Применение водородного генератора повышенной мощности в стандартах частоты фонтанного типа тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.11.15, кандидат наук Алейников, Михаил Сергеевич

• Алейников, Михаил Сергеевич
• кандидат наук
• 2017

Оглавление диссертации кандидат наук Алейников, Михаил Сергеевич

Введение........................................................................... 4

Список сокращений................................................................. 17

Глава 1 Взаимодействие квантовой системы с резонансным излучением в стандартах частоты, работающих в импульсном режиме........................................... 18

1.1 Введение в проблему......................................................... 18

1.2 Расчет чувствительности двухуровневой системы к флуктуациям электромагнитного

поля СВЧ резонатора в «фонтане»............................................... 20

1.3 Влияние ФШ опросного сигнала на стабильность стандарта частоты.............. 24

1.4 Результаты численного эксперимента для двух моделей СВЧ синтезатора......... 31

1.5 Выводы...................................................................... 34

Глава 2 Методы повышения выходной мощности сигнала водородного генератора....... 36

2.1 Теоретические вопросы принципа работы и устройства Н-мазера................. 37

2.1.1 Общая тория............................................................... 37

2.1.2 Оптимальные параметры нижней вакуумной части Н-мазера..................... 44

2.1.2.1 Магнитная селективная система........................................... 48

2.1.2.2 Температура атомарного источника........................................ 50

2.1.3 Эффект двойного резонанса................................................. 52

2.2 Магнитная система двойной сортировки атомов водорода по энергетическим

состояниям.................................................................... 59

2.2.1 Численный эксперимент..................................................... 60

2.2.2 Натурный эксперимент...................................................... 64

2.2.3 Экспериментальная верификация правильной работы системы................... 68

2.3 Н-мазер повышенной мощности............................................... 70

2.3.1 Измерение отношения сигнал-шум на выходе прибора.......................... 71

2.3.2 Конструктивные особенности прибора........................................ 73

2.4 Выводы...................................................................... 76

Глава 3 Методы измерения СПМ ФШ................................................... 78

3.1 Метрологические характеристики во временной и частотной области измерений. 78

3.2 Обзор основных измерений ФШ СВЧ устройств................................... 85

3.2.1 Одноканальная техника..................................................... 85

3.2.2 Двухканальная техника..................................................... 89

3.2.3 Техника дополнительного подавления ФШ..................................... 93

3.3 Расчетные модели СПМ ФШ генераторов сигнала............................... 96

3

3.3.1 Водородный генератор................................................... 97

3.3.2 Генератор на основе диэлектрического резонатора........................ 99

3.4 Выводы.................................................................... 101

Глава 4 Исследования узла формирования зондирующего сигнала рубидиевого фонтана........................................................... 103

4.1 Предмет исследований.................................................... 103

4.2 Водородный стандарт повышенной мощности................................. 106

4.2.1 СПМ ФШ активного Н-мазера............................................. 106

4.2.2 СПМ ФШ используемых КГ................................................ 109

4.2.3 Метрологические характеристики стандарта.............................. 111

4.3 Коммерческий синтезатор SDI Rb-1...................................... 115

4.3.1 Техническое описание.................................................. 115

4.3.2 СПМ ФШ зондирующего сигнала........................................... 118

4.4 Исследуемый синтезатор.................................................. 121

4.4.1 Общая схема........................................................... 121

4.4.2 Генератор 7 ГГц на основе ДДР......................................... 122

4.4.2.1 Узел резонатора..................................................... 124

4.4.2.2 Узел усилителя...................................................... 126

4.4.3 СПМ ФШ зондирующего сигнала........................................... 128

4.5 Выводы.................................................................. 131

Заключение.................................................................... 133

Библиография.................................................................. 135

Приложение А. Система уравнений, описывающих эффект двойного

резонанса в Н-мазере.......................................................... 155

4

Введение

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Применение водородного генератора повышенной мощности в стандартах частоты фонтанного типа»

Актуальность

Современное состояние науки в области измерений времени и частоты является определяющим во многих отраслях человеческой деятельности. Использование мобильной связи и высокоскоростного транспорта [1], банковские технологии, радионавигационные и радиолокационные системы, контроль космического пространства [2-6], хранение национальной шкалы времени [7], исследования в прикладной метрологии фундаментальных физических констант [8-10] - далеко не полный список применения частотно-временных измерений как в повседневной, так и в военной и научной сферах жизни. Особенное внимание в настоящее время уделяется развитию глобальной навигационной спутниковой системы ГЛОНАСС [1,6] и ее функциональным дополнениям. В рамках реализации Федеральной целевой программы «Поддержание, развитие и использование системы ГЛОНАСС на 2012-2020 годы» [11] предусмотрена разработка высокоточных стандартов частоты для сличений национальной шкалы времени UTC(SU) со шкалой времени системы ГЛОНАСС, а также шкалами других метрологических лабораторий мира с целью достижения погрешности сличения не более 3 нс. Для выполнения такой задачи требуется, в частности, создание наземного образца хранителя единицы времени и частоты с СКДО частоты на уровне (1-2)-10-16. На данный момент в нашей стране в ГМЦ ГСВЧ функционирует метрологический цезиевый репер частоты фонтанного типа с НСП частоты менее 5-10-16 и СКДО частоты не более 1-10-15 [12-13], а также группа водородных хранителей с общим СКДО порядка (5-7)-10-16 [7].

Уменьшение погрешности хранения и воспроизведения единиц времени и частоты связано с совершенствованием и созданием новых технических

5

средств, то есть стандартов частоты и времени или часов. Стандарты, основанные на квантовом переходе атомной системы, позволили многократно увеличить точность и стабильность воспроизведения единицы времени и частоты [14-19]. Квантовые стандарты превзошли кварцевые часы по значению предельно достигаемой стабильности частоты на несколько порядков, и являются сегодня активно развивающимся направлением (Рис. 1). Поскольку в основе определения секунды в настоящий момент используется переход атома ''"Cs [25], частота которого лежит в СВЧ диапазоне, повышение точности и стабильности стандартов в этой области частот является чрезвычайно важной и актуальной задачей.

г, с

Рисунок 1. Типовые значения девиации Аллана (СКДО) относительной частоты для лучших образцов кварцевых часов [20-22] (Кварц), а также квантовых часов: стандарт частоты фонтанного типа [23] (Фонтан) и водородный стандарт [24] (Н-мазер).

В ведущих метрологических центрах мира в качестве первичных стандартов частоты функционируют «фонтаны» на охлажденных атомах

6

цезия или рубидия [23, 26-32], ставшие на замену тепловым атомным стандартам. Метрологические характеристики «фонтана» определяются, главным образом, ансамблем рабочих атомов, лежащих в основе построения самих часов. Флуктуации измеренного количества рабочих атомов в искомом квантовом состоянии характеризуют предельно достигаемую стабильность атомного стандарта [33-34]. Связанные с такими флуктуациями, шумы прибора носят название фундаментальных шумов и определяются отношением сигнал-шум, а также добротностью исследуемого перехода рабочих атомов. Подавление этого шума связано с увеличением количества рабочих атомов, что в свою очередь, приводит к нежелательному дополнительному спин-обменному взаимодействию [35-36]. Оптимальный выбор рабочей плотности атомов в облаке фонтана определяет вклад фундаментального шума в общее СКДО и составляет для различных образцов (7-15)Т0-14 на интервале 1 с.

Однако, помимо указанного фундаментального шума, в стандарте частоты фонтанного типа существуют технические шумы, обусловленные как шумами лазерной и детектирующей систем, так и шумами синтезатора [37-38], возникающими при формировании сигнала, зондирующего часовой атомный переход. Произведенный анализ существующих и функционирующих фонтанов в различных зарубежных метрологических лабораториях [23, 27, 29, 30, 32] показывает, что технические шумы, как правило, превышают фундаментальный шум, ограничивая предельно достижимую нестабильность стандарта. Более того, основной вклад технического шума в общее СКДО обусловлен фазовым шумом опросного сигнала, зондирующего часовой атомный переход (Табл. 1). Исследования метрологического цезиевого репера частоты фонтанного типа, функционирующего во ФГУП «ВНИИФТРИ» [13], также показывают, что

7

СКДО^"7СКДО^' > 2. Следовательно, одной из главных проблем стандартов фонтанного типа является фазовый шум опросного сигнала.

Таблица 1. Значения вклада фазового шума опросного сигнала в общее СКДО существующих стандартов частоты фонтанного типа в различных метрологических лабораториях.

Тип эталонного/опорного генератора Криогенный СВЧ генератор/водородный генератор Сверхмалошумяший кварцевый генератор/водородный генератор

Название стандарта фонтанного типа SYRTE- F01 SYRTE- F02 NIST-F2 PTB-CsF1 IEN- CsF1 NPL-Rb

Страна Франция Франция США Германия Италия Англия

Вклад в СКДО на интервале измерения 1 с 4.1-10-14 2.8-10-14 1.7-10-13 2-10-13 3-10-13 1.5-10-13

Время усреднения для достижения СКДО 1-10-16 2 суток 1 сутки 33 суток 46 суток 3^ месяца 26 суток

Таким образом, задача создания хранителя единицы времени и частоты фонтанного типа на основе атомов рубидия с заданным СКДО частоты на уровне (1-2)-10-16 требует сверхмалошумящий уровень зондирующего сигнала, вклад в СКДО которого не превышает 1.5-10-13 на интервале измерения 1 с. Стоит отметить, что для решения задачи хранения времени необходимо использование надежного и стабильного опорного сигнала. Обычно в качестве источника такого сигнала используют водородный генератор (Табл. 1), основанный на переходе сверхтонкого расщепления основного состояния атома водорода с частотой 1.42 ГГц [39].

