Проблема квантования нелинейных систем с непрерывной симметрией методом континуального интегрирования тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.02, кандидат физико-математических наук Чечелашвили, Георгий Автандилович

• Чечелашвили, Георгий Автандилович
• кандидат физико-математических наук
• 1984

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Чечелашвили, Георгий Автандилович

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА I. ОБЩАЯ ТЕОРЕМА О СОКРАЩЕНИИ НУЛЕВЫХ МОД

§1. Проблема нулевых мод

§2. Метод вычислений. Сокращение вкладов нулевых мод.

ГЛАВА П. ИЛЛЮСТРАЦИЯ МЕТОДА НА КВАНТОВОМЕХАНЙЧЕСКИХ

ПРИМЕРАХ . . <.

ГЛАВА Ш. КВАНТОВЫЕ ПОПРАВКИ К МАССЕ СОЛИТОНА.

ГЛАВА 1У. СРАВНЕНИЕ С МЕТОДОМ КОЛЛЕКТИВНЫХ КООРДИНАТ

ЗАКЛШЕНИЕ.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Проблема квантования нелинейных систем с непрерывной симметрией методом континуального интегрирования»

Квантовая теория поля и ее математический аппарат являются на сегодняшний день наиболее универсальным средством описания самых различных явлений микромира.

Следует отметить, что многие важные результаты квантовой теории поля были получены на основе методов теории возмущений в рамках предположения о малости константы взаимодействия. В то же время в современной квантовой теории поля существует и развивается ряд мощных методов, выходящих за рамки стандартной теории возмущений. К ним относятся, в частности, дисперсионные соотношения, методы ренормализационной группы, методы континуального интегрирования (смотри ^ ) и ряд других.

В течение последнего десятилетия большое внимание уделяется проблеме квантования нелинейных уравнений в теории поля*

При исследовании этих уравнений в различных моделях теории поля в последние годы было найдено множество точных, в том числе топологически нетривиальных классических решений.

Квантование этих решений позволяет вскрыть богатую структуру гильбертова пространства состояний, получить важную информацию о спектре масс и построить квазиклассические (петлевые) разложения, описывающие поведение квантовой системы в окрестности классический решений.

Развитые здесь методы могут рассматриваться как один из возможных путей выхода за рамки теории возмущений.

Высказываются надежды, что солитонные решения, обладающие частицеподобными свойствами, могут служить основой описания сложной внутренней структуры элементарных частиц ^ .

Особое значение эти исследования приобретают на современном этапе развития теории элементарных частиц, характеризующимся значительным прогрессом калибровочных теорий - путь, на котором появилась вогмояность объединения фундаментальных сил природы; слабых, электромагнитных, сильных и, возможно, гравитационных, объединения кварков и лептонов и т.д.

В основе этого пути лежат представления о составной кварковой природе элементарных частиц (Гелл-Манн, Цвейг открытие нового квантового числа кварков - цвета (Боголюбов, Струминский, Тавхелидзе^ и Хан, Намбу^6^) и принцип локальной калибровочной инвариантности (Янг - Миллс) ^^ .

Новое квантовое число - цвет и связанные с ним новые силы описываются неабелевой калибровочной теорией - квантовой хромоди-намикой /8,9/^ с К0Т0р0й связываются надежды на последовательное теоретическое объяснение явления невылетания кварков.

Найденные в ряде работ последнего времени /Ю-15/ точные, топологически нетривиальные солитонные решения уравнений Янга -Миллса в евклидовом пространстве-времени (инстантоны) позволяют учесть важные непертурбативные эффекты квантовой хромодинамики и приводят к новому взгляду на природу законов сохранения зарядовой и пространственной четности в сильных взаимодействиях чение этих решений играет важную роль при исследовании структуры вакуума в теории калибровочных полей^^-^/ ^

Изучение моделей элементарных частиц на основе нелинейных уравнений поля, допускающих нетривиальные (солитонные, инетантон-ные и др.) классические решения, потребовало разработки последовательной схемы квантования подобных решений. Нахождение квантовых поправок к солитонным решениям является, однако, весьма нетривиальной проблемой. Как стандартные методы теории возмущения, так и непосредственное применение методов континуального интегрирования приводят здесь к бессмысленным выражениям ввиду появления инфракрасных расходимостей. Возникшая проблема получила название проблемы нулевых мод.

