Принцип локализации и изучение скорости стабилизации решений некоторых задач математической физики тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат физико-математических наук Рябенко, Александр Сергеевич

• Рябенко, Александр Сергеевич
• кандидат физико-математических наук
• 2009

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Рябенко, Александр Сергеевич

Введение.

Краткое содержание работы.

Глава 1. Уравнение теплопроводности в полосе с переменным коэффициентом теплопроводности.

§ 1. Априорные оценки решения задачи (6)-(7).

§ 2. Существование решения задачи (4)-(5).

§3. Аналитичность решения задачи (4)-(5).

§4. Асимптотика решения задачи (1)-(3).

Глава 2. Уравнение теплопроводности в полупространстве с переменным коэффициентом теплопроводности.

§ 5. Априорные оценки решения задачи (9)-(10).

§ 6. Существование решения задачи (9)-(10).

§7. Аналитичность решения задачи (9)-(10).

§8. Асимптотика решения задачи (6)-(8).

Глава 3. Малые колебания экспоненциально стратифицированной жидкости в предположении Буссинеска.

§ 9. Доказательство существования, единственности и построение точных асимптотик решения задачи (11)-(13).

Построение формального решения задачи (11)-(13).

Существование решения задачи (11)-(13).

Единственность решения задачи (11)-(13).

Принцип локализации.

Построение асимптотики при t —> оо компонентов решения.

Глава 4. Малые колебания стратифицированной жидкости.

§ 10. Априорные оценки решения задачи (17)-(18).

§11. Доказательство существования решения задачи (17)-(18).

§12. Аналитичность решения задачи (17)-(18).

§13. Построение оценки асимптотики по времени решений задачи (14)-(16).

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Принцип локализации и изучение скорости стабилизации решений некоторых задач математической физики»

Актуальность работы. Одним из важных направлений качественной теории дифференциальных уравнений является определение поведения решений начальных и начально-краевых задач математической физики при t со. Решению этой задачи посвящено большое количество работ.

Определению условий стабилизации и построению асимптотик решений параболических задач в цилиндрических областях были посвящены работы Ю. В. Егорова, В. А. Кондратьева, О. А. Олейник [1] и др.

Вопросы стабилизации при t —» оо решений уравнений математической физики параболического типа изучены в работах С. Д. Эдельмана [2], [3], В. Д. Репникова [2], [4], В. П. Михайлова [5], Ф. О. Порпер [6].

Одним из классов задач математической физики, для которых изучают поведение решений при t —> оо, являются задачи гидродинамики, см., например работы следующих авторов: С. JL Соболева [7], [8], В. П. Маслова [9], О.А.Ладыженской [10], В.Н.Маслениковой [11], [12], С.А. Габова [13], Ф. X. Мукминова [14], С. Г. Крейна [15] и др.

В настоящее время в связи с проблемами океанологии, физики атмосферы, а также охраны окружающей среды возрос интерес к изучению динамики неоднородных, в частности стратифицированных, вязких жидкостей.

При изучении таких задач авторы часто используют дополнительные гипотезы, такие как предположение Буссинеска и предположение об определенном виде стратификации, см., например работы Г. В. Демиденко, С. В. Успенского [16], В. Н. Маслениковой, А. В. Глушко, А. В. Перовой, Ю. Д. Плетнера, А. Г. Свешникова [17], JI. М. Бреховских, В. В. Гончарова [39] и др.

В диссертации предложен подход, разработанный на основе принципа локализации, который в некоторой степени позволяет отказаться от этих предположений. Методика была разработана на основе исследования модельных задач, которыми стали начально-краевые задачи для уравнения теплопроводности в полосе и полупространстве. Далее разработанный подход применен к исследованию задачи, описывающей малые колебания вязкой стратифицированной жидкости без использования предположений о виде стратификации и предположения Буссинеска.

Целью работы является разработка методов, позволяющих получать асимптотические оценки решений задач, описывающих поведение стратифицированной жидкости. Основным техническим приемом, позволяющим сделать это, является принцип локализации. Поэтому еще одной целью работы является развитие принципа локализации.