Проведенный анализ метрологических характеристик среди доступных коммерческих сверхмалошумящих генераторов показал, что при использовании опорного сигнала от обычного промышленного водородного стандарта, достижение требуемого уровня СКДО частоты становится крайне сложной задачей - необходимый интервал измерения составляет около 60

8

сутиок, что приводит к огромному времени наблюдения за измерительным процессом.

Таким образом, возникает иротимео/зечме между актуальными требованиями по стабильности хранения единицы времени и частоты и возможностями доступных прецизионных метрологических задающих генераторов в СВЧ диапазоне.

Сложившееся противоречие разрешает, с одной стороны, применение криогенного СВЧ генератора [40-42] (Табл. 1), однако этот подход имеет ряд недостатков, связанных с технической трудоемкостью и громоздкостью всей установки. С другой стороны, повышение метрологических характеристик опросного СВЧ сигнала возможно за счет использования в качестве опоры водородного мазера с увеличенной мощностью [43] (Рис. 2). Впервые предложенная Ёлкиным Г.А. и Бойко А.И. идея разработки такого прибора позволяет увеличить стабильность частоты выходного сигнала на иоряЭок по сравнению с промышленным аналогом.

Рисунок 2. Общая схема хранителя единицы времени и частоты на охлажденных атомах рубидия.

В настоящей работе исследуются метрологические характеристики рубидиевого хранителя с опросным сигналом, формируемым из опорного

9

сигнала «мощного» водородного генератора (Рис. 2). Особого внимания в общей схеме хранителя заслуживает блок синтезатора. С одной стороны, его основным элементом может являться кварцевый генератор, определяя метрологические характеристики всего синтезатора. В настоящее время одним из лучших по метрологическим показателям среди таких приборов является коммерческий синтезатор типа Rb-1 фирмы SpectraDynamicsInc. С другой стороны, активное развитие в области сверхмалошумящих СВЧ усилителей и малошумящей базы СВЧ элементов в целом, а также методов дополнительного подавления фазового шума, открывает возможности разработки сверхмалошумящих СВЧ генераторов на основе диэлектрических резонаторов, не прибегая к технике криогенного охлаждения [44-45]. В диссертации производится анализ сравнения фазового шума опросного сигнала при использовании либо коммерческого синтезатора SDI Rb-1, либо исследуемого синтезатора на основе разработанного генератора промежуточной частоты 7 ГГц, состоящего из высокодобротного диэлектрического резонатора и сверхмалошумящего СВЧ усилителя.

работы

Повышение стабильности хранителя единицы времени и частоты фонтанного типа на основе охлажденных атомов рубидия.

Объект мсслббобаимм

Реперы и хранители единицы времени и частоты фонтанного типа на основе охлажденных атомов рубидия.

10

мсслеЭоеанмм

Методы определения метрологических характеристик рубидиевых стандартов частоты фонтанного типа, использующих в качестве опорного сигнала водородный генератор.

Разработке и исследованию водородных стандартов посвящены труды Ёлкина Г. А., Бойко А. И., Демидова Н. А., Сахарова Б. А., Гайгерова Б. А., Сысоева В. П., Васильева В. И. и др. За рубежом данным вопросом занимались N. Ramsey, C. Audoin, D. Kleppner, H. Berg, E. Mattison, R. Vessot,

H. Goldenberg и др. Однако в проведенных до настоящего момента исследованиях не изучен вопрос повышения стабильности рубидиевого «фонтана» за счет увеличения мощности водородного генератора.

Основная научная задача

Разработка и исследование схемы формирования опросного сигнала, состоящей из Н-мазера повышенной мощности и синтезатора на основе генератора частоты 7 ГГц со сверхнизким уровнем фазового шума. Анализ фазовых шумов опросного сигнала в схемах с исследуемым и коммерческим синтезатором. Поставленная задача потребовала решения следующих частных научных задач.

Частные научные заЭачм

I. Разработка водородного генератора повышенной мощности и исследование его метрологических характеристик.

11

2. Разработка и анализ принципиальной СВЧ схемы исследуемого синтезатора на основе диэлектрического генератора частоты 7 ГГц.

3. Разработка методики исследования фазовых шумов основных элементов в схеме формирования опросного сигнала.

Научные положения, ныносм^ые на за^н^у

1. Использование опорного сигнала водородного генератора повышенной мощности, соответствующей выходному соотношению сигнал-шум в полосе 1 Гц не менее 80 дБ, обеспечивает нестабильность рубидиевого хранителя времени и частоты фонтанного типа 2-10-16 за время усреднения 16 суток.

2. Разработанный метод численного расчета траектории атомов в магнитной сортирующей зоне Н-мазера показывает, что селекция четырехполюсного магнита обеспечивает выходную мощность Н-мазера на 15% больше, чем селекция шестиполюсного магнита. Понижение температуры атомарного источника обеспечивает увеличение выходной мощности на 30%.

3. Использование двойной магнитной сортировки атомов по состояниям повышает выходную мощность сигнала Н-мазера на 2.5 дБ. Разработанный водородный генератор на основе предложенных методов повышения мощности обеспечивает на выходе уровень отношения сигнал-шум 87 дБ в полосе 1 Гц.

4. Использование разработанного Н-мазера повышенной мощности в схеме формирования зондирующего сигнала 6.834... ГГц обеспечивает нестабильность рубидиевого фонтана, вызванную фазовым шумом опросного сигнала, не более 1-10-1Wr.

12

Научная новмзна

1. Произведен численный расчет и приведен согласующийся с ним аналитический ормзмнальным вид функции чувствительности двухуровневой квантовой системы к фазовые флуктуациям внешнего возбуждения в виде одиночного импульса, а также двух разнесенных во времени импульсов. Данные расчеты используются для вычисления вклада фазового шума зондирующего сигнала в общую нестабильность стандарта частоты, работающего в циклическом режиме. На основе полученной функции чувствительности определяются метрологические характеристики исследуемого синтезатора для его функционирования в составе фонтана с требуемой стабильностью частоты.

2. Баервые выполнен численный расчет потока атомов водорода в накопительную колбу, проведенный в цилиндрических координатах для случая аксиальной симметрии. На основе произведенных вычислений исследована работа магнитной сортирующей системы в зависимости от параметров источника атомарного водорода и сортирующих магнитов, от конструкции всей сортирующей системы в целом, а также от количества полюсов магнитов.

3. Биервые исследована зависимость фактора качества сортирующей системы от параметров магнитного поля, созданного антигельмгольцевыми катушками в области между магнитами, для возбуждения Майорановского атомного перехода. Исходя из проведенных исследований, впервые реализована работа двойной сортирующей системы Н-мазера при помощи вспомогательных поперечных по отношению к оси атомного пучка катушек, а также дополнительного экранирования сортирующих магнитов.

13

4. Биереые на теоретическом уровне проведены расчеты эффекта двойного резонанса в Н-мазере для случая потока атомов, учитывающего населенности есех заанмлных (Зеемановских) подуровней сверхтонкой структуры основного состояния атома водорода.

5. Представлена ормамнальная электрическая СВЧ схема привязки по частоте сигнала малошумящего генератора промежуточной частоты 7 ГГц к сигналу Н-мазера повышенной мощности. На основе этой схемы исследован уровень фазовых шумов синтезируемого сигнала с частотой 6.834... ГГц, предназначенного для опроса часового перехода атомов 87Rb.

Лраллмлеслая знаумз/осль м енеЭренме

Разработанный СВЧ синтезатор на основе сигнала Н-мазера повышенной мощности обеспечивает требуемую нестабильность стандарта частоты фонтанного типа и входит в состав экспериментального/опытного образца хранителя частоты на холодных атомах рубидия в ГМЦ ГСВЧ.

Лмчным еклаЭ аелора

Все экспериментальные и теоретические результаты, представленные в настоящей работе, получены автором лично. Автор принимал активное участие в разработке водородного генератора повышенной мощности, результаты исследования которого представлены в главе 2, а также в разработке сверхмалошумящего СВЧ генератора на основе лейкосапфирового высокодобротного кристалла и малошумящего усилителя основной цепи, результаты исследования которого представлены в главе 4.

14

Ооб77?о««р//об77??7 работы

Результаты исследований подтверждаются достоверными экспериментальными методиками, выполненными на основе калиброванного и сертифицированного измерительного оборудования, а также современных прецизионных приборов. Кроме того, большинство полученных экспериментальных результатов находятся в согласии с предварительно проведенными теоретическими исследованиями.

4лробадмл работы

Материалы диссертации докладывались на Европейском время-частотном форуме и Международном симпозиуме по контролю частоты (2013 г. Прага, 2014 г. Невшатель, 2014 г. Тайпей, 2015 г. Денвер, 2016 г. Новый Орлеан), на научно-практической конференции молодых ученых, аспирантов и специалистов «Метрология в XXI веке» (2013 г., 2014 г., 2015 г., 2016 г.), а также на Международном симпозиуме «Метрология времени и пространства» (2014 г. Суздаль, 2016 г. Санкт-Петербург), Всероссийской научно-технической конференции «Метрология в радиоэлектронике» (2014 г., 2016 г. Менделеево). Материалы диссертации были представлены на соискание премии им. С.А. Христиановича по направлению «исследование параметров времени и частоты», проводимой среди молодых ученых ФГУП «ВНИИФТРИ», в 2013 г. и 2015 г.

