Принцип позиционной динамической устойчивости и его применение в системах со многими управлениями тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.01, кандидат физико-математических наук Смолин, Евгений Александрович

• Смолин, Евгений Александрович
• кандидат физико-математических наук
• 2007

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Смолин, Евгений Александрович

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА I. ПРИНЦИПЫ ОПТИМАЛЬНОГО ПОВЕДЕНИЯ В ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ СО МНОГИМИ УПРАВЛЕНИЯМИ.

§ 1. Динамическая система со многими управлениями.

§2. Динамические модели социально-экономических задач принятия решения.

§3, Реализуемость принципов оптимальности в динамических управляемых системах.

§4. Позиционная динамическая устойчивость принципов оптимальности.

§5. Примеры позиционно динамически устойчивыхпринципов оптимальности.

ГЛАВА II. ПОЗИЦИОННАЯ ДИНАМИЧЕСКАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ В МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЯХ КООПЕРАТИВНОГО ПОВЕДЕНИЯ

§1. Кооперативные дифференциальные игры с побочными платежами.

§2. Кооперативные дифференциальные игры без побочных платежей.

§3. Позиционная динамическая устойчивость в многошаговых кооперативных играх.

§4. Вычисление позиционно динамически устойчивых решений с применением схемы динамического программирования.

ГЛАВА III. ПРИМЕНЕНИЕ ПРИНЦИПА ПОЗИЦИОННОЙ ДИНАМИЧЕСКОЙ УСТОЙЧИВОСТИ В МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЯХ СОЦИАЛЬНО-ЭКОНОМИЧЕСКИХ СИСТЕМ

§1. Пространственно-временная состоятельность равновесных траекторий в одной модели экономической динамики.

§2. Позиционная динамическая устойчивость равновесных траекторий в многошаговой модели рынка ценных бумаг.

§3. Позиционная динамическая устойчивость в модели изменения социальной структуры населения.

§4. Пространственно-временная состоятельность равновесной траектории в модели рынка труда.

§5. Обсуждение вычислительного аспекта позиционно динамически устойчивых равновесных траекторий в социально-экономических моделях

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Принцип позиционной динамической устойчивости и его применение в системах со многими управлениями»

В диссертационной работе изучаются вопросы состоятельности во времени и пространстве принципов оптимального поведения в динамических системах со многими управляющими параметрами и критериями качества. К таким объектам относятся широкие классы конфликтно-управляемых систем, динамические задачи векторной оптимизации и так называемые неклассические социально-экономические задачи принятия решения. Во всех таких задачах проблемы, связанные с принципами оптимального поведения, являются одними из центральных. Широта применения и значимость делают их исследование актуальными. Большое разнообразие принципов оптимальности разработано и изучается в теории игр (принцип минимакса, равновесие по Нэшу, С-ядро, вектор Шепли и т.д. [8,18, 34,39,40,44,49, 62, 64,67]), в теории многокритериальной оптимизации (принципы Парето, Слейтера, Джоф-фриона и т.д. [42, 51]) и в математической экономике (различные концепции равновесия [2,13,26,29,41,54,60]).

Каждый принцип оптимальности имеет определенные границы приложимости, в пределах которых он может считаться адекватным описанием содержательного оптимального поведения. Поэтому при обобщении результатов статической теории принятия решения на динамические системы, что продиктовано естественным ходом развития теории, возникает вопрос о применимости того или иного принципа оптимальности в новом более широком классе задач. На этом пути, как отмечал Н.Н. Воробьев [8], можно ожидать нахождения обоснованных критериев выбора принципов оптимальности применительно к разнообразным классам задач, а также формальное конструирование новых принципов, которые могут оказаться весьма плодотворными. Данная диссертационная работа по своему содержанию относится к этому кругу актуальных проблем.

Наиболее естественным подходом к изучению принципов оптимального поведения в динамических системах является применение (обобщение) методологии и результатов, полученных в статической теории оптимизации и принятия решения. Однако попытка переноса «статических» принципов оптимальности на динамические задачи сталкивается с проблемами, связанными с особенностями динамических процессов.