Заметим, что существо проблемы нулевых мод заключается в наличии вырождения в системе, обусловленного той или иной симметрией задачи, порождаемой группой непрерывных преобразований (например, преобразованиями группы трансляции или лоренцевых вращений), калибровочной группы и т.д.). Именно это обстоятельство приводит к появлению решений с нулевой частотой в уравнениях, определяющих спектр малых вариаций поля в окрестности заданного классического солитонного решения, нарушающего некоторую симметрию задачи. Так же, как голдстоуновские возбуждения в теории со спонтанным нарушением симметрии, эти решения нулевой моды могут стать причиной инфракрасной нестабильности и обусловить неприменимость теории возмущений.

Было предложено несколько различных подходов для решения этой проблемы /30,32,35-47, 74-76,80-97/ .

Голдстоун и Джакив предложили вариационный метод, основанный на формализме эффективного действия и вычислили первую квантовую поправку к массе солитона.

Они же предложили другой, так называемый метод Кермана-Клей-на. В этом подходе >32/ П0СТуЛИруеТся, что 1фоме обычного вакуумного сектора традиционной теории возмущений, существует од-носолитонный сектор в гильбертовом пространстве состояний.

Состояния из этого сектора являются собственными состояниями операторов энергии и полного импульса системы

Р1р> = Р!р> Иlp>= E(p)lp> E(p) = ipz+M2 причем при малых значениях константы взаимодействия ^ солитон оказывается очень тяжелым М ~ -тт- • Солитон абсолютно стаби9 лен, что выражается в тождественном равенстве нулю всех матричных элементов между односолитонным и вакуумным секторами. Для матричных элементов оператора поля между односолитонными состояниями в подходе работы порчен ряд самосогласованных уравнений.

Метод f принципе позволяет вычислить все матричные элементы в виде степенного ряда по константе у последовательными итерациями.

Другой путь преодоления обсуждаемых здесь трудностей опирается на использование метода коллективных координат, обсуждавшегося еще в работах /33,34/ и получившего строгую математическую формулировку в работе Н.Н.Боголюбова и С.В.Тябликова /35»36/ при построении квантовой теории полярона.

Дальнейшее обобщение метод коллективных координат получил в работах /37-39/^ посвященных проблеме сильной связи в квантовой теории поля.

При построении квантовой теории солитонов этот метод был использован в работах ^

В этом подходе параметрам непрерывной группы симметрии сопоставляются динамические переменные (коллективные координаты) , причем канонически сопряженные им импульсы являются интегралами движения. Накладываемые на теорию связи, устраняющие излишние степени свободы, автоматически исключают появление нулевых мод.

Описанная выше процедура введения коллективных координат является точечным каноническим преобразованием в бесконечномерной фазовом пространстве динамических переменных теории.

По существу, метод коллективных координат является методом квантования вблизи классических решений, явно учитывающий свойства инвариантности системы. При этом он одинаково удобен как для группы трансляции, так и для произвольной непрерывной группы Ли. Метод позволяет найти связь квантового поля с односолитонными и двухсолитонными решениями классических уравнений движения и является достаточно общим, что позволяет провести квантование вблизи частицеподобных солитонных решений в моделях с произвольной непрерывной группой симметрии.

Удобным методом при построении квантовой теории нелинейных полей является формализм континуального интегрирования.

Континуальные интегралы, введенные в рамках квантовой механики Фейнманом в 40-х годах позволили рассматривать с единой точки зрения квантовую механику, теорию поля и модели статистической механики.

Начиная с 50-х годов интенсивно изучаются континуальные интегралы, возникшие при рассмотрении функциональных уравнений в квантовой теории поля.

Функциональная формулировка квантовой теории поля рассматривалась в работах Боголюбова /50/f рельфанда и Минлоса ^^ Нехьюза и Салама /52/, Халатникова /59/? Фрадкина

Особенно широкое применение метод континуального интегрирования нашел в квантовой теории калибровочных полей/55~64/ ^

Выдвинутый Фаддеевым и Поповым метод позволяет выделить объем калибровочной группы из континуального интеграла и дает изящный способ перестройки рядов теории возмущений, соответствующих различным условиям фиксации калибровки.

