.6).

а

б

Рис. 2.5.4. Поперечное сечение многослойной композитной балки постоянной (а) и переменной (б) ширины

Для учета сдвиговых деформаций еХ2 на величину прогиба балки в первом приближении вводится осредненную по толщине балки сдвиговая деформация [22]

1 "г

х) = -р хг (х,

(2.5.8)

Тогда к прогибу балки от изгибающего момента добавляется прогиб за счет сдвига. Запишем третье соотношение (2.5.5) в виде

ди дЖ дЖ

^ + Ж = у(х); дЖ = Ж (х). (2.5.9)

дг дх дх

Проинтегрируем (2.5.9) и учтем (2.5.7)

¡^ = х)V

& V дх У (2.5.10)

и = и (х) + (у-Ж') • г,

где и (х) - это произвольная постоянная интегрирования. Для ее отыскания введем ось г = е, в точках которой напряжения изгиба равны 0 и и = ио (х) при г = е. В окончательном виде

и = и0(х) + г • (у-Ж'), (2.5.11)

где г = 2 - е.

Обозначим у - Ж =9, где 9 - угол поворота сечения, тогда

и = и0( х) + г • 9(х); (2.5.12)

Выражение для осевых нормальных напряжений имеет вид

= Ех (8х + (2.5.13)

где х = 9 , Ех - переменная по г функция.

Выражение (2.5.13) для нормальных напряжений вдоль оси х можно выразить и через силу в направлении этой же оси и изгибающий момент относительно нейтральной линии балки:

п п

N = Ь(г)дг; М = Ь(г)гдг;

о о

п

б = {Тхг • Ь(г) где Ь = Ь(г).

Подставим (2.5.13) в выражения для N и М

N = Вв + Сх; М = Св + £>х,

(2.5.15)

где В = /0; С = I - е10; Е = 12 - + е2^.

/0, / и /2 можно записать через интегралы

п

/п =|Ь(2)Ех2пйг, где и = 0,1,2.

(2.5.16)

Действительно

п п п

N = |Ех(вх + *х) • Ь(г) дг = |Ех8хЬ(+ |Ех(г - е)х • Ь(г)дг;

(2.5.17)

п п

обозначим | Е • Ь( = /0, | Е • Ь( г) • гдг = /.

М = | Ех (в х + гх) • Ь(г) г дг = |Ехвх ■ Ь(г) г дг +|Ехгх • Ь(г) г ду

о 0 0

п п

= IЕх8х • Ь(г) (г - е) дг +|ЕхХ • Ь(г) (г - е)2 дг;

(2.5.18)

обозначим |Е • Ь(г) • г2 дг = /2.

Для многослойной композитной балки интергальные зависимости (2.5.16) обычно записывают через упругие и геометрические характеристики отдельных слоев, а также их координаты:

0

0

0

0

0

0

0

п

п

п

п

0

Е =■

п +

1 г=1

(п+1) (п+1)

- г

г-1

(2.5.19)

к

Определим координату е нейтральной оси. Осевая сила N, приложенная в точке г = е, не вызывает изгиба балки. Согласно равенству N = Вг + Сх, С = 0 (т.к. х - кривизна, вызванная изгибающим моментом, а сила N не вызывает момента, если она приложена к точке на оси симметрии сечения (ось г ) на расстоянии г = е ).

Тогда из формулы С = / - е/0 = 0 определяем

е = А;

(2.5.20)

0

Подставим (2.5.20) в (2.5.15). Тогда выражения В и Б будут иметь вид

В = /0; Б = 12 -

( т2\ /1

V10 У

(2.5.21)

Из равенств (2.5.13), (2.5.15) получим

Г , .(N м • г

ах = Ех (г)\ — +-

х х V В Б

(2.5.22)

Для получения напряжений и а2 воспользуемся уравнениями равновесия (2.5.2) и (2.5.3). Интегрируя уравнения равновесия (2.5.2) и (2.5.3). С использованием (2.5.20) и (2.5.22) и граничных условий на поверхности г = 0, а2 = р, хх2 = 0.

