Применение задачи Гильберта к исследованию разрешимости некоторых классов обратных краевых задач тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.01, кандидат физико-математических наук Селезнев, Валерий Витальевич

• Селезнев, Валерий Витальевич
• кандидат физико-математических наук
• 2004

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Селезнев, Валерий Витальевич

Введение.

Глава 1. Решение краевой задачи Гильберта с разрывными коэффициентами

§1. Случай односвязной области.

§2. Случай двусвязной области.

Глава 2. Обратные краевые задачи с граничными условиями на годографе производной

§3. Задачи для односвязных областей.

§4. Задачи для двусвязных областей.

§5. Бесконечносвязная область.

§6. Достаточные условия однолистной разрешимости.

Глава 3. Видоизмененная обратная краевая задача

§7. Случай односвязной области.

§8. Случай двусвязной области.

§9. О разрешимости некоторых смешанных обратных краевых задач об обтекании профиля.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Применение задачи Гильберта к исследованию разрешимости некоторых классов обратных краевых задач»

Диссертация посвящена применению краевой задачи Гильберта к решению некоторых классов обратных краевых задач (ОКЗ) теории аналитических функций.

Под обратной краевой задачей, как и в [6], понимается задача отыскания контура области и функции или системы функций, принадлежащих в искомой области заданному классу, которые являются решением некоторого дифференциального уравнения или системы дифференциальных уравнений, причем на контуре краевых условий задается на одно больше, чем требуется для решения прямой краевой задачи для данного класса функций. Таким образом, в отличие от прямых краевых задач, когда задаются дифференциальные уравнения, область существования их решения и одно краевое условие, в обратных краевых задачах задаются дифференциальные уравнения и два краевых условия, а отыскивается область, на границе которой решение уравнения удовлетворяет этим краевым условиям. К описанному классу относятся и обратные краевые задачи теории аналитических функций, когда отыскивается функция комплексного переменного, аналитическая в искомой области, по заданным граничным условиям. В этом случае вещественная и мнимая части искомой функции удовлетворяют в области уравнению Лапласа.

Как известно стимулом к возникновению теории ОКЗ послужила необходимость решения задач в аэрогидромеханике и теории упругости, в которых требовалось построить объекты, обладающие заранее заданными свойствами [42], [43], [66]. В настоящее время в результате более чем полувекового развития ОКЗ образуют обширный раздел теории аналитических функций, который был создан и развит преимущественно трудами казанских математиков и механиков (см., например, обзор [6]). Исторически сложилось так, что первые ОКЗ, имевшие приложения в механике, ставились по дуговому параметру s [66]. В односвязном случае задача состоит в отыскании области Dz и аналитической в Dz функции w(z) по ее граничным значениям w(s) = u(s) + iv(s), 0 <s<£, где s - дуговая абсцисса неизвестного граничного контура Lz области Dz и I — его длина. В зависимости от того, принадлежит бесконечно удаленная точка области Dz или нет, ОКЗ делятся на внешние и внутренние. Во внешних задачах существенным оказалось задано или нет положение точки w0, являющейся образом в плоскости w бесконечно удаленной точки в плоскости z. ОКЗ с заданной величиной w0 впервые рассмотрел М.Т. Нужин [43]. Внешняя ОКЗ в случае, когда w0 заранее не задается, рассмотрена Ф.Д. Гаховым [13]. Им же была доказана разрешимость уравнения, из которого определяется w0.

В связи с требованием физической реализуемости построенных объектов в механике большую роль в теории ОКЗ играют достаточные условия однолистности решений. В этом направлении получено большое число результатов, которые подробно отражены в обзорах [3], [4].

Естественным обобщением ОКЗ является смешанная обратная краевая задача о нахождении области, часть границы которой известна, и функции или системы функций, удовлетворяющей в этой области дифференциальному уравнению или системе дифференциальных уравнений, по некоторым граничным условиям. Одна из первых формулировок смешанной ОКЗ для гармонической функции приведена в работе Демченко [74], однако решение им не получено.