15

Основные положения работы отражены в журнале «Измерительная техника» и сборниках трудов «Proceedings EFTF», «Proceedings IFCS», «Proceedings IFCS-EFTF», «Метрология времени и пространства», «Метрология в радиоэлектронике». Результаты диссертационного исследования содержатся в 12 публикациях, среди них 4 публикации входят в список реферируемых журналов рекомендованных ВАК.

16

Выражаю глубокую признательность и благодарность своей семье и родителям за оказанную поддержку. В процессе написания диссертации особо благодарю своего научного руководителя д.т.н. Блинова И.Ю. за многочисленные консультации, конструктивные замечания и помощь в подготовке к защите. Отдельно благодарю своего начальника лаборатории Бойко А.И. за щедро передаваемый им накопленный опыт, а также Новоселова А.В. за обсуждение и обучение нестандартным решениям нетривиальных физико-математических задач.

Также выражаю благодарность руководству предприятия ФГУП «ВНИИФТРИ» в лице д.т.н. Донченко С.И. за предоставляемые возможности, помощь и доверие к молодым специалистам. Благодарю своего начальника отдела д.т.н. Домнина Ю.С. и весь коллектив за отзывчивость, дружелюбие, помощь и конструктивный обмен знаниями и опытом.

17

Список сокращений

UTC(SU) - национальная координированная шкала времени России

ГМЦ ГСВЧ - главный метрологический центр - Государственная служба времени и частоты

СВЧ - сверхвысокие частоты

ПЧ - промежуточная частота

ВЧ - высокие частоты

НЧ - низкие частоты

СПМ - спектральная плотность мощности

ФШ - фазовый шум

АШ - амплитудный шум

ФАП - фазовая автоподстройка

ЧАП - частотная автоподстройка

НСП - неисключенная систематическая погрешность

СКДО - среднеквадратичное двухвыборочное отклонение

БПФ - быстрое преобразование Фурье

ГР - гибридная развязка

ФД - фазовый детектор

ФНЧ - фильтр низких частот

DRO - (dielectric resonator oscillator) генератор на основе диэлектрического резонатора

DDS - (direct digital synthesis) прямой цифровой синтез

PLL - (phase locked loop) петля фазовой автоподстройки

КГ - кварцевый генератор

ДДР - дисковый диэлектрический резонатор

ГУН - генератор управляемый напряжением

18

Глава 1 Взаимодействие квантовой системы с резонансным излучением в стандартах частоты, работающих в импульсном режиме

1.1 Введение в проблему

Метрологические характеристики любых атомных часов определяются, прежде всего, ансамблем рабочих атомов, лежащих в основе построения самих часов. Флуктуации измеренного количества рабочих атомов в искомом квантовом состоянии характеризуют предельно достижимую нестабильность атомного стандарта. Связанные с этими флуктуациями шумы прибора носят название фунЭа^ен^альноао шума и определяются, главным образом, отношением сигнал-шум, а также добротностью исследуемого перехода рабочих атомов [33-34]. Подавление такого шума связано с увеличением количества рабочих атомов, что, в свою очередь, может приводить к существенному спин-обменному взаимодействию. Стоит отметить, что в случае атомов рубидия оптимальное значение рабочей плотности атомов может превосходить на порядки плотность атомов цезия, что является весомым аргументом в пользу развития перспективных СВЧ стандартов частоты на основе атомов рубидия [35-36, 46-47].

Однако, помимо указанного фундаментального шума, в любых стандартах на охлажденных атомах существуют еще и ^еднмческме шумы, обусловленные как шумами лазерной и детектирующей систем, так и шумами синтезатора, возникающими при формировании сигнала, зондирующего часовой атомный переход [48-49]. Часто технические шумы превышают фундаментальный шум, и в таком случае предельно достижимая стабильность стандарта определяется в большей степени именно уровнем этого типа шума. Как показывает опыт и результаты метрологических исследований, вклад шума синтезатора, формирующего частоту часового перехода, в общую нестабильность стандарта времени и частоты, работающего в м^иульсно.^ (циклическом) режиме, а именно этот режим

19

реализуется в случае работы фонтана [50] - хранителя единицы времени и частоты на холодных атомах, как правило, оказывается доминирующим. Таким образом, ввиду важности указанного вклада, возникает задача последовательного рассмотрения процесса взаимодействия зондирующего сигнала с квантовой системой стандарта частоты.

В литературе известно два основополагающих равноценных метода рассмотрения указанной проблемы. В первом случае используется радиотехническая модель модуляционно-демодуляционной схемы обратной связи, на основе которой определяется ҷуеслемлельносль детектируемого сигнала ошибки к часлолныз флуктуациям локального осциллятора (ЛО), определяющего метрологические характеристики зондирующего сигнала [5156]. Во втором случае используется квантово-механическая модель описания атомной системы, взаимодействующей с классическим резонансным излучением. На основе этой модели также определяется функция чувствительности атомной системы к частотным флуктуациям внешнего резонансного поля [57-59].

Несмотря на внушительный объем произведенных исследований в области данной проблематики, стоит отметить, что важный на практике случай взаимодействия облака атомов с синусоидальным законом распределения по оси пролета резонансного поля в стандарте фонтанного типа освещен не достаточно подробно. Кроме того, поскольку прямая измеряемая метрологическая характеристика ЛО является спектральная плотность мощности фазового шума, то рассмотрение функции чувствительности атомной системы к фазоеыз флуктуациям излучения является наиболее оправданным и обоснованным. В дальнейшем изложении настоящей главы будет детально рассмотрен вопрос о такой функции чувствительности и вычислении на ее основе деградации стабильности фонтана из-за влияния фазовых шумов ЛО.

20

1.2 Расчет чувствительности двухуровневой системы к флуктуациям электромагнитного поля СВЧ резонатора в «фонтане»

При взаимодействии с опросным сигналом (внешним полем СВЧ резонатора) атомную систему, которая в дальнейшем будет считаться двухуровневой, удобно описывать вектором псевдоспина Л = {u,v,w}, у которого координаты u и v отвечают за наведенную поляризацию, а w описывает разницу населенностей между основным и возбужденным состояниями с частотой перехода ^о-

В случае излучения магнитной компоненты поля СВЧ резонатора в виде идеальной монохроматической волны S(,t) = cos(^z + %) укороченные оптические уравнения Блоха имеют наиболее простой вид:

И = (^-^Q )v,

<v = -(^-^о )u+Q w, (1-1)

w = -Q^ v.

где Q - - частота Раби. Полученная система уравнений может быть

й

переписана в компактном виде:

= ОЛ X Л(у), (1-2)

лУ

где Од = {-Од ,0, -(^-^о)} -

В случае опросного сигнала, запитывающего СВЧ резонатор, в виде классического гармонического возбуждения с произвольной флуктуацией фазы А^ и амплитуды AS - S(/0,t) = S(S0 + AS)cos(^% + % + A^) оптические уравнения Блоха принимают следующий окончательный вид:

и = -A^-Q. (t) w + (^-^ )v,

= -(^-^ )u+ (1+ AS)-Q (t)w, (1-3)

w = -(1 + AS) - Од (t) v+ A^ - Од (t) u

21

здесь предполагается, что резонатор обладает аксиальной симметрией и частота Раби изменяется во времени по закону Q (t)-sin —, т - время г взаимодействия опросного сигнала с квантовой системой; такое предположение справедливо для резонатора, используемого в фонтане. В компактном виде система записывается как:

= О (/) X Д(У), (1.4)

я/

где Од (у) = {-(1+ AR)-Q (у),-A^-Q (у), -(^-^)}. Важно отметить для дальнейшей геометрической интерпретации двух методов опроса, рассмотренных ниже, что флуктуации амплитуды связаны с поворотом вектора псевдоспина относительно оси u, а флуктуации фазы - относительно оси v.

Полученные уравнения (1.3) - (1.4) описывают процесс взаимодействия между атомной системой и СВЧ сигналом с произвольной флуктуацией фазы и амплитуды, что имеет место в режиме реальной работы квантового стандарта частоты.

Рассмотрим далее два важных случая (Рис. 1.1) процесса опроса атомной системы, описывающих работу большинства квантовых стандартов - один п-импульс (метод Раби) и два п/2-импульса (метод Рэмси) [60]. В первом случае квантовая система возбуждается одиночным импульсом, который переводит систему из одного равновесного когерентного состояния в другое, при этом из геометрических соображений видно, что фазовый и амплитудный шум сигнала опроса вызывают одинаковое возмущение населенности конечного состояния. Во втором случае атомная система сначала находится в основном состоянии и взаимодействует с п/2-импульсом (I), затем фаза сигнала опроса сдвигается на п/2 (II), и далее снова действует п/2-импульс (III), оставляя систему в равновесном состоянии. В такой конфигурации схемы опроса из геометрического представления видно, что амплитудный шум не влияет на равновесное состояние системы. Отметим,

22

что второй метод возбуждения квантовой системы используется в стандартах частоты фонтанного типа.

Для определения влияния флуктуации фазы /ф опросного сигнала на возмущение конечной вероятности ф перехода атомной системы из основного состояния в возбужденное введем функцию чувствительности уф следующим образом:

Раби (а) и Рэмси (б).

