Принятие решений на основе замкнутой информации об отношении предпочтения ЛПР тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.01, кандидат наук Захаров, Алексей Олегович

• Захаров, Алексей Олегович
• кандидат наук
• 2013

Оглавление диссертации кандидат наук Захаров, Алексей Олегович

Оглавление

Введение

1 Основные положения аксиоматического подхода

2 Информация замкнутого типа. Критерии

2.1 Определение

2.2 Непротиворечивость

2.3 Учет замкнутой информации

2.4 Прикладной пример

3 Информация замкнутого типа. Группы критериев

3.1 Определение и критерий непротиворечивости

3.2 Учет замкнутой информации

3.2.1 Случай 1

3.2.2 Случай 2

4 Нечеткая информация замкнутого типа. Критерии

4.1 Основные понятия нечетких множеств и нечетких отношений

4.2 Задача «нечеткого» многокритериального

выбора

4.3 Понятие нечеткой замкнутой информации и ее непротиворечивость

4.4 Учет нечеткой замкнутой информации. Случай трех критериев

4.5 Учет нечеткой замкнутой информации.

Случай к критериев

5 Нечеткая информация замкнутого типа. Группы критериев

5.1 Определение и критерий непротиворечивости

5.2 Учет нечеткой замкнутой информации

6 Учет замкнутой информации в одной экономической задаче 105 Заключение 112 Литература

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Принятие решений на основе замкнутой информации об отношении предпочтения ЛПР»

Введение

Задачи принятия решений являются неотъемлемой частью нашей повседневной жизни: будь то простая покупка товара в магазине, или выбор университета. Инженер на предприятии, служащий в банке, заведующий лабораторией в научном институте, директор инвестиционного фонда, премьер-министр — список профессий, где люди сталкиваются с проблемами выбора различной сложности, можно продолжать до бесконечности. И любой такой выбор многокритериален по свой природе (т. е. рассматривается многоаспектно) в силу многогранности человеческих желаний, стремлений в достижении своих целей, а значит, сложен, непредсказуем и является в некоторых случаях даже своего рода искусством.

Проблемы принятия решений лежат на стыке нескольких наук (математика, экономика, психология и т. д.), каждая из которых рассматривает их со своей стороны. Один из разделов психологии — когнитивная психология — занимается выявлением структуры переработки информации человеком, механизмов «работы» мозга при принятии решений. Выработаны стратегии поведения человека при многокритериальном выборе [16, 17, 19]: компенсации и исключения. Первые основаны на сравнении оценок каждой альтернативы, во вторых происходит удаление альтернатив, не удовлетворяющих определенным требованиям по одному или нескольким критериям. Были сформированы психологические теории многокритериального выбора: теория поиска доминантной структуры (Н. Montgomery, О. Svenson), теория конструирования стратегий (J.

W. Payne). В первой из них ЛПР, охватывая все альтернативы, по первому впечатлению выделяет доминирующую и попарно сравнивает ее с остальными. Если некоторая альтернатива будет превосходить данную, то тогда она будет являться претендентом на доминирующую, в противном случае доминантную структуру составит исходная выбранная альтернатива. Согласно второй теории в процессе принятия решений используется не одна, а несколько стратегий: сначала человек может определенным образом сопоставить оценки альтернатив между собой, затем исключить из рассмотрения альтернативы, неприемлемые по некоторым критериям, и т. д. Данные теории нашли свое подтверждение при проведении различных схем психологических экспериментов [19].

Работа посвящена разработкам новых подходов и решений задачи многокритериального выбора. Изложение начнем с понятия задачи многокритериальной оптимизации, которая характеризуется следующими объектами: непустое множество возможных решений (альтернатив, вариантов) X и числовой векторный критерий /, заданный на X и отражающий стремления, намерения, цели и вкусы лица, принимающего решение (ЛПР). В качестве первого объекта могут выступать: ассортимент товаров в магазине, экономические планы развития предприятия, объекты инвестирования, политические стратегии; в качестве второго — стоимость и качество покупки; прибыль, затраты и экологический ущерб предприятия и т. д. Как правило, достижение определенной цели выражается в максимизации или минимизации компонентов векторного критерия на множестве возможных решений. Однако в реальных задачах достижение экстремальных значений одновременно по всем критериям в одной точке практически невозможно. Данный факт является существенным отличием от одно-критериальной экстремальной задачи. Поэтому использование привычного понятия максимума числовой функции не представляется допустимым. Впервые понятие оптимума для двух критериев (кривая безразличия) ввел английский экономист F. Y. Edgeworth [46], позднее данное определение обобщил итальянский социолог и экономист V. Pareto на случай произвольного числа крите-

риев [57]. Впоследствии оно получило название «множество Парето»1) (почему здесь фигурирует слово множество, станет ясно из дальнейшего изложения). Его суть заключается в следующем: некоторая точка из множества возможных решений X называется парето-оптимальной (оптимальной по Парето), если не существует другой такой точки из X, имеющей оценки по всем критериям не хуже, чем у данной точки, причем хотя бы по одному критерию — лучше. В экономике существует понятие парето-оптимального состояния экономической системы, где в качестве возможных решений выступают субъекты этой системы, а критериями являются блага каждого из участников системы.