Как известно, применение конкретного принципа оптимальности в статических задачах обосновывается его содержательностью, то есть соответствием фактическому пониманию оптимальности и реализуемостью этого принципа для широких классов задач. В динамических задачах принятия решения к этим двум требованиям естественным образом добавляется еще одно: содержательность и реализуемость принципа оптимальности должны сохраняться на протяжении всего динамического процесса. Это свойство и лежит в основе понятия динамической устойчивости принципов оптимальности, играющего роль механизма их реализуемости вдоль траектории динамической системы.

Прежде чем перейти к изложению цели и основных результатов работы вкратце осветим историю вопроса.

В середине пятидесятых годов двадцатого столетия академиком JI.C. Понтрягиным и группой его сотрудников были заложены основы математической теории оптимальных процессов [52], как науки занимающейся математическими моделями управляемых объектов и систем с целью выработки оптимальных способов управления ими. Изначальные результаты были получены для систем, описываемых дифференциальными уравнениями. Позже эта теория получила широкое распространение для различных классов задач оптимального управления [5-7, 32,33,43,53].

Одним из стержневых результатов теории оптимального управления является метод динамического программирования [4], развитой американским математиком Р. Беллманом на основе введенного им принципа оптамальности. Согласно этому принципу, оптимальное управление должно обладать свойством: независимо от того, каким образом система оказалась в данном состоянии в данный момент, ее дальнейшее развитие должно протекать оптимальным образом. Принципу оптимальности Р.Беллмана удовлетворяют позиционные управления, так как программные управления зависят только от параметра времени. Принцип Р. Беллмана применим только для задач оптимального управления с одним функционалом качества и не применим для более сложных динамических систем со многими управлениями и многими функционалами качества, а также для тех неклассических задач управления, в которых оптимальное поведение определяется иначе, чем максимизация одного функционала качества.

К такого рода задачам, прежде всего, относятся динамические игры (конфликтные задачи управления) [1, 3, 9, 12, 17, 31, 35, 45,48, 50, 59, 66, 68 и др.], возникшие на стыке теории оптимального управления и теории игр.

При изучении динамических процессов управления со многими участниками нельзя не учитывать возможность кооперации между участниками. В классической теории игр модели, учитывающие возможность кооперации, занимают ведущее положение [8,40].

Наиболее естественным подходом к изучению кооперативных динамических игр, как игр дележей, является применение методологии кооперативной теории Неймана-Моргенштерна [40]. Однако использование результатов классической теории невозможно без разрешения проблем, связанных с особенностями динамических процессов. В первую очередь - это перенос на динамические системы кооперативных принципов оптимальности. Разрешение этой проблемы стало возможным в середине 70-х годов, когда JI.A. Петрося-ном была высказана идея о необходимости учета устойчивости во времени (динамической устойчивости) теоретико-игровых принципов оптимальности.

Впервые понятие динамической устойчивости было сформулировано и обосновано JI.A. Петросяном в работе [46]. Для более общих классов кооперативных дифференциальных игр оно было сформулирована в работах [47, 48].

Динамическую устойчивость в общем виде можно сформулировать следующим образом: решение динамической игры, построенное в начальный момент игры (в начальном состоянии) согласно тому или иному принципу оптимальности, должно удовлетворять тому же принципу оптимальности в каждый момент времени (в текущем состоянии) при движении по оптимальной траектории вплоть до момента окончания игры. Динамическая устойчивость представляет собой то важное свойство принципов оптимальности, согласно которому игроки в каждый момент времени ориентируются на один и тот же принцип оптимальности и не имеют основания для отклонения от первоначально принятого поведения до конца игры. В первый же момент нарушения динамической устойчивости, выбранный в начале способ поведения перестает быть оптимальным и потому нереализуемым.

Принцип динамической устойчивости остается содержательным для широкого класса многокритериальных задач теории оптимального управления и неклассических задач оптимизации [15, 16, 50 и др.]. В этой связи укажем на работы зарубежных авторов [63, 65], в которых сформулировано свойство «состоятельности во времени» (time consistence) принципов оптимальности в задачах векторной оптимизации.

В отличие от принципа оптимальности Р. Беллмана, определяемого на всем пространстве состояний, динамическая устойчивость (по Петросяну) определена вдоль фиксированной (оптимальной) траектории и может рассматриваться как "программный" принцип поведения. Отсюда возникает задача обобщения принципа динамической устойчивости на все фазовое пространство изучаемой системы.

