Проблемы существования и устойчивости центральных конфигураций и положений относительного равновесия в некоторых обобщенных вариантах задачи N тел тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.01, кандидат наук Перепелкина Юлианна Вячеславовна

• Перепелкина Юлианна Вячеславовна
• кандидат наук
• 2016

Оглавление диссертации кандидат наук Перепелкина Юлианна Вячеславовна

Введение

Глава 1. Историко-аналитический обзор работ по плоским центральным конфигурациям и исследованиям их устойчивости

1.1. История открытия и определения центральных конфигураций

1.1.1. Терминология и определения

1.1.2. Период классический (1760-1880 гг.)

1.1.3. Период интенсивного развития теории центральных конфигураций (1881-1941 гг.)

1.1.4. Период современный (1942-2015 гг.)

1.2. Устойчивость плоских центральных конфигураций и положений относительного равновесия в обобщенных вариантах задачи ТУ тел

1.2.1. Устойчивость плоских центральных конфигураций

1.2.2. Устойчивостьпо ЛЯПУНОВУ в строгом нелинейном смысле положения относительного равновесия в классическом и обобщенных вариантах задачи Ситникова

Глава 2. Обобщенные плоские центральные конфигурации в барицентрической системе координат

2.1. Классические и обобщенные плоские центральные

конфигурации квадратной формы

2.1.1. Центральная квадратная конфигурация в задаче (4/7 1 )-тел

при п =

2.1.2. Центральная квадратная конфигурация в задаче (4/7+1 )-тел

при п =

2.1.3. Центральная квадратная конфигурация в задаче (4/7+1 )-тел

при п =

2.2. Классические и обобщенные плоские центральные конфигурации ромбовидной формы

2.2.1. Центральная ромбовидная конфигурация в задаче (4и+1)-тел

при п =

2.2.2. Центральная ромбовидная конфигурация в задаче (4и+1)-тел

при п =

2.3. Определение численных значений параметров обобщенных квадратной и ромбовидной центральных конфигураций

2.3.1. Центральное тело - шар

2.3.2. Центральное тело - эллипсоид вращения (с приближенным потенциалом)

2.3.3. Центральное тело - эллипсоид вращения (с полным потенциалом)

2.3.4. Центральное тело - трехосный эллипсоид

Глава 3. Обобщенные плоские центральные конфигурации в гелиоцентрической системе координат

3.1. Уравнения движения тел в гелиоцентрической вращающейся системе координат

3.2. Условия существования плоских классических и обобщенных центральных конфигураций в гелиоцентрической вращающейся

системе координат

3.2.1. Классические дельтовидные центральные конфигурации

3.2.2. Обобщенные дельтовидные центральные конфигурации

3.2.3. Трапецеидальные центральные конфигурации

Глава 4. Устойчивость классических и обобщенных плоских центральных конфигураций

4.1. Постановка задачи

4.2. Уравнения в вариациях и их расщепление

4.3. Анализ линейной устойчивости плоских центральных конфигураций, существующих в барицентрической системе координат

4.3.1. Квадратная центральная конфигурация

4.3.2. Ромбовидная центральная конфигурация

4.4. Анализ линейной устойчивости плоских центральных конфигураций,

существующих в гелиоцентрической системе координат

4.4.1. Дельтовидная центральная конфигурация с центральным

телом

4.4.2. Трапецеидальная центральная конфигурация с центральным

телом

Глава 5. Исследования устойчивости по Ляпунову положений относительного равновесия в классическом и обобщенных вариантах задачи Ситникова

5.1. Постановка задачи

5.2. Нелинейный анализ устойчивости

5.3. Нормализация функции Гамильтона при отсутствии резонансов и вырождения

5.4. Устойчивость положения равновесия в классической задаче Ситникова

5.5. Устойчивость положения равновесия в обобщенной задаче Ситникова. Нормализация функции Гамильтона при наличии

резонансов четвертого порядка

5.6. Устойчивость положения относительного равновесия в обобщенных вариантах задачи Ситникова

Заключение

Приложение 1. Коэффициенты уравнений в вариациях для центральных

конфигураций в барицентрической системе координат

Приложение 2. Коэффициенты уравнений в вариациях для центральных

конфигураций в гелиоцентрической системе координат

Список литературы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Проблемы существования и устойчивости центральных конфигураций и положений относительного равновесия в некоторых обобщенных вариантах задачи N тел»

ВВЕДЕНИЕ

Задача многих тел небесной механики (Ы > 3), даже в ее простейших вариантах, представляет значительный научный интерес, поскольку в попытках получить ее даже не общее, а частные решения, на протяжении 250 лет исследователями были созданы и развиты многочисленные эффективные методы анализа динамических систем, имеющих приложения в различных разделах науки и техники. Поэтому доказательство существования, а также аналитический, качественный и численный анализ новых частных решений этой знаменитой задачи в виде обобщенных плоских центральных конфигураций различной геометрии и с несферическими центральными телами представляет актуальную задачу.