Метод континуальных интегралов нашел целый ряд приложений, в частности, при построении квазиклассического разложения амплитуд и развитии подходов, позволяющих выйти за пределы применимости теории возмущений*

Следует отметить, однако, что в развитии метода континуального интегрирования есть еще ряд нерешенных проблем, связанных с определением меры и классов интегрируемых функций в континуальных интегралах. Следует также отметить проблему вычисления негауссовых интегралов. По существу, умеют вычислять лишь гауссовы или сводящиеся к ним интегралы.

Математические вопросы теории континуальных интегралов изложены в работах /65-73/ ^

В работах /74-76/ ф0рцализм континуального интегрирования был применен к методу коллективных координат, при квантовании двумерных нелинейных полевых моделей. Была введена коллективная координата, соответствующая параметру группы трансляции и характеризующая движение центра массы солитона.

Эквивалентность методов континуального интегрирования и традиционного операторного квантования на формальном уровне была показана Фейнманом еще в работе . Однако, как показали вычисления двухпетлевых поправок к массе солитона методом коллективных координат, эти два способа квантования приводят к различным результатам. Причина этого расхождения заключалась в том, что авторы работ /7^~76/ не учли вкладов так называемых "экстрачленов", возникающих при точечных канонических преобразованиях переменных в континуальных интегралах /77,78,79/ ^ g работе /®Р/ вычислен вклад от "экстрачленов" во вторую поправку к массе солитона, учет которого привел к полному соответствию результатов, с результатами вычислений в операторном формализме, а также в подходе работы /32/ .

Метод, разработанный в работах ^^ и /80/, дал основу для вычислений квантовых поправок к фазовому сдвигу при рассеянии солитонов .

В ряде работ /82"8/+/ Дашен, Хаслахер и Неве применили метод континуального интегрирования для вычисления следа оператора резольвенты G(E)-tr (Н~Е) в квазиклассическом приближении. Энергетический спектр теории дается полюсами этой функции.

При рассмотрении траектории вблизи периодических классических решений удается выделить полюса, когда классическая орбита удовлетворяет некоторым "условиям квантования".

Метод является обобщением квантовомеханического метода ВКБ на системы с бесконечным числом степеней свободы* Он успешно применялся к модели, а также к модели "синус-Гордон", в которой при относительной математической простоте метод выявил богатый спектр состояний.

В работе ^^ высказывалось предположение, что для модели "синус Гордон" вычисления методом ВКБ дают точные результаты.

В работе данный метод применялся к системам, обладающим внетренней симметрией.

Существует иной подход, впервые предложенный Фаддеевым и Корепиным и основанный на прямом петлевом разложении континуальных интегралов, в окрестности солитонных решений, не прибегая к введению коллективных координат. В работе /86/, где на примере однопетлевого и двухпетлевого приближений, в двумерной теории нелинейного скалярного поля, было продемонстрировано, что сингулярности, связанные с решениями нулевых мод, в точности сокращаются и обычная диаграммная техника, с подходящим образом определенной функцией Грина, применима при нахождении квантовых поправок к од-носолитонным решениям. Этот результат был обобщен в работе

- 10 на случай произвольных порадков петлевого разложения. Доказательство сокращений основывалось на операторных тождествах, являющихся следствием трансляционной инвариантности модели. Следует подчеркнуть, что необходимым условием справедливости результатов работ /86,87/ является квадратичная неинтегрируемость решений нулевой моды (соответствующие состояния принадлежат непрерывному спектру), что не позволяет непосредственно применять этот метод в задачах, где функция нулевой моды принадлежит дискретному спектру состояний.

В ряде работ последующих лет /&Q-9I/ делались попытки применить метод "прямого разложения" к континуальным интегралам при конечных временах эволюции, когда спектр квадратичного оператора, описывающего малые флюктуации в окрестности классического решения, является дискретным и, следовательно, применение результатов работ /8^/ и /®7/ необоснован о.

В настоящей диссертации развит общий метод разложения континуальных интегралов в окрестности классических решений, применимый в случае произвольного спектра состояний квадратичной формы, малых флуктуаций. Показано, что при последовательном применении метода, происходит точное сокращение вкладов нулевых мод в произвольных порядках петлевого разложения /93-97/ в

Изложим кратко со дерзание диссертации по главам.