Основной целью диссертационной работы является разработка и применение нового принципа, называемого принципом позиционной динамической устойчивости, который может быть положен в основу единого подхода к изучению сложных динамических задач управления.

Таким образом, научная новизна диссертационной работы заключается в разработке новой концепции оптимальности в динамических управляемых системах и вытекающей отсюда новизне полученных результатов.

В диссертационной работе принцип динамической устойчивости (по Петросяну) обобщен на все фазовое пространство в виде принципа позиционной динамической устойчивости.

Суть принципа позиционной динамической устойчивости заключается в том, что в каком бы фазовом состоянии не оказалась динамическая система в некоторый момент времени, дальнейшее ее развитие из текущего состояния должно протекать оптимальным и устойчивым образом.

Можно сказать, что принцип позиционной динамической устойчивости отличается от динамической устойчивости по Петросяну (от программной динамической устойчивости) так же, как позиционное управление отличается от программного управления в теории оптимальных процессов.

Основные положения диссертации, выносимые на защиту, формулируются следующим образом:

1. Введено понятие позиционной динамической устойчивости для многокритериальных динамических систем со многими управлениями, являющееся обобщением принципа Р. Беллмана из теории оптимального управления; в качестве обоснования его состоятельности приведены примеры как по-зиционно динамически устойчивых, так и позиционно динамически неустойчивых принципов оптимальности из разных задач неклассической оптимизации.

2. В различных моделях конфликтно-управляемых систем, представляемых в виде дифференциальных и многошаговых игр, доказаны теоремы об условиях существования и о необходимых и достаточных признаках позиционной динамической устойчивости их решений в смысле различных принципов оптимальности (с-ядро, НМ-решение, вектор Шепли, множество Па-рето).

3. С применением единого подхода, основанного на концепции позиционной динамической устойчивости, как механизма реализуемости оптимальных траекторий, исследованы динамические модели ряда социально-экономических систем: экономической динамики, рынка труда, рынка ценных бумаг, изменения социальной структуры населения; в каждой из моделей для применяемых в них различных принципов равновесности (аналогов и модификаций равновесия по Вальрасу) найдены условия их позиционной динамической устойчивости.

4. Построены метод и соответствующий алгоритм вычисления позиционно динамически устойчивых решений в кооперативных многошаговых играх без побочных платежей как обобщение метода динамического программирования из теории оптимальных процессов.

Перейдем к краткому изложению основных результатов работы.

Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы. Общий объем работы составляет 167 страниц машинописного текста.

Заключение диссертации по теме «Системный анализ, управление и обработка информации (по отраслям)», Смолин, Евгений Александрович

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1. Предложена новая концепция позиционной динамической устойчивости, как обобщение принципа оптимальности Р. Беллмана из теории оптимального управления, для динамических управляемых систем со многими управлениями и критериями качества. Она также обобщает принятие принципа динамической устойчивости, введенного Л.А. Петросяном для дифференциальных игр вдоль их оптимальных траекторий, путем распространения последнего на все фазовое пространство.

2. Как показывают приведенные в диссертационной работе исследования, принцип позиционной динамической устойчивости играет роль механизма реализуемости принципов оптимального поведения в широких классах динамических управляемых систем.

3. Доказаны теоремы о позиционной динамической устойчивости принципов оптимального поведения как общего (для любых принципов оптимальности), так и частного (для таких принципов, как равновесие по Нэшу, С-ядро, НМ-решение, вектор Шепли) в конфликтно-управляемых системах. Построен алгоритм вычисления позиционно динамически устойчивых оптимальных траекторий для многошаговых кооперативных игр без побочных платежей, аналогичный схеме динамического программирования из теории оптимального управления.