Методика исследований. Используются идеи и методы современной теории дифференциальных уравнений с частными производными, функционального анализа, теории функций комплексного переменного. В частности, используются теоремы о вложении функциональных пространств, принцип локализации для исследования задач гидродинамики, развитый А. В. Глушко и его учениками.

Научная новизна. Все основные результаты диссертации являются новыми. Среди них можно выделить следующие наиболее важные:

1. Доказаны теоремы существования и выделены классы единственности решений рассмотренных задач для дифференциальных уравнений и систем уравнений с частными производными;

2. Для обыкновенных дифференциальных уравнений и систем уравнений, являющихся образами Фурье-Лапласа исходных задач, на основе априорных оценок выявлены области аналитичности и, как следствие, проведена локализация, позволяющая установить связь между асимптотическим поведением решений исходных задач и поведением в окрестностях точек поворота решений задач в образах Фурье-Лапласа. Точность проведенных оценок подтверждена рассмотрением частного случая задач с постоянными коэффициентами;

3. Показано качественное изменение скорости стабилизации решений начально-краевых задач, описывающих распределение тепла, в зависимости от того, в каких областях они исследуются;

4. Разработана и реализована методика, позволяющая при исследовании скорости стабилизации решений задач гидродинамики отказаться от предположений о конкретном виде стратификации и от предположения Буссинеска.

Теоретическая и практическая значимость. Работа носит теоретический характер. Результаты диссертации могут быть использованы в учебном процессе, спецкурсах и научных исследованиях, проводимых в Воронежском, Московском, Белгородском, Самарском государственных университетах, РУДН, в Институте математики им. С. JI. Соболева СО РАН и др.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались и обсуждались в рамках работы Воронежской весенней математической школы (2006), Воронежской зимней математической школы (2007), на семинаре под руководством д. ф-м. н. А. В. Глушко (Воронеж 2006, 2008), научной сессии ВГУ (2006), международной молодежной научной конференции «XXXIII Гагаринские чтения» (Москва, 2007), на международной конференции «Дифференциальные уравнения и смежные вопросы», посвященной памяти И. Г. Петровского (Москва, 2007), семинаре под руководством профессора А. Г. Баскакова (Воронеж, 2008), семинаре под руководством профессора В. Д. Репникова (Воронеж, 2008).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1]-[11]. Из совместных работ [9],[10] в диссертацию вошли только результаты, принадлежащие лично диссертанту.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, разбитых на тринадцать параграфов, и списка литературы, включающего 52 источника. Общий объем диссертации 133 страницы.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Рябенко, Александр Сергеевич, 2009 год

1. Егоров Ю. В. Асимптотическое поведение решений нелинейных эллиптических и параболических систем в цилиндрических областях / Ю. В. Егоров, В. А. Кондратьев, О. А. Олейник // Математический сборник. -1998. - Т. 189. -№3.-С. 45-68.

2. Репников В. Д. Необходимые и достаточные условия установления решений задач Коши / В. Д. Репников, С. Д. Эдельман // Док. Акад. наук СССР. 1966. - Т. 167. - № 2. - С. 298-301.

3. Валицкий Ю. Н. Необходимое и достаточное условия стабилизации положительных решений уравнения теплопроводности / Ю. Н. Валицкий, С. Д. Эдельман // Сибирск. мат. жур. 1976. - Т. 17. - № 4. - С. 744-756.

4. Денисов В. Н. О равномерной стабилизации решения задачи Коши для параболических уравнений / В. Н. Денисов, В. Д. Репников // Диф. ур. -1984.-Т. 20.-№ 1.-С. 20-41.

5. Гущин А. К. О равномерной стабилизации решений второй смешанной задачи для параболических уравнений второго порядка / А. К. Гущин,B. П. Михайлов, Ю. А. Михайлов //Матем. сб. 1985. - Т. 128 (170). - С. 147-168.

6. Порпер Ф. О. О стабилизации решения задачи Коши для параболических уравнений / Ф. О. Порпер // Док. Акад. наук СССР. 1963. - Т. 153.C. 273-275.

