Применение уравнений в свертках к решению обратных задач гравиметрии и идентификации динамических систем тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат технических наук Мойко, Наталья Валентиновна

• Мойко, Наталья Валентиновна
• кандидат технических наук
• 2006

Оглавление диссертации кандидат технических наук Мойко, Наталья Валентиновна

1 Введение.

1.1 Актуальность темы.

1.2 Цель работы.

1.3 Методы исследования.

1.4 Краткое содержание работы.

1.5 Научная новизна.

1.6 Теоретическая и практическая ценность работы.

1.7 Апробация.

I Постановка задачи, обзор и вспомогательные утверждения

1 Постановка задачи

1.1 Прямая и обратная задачи гравиразведки.

1.2 Решение обратной задачи для контактной поверхности с применением метода регуляризации.

1.3 Метод аналитического продолжения спектра.

2 Обзор аналитических и численных методов решения уравнений в свертках и их приложений

2.1 Исторические сведения

2.2 Понятие корректности и некорректности

2.3 Условная корректность

2.4 Метод регуляризации Тихонова

2.5 Вариационный метод.

2.6 Итерационные методы.

2.7 Метод Ныотопа-Каиторовича.

II Итерационные методы решения уравнений в свертках

1 Введение

2 Приближенное решение уравнений в свертках на векторных компьютерах.

3 Приближенное решение уравнения Винера-Хопфа

4 Итерационный метод решения уравнения с двумя ядрами

5 Приближенное решение парных уравнений

6 Итерационные методы решения многомерных сингулярных интегральных уравнений

6.1 Двумерные сингулярные интегральные уравнения.

6.2 Дискретные уравнения в свертках.

7 Приближенные методы одновременного восстановления аппаратных функций и входных сигналов

7.1 Одномерные дискретные системы

7.2 Многомерные дискретные системы.

7.3 Одномерные непрерывные системы

7.4 Многомерные непрерывные системы.

7.5 Приближенное решение краевых задач

III Приближенные методы решения обратных задач идентификации

1 Итерационный метод решения обратной задачи гравиметрии для контактной поверхности

1.1 Двумерная задача.

1.1.1 Определение границы раздела при известной глубине залегания Я и неизвестном интервале залегания (а, Ь)

1.1.2 Определение границы раздела при известной глубине залегания Н и известном интервале залегания (а, 6)

1.1.3 Определение границы раздела z(x) при неизвестной глубине залегания Н и неизвестном интервале залегания (а,Ь).

1.2 Трехмерная задача.

2 Восстановление импульсной функции и искаженного атмосферой короткоэкспозиционного изображения

2.1 Аналитическое решение многомерных урравнений.

2.2 Приближенные методы

IV Приближенное решение граничных интегральных уравнений

1 Приближенный метод решения уравнений теории рассеивания.

2 Решение задачи Дирихле для уравнения Лапласа

3 Решение задачи Дирихле для уравнения Гельмгольца

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Применение уравнений в свертках к решению обратных задач гравиметрии и идентификации динамических систем»

Введение. Общая характеристика работы

1.1 Актуальность темы.

Работа посвящена итерационным методам решения обратных задач гравиметрии и идентификации динамических систем, описываемых уравнениями в свертках различных видов.

Уравнения в свертках, начиная с первой работы о таутохроне, принадлежащей Н. X. Абелю, находят широкое применение в различных областях физики и техники. На протяжении 19 и 20 веков были исследованы многочисленные виды интегральных уравнений в свертках; причем получены как качественные результаты, так и приближенные методы их решения. Огромный вклад в разработку методов исследования уравнений в свертках, к которым относятся и сингулярные интегральные уравнения, принадлежит Н. Винеру и Е. Хопфу, Ф. Д. Гахову, Г. Дечу, М. Г. Крейиу, Н. И. Мусхелишвили В. А. Фоку, И. М. Раппопорту, предложившим принципиально различные методы решения этих уравнений. Дальнейшее развитие аналитических и численных методов решения уравнений в свертках связано с именами И. В. Войкова, Г. И. Василенко, А. Ф. Верлапя, Ф. Д. Гахова, И. Ц. Гохберга, В. В. Гласко, Б. Н. Енгибаряна, В. В. Иванова, И. К. Лифанова, А. Ф. Матвеева, С. Г. Михлина, Б. И. Мусаева, В. С. Сизикова, Д. Г. Саникидзе, А. М. Тараторина, А. Н. Тихонова, В. И. Старостенко, В. Н. Страхова, К. Е. Atrinson, D. U.Jinyan, М. A. Golberg, G. Shmidt, S. Prossdorf и др.