4. С помощью единого подхода, основанного на концепции позиционной динамической устойчивости, исследованы вопросы стабильного и сбалансированного развития ряда социально-экономических систем. Выбор равновесных позиционно динамически устойчивых траекторий для реализации социально-экономических процессов может быть обоснован двумя причинами. Во-первых, поскольку во всех рассмотренных моделях равновесие определяется на основе оптимальных (в смысле максимизации целевых функций) траекторий, то вдоль равновесной траектории достигаются наилучшие результаты для участников социально-экономических процессов, а также удовлетворены совокупные спросы и реализованы совокупные предложения. Во-вторых, выполнение условий позиционной динамической устойчивости делает состоятельным во времени и пространстве принципы равновесия, когда у участников процесса нет оснований для отказа от первоначально принятого принципа поведения до конца процесса.

Следует заметить, что установление и построение позиционной динамической устойчивости равновесных траекторий в рассмотренных моделях в общем случае осложнены проблемами, присущими принципу оптимальности Р. Беллмана, и связанными с наличием большой размерности. Тем не менее, как и в методе динамического программирования, для отдельных моделей социально-экономических систем предложенная схема вполне применима, о чем свидетельствуют рассмотренные в диссертации модельные примеры.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Смолин, Евгений Александрович, 2007 год

1. Айзеке, Р. Дифференциальные игры / Р. Айзеке. -М.: Мир, 1967.

2. Ашманов, С.А. Введение в математическую экономику / С.А. Ашманов. -М.: Наука, 1984.

3. Байдосов, В.А. О подходе к определению динамических игр на языке обобщенных динамических систем / В.А. Байдосов // Оптимальное управление системами с неопределенной информацией. Свердловск: УНЦ АН СССР, 1980, с. 3-11.

4. Беллман, Р. Динамическое программирование / Р. Беллман. М.: ИЛ, 1960.

5. Болтянский, В.Г. Оптимальное управление дискретными системами / В.Г. Болтянский. -М.: Наука, 1973.

6. Брайсон, А. Прикладная теория оптимального управления /А. Брайсон, Хо Ю-ши. М.: Мир, 1972.

7. Варга, Дж. Оптимальное управление дифференциальными и функциональными уравнениями / Дж. Варга. М.: Наука, 1977.

8. Воробьев, Н.Н. Теория игр для экономистов кибернетиков / Н.Н. Воробьев. -М.: Наука, 1985.

9. Грауэр, Л.В. Многошаговые игры / Л.В. Грауэр, Л.А. Петросян Л.А. // Прикл. мат. и мех. (Москва). 2004.68, №4, с. 667-677.

10. Данилов, Н.Н. Динамическая оптимизация портфеля инвестиций / Н.Н. Данилов // II Международная конференция по матем. моделированию. Якутск, 1997.

11. Данилов, Н.Н. Динамическая устойчивость экономического равновесия / Н.Н. Данилов // II Сибирский конгресс по индустриальной математике. Тезисы докладов. Новосибирск, 1996.

12. Данилов, Н.Н. Кооперативные многошаговые игры без побочных платежей / Н.Н. Данилов // Кибернетика, 1990, №5, с. 72-78.

13. Данилов, Н.Н. Курс математической экономики: Учеб. пособие / Н.Н. Данилов. М.: Высш. шк., 2006.

14. Данилов, Н.Н. Методологические аспекты теоретиково-игрового моделирования рынка труда на уровне региона / Н.Н. Данилов // Сб. «Природные и интеллектуальные ресурсы Сибири», Томск, 2004.

15. Данилов, Н.Н. Модель экономического равновесия в динамике / Н.Н. Данилов // Вестник КемГУ. Математика №3 (7), 2001.

16. Данилов, Н.Н. Принцип динамической устойчивости в сложных системах управления / Н.Н. Данилов // Доклады СО АН ВШ, «2 (6), 2002.

17. Данилов, Н.Н. Решение задачи динамической устойчивости в кооперативной дифференциальной игре с побочными платежами / Н.Н. Данилов // Прикладная математика и механика. 1989. Т. 53. - Вып. 1. - С. 45-59.

18. Данилов, Н.Н. Теоретико-игровое моделирование конфликтных ситуаций / Н.Н. Данилов. Томск: Изд-во Том. ун-та, 2005.

19. Данилов, Н.Н. Принцип динамической устойчивости в математических моделях экономики / Н.Н. Данилов, Т.В. Голоколосова, В.В. Мешечкин // Матем. заметки ЯГУ. 1996. - т. 3, №2. С. 22-37.

