Применение спиральных траекторий и пертурбационного маневра для оптимизации гелиоцентрических перелетов космического аппарата с солнечным парусом тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.01, кандидат физико-математических наук Тычина, Павел Александрович

• Тычина, Павел Александрович
• кандидат физико-математических наук
• 1999

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Тычина, Павел Александрович

Содержание

Введение

0.1 Математическая модель космического аппарата с

солнечным парусом и уравнения движения

0.2 Использование К А с СП для космических перелетов

0.3 Содержание данной работы

Глава 1 Экстремальность по быстродействию логарифмических спиральных траекторий как следствие квазиоднородности уравнений движения

1.1 Введение

1.2 Общий случай. Исследование экстремальности по быстродействию квазиоднородных лучей

1.3 Случай движения КА с солнечным парусом. Исследование экстремальности по быстродействию квазиоднородных лучей

1.3.1 Множество квазиоднородных лучей

1.3.2 Экстремальные свойства спиральных траекторий

Глава 2 Квазиоптимальный перелет космического аппарата с солнечным парусом между компланарными гелиоцентрическими круговыми орбитами

2.1 Постановка задачи

2.2 Квазиоптимальная траектория

2.2.1 Первый этап построения квазиоптимальной траектории

2.2.2 Второй этап построения квазиоптимальной траектории

2.2.3 Численное построение квазиоптимальной траектории

2.3 Сравнение квазиоптимальной и оптимальной траекторий

Глава 3 Перелет космического аппарата с солнечным парусом между гелиоцентрическими круговыми орбитами с близкими наклонениями

3.1 Постановка задачи

3.2 Уравнения движения и краевые условия перелета

3.3 Построение квазиоптимальной траектории

3.3.1 Первый этап построения квазиоптимальной траектории

3.3.2 Второй этап построения квазиоптимальной траектории

3.3.3 Параметры конечной орбиты

3.3.4 Численное построение квазиоптимальной траектории

3.4 Сравнение квазиоптимальной и оптимальной траектории

Глава 4 Оптимизация перелета космического аппарата с солнечным парусом от Земли к Марсу с пертурбационным маневром у Венеры

4.1 Постановка задачи

4.2 Метод решения

4.3 Численный алгоритм

4.4 Результаты расчетов

Заключение

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Применение спиральных траекторий и пертурбационного маневра для оптимизации гелиоцентрических перелетов космического аппарата с солнечным парусом»

Введение.

0.1 Математическая модель космического аппарата с солнечным парусом и уравнения движения.

Давление солнечного света было экспериментально открыто П.Н. Лебедевым (1899) [1]. Идея использования силы давления света для перелета к другим планетам была впервые научно обоснована в работах Ф. Цандера [2]. Сила светового давления на участок плоской поверхности равна сумме нормальной и касательной проекций [3]

= Р + Й, (0.1)

|Р| = (1 + е)^4со82/?, |Й| = (1 - е)—Асов/Зяп/?.

с с

Здесь А — площадь освещенной площадки, (5 — угол падения лучей, 5Г — мощность светового потока на единицу площади на расстоянии г, б — коэффициент отражения поверхности, с — скорость света (см. рис 0.1 на стр. 6). Мощность светового потока убывает обратно пропорционально квадрату расстояния

= 5зф2. (0.2)

Здесь 53 = 1.4 • 103 Вт/м2 — солнечная постоянная, г3 = 149,6 • 10б

км — среднее расстояние от Земли до Солнца.

Если поверхность зеркально отражающая (б = 1), то сила Г светового давления будет направлена по нормали к площадке п

р = ?^4со82/?п, (0.3)

Аппарат, использующий в качестве тяги силу светового давления, называется космическим аппаратом (КА) с солнечным парусом (СП). Уравнения гелиоцентрического движения К А с СП имеют вид

? = -//с4 + - + г). (0.4)

г6 т

3

Здесь /¿с — гравитационный параметр Солнца, г - радиус-вектор

КА, g - ускорение от возмущающих сил, значение F дается формулами (0.1)-(0.2).

Если парус плоский с зеркально отражающей поверхностью, то действующее на КА с массой m ускорение

^K = ^ecos2/?n, е = (0.5)

гг с m fic

Здесь е — безразмерная константа, зависящая от конструкции КА

с СП. Константа е характеризует относительную тягу паруса. Она равна отношению максимальной величины |w3epK| к гравитационному ускорению, действующего на КА со стороны Солнца.

Рассмотрим КА с двухсторонним зеркально отражающим СП. Возьмем инерциальную гелиоцентрическую систему координат Oxyz с центром в Солнце. Введем сферические криволинейные координаты — радиус г, долготу ср и широту д обычны-

ми формулами

х — г cos •& cos <р , у = г cos ê sin (p, z — r sin fl .