В результате множество Парето является обобщением точки экстремума на многокритериальный случай и, таким образом, решением задачи многокритериальной оптимизации. Причем такой оптимум представляет собой именно целое множество, а не одну единственную точку. Более того, как правило, при решении реальных задач построенное множество Парето получается довольно широким.

Выделяют [19, 39, 48, 59] основные типы многокритериальных задач принятия решений: задача выбора, задача ранжирования (упорядочивания), задача классификации. Первой из них посвящена данная работа, вторая заключается в упорядочивании имеющихся альтернатив от худшей к лучшей в силу предпочтений ЛПР (назначение ранга каждой альтернативе), под третьей понимается задача отнесения каждой альтернативы к конкретному классу, обладающему определенными свойствами (например, распределение товаров по трем группам — высокого качества, среднего и низкого).

Также существует теория группового многокритериального выбора, где рассматривается целая группа ЛПР, каждый член которой имеет собственные предпочтения и критериальные оценки альтернатив. Здесь разработаны различные методологии (А. Б. Петровский, Т. L. Saaty и J. М. Alexander, С. L. Hwang и С. Yoon) по агрегированию коллективных предпочтений и нахожде-

^В некоторой литературе используется терминология «множество Эждворта — Парето»

нию «наилучшей» альтернативы или составлению результирующего упорядочивания альтернатив [39].

Опишем объекты, составляющие процесс многокритериального выбора, каким и будем рассматривать его в дальнейшем. Первые два — из задачи многокритериальной оптимизации — множество возможных вариантов, альтернатив, решений и векторный критерий, которые несут такую же смысловую нагрузку. Кроме того, чтобы выбор в принципе имел место, предполагается наличие хотя бы двух вариантов. Каждая компонента векторного критерия есть числовая функция, заданная на множестве возможных решений, которая также может иметь название показателя эффективности, целевой функции в зависимости от конкретной задачи. В качестве третьего объекта выступает некоторый инструмент ЛПР, позволяющий выявить дополнительную информацию о вкусах и предпочтениях, что в итоге сможет привести к окончательно выбранному варианту, поскольку, имея в распоряжении только первые два объекта, это, как правило, сделать невозможно. Данное обстоятельство отличает задачу выбора от задачи оптимизации. Здесь необходимо выбрать конкретные варианты из множества «оптимумов» (множества Парето), удовлетворяющие ЛПР. В каждом методе роль такого инструмента играют функция полезности, бинарное отношение, некоторое итеративное правило, диалог.

Под множеством выбираемых решений (вариантов) понимают множество, которое в наиболее полной мере удовлетворяет всем вкусам, целям и предпочтениям ЛПР. Смысл выражения «в наиболее полной мере» на самом деле зависит от конкретного ЛПР и несет в себе субъективный характер, поэтому трудно формализуем в одно общее объективное понятие. Во многих методах по принятию решений руководствуются принципом Эджворта — Парето (или принципом Парето), согласно которому выбор необходимо делать из множества Парето. Однако, как правило, не приводится четких обоснований данного утверждения, не очерчивается класс задач, к которому оно может быть применено, по умолчанию ему приписывается универсальный, всеобщий характер.

В тоже время можно найти примеры отдельных методов, где окончательные выбранные решения окажутся за пределами множества Парето.

Впервые аксиоматическое обоснование принципа Эждворта — Парето было приведено в статье [29] и монографии [34] В. Д. Ногина, где показано для какого класса задач возможно его применение. Предложенная аксиоматика представляет собой модель рационального поведения ЛПР. Более того, при нарушении хотя бы одной из этих аксиом применение принципа Эджворта — Парето является рискованным и недопустимым [29, 32], что как раз упускают из виду не только большинство авторов методологий по принятию решений при многих критериях, но и множество экономистов.

Разработано множество подходов по решению многокритериальных задач выбора (а также ранжирования и классификации) [10, 19, 23, 24, 34, 36, 39, 45, 47, 48, 53, 59, 60, 61, 63]. Их можно выделить в следующие группы: методы многокритериальной теории полезности (Multiattribute Utility Theory) [10,19, 23, 39, 48]; так называемые «outranking approach»1) [19, 23, 39, 48, 49, 58, 59, 63]; методы вербального анализа решений [15, 17, 18, 19, 39, 48]; различные итеративные процедуры [19, 23, 39, 45, 48]; аксиоматический подход сужения множества Парето [1—9, 11, 12, 27—38, 55, 56] (исследования в настоящей работе проводятся в рамках данного метода).