Во введении дан краткий обзор работ по развитию методов квантования систем, допускающих нетривиальные классические решения.

В первой главе предложен и развит общий метод квантования нелинейных систем вблизи классических решений на основе метода континуального интегрирования. Рассмотрение проводится для наиболее общего вида инвариантного функционала действия, включающего произвольные перенормировочные контрчлены.

В §1 выясняются сущность и причины возникновения проблемы нулевых мод при наличии в системе симметрии относительно некоторой непрерывной группы преобразований.

В §2 после применения "анзаца" аналогично "анзацу" Фаддеева--Попова и выделения объема группы симметрии из континуального интеграла, получено конечное выражение для оператора эволюции системы. Показано, каким образом произвол в определении этого выражения связан с произволом в выборе пропагатора, и доказана общая теорема о сокращении вкладов нулевых мод во всех порядках петлевого разложения.

Отметим, что подученная диаграммная техника содержит в себе добавочные вершины, необходимые, для точного сокращения вкладов нулевых мод.

В главе П общий метод иллюстрируется на квантовомеханических примерах, обладающих некоторой непрерывной симметриий, где наглядно прослеживается связь возникновения проблемы нулевых мод со свойствами инвариантности граничных условий в континуальном интеграле. Получены основные формулы для вычисления следа оператора эволюции системы, состоящей из п частиц. На основе этих формул, для случаев свободной частицы, трансляционно инвариантного потшциала и центрально-симметричного потенциала показано, что предложенный метод вычислений приводит к правильным результатам.

В главе Ш на основе общего метода и с учетом точной компенсации вкладов нулевых мод, разработана диаграммная техника для вычисления квантовых поправок к массе солитона: в двумерной скалярной теории с произвольным потенциалом.

Приведена детальная схема перенормировок в вакуумном и одно-солитонном секторах. Вычислена вторая квантовая поправка к массе солит она.

В 1У главе проведено сравнение операторных тождеств, основанных на диаграммных правилах работы и применяемых для доказательства компенсации вкладов нулевых мод, с аналогичными (соответствующими) тождествами, полученными в данной диссертации.

С целью сравнения метода с методом коллективных координат, на примере задачи 3 главы П показано, что вклад от нестандартного "экстрачлена" в двухпетлевую поправку к основному уровню энергии, возникшего из-за нелинейности преобразования переменных в континуальном интеграле, в точности совпадает с вкладом из соответствующей нулевым модам части пропагатора в нашем подходе. Вследствие этого происходит полное совпадение результатов вычислений в обоих подходах.

В заключение приведено детальное сравнение полученных в главе Ш результатов для двухпетлевой поправки к массе солитона с результатами работы где вычисления проводились методом коллективных координат в модели "синус-Гордон". Показано полное совпадение результатов.

В заключении кратко перечислены основные результаты,полученные в диссертации.

В Приложении I общая теорема о сокращении нулевых мод доказана на основе операторных тождеств, полученных вследствие свойств инвариантности теории.

В Приложении 2 непосредственным вычислением гауссовых континуальных интегралов показано, что при вычислении следа оператора эволюции нужно пользоваться функциями Грина, удовлетворяющими периодическим граничным условиям. Доказательство проводится как для нормальных, так и для нулевых мод.

В Приложении 3 на примере двухпетлевого приближения с учетом перенормировочных контрчленов продемонстрировано точное сокращение вкладов нулевых мод.

ГМВА I

ОБЩАЯ ТЕОРЕМА О СОКРАЩЕНИИ НУЛЕВЫХ МОД

Заключение диссертации по теме «Теоретическая физика», Чечелашвили, Георгий Автандилович

Основные результаты, полученные в диссертации, опубликованы в работах /93,94,96,97/ ^

Б заключение автор выражает глубокую благодарность А.Н.Тавхелидзе и В.А.Матвееву за постановку задачи, руководство работой и постоянное внимание.