На поверхности г = к, а2 = -д, = 0 получим

т„, = —

м

Ь(г)•Б

г

¡ ЕхЬ( г ) гёг;

(2.5.23)

вид

Учитывая, что М = Q, выражение для касательных напряжений (2.5.23) будет иметь

0

= —

е

Ь(г)•В

г

| ЕхЬ( г ) гдг;

(2.5.24)

Напряжения аг определяется из уравнения равновесия (2.5.3). Подставляя в него тх согласно (2.5.24), получим

а = —

'Р

Ь( г)

— | дг| ЕхЬ • г дг + рЬг

уВ 0 0

(2.5.25)

где —=рЬ1 - Фк; Ь1 = Ь0; Ьк = Ь(п).

Если удовлетворить граничное условие а2 (г = к) = -д, то получим

—=0

(2.5.26)

Если принять Ь = Ь = Ь, то выражение (2.5.25) будет иметь вид

а = -

Ь

Ь

—

г г

| дг| ЕхЬ • г дг + рЬ

уВ 0 0

(2.5.27)

где — = Ь( р - д).

а = -

í р г г \

— | ЕхЬ • гдг + рЬ

V В 0 0

(2.5.28)

Свяжем поперечную силу О со сдвиговой деформацией у, осредненной по высоте п многослойной композитной балки. Выразим деформацию сдвига у через закон Гука

у =

1 п 1 Г Т

Г-^дг; 1 г;

п 0 ^

(2.5.29)

0

1

Подставив в (2.5.29) выражения ххг из (2.5.24), получим

Q = к у,

к Сг V1

где К = -Бк I Г ° ГЕ Ь(г)гёг 1 Г Ь(г)Ох: х ( )

Q

Если принять ххг = —, то выражение для К будет иметь вид Ьк

К=к 2 и

к Сг V1

Ь( г )О;

хг У

(2.5.31)

Перейдем к определению угла поворота и прогиба сечения. Алгоритм их определения состоит в следующем.

Из уравнения (2.5.26) Q + Р = 0 определим

х

Q = Qo-Г Рёх;

(2.5.32)

Подставляя уравнение (2.5.32) в выражение М = Q, получим

х х

М = М0 + (20х -Г ё^Г РСх;

0 0

(2.5.33)

Действительно

сМ Сх

= Q;

Г СМ = Г Qdx = Г ^Сх -Г СхГ РСх;

0 0 х х

М = М0 + ^х - ГсхГРСх;

(2.5.34)

0

Далее из (2.5.15) имеем

N = В— и М = £Ю'; ёх

Определим

и = и + ^х;

0 В

(2.5.36)

, М

Определим 9 = —. Интегрируем и получим

9 = 9 + Мх + Я^х2 —1 Гёх Гс1х\Рёх. 0 п ОП Г>Г Г Г

х х х

Б 2Б Б

0 0 0

(2.5.37)

Для определения прогиба Ж воспользуемся выражением 9 = у — Ж . Найдем

Ж = у — 9. Подставляя в эту формулу у =Я из (2.5.30) и учитывая (2.5.32), (2.5.33) и

К

(2.5.37), в результате интегрирования получим

Ж = Ж +-

К

Я0х — Г Рёх

Л (

0 0

9 х +

М.

2 Б

0 х2 + х3 —■

6 Б

^ х х х х Л

— ГРёх . (2.5.38)

0000

В зависимости (2.5.37) и (2.5.38) входят постоянные N, Я, М0,ио, 9, V, которые являются фактическими значения нормальной силы, перерезывающей (или попреречной) силы, изгибающего момента, перемещения вдоль продольной оси балки, угла поворота поперечного сечения балки и прогиба для начального сечения при х = 0 соответственно. Численные значения этих констант всегда определяются из граничных условий.

Для жесткой заделки и = Ж = 9 = 0, т.е. их = 0, Ж = 0.

Для свободно висящего торца N = Я = М = 0, ах = 0, тх2 = 0.

Для шарнирно неподвижной опоры N = 0, и = 0, Ж = 0, М = 0.