Изучение центральных конфигураций небесных тел, понятия и определения которых были сформулированы классиками небесной механики Эйлером, Лагранжем, Лапласом и Лиувиллем, представляет интерес не только для небесной механики, но и для многих разделов математического анализа, дифференциальных уравнений, аналитической механики, звездной динамики и динамики космического полета. В частности, ввиду того, что конфигурации, которые приходят к одновременному столкновению, являются асимптотическими к центральным конфигурациям, вопросы исследования таких конфигураций помогают лучше понять динамику «разлета» и «столкновения» в задачах п тел небесной механики и звездной динамики. Плоские центральные конфигурации порождают семейства периодических решений, отыскание которых является целью многих задач небесной механики и космо динамики. Множество уровней энергии, которые содержат центральные конфигурации, соответствуют значениям энергии, для которых гиперповерхности постоянной энергии и углового момента испытывают бифуркации. Таким образом, центральные конфигурации играют ключевую роль в определении бифуркации в топологическом описании динамических

систем. Наряду с этим центральные конфигурации могут использоваться в качестве «стартовых точек» (начальных условий) для решения задачи п тел, поскольку эти конфигурации являются специальными решениями задачи п тел, в которой известно лишь (6п -10) первых интегралов. Также по настоящее время остается открытым вопрос о конечности числа центральных конфигураций для заданных п тел с конечными заданными массами.

Известно, какую роль сыграли в аналитической механике и математике знаменитые прямолинейные решения Эйлера и треугольные решения Лагранжа-Лапласа в общей задаче трех тел, которые представляют собой лишь частные решения задачи. Тем не менее, они на многие годы, если не на столетия, определили направления развития многочисленных аналитических, качественных и численных методов и их приложений. Поэтому, актуальность отыскания и анализа частных решений в общих задачах 4-х, 5-ти тел не вызывает сомнения.

С практической точки зрения наличие доказательства существования новых, а именно - обобщенных, плоских центральных конфигураций в задачах 4-х и 5-ти тел с несферическими телами в центре - расширяет само понятие центральных конфигураций и открывает новые направления исследований.

Проблема Ситникова - специальный случай ограниченной эллиптической задачи трех тел, более 40-ти лет с момента ее постановки А.Н. Колмогоровым и решения К.А. Ситниковым находилась несколько «в стороне» от интенсивно развивающихся направлений аналитической и небесной механики. Но вот уже более 10 лет она интенсивно изучается. Это обусловлено тем, что эта задача представляет собой простейшей вариант неинтегрируемой в квадратурах эллиптической задачи трех тел, однако при ее исследовании встречаются осциллирующие и периодические решения, бифуркации и хаос. Также оказалось, что проблема устойчивости тривиального положения относительного равновесия, существующего в этой задаче и ее обобщениях, несмотря на наличие многих публикаций еще не решена.

С другой стороны, обнаружились возможности практического применения решений этой задачи. В частности, появляется возможность использовать тривиальное решение этой задачи (внутреннюю коллинеарную точку либрации двойной планеты или двойной звезды с одинаковыми притягивающими массами) для размещения в ней орбитальной станции, телескопа или космической обсерватории. На практике подобные проекты уже были реализованы: американский проект GENESIS (2002 г., сбор образцов солнечного ветра с помощью аппарата, летающего вокруг точек либрации L\ и Lj)\ американский проект ARTEMIS (в 2010 г. состоялся запуск двух аппаратов для исследования в окрестностях точек L\ и Li геомагнитного поля Луны, поведения солнечного ветра, взаимодействия между Солнцем и Луной); российский проект по созданию космической обсерватории «Миллиметрон» (2006-2015 гг.) для проведения исследований астрономических объектов во Вселенной; а также другие американские и европейские проекты («Планк», «Гершель», WMAP) по размещению космических аппаратов в точках либрации [71-73,76, 77].

Существование классических плоских центральных конфигураций в задачах четырех и пяти тел было доказано на рубеже 19-го и 20-го веков и продолжено в 1930-х гг. (мы не приводим здесь библиографических ссылок, поскольку все они будут перечислены в Гл. 1, представляющей собой аналитико-исторический обзор работ). Анализ предшествующих работ позволил сформулировать позже А. Винтнеру строгие определения и теоремы существования центральных конфигураций. Среди работ по устойчивости плоских центральных конфигураций выделим систематические исследования вопросов устойчивости различных классических плоских центральных конфигураций В.А. Брумбергом. Вопрос об устойчивости трапецеидальной центральной конфигурации им не был доведен до конца ввиду громоздкости расчетов определителя характеристического уравнения. Рассматривались многочисленные центральные конфигурации в рамках задачи N тел, относящиеся к двум последним десятилетиям. Также анализировалось влияние

доминирующей массы на поведение тел в конфигурации. Во всех упомянутых работах предполагалось, что входящие в центральные конфигурации тела -шары.

Таким образом, анализируя вышесказанное, можно сформулировать цели исследования настоящей работы:

- доказательство существования новых обобщенных плоских центральных конфигураций (квадратного, ромбовидного, дельтовидного и трапецеидального типов) в общих задачах четырех и пяти тел в случаях несферических центральных тел, в частности, эллипсоида вращения и трехосного эллипсоида;

- исследование линейной устойчивости найденных новых обобщенных плоских центральных конфигураций перечисленных выше форм с несферическими центральными телами - сжатым эллипсоидом вращения и трехосным эллипсоидом в центре;

- уточнение условий и областей устойчивости и неустойчивости положений относительного равновесия в классическом и обобщенных вариантах задачи Ситникова при малых эксцентриситетах орбит тел конечных размеров;

- завершение исследования устойчивости в строгом нелинейном смысле положений относительного равновесия в классическом и обобщенных вариантах задачи Ситникова при малых эксцентриситетах орбит тел конечных размеров;

Эти цели определяют следующие задачи, которые необходимо решить:

1. Провести детальный и систематический анализ библиографических данных (со времен Эйлера до настоящего времени) по плоским центральным конфигурациям и сформулировать и решить задачи обобщения некоторых из них; провести исследование устойчивости найденных новых обобщенных центральных конфигураций.

2. Выявить основные закономерности, определяющие необходимые и достаточные условия существования и возможности обобщения некоторых

известных плоских центральных конфигураций, образованных шарообразными телами, на случаи несферических центральных тел.