Уравнения движения в сферических координатах (г, (p, û) с учетом (0.4) и (0.5) принимают вид

г = Vr, ê = — , ф =

'г — а )

г г cos V

т> vj + yj , №,е,х)

vr — "Г 9 ,

у*

= + (0.6) V^-^-Stgrf + M,

(jf* J"*

£(е, 9, х) = c°s X cos 9\ cos2 x cos2 9 — 1, r](sу 9, х) = s\ cos х cos в\cos2 х cos в sin 9, 9, х) = cos хcos 91 cos 9 cos xsinx •

Здесь г — гелиоцентрическое расстояние К А, Уг, У<р, — проекции скорости на векторы локального базиса ег, ё^,, криволинейной сферической системы координат. Углы в и % определяют направление вектора нормали к СП в локальном базисе ё^., ё^,, , точкой обозначено дифференцирование по времени Ь. Угол х есть угол между вектором нормали и плоскостью (ё£,ё^), в — угол между вектором ег и проекцией вектора нормали на плоскость (ё£, ё^) (см. рис 0.2 на стр. 6).

Система (0.6) записана в безразмерных переменных: единица длины — расстояние от Земли до Солнца, единица времени равна 1год/27г. В уравнениях (0.6) влияние возмущающего ускорения ^ не учитывается. В этом случае также удобно записывать уравнения (0.4) в кватернионной форме. Этот подход описан в главе 3.

Основные возможные конструкции КА с СП даны в работах [4]-[7]. В работе [4] описан проект плоского солнечного паруса, в работе [5] — парус-гелиоротор, в работах [6] и [7] — миниатюрные и микроминиатюрные СП. В настоящее время, в рамках проекта " Знамя", осуществлен эксперимент по развертыванию СП на орбите искусственного спутника Земли и освещению с его помощью участков земной поверхности [8]-[9].

Мы не будем рассматривать конкретную конструкцию КА с СП. Задача о гелиоцентрическом перелете КА с СП будет рассматриваться в модельной постановке (0.6), причем, согласно работам [4]-[7] будет предполагаться, что возможно создание аппарата с тяговым параметром £ « 0.1.

Уравнения (0.6) являются приближенными. В них не учитываются возмущающее ускорение неидеальность СП (е ф 1). Кроме того, сама формула (0.1) является приближенной. В точных расчетах следует учитывать еще и коэффициент прозрачности пленки, а также диффузность отражения и температурные характеристики освещенной и теневой сторон [10]. Если время перелета велико или аппарат подходит близко к Солнцу, то нужно учитывать и износ СП [11], [12]. Условия физической реализуемости накладывают ограничение на величину угловой скорости вращения СП [7], [33]. Все эти условия здесь не рассматриваются.

Рис. 0.1 Солнечное давление на СП

е1

п

Рис. 0.2 Управляющие углы

0.2 Использование К А с СП для космических перелетов.

Задачи о перелетах КА с СП делятся на геоцентрические и гелиоцентрические. В геоцентрическом случае рассматривается полет внутри сферы действия Земли для маневров различного назначения (разгона или торможения, освещения участков земной поверхности, захвата К А Луной и т.д.). В гелиоцентрических задачах рассматриваются перелеты К А с СП вне сферы действия планет.

Впервые траектория гелиоцентрического перелета КА с плоским СП была предложена в работе Ф.А. Цандера [2]. На этой траектории СП во все время движения перпендикулярен солнечным лучам. Движение при этом происходит по кеплеровым коническим сечениям вокруг Солнца с постоянной притяжения, уменьшенной на величину, пропорциональную г. Такая задача называется фотогравитационной [3]. Перелет по цандеровским эллипсам применялся в [2] для достижения Марса с орбиты Земли. Такой перелет не является оптимальным по быстродействию: время полета может быть уменьшено за счет управления ориентацией вектора п нормали к СП. Согласно формулам (0.1), изменение направления вектора п меняет величину и направление вектора тяги.

Другая траектория была предложена в работе [13]. Движение центра масс КА плоское и происходит по логарифмической спирали

г = го ехр(<£ ctga). (0.7)

где го, а - const, г и ср - полярные координаты. Нормаль к СП лежит в плоскости движения (х = 0). Угол 9 между нормалью к СП и радиус-вектором - постоянный. Этот угол связан с параметром спирали а некоторым соотношением. При фиксированном значении параметра тяги е существует два семейства спиральных траекторий. Например, при е < £кр « 0.578 для любого 9 существуют две спиральные траектории. Одна из них называется скрученной спиралью, а другая - развернутой спиралью [3], [13].

В работе [14] среди семейства спиральных траекторий находились спирали с наибыстрейшим ростом или убыванием гелиоцен-

7

трического расстояния. Для скрученных спиралей оптимальный угол установки 9 « 30°, а для развернутых оптимальным будет тривиальное решение, соответствующее углу установки 9 = 0.

В работе [10] для случая малых £ асимптотическими методами было найдено решение, обобщающее логарифмическую спираль [13]. Наклонение на этой траектории изменялось периодическим образом. Положение вектора нормали к СП было фиксировано относительно трехгранника Ганзена во все время движения. В [10] была рассмотрена модификация этой траектории, на которой изменение наклонения было монотонным. При этом положение вектора нормали было кусочно постоянной функцией времени, а на участках постоянства управления траектория представляла собой пространственную логарифмическую спираль.