Автор искренне благодарен Г.П.Джорджадзе, М.А.Элиашвили, А.Н.Квинихидзе, В.Ш.Гогохия, А.В.Шургая, Б.А.Маградзе, В.Р.Гар-севанишвили и другим сотрудникам Отдела теоретической физики МИ АН Грузинской ССР за многочисленные обсуждения и полезные советы, а также дирекции и руководству института за всестороннюю поддержку в период работы над диссертацией.

Автор благодарит своего соавтора С.И.Златева за плодотворное сотрудничество.

В течение нескольких лет автор имел возможность научного общения с сотрудниками Отдела теоретической физики ИЛИ АН СССР. Автор выражает благодарность Н.В.Красникову, В.А.Рубакову, А. .Катаеву и другим сотрудникам отдела за полезные обсуждения.

Автор считает своим долгом поблагодарить Т.И.Копалейшвили, А.А.Хелашвили, Л.А.Слепченко, Ш.Й.Вашакидзе и других сотрудников ИФВЭ ТГУ за постоянный интерес к работе.

Автор благодарит участников семинаров в ЛТФ ОИЯИ за участие и плодотворные обсуждения.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Приведем основные результаты, подученные в диссертации.

Предложен и развит последовательный метод квантования нелинейных систем в рамках формализма континуального интегрирования, для теории с произвольным функционалом действия, инвариантным при преобразованиях по некоторой непрерывной группе симметрии. Показано, что причиной возникновения расходимостей, связанных с нулевыми модами, при разложении континуальных интегралов вблизи решений, нетривиально зависящих от группового параметра, является инвариантность как функционала действия, так и функционала, фиксирующего граничные условия в континуальном интеграле.

Путем выделения группового объема применением "анзаца", аналогичного "анзацу" Фаддеева - Попова,получено конечно выражение для континуальных интегралов, описывающих эволюцию системы. Показано, каким образом неопределенность в этом выражении, связанная с произвольным параметром, содержащемся в "анзаце", отражается в произволе выбора пропагатора в соответствующей диаграммной технике.

С учетом этого соответствия, основываясь на свойствах инвариантности континуальных интегралов, доказано точное сокращение вкладов нулевых мод, связанных с произволом в выборе пропагатора, во всех порядках петлевого разложения.

Доказательство сохраняет свою силу и в том случае, если к функционалу действия добавлены перенормировочные контрчлены, обладающие теми же свойствами инвариантности, что и исходное действие.

Таким образом, при разложении континуальных интегралов вблизи классических нетривиальных решений, для них получено конечное и однозначно определенное выражение.

Общий метод вычислений иллюстрируется на квантово-механиче-ских примерах. Показано, что вычисления этим методом приводят в квантовой механике к правильным результатам.

На основе общего метода порчена диаграммная техника для вычисления квантовых поправок к массе солитона в двумерной скалярной теории с произвольным потенциалом.

Приведена детальная схема перенормировок в вакуумном и одно-солитонном секторах.

На основе подученной диаграммной техники вычислена вторая квантовая поправка к массе солитона и показано полное соответствие результата с результатом вычислений этой же поправки методом коллективных координат.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Чечелашвили, Георгий Автандилович, 1984 год

1. Боголюбов Н.Н., Ширков Д.В., Введение в теорию квантованных полей, изд.3-е, М., Наука, 1976.

2. Skyrme Т.Н. A unified field theory of mesons and haryons. Nucl. Phys., 1962, v.31, N 4, p.556. Gell-Mann M., Schematic model of baryons and mesons, Phys. Lett., 1964, v. 8, p.214.

3. Zweig G., cERN preprints TH-4O1, 412, Geneva, 1964.

4. Боголюбов H.H., Струминский Б.В., Тавхелидзе A.H.

5. К вопросу о составных моделях в теории элементарных частиц, ОИЯИ, Д-1968, Дубна, 1965.

6. Han МЛ., Nambu Y. Three-triplet model with double symmetry, Phys.Rev., 1965, v.EL39, р.Ю38.7. ^ang C.N., Mills R.L., Conservation of isotopic spinand isotopioal gauge invariance, Phys.Rev., 1954* v.96, p.191.