Физический смысл введенной функции уф - малое изменение конечной вероятности перехода, вызванное единичным фазовым скачком, за единицу времени в момент /. Из геометрических соображений можно определить

систему уравнений для нахождения аналитического вида этой функции:

w(t) = - cos[O(t)], v(t) = -sin[O(t)],

' M = -A<p(t)Q^(t)w(t),

(1.6)

6/O(t)

6Й

Полученная система уравнений справедлива для метода Рэмси. Аналогичную систему можно получить для метода Раби. Аналитическое выражение уф, учитывая ф? = Дм / 2, для двух методов имеет вид:

23

g(t) =

. ЛТ

---sm—cos

2 4r г

, (0 < f < г) - метод Раби

Я'

7

, (0 < f < г) - метод Рэмси

(1.7)

Рисунок 1.2. Общий вид функции чувствительности для двух процессов опроса атомной системы. При отсутствии взаимодействия функция обращается в ноль.

На рисунке 1.2 приведен общий вид g(7) для двух методов возбуждения (1.7). Для подтверждения полученных результатов был проведен независимый эксперимент, в котором численными методами решалась система блоховских уравнений (1.3). Поскольку больший интерес представляет случай Рэмси, на рисунке 1.3 приведено сравнение функции чувствительности, построенной для этого случая в аналитическом виде и из результата численного

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Алейников, Михаил Сергеевич, 2017 год

Библиография

[1] Letrovsh' LG. GPS, GLONASS, Galileo, and BeiDou for mobile devices: from instant to precise positioning // Cambridge University Press, 2014.

[2] Lo^7arJ/' ML., Ae/soL L.M, Aov/cL A.A., a^J ZAa^g L.S. Time and frequency measurements using the global positioning system GPS // Cal. Lab. Int. J. Metrology, pp. 26-33, 2001.

[3] F^^ Fs^aM/7, A. Losse77o, D. Fo//ev/7/e, J. De/por7e, A. D/'^arc^. HORACE: A compact cold atom clock for Galileo // Advances in Space Research, 47:854858,2011.

[4] LaMreL LA., C/a/'roM A., Le^o^Je L., SaLtare/// G., Sa/o^oM C., S/'r^a/'м C., L/'carJ F., De/arocAe CA., Gros^'eaM G., Saccocc/'o M., CAaM^et M., GM/7//'er L., a^J A7aJ/'e J. The space clock PHARAO: Functioning and expected performances // Proceedings of the IFCS, pp. 179-184, 2003.

[5] MeLg A, SML F, DM ^., Fa/' IF., ZAaLg S., L/M C., A7a J. Stability analysis of atomic clock onboard the BeiDou satellites // Journal of Geodesy and Geodynamics, V. 36, N. 7, pp. 574-576, 2016.

[6] Da/y L., X/tcA/Lg /.D., A//aL D.^., Lepp/er L.X. Frequency and time stability of GPS and GLONASS clocks // Proceedings of the 44th Annual Symposium on Frequency Control, pp. 127-139, 1990.

[7] A.F. XosAe/yaevsLy, L.L. Xostro^m, 0.7. SoLo/ova, F.G. Zag/'rova. Activities at the state time and frequency standard of Russia // Book of the abstracts of the 42nd PTTI, p. 18, 2010.

136

[8] Da^oMr Г. Equivalence principle and clocks // Proceedings of the 34th Rencontres de Moriond, Gravitational waves and Experimental gravity, gr-qc/9711084, pp. 1-6, 1999.

[9] Presage J.D., T/oe/Aer P.E., aMp ^a/eA/ E. Atomic clocks and variations of the fine structure constant // Phys. Rev. Lett., 74:3511-3514, 1995.

[10] ^ar/oM H., Dos SaMtos P.P., ^gra// ^., ZAaMg S., Sorta/s X, E/'ze S'., ^aAs/'^ov/'c /., Ca/oM/co D., GrMMert J., ^aMpacAe C., Ee^oMpe P., SaMtare/// G., EaMreMt PA., C/a/roM И., aMp Sa/o^oM C. Search for variations of fundamental constants using atomic fountain clocks // Phys. Rev. Lett., 90:150801-1-4, 2003.

[11] Федеральная целевая программа «Поддержание, развитие, и использование системы ГЛОНАСС на 2012-2020 годы» утверждена постановлением правительства Российской Федерации от 3 марта 2012 года №189.

[12] Ю.С. ^оинмн, Е.Н. Ео^ы^бо, Л.Р. Ломко, Р.Л. Ёлкмм, Л.Е. Нооосблое, Л.Н. Роиылоо, ^.С. Руиолоо. Цезиевые реперы частоты фонтанного типа МЦР-Ф1 и МЦР-Ф2 // Мир измерений, В. 134, Н.4, сс. 30-34, 2012.

[13] Ем. Do^M/M, И EarysAev, И. EcyAo, G. P/A/M, E. Xo^y/ov, P. XrasovsA/y,

И. Aovose/ov. Cs Fountain VNIIFTRI // Book of the abstracts of 24th EFTF, Noordwijk, The Netherlands, 2010, p. 56.

[14] JoMes Г. Splitting the Second: The story of atomic time // Institute of physics, Bristol and Philadelphia, 2000.

[15] D/Wa^s Л.И., XJe^ ГА., Eerg^M/'st J.C., CMrt/s Е.И., DrM///Mger P.P., Ho//Aerg E., /taMo 1P.^., Eee 1P.D., Oates C.^., koge/ X.P., aMp JP/Me/aMp D.J. An optical clock based on a single trapped 199Hg+ ion // Science, 293:825-828, 2001.

137

[16] E/att A., Ca^Jor// A., E^Jer^ T., HeMAaM^er fT., a^J Eo^cAeE E.E. New frequency standards based on Yb+ // Frequency standards and metrology, pp. 306311, 1989.

[17] HagoMr^ey fE, Eorger^oM J., a^J DeA^e/t H. Optical frequency standard based upon single laser-cooled Indium ion // Proceedings of the AIP Conference, New York, 457:343-347, 1999.

[18] Gate^ C.^., CMrt/'^ E.Z., a^J Ho//Aerg E. Improved short-term stability of optical frequency standards: approaching 1 Hz in 1 s with Calcium standard at 657 nm // Opt. Lett., 25:1603-1605, 2000.

[19] G.E. Ca^pAe//, ND. EMJ/ow, E. E/att, J.E. EAo^eM, ^.J. ^art/E, ^. H.G. Je ^/ra^Ja, E. Ze/ev/E^Ay, ^.^. EoyJ, J. Le, E.Z. D/JJa^^, E.E. Heavier, E.E. Earner, a^J E.A. Je//ert^. The absolute frequency of the 87Sr optical clock transition // Metrologia, 45:539-548, 2008.

[20] E. ЕмА/o/a, a^J T. G/orJa^o. On the 1// frequency noise in ultra-stable quartz oscillators // IEEE Trans. On Ultrason., Ferroelec. And Freq. Contr., V. 54, N. 1, pp. 15-22, 2007.

[21] EoroJ/AAy A., Go^ez J. Testing phase noise of ultra low phase noise OCXO - challenges and solutions // Proceedings IFCS, pp. 1-5, 2012.

[22] A-E. HaE, ^. Нм, Z.-H. EA/. 100 MHz low phase noise oven controlled crystal oscillator with low supply voltage and miniature package // Proceedings SPAWDA, pp. 574-576, 2011.

138

[23] У. OvcAmwLov, a^J G. Marra. Accurate rubidium atomic fountain frequency standard // Metrologia, V. 48, pp. 87-100, 2011.

[24] A. Аомко, А. Алкмн, H. ^ес^коеа, А. Аурнмкое, А. Аароизмн. Водородный генератор для стандарта частоты на фонтане атомов цезия // Труды ФГУП «ВНИИФТРИ», В. 50, сс. 100-112, 2005.

[25] AMreaM A^ter^at/o^a/ Аел Ao/Ал et ^елмгел. SI Brochure: The International System of Units (SI) // 8th edition updated in 2014, section 2.1.1.3, pp. 112-113, 2006.

[26] A.A. Je/?erA, A.H. AA/r/ey, L.L. AarAer, L.A. Heavier, D.M. MeeAAo/ C.^. Ае/лои, A. Lev/, G. Co^ta^zo, A. DeMarcA/, A.L. DrM///Mger, L. Ho//Aerg, JE.D. Lee, аиА A.L. ^а//л. Accuracy evaluation of NIST-F1 // Metrologia, V. 39, pp. 321-336, 2002.

[27] L.A. Do^/ey, L.A. Heavier, M.O. Lataw, A. Lev/, a^A A.A. L/erA. Progress towards the second-generation atomic fountain clock at NIST // Proceedings of the IEEE International Frequency Control Symposium and Exposition, pp. 82-86, 2004.

[28] A. Ae//, A. Cra^e, L. Awa^o^, a^J C. A. LAstro^. The USNO rubidium fountain // IEEE International Frequency Control Symposium and Exposition, pp. 304306, 2006.

[29] A. GMe^a, M AAgra//, D. Aovera, A. LaMreMt, А. САмр/'и, M LoMr^, G. AaMtare///, A. Ao^e^AM^cA, M.L. LoAar, A. L/, A. G/AA/e, A. C/a/roM, a^J A. А/ze. Progress in atomic fountains at LNE-SYRTE // arXiv: 1204.3621v1, 2012.

139

[30] keyers S., FaMcA A., HMF^er X., ScAroJer L., a^J 7a^^ CA. First performance results of PTB's atomic caesium fountain and a study of contributions to its frequency instability // IEEE Trans. Ultrason., Ferroelect. And Freq. Contr., 47:432-437, 2000.