3. Получить необходимые и достаточные условия существования обобщенных плоских центральных конфигураций квадратной и ромбовидной формы с несферическими центральными телами в барицентрической вращающейся системе координат. Разработать и реализовать программы для нахождения совокупности значений геометрических и динамических параметров, удовлетворяющих условиям существования упомянутых конфигураций.

4. Получить необходимые и достаточные условия существования обобщенных плоских центральных конфигураций дельтовидной и трапецеидальной форм с несферическими центральными телами в гелиоцентрической вращающейся системе координат. Разработать и реализовать алгоритмы для нахождения совокупности значений геометрических и динамических параметров, удовлетворяющих условиям существования упомянутых конфигураций.

5. Завершить исследование устойчивости по Ляпунову в строгом нелинейном смысле тривиального положения относительного равновесия в классическом и обобщенном вариантах задачи Ситникова в случае малых эксцентриситетов орбит тел конечных размеров.

6. Исследовать устойчивость в линейном приближении всех типов найденных новых обобщенных плоских центральных конфигураций.

ГЛАВА 1. ИСТОРИКО-АНАЛИТИЧЕСКИЙ ОБЗОР РАБОТ ПО ПЛОСКИМ ЦЕНТРАЛЬНЫМ КОНФИГУРАЦИЯМ И

ИССЛЕДОВАНИЯМ ИХ УСТОЙЧИВОСТИ

1.1. История открытия и определения центральных конфигураций

1.1.1. Терминология и определения

Труды выдающихся ученых последних трех столетий - Эйлера [7], Лагранжа [16] и Лапласа [17], а также Лиувилля [23] и Якоби [14], внесли значительный вклад в постановку и решение многих задач небесной механики, аналитической механики и математического анализа, исследование которых продолжается и в наши дни. Они стояли у истоков многих новых направлений исследований в упомянутых разделах науки, в частности, в небесной механике и математическом анализе, получившим в последние два десятилетия бурное развитие, а именно - исследований центральных конфигураций. Количество

научных трудов по этой тематике растет с каждым годом. •-•-•

а)

Рис. 1. Прямолинейные решения Эйлера {а) и треугольные решения Лагранжа

(Ь) в задаче трех тел

Простейшие центральные конфигурации в задаче трех тел (рис. 1) были обнаружены Эйлером [7] (1760) и Лагранжем [16] (1772), хотя Лагранж, обнаруживший треугольные решения, не придал этому факту серьезного значения. Эти же самые решения (прямолинейные и треугольные) также называют лапласовыми, поскольку последний доказал их существования для

произвольного закона притяжения и описал их в своем многотомном фундаментальном труде по небесной механике [17].

Изучение центральных конфигураций, как уже отмечалось, представляет интерес для многих разделов математического анализа, теории обыкновенных дифференциальных уравнений, аналитической механики, небесной механики, звездной динамики и пр. по следующим причинам:

1) конфигурации, которые приходят к одновременному столкновению, являются асимптотическими по отношению к центральным конфигурациям, то есть центральные конфигурации помогают лучше понять динамику «разлета» и «столкновения» в задаче п тел;

2) плоские центральные конфигурации порождают семейства периодических решений, поиск которых является целью многих задач небесной механики и космодинамики;

3) множество уровней энергии, которые содержат центральные конфигурации, соответствует значениям энергии, для которых поверхности постоянной энергии и углового момента испытывают бифуркации, из чего следует, что центральные конфигурации играют ключевую роль в определении бифуркаций в топологическом описании;

4) центральные конфигурации являются специальными решениями задачи п тел, в которой известно лишь (6п - 10) первых интегралов. Таким образом, здесь центральные конфигурации могут использоваться в качестве стартовых точек (начальных условий) для решения задачи п тел;

5) центральные конфигурации являются одной из нерешенных проблем предыдущего и настоящего столетий, суть которой состоит в вопросе -является ли число центральных конфигураций конечным для заданных п тел с массами щ, т2,..., тп. Эта задача была сформулирована А.Винтнером [40, 53] еще в 1941 г. и относительно недавно повторена С.Смейлом [38];

6) каждая центральная конфигурация, описывающая неограниченную задачу п тел, порождает новую ограниченную задачу (п+1) тел, в которой к п телам конечной массы добавляется материальная точка, в результате чего

возникает большое число новых модельных задач находящих применение в космодинамике;

7) ньютоновский закон притяжения между телами, обратно пропорциональный квадрату расстояния (&\1г2), который рассматривался в большинстве случаев, является не единственным законом, действующим в природе, поэтому представляют интерес исследования центральных конфигураций, в которых действуют силы разной природы гк к ф2), в том числе силы радиационные, электромагнитные и др.

Таким образом, появляется возможность генерировать огромное количество новых модельных задач небесной механики, звездной динамики и космодинамики, представляющих интерес для исследований и их приложений.

Приведем несколько понятий, использующихся при описании центральных конфигураций.

Стандартное определение по А.Винтнеру [40, 53]: гомографическим движением (решением) называется такое движение тел (объектов, частиц, образующих систему), при котором их начальная конфигурация сохраняется при всех значениях времени. К специальному типу томографических движений (решений) относится случай, когда тела (частицы), образующие конфигурацию, ведут себя как вращающееся твердое тело, т.е. расстояния между всеми телами (частицами) остаются постоянными таким образом, что вращение всех тел происходит при постоянном масштабе расстояния. Такие томографические решения также называются положениями относительного равновесия. Именно таким решениям и посвящена настоящая проблема.