М.Т. Нужину [67] принадлежит следующая постановка смешанной ОКЗ: на известном участке границы области Dz заданы значения действительной или мнимой части искомой функции w(z), на неизвестном — значения всей функции: требуется определить неизвестные части контура и аналитическую функцию. Решение этой задачи сталкивается с большими проблемами, так как по граничным условиям область Z)w, вообще говоря, не определяется, и в общем виде до сих пор не построено.

В.Н. Монахов [40] поставил и исследовал следующую смешанную ОКЗ: на известном участке L\ границы Lz = L\ + L) области Dz задается соотношение Ф(<р, у/) = 0 между <р и у/ — действительной и мнимой частями аналитической функции w = <p + y/; на искомой части L] границы задаются значения w = F(t), ,т2], где т - один из параметров r = |z|, х = Re z, 9= arg z> s — дуговая абсцисса. Такое задание граничных условий позволяет определить область Da, что дает возможность применения метода сопоставления плоскостей. Разрешимость задачи исследовалась методом полигональной конечномерной аппроксимацииа.

М.И. Хайкин [68], [69] рассмотрел смешанную ОКЗ в случае, когда известен образ Da искомой области Dz с границей Lz = L\ +L); на неизвестном участке L\ заданной длины имеется граничное условие \dwjdz\ = f(s), s s [0, £], a известная дуга L\ задается одним из следующих способов: L\ задана полностью, концы ее фиксированы; L\ задана с точностью до подобия относительно некоторой точки хорды, соединяющей ее концы; L\ лежит на заданной кривой, уходящей в бесконечность, фиксируется только начало L\.

Доказательство разрешимости этой задачи проведено методом интегральных уравнений с использованием метода сопоставления плоскостей и граничного условия задачи. Исходная задача редуцируется к прямой смешанной краевой задаче, откуда и вытекает интегральное уравнение задачи. При определенных условиях методом Лере-Шаудера [34] доказана теорема существования решения. Доказаны также теоремы существования решений задач об обтекании безграничным потоком невесомой жидкости профиля, часть границы которого задается, а также фильтрационных задач построения подземного контура, когда часть его известна.

Смешанные задачи аэрогидромеханики исследовали JI.JI. Лебедев, Р.Б. Салимов, A.M. Елизаров, D.H. Wilkinson, T.D. Beatty, J.C. Narcamore и др. Так, в работах [33], [55], [76], [77] рассмотрены решения задач, когда часть крылового профиля предполагается известной, а другая отыскивается по заданному распределению скорости или давления. В частности Л.Л. Лебедев дал решение смешанной ОКЗ о нахождении формы профиля, обтекаемого потенциальным потоком жидкости, в предположении, что заданные участки представляют собой прямолинейные отрезки.

Следует также отметить краевые задачи теории фильтрации [27], [44]. Целый ряд задач теории фильтрации жидкости с неизвестными границами при различных предположениях о форме области фильтрации изучен в работах Н.Б. Салимова [50] —[54]. Отметим в этой связи задачу построения контура при наклонном водоупоре [50], задачу построения контура по распределению скорости фильтрации v(s) и v(x), когда область подстилается криволинейным водоупором [51], [54]; смешанные фильтрационные задачи, когда часть искомого контура задается [52], [53].

Близкими по математической постановке к фильтрационным задачам являются смешанные задачи теории удара, исследованные B.C. Рогожиным [47], [49].

Некоторые смешанные задачи газовой динамики и теории упругости, математическая постановка которых эквивалентна постановке задачи В.Н. Монахова, исследованы в [35] - [40].