Прогиб в искомом сечении вычисляется по формуле:

У

ж = ж+—

0 к

(

(

&х йх | Рйх

= Ж + — 0к

0 0 у Л (

м,

^х + —х2 + ^х - —

2 Б

ф 2 х х х х

— х3--\йх\йх\йх\Рйх

6 Б Б ^ ^ ^ ^

& х - Р\

п м0 2 & 3 1 - х4

еох + х2 + — х3 - — р —

2Б

6Б Б 24

0000 Л

V

V

Угол поворота в искомом сечении вычисляется по следующей формуле:

е=е + м х + & х2-1 Ьх ^^^^^^^=о + м х+& х2-

0 Б 2Б ББ 2Б Б 6

(2.5.40)

Таким образом, приведены выражения для определения прогиба и угла поворота при изгибе композитной балки в случае наличия несбалансированности структуры с учетом сдвиговых деформаций.

2.6 Учет влияния температур на упругие характеристики слоистых композитов

х

0

В ряде элементов конструкций из КМ при воздействии значительного температурного градиента упругие и прочностные характеристики композитов могут существенно отличаться от аналогичных свойств при нормальной температуре. Рассмотрим соотношения, де-терменирующие упругие и термоупругие свойства как отдельного однонаправленного слоя, армированного под определенным углом к направлению воздействия внешних сил, так и всего многослойного композита в общем [85].

Основные соотношения для I - го слоя в координатной системе 1, 2, связанной с направлением армирования, представим соотношениями обобщенного закона Гука

е! = ^ -уг21 ^ + а|Г;

1 21Е

1 I I гт

е| = — -V*— + а'Т;

2 Е1 12 Е1 2

е12

12

(2.6.1)

При этом постоянные Е[, Е'2, 0[2 — модули упругости в продольном и поперечном направлениях соответственно и модуль сдвига; у^2, У21 — коэффициенты Пуассона; а^, аг2 — КТР монослоя в продольном и поперечном направлениях соответственно определяются экспериментально или расчетным путем и являются независимыми. Разрешим равенства (2.6.1) относительно напряжений:

а; = Е (в;

Е2 (

; (в1 + у2;в2 ) —

а2 =

'2 (в2 ^ у;2в; I

)—е; (а; )—Е2 (

а; + У21 а2

'2 (а2 + у;2а;

) ^; ) г;

г __г

42 = ^;2в;2,

где Е;,2 =

Е

;,2

(1 — У>2;)

Здесь имеет место условие симметрии

(2.6.2)

Е1У12 = Е2У21.

(2.6.3)

Полагая, что при нагружении слои деформируются без взаимного проскальзывания, т.е. вх, в , в одинаковы для всех слоев, получим

Nx = Я;;В х + Я;2Ву + Я;зВ ху — Я;ТТ;

Ny = Я21в х + Я22в у + Я23в ху — Я2ТТ; Nxy = Я31в х + Я32в у + Я33в ху — Я3ТТ,

(2.6.4)

где выражения для обобщенных жесткостей Я имеют вид

& = 2 к Щ соб4 фг. + 2Е'Уп Б1П2 фг СОБ2 фг + Ег2 БШ4 фг + 0ги Бт2 2фг ];

1=1 к

&21 = &12 = 2 К [(Е + Е2 ) ^ ф| СОб2 ф| + E1v!2 (^ ф| + С0^ ф| )- 012 ^ 2ф1 ];

1=1 к

022 = 2 К[Е бш4 ф + 2Е2VI;! Бт2 ф соб2 ф + Ег2 соб4 ф + 0гп Бт2 2фг ];

2=1

к _ _ _

&31 = &13 =2 К ^ ф| С0Б ф| [Е1 - v'21 ) ^ ф| - Е2 (! - V12 ) ^ ф| - 2012 2ф1 ];

I=1

к _ _ _

023 = 032 =2 К ^ Фl С0Б Фl [Е - V'21 ) ^ Фl - Е2 (! - V12 ) ^ Фl - 2012 2Фl ];

I =1

к _ _ _ _

&33 = 2 К[(Е + Е - 2ЕV21) 81п2 Фl СОВ2 Фl + 021 СОВ2 2ф| ];

и к

йт = 2 к [ Е1 (а1 + v '21а 2) СОб2 Фl + Е2 (а2 + ^^ 12 ^^^ 1) 8Ш2 Фl];

и

к _ _ _