20. Данилов, Н.Н. Динамически устойчивое равновесие в математической модели социальной системы / Н.Н. Данилов, C.JI. Злобина // IX Международная научно-практическая конференция «СИБРЕСУРС 9 - 2003», Доклады, Томск, САН ВШ, 2003.

21. Данилов, Н.Н. Содержательность во времени равновесных траекторий на рынке ценных бумаг / Н.Н. Данилов, Е.А. Николаева // «СИБРЕСУРС 8 - 2002»: Тез. докл. науч. конф. - Кемерово, 2002. - С. 120-122.

22. Данилов, Н.Н. Математическая модель равновесия на рынке труда / Н.Н. Данилов, Н.В. Осокина // Вестник КемГУ. Математика. 2000. - Вып.4. - С.44-54.

23. Егорова, А.А. Равновесие в многошаговой неантагонистической игре двух лиц / А.А. Егорова // Мат. заметки ЯГУ. 2003.10 №2, с. 43-51.

24. Интрилигатор, М. Математические методы оптимизации и экономическая теория / М. Интрилигатор. М: Прогресс, 1975.

25. Калихман, И.Л. Динамическое программирование в примерах и задачах / И.Л. Калихман, М.А.Войтенко. М.: Высшая школа, 1979.

26. Канторович, Л.В. Функциональный анализ / Л.В. Канторович, Г.П. Аки-лов. М: Наука, 1977.

27. Карлин, С. Математические методы в теории игр, программировании и экономике / С. Карлин. М.: Мир, 1964.

28. Корниенко, Н.А. Решения кооперативных динамических игр. Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физ.-мат. наук /' Н.А. Корниенко. С.-Петербург. Гос. Ун-т, Санкт-Петербург, 2003.

29. Красовский, Н.Н. Позиционные дифференциальные игры / Н.Н. Красов-ский, А.И. Субботин. -М.: Наука, 1974.

30. Кротов, В.Ф. Методы и задачи оптимального управления / В.Ф. Кротов, В .И. Гурман. М.: Наука, 1973.

31. Ли, Э.Б. Основы теории оптимального управления / Э.Б. Ли, Л. Маркус. -М.: Наука, 1972.

32. Льюис, Р. Игры и решения. Введение и критический обзор / Р. Льюис, X. Райфа.-М.:ИЛ, 1961.

33. Малафеев, О.А. О существовании ситуации равновесия в дифференциальных бескоалиционных играх двух лиц с независимыми движениями / О.А. Малафеев // Вестник ЛГУ, 1980. №7. - С. 12-16.

34. Мамкина, С.И. Многошаговые игры с полной информацией и переменным коалиционным разбиением. Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физ.-мат. наук. С.-Петербург / С.И. Мамкина. Гос. Ун-т, Санкт-Петербург, 2005.

35. Моришима, М. Равновесие, устойчивость, рост / М. Моришима. М.: Наука, 1972.

36. Мулен, Э. Теория игр. С примерами в математической экономике / Э. Мулен. М.: Мир, 1983.

37. Нейман, Дж. фон. Теория игр и экономической поведение / Дж. фон Нейман, О. Моргенштерн. М.: Наука, 1970.

38. Никайдо, X. Выпуклые структуры и математическая экономика / X. Ни-кайдо. М.: Мир, 1972.

39. Ногин, В.Д. Основы теории оптимизации / В.Д. Ногин, И.О. Протодьяконов, И.И. Евлампиев. М.: ВШ, 1986.

40. Основы теории оптимального управления / В.Ф. Кротов, Б.А. Лагоша, С.М. Лобанов и др. М.: ВШ, 1990.

41. Оуэн, Г. Теория игр / Г. Оуэн. М.: Мир, 1971.

42. Петросян, Л.А. Дифференциальные игры преследования / Л.А. Петросян. Л.: Изд-во ЛГУ, 1977.

43. Петросян, JI.A. Устойчивость решений в дифференциальных играх со многими участниками / JI.A. Петросян // Вестник ЛГУ, 1977. №19. - С. 46-52.

44. Петросян, Л.А. Классификация динамически устойчивых решений в кооперативных дифференциальных играх / Л.А. Петросян, Н.Н. Данилов. -Известия ВУЗ. Математика. 1986, №7. С. 24-35.

