Проблемы исчисления дифференциальных форм на римановых многообразиях тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.01, доктор физико-математических наук Шведов, Игорь Александрович

• Шведов, Игорь Александрович
• доктор физико-математических наук
• 2008

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Шведов, Игорь Александрович

Введение

Краткий обзор глав.

Подробное описание результатов диссертационного исследования.

1 Исчисление дифференциальных форм соболевского типа

1.1 Дифференциальные формы на липшицевом многообразии.

1.1.1 Классы дифференциальных форм в R".

1.1.2 Отображения, сохраняющие классы W*g.

1.1.3 Дифференциальные формы на липшицевом многообразии. Теорема де Рама.

1.1.4 Теория Чженя — Вейля для расслоений над липшицевым многообразием

1.2 Об интегрировании дифференциальных форм классов W*

1.2.1 Основное неравенство.

1.2.2 Интегрирование липшицевых форм.

1.2.3 Интегрирование форм из W*¡q.

1.2.4 О теореме де Рама.

1.3 Интегральное представление интеграла дифференциальной формы.

1.3.1 Необходимые сведения о пространствах W£q.

1.3.2 Интегральное представление.

1.3.3 Интегрирование по некомпактным многообразиям.

1.3.4 Примеры.

2 Изоморфизм де Рама £р-когомологий

2.1 ¿?,-когомологии звездно-ограниченных симплициальных комплексов

2.2 Изоморфизм когомологий Н*(М) и H*(S*(K))

3 I/p-когомологии римановых многообразий

3.1 Lp-когомологии римановых многообразий

3.1.1 Гомологии банаховых комплексов.

3.1.2 Двойственность Пуанкаре

3.1.3 Устранимые особенности.

3.1.4 Lp-когомологии конуса.

3.1.5 Примеры комплексов Г.

3.2 Редуцированные Lp-когомологии искривленных цилиндров.

3.2.1 Оператор гомотопии.

3.2.2 Lp-когомологии пары и точная когомологическая последовательность

3.2.3 Редуцированные когомологии цилиндра и С[ЬХ и пространства Rnf+1.'.

3.3 Lp-когомологии искривленных цилиндров.

3.3.1 Условия Lp-ацикличности.

3.3.2 Весовые Lp-когомологии полуинтервала [а, Ь).

3.3.3 Lp-когомологии цилиндра С[ЬХ.

3.4 Аддиционные формулы для редуцированных Lp-когомологий.

3.4.1 Лемма.

3.4.2 Обозначения.

3.4.3 Точные последовательности.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Проблемы исчисления дифференциальных форм на римановых многообразиях»

Теория дифференциальных форм является одной нз важнейших частей математического языка и аппарата современного естествознания, по существу это — современное интегро-дифференциальное исчисление. Классический векторный анализ был полностью поглощен теорией дифференциальных форм. Использование дифференциальных форм привело к важным результатам в алгебраической топологии. Ярко проявляется значение внешних форм при исследовании оператора Лапласа и теории эллиптических дифференциальных комплексов.

В настоящей диссертации решен ряд задач, возникающих при исследовании Ьр-комплексов де Рама дифференциальных форм на римановых многообразиях. Прежде, чем изложить результаты работы, проиллюстрируем ее актуальность, очень кратко указав связь с результатами других авторов.

В главе 1. получены результаты, которые могут быть интерпретированы, как решение проблемы, поставленной Уитни: построение теории интегрирования Ьр-форм по ¿-мерным поверхностям. В диссертации разработан аппарат обобщенной теории интегрирования в смысле Лебега ¿-форм по компактным ¿-мерным поверхностям, включающей с себя как теорию Уитни [31], так и теорию вложения Соболева (при ¿ = п мы получаем теорию интегрирования Лебега в пространстве К").

Результаты главы 2 обобщают результаты Доджика [41] об изоморфизме де Рама.

Главы 3-4 посвящены Ьр-когомологиям, изучаются возникающие при этом вопросы, связанные с нормальной и компактной разрешимостью оператора внешнего дифференцирования. Вопросами, относящимися к нормальной и компактной разрешимости краевой задачи для уравнения йи = /, занимались, например, Сакс [26], Телеман [59], Берхин [3], Хил сум [49]. Общий подход к серии краевых задач для оператора й позволил получить и интерпретировать результаты Кодаиры [53], Даффа и Спенсера [42], Дезина [12]. Задачи, которыми для р — 2 занимались, в частности Чигер [39], Доджик [40], Мюллер [54], оказались частными случаями задач про Ьр-формы на искривленных цилиндрах (такие цилиндры естественно возникают в качестве концов многообразий). Результаты исследования компактной разрешимости оператора й для ¿-форм обобщают критерий А. Байдера [38] дискретности спектра оператора Лапласа для функций на римановом многообразии.