Другой экстремальный случай относится к движениям (решениям), которые допускают изменение масштаба расстояния при сохранении конфигурации, но не допускают произвольного вращения тел. В такой конфигурации вращающиеся тела обязаны располагаться на прямой, проходящей через центр масс системы тел. Такие решения называются гомотетическими решениями.

Аналитическое определение центральной конфигурации. Говорят, что N частиц образуют центральную конфигурацию в момент времени t, если существует такая скалярная величина Я, что имеет место

? - ди • 1 ЛГ

or,

где тр гj - соответственно массы и радиус-векторы тел (частиц) в некоторой системе координат, aU- взаимный потенциал притяжения тел:

mjmk

]<к Г]к

Приведенное выше простое соотношение получается с учетом двух равенств

^ 1 ди ~ _

Г;=-^ И Г=ЯГ

т ог

3 3

которые можно получить с помощью вывода уравнений движения задачи N тел и используя некоторые теоремы классической механики.

Таким образом, классическая центральная конфигурация представляет собой систему из N сферических тел (материальных точек) с равными массами т, расположенными в вершинах правильного Л'-угольника со сферическим телом массы Мо, расположенным в центре упомянутого Л'-угольника (или без оного), взаимно притягивающимися по закону Ньютона (или другому закону) и вращающимися относительно центрального тела (или центра) как единое целое.

В настоящей работе исследуются обобщенные центральные конфигурации, в которых не все составляющие центральную конфигурацию тела имеют сферическую форму.

1.1.2. Период классический (1760-1880 гг.)

Являясь первооткрывателями понятия центральных конфигураций, Эйлер [7], Лагранж [16] и Лаплас [17] доказали существование прямолинейных и треугольных решений в задаче трех тел (треугольная конфигурация без центрального тела). Лаплас в своем многотомном труде, по-видимому, был первым, кто сформулировал понятие (но не термин) центральной конфигурации (плоской и пространственной) и проблему устойчивости отыскиваемых решений, которые позже были определены как центральные конфигурации.

Другой знаменитый ученый, Дж. К. Максвелл [27], рассматривавший проблему существования и устойчивости модели кольца Сатурна, в процессе своих исследований наиболее близко подошел к понятию центральной конфигурации. Кольцо Сатурна он представил в виде модели, состоящей из большого числа п тел. Поскольку в те времена структура и состав колец еще не были известны, Максвелл рассматривал различные варианты состава: твердые и жидкие кольца, а также кольца в виде огромного скопления мелких осколков. Он сделал вывод, что при достаточно большом числе п система должна быть устойчивой при соблюдении следующего неравенства: масса (колец) < 2,298 • масса (Сатурна). В результате было доказано, что устойчивость имеет место при п>1.

Дальнейшее упоминание о центральной конфигурации встречается у Я.Норре [12], который сформулировал условия существования центральных конфигураций так называемого «каскадного» типа, в которых за первым кольцом, состоящим из тел одинаковых масс, расположено следующее кольцо других равных (но отличных от масс тел первого кольца) масс. При этом радиус-векторы тел второго кольца располагаются на биссектрисах радиус-векторов тел первого кольца (рис. 2).

Рис. 2. Два квадрата с угловым сдвигом и без центрального тела

(Hoppe R., [12])

1.1.3. Период интенсивного развития теории центральных конфигураций (1881-1941 гг.)

На следующем историческом этапе исследования центральных конфигураций появились работы Я. ЬеИтапп-РПИёБ [18], О. ЭгюЬек [3], Н.Апёоуег [1] и Ьо1^1еу [24], в которых рассматривались конфигурации, изображенные на рис. 3-6.

Рис. 3. Конфигурация в форме квадрата с центральным телом (шар)

т2(0,у)

т1 = т3= т т2= т4= М

т3(-а, 0)

т 1 (а, 0)

х

т4{0, -уГ

Рис. 4. Конфигурация в форме ромба без центрального тела

Во всех приведенных ниже формулах массы тел обозначаются буквами М и »7, а расстояния между телами или отношения расстояний буквами а, Д у.

Для конфигурации в форме ромба (без центрального тела) имеют место следующие отношения:

< —<>/3, (М> 0, т > 0),

У 1

— = 1 - квадрат.

а

Рис. 5. Центральная конфигурация в форме ромба с центральным телом (шар)

Для конфигурации в форме ромба с центральным телом т^ = 1:

М =

гЧ8сг

сг

>т +

4

Я. ЬеИтапп-РПИёБ Я. [18] продолжил работу Максвелла по исследованию модели колец Сатурна, представляя ее в виде некоторых «многоугольных» конфигураций, хотя не придавал факту существования таких конфигураций особого значения. Помимо этого он доказал существование п\!2 центральных конфигураций, состоящих из тел п различных масс, расположенных на прямой, а при /7 = 4- существование пространственной конфигурации в форме тетраэдра, положив начало новому направлению в теории центральных конфигураций - пространственных центральных конфигураций.

Исследование существования п\12 прямолинейных центральных конфигураций также приписывается Р.Я. Моикоп [29, 30], первые работы которого появились позже, в 1910 г.

т2(Р, У)

т4(в-у)

Рис. 6. Центральная конфигурация дельтовидная (контр-параллелограмм)

без тела в центре

В дальнейшем проблема существования «многоугольных» конфигураций привлекла к себе пристальное внимание многих исследователей, а конфигурации стали классифицироваться по типам. Многоугольные, кольцевые, гнездовидные центральные конфигурации позже привлекли внимание возможностью их приложений для исследования динамики колец вокруг планет, пояса астероидов, расположения планет вокруг звезд, некоторых звездных формаций, звезд с аккреционными кольцами, планетных туманностей и искусственных спутников вокруг кольцевых конфигураций.