45. Петросян, Л.А. Кооперативные дифференциальные игры и их приложения / Л.А. Петросян, Н.Н. Данилов. Томск: Изд-во ТГУ, 1985.

46. Петросян, Л.А. Теория игр / Л.А. Петросян, Н.А. Зенкевич, Е.А. Семина. -М.:ВШ, 1998.

47. Петросян, Л.А. Динамические игры и их приложения / Л.А. Петросян, Г.В. Томский. Л.: Изд-во ЛГУ, 1982.

48. Подиновский, В.В. Парето-оптимальные решения многокритериальных задач / В.В. Подиновский, В. Д. Ногин. М.: Наука, 1982.

49. Понтрягин, Л.С. Математическая теория оптимальных процессов / Л.С. Понтрягин, В.Г. Болтянский, Р.В. Гамкрелидзе, Е.Ф. Мищенко. М.: Наука, 1976.

50. Пропой, А.И. Элементы теории оптимальных дискретных процессов / А.И. Пропой. -М.: Наука, 1978.

51. Розенмюллер, Н. Кооперативные игры и рынки / Н. Розенмюллер. М.: Мир, 1974.

52. Рокафеллер, Р. Выпуклый анализ / Р. Рокафеллер. М.: Мир, 1973.

53. Сансоне, Дж. Обыкновенные дифференциальные уравнения / Дж. Сан-соне.-М.: ИЛ, 1954, т. 2.

54. Скорняков, Л.А. Системы линейных уравнений / Л.А. Скорняков. М.: Наука, 1986.

55. Эльсгольц, Л.Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление / Л.Э. Эльсгольц. М.: Наука, 1965.

56. Basar, Т. Dynamic noncooperative game theory / T. Basar, I. Oldster. N. Y., Ac. Press, 1982.

57. Bierman, H.S. Game theory in economic applications / H.S. Bierman, l. Fernandez. Addison Wesley Publishing Company, INC, USA, 1993.

58. Blaquiere, A. Geometry of Pareto Equlibria in N-person Differential games / A. Blaquiere, L. Juricek, K.E. Wiese. Topics in Differential Games. Amsterdam-London, 1973.

59. Game theory and Applications. Vol. 10 / Petrosjan L.A., Mazalov V.V. Haup-pauge (N.Y.): Nova Sci. Publ. 2005.

60. Hillier, B. Dinamic inconsistency, rational expectations and optimal gover-ment policy / B. Hillier, M. James. Econometrica, 1984, v.52, p. 1437-1451.

61. Hinojosa, M.A. Core, least core and nucleolus for multiple scenario cooperative games / M.A. Hinojosa, A.M. Marmol, L.C. Thomas. Eur. J. Oper. Res. 2005.164, №1, p. 225-238.

62. Holly, S. On optimality and time consistency when expectations are rational / S. Holly, M.B. Zarrop. European economic review, 1983, v. 20, p. 23-40.

63. Leitman, G. Cooperative and Non-cooperative Many Player Differential Games / G. Leitman. Vienna, Springer Verlag, 1974.

64. Myerson, A B. Game theory. Analysis of conflict / A B. Myerson. Harvard University Press. Cambridge, Massachusetts, London, England, 1991.

65. Starr, A.W. Nonzero-sum Differential Games / A.W. Starr, Y.C. Ho. J. Optimiz. Theory and Appl., 1969,3, №3.

66. D.W.K.,Yeung Dynamically Stable Corporate Joint Ventures / Yeung D.W.K., Petrosyan L.A. -Automatica, v. 42,2006, p. 365-370.1. Труды автора

67. Смолин, E.A. Необходимое условие позиционной динамической устойчивости оптимальных решений в задачах конфликтного управления

68. Н.Н. Данилов, Е.А. Смолин, Н.М. Яковлева // Вестник КемГУ. Математика, №1(17), 2004. с. 15-20.

69. Смолин, Е.А. Существование позиционно динамически устойчивых решений в одной кооперативной дифференциальной игре без побочных платежей / Е.А. Смолин // Вестник КемГУ. Математика, №4(24), 2005. с. 61-69.