В последнее время активно развиваются новые направления, связанные с применением интегральных уравнений в свертках к решению обратных задач гравиметрии и идентификации динамических систем.

В связи с этим получили развитие ставшие уже классическими метод регуляризации Тихонова, итерационные методы, проекционные методы решения уравнений в свертках. Несмотря на активное развитие численных методов решения уравнений в свертках и на исследование их многочисленых приложений, остался неисследованным ряд принципиальных моментов: известные в литературе итерационные методы решения уравнений в свертках сходятся лишь при очень жестких условиях и не применимы к решению ряда обратных задач гравиметрии; уравнения в свертках используются при решении многочисленных задач физики и оптики, в которых требуется обработка информации в режиме реального времени. Для этого необходима разработка параллельных методов решения уравнений в свертках, которые в настоящее время отсутствуют; в настоящее время также отсутствуют приближенью методы решеиия ряда конкретных классов уравнений в свертках, которыми описываются обратные задачи геофизики, астрофизики, и измерительной техники. В частности, весьма актуальным является решение задач одновременного определения формы гравитирующего тела и глубины его залегания; восстановление изображения, искаженного турбулентной атмосферой; задачи одновременного восстановления аппаратной функции и входного сигнала, и ряд других аналогичных задач.

Разработке, обоснованию и программной реализации числеинымх методов решения перечисленных проблем посвящена данная диссертация.

1.2 Цель работы.

Целыо исследования является разработка, обоснование и программная реализация численных методов решения различных классов уравнений в свертках и применение полученных результатов к решению задач гравиметрии и идентификации параметров динамических систем. При этом в работе решены следующие задачи: предложены и обоснованы итерационные методы решения уравнений в свертках Винера-Хопфа, уравнений с парными ядрами, многомерных сингулярных уравнений, сходящиеся при очень слабых ограничениях; исследована сходимость итерационно-проекционных методов для приведенных выше классов уравнений; предложены алгоритмы распараллеливания итерационных и итерационно-проекционных методов решения перечисленных в первом пункте уравнений; численно решен ряд обратных задач гравиметрии; численно решены ряд задач одновременного восстановления аппаратной функции и входного сигнала.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Мойко, Наталья Валентиновна

Заключение

Предложены и обоснованы параллельные итерационные методы решения широкого класса уравнений в свертках, позволяющие решать широкий класс невырожденных уравнений следующих видов: уравнения Винера-Хопфа, с двумя ядрами, парные уравнения, многомерные сингулярные интегральные уравнения.

Предложенные в диссертации численные методы решения уравнений в свертках позволили в общем виде решить ряд задач гравиразведки и идентификации параметров динамических систем. В частности, получено общее решение следующих задач:

• определение границы раздела при известной глубине залегания Я и неизвестном интервале залегания (а, Ь);

• определение границы раздела при известной глубине залегания Я и известном интервале залегания (а,Ь);

• определение границы раздела z(x) при неизвестной глубине залегания Я и неизвестном интервале залегания (а,Ь);

• восстановление импульсной функции и искаженного атмосферой короткоэкспозиционного изображения;

• одновременное восстановление аппаратных функций и входных сигналов;

• решены классические уравнения теории ньютоновского потенциала методом сведения их к гиперсиигулярным интегральным уравнениям.

Список литературы диссертационного исследования кандидат технических наук Мойко, Наталья Валентиновна, 2006 год

1. Андреев Б. А. Геологическое истолкование гравитационных аномалий./ Б. А. Андреев , И. Г. Клушин. — М.:Недра, 1965. — 495 с.

2. Арабаджян Л. Г. Уравнения в свертках и нелинейные функциональные уравнения.//JI. Г. Арабаджян, Н. Б. Енгибарян. Матем. анализ. Итоги пауки и техн. М.:ВИНИТИ АН СССР, 1984. Т. 22. - С. 175-244.