7. Fritzoh H., Gell-Mann M., Leutwyler H., Advantages of the colour octet gluon picture, Phys.Lett., 1973, v.B47, p.365»

8. Gross D., Wilozek P., Ultraviolet behaviour of nonabelian gauge theories, Phys.Rev., 1973, v.D8, p.3633.

9. Jakiw R., Rebbi С. Conformal properties of a Yang-Mills pseudopartiole.-Phys.Rev. , 1976, v.D14, p.517.

10. Jakiw R., Nohl C., Rebbi C. Conformal properties of pseudo-particle configurations, Phys.Rev., 1977, v.D15, p.1642.

11. Witten E. Some exact multipseudopartiole solutions of classical Yang-Mills theory» Phys.Lett., 1977» v.38,p.l21.

12. Corrigan F., Fairlie D. Scalar field theory and exact solutions to a classical SU(2) gauge theory. Phys.Lett., B67, p.69.

13. Красников H.B., Матвеев В.А., Тавхелвдзе A.H. Проблема CP-инвариантности в квантовой хромодинамике. Элемен.част. атом.ядро., 1980, т.12, вып.2, с.100.17» Hooft G. Symmetry breaking through Bell-Jaokiw anomalies. Phys.Rev.Lett., 1976, v.37, ^ 1> p.8.

14. Jackiw R., Rebbi C. Vacuum peridicity in Yang-Mills quantum theory. Phys.Rev.Lett., 1976, v.37, N 3, p.172.

15. Callan C.G., Dashen R.F., Gross D.J. structure of the gauge theory vacuum. ^hys.bett., 1976, ser.B, v.63B,1. N 3, p.334.2°. Callan C»G., Dashen R.F., Gross Pseudoparticlesand massless fermions in two dimensions. Fhys.Rev., 1977, v. D16, p.2526.

16. Raby S., Ukawa A. Instantons in (l+l)-dimensional Abellan gauge theories. Phys.Rev., 1978, v.D18, p.1154.

17. Krasnikov N.V., Rubakov v.A., Tokarev V.F. On fermion number violation in the presence of instantons. Ehys. Lett., 1978, ser.B, v.19B, N4-5, p.423.

18. Krasnikov N.V., Matveev V.A., Rubakov V.A., Tavkhelidz e A.N., Tokarev V.F. Double-theta vacuum structure and the functional integral in the Schwinger model. Phys. Lett., 1980, ser.B, vol.97B, N1, p.103.

19. Красников H.B., Матвеев B.A., Рубаков B.A., Тавхелидзе А.Н., Токарев В.Ф. Структура основного состояния в двумерной безмассовой квантовой электродинамике. Теор. и мат.физ., 1980, т.45, №3, с.313.

20. Ильгенфриц Э.М., Казаков Д.И., Мюллер-Пройскер М.,

21. Существует ли фазовый переход в Янг-Миллсовском инстантонном газе? Ядерная физика, 1980, т.31, вып.с.1107.3°. Goldstone J., Jaokiw R. Quantization of nonlinear waves. -Phys.Bev., 1975, v.Dll, p.1486.

22. Cornwall Jackiw R., Tomhoulis • Effective action for oomposite operators. Phye.^ev., 1974, v.DlO, p.2428.

23. Jaokiw R. Quantum meaning of classical field theory.-^ev. Mod.Phys., 1977, v.49, N 3, p.681.

24. Wentzel G. Zum Problem des statischen Mesonfeldes. Belv. Phys.Aota, 1940, v.13, p.269*

25. Pauli W., Dankoff S.M. Pseudoscalar Meson field with strong coupling. Phys.Rev., 1942, v.62, p.85.

26. Боголюбов H.H., Тябликов С.В. ЖЭТФ, т.19, с.256, 1949.

27. Боголюбов Н.Н. Об одной новой форме адиабатическойтеории возмущений в задаче о взаимодействии частицы с квантовым полем. В кн.: Боголюбов Н.Н. Избранные труды. "Наукова думка", 1970, т.2, с.499.

28. Солодовникова Е.П., Тавхелидзе А.Н., Хрусталев О.А. Осцилляторные уровни частицы как следствие сильного взаимодействия с полем. ТМФ, 1972, т.10, с.162.

29. Разумов А.В., Таранов А.Ю. Рассеяние на нерелятивистской частице в теории сильной связи. TI®, 1978, т.35, с.312.