Результаты главы 5 об аппроксимации дифференциальных форм естественным образом обобщают как результаты Соболева [27] о плотности гладких финитных функций в функциональном пространстве так и результаты Масленниковой и Боговского [19], [20] об аппроксимации соленоидальных векторных полей соленои-дальными финитными векторными полями. В этом же ключе могут быть интерпретированы и результаты Хейвуда [48]. Некоторые результаты можно рассматривать, как обобщения результатов Гаффни [45] и Нигера [39]. Часть результатов близка к результатам О. В. Бесова [5] и Р. Ойнарова (см. [21]).

В главе 6 исследуется одно из важнейших свойств функториальности Ьр-когомо-логий — формула Кюннета. Вариант этой формулы был установлен Цукером в [61] при дополнительных по сравнению с нашими предположениях.

Глава 7 — исследования гомологического характера об абстрактных дифференциальных комплексах. Часть результатов обобщает результаты Киченассами [50].

В главе 8 получены достаточные условия дискретности спектра оператора Лапласа на многообразии с цилиндрическими концами. Для нуль-форм, т.е. для функций соответствующие результаты имеются у Регины Кляйн [51]. Полученные аддицион-ные теоремы для многообразий с дискретным спектром оператора Лапласа можно рассматривать, как принцип расщепления, см. Эйхорн [44].

Краткий обзор глав

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Шведов, Игорь Александрович, 2008 год

1. Агмон С., Дуглис А., Ниренберг Л. Оценки вблизи границы решений эллиптических уравнений в частных производных при общих граничных условиях. М.: Изд-во иностр. лит., 1962.

2. Алексеев В. М., Тихомиров В. М., Фомин С. В. Оптимальное управление. М.: Наука, 1979.

3. Верхин П. Н. Самосопряженная краевая задача для системы *йи + \и = / // Докл. АН СССР. 1975. Т. 222, № 1. С. 15-17.

4. Весов В. В., Ильин В. П., Никольский С. Н. Интегральные представления функций и теоремы вложения. М.: Наука. 1975.

5. Весов О. В. О плотности финитных функций в весовом пространстве С. Л. Соболева // Тр. Мат. ин-та им. В. А. Стеклова АН СССР. 1983. Т. 161. С. 29-47.

6. Бурбаки Н. Дифференцируемые и аналитические многообразия. М.: Мир, 1975. 220 с.

7. Водопьянов С. К., ГольдштейнВ. М. Критерий устранимости множеств для пространств И^, квазиконформных и квазиизометрических отображений // Сиб. мат. журн. 1977. Т. 18, № 1. С. 48-68.

8. Глазман И. М. Прямые методы качественного спектрального анализа сингулярных дифференциальных операторов. М.: Физматгиз, 1963.

9. Годемаи Р. Алгебраическая топология и теория пучков. М.: ИЛ. 1961.

10. Данфорд Н., Шварц Дж. Т. Линейные операторы. М.: Мир, 1966. Т. 2.

11. Де Рам Ш. Дифференцируемые многообразия. М.: ИЛ, 1956.

12. ДезинА. А. Инвариантные дифференциальные операторы и граничные задачи // Тр. мат. ин-та им. В. А. Стеклова АН СССР. 1962. Т. 68. С. 3-88.

13. Зуланке Р., Винтген П. Дифференциальная геометрия и расслоения. М.: Мир, 1975.

14. Картан А. Дифференциальное исчисление. Дифференциальные формы. М.: Мир, 1971.

15. Като Т. Теория возмущения линейных операторов. М.: Мир, 1972.16.^азъяВ. Г. Пространства С. JL Соболева. Л.: Изд-во ЛГУ, 1985.

16. Масленникова В. Н., Боговский M. Е. О плотности финитных соленоидальных I векторных полей // Сиб. мат. жури. 1978. Т. 19, № 5. С. 1092-1108.

17. Масленникова В. Я., Боговский M. Е. Аппроксимация соленоидальных и потенциальных векторных полей в пространствах Соболева и задачи математической физики // Дифференциальные уравнения с частными производными. Новосибирск: Наука, 1986. С. 129-137.

18. Мынбаев К. Т., Отелбаев М. О. Весовые функциональные пространства и спектр дифференциальных операторов. М.: Наука, 1988.I

19. Ремпелъ Ш., Шулъце Б. В. Теория индекса эллиптических задач. М.: Мир, 1986.

20. Решетняк Ю. Г. Пространственные отображения с ограниченным искажением. Новосибирск: Наука, 1982. 282 с.

21. Рид М., Саймон Б. Методы современной математической физики. М.: Мир, 1977. Т. 1.

22. Рудин У. Функциональный анализ. М.: Мир, 1975.

23. Сакс Р. С. Нормальные разрешимые и нётеровы краевые задачи для системы уравнений Максвелла в случае установившихся процессов // Докл. АН СССР. 1983. - Т. 272, № 2. - С. 308-312.