3. Апостериорная пространственная фильтрация искаженного атмосферой короткоэкспозиционного изображения.// П. А. Бакут, К. Н. Свиридов, В. Н. Сидельников, Н. Д. Устинов. Оптика и спектроскопия, 1982. Т.53. - №1. - С. 163-166.

4. Бакут П. А. Восстановление формы поверхности по ее полутоновым изображениям.// П. А. Бакут, М.В. Кузнецов, А.Д. Ряхин. Автометрия, 1990. №3. - С. 89-90.

5. Построение трехмерной формы поверхности по оптическому потоку яркостной картинки, обусловленному вращением твердого тела./ Бакут П. А., Кузнецов М.В., Лозин К.Р., Ряхиин А.Д. Автометрия, 1992. — №1. С. 34-37.

6. О возможности восстановления двумерного изображения из дискретизированного уравнения свертки.// П. А. Бакут, Д. В. Макаров, А. Д. Ряхин, К. Н. Свиридов. Радиотехника и электроника, 1988. Т. 33. - М. - С. 2422-2424.

7. Бащт П. А. Адаптивное восстановление неискаженного изображения объекта, наблюдаемого через турбулентную атмосферу.// П. А. Бакут, С. Д. Польских, К. Н. Свиридов. Радиотехника и электроника, 1987. — Т.32. вып.12.

8. Статистический синтез алгоритмов оптимальной обработки изображения, пространственно инвариантных к атмосфернымискажениям.// П. А. Бакут , П. А. Польских, К. Н. Свиридов, Н.Ю. Хомич. Радиотехника и электроника, 1988. — Т.ЗЗ. вып.З.

9. Бакалов В. П. О возможности решения уравнения свертки при неизвестном ядре в случае многомерных пространственно-ограниченных сигналов.// В. П. Бакалов, Н. П. Русских. Автометрия, 1985. т. - С. 92-95.

10. Батыров Б. Е. Оценки уклонения норм регуляризоваппого решения от точного для уравнения типа свертки в пространствах Flpq{Rn)// Б. Е. Батыров, Ж. К. Кайрат. http: //www.nkzu.edu/NKZU/FIT/mat/publister/statyaBBE.htm.

11. Бахвалов Н. С. Численные методы. Н. С. Бахвалов, Н. П. Жидков, Г. М. Кобельков. М.: Наука, 1987. - 600 с.

12. Белоцерковский С. М. Численные методы в сингулярных интегральных уравнениях./ С.М.Белоцерковский, И.К.Лифанов. М.: Наука, 1985. — 225 с.

13. Бойков И. В. Аналитические методы идентификации динамических систем./ Пенза, 1992. — 112 с.

14. Бойков И.В. Итерационные методы решения уравнений в свертках// Известия ВУЗов. Математика, 1998. Т.2. - №9. - С. 8-15.

15. Бойков И. В. Оптимальные по точности алгоритмы приближенного вычисления сингулярных интегралов./ Саратов: Изд-во Саратов, гос. ун-та 1983. 210 с.

16. Бойков И. В. Аппроксимация некоторых классов функций локальными сплайнами // Журнал вычислительной математики и математической физики, 1998. Т. 38. - М. - С. 25-33.

17. Бойков И. В. Оптимальные алгоритмы восстановления функций и вычисления интегралов па одном классе бесконечнодифференцируемых функций // Известия вузов. Математика, 1998. — №9. С. 14-20.

18. Войков И. ^.Оптимальные методы восстановления потенциальных полей // И. В. Бойков, А. И. Войкова. Известия РАН. Физика Земли, 1998. Ш. - С. 70-78.

19. Об одном приближенном методе решения уравнений теории рассеивания //И. В. Бойков, А. И. Бойкова, Н. П. Кривулин, Н. В. Мойко. Надежность и качество: Труды международного симпозиума.-Пепза: Изд-во ПГУ, 2002. С. 492 .

20. Войков И. В. Об одном итерационном методе решения обратной задачи гравиметрии для контактной поверхности// И. В. Бойков, Н. В. Мойко. Изв. РАН. Физика Земли, 1999. №2. - С. 52-54.