30. Шургая А.В. Нерелятивистская модель взаимодействия скалярной частицы с квантовым полем. ТМФ, 1978, т.34,с.267.

31. Christ N.H., Lee T.D, Quantum expansion of soliton solutions. Phys.Rev. , 1975, v.D12, p.1606.

32. Tomhoulis T. Canonical quantization of nonlinear waves. Phys.Rev., 1975, v.D12, p.1678.

33. Creutz M. Quantum mechanics of extended object in relativistic field theory. Phys.Rev., 1975, v.Dl2,p.3126.

34. Jakohs L. Quantum corrections to nonlinear wave solutlons.-Phys.Rev., 1976, v.D13, p.2278.

35. Hosoya A., Klkkawa K. Quantum theory of collective motions and ад application to theoiy of extended hadrons.-Nuol. Phys., 1975, v.lOlB, p.271.

36. Peynman R.P. Space-time approach to nonrelativistic quantum mechanics. Rev.Mod.Phys., 1948, v.20, p.367.

37. Schwinger J. Quantum electrodynamics. I. A covariant formulation. Phys.Rev., 1948, v.74, p.1439. II. Vacuum polarisation and self-energy. - Phys.Rev., 1949, v.75, p.651.

38. Боголюбов H.H. О представлении функции Грина-Швингера при помощи функциональных интегралов Докл. АН СССР, 1954, т.99, с.225.

39. Гельфанд И.М., Минлос Р.А. Решение уравнений квантовых полей. Докл.АН СССР, 1954, т.97, с.209.

40. Matthews P. Т., Salam A. !Ehe Green's functions of quantized fields.- Nuovo Cimento, 1954, v.12, p.563*

41. Халатников Й.М. Представление функции Грина в квантовой электродинамике в форме континуальных интегралов. Журн.эксперим. и теор.физики, 1955, т.28, с.633.

42. Фрадкин E.G. Метод функции Грина в теории квантовых полей и в квантовой статистике.

43. De—Witt B.S. Quantum theory of gravity. — Phys.Rev., 1967, v.160, p.1113.5g Faddeev b.D., Popov V.N. Feynman diagrams for Yang-Mills field. Phys.Lett., 1967, v.25B, p.30.

44. Попов B.H., Фаддеев Л.Д. Теория возмущений для калибровочно-инваршнтных полей. Препринт Ин-та теор.физ. АН УССР,1. Киев, 1967.

45. Mandelstam S. Feynraan rules for electromagnetic and Yang-Mills fields from the gauge-independent field theoretic formalism. Phys.Rev., 1968, v.175, p.1580.

46. Fradkin E.S., OJyutin 1.7. S-miatrix for Yang-Mills and gravitational fields. Phys.Lett. B, 1969, v.3&, p.562.

47. Hooft Renormalization of massless Yang-Mills fields. Nuol. Pfrys. B, 1971, v.33, p. 173.

48. Weinberg S. A model of leptons# Phys.Rev.Lett., 1967, v.19, p.1264*

49. Lee B.W. Renormalizahle massive vector-meson theory. Perturbation theory of the HLggs phenomenon. Phys.Bev., 1972, v.5, p.823.

50. Фаддеев Л.Д. Калибровочно-инвариантная модель электромагнитного и слабого взаимодействия лептонов. Препринт Ленинград. отд.Матем.ин-та АН GCCP, 1972.

51. АЪегз E.S., Lee B.W., Gauge theories. Phys.Rep.,1973, v.C9, p.l.

52. Гельфанд И.М., Яглом A.M. Интегрирование в функциональныхпространствах и его применение в квантовой физике.- Успехи мат.наук, 1956, т.II, вып.1, с.77.

53. Ковальчик й.М. Интеграл Винера. Успехи мат.наук, 1963, т.18, вып.1, с,97.

54. Березин Ф.А. Континуальный интеграл по траекториям в фазоjвом пространстве. Успехи физ.наук, 1980, т.132, №3,с.497.

55. Кац М. Вероятность и смежные вопросы в физике. Пер. с англ. М.,МИР, 1965.

56. Березин Ф.А. Метод вторичного квантования. М.,Наука, 1965.

57. Березин Ф.А. Невинеровские континуальные интегралы. -Теор. и мат.физика, 1971, т.6, с.194.