Однозначная разрешимость как прикладных смешанных ОКЗ, так и задач в чисто математической постановке рассматривалась Г.Г. Тумашевым, М.Т. Нужиным, Р.Б. Салимовым, Н.Б. Салимовым, Н.Б. Ильинским, B.C. Рогожиным, И.Л. Гуревичем, A.M. Елизаровым и другими исследователями. Обзор литературы, посвященной этим вопросам, можно найти в монографиях [24], [40], [67], а также в обзорных статьях [6], [23].

Отметим, в частности, ряд статей A.M. Елизарова [16] - [22]. Им доказаны теоремы разрешимости обобщенной смешанной ОКЗ М.И. Хайкина по параметрам х и г, получено достаточное условие однолистности решения внешней задачи по параметру х, теоремы разрешимости для смешанной ОКЗ Демченко по параметру s, х, г, 0 = arg z.

Целью настоящей работы является исследование некоторых ОКЗ и смешанных ОКЗ для областей различной связности, выяснение вопросов разрешимости, получение общего решения, изучение его поведения вблизи особых точек границы, выяснение условий однолистности и их зависимости от геометрии известной части границы искомой области.

Основными методами исследования являются методы геометрической теории функций комплексного переменного, методы теории краевых задач, теории интегралов типа Коши.

Диссертация состоит из введения и трех глав, разделенных на девять параграфов. Нумерация формул и утверждений ведется по параграфам.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Селезнев, Валерий Витальевич, 2004 год

1. Авхадиев Ф. Г. Радиусы выпуклости и почти выпуклости некоторых интегральных представлений // Матем. заметки — 1970. — Т. 7 - Вып. 5. — С. 581-592.

2. Авхадиев Ф. Г. О методе локального гомеоморфного продолжения в теории достаточных условий однолистности // Тр. семин. по краевым задачам.- Казань: Изд-во Казан, ун-та, 1983. — Вып. 20. — С. 3-10.

3. Авхадиев Ф. Г., Аксентъев JI. А. Основные результаты в достаточных условиях однолистности аналитических функций // УМН. — 1975. — Т. 30. — Вып. 4.-С. 4-60.

4. Авхадиев Ф. Г., Аксентъев JI. А., Елизаров А. М. Достаточные условия конечнолистности аналитических функций и их приложения // Итоги науки и техники: Математический анализ. -М.: ВИНИТИ, 1987. Т. 25. - С. 3-121.

5. Аксентъев JI. А. Точные оценки для гармонических в круге функций // Изв. вузов. Математика. 1968. - № 3. - С. 3-8.

6. Аксентъев JI. А., Ильинский Н. Б., Нужин М.Т., Салимое Р. Б., Тумашев Г. Г. Теория обратных краевых задач и её приложения // Итоги науки и техники: Математический анализ. ВИНИТИ, 1980. - Т. 18. — С. 69-126.

7. Аксентъев Л. А., Решетников Ю. А. Об однолистности разрешимости обратной краевой задачи гидромеханики // Тр. семин. по краевым задачам. — Казань: Изд-во Казан, ун-та, 1971. - Вып. 8. - С. 12-21.

8. Ахиезер Н. И. Элементы теории эллиптических функций, 2-е изд. — М.: Наука, 1970.- 304 с.

9. Банцури Р. Д. О задаче Римана-Гильберта для двусвязных областей // Сообщения АН Груз ССР. 1975. - Т. 80. - № 3 - С. 549-552.

10. Биркгоф Г, Сарантонелло Э. Струи, следы и каверны. М.: Мир, 1964.-466 с.И. Боярский Б. В. Об особом случае задачи Римана-Гильберта // ДАН СССР. 1964. - Т. 119. - № з. - С. 411-414.

11. Веку а И. Н. Обобщенные аналитические функции. — М.: Физматгиз, 1959.-512 с.

12. Гахов Ф. Д. Об обратных краевых задачах // Уч. записки Казан, ун-та.- Казань, 1953. Т. 113. - № 10. - С. 9-20.

13. Гахов Ф.Д. Краевые задачи, 3-е изд. М.: Наука, 1977. - 640 с.