21. Войков И. В. Итерационные методы решения интегральных уравнений в свертках.// И. В. Бойков , Н. В. Мойко. Надежность и качество: Труды международного симпозиума. Пенза: Изд-во ПГУ, 2001. — С. 481.

22. Войков И. В. Итерационные методы решения многомерных сингулярных интегральных уравнений.// И. В. Бойков, Н. В. Мойко. Материалы XII Международной школы-семинара "Синтез и сложность управляющих систем", М.: Изд-во МГУ, 2001. — ч.1, — С. 31-36.

23. Войков И. В. Приближенные методы одновременного восстановления аппаратных функций и входных сигналов.// И. В. Бойков, Н. В. Мойко. Труды Средневолжского матем. общества, 2005. — Т.7. — JV®1. — С. 7885.

24. Бойков И. В. Об одном методе восстановления импульсной функции и искаженного атмосферой короткоэкспозиционного изображения.// И. В. Бойков, Н. В. Мойко. Надежность и качество: Труды международного симпозиума.- Пенза: Изд-во ПГУ, 2005. — С. 78-85

25. Бойков И. В. Проекционные методы решения уравнения Гельмгольца.// И. В. Бойков, Н. В. Мойко, Д. В. Тарасов. Надежность и качество. Труды международного симпозиума. Т.1 Пенза: Изд-во ПГУ, 2006. С. 10-12.

26. Вайникко Г. М. Численные методы в гиперсингулярных интегральных уравнениях и их приложения./ Г. М. Вайникко, И. К. Лифанов, Л. Н. Полтавский, М.: "Янус - К", 2001. - 508 с.

27. Василенко Г. И. Теория восстановления сигналов. М.:Сов. радио, 1979.

28. Василенко Г. И., Тараторин А. М.Восстановление изображений. / Г. И. Василенко, А. М. Тараторин. — М.: Радио и связь, 1986. — 304 с. ил.

29. Верланъ А. Ф. Интегральные уравнения: методы, алгоритмы, программы./ А. Ф. Верлань, В. С. Сизиков. Справочное пособие. Наукова думка, К., 1986. — 543 с.:ил.

30. Воеводин В. В., Воеводин Вл. В. Параллельные вычисления./ В. В. Воеводин, Вл. В. Воеводин. СПб.:БХВ - Петербург, 2002. - 608 с.

31. Ф. Д.Гахов Ф. Д. Краевые задачи. М.:Наука, 1963. 640 с.

32. Гахов Ф. Д. Уравнения типа светрки./ Ф. Д. Гахов, Ю.И.Черский. М., Наука, 1978. 295 с.

33. Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. М.: Наука, 1967. — 576 с.

34. Гласко В. Б. О восстановлении глубины и формы контактной поверхности на основе регуляризации./ В. Б. Гласко, А. X. Остромогильный, В. Г. Филатов. ЖВМ и МФ. 1970. Т. 10. 5. - С. 1292-1297.

35. Гохберг И. Ц. О сходимости проекционного метода решения вырожденного дискретного уравнения Винера-Хопфа. И. Ц. Гохберг,

36. B. И. Левченко. Матем. исследования, Кишинев, 1971. — Т.6. — №4. —1. C. 20-36.

37. Гохберг И. Ц. Уравнения в свертках и проекционные методы их решения. И. Ц. Гохберг, И. А. Фельдман. М., Наука. 1971.

38. Гравиразведка: Справочник геофизика/ Под редакцией Е. А. Мудрецовой, К. Е. Веселова.// 2-е изд., перераб. и доп. — М.:Недра, 1990. 607 с.

39. Дегтяренко Н. А. Решение в замкнутой форме интегрального уравнения типа свертки в гиперэллиптическом случае.// Известия ВУЗов. Математика. 2000. №1. - С. 20-30.

40. Дейч Г. Методы идентификации динамических объектов. М.:Энергия, 1979.

41. Енгибаряп Н. Б.,Арутюнян А. А. Уравнения на полупрямой с разностными ядрами и нелинейные функциональные уравнения.// Матем.сб., 1975. Т. 97. - М. - С. 35-38.