Работы Ьо1^1еу [24] также содержат исследования центральных конфигураций «каскадного» типа (рис. 2, 7). Плоская центральная конфигурация п тел называется «каскадной», если она состоит из нескольких

концентрических структур тъ 1% / = 1, 2, ..., вращающихся как единое тело. Примеры таких конфигураций также изображены на рис. 2 и 7. Также в работе [24] приведены численные расчеты, доказывающие существование нескольких конкретных центральных конфигураций для случая N = 8 как концентрических, так и бисекториальных.

У т1

\

/ ч \

/ т \ \

/ ^ у v \ N

/ / / / / / / \ , \ \

mij/ ту VmVm,

\\ \ \ л Z

/ / / /

\ \ \ / /

V \ \ \ ^ —- /

\ \ т / /

ч /

т,

Рис. 7. Два квадрата без углового сдвига и центрального тела

В работе Е. Breglia [2] обсуждался вопрос существования томографических решений в задаче п тел. В качестве частных случаев рассмотрены плоские центральные конфигурации в форме квадрата и шестиугольника с попарно равными массами т1=т3, т2 = т4, т5 = т(), а также исследовалась пространственные центральные конфигурация в форме тетраэдра, октаэдра и гексаэдра без центрального тела.

Затем следует цикл работ М. Lindow [20-29], в которых сначала рассмотрена прямолинейная ограниченная задача четырех тел [20] и исследован характер движения в окрестности 4-х точек либрации. Работа [21] посвящена некоторым необходимым для дальнейших исследований преобразованиям в задаче (п + 1) - тел. Потом следует работа, посвященная круговым вариантам ограниченных задач (3 + 1)-тел [22], в которой три тела

расположены на окружности и найдено 10 точек либрации и исследован характер движения в окрестности точек либрации. Наконец, появились важные работы W.D. MacMillan, W. Bartky [26] и Williams W.L. [39], в которых не только было доказано существование центральных конфигураций в форме выпуклых четырехугольников и пятиугольников общего вида, но и сформулированы основополагающие теоремы о существовании плоских центральных конфигураций в задаче п тел, притягивающихся по закону 1/^, где к- любое целое число. Последнее отмечалось уже в работе R.Hoppe [12].

1.1.4. Период современный (1942-2015 гг.)

Когда в 1941 г. А. Винтнером [40, 53] формулировались понятия центральных конфигураций и общие теоремы их существования, основные предпосылки для этого уже присутствовали в работах его многочисленных вышеупомянутых предшественников, кроме пропущенной работы G.Mayer [45].

А в этой труднодоступной (Труды обсерватории г. Бардо за 1933 г.) и объемной (около 180 стр.) работе (впервые названной в работе В.А. Брумберга [70]), во-первых, описаны и обобщены многие предшествующие результаты, а, во-вторых, именно в ней начато развернутое исследование всего класса задач, связанных с центральными конфигурациями, упомянутых в начале этой главы. Кроме доказательства существования центральных конфигураций в различных вариантах общей и ограниченной задачи п тел, исследование их существования для различных соотношений масс, приведено доказательство существования периодических и асимптотически стремящихся к центральным конфигурациям решений, а также исследована устойчивость движения в окрестности стационарных решений (положений равновесия).

Публикации, содержащие обобщения упомянутых центральных конфигураций продолжались и W.B. Klemperer [15] со ссылкой на А. Винтнера,

рассматривает так (Рис. 8, 9)

называемые

«розеточиые» конфигурации

Рис. 8, 9. «Розеточиые» конфигурации

Известный японский специалист по небесной механике Y. Hagihara в своей изданной в 1970 г. в США многотомной монографии [10] подробно изложил теорию центральных конфигураций, посвятив ей целую главу. В приведенной им обширной библиографии упомянуты все известные к тому времени работы.

Затем, после 15-летнего периода спада активности исследований в данной области, появилась работа L.M. Perko и E.L. Walter [33], в которой был подведен некоторый итог предшествующим исследованиям и доказано существование плоской центральной (кольцевой, концентрической) конфигурации из Л^тел одинаковой массы для любого (конечного)N> 4.

Авторами было признано первенство в формулировке и простейшем доказательстве проблемы существования плоских (и не только) центральных конфигураций при 7V>4 и других возможных обобщений, приведенных в работе R. Hoppe [12]. В работе проведено простейшее доказательство существования упомянутого обобщения центральной конфигурации для N > 4, которое было доведено до выписывания квадратур. Приоритет R.Hoppe не только в формулировке и доказательстве существования плоских

центральных конфигураций для N > 4, но и во введении такого понятия как бисекториалъные решения конфигурации был также подтвержден значительно раньше в работе Ьо1^1еу [24] (с. 329).

Рис. 10. Два ромба (без углового сдвига) с центральным телом

Далее Б. Эльмабсут [4-6] сформулировал теорему существования так называемых бисекториальных решений, которые ранее упоминались без подробного рассмотрения в работах R. Hoppe [12] и W. Longley [24].

Почти одновременно с упомянутыми выше работами В. Эльмабсута появилась серия работ Е.А. Гребеникова [54-57], в которых формулировались и доказывались теоремы существования центральных конфигураций в различных вариантах задачи TV-тел.

Здесь условия для масс т1=тъ,т2=тА,т$=т1,т6=т% и а, ß -размеры полудиагоналей ромбов приводят к величине квадрата угловой скорости

2 1 , , щ 2т0 4 Вт, 2аът, т = — М ч--— ч-----1--——5--1---—

а3 0 4а3 (1 + а2)32 (ß2-a2)2 (a4+ß2f2

Исследованию центральных конфигураций с телом в центре также были посвящены работы А.Н. Прокопени [34] и С. Фетисовой [8].