14. Гахов Ф. Д., Хасабов Э. Г. О краевой задаче Гильберта для многосвязной области // Изд. вузов. Математика. — 1958. — Т. 2. № 1. — С. 1221.

15. Елизаров А. М. Об обратной смешанной краевой задаче Демченко // Казань. 1977 г. - 17 с. Рукопись депонирована в ВИНИТИ 10. 01. 78, № 164 -78.

16. Елизаров А. М. Об устойчивости решений обратных смешанных задач на примере задач теории фильтрации // Изв. АН СССР. Механ. жидкости и газа. 1977. - № 2.- С.54-63.

17. Елизаров А. М. Доказательство разрешимости некоторых смешанных обратных краевых задач для регулярной функции // Изв. вузов. Математика. — 1979.-№ 10.-С. 94-98.

18. Елизаров А. М. Вопросы разрешимости смешанных обратных краевых задач для аналитических функций // Автореф. дис., . канд. ф.-м. наук. — Казань. Казан, ун-т, 1980. 14 с.

19. Елизаров А. М. О смешанной обратной краевой задаче обтекания профиля // Тр. семин. по краевым задачам. — Казань: Изд-во Казан, ун-та, 1980. -Вып. 17.-С. 56-62.

20. Елизаров А. М. Об одном классе смешанных обратных краевых задач // Изв. вузов. Математика. 1981. - № 6. С. 28-34.

21. Елизаров А. М О смешанных обратных краевых задачах в двусвязных областях // Тр. семин. по краевым задачам. — Казань: Изд-во Казан, ун-та, 1982. -Вып. 18.-С. 53-60.

22. Елизаров А. М., Ильинский Н. Б., Поташев А. В. Обратные краевые задачи аэрогидромеханики // Итоги науки и техники. Серия Механика жидкости и газа. -М.: ВИНИТИ, 1989. -Т. 23. С. 3-115.

23. Елизаров A. M., Ильинский Н. Б., Поташев А. В. Обратные краевые задачи аэрогидромеханики. М.: Наука, 1994. - 440 с.

24. Елизаров А. М, Селезнев В. В. О разрешимости некоторых смешанных обратных краевых задач //Изв. вузов. Математика. 1981. - №11. - С. 3-10.

25. Зверович Э. И. Краевые задачи теории аналитических функций в гельдеровых классах на римановых поверхностях // УМН. — 1971. T.XXXVI. -Вып. 1.-С. 113-179.

26. Ильинский Н. Z>. Построение контура основания гидротехнического сооружения по распределению напора // Труды по теории фильтрации. — Казань. Уч. зап. КГУ, 1958. - Т. 118. - Кн. 2. - С. 134-157.

27. Канторович Л. В., Акилов Г. П. Функциональный анализ, 2-е изд. — М.: Наука, 1977.-742 с.

28. КвеселаваД. А. Задача Римана-Гильберта для многосвязной области // Сообщения АН Груз. ССР- 1945.-№ 8.-С. 581-590.

29. Комяк ИИ., Усс А./Т Особый случай задачи Гильберта // Изв. АН БССР. Серия физ. мат. Наук, 1975 - № 6 - С. 22-29.

30. Крейн С. Г., Петунин Ю. И Шкалы банаховых пространств // УМН. -1966. Т. XXI. - № 2. - С. 89-168.

31. Лаврентьев М. А., Шабат Б. В. Методы теории функций комплексного переменного, 4-е изд., испр. — М.: Наука, 1973. — 736 с.

32. Лебедев Л. Л. Одна обратная смешанная задача // Казань. Уч. зап. КГУ. - 1957. - Т. 117. - № 9. - С. 100-103.

33. Лере Ж., Шаудер Ю. Топология и функциональные уравнения // УМН. 1946. - Т.1. - № 3. - С. 71-95.