42. Енгибарян Н. Б. О некоторых задачах факторизации для интегральных операторов свертки.// Н. Б. Енгибарян, JI. Г. Арабаджян. Дифференц. ур-ния, 1990. Т.26. - М. - С.1442-1452.

43. Енгибарян Н. Б. Об одном классе интегральных уравнений восстановления.// Н. Б. Енгибаряп, А. А. Погосян. Матем.заметки. 1990. Т.47. - М. - С.23-30.

44. Енгибарян Н. Б. О некоторых уравнениях типа свертки в кинетической теории.// Н. Б. Енгибарян, А. X. Хачатрян. Журнал вычислительной математики и математической физики, 1998. — Т.38. — №3. — С.466-482.

45. Задирака В. К. Теория вычислений преобразования Фурье. Киев: Наукова думка, 1983. — С.213.

46. Заморев А. А. Решение обратной задачи теории потенциала// Докл.АН СССР, 1941. Т.12. - №8. - С.546-547.

47. Иванов В. В. Теория приближенных методов и еч, применение к численному решению сингулярных интегральных уравнений. Киев: Наукова думка, 1968. — 287 с.

48. Иванов В. К. Теория линейных некорректных задач и ее приложения./В. К. Иванов, В. В. Васин, В. П. Танана. М.:Наука, 1978. - 206 с.

49. Какичев В. А. Методы решения некоторых краевых задач для аналитических функций двух комплексных переменных. Тюмень.: Тюменский госуниверситет. 1978. — 124 с.

50. Канторович Л. В. Функциональный анализ в нормированных пространствах./ Канторович JI. В., Акилов Г. П.

51. Колтон Д. Методы интегральных уравнений в теории рассеяния./ Д. Колтон, Р. Кресс. М.: Мир, 1987. - 311 с.

52. Конторович М. И. Операционное исчисление и нестационарные явления в электрических цепях.// -2-е изд., перераб. и доп. — М.: Государственное изд-во технико-теоретической литературы, 1955. — 226 с.

53. Приближенное решение операторных уравнений./ М. А. Красносельский, Г. М. Вайникко, П. П. Забрейко, Я. Б. Рутицкий, В. Я. Стеценко. М.:Наука, 1969. — 455 с.

54. Крейн М. Г. Интегральные уравнения на полупрямой с ядром, зависящим от разности аргументов.// УМН, 1958. №13. — С. 3-120.

55. Лифанов И. К. Метод сингулярных интегральных уравнений и численный эксперимент. М.:ТОО "Янус", 1995. — 520 с.

56. Люстерник Л. А. Элементы функционального анализа./ JI. А. Люстерник, В. И. Соболев. — М.:Наука, 1965. — 540 с.

57. Миттра Р. Аналитические методы теории волноводов./ Р. Миттра , С. Ли. М., "Мир", 1974.

58. Михлин С. Г. Многомерные сингулярные интегралы и интегральные уравнения. М.:ГИФМЛ, 1962. - 256 с.

59. Мудрецова Е. А. Определение глубины залегания, формы, избыточной плотности и участка модуляции контактной поверхности./ Е. А. Мудрецова, В. Г. Филатов. Прикладная геофизика. — М.:Недра, 1975.- Вып. 78. С. 153-158.

60. Мусхелишвили Н. И. Сингулярные интегральные уравнения. Граничные задачи теории функций и некоторые их приложения в математической физике. — М., Гос. изд-во физико -математической лит-ры, 1968.

61. Натансон И. П. Теория функций вещественного переменного. — М., 1957.

62. Обломская Л. Я. О методах последовательных приближений для линейных уравнений в банаховых пространствах.// ЖВМ и МФ, 1968.- Т.8. №2. - С.417-426.

63. Пресдорф 3. Линейные интегральные уравнения.- В кн.: Итоги науки и техники. // Серия:Современные проблемы математики.- М.: Наука, 1988. Т. 27. - С. 5-130.

64. Прудников А. П. Интегралы и ряды./ А. П. Прудников , Ю. А. Брычков, О. И. Марычев. М.:Наука. 1981. 800 с.

65. Раковщик Л. С. О методе Ньютона-Канторовича// Журнал вычислительной математики и математической физики. — 1988. Т.8. - №6. - С. 1207-1217.66