Теория полезности основана на теории экономического поведения J. von Neumann и О. Morgenstern [26] и является по сути теоретико-игровым подходом к принятию решений. В качестве ключевого понятия здесь фигурирует лотерея, которую составляют альтернативы со своими вероятностями наступления. Постулируется ряд аксиом, при выполнении которых существует аддитивная функция полезности, заданная на множестве альтернатив (теорема Неймана — Моргенштерна). Таким образом, каждой альтернативе ставится в соответствие

Единый перевод понятия «outranking approach» в русской литературе так и не прижился. Каждый автор предлагает свой вариант: у Петровского — пороговый метод [39], у Ларичева — подход, направленный на разработку индексов парного сравнения альтернатив (РИПСА) [18], у Лотова — метод классификации альтернатив [23], у Ногина — метод с «искусственным» отношением предпочтения [36].

числовое значение, отражающее степень полезности (от 0 до 1) данной альтернативы. Чем выше полезность варианта, тем предпочтительнее он считается. На основании этого можно проранжировать все альтернативы (исходя из значений функции полезности) или выбрать наилучшую, которой соответствует максимальная полезность.

На многокритериальный случай теорию полезности обобщили И,. Ь. Кеепеу, Н. 11а1А:а, Р. С. Р1зЫшгп [10], где функция полезности строится для каждого критерия, а потом все они агрегируются в одну общую функцию полезности. Аксиоматика одномерного случая дополняется аксиомами независимости по полезности и по предпочтению, при выполнении которых утверждается [10] существование многомерной функции полезности, заданной на множестве альтернатив и имеющей в зависимости от ряда факторов либо аддитивную, либо мультипликативную форму. И уже на ее основании делается окончательный выбор (или ранжирование) по аналогии с одномерным случаем.

Однако данные методы имеют ряд недостатков. Во-первых, возникают большие трудности с построением функции полезности для каждого критерия, поскольку такая процедура связана со сравнением лотерей и отдельных альтернатив. К примеру, ЛПР может быть задан такой вопрос: определить эквивалент (гипотетическую альтернативу с конкретной прибылью) лотерее, имеющей с вероятностью 0,6 исход с прибылью в 100 тыс. р. и с вероятностью 0,4 исход с прибылью в 200 тыс. р. Такого рода действия очень сложны для человека. Во-вторых, вид функции полезности справедлив при выполнении всех аксиом. Однако, как правило, данная проверка выполняется лишь частично.

К многокритериальной теории полезности также можно отнести метод анализа иерархий [44] (МАИ), разработанный Т. Ь. 8аа1у. Здесь в качестве функции полезности используется линейная свертка компонент векторного критерия, коэффициенты которой суть «веса» каждого критерия. Наилучшим признается тот вариант, который максимизирует свертку. Подразумевается, что «вес» отражает важность соответствующего критерия, однако четкого опре-

деления не дается. Ключевым моментом является построение матриц парных сравнений альтернатив и компонент векторного критерия. На их основе вычисляются «вес» каждого критерия и оценка альтернативы по каждому критерию. Это самый простой вариант метода, в общем случае строится иерархическая структура (дерево), каждый уровень которой есть подцели ЛПР, вершиной дерева является общая агрегированная цель.

Максимизация линейной сверки на самом деле является только достаточным условием парето-оптимальности. Необходимое условие справедливо, когда множество возможных решений выпукло, а векторный критерий покомпонентно вогнут (лемма Карлина, см. [43]). В данном случае множество альтернатив конечно (т. е. не выпукло), значит при максимизации линейной свертки (даже используя все допустимые значения «весов») могут быть упущены некоторые парето-оптимальные решения. Кроме того, в методе существует определенная эвристика по определению согласованности суждений в виде индекса согласованности. В [31] предложена модификация МАИ, где проблема несогласованности решается без использования данного индекса. И, как было уже сказано, этот подход используется только для задач с конечным множеством возможных альтернатив.