24. Соболев С. Л. Плотность финитных функций в пространстве LpU\En) // Сиб. мат. журн. 1963. Т. 4, № 3. С. 673-682.

25. Степанов В. В. Sur les conditions de l'existence de la différentielle totale // Мат. сб. 1924. T. 30. С. 487-489.

26. Тарханов H. H. Метод параметрикса в теории дифференциальных комплексов. Новосибирск: Наука, 1990.

27. Трибель X. Теория интерполяции, функциональные пространства, дифференциальные операторы. М.: Мир, 1980.

28. Уитни X. Геометрическая теория интегрирования. М.: Изд-во иностр. лит-ры, 1960. 534 с.

29. Федерер Г. Геометрическая теория меры. М.: Наука, 1987.

30. Хёрмандер JI. Анализ линейных дифференциальных операторов с частными производными. Т. 3. Псевдодифференциальные операторы. М.: Мир, 1987.

31. Хирш M. Дифференциальная топология. M.: Мир, 1979.

32. Чженъ Шэн-шэнъ. Комплексные многообразия. М.: ИЛ. 1961.

33. Шварц Л. Комплексные многообразия. Эллиптические уравнения. М.: Мир, 1964.

34. Atiyah M. F. Elliptic operators, discrete groups and von Neumann algebras. Analise et topologie // Astérisque. 1976 .V. 32/33. P. 43-72.

35. В aider A. Noncompact Riemannian manifolds with discrete spectra //J. Differential Geom. 1979. V. 14, № 1. P. 41-58.

36. Cheeger J. On the Hodge theory of Riemannian pseudomanifolds // Proc. Symp. Pure Math. 1980. V. 36. P. 91-146.

37. Dodziuk J. Inharmonic forms on rotationally symmetric Riemannian manifolds // Proc. Amer. Math. Soc. 1979. V. 77, № 3. P. 395-401.

38. Dodziuk J. Sobolev spaces of differential forms and dc Rham — Hodge isomorphism // J. Different. Geom. 1981. V. 16. P. 63-73.

39. Duff G. F., Spencer D. C. Harmonic tensors on Riemannian manifolds with boundary // Ann. Math. 1952. V. 56. P. 118-157.

40. Duff G. F., Spencer D. G. Harmonic tensors on Riemannian manifolds (generalized potential theory) // Ann. Math. 1949. V. 50. P. 587-665.

41. Eichhorn J. Spektraltheorie offener Riemannscher Mannigfaltigkeiten mit einer rotationssymmctrischen Metrik // Math. Nachr. 1983. Bd 144. S. 23-51.

42. Gaffney M. P. A special Stokes's theorem for complete Riemannian manifolds // Ann. Math. 1954. V. 60, № 1. P. 140-145.

43. Gaffney M. P. A special Stokes's theorem for complete Riemannian manifolds // Ann. Math. 1954. V. 60, № 1. P. 140-145.

44. Gaffney M. P. The harmonic operator for exterior differential forms // Proc. Nat. Acad. Sci. 1951. V. 37. P. 48-50.

45. Heywood J. G. On uniqueness questions in the theory of viscous flow // Acta Math. 1976. № 1-2. P. 61-102.

46. Hilsum M. Signature operator on Lipschitz manifolds and unbounded Kasparov bimoduls. Berlin etc.: Springer, 1985. P. 254-288. (Lecture Notes in Math.; 1132).

47. Kichenassamy S. Compactness theorems for differential forms // Comm. Pure Appl. Math. 1989. V. 42, № 1. P. 47-53.

48. ГолъдштейнВ. М., Кузьмипов В. И., Шведов И. А. О нормальной и компактной разрешимости оператора внешнего дифференцирования при однородных краевых условиях // Сиб. мат. журн. 1987. Т. 28, № 4. С. 82-96.

49. Голъдштейн В. М., Кузъминов В. И., Шведов И. А. Редуцированные Ьр-когомо-логии искривленных цилиндров // Сиб. мат. журн. 1990. Т. 31, JY2 5. С. 10-23.

50. Кузъминов В. И., Шведов И. А. О нормальной разрешимости оператора внешнего дифференцирования на искривленном цилиндре // Сиб. мат. журн. 1993. Т. 34, № 1. С. 85-95.

51. Кузъминов В. И., Шведов И. А. О финитной аппроксимации замкнутых дифференциальных форм на римановых многообразиях специального вида // Сиб. мат. журн. 1993. Т. 34, № 3. С. 102-117.

52. Кузъминов В. И., Шведов И. А. О финитной аппроксимации дифференциальных форм в весовых пространствах соболевского типа // Сиб. мат. журн. 1993. Т. 34, № 6. С. 91-112.

53. Кузъминов В. И., Шведов И. А. Аддиционные формулы для редуцированных Lp-когомологий // Сиб. мат. журн. 1994. Т. 35, №2, С. 380-388.