[31] L/// !F, CAa^gAMa !F, F/Lgy/Lg H., M/LgsAoM L., J/L ^., a^J ffaLg-v/ J. Design & preliminary results of NIM cesium fountain primary frequency standard // Proceedings of the Joint Meeting IEEE-IFCS, pp.30-33, 1999.

[32] Lev/ F., Lor/L/ L., Ca/ow'co D., a^J GoJo^e A. Systematic shift uncertainty evaluation of IEN CSF1 primary frequency standard // IEEE Trans. Instrum. Meas., 52:267-271, 2003.

[33] /7aLo !FM., Ferg^M/'s7 J.C., Fo///Lger J.J., G////gaL J.M., He/LzeL D.J., Moore F.L., La/zeL M.G., a^J iP/Le/aMJ D.J. Quantum projection noise: Population fluctuations in two-level systems // Phys. Rev. A, V. 47, N. 5, pp. 35543570,1993.

[34] SaLare/// G., LaMreL LA., Le^o^Je L., C/a/roL A., Ma^L A.G., CAaLg S., LM/7eL A.A., a^J Sa/o^o^ CA. Quantum projection noise in an atomic fountain: A high stability caesium frequency standard // Phys. Rev. Lett. 82: 4619-4622, 1999.

[35] G/FF/e X., a^J CAM S. Laser-cooled Cs frequency standard and a measurement of the frequency shift due to ultracold collisions // Phys. Rev. Lett., 70:17711774,1983.

[36] Fert/g CA., a^J G/FF/e X. Measurement and cancellation of the cold collision frequency shift in an 87Rb fountain clock // Phys. Rev. Lett., 85:1622-1625, 2000.

140

[37] G. EaEtare///, C. EMJo/E, A ^aEJ/E^/', E. EaMreEt, G.J. D/cE, aEJ E. C/a/roE. Frequency stability degradation of an oscillator slaved to a periodically interrogated atomic resonator // IEEE Trans. Ultrason., Ferroelect. And Freq. Contr., V. 45, pp. 887-894, 1998.

[38] C. EMJo/E, G. EaEtare///, E. ^aEJ/E^/', aEJ E. C/a/roE. Properties of an oscillator slaved to a periodically interrogated atomic resonator // IEEE Trans. Ultrason., Ferroelect. And Freq. Contr., V. 45, N. 4, pp. 877-886, 1998.

[39] He//w/g H., Te^ot A., Eev/Ee ^.^., Z/tzew/tz E.^., E//aE D.^., aEJ G/aze D.J. Measurement of the unperturbed hydrogen hyperfine transition frequency // IEEE Trans. Instrum. Meas., IM-19:200-209, 1970.

[40] lEaEg A.E., aEJ D/cE G.J. Cryocooled sapphire oscillator with ultrahigh stability // IEEE Trans. Instrum. Meas., V. 48, pp. 528-531, 1999.

[41] MaEE E.G. Ultrastable cryogenic microwave oscillators // Frequency Measurement and Control, V. 79, pp. 37-66, 2001.

[42] D.G. EaEt/ago, aEJ G.J. D/cE. Microwave frequency discriminator with a cooled sapphire resonator for ultra-low phase noise // IEEE Frequency Control Symposium, pp.176-182, 1992.

[43] EoyEo E., Lo/E/E G., Ge^tEova A., EMrE/'Eov G., aEJ Eara^z/E T. Hydrogen maser with improved short-term frequency stability // Proceedings EFTF, pp.406408, 2001.

[44] A. EoMJot, aEJ E. АмЕ/o/a. Phase Noise in RF and Microwave Amplifiers // IEEE Trans. Ultrason., Ferroelect. And Freq. Contr., V. 59, N. 12, pp. 2613-2624, 2012.

141

[45] /vaMov E.E., Eo^ar ME, aMp lEoope Е.И. Microwave interferometry: Application to precision measurements and noise reduction techniques // IEEE Trans. Ultrason., Ferroelect. And Freq. Contr., 45:1526-1536, 1998.

[46] E/ze. S., Sorta/s E., SaMtos MS., MaMpacAe C., C/a/roM И., aMp Sa/o^oM S. High-accuracy measurement of the 87Rb ground-state hyperfine splitting in an atomic fountain // Europhys. Lett., 45:558-564, 1999.

[47] EMreaM /MterMat/oMa/ pes Po/ps et MesMres. SI Brochure: The International System of Units (SI) // 8th edition updated in 2014, Appendix 2, Practical realization of the definitions of some important units, Recommended values of standard frequencies, 2006.

[48] G. Eraser. Noise in passive frequency standards // Proceedings of the CP-EM, pp. 157-159, 1974.

[49] C. ^po/M, U CaMpe//er, aMp E. D/'^arc^. A limit to the frequency stability of passive frequency standards due to an intermodulation effect // IEEE Trans. Instrum. Meas., V. 40, pp. 121-125, 1991.

[50] Joyet И., M//et/ G., EAo^aMM P., aMp DMp/e G. Continuous fountain Cs standard: stability and accuracy issues // Frequency Standards and Metrology, Proceedings of the 6th Symposium, pp. 273-280, 2002.

[51] GreeMAa// CM, aMp D/cA G.J. Local oscillator limited frequency stability for passive atomic frequency standards using square wave frequency modulation // IEEE Trans. Ultrason. Ferroelect. And Freq. Contr., 47:1593-1600, 2000.

142

[52] A. MaLJ/'ss/', F. Je C/erc^, C. AMJo/L, a^J A. C/a/roL. Generalization of the Dick effect to continuous beam frequency standards // Proceedings IFCS, pp. 263269,1998.

[53] A. Joyet, G. M/'/et/', G. DMJ/e, a^J L. TAo^a^. Theoretical study of the Dick effect in a continuously operated Ramsey resonator // IEEE Trans. Instrum. Measur., V. 50, N. 1, pp. 150-156, 2001.

[54] C.A. Gree^Aa//. A derivation of the long-term degradation of a pulsed atomic frequency standard from a control-loop model // IEEE Trans. Ultrason., Ferroelect. And Freq. Contr., V. 45, N. 4, pp. 895-898, 1998.

[55] L. Lo Lrest/, D. Lovera, a^J A. De MarcA/. A simple analysis of the Dick effect in terms of phase noise spectral densities // IEEE Trans. Ultrason., Ferroelect. And Freq. Contr., V. 45, N. 4, pp. 899-905, 1998.

[56] F.L. ^a//s. Errors in determining the center of a resonance line using sinusoidal frequency (phase) modulation // IEEE Trans. Ultrason., Ferroelect. And Freq. Contr., V. 34, N. 6, pp. 592-597, 1987.

[57] G.J. D/'cL. Local oscillator induced instabilities in trapped ion frequency standards // Proceedings of the 19th PTTI, Redendo Beach, pp. 133-147, 1987.

[58] G. J. D/'cL, J. D. Lrestage, C. A. Gree^Aa//, a^J L. Ma/eL/. Local oscillator induced degradation of medium-term stability in passive atomic frequency standards // Proceedings of the 22nd PTTI, Vienna, pp. 487-508, 1990.

143

[59] A. A/ze, У. Aorta/л, A. Le^oMJe, A. ZAaMg, AA. LaMreMt, G. AaMtare///, C. Aa/o^oM, A. C/a/roM. Interrogation oscillator noise rejection in the comparison of atomic fountains // IEEE Trans. Ultrason., Ferroelect. And Freq. Contr., V. 47, N. 5, pp. 1253-1255, 2000.

[60] Aa^sey A.A. A molecular beam resonance method with separated oscillating fields // Phys. Rev., 78:695-699, 1950.

[61] Ю.С. ^о^нмн, A.A. Алдмн, A.A. Ноеосёлое, A.H. Аары^ее, A.A. Аоиылое, Ю.М ^Ьлы^ее, A.A. Аальчмкое. Применение холодных атомов цезия в квантовых стандартах частоты // Квантовая электроника, В. 34, Н. 12, сс. 1084-1095, 2004.

[62] !A/Me/aMJ DA., aMJ /taMo ^.^. Laser cooling of atoms // Phys. Rev. A, 20:1521-1540, 1979.

[63] Lett A.D., AA////ps !AD., Ao/stoM A.L., ^MMer C.L., ^atA A.A., aMJ !Aest-Aroo^ C./. Optical molasses // J. Opt. Soc. Am. B, 6:2084-2107, 1989.

[64] AA////ps !AD., AroJaM A.Z., aMJ ^etca// A.A. Laser cooling and electromagnetic trapping of neutral atoms // J. Opt. Soc. Am. B, 2:1751-1767, 1985.

[65] Aasov A.G., aMJ Aro^Aorov A.M Application of molecular beams to radio-spectroscopic investigations of rotational molecular spectra // Sov. Phys. JETP, 27:431-438, 1954.

[66] Go/JeMAerg H.M, A/eppMer D., aMJ Aa^sey A.A. Atomic hydrogen maser // Phys. Rev. Lett., 5:361-365, 1960.

144

[67] E.E. Aogerx, aEJ J. MoraE. Coherence limits for very-long-baseline interferometry // IEEE Trans. Instrum. Meas., V. IM-30, pp. 283-286, 1981.

[68] E.X. EortxoE, D. X/eppEer, aEJ X.E. Aa^xey. Stark shift of the hydrogen hyperfine separation // Phys. Rev. Lett., 13:22-23, 1964.

[69] Cra^ptoE E.E. Spin-exchange shifts in the hydrogen maser // Phys. Rev., 158:57-61, 1967.