Группой французских математиков во главе с В. Roy было заложено другое направление в принятии решений при многих критериях, методы в рамках которого в иностранной литературе именуют «outranking approach» (дословно «подход внешнего ранжирования»). Первым здесь является ELECTRE [49, 58, 59], разработанный В. Roy в 1968 году. Высказывается разумное предположение, что одна альтернатива может доминировать другую или быть ей эквивалентной в рамках некоторых пороговых значений. Например, варианты А и В считаются эквивалентными по данному критерию, если разность их критериальных оценок не превосходит некоторого значения (порог безразличия), которое, вообще говоря, для каждого критерия свое. Для каждой пары альтернатив А и В рассчитываются индексы согласия с(Д В) и разногласия

d(A,B), которые отражают степень (от 0 до 1) доминирования и недоминирования первой альтернативы над второй. Моделируется отношение предпочтения «одна альтернатива по крайней мере такая же хорошая, как другая» (outranking relation), которое справедливо для А и В, если значения индексов согласия и разногласия не меньше и не больше соответственно своих предельных значений: уровня согласия с\ и уровня разногласия d\, задаваемых ЛПР (с(А, В) ^ ci, d(A, В) ^ d\). Таким образом, использование данных индексов отражает принципы согласия (concordance) и несущественного разногласия (non-discordance). Уменьшая значение С\ и увеличивая значение d\, можно построить сужающуюся последовательность ядер данного отношения, которая будет задавать ранжирование вариантов. В случае задачи выбора «оптимальным» решением может являться наименьшее из них. Необходимо отметить, что ядро построенного бинарного отношения может включать доминируемые варианты [23], которые, по идее, не должны входить в окончательный выбор.

У методов типа «outranking approach» отсутствует аксиоматическая обоснованность в отличии от теории полезности. Кроме того, необходимо вычислять

I

индексы согласия и разногласия для каждой пары альтернатив, при большом количестве которых данная процедура становится довольно трудоемкой. Также в расчетах участвуют так называемые «веса» критериев, которым не дано четкого определения (трактуются как вклад данного критерия в общую цель). Кроме того, «outranking relation» не обязательно является транзитивным, что ведет к появлению циклов на графе предпочтений (вершины — альтернативы, направленные ребра — отношения доминирования). Данная ситуация может рассматриваться как противоречивость суждений ЛПР.

С другой стороны, в методах типа «outranking approach» ЛПР принимает активное участие и имеет возможность корректировать свои предпочтения за счет выбора уровней согласия и разногласия при построении последовательности ядер. Таким образом, модель предпочтений не задается a priori, как в методах MAUT, а строится согласно имеющемуся набору альтернатив и может

варьироваться в ходе решения задачи. Данное обстоятельство приближает их к итеративным методам.

В вышеописанных методологиях значения критериев в большинстве случаев измеряются в количественных шкалах. О. И. Ларичевым было предложено другое направление в теории принятия решений при многих критериях, где суждения носят качественный характер, что приближает модель предпочтений к естественному языку мышления человека [15—19]. Особенно стоит отметить, что в гуманитарных науках большую роль как раз играют качественные характеристики, а процесс принятия решений непосредственно связан с человеческим поведением. Так родилась целая теория — вербальный анализ решений, а первым в ее рамках является метод ЗАПРОС, разработанный Ларичевым в 1978 году [15]. Согласно данному подходу строится единая порядковая шкала (ЕПШ), на основе которой осуществляется ранжирование альтернатив. Выделяются так называемые опорные ситуации: альтернативы с наилучшими и с наихудшими оценками. Рассматриваются всевозможные пары критериев и гипотетические альтернативы, полученные из опорной ситуации при изменении значения по одному из критериев (из данной пары). Таким образом, ЛПР предъявляются на выбор две альтернативы, у одной из которых лучше значение по одну критерию, а у второй — по другому. Сравнение такого рода альтернатив дает порядок — ЕПШ для пары критериев. Построение таких шкал реализуется в виде диалоговой процедуры с ЛПР. Непротиворечивость модели предпочтений выражается в транзитивности построенной общей ЕПШ.

Однако данный метод работает только с конечным множеством альтернатив. Кроме того, для выявления информации о предпочтениях ЛПР (т. е. для построения ЕПШ) необходимо рассмотреть всевозможные комбинации из О, Ът(т — 1) пар критериев, где т — число критериев. Например, когда т = 5 и шкала каждого критерия имеет 3 градации, необходимо провести 10 опросов с по крайней мере 4-мя вопросами в каждом, что дает 40 вопросов (если все ответы были непротиворечивы, в противном случае их будет больше). Таким

образом, на ЛПР идет большая нагрузка. В тоже время необходимо отметить, что вопросы, задаваемые ЛПР в течении таких диалогов, довольно просты и понятны любому человеку.

И еще, шкалы здесь являются дискретными (например, шкала стоимости: «высокая», «средняя», «низкая»), и значения по каждому критерию могут изменяться только дискретно. Но суждения человека все-таки представляют собой непрерывный спектр.