Для иллюстрации всевозможных форм плоских центральных конфигураций можно сослаться на работу J. Llibre, L.F. Mello [19], в которой доказано существование более сложных центральных конфигураций для задач п = 6, 8, 9 тел (рис. 12).

пл3

Рис. 12. Центральная конфигурация гнездовидного типа - «тройки»

1.2. Устойчивость плоских центральных конфигураций и положений относительного равновесия в обобщенных вариантах задачи ТУ тел 1.2.1. Устойчивость плоских центральных конфигураций

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Перепелкина Юлианна Вячеславовна, 2016 год

Список литературы

1. Andoyer H. Sur l'équilibre relative de n corps. Bull, astron. Feb. 1906. V.23. P.50-59.

2. Breglia E. Su alcuni casi particulori del problema dei tre corpi. Giornale di Matematiche di Battaglani, 3 Ser. 1916. V.7. P.165-186.

3. Dziobek O. Über einen merkwürdigen Fall des Vielkorperprobems. Astron. Nach., 1900. Bd. 152. N3627. S. 33-46.

4. Elmabsout B. Sur l'existence de certaines positions d'équilibré relatif dans le Probleme des n corps. C.R. Acad. Sei., 1987, T.304, Serie II, No 4, P. 161-164.

5. Elmabsout B. Sur l'insatbilite de certaines configurations d'équilibré dans le problème des n corps. Celes. Mech. and Dyn. Astron. 1990, V.49, No. 3. P. 219231.

6. Elmabsout B. Nouvelles configurations d'equillibre relatif dans le problème des corps // C. R. Acad. Sei. Ser. II. 1991. T. 312. P. 467-472.

7. Euler L. Un corps étant attiré en raison réciproque quarrée des distances vers deux points fixes donnés, trouver les cas ou la curbe decrite par ce corps sera algebraique - Mémoirs de l'Académie de Berlin for 1760, published 1767. P. 228247.

8. Fetisova S. On the Newtonian deltoid problem / S. Fetiso va, E.A.Grebenikov (Eds.). 4th Int.Workshop. Comp. Algebra Systems in Teach, and Res. Jan. 31-Feb. 3, 2007 Siedice, Poland. Univ. of Podlasie; The College of Finance and Ménagement. Siedice: Wydawnictwo Academii Polaskieij, 2007. P. 112-116.

9. Gidea M., Llibre J. Symmetric planar central configurations of five bodies: Euler plus two. Celet. Mech. and Dyn. Astron. 2010. V.106. No.l. P. 89-107.

10.Hagihara Y. Celestial Mechanics. (Ch.3. Particular solutions of the many-body problem. P.228-287). The MIT Press Cambridge (Mass.). London. 1970. V. 1. 689

P-

11.Hampton M., Moeckel R. Finiteness of relative equilibria of the four body problem. Invent. Math. 2006. V. 163. P. 289-312

12.Hoppe R. Erweiterung der bekannt Speciallösung des Dreikörperproblems. Archiv der Math. undPhys. 1879. V. 64. P.218-223.

13.Hüttenhain E. Untersuchungen über die Stabilität infinitesimal Bahnen um Librationspunkte. Astron. Nach. 1935, B. 254. No. 6089. S. 281-295.

14.Jacobi C. Sur le movement d'un point et sur uncas particuliert du probleme de trois corps. Comptes Rendus Acad. Sei. 1836.T.3. P. 59-61.

15.Klemperer W.B. Some properties of the rosette configurations of gravitating bodies in homographie equilibrium. Astron. J. 1962. V. 67. No. 1298, P. 162-167.

16.Lagrange J.L. Essai sur le problème des trois corps. Oeuvres de Lagrange, 1772, T.6. P.272-292; Prix. Acad. Roy. Soc., 1772. T.9.

17.Laplace P.S. Traité de Mécanique Céleste. Paris: 1805. T. 4. P. 307-313.

18.Lehmann-Filhés R. Über zwei Fälle des Vielkörperproblems. Astron. Nach. 1891. Bd. 127. № 3033. S. 137-144.

19.Llibre J., Mello L.P. Triple and quadruple nested central configurations for the planar «-body problem. Phys. Nonlinear Phenomena. D 238. 2009. P. 563-571.

20.Lindow M. Ein Spezialfall des Vierkörperproblems. Astron. Nach. 1922, B. 216. No.5181-5182. S. 389-395.

21.Lindow M. Der Kreisfall im Problem der 3+1 Körper. Astron. Nach. 1924, B. 220. No. 5279. S. 369-380.

22.Lindow M. Der Kreisfall im Problem der n+1 Körper Astron. Nach.1926, B. 228. No. 5461. S. 233-248.

23.Liouville J. Sur un cas particulier du problèm des trois corps (Extrait). C. R. Acad. Sei. 1842, T. 14, N. 14. P. 503-506.

24.Longley W.R. Some particular solutions in the problem of n bodies. Bull, of AMS. 1907. V. 13. No.7. P. 324-335. (Read before the American Mathematical Society. Dec. 28, 1906).

25.Long Y., Sun S. Four - body central configurations with some equal masses. Arch. Rational Mech. and Anal. 2002. V. 162(1). P. 25-44.

26.MacMillan W.D., Bartky W. Permanent configurations in the problem of four bodies. Trans, of AMS. 1932, V. 34, No. 4. P. 838-874.