[70] E.E. iF/EE/er, D. X/eppEer, E My/Et, aEJ E.G. ^a/tAer. Magnetic moment of the proton in Bohr magnetons // Phys. Rev. A, 5:83-114, 1972.

[71] J.E. TMrEeaMre, C.M IW/, E.E. Earre//, E.M. Matt/xoE, aEJ A. Fexxot. Test of the principle of equivalence by a null gravitational red-shift experiment // Phys. Rev. D, 27:1705-1714, 1983.

[72] A.E. iFa/xwortA, aEJ /.E. E//vera. Nonlinear quantum mechanics for systems of composite spin // Phys. Rev. A, 42:63-68, 1990.

[73] E/eyE/Eov M E., EcyEo E. /. On the single-state selection for H-maser and its signal application for fountain atomic standard // Proceedings EFTF, Neuchatel, pp. 169-172, 2014.

[74] D. X/eppEer, H.M. Go/JeEAerg, aEJ X.E. Aa^xey. Theory of the hydrogen maser // Phys. Rev., V. 126, N. 2, pp. 603-615, 1962.

[75] E.C. E///xoE. Spin-Change frequency shifts in H-H collisions // Phys. Rev., V. 5, N. 6, pp. 2695-2696, 1972.

145

[76] EeMper P.E. Effect of the hydrogen-hydrogen exchange collisions // Phys. Rev., 132:2154-2158, 1963.

[77] Eerg H.C. Spin exchange and surface relaxation in the atomic hydrogen maser // Phys. Rev., 137:A1621-A1635, 1965.

[78] CAr/steMseM E.E., aMp Ha^/'/toM D.E. Permanent magnet for atomic beam focusing // Rev. Sci. Instrum., 30:356-358, 1959.

[79] J. kaM/er, aMp C. ^po/M. The quantum physics of atomic frequency standards // IOP Publishing Ltd, Bristol and Philadelphia, p. 119, 1989.

[80] J. kaM/er, aMp C. ^po/M. The quantum physics of atomic frequency standards // IOP Publishing Ltd, Bristol and Philadelphia, p. 983, 1989.

[81] J. kaM/er, aMp C. ^po/M. The quantum physics of atomic frequency standards // IOP Publishing Ltd, Bristol and Philadelphia, V. 2, pp. 1006-1010, 1989.

[82] Ейле Ф. Стандарты частоты. Принципы и приложения // Физматлит, Москва, перевод с англ., cc. 227-243, 2009.

[83] D. X/eppMer, H.C. Eerg, S.E. Cra^ptoM, aMp E.X. Xa^sey. Hydrogen-maser principles and techniques // Phys. Rev., V. 138, N. 4A, pp. 972-983, 1965.

[84] И./. EoyAo, M.S. И/eyM/Aov. Active H-maser with increased power of the output signal // Proceedings EFTF, Prague, pp. 245-248, 2013.

146

[85] C. AMJo/L, M. Desa/Lt/Msc/'eL, L. Let/7, a^J J.-L. ScAer^aHH. Design of a double localization in a hydrogen maser // IEEE Trans. Instrum. Meas., V. IM-17, N. 4, pp. 351-353, 1968.

[86] A/eyw'Lov M. S. Majorana atomic transition research in H-maser's magnetic state selection region // Proceedings IFCS-EFTF, Denver, pp. 480-482, 2015.

[87] F.M. Matt/soL, LoFert F.C. Lessot, a^J A. SAeL. Single-state selection system for hydrogen masers // IEEE Trans. Ultrason., Ferroelect. And Freq. Contr., N. 6, pp. 622-627, 1987.

[88] S. CraFe, X. AaLag/'r/', У. OAta, M. XoFayasA/, anJ У. SaFMr/. Majorana effect on atomic frequency standards // IEEE Trans. Instrum. Measur., V. IM-29, N. 4, pp. 304-310, 1980.

[89] A.F. La^sey. Molecular beams // Clarendon Press, Oxford, pp. 25-30, 1956.

[90] H.A. Амх^елее, A.A. Ульянов, А.А. Фа^еее. Стандарты частоты и времени на основе квантовых генераторов и дискриминаторов // М.: Советское радио, сс. 58-75, 1978.

[91] АС. Т^ом^кмм. Направленность молекулярного пучка, образованного истечением газа из канала // ЖТФ, В. 32, Н. 4, сс. 488-502, 1962.

[92] L.A. Xoste/ecLy, anJ D. Lane. Constrains on Lorentz violation from clockcomparison experiments // Phys. Rev. D, V. 60, 116010:1-17, 1999.

[93] LA/VFps D.F., HM^pArey M.A., Matt/soL F.M., Stoker L.F., Lessot L.F.C., a^J Aa/swortA L.L. Limit on Lorentz and CPT violation of the proton using a hydrogen maser // Phys. Rev. A, V. 63, 111101:1-4, 2001.

147

[94] AMJreseM H.G. Hydrogen maser frequency shifts due to coherently excited = ±1 transitions between A = 1 levels of the atomic hydrogen ground state //

Zeitschrift fur Physik, V. 210, I. 2, pp. 113-141, 1968.

[95] MA. HM^pArey, D.A. AA////ps, aMJ A.L. JEa/swortA. Double-resonance frequency shift in a hydrogen maser // Phys. Rev. A, V. 62, 063405:1-7, 2000.

[96] A. AcAw/Mger. On nonadiabatic processes in inhomogeneous fields // Phys. Rev., V. 51, pp. 648-651, 1937.

[97] A. ^. ЛанЭау, E. M Курс теоретической физики // ФИЗМАТ-

ЛИТ, т. 3, сс. 568 - 570, 2004.

[98] AMJo/M C. aMJ GM/Mot А. The measurement of time: time, frequency and the atomic clock // Cambridge University Press, Cambridge, New York, 2001.

[99] A//aM D.^. Statistics of atomic frequency standards // Proceedings IEEE, 54:221-230, 1966.

[100] D.^. A//aM. Time and frequency (time-domain) characterization, estimation and prediction of precision clocks and oscillators // IEEE Trans. Ultrason., Ferroelect. And Freq. Contr., V. UFFC-34, N. 6, pp. 647-654, 1987.

[101] L. AMA/o/a, И G/orJaMo, A. Fo/yaMsh/y, L. Larger. Phase and frequency noise metrology // arXiv:0812.0180:1-10, 2008.

[102] L. AMA/o/a. Phase noise and frequency stability in oscillators // Cambridge University Press, Cambridge, 2008.

148

[103] X. EreMpe/, E. Хм^/o/a. Time-domain simulation and spectrum measurement of low-noise oscillators // Proceedings IFCS, pp. 1170-1175, 2007.

[104] XMt^aM J. Characterization of phase and frequency instabilities in precision frequency sources: fifteen years of progress // Proceedings IEEE, 66:1048-1075, 1978.

[105] EeesoM D.E. A Simple model of feed back oscillator noise spectrum // Proceedings IEEE, 54:329-330, 1966.

[106] И/ZaM D.^., aMp EarMes J. A modified “Allan variance” with increased oscillator characterization ability // Proceedings of the 35th Annual Frequency Control Symposium, pp. 470-475, 1981.

[107] E. Хм^/o/a, E. kerMotte. The cross-spectrum experimental method // arXiv: 1003.0113:1-39, 2010.

[108] SaMM X.H. The measurement of near-carrier noise in microwave amplifiers // IEEE Trans. Microw. Theory Tech., MTT-16:761-766, 1968.

[109] C.H. HorM. A carrier suppression technique for measuring S/N and carrier/ sideband ratios greater than 120 dB // IEEE 23rd Annual Symposium on Frequency Control, pp. 223-235, 1969.

[110] E.E. /vaMov, M.E. Eo^ar, Х.И. fkoope. A study of noise phenomena in microwave components using an advanced noise measurement system // IEEE Trans. Ultrason., Ferroelect. And Freq. Contr., V. 44, N. 1, pp. 161-163, 1997.

149

[111] E. AMA/o/a, F. G/orJaEo, aEJ J. Grox/a^Aert. Double correlating interferometer scheme to measure PM and AM noise // Electr. Lett., V. 34, N. 1, pp. 93-94, 1998.

[112] E. AMA/o/a, F. G/orJaEo, J. Grox/a^Aert. Improved interferometric method to measure near-carrier AM and PM noise // IEEE Trans. Instrum. Meas., V. 48, N. 2, pp. 642-646, 1999.

[113] E. AMA/o/a, F G/orJaEo. Advanced interferometric phase and amplitude noise measurements // Rev. Sci. Instrum., V. 73, N. 6, pp. 2445-2457, 2002.

[114] E. AMA/o/a, aEJ F. G/orJaEo. Dual carrier suppression interferometer for measurement of phase noise // Electr. Lett., V. 36, N. 25, pp. 2073-2075, 2000.

[115] E. AMA/o/a, F. G/orJaEo. A low-flicker scheme for the real-time measurement of phase noise // IEEE Trans. Ultrason., Ferroelect. And Freq. Contr., V. 49, N. 4, pp. 501-507, 2002.

[116] C.F. AeAoE, D.E. Howe, aEJ E.E. GMpta. Ultra-low-noise cavity-stabilized microwave reference oscillator using an air-dielectric resonator // Proceeding of the 36th Annual PTTI Meeting, pp. 173-178, 2004.