Группой российских ученых под руководством А. В. Лотова [21, 22, 23, 54] разработан метод достижимых целей (МДЦ). Он основан на визуализации множества Парето (паретовой границы — согласно терминологии авторов) с помощью вычислительной техники, точнее не самого множества, а его аппроксимации выпуклым многогранником. Ключевым элементом является так называемая карта решений: выделяются три критерия (два из них называются координатными), и в плоскости координатных критериев строятся двумерные сечения при различных значениях третьего, которые накладываются друг на друга. Затем по представленной на экране дисплея картине ЛПР отмечает наиболее предпочтительный вариант, задавая тем самым приемлемые значения трех рассматриваемых критериев. Далее проделывается аналогичная процедура для другой совокупности трех критериев или, возможно, для той же самой, но в качестве координатных берут другую пару критериев. Так продолжается до получения результата, удовлетворяющего предпочтениям ЛПР.

Несомненными преимуществами МДЦ являются непосредственное участие ЛПР, наглядное представление множества Парето своими сечениями, что дает возможность визуального сравнения решений. С другой стороны, при небольшом числе критериев реализация сопряжена с большими трудностями. Например, в случае пяти критериев число потенциально возможных карт решений равно 30 (10 различных пар координатных критериев, по 3 критерия, задающих сечения для каждой такой пары).

Исследования данной работы посвящены аксиоматическому подходу

сужения множества Парето [1—9, 11, 12, 27, 28, 30, 34, 36—38, 55, 56], где используется модель многокритериального выбора, состоящая из множества возможных решений X, векторного критерия /, а также бинарного отношения предпочтения ЛПР. Идея данного метода отличается от предыдущих: целью ставится не непосредственный поиск наилучшей альтернативы, а последовательное исключение тех вариантов, которые заведомо не удовлетворяют предпочтениям. Фундаментальным является принцип Эджворта — Парето [29, 30, 32—35], согласно которому выбираемый вариант является парето-оптимальным при выполнении аксиом «разумного» выбора. Соответственно, для любой многокритериальной задачи из данного класса каждый элемент множества Парето равноправен с точки зрения выбора (при отсутствии дополнительной информации о вкусах ЛПР). Это объективная часть модели предпочтений, в которую укладывается поведение любого ЛПР, действующего «разумно». Чтобы упростить выбор и прийти по возможности к конечному результату, необходимо определенным образом убрать из рассмотрения некоторые парето-оптимальные варианты, т. е. произвести сужение множества Парето. Вводится субъективная составляющая, которая индивидуальна для каждого ЛПР, и потому конечный результат будет также индивидуален. В связи с этим, точного определения множества выбираемых решений дать нельзя, можно лишь сказать, что это абстрактное множество, удовлетворяющее всем (гипотетическим) предпочтениям. Оно служит скорее для обозначения решения задачи многокритериального выбора.

При построении субъективной части модели используется бинарное отношение предпочтения ЛПР, с помощью которого вводится единица дополнительной информации — «квант информации» [34, 36]. Он состоит в следующем компромиссе: готовность ЛПР пожертвовать определенной величиной (проигрыш) по каждому критерию из одной группы (она называется менее значимой) ради увеличения значения (выигрыш) по каждому критерию из другой группы (она называется более значимой). Значения выигрыша и проигрыша являются параметрами информации. Под группой критериев понимается неко-

торая их совокупность, причем данные группы считаются непересекающимися. В частном случае более значимая и менее значимая группы состоят из одного критерия. Также можно рассмотреть числовую характеристику относительных потерь, называемую степенью компромисса: величина отношения проигрыша к сумме выигрыша и проигрыша. Его значение лежит в промежутке (0, 1). Он отражает степень значимости: коэффициент компромисса близок к 0 — такая ситуация возможна только тогда, когда выигрыш много больше проигрыша, и наоборот, его близость к 1 означает обратное — уступка возможна даже тогда, когда выигрыш много меньше проигрыша. В книге [34] показано, каким образом производится учет «кванта информации» об отношении предпочтения ЛПР и как происходит отбор тех парето-оптимальных вариантов, которые удовлетворяют введенной модели предпочтений. Для этого используются линейная алгебра, аппарат выпуклого анализа и конусные бинарные отношения. Данному предварительному рассмотрению посвящена первая глава.

В [50, 51, 52] дается понятие направленного компромисса (directional tradeoff), которое в действительности аналогично «кванту информации», введенному значительно раньше. Выстраивается метод, идентичный подходу о сужении множества Парето, и полученные результаты повторяют уже имеющиеся в работе [34].