7. Соболев С. JI. Об одной задаче математической физики / С. JI. Соболев // Изв. Акад. наук. Серия: Матем. 1954. - Т. 18. - № 1. - С. 3-50.

8. Соболев С. JI. О движении симметричного волчка с полостью, наполненной жидкостью / С. JI. Соболев // Прикл. мех. и техн. физ. 1960. - № 3. -С. 20-55.

9. Маслов В. П. О существовании убывающего при t —»со решения уравнения Соболева для малых колебаний вращающейся жидкости в цилиндрической области /В. П. Маслов // СМЖ. 1968. - Т. IX. - № 6. - С. 1351-1360.

10. Ладыженская О. А. Математические вопросы динамики вязкой несжимаемой жидкости / О. А. Ладыженская. М.: Наука, 1970. - 288 С.

11. Масленикова В. Н. Оценка в Lp я асимптотика при ?->со решениязадачи Коши для систем С. Л. Соболева / В. Н. Масленикова // Тр. Ми. Акад. наук СССР. 1968. - Т. 103. - С. 117-141.

12. Масленикова В. Н. Явные представления и априорные оценки решений граничных задач для системы Соболева / В. Н. Масленикова // Сиб. мат. жур.- 1968.-Т. 9.-№5.-С. 1182-1198.

13. Габов С. А. О задаче Коши для одного класса движений вязкой стратифицированной жидкости / С. А. Габов, Г. О. Малышева // Журн. выч. матем. и мат. физ.- 1984.-Т. 24.-№3.-С. 467-471.

14. Мукминов Ф. X. Об убывании решения первой смешанной задачи для линеаризованной системы уравнений Навье-Стокса в области с некомпактной границей / Ф. X. Мукминов // Матем. сб. 1992. - Т. 183. - С. 143-144.

15. Копачевский Н. Д. Операторные методы в линейной гидродинамике / Н. Д. Копачевский, С. Г. Крейн, Нго Зуй Кан. М.: Наука, 1989. - 416 С.

16. Демиденко Г. В. Уравнения и системы, не разрешенные относительно старшей производной / Г. В. Демиденко, С. В. Успенский. Новосибирск: Научная книга, 1998. - 436 С.

17. Перова А. В. О колебаниях в стратифицированной и вращающейся жидкости, возбуждаемых плоской бегущей по дну волной / Л. В. Перова, Ю. Д. Плетнер, А. Г. Свешников // Журн. выч. матем. и мат. физ. 2000. — Т.40. -№ 1.-С. 136-143.

18. Репников В. Д. О равномерной стабилизации решения задачи Коши для параболических уравнений / В. Д. Репников // Док. Акад. наук СССР. — 1964. — Т. 157.-С. 532-535.

19. Рябенко А. С. Изучение разрешимости и построение асимптотики решения одной начально-краевой задачи гидродинамики / А. С. Рябенко. Воронеж, 2006. - 31 с. - Деп. в ВИНИТИ 28.02.06; № 202-В.

20. Рябенко А. С. Аналитичность решения-одной краевой^ задачи'для дифференциального уравнения с параметрами / А. С. Рябенко. Воронеж, 2006. -11 с. - Деп. в ВИНИТИ 08.06:06, № 776-В'.

21. Рябенко А. С. Оценка при t —> оо решения задачи о распределении тепла в полосе с переменным коэффициентом теплопроводности / А. С. Рябенко // Труды математического факультета ВРУ. 2007. - Выпуск 11. - С. 175-185.

22. Глушко А. В. О малых одномерных акустических колебаниях стратифицированной жидкости в полупространстве / А. В. Глушко, А. С. Рябенко // Вестник воронежского государственного университета. Серия: Физика. Математика. 2008. - № 1. - С. 226-231.

23. Рябенко А. С. Оценка компонентов решения задачи, описывающей колебания в вязкой сжимаемой стратифицированной жидкости / А. С. Рябенко // Вестник СамГУ. Естественнонаучная серия. 2008. - № 6. - С. 185-192.

24. Глушко А. В. Асимптотические колебания и интрузия в вязкой сжимаемой стратифицированной жидкости / А. В. Глушко // Доклады РАН. 1999. — Т. 365.-№ 1 - С. 26-30.