34. Монахов Б. Н. О теоремах единственности в задачах гидродинамики со свободными границами // Тр. семин. по краевым задачам. Казань: Изд-во Казан, ун-та, 1964. - Вып. 1.-С. 81-87.

35. Монахов В. Н. Об одном классе краевых задач со свободными границами для эллиптических систем // Тр. семин. по краевым задачам. — Казань: Изд-во Казан, ун-та, 1964. - Вып. 1. - С. 93-95.

36. Монахов ВН. О теоремах существования в задачах гидродинамики со свободными границами // Тр. семин. по краевым задачам. Казань: Изд-во Казан, ун-та, 1964. - Вып. 2. - С. 142-152.

37. Монахов В. Н. Об однозначной разрешимости плоских задач газовой динамики со свободными границами // ДАН СССР. — 1965. — Т. 164. — № 5. — С. 982-984.

38. Монахов В. Н. О краевых задачах со свободными границами для эллиптических систем уравнений // Тр. семин. по краевым задачам. — Казань: Изд-во. Казан, ун-та, 1964. Вып. 1. - С. 88-92.

39. Монахов В. Н. Краевые задачи со свободными границами для эллиптического систем уравнений. — Новосибирск: Наука, 1977. — 424 с.

40. Мусхелишвили Н. И. Сингулярные интегральные уравнения. — М.: Наука, 1962.-599 с.

41. Нужин М. Т. О некоторых обратных краевых задачах и их приложениях в теории упругости. — Дисс. . канд. ф.-м. наук. Казань, 1947. — 44с.

42. Нужин М. Т. О некоторых обратных краевых задачах и их применении к определению формы сечения скручиваемых стержней // Уч. зап. Казан. Ун-та.- 1949.-Т. 109.-№ 1.-С. 97-120.

43. Нужин М. Т., Ильинский Н. Б. Методы построения: подземного контура гидротехнических сооружений // Обратные задачи теории фильтрации. Казань.: Изд-во Казан, ун-та, 1963. — 139 с.

44. Обносов Ю.В. к решению линейной задачи Гильберта в одном особом случае // Изв. вузов. Математика, 1979, -№ 9 - С. 29-40

45. Решетников Ю. А. Достаточные условия однолистности регулярных функций в круговом кольце // Изв. вузов. — Математика. 1982 г. - N 2. - С. 73-75.

46. Рогожин В. С. Обратная задача теории удара // Уч. зап. Казанского университета. 1957. - Т. 117. - Кн. 2. - С. 36-37.

47. Рогожин В. С. Достаточные условия однолистности решения обратных краевых задач // ПММ. 1958. - Т. 22. - № 6. - С. 804-807.

48. Рогожин В. С. Нахождение формы тела по заданному импульсному давлению при ударе // ПММ. 1959. — Т. 23. — № 3. - С. 589-591.

49. Салимое Н. Б. Обратная задача напорной фильтрации при наклонном водоупоре // Тр. семин. по краевым задачам. — Казань: Изд-во Казан, ун-та, 1966. Вып. 3.-С. 146-158.

50. Салимое Н. Б. Обратная задача напорной фильтрации в области с криволинейном водоупором // Тр. семин. по краевым задачам. Казань: Изд-во. Казан.ун-та, 1968.-Вып. 5.-С. 187-196.

51. Салимое Н. Б. О некоторых задачах фильтрации жидкости с неизвестными границами // Изв. вузов. Математика — 1969. № 2. - С. 88-98.

52. Салимое Н. Б. Некоторые задачи фильтрации жидкости с неизвестными границами. — Автореф. дисс . канд. ф.-м. наук. — Казань, 1969.

53. Салимое Н. Б. О разрешимости двух обратных краевых задач теории фильтрации // Тр. семин. по краевым задачам. — Казань: Изд-во Казан, ун-та, 1972. Вып. 9. - С. 208-215.

54. Салимое Р. Б. О решении краевых задач аэрогидро -механики // Тр. КАИ. Казань. - 1962. - Вып. 71. - С. 42-49.