В работах В. В. Подиновского [25, 40, 41, 42] вводятся различные определения относительной важности критериев и равной важности критериев (качественные, количественные), и, используя полученную на их основе информацию от ЛПР, строятся бинарные отношения предпочтения. Относительно их получают множества недоминируемых решений (ядра бинарных отношений). Безусловно относительная важность имеет много общего с «квантом информации». Однако в упомянутых работах рассматривается только конечное множество возможных решений, для которого множества недоминируемых решений строятся простым перебором. Суть используемого и развиваемого здесь подхода (см. [1—9, 11, 12, 27, 28, 30, 34, 36—38, 55, 56]) отличается: учет «квантов

информации» производится для произвольного множества возможных решений (не только конечного), используя аппарат выпуклого анализа и конусных отношений. Кроме того, в [25, 40, 41, 42] не идет речь о множестве недоминируемых решений как о верхней оценке множества выбираемых решений (которое не вводится). Нет четкой аксиоматизации, очерчивающей класс решаемых задач и позволяющей утверждать, что выбор действительно лежит в пределах построенных недоминирумых множеств.

Вторая глава посвящена рассмотрению замкнутой «цепочки» «квантов информации», которая в простейшем случае выглядит следующим образом: критерий более значим, чем критерий ¿2; критерий ¿2 более значим, чем г'з и т. д. и, наконец, критерий гк более значим, чем г\. Такой набор сообщений является специфическим, он получил название замкнутой информации об отношении предпочтения ЛПР. В общем случае вместо критериев рассматриваются группы критериев.

Когда имеется набор «квантов информации», может сложиться ситуация, что все они в рамках аксиом «разумного» выбора одновременно не выполняются. Тогда такой набор называется противоречивым [34, стр. 112], и его дальнейший учет невозможен. В связи с этим разработан общий критерий непротиворечивости произвольного набора «квантов» [34, теорема 4.7]. Замкнутая информация представляет собой набор сообщений и следовательно может быть противоречива. Поэтому на основе общего критерия был получен критерий непротиворечивости именно для замкнутой информации, являющийся более простым условием на параметры (величины выигрыша и проигрыша для каждого «кванта»).

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Захаров, Алексей Олегович, 2013 год

Литература

1. Богданова А. В., Ногин В. Д. Сужение множества Парето на основе простейших наборов нечеткой информации об относительной важности критериев // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 10: Прикладная математика, информатика, процессы управления. 2007. Вып. 2. С. 3—17.

2. Захаров А. О. Сужение множества Парето на основе циклической информации об отношении предпочтения ЛПР // Процессы управления и устойчивость: Труды 40-й международной научной конференции аспирантов и студентов / Под ред. Н. В. Смирнова, Г. Ш. Тамасяна. СПб.: Издат. Дом С.-Петерб. гос. ун-та, 2009. С. 602-607.

3. Захаров А. О. Сужение множества Парето на основе замкнутой информации об отношении предпочтения ЛПР // Вестник С.-Петерб. ун-та. Сер. 10: Прикладная математика, информатика, процессы управления. 2009. Вып. 4. С. 69-83.

4. Захаров А. О. Сужение множества Парето на основе замкнутой информации о группах критериев // Процессы управления и устойчивость: Труды 41-й международной научной конференции аспирантов и студентов / Под ред. Н. В. Смирнова, Г. Ш. Тамасяна. СПб.: Издат. Дом С.-Петерб. гос. ун-та, 2010. С. 587-592.

5. Захаров А. О. Сужение множества Парето на основе взаимозависимой информации замкнутого типа // Искусственный интеллект и принятие

решений. 2011. № 1. С. 67-81.

6. Захаров А. О. Сужение множества Парето на основе нечеткой замкнутой информации // Процессы управления и устойчивость: Труды 42-й международной научной конференции аспирантов и студентов / Под ред. А. С. Ерёмина, Н. В. Смирнова. СПб.: Издат. Дом С.-Петерб. гос. ун-та, 2011. С. 467-472.

7. Захаров А. О. Сужение множества Парето на основе нечеткой информации замкнутого типа // Проблемы оптимизации и экономические приложения: материалы V Всероссийской конференции (Омск, 2—6 июля 2012 г.). Омск: Изд-во Ом. гос. ун-та, 2012. С. 191.

8. Захаров А. О. Сужение множества Парето на основе замкнутой информации о нечетком отношении предпочтения лица, принимающего решение // Вестник С.-Петерб. ун-та. Сер. 10: Прикладная математика, информатика, процессы управления. 2012. Вып. 3. С. 33—47.

9. Захаров А. О. Учет информации об отношении предпочтения в одной экономической задаче // Процессы управления и устойчивость: Труды 44-й международной научной конференции аспирантов и студентов / Под ред. Н. В. Смирнова, Т. Е. Смирновой. СПб.: Издат. Дом С.-Петерб. гос. ун-та, 2013. С. 582-587.

10. Кини Р. Л., Райфа X. Принятие решений при многих критериях: предпочтения и замещения. М.: Радио и связь, 1981. 560 с.

И. Климова О. Н. Сужение множества Парето на основе наборов взаимно зависимой информации о нечетком отношении предпочтения // Искусственный интеллект и принятие решений. 2009. № 2. С. 34—44.