[117] E.E. GMpta, D.E. Howe, C. Ae/xoE, E. Hat/, E.E. lFa//x, aEJ J.E. Aava. High spectral purity microwave oscillator: design using conventional air-dielectric cavity // IEEE Trans. Ultrason., Ferroelect. And Freq. Contr., V. 51, N. 10, 2004.

[118] A.E. IFooJe, M.E. EoAar, E.A. /vaEov. An ultra-low noise microwave oscillator based on a high-Q liquid nitrogen cooled sapphire resonator // IEEE Proceedings of the 49th IFCS, pp. 420-426, 1995.

150

[119] F.A. /vaLov, M.F. ToFar, L.A. AooJe. Advanced phase noise suppression technique for next generation of ultra low-noise microwave oscillators // IEEE Proceedings of the 49th IFCS, pp. 420-426, 1995.

[120] C. AMJo/L, J. L/eLLet, L. Lesage. Hydrogen maser: active or passive ? // Journal de Physique Colloques, V. 42, N. C8, pp. 159-170, 1981.

[121] J. LaL/er, aLJ C. AMJo/L. The quantum physics of atomic frequency standards // IOP Publishing Ltd, Bristol and Philadelphia, pp. 1082-1105, 1989.

[122] F. LMF/o/a, F. Sa//L, A. %., aLJ L. Ma/eL/. Phase noise measurements of low power signals // Electr. Lett., V. 39, N. 19, pp. 1389-1390, 2003.

[123] S. Grop, F. LMF/o/a. Flicker noise of microwave power detectors // Proceedings of the IFCS-EFTF Joint Conference, Besancon, pp. 40-43, 2009.

[124] F. LMF/o/a, L. G/orJaLo, aLJ J. Gros/a^Fert. Very high frequency and microwave interferometric PM and AM noise measurements // Rev. Sci. Instrum., V. 70, N. 1, pp. 220-225, 1999.

[125] L.F. XroMpa. Theory of 1// noise - A new approach // Phys. Lett. A, V. 336, N. 2-3, pp. 126-132, 2005.

[126] X. TaLag/, S. Ser/Lawa, aLJ A. OLMLo. 1// phase noise in a transistor and its application to reduce the frequency fluctuation in an oscillator // Microelectron. Reliab., V.40,pp.1943-1950,2000.

[127] S. Gr/Fa/Jo, L. FoMJot, G. C/'F/'e/, L. G/orJaLo, aLJ O. L/op/'s. Phase noise modelling and optimisation of microwave S/Ge amplifiers for sapphire oscillators applications // Proceedings EFTF, pp. 481-486, 2005.

151

[128] L. AMA/o/a, aMJ И G/orJaMo. Frequency flicker in ultra-stable quartz oscillators // IEEE Proceedings EFTF, pp. 80-87, 2006.

[129] A. La^Ao/ey, И CaMJe//er, A. CoMrtaJe, AA. Aav/ere. Ultra-stable 5 MHz Xtal resonator with very low G sensitivity and noise // IEEE Proceedings EFTF, pp. 359-364, 2004.

[130] A. ZwAaMJ, A. Ga///oM, A.A. Ao^aMJ, A. AAAe. Measurements or ultra-stable langatate crystal oscillators // IEEE Proceedings IFCS-EFTF Joint Conference, pp. 970-973, 2009.

[131] A.A. H//toM, A.G. HartMett, L.A. /vaMov, A.A. LM/teM. Ultra-high stability cryocooled sapphire microwave oscillators // IEEE Proceedings IFCS, p. 1, 2014.

[132] И G/orJaMo, A. Grop, A. DMAo/s, A.-У. AoMrgeo/s, У. Aersa/e, G. Haye, И Do/govsh/y, A. AMca/ov/c, G. D/ Do^eM/'co, A. AcA//t, A. CAaMv/M, D. Fa/at, aMJ L. AMA/o/a. New-generation of cryogenic sapphire microwave oscillators for space, metrology, and scientific applications // Rev. Sci. Instrum., 83:085113-1-6, 2012.

[133] C. A/MAr, A. Grop, A. DMAo/s У. Aersa/e, L. AMA/o/a, aMJ И G/orJaMo. Characterization of the individual short-term frequency stability of cryogenic sapphire oscillators at the 10-16 level // IEEE Trans. Ultrason., Ferroelect. And Freq. Contr., V. 63, N. 6, pp. 915-921, 2016.

[134] He/^che A., AMyJer A.A., ^or/Maga A., ^eMs/Mg A., aMJ G/aser M New ultra-high resolution due laser spectrometer utilizing a non-tunable reference resonator // Appl. Phys. B., 43:85-91, 1987.

152

[135] See/ S., Storz X., XMoso G., M/yMeA J., aMp ScA///er S. Cryogenic optical resonators: a new tool for laser frequency stabilization at the 1 Hz level // Phys. Rev. Lett., 78:4741-4744, 1997.

[136] Storz X., Eraj^a/er C., JacA X., Prap/ O., aMp ScA///er S. Ultrahigh longterm dimensional stability of a sapphire cryogenic optical resonator // Opt. Lett., 23:1031-1033, 1998.

[137] JMMg /.D., XartMer E^^, MatMscAeA E., SMtter D.H., Mor/er-GeMoMp E., ZAaMg G., Xe//er X., ScAeMer k., T//scA M., aMp TscAMp/ Г. Self-starting 6.5-fs pulses from a Ti:sapphire laser // Opt. Lett., 22:1009-1011, 1997.

[138] XraMsz E., Eer^aMM M.E., EraAec Г., CMr/ey P.E., Ho/er M., OAer M.H., Sp/e/^aMM CA., IF/'Mter E., aMp ScA^/pt И.J. Femtosecond solid-state lasers // IEEE J. Quant. Electr., 28:2097-2122, 1992.

[139] JoMes D.J., D/ppa^s S.И., TaMA^aM M.S., CMMp/// S.T., Ma E.-SA., aMp Ha// J.E. Frequency comb generation using femtosecond pulses and cross-phase modulation in optical fiber at arbitrary center frequencies // Opt. Lett., 25:308-310, 2000.

[140] P. Eesage, C. ^po/M, aMp M. TetM. Amplitude noise in passively and actively operated masers // Proceedings of the 33rd Annual Symposium on Frequency Control, pp. 515-535, 1979.

[141] kaM/er J., TetM M., EerM/er E.-G. Transfer of frequency stability from an atomic frequency reference to a quartz-crystal oscillator // IEEE Trans. Instrum. Measur., V. IM-28, N. 3, pp. 188-193, 1979.

153

[142] E.E. MatxEo, E.E. EavcAeEEov, D. EtreEa/ov, F.E. //cAeEEo. Fabrication, characterization and applications of crystalline whispering gallery mode resonators // 9th International conference on transparent optical networks, V. 3, pp. 50-54,

2007.

[143] А. FMEov/c, А. Hea/y, E. HoraE, G.E. MMrMgaE, J.A. EparEx, E.J.E. Eaz/o, J.F. EaJJ/Eg, E.C. EeacocE. Experimental observation of whispering gallery modes in novel silicon microcylindrical resonators // Proceedings of the 12th CLEO/EQEC Conference, p. 1, 2011.

[144] L. EaE, E. ZAeEg, J. ZAoM, H. CA/, A. J/E, A. ZAaEg. Analyses of whispering gallery modes in circular resonators by transmission line theory // J. Light. Tech., V. 32, N. 13, pp. 2345-2352, 2014.

[145] E.E.E. XAaEEa. Microwave oscillators: the state of the technology // Microwave Journal, V. 49, N. 4, pp. 22-28, 2006.

[146] SEanaE O., АЕлсоЕ /., A Frequency-scalable E/Ge bipolar RF front-

end design // IEEE Journal of Solid-State Circuits, V. 36, N. 6, pp. 888-895, 2001.

[147] А/M G., J/E Z., Crexx/er J.D., Aapeta A., JoxepA E. J., Harare D. Transistor noise in E/Ge HBT RF technology // IEEE Journal of Solid-State Circuits, V. 36, N. 9, pp. 1424-1427, 2001.

[148] E.A. /vaEov, M.E. EoAar, A.E. IFooJe. Ultra-low-noise microwave oscillator with advanced phase noise suppression system // IEEE Microwave and Guided Wave Letters, V. 6, N. 9, pp. 312-314.

154

[149] L. FoMJot, S. Gr/Fa/Jo, L. G/orJaLo, O. L/op/'s, C. LocAer, A. Faz/L, G. C/'F/'e/. Sapphire resonators + S/Ge transistors based ultra low phase noise microwave oscillators // Proceedings of the IEEE IFCS and Exposition, pp. 865871,2005.

[150] F.A. /vaLov, aLJ M.F. ToFar. Low phase-noise sapphire crystal microwave oscillators: current status // IEEE Trans. Ultrason., Ferroelect. And Freq. Contr., V. 56, N. 2, pp. 263-269, 2009.

[151] C.L. LocLe, F.A. /vaLov, J.G. HartLett, L.L. StaLw/J, aLJ M.F. ToFar. Design techniques and noise properties of ultrastable cryogenically cooled sapphire-dielectric resonator oscillators // Rev. Sci. Instrum., 79:051301-1-12,

2008.

155

Приложение А. Система уравнений, описывающих эффект двойного резонанса в Н-мазере

В настоящем приложении последовательно описывается полная математическая процедура и соответствующие выкладки, имеющие место при расчете эффекта двойного резонанса в Н-мазере. В главе 2 был приведен окончательный аналитический вид уравнений, описывающих процесс двойного или двухфотонного резонанса с учетом наличия в атомарном пучке всех четырех подуровней основного состояния, что является справедливым для любой реальной сортирующей системы.