27.Maxwell J.C. On the stability of the motion of Saturn's rings. 1859 .The scientific papers of James Clerk Maxwell (ed. Niven W. D.), 288-376. Cambridge: Cambridge University Press (1890) or Maxwell on Saturn's rings (eds S. G. Brush, C. W. F. Everitt & E. Garber). Cambridge, MA: MIT Press (1983).

28.Meyer G. Solutions voisines des solutions de Lagrange dans le problem des n corps. Ann. de l'Observatoire de Bordeaux. 1933. T. 17. P .77-252.

29.Moulton F.R et al. Periodic orbits. Washington: Carnegi Inst. Washington Publ. XIII, 1920. 524 p.

30.Moulton F.R. On a class of particular solutions of the problem of four bodies. Trans, of AMS, V.l. Issue 1,1900. P. 17-29.

31.Pedersen P. Librationspunkte im restringierten vierkorperproblem. Dan. Mat. Fys. Medd. 1944. Bind 21. Nr. 6. P. 1-80.

32.Pedersen P. Stabilitatsuntersuchungen im restringierten vierkorperproblem. Dan. Mat. Fys. Medd. 1952. Bind 26. Nr. 16. P. 3-38.

33.Perko L.M., Walter E.L. Regular polygon solutions of the «-body problem. Proc. of AMS, 1985, V. 94, No.2. P. 301-309.

34.Prokopenya A.N. New homographic solutions in the problem of four bodies. Fifth Int. Symp. On Classical and Celestial Mechanics. Aug. 23-28, 2004, Velikie Luki, Russia. Abstracts. Moscow: Comp. Centre of RAS. 2004. P. 12-14.

35.Saari G.D. Collisions, rings, and other Newtonian n-body problems. USA, Providence, Rhode Island: AMS-CBMS regional conference series in mathematics, 2005. No. 104. 235 p.

36.Siegel C.L., Moser J.K. Lectures on Celestial Mechanics. Springer, 1971. 290 p.

37.Simo C. Relative equilibrium solutions in the four-body problem . Celestial Mech., 1978. V. 18, No. 2, P. 165-184.

38.Smale S. Mathematical problems for the next century, American Mathematics Society, 2000, P. 271-294.

39. Williams W.L. Permanent configurations in the problem of five bodies. Trans, of AMS. 1938, V. 44, No. 3. P. 562-579.

40.Wintner A. The analytic foundations of celestial mechanics. Princeton Math. Series 5, Princeton University Press, Princeton, NJ. 1941. 448 p.

41.Zhang S., Xie Z. Nested regular polygon solutions of 27V-body problem. Phys. Letters A 281, 2001. No. 2-3, P. 149-154.

42.Zhifu Xie, Shiqing Zhang. A simpler proof of regular polygon solutions of the N-body problem. Phys. Letters A 277. 2000. P. 156-158.

43.Zhuravlev S.G., Perepelkina Yu.V. On existence of planar central configurations in the (4/7+1 )-body problem with two axis of symmetry in a case of the triaxial central body. Book of abstracts of 7th International Symposium on Classical and Celestial Mechanics, Siedlce (Poland), 2011, P. 240-241.

44.Zhuravlev S.G., Perepelkina Yu.V. On existence of planar configurations in the (4/7+1 )-body problem with two axis of symmetry in a case of the triaxial central body. Classical and Celestial Mechanics: Selected Papers. Wydawnictwo Collegium Mazovia, Siedlce (Poland), 2012, P. 206-217.

45.Zhuravlev S.G., Perepelkina Yu.V. On instability of planar trapezoidal central configurations in the classical and generalized cases. 8th Int. Symp .on Class, and Celest. 23-29 Sept 2013 Siedlce. Poland. CCMEX'8 Book of Abstracts. Siedlce: Widawnictwo Collegium Mazovia 2013. P. 60.

46.Zhuravlev S.G., Perepelkina Yu.V. Generalization of planar central configurations on the case of non-spherical central body. Int. Congress of Mathematicians. Aug. 13-21, 2014, Seoul, Korea. Seoul: Abstracts, p. 310.

47.Агафонов С.А., Слынько JI.E. Об устойчивости стационарного движения плоского твердого тела под действием центральной силы. Мех. тв. тела, 1985, №2. С. 25-29.

48.Агафонов С.А., Перепелкина Ю.В. О существовании и устойчивости плоской центральной конфигурации дельтовидного вида на случаи несферических центральных тел. Междунар. жур. по теор. и прикл. мат., класс, и неб. мех. и космодин. Вып.1(2), 2013. С.44-56.

49.Арнольд В.И. Об устойчивости положений равновесия тамильтоновой системы обыкновенных дифференциальных уравнений в общем эллиптическом случае . Докл. АН СССР. 1961. Т.137. № 2. С. 255-257.

50.Арнольд В.И., Козлов В.В., Нейштадт А.И. Математические аспекты классической и небесной механики. 2-ое изд., перераб. и доп. - М.: Эдиториал УРСС, 2002. 416 с.

51.Батраков Ю.В. Периодические движения частицы в поле тяготения вращающегося трехосного эллипсоида. Бюл. Ин-та теор. астрон. АН СССР. 1957. Т.6. № 8. С. 524-542.

52.Брумберг В.А. Постоянные конфигурации в проблеме четырех тел и их устойчивость. Астрон. ж., 1957. Т. 34. № 1. С. 55-74.

53.Винтнер А. Аналитические основы небесной механики. Перев с англ. М.: Наука, 1967. 512 с.

54.Гребеников Е.А Математические проблемы томографической динамики. М.: МАКС Пресс, 2011. 254 с.

55.Гребеников Е.А. Существование точных симметричных решений в плоской ньютоновой проблеме многих тел. Матем. модел. 1998. Т.10. № 8. С. 74-80.