25. Глушко А. В. Асимптотические методы в задачах гидродинамики / А. В. Глушко. Воронеж: Воронежский государственный университет, 2003. -300 С.

26. Успенский С. В. Теоремы вложения для Соболевских функциональных пространств. Приложения к дифференциальным уравнениям / С. В. Успенский, Е. Н. Васильева. М.: МГУП, 2006. - 118 С.

27. Фадеев Д. К. Избранные главы анализа и высшей алгебры / Д. К. Фадеев, Б. 3. Вулих, Н. Н. Уральцева. JT: изд-во. Ленингр. ун-та, 1981. - 199 С.

28. Олейник О. А. Лекции об уравнениях с частными производными / О. А. Олейник. -М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2005. 260 С.

29. Лойцянский Л. Г. Механика жидкости и газа / Л. Г. Лойцянский. — М.: Дрофа, 2003.-840 С.

30. Владимиров В. С. Уравнения математической физики / В. С. Владимиров, В. В. Жаринов. М. Физматлит, 2000. - 398 С.

31. Федорюк М. В. Обыкновенные дифференциальные уравнения / М. В. Федорюк. -М.: Наука, 1985.-450 С.

32. Федорюк М. В. Метод перевала / М. В. Федорюк. М.: Наука, 1977.368 С.

33. Бреховских JI. М. Введение в механику сплошной среды / JI. М. Бре-ховских, В. В. Гончаров. М.:Наука, 1982. - 335 С.

34. Рыбаков С. О. Принцип локализации и точные асимптотики по времени решения начально-краевой задачи для линеаризованной системы уравнений движения вращающейся вязкой жидкости: дис. . канд. физ.-мат. наук / С. О. Рыбаков. Воронеж: ВГУ, 1988.- 156 С.

35. Канторович JI. В. Функциональный анализ в нормированных пространствах / JI. В. Кантрович, Г. П. Акилов. М.: Наука, 1984. - 752 С.

36. Глушко А. В. Теорема о локализации для задачи динамики вращающейся вязкой сжимаемой жидкости / А. В. Глушко, С. О. Рыбаков // Сибирский математический журнал. -1992. Т. 33. - № 1. - С. 32-43.

37. Глушко А. В. Асимптотика по времени решения начально-краевой задачи в полупространстве для уравнений динамики вращающейся вязкой сжимаемой жидкости / А. В. Глушко, С. О. Рыбаков // Сибирский математический журнал. 1992. - Т. 33. - № 4. - С. 43-58.

38. Треногин В. А. Функциональный анализ / В. А. Треногин // М.: Физ-матлит., 2002.-448 С.

39. Глушко В. П. Неравенства для норм производных в пространствах L с весом / В. П. Глушко, С. Г. Крейн // Сибирский математический журнал.1960.-Т. 1. -№ 3. С. 342-382.

40. Харди Г. Г. Неравенства / Г. Г. Харди, Дж. Е. Литтльвуд, Г. Полиа; пер. с англ. В. И. Левина. М.: Гос. изд-во иностран. лит., 1948. - 456 с.

41. Сидоров Ю. В. Лекции по теории функции комплексного переменного / Ю. В. Сидоров, М. В. Федорюк, М. И. Шабунин. М.: Наука; Гл. ред. физмат. лит., 1989.-480 С.

42. Будак Б. М. Кратные интегралы и ряды / Б. М. Будак, С. В. Фомин. -М.: ФИЗМАТЛИТ, 2002 511 с.

43. Агранович М. С. Эллиптические задачи с параметром и параболические задачи общего вида / М. С. Агронович, М. И. Вишик // Успехи математических наук. -1964.- Т. XIX. Вып. 3.-53-161 С.

44. Тер-Крикоров А. М. Курс математического анализа / А. М. Тер-Крикоров, М. И. Шабунин. М.: МФТИ, 1997. - 716 С.

45. Соболев С. JL Уравнения математической физики / С. JI. Соболев -М.: Наука, 1966. 443 С.

46. Олвер Ф. Асимптотика и специальные функции / Ф. Олвер. М.: Наука, 1990. - 528 С.