58. Далецкий Ю.Л, Континуальные интегралы, связанные с операторными аволюционными уравнениями. Успехи мат.наук, 1962,т.17, вып.5, с.З.

59. Евграфов М.А. Об одной формуле для представления фундаментального решения дифференциального уравнения континуальным интегралом. Докл. АН СССР, 1970, т.191, с.979.

60. Gervais J.b., Jevioki A., Sg&ita B. Extended systems in the field theory. Phys.Rep., 1976, v.23C, p.281.

61. Callan C.G., Gross D.J. Quantum perturbation theory of oolitons. Nuol. Phys., 1975, v.393, p.29.

62. De Witt B. Dynamical theory in Curved spaoes» A review of the classical and quantum aotion principles.- Rev.Mod.Phys., 1957, v.29, p.377.

63. McLaughlin De, Schulman L. Path integrals in ourved spaces. - J.Math.Phys., 1971, v.12, p.2520.

64. Прохоров JI.B. Гамильтоновы континуальные интегралы. ЭЧАЯ, 1982, т.13, вып.5, с.1094.80» Gervais J.L., Jevioki A. Point canonical transformations in the path integral. Nuol. Phys., 1976, v.BllO, p.93.

65. Gervais J.b., Jevicki A. Quantum scattering of solitons.- Nuol. Phys., 1976, v.BllO, p.113.

66. Dashen R.F., Hasslaoher В., Neveu A, Nonperturhative methods and extended-hadron models in field theory.

67. Senlclassical functional methods.1..iPwo-dimensional models and extended hadrons.- Phys.Rev., 1974, v.DlO, N 12, p.4114, p.4130#

68. Dashen R.P., Hasslaoher В., Neveu A. Particle speotrum in model field theories from semiclassical functional integral techniques. Phys.Rev., 1975, v.Dll, N 12, p.3424.

69. Neveu A. Quantization of non-linear systems. Rep.Prog. Phys., 1977, v.40, p.709.

70. Radaraman R., Weinberg E.J. Internal symmetry and the semiolassical method in quantum field theory. Phys.Rev., 1975, v.Dll, p.2950.

71. Faddeev L.D., Korepin V.E. About the zero mode problem in the quantization of solitons. Phys.Lett., 1976, 63B, p.435.87* Matveev V.A. Cancellation of the zero-mode singulaties-in soliton quantization theory. Nucl. Phys., 1977, EL21, p*403.

72. Ablot L.F. Calculating quantum corrections to the mass of a soliton without collective coordinates. Nucl. Phys., 1978, EL 39, p.159.

73. Jevicki A. Treatment of zero-frequenoy modes in perturbation expansion about classical field configurations. Nucl. Phys., 1976, EL17, p.365.9°. Faddeev L.D., Korepin V.E. Quantum theory of solitons. Phys.Rep., 1978, 4-2C, N1, £.1.

74. Giorotti H.O, Manifestly oovariant approach for the one-soliton sector. Phys.Rev., 1978, v.D17, p.3273.

75. De Vega H.J. Two-loop quantum corrections to the soliton mass in two-dimensional soalar field theories. Nucl. Phys., 1976, EL15, p.411.

76. Златев С.И., Матвеев В.А., Чечелашвили Г.А. Проблема компенсации нулевых мод в квантовой теории солитона. Сообщение ОИЯИ Р2-80-504. Дубна, ОИЯИ, 1980.

77. Златев С.И., Матвеев В.А., Чечелашвили Г.А. Компенсация нулевых мод и коллективные координаты в задаче о квантовых поправках к массе солитона.

78. Сообщение ОИЯИ Р2-80-505, Дубна: ОИЯИ, 1980.

79. Златев С.И., Матвеев В.А., Чечелашвили Г.А. Проблема нулевых мод в квантовой теории солитонов. Теор. и мат.физ., 1982, т.50, с.323.

80. Чечелашвили Г.А. Квантование нелинейных систем и проблема нулевых мод. Сообщение АН ГССР, 1984, т.ИЗ, Ш, с. 65-68.

81. Чечелашвили Г.А. Сокращение нулевых мод на основе опера торных тождеств. Сообщение АН ГССР, 1984, т.ИЗ, №2,