12. Климова О. Н., Ногин В. Д. Учет взаимно зависимой информации об относительной важности критериев в процессе принятия решений // Журнал

вычислительной математики и математической физики. 2006. Т. 46, № 12. С. 2179-2191.

13. Кофман А. Введение в теорию нечетких множеств / пер. с франц. В. Б. Кузьмина; под ред. С. И. Травкина. М.: Радио и связь, 1982. 432 с.

14. Кузютин В. Ф., Зенкевич Н. А., Еремеев В. В. Геометрия: Учебник для вузов. СПб: Издательство «Лань», 2003. 416 с.

15. Ларичев О. И., Зуев Ю. А., Гнеденко Л. С. Метод ЗАПРОС (ЗАмкнутые ПРоцедуры у Опорных Ситуаций) анализа вариантов сложных решений // Многокритериальный выбор при решении слабоструктуризованных проблем / Под ред. С. В. Емельянова: Сб. тр. ВНИИСИ. М., 1978. С. 83—95.

16. Ларичев О. И. Объективные модели и субъективные решения. М.: Наука, 1987. 144 с.

17. Ларичев О. И., Мошкович Е. М. Качественные методы принятия решений. Вербальный анализ решений. М.: Наука, Физматлит, 1996. 208 с.

18. Ларичев О. И. Вербальный анализ решений / Под ред. А. Б. Петровского. М.: Наука, 2006. 181 с.

19. Ларичев О. И. Теория и методы принятия решений, а также хроника событий в волшебных странах. 3-е изд. М.: Логос, 2006. 392 с.

20. Лотов А. В. Введение в экономико-математическое моделирование. М: Наука, 1984. 392 с.

21. Лотов А. В., Бушенков В. А., Каменев Г. К., Черных О. Л. Компьютер и поиск компромисса. Метод достижимых целей. М.: Наука, 1997. 239 с.

22. Лотов А. В., Бушенков В. А., Каменев Г. К. Метод достижимых целей. Математические основы и экологические приложения. The Edwin Mellen Press, Lewiston, NY, USA, 1999. 400 с.

23. Лотов А. В., Поспелова И. И. Многокритериальные задачи принятия решений: Учебное пособие. М: МАКС Пресс, 2008. 197 с.

24. Макаров И. М., Виноградская Т. М., Рубчинский А. А., Соколов В. Б. Теория выбора и принятия решений. М.: Наука, 1982. 328 с.

25. Меньшикова О. Р., Подиновский В. В. Построение отношения предпочтения и ядра в многокритериальных задачах с упорядоченными по важности неоднородными критериями // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1988. Т. 28, № 5. С. 647-659.

26. Нейман Дж., Моргенштерн О. Теория игр и экономическое поведение / перевод с англ. под ред. и с доб. Н. Н. Воробьева. М.: Наука, 1970. 708 с.

27. Ногин В. Д. Оценки для множества оптимальных решений в условиях отношения предпочтения, инвариантного относительно линейного положительного преобразования // Тез. докл. на IV Всесоюзн. семинаре по исследованию операций и системному анализу «Принятие решений в условиях многокритериальности и неопределенности». М. - Батуми, 1983. С. 37.

28. Ногин В. Д., Протодьяконов И. О., Евлампиев И. И. Основы теории оптимизации. М.: Высшая школа, 1986. 384 с.

29. Ногин В. Д. Логическое обоснование принципа Эджворта — Парето // Журнал вычислительной математики и математической физики. 2002. Т. 42, № 7. С. 950-956.

30. Ногин В. Д. Принцип Эджворта — Парето и относительная важность критериев в случае нечеткого отношения предпочтения // Журнал вычислительной математики и математической физики. 2003. Т. 43, N2 11. С. 1676—1686.

31. Ногин В. Д. Упрощенный вариант метода анализа иерархий на основе нелинейной свертки критериев // Журнал вычислительной математики и математической физики. 2004. Т. 44, № 7. С. 1259-1268.

32. Ногин В. Д. Обобщенный принцип Эджворта — Парето в терминах функций выбора // Методы поддержки принятия решений: Сб. трудов ИСА РАН / Под ред. С. В. Емельянова, А. Б. Петровского. М.: Едиториал УРСС, 2005. С. 43-53.

33. Ногин В. Д. Обобщенный принцип Эджворта — Парето и границы его применимости // Экономика и математические методы. 2005. Т. 41, № 3. С. 128-134.

34. Ногин В. Д. Принятие решений в многокритериальной среде: количественный подход. Изд. 2, испр. и доп. М.: Физматлит, 2005. 176 с.

35. Ногин В. Д. Принцип Эджворта — Парето в терминах нечеткой функции выбора // Журнал вычислительной математики и математической физики. 2006. Т. 46, № 4. С. 582-591.