ЬйЗМС 2ОЛЫХ СОСТОЯНИЙ (ИОИе^2ЧНО2О ^Й2НМ^НО2О лоля)

Динамика атомного ансамбля внутри накопительной колбы описывается уравнением Лиувилля для матрицы плотности р:

^ = - [Л Я0] + -[Л + Ал (1)

Представим невозмущенный Гамильтониан Нр, описывающий ансамбль атомной системы и поперечное постоянное магнитное поле в накопительной колбе, в виде . Здесь Н = <71 -

<31 - <^1 - энергия атомных состояний, Н = й^уо+й - энергия

фотонов поперечного магнитного поля, (л + л)[] 1 >< 2 ] + ] 2 >< 3 ] +й.с.] -

оператор взаимодействия между атомной системой и магнитным полем,

выраженный через однофотонную частоту Раби Зеемановского перехода g.

Тогда Нр имеет следующий матричный вид:

7 1 л

-3 -А 12 2 12 0 0

- А, 0 - А, 0

Яо = А 2 23

0 - А23 2 23 3 0

. 0 0 0 —^24 /

(2)

156

здесь = 2g^^ - 2g^(^+7) = ^23 и J = - частота Раби и отстройка от

частоты Зеемана поперечного магнитного поля.

Гамильтониан взаимодействия атомной системы с микроволновым

электромагнитным полем записывается в виде:

0 0 0 0

0 0 0

Д„ = Я2412 X 41 + А.с. = 0 0 0 24 0

.0 0 42 0у

(3)

Вводя продольную уц и поперечную ут скорость всех релаксационных

процессов атомов в колбе,

динамика релаксации имеет следующее

выражение:

А-е/

^11

-—±А.2

А

-—±А2,1 J-/llA2,2

-/±Аз,1 -—1Аз,2

-/±А4,1 -/±А4,2

-/±А1,з Л -—±А1,4

-/±А2,3 -/±А2.4

Аз.з -—±Аз,4

-—^4.3 — -— А 4 —1А4,4 J

(4)

Обозначая скорость потока атомов, поступающих в колбу, величиной г

и относительное по отношению ко всему потоку количество атомов,

находящихся в состоянии ]Г, шг>, величиной и^г, динамика влета атомов в

накопительную колбу записывается как:

"и 0 0 0

0 "1.0 0 0 0

Ау/ =- 0 "1,-1 0

0 0 0 "0.0 у

(5)

Перейдем в базис состояний, в котором невозмущенный Гамильтониан имеет диагональный вид. Собственными значениями и состояниями такого базиса являются:

157

(6)

= ^Q

= 0

= -1Q

^4 = -Й%4

—

Q^

, 1Г. —

2 L Q

.

2 Q

2 L Q) ] 4 >=] 4, и >

— 3

Q^

. . 1 —

1, и — 1 > +-] 2, % > +— 1 +—

2Q 2 L Q

] >= ^12 ]1, % -1 >+ — ]2, и > - ^12 ] 3, и +1 >

2 Q Q 2 Q

1 —

2Q 2 L Q

1, % -1 > -

В выражениях (6)-(7) введена величина Q =

+1 22

2 12

3, % +1 >

3, % +1 >

(7)

- обобщенная частота

—

Q

Раби Зеемановского перехода, величина л обозначает количество фотонов поперечного магнитного поля. Для физической интерпретации эффекта двойного резонанса важно отметить, что при больших отрицательных значениях отстройки J, состояния ]д>^]7> и 1с>^]3>, при больших положительных J состояния ]л>^]3> и 1с>^]7>.

Таким образом, базис состояний /]д>, l^>, je>, 14>Д представляющий

одетый базис атомных состояний, связан с базисом поперечного магнитного поля ^]7,и-7>, ]2,л>, ]3,и+7>, 14,л>^ матрицей перехода Т:

' —) 1 г —^

1 — 12 1 + —

Q у 2Q 2 L Qy

— -

2 Q Q 2 Q

. — ) ^12 1 С — )

1 + — —

Q J 2Q 2 L Q)

0 0 0 1J

(8)

Для любого оператора 5* связь между представлениями в двух описанных базисах выражается как 5^ = Т75^Т, где верхние индексы и отвечают одетому и голому базису атомных состояний соответственно. Далее запишем уравнение Лиувилля для одетых состояний:

158

=I ]+1 (9)

Матрица невозмущенного Г амильтониана в одетом базисе согласно

определению имеет диагональный вид:

0 0 0

0 = 0 0 0 0

0 0 -ЙО 0 (10)

< 0 0 0 —Й"24 7

Гамильтониан взаимодействия атомной системы и резонансного излучения в одетом базисе имеет следующий вид:

_Х12 ГТ 2 Q 24 1 а >< 4 ] +— Q ^24] й >< 4] — 2Q ] с >< 4 ]

0 0 0 ЙХ12 Х24 )

2Q

е - 0 0 0 Й^4 Q

2 0 0 0 ^Х12 Х24 2Q

ЙУ12 ^42 Й^Х 42 Й^12 Х42 0

2 Q Q 2 Q 7

(11)

здесь использовано соотношение

=-(е" + е-"'). Далее

обозначим величиной у скорость

всех релаксационных процессов в

накопительной колбе, за исключением процесса вылета атомов из колбы. Без ограничения общности и для простоты дальнейших рассуждений будем

считать, что скорости продольной, поперечной и Зеемановской релаксации равны у + г. Тогда для динамической компоненты, обусловленной такой

релаксацией, имеем:

л

л

159

(12)

Ае/ =

4 -А^ -^A. 4

/ --Z^^ -ZO^ 4

-А^ -?Ac^ / 4-^"^c -Ac 4

-Z^4 . -^?4^ -А4 c / 4_A

компонента, обусловленная

7

потоком

Динамическая

накопительную колбу, в одетом базисе состояний имеет вид:

А!=- А

где

<

<

=<

<

атомов в

(13)

(Л + Q) (2Л (Л + Q) + Х2) - 2Л (Л - Q)2 п i + Х2 (2Q^ + (-Л + Q) )

4Q( 2Л2 + X2)

((Л + Q) п - 2Лл^ + (Л - Q) п,) 2 (2Л2 + Х2) ,

(2 Л (Л2 - Q2) + (Л + Q) Х2) п + 2Л (-Л2 + Q2) + Х2 (-20^ + (-Л + Q) )

4О( 2Л2 + X2)

Х2 (- (2 Л (Л + Q) + Х2) + 4Л0^ + (2Л (Л - Q) + Х2) п,,)

4О( 2Л2 + Х2) ,

4Л п1,0 + Х12 (П1,-1 + П1,1) 2 (2Л2 + Х2) ,

Х.2 (-(2Л(Л-О) + X2) п_, - 4Л0^, +(2Л(Л + О) + Х2) )

4О( 2Л2 + X2) ,0

(-2 Л2 + 2 Л02 + (-Л + Q) X2) + 2Л (Л2 - Q2) + Х2 (-20^ + (Л + Q) )

4О( 2Л2 + X2) ,

Х^ ((Л - Q) - 2Лп о + (Л + Q) п t)

1, -1

,0

1,-1

1,-1

1,-1

,

>

2 (2Л2 + X2)

(-2 Л (Л - Q)2 + (-Л + Q) Х2) п + 2Л (Л + Q)2 + Х2 (20^ + (Л + Q) )

,

(14)

4О( 2Л2 + Х2)

^{0,0,0, ^0,0}

160

Таким образом, выражения (9)-(14) в одетом базисе состояний полностью описывают динамику ансамбля атомов водорода в накопительной колбе Н-мазера. Дальнейшие преобразования связаны с переходом в базис

представления взаимодействия. Матрица перехода Д в такой базис из

одетого базиса имеет следующее выражение:

е'О/ 0 0 0

т = = 0 1 0 0

г 0 0 е - 'О/ 0

< 0 0 0 е - '"24' 7

(15)

Произвольный оператор 5 в

базисе взаимодействия обозначим 5",

используя в качестве верхнего индекса штрих. Тогда элементы матрицы плотности в двух приведенных базисах имеют следующую связь:

pL йай йас йа 4' йаа ^,''О ' е йай 2'0 ' _ е йас е'(О+"24'' йа 4 '

Р' = ййа ййй ййс йй 4 - 'О' _ е ййа ййй /О/ е ййс е'"24' йй 4

йса йсй йсс йс4 -2-О/ _ е йса е-'°' й йсс е -'(О-"24)' йс. (16)

\й4 а й4й й4 с й44 ? -'(°+^24 )' й4 а е * '"24' Й4й ' (О—" )' е й4 с й44 J

Далее последовательно выполним процедуру (аналогичную (10)-(14)) выражения всех операторов, входящих в уравнение (9), в базисе

взаимодействия. Невозмущенный Гамильтониан имеет вид:

рю 0 0 0 0 0 0 0

' =

0 0 -ЙО 0

.0 0 0 —/"24

(17)

161

Окончательная форма Гамильтониана взаимодействия

е' (-^+^)' (1 + е 2'"' рҮ.2Ү^

Г 0,0,0,----------

4Q

(е'(-^+2"-^)' + е -

0,0,0,^

0,0,0, -

( е * + е"

'(-л+2")'

———'----------Г,

'(^+")' ,2Ү24 '

--------"------------г,

4Q

(18)

Г1

2 Q

е *' (-^+2"+^)' (1 + е