Проблемы распознавания разрешимости уравнений в нильпотентных группах тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.06, кандидат физико-математических наук Репин, Николай Иванович
- Специальность ВАК РФ01.01.06
- Количество страниц 82
Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Репин, Николай Иванович
ВВЕДЕНИЕ
ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕН!®
Глава I. УРАВНЕШ® В НИЛЬПОТЕНТНЫХ ГРУШАХ
МАЛОЙ СТУПЕНИ II
§1.1 Уравнения с одной неизвестной в конеч -но-определённых нильпотентных группах ступени 3 II
§1.2 Уравнения с одной неизвестной в конеч -но-определённых нильпотентных группах ступени
Глава 2. УРАВНЕНИЯ В СВОБОДНЫХ НШШОТЕНШЫХ
ГРУШАХ
§2.1 Уравнения в свободных нильпотентных группах ступени съЗ
§2.2 Некоторые технические леммы
§2.3 Уравнения с одной неизвестной в свободных нильпотентных группах
Рекомендованный список диссертаций по специальности «Математическая логика, алгебра и теория чисел», 01.01.06 шифр ВАК
Алгоритмические и метрические проблемы в теории бесконечных групп2011 год, доктор физико-математических наук Носков, Геннадий Андреевич
Вычислимые представления проективных плоскостей2017 год, кандидат наук Когабаев, Нурлан Талгатович
Асимптотические свойства рациональных множеств и систем уравнений в свободных абелевых группах и разрешимость регулярных уравнений в классе нильпотентных групп2014 год, кандидат наук Меньшов, Антон Владимирович
Алгоритмические проблемы для многообразий полугрупп, моноидов, групп и колец2002 год, доктор физико-математических наук Попов, Владимир Юрьевич
Некоторые числовые характеристики разрешимых групп и алгебр1999 год, кандидат физико-математических наук Смирнова, Евгения Геннадьевна
Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Проблемы распознавания разрешимости уравнений в нильпотентных группах»
Первые работы, посвященные алгоритмическим проблемам для конечно-определённых нильпотентных групп, принадлежат А.И.Мальцеву и Р.Линдону. Ими построен алгоритм для распознавания равенства слов в конечно-определённых нильпотентных группах (см. £5} и [201 ). В дальнейшем, с помощью финитной алроксимируемости А.И.Мальцевым был построен алгоритм для распознавания вхождения в конечно-порождённые подгруппы конечно-определённых нильпотентных групп (см. 16] ). Блэкберн в работе \15"i доказал финитную апроксимируемость относительно сопряжённости конечно-определённых нильпотентных групп. Это позволило ему построить алгоритм для распознавания сопряжённости в конечно-определённых нильпотентных группах. Недавно доказано, что в классе всех конечно-определённых нильпотентных групп положительно решается алгоритмическая проблема распознавания изоморфизма групп (см [161, tI7] ). Многие алгоритмические проблемы получили положительное решение и в классах групп, являвдихся естественными обобщениями класса конечно-определённых нильпотентных групп (см.,например, [3] ).
Небезуспешными оказались и попытки отыскания алгоритмически неразрешимых проблем, связанных с конечно-определёнными нильпотентньши группами. Так, А.И. Мальцевым в работе [7] была доказана алгоритмическая неразрешимость элементарной теории каждой неабелевой свободной нильпотентной группы. В последствии, Ю.Л. Ершовым был даже найден необходимый и достаточный критерий алгоритмической неразрешимости элементарной теории конечно-определённой нильпотентной группы. А именно, он показал, что элементарная теория конечно-определённой нильпотентной группы разрешима тогда и только тогда, когда эта группа почти абелева (см. [2] ).
Однако, долгое время не удавалось найти никаких более простых алгоритмически неразрешимых проблем для конечно-определённых нильпотентных групп. Большое влияние на исследования в этой области оказало отрицательное решение Ю.В.Ма-тиясевичем в 1970 году десятой проблемы Гильберта (см. 183 и [91 ). Появилась возможность применить восходящий к Мальцеву и Блэкберну ме.тод моделирования диофантовых уравнений в нильпотентных группах.
В 1977 году В.А. Романькову удалось разыскать на этом пути естественную алгоритмически неразрешимую теоретико-групповую проблему. Оказалось, что для свободных нильпотентных групп счётного ранга и ступени > 9 алгоритмическая проблема распознавания эндоморфной сводимости элементов имеет отрицательное решение. Эта проблема состоит в построении алгоритма, который по двум произвольным элементам ^ и К группы G- распознаёт наличие эндоморфизма (£ • & ^ , переводящего элемент g, в элемент К, .
Непосредственным следствием из этого результата является следующая теорема.
Теорема (В.А. Романьков, 1977 г.). Для каждой свободной нильпотентной группы счётного ранга и ступени с ь 9 невозможен алгоритм, распознающий разрешимость уравнений.
В дальнейшем В.Г. Дурнев изучал вопросы распознавания разрешимости систем уравнений в свободных нильпотентных группах. Использовав метод моделирования систем диофанто-вых уравнений, он доказал (см. [1] ), что для каждой неабе-левой свободной нильпотентной группы невозможен алгоритм, распознающий разрешимость систем уравнений. В.Г. Дурнев также отметил, что из его результата вытекает алгоритмическая неразрешимость VVJB. .В - фрашента позитив
Yt ной теории неабелевой свободной нильпотентной группы. Здесь Ть - достаточно большое натуральное число. Этот результат несколько уточняет теорему Мальцева о неразрешимости элементарной теории свободной нильпотентной группы.
Естественный путь отыскания более простых алгоритмически неразрешимых проблем для конечно-определённых нильпотентных групп состоит в рассмотрении каких-либо специальных классов уравнений в этих группах. Данная работа посвящена изучению проблем распознавания разрешимости уравнений с одной неизвестной в конечно-определённых нильпотентных группах. Работа состоит из двух глав. В первой главе исследуются вопросы распознавания разрешимости уравнений с одной неизвестной в конечно-определённых нильпотентных группах малых ступеней. Вторая глава посвящена изучению проблем распознавания разрешилости уравнений в свободных нильпотентных группах.
Похожие диссертационные работы по специальности «Математическая логика, алгебра и теория чисел», 01.01.06 шифр ВАК
Разрешимость теорий первого порядка матричных алгебр и групп преобразований2000 год, кандидат физико-математических наук Нагребецкая, Юлия Ваплавовна
Строение и теории частично коммутативных и близких к ним алгебр Ли2018 год, кандидат наук Порошенко, Евгений Николаевич
Группы автоморфизмов относительно свободных групп бесконечного ранга2006 год, доктор физико-математических наук Толстых, Владимир Александрович
Проблемы вхождения и сопряденности слов и продгрупп в некоторых классах групп1997 год, доктор физико-математических наук Безверхний, Владимир Николаевич
G-многообразия нильпотентных групп и многообразия степенных групп2001 год, доктор физико-математических наук Амаглобели, Михаил Георгиевич
Обратите внимание, представленные выше научные тексты размещены для ознакомления и получены посредством распознавания оригинальных текстов диссертаций (OCR). В связи с чем, в них могут содержаться ошибки, связанные с несовершенством алгоритмов распознавания. В PDF файлах диссертаций и авторефератов, которые мы доставляем, подобных ошибок нет.