36. Ногин В. Д. Проблема сужения множества Парето: подходы к решению // Искусственный интеллект и принятие решений. 2008. № 1. С. 98—112.

37. Ногин В. Д. Сужение множества Парето на основе информации о предпочтениях ЛПР точечно-множественного типа // Искусственный интеллект и принятие решений. 2009. № 1. С. 5—16.

38. Ногин В. Д. Сужение множества Парето на основе информации множественно-точечного типа // Искусственный интеллект и принятие решений. 2010. № 2. С. 54-63.

39. Петровский А. Б. Теория принятия решений. М.: Изд. центр «Академия», 2009. 400 с.

40. Подиновский В. В. Об относительной важности критериев в многокритериальных задачах принятия решений // Многокритериальные задачи принятия решений. М.: Машиностроение, 1978. С. 48—82.

41. Подиновский В. В. Введение в теорию важности критериев в многокритериальных задачах принятия решений. М.: Физматлит, 2007. 64 с.

42. Подиновский В. В. Параметрическая важность критериев и интервалы неопределенности замещений в анализе многокритериальных задач // Журнал вычислительной математики и математической физики. 2008. Т. 48, № 11. С. 1979-1998.

43. Подиновский В. В., Ногин В. Д. Парето-оптимальные решения многокритериальных задач (изд. 2-ое, испр. и доп.). М.: Физматлит, 2007. 256 с.

44. Саати Т. JI. Принятие решений при зависимостях и обратных связях: Аналитические сети. Пер. с англ. / Науч. ред. А. В. Андрейчиков, О. Н. Андрейчикова. М.: Издательство ЛКИ, 2008. 360 с.

45. Штойер Р. Многокритериальная оптимизация: теория, расчет и приложения. Пер. с англ. М.: Радио и связь, 1992. 540 с.

46. Edgeworth F. Y. Mathematical psychics: an essay on the application of mathematics to the moral sciences. London: C. Kegan Paul and Co., 1881. 150 p.

47. Ehrgott M., Figueira J. L., Greco S. Trends in multiple criteria decision analysis. Springer, 2010. 412 p.

48. Figueira J. L., Greco S., Ehrgott M. Multiple criteria decision analysis: state of the art surveys. Springer, 2005. 1045 p.

49. Figueira J. L., Greco S., Roy В., Slowinski R. An overview of ELECTRE methods and their recent extensions // Journal of Multi-Criteria Decision Analysis. 2013. V. 20. Issue 1-2. P. 61-85.

50. Hunt B. J. Multiobjective programming with convex cones: methodology and applications. PhD thesis, Clemson University, Clemson, South Carolina, USA, 2004. 190 p.

51. Hunt B. J., Blouin V. Y., Wiecek M. M. Modeling relative importance of design criteria with a modified Pareto preference // Journal of Mechanical Design. 2007. V. 129. Issue 9. P. 907-914.

52. Hunt B. J., Wiecek M. M., Hughes C. S. Relative importance of criteria in multiobjective programming: A cone-based approach // European Journal of Operational Research. 2010. V. 207. P. 936-945.

53. Koksalan M., Wallenius J., Zionts S. Multiple criteria decision making. From early history to the 21st century. World Scientific, 2011. 197 p.

54. Lotov A. V., Bushenkov V. A., Kamenev G. K. Interactive decision maps. Approximation and visualization of Pareto frontier. Kluwer Academic Publishers, Boston, 2004. 336 p.

55. Noghin V. D. Upper estimate for a fuzzy set of nondominated solutions // Fuzzy Sets and Systems. 1994. V. 67. P. 303-315.

56. Noghin V.D. Relative importance of criteria: a quantitative approach // Journal of Multi-Criteria Decision Analysis. 1997. V. 6. P. 355-363.

57. Pareto V. Manuale di economia politica con una introduzione alia scienza sociale. Milano: Societa Editrice Libraria, 1919. 575 p.

58. Roy B. Classement et choix en présence de critères multiples (la méthode ELECTRE) // RIRO. 1968. 8. P. 57-75.

59. Roy B. Multicriteria methodology for decision aiding. Dordrecht: Kluwer Academic Publishers, 1996. 292 p.

60. Tzeng G.-H., Huang J.-J. Multiple attribute decision making: methods and applications. CRC Press, 2011. 349 p.

61. Yu P. L. Multiple-criteria decision making: concepts, techniques, and extensions. New York: Plenum Press, 1985. 388 p.

62. Zadeh L. A. Fuzzy sets // Information and Control. 1965. Vol. 8. P. 338-353.

63. Zopounidis C., Pardalos P. M. Handbook of multicriteria analysis. Springer, 2010. 455 p.