56.Гребеников Е.А., Земцова Н.И. О существовании асимметричных решений функциональных уравнений Лагранжа-Винтнера . Сб. Нелин. анализ и томограф, динамика. М.: ПАИМС, 1999. С. 7-78.

57.Гребеников Е.А., Козак-Сковородкина Д., Якубяк М. Методы компьютерной алгебры в проблеме многих тел. Изд. 2-ое, перераб. М.: Изд-во Рос. ун-та дружбы народов. 2002. 212 с. (стр. 46).

58.Дубошин Г.Н. Небесная механика. Основные задачи и методы. М.: Физматгиз. 1963. 586 с.

59.Дубошин Г.Н. Теория притяжения. М.: Гос. Изд-во ФМЛ. 1961. 287 с.

60.Журавлев С.Г. О существовании центральных конфигураций с эллипсоидом вращения в центре. Сб. Теор. и прикл. задачи нелин. анализа. ВЦ им. A.A. Дородницына РАН. 2011. С. 165-178.

61.Журавлев С.Г. О существовании плоских центральных конфигураций в относительных неинерциальных системах координат. Междунар. жур. по теор. и прикл. мат., класс, и неб. мех. и космодин. 2012. Вып. 1. С. 49-61.

62.Журавлев С.Г., Джунусбеков Дж.С. О томографических решениях в ньютоновой задаче о движении 4-х тел в поле тяготения трехосного эллипсоида. Сб. Теор. и прикл. задачи нелин. анализа. М.: Изд-во ВЦ им. А.А.Дородницына РАН. 2008. С. 166-176.

63.Журавлев С.Г. Унифицированный поход к исследованию линейной устойчивости классических и обобщенных плоских центральных конфигураций небесной механики. Часть 1. Аналитические выкладки. Междунар. жур. по теор. и прикл. мат., класс, и неб. мех. и космодин. 2013. Вып. 1(2). С. 5-43.

64.Журавлев С.Г., Перепелкина Ю.В. Обобщение плоской трапецеидальной центральной конфигурации на случай эллипсоида вращения в центре. Междунар. жур. по теор. и прикл. мех., класс, и неб. мех. и космодин. 2012. Вып. 1. С. 62-74.

65.Журавлев С.Г. Перепелкина Ю.В. Об устойчивости в строгом нелинейном смысле тривиального положения относительного равновесия в классическом и обобщенных вариантах задачи Ситникова. Прикл. мат. мех. 2013. Т.77. Вып. 2. С. 239-250.

66.Журавлев С.Г., Перепелкина Ю.В. О существовании и устойчивости обобщенных плоских центральных конфигураций трапецеидального типа с несферическим телом в центре. Прикл. мат. мех. 2016. Т.80. Вып. 1. С. 51-59.

67.Калас В.О., Красильников П.С. Устойчивость равновесия в задаче Ситникова // Сб. трудов П-го межотраслевого молодежного научно-технического форума «Молодежь и будущее авиации и космонавтики-2010». Моск. авиац. ин-т. 2010. С. 214-219.

68.Кардашёв Н.С., Новиков И.Д., Лукаш В.Н. и др. Обзор научных задач для обсерватории Миллиметрон. УФН. 2014. Т.184, №12. С.1319-1352.

69.Курош А.Г. Курс высшей алгебры. М.: Гос. изд-во физ. мат. лит. 1962. 431 с.

70.Маркеев А.П. Точки либрации в небесной механике и космодинамике. М.: Наука. 1978. 312 с.

71.Официальный сайт проекта Genesis http://genesismission.jpl.nasa.gov.

72.Официальный сайт проекта Herschel

http ://www. esa. int/OurActivities/Operations/Her schel.

73.Официальный сайт Planck Science Team http://www.cosmos.esa.int/web/planck.

74.Перепелкина Ю.В. О влиянии несферичности центрального тела на геометрические и динамические характеристики плоских центральных конфигураций. Междунар. жур. по теор. и прикл. мат., класс, и неб. мех. и космодин. Вып.1, М.: 2012, С.75-81.

75.Перепелкина Ю.В. Унифицированный поход к исследованию линейной устойчивости классических и обобщенных плоских центральных конфигураций небесной механики. Часть 2. Численные алгоритмы. Междунар. жур. по теор. и прикл. мат., класс, и неб. мех. и космодин. 2013. Вып. 2(3). С. 5-37.

76.Проект ARTEMIS на официальном сайте NASA http://www.nasa.gov/mission_pages/themis/news/artemis-orbit.html.

77.Проект WMAP на официальном сайте NASA http://map.gsfc.nasa.gov.

78.Прокопеня А.Н. Исследование устойчивости равновесных решений эллиптической ограниченной задачи многих тел методами компьютерной алгебры. Мат. модел. 2006. Т. 18. № 10. С. 102-112.

79.Ситников К.А. Существование осциллирующих движений в задаче трех тел. Докл. АН СССР. 1960. Т.133. №2. С. 303-306.

80.Субботин М.Ф. Курс небесной механики. В 3 т. - JL; М.: Гос. изд-во технико-теорет. лит., 1933-1949. Т. 3, 1949.-280 с.

81.Тхай В.Н. Периодические движения обратимой механической системы второго порядка. Приложение к задаче Ситникова. Прикл. мат. мех. 2006. Т.70. Вып. 5. С. 813-834.

82.Тхай В.Н. Прямолинейные движения частицы в поле двойной звезды. Сб. Задачи исследования устойчивости и стабилизации движения. М.: ВЦ А.А.Дородницына РАН. 2001. 4.1. С. 30-36.