55. Салимое Р. Б., Селезнев В. В. К решению краевой задачи Гильберта с разрывными коэффициентами // Тр. семин. по краевым задачам. Казань: Изд-во Казан, ун-та, 1979. - Вып. 16. - С. 159-162.

56. Салимое Р. В., Селезнев В. В. Решение краевой задачи Гильберта с разрывными коэффициентами для кольца // Тр. семин. по краевыми задачам. — Казань: Изд-во Казан, ун-та, 1980. Вып. 17. - С. 140-157.

57. Салимое Р. Б., Селезнев В. В., Славутин М. Л. Обратные краевые задачи с граничными условиями на годографе производной // Тр. семин. по краевым задачам. Казань: Изд-во Казан, ун-та, 1987. - Вып. 24. - С. 198 -212.

58. Селезнев В. В., Славутин М. Л. Однолистная разрешимость обратных краевых задач с граничными условиями на годографе производной // Тр. семин. по краевым задачам. — Казань: Изд-во Казан, ун-та, 1988. Вып. 25. -С. 220-229.

59. Салимое Р. Б., Селезнев В. В. Видоизмененная обратная краевая задача // Тр. Матем. центра им. Н. И. Лобачевского. Казань: Изд-во Казан. Матем. об-ва, 2002. - Т. 13. - С. 136-141.

60. Селезнев В. В. Видоизмененная обратная краевая задача для двусвязной области // Тр. XXII межвуз. конференции. Самара. - Ч. 3. - С. 109-112.

61. Селезнев В.В. Краевая задача Гильберта и ее применение к решению некоторых обратных краевых задач // Тр. Матем- центра им. Н.И. Лобачевского. — Казань: Изд-во Казан, матем. об-ва, 2003. — Т.21. С. 53-60.

62. Симонов Л. А. Построение профилей по годографу скорости // ПММ.- 1940. Т. 4. - Вып. 2. - С. 97-116.

63. Симонов Л. А. Построение профилей по годографу скорости // ПММ.- 1941. Т. 5. - Вып. 2. - С. 193-222.

64. Степанов Г. Ю. Гидродинамика решеток турбомашин. М.: Наука, 1962.-512 с.

65. Тумашев Г. Г. Определение формы границ потока жидкости по известному распределению скорости или давления. — Дисс. . канд. ф.-м. наук. -Казань, 1945.-70 с.

66. Тумашев Г. Г., Нужин М. Т. Обратные краевые задачи и их приложения // 2-е изд. Казань. - 1965. - 333 с.

67. Хайкин М. И. Теоремы существования для одного класса обратных смешанных краевых задач теории аналитических функций // Тр. КАИ. -Казань. 1961. - Вып. 64. - С. 3-24.

68. Хайкин М. И. О разрешимости обратной смешанной краевой задачи // Тр. КАИ. Казань. - 1962. - Вып. 68. - С. 11-20.

69. Черепанов Г. П. Задача Римана-Гильберта для внешности разрезов вдоль прямой и вдоль окружности // ДАН СССР. 1964. - Т. 156. - № 2. - С. 274-277.

70. Шабалин П. Л. Исследование общего решения обратной краевой задачи для аналитических функций. — Автореф. дисс. . канд. ф.-м. наук. -Казань, 1976.

71. Demthenko В. Sur un probleme inversan probleme Dirichlet // C. R. — 1929.-V.89.

72. Kaplan W. Close-to-contex sclicht functions // Michigan Math J. 1952 -J. I. —№ 2.— P. 169-185.

73. Narramore J. C., Beatty T. D. An inverse method for the design of multielement hight-left sistems // AIAA Pap. 1975. - № 879. - 7 P.

74. Narramore J. C., Beatty T. D. Inverse method for the dedsign of multielement hight-left sistems // J. Aircraft. 1976. - № 13. - P. 393-398.