Траектории в работах [2], [10], [13], [14] получаются с помощью некоторых упрощенных алгоритмов управления перелетом оптимальность которых по быстродействию не рассматривалась. Точные численные решения вариационной задачи быстродействия были построены в работах [15]-[17]. В работе [15] построен плоский перелет между круговыми орбитами Земли и Марса для различных значений тяги паруса. В работе [16] построен плоский перелет от Земли к Марсу без уравнивания скоростей. Задача об оптимальном перелете к Меркурию, Венере, Марсу и астероиду Эрос в трехмерной постановке решалась в работе [17]. В работах [15]-[17] для нахождения оптимальных траекторий использовались условия принципа максимума Понтрягина [18]-[23], а решение краевой задачи принципа максимума строилось численно.

В работах [24], [25] для построения оптимальных траекторий применяются асимптотические методы. Причем в [24] оптимальный перелет между круговыми орбитами строится на основе логарифмической спиральной траектории из работы [13].

Интересный метод построения оптимальных по быстродействию траекторий был предложен в работе [26]. Метод основан на интерполяции значений параметров, необходимых для построения оптимальных траекторий. В работе [26] вводится понятие оптимального многообразия (ОМ). Под ОМ понимается полный

набор функций, зависящих от терминальных координат. Зная эти

8

функции легко решить задачу оптимального управления. С помощью метода интерполяции ОМ построена зависимость оптимальных перелетов К А с СП от терминальных координат. В начальный момент времени КА находится на орбите Земли, терминальная точка находится в ее окресности, уравнивание скоростей не требуется.

Методика [26] позволила найти оптимальные траектории достижения астероидов, проходящие через области терминальных координат, для которых было расчитано ОМ. Асимптотические формулы дали результаты близкие к точным численным расчетам для времен перелета менее 1 /(27т) года. Численный вариант метода интерполяции ОМ работал вплоть до значений времени перелета 5/(27г) года.

Задачи геоцентрических перелетов рассматриваются в работах [2], [3], [27]-[33]. СП "наилучшей конструкции" рассматривался в работах [27], [29]. Оптимальные перелеты космических аппаратов с малой тягой рассматривались в работах [34]-[38].

Численные методы решения краевых задач рассматриваются в [30], [39]. Численным методам оптимизации посвящены работы [43]-[45]. Методы решения систем ОДУ и систем линейных уравнений содержатся в работах [40]-[49]. Этим методам мы следуем и в данной работе.

Различным применениям пертурбационного маневра в сфере дейтвия Луны посвящены работы [50]-[54] и [31]. В работе [31] рассматривается применение пертурбационного маневра в сфере действия Луны для оптимизации геоцентрического разгона КА с СП. В работе [23] обобщен принцип максимума Понтрягина на случай систем с разрывами. Это позволяет выписывать необходимые условия оптимальности для траекторий, использующих пертурбационный маневр в сфере планеты, который в рамках метода точечной сферы действия приводит к скачку гелиоцентрической скорости.

0.3 Содержание данной работы.

Целью диссертации является нахождение путей применения логарифмических спиральных траекторий и пертурбационного маневра в сфере действия планеты для оптимизации гелиоцентрических перелетов К А с СП.

Диссертация состоит из четырех глав, введения, заключения и списка литературы.

В первой главе для квазиоднородных управляемых систем общего вида доказывается экстремальность по быстродействию точных решений в виде квазиоднородных лучей и в частности — плоских логарифмических спиральных траекторий. Уравнения движения КА с СП при постоянном угле постановки СП являются квазиоднородными, а логарифмические спиральные траектории являются точными частными решениями в виде квазиоднородных лучей. Для последних уравнений множество квазиоднородных лучей является более широким, чем множество плоских логарифмических спиралей. Оно включает в себя также и пространственные решения, являющиеся обобщениями плоских. Эти решения ранее были известны лишь как приближенные.

В главе 1 находятся два семейства экстремальных по быстродействию плоских логарифмических спиралей, которые при е = О переходят в круговые орбиты. Одно из этих семейства соответствует случаю удаления от Солнца, а другое — приближению к нему. Интересно также то, что оптимальным является управление, оставляющее постоянным угол постановки СП в течение всего времени движения.

Во второй главе строится квазиоптимальная траектория перелета КА с СП между компланарными гелиоцентрическими круговыми орбитами. Траектория включает в себя участок логарифмической спирали и еще два участка, на каждом из которых угол постановки СП постоянный. Оценивается отличие по функционалу таких квазиоптимальных траекторий от оптимальных, полученных в результате численного решения краевой задачи принципа максимума Понтрягина.

В третьей главе строится квазиоптимальная траектория пере-

лета КА с СП между гелиоцентрическими круговыми орбитами с близкими наклонениями. Траектория состоит из трех участков, на каждом из которых положение СП фиксировано. В качестве среднего участка берется экстремальная по быстродействию плоская логарифмическая спираль. Оценивается отличие по функционалу построенной квазиоптимальной траектории от оптимальной, найденной численно.

В четвертой главе оптимизируется перелет от Земли к Марсу с пертурбационным маневром у Венеры. Траектория строится численно в результате решения краевой задачи, выражающей необходимые условия оптимальности по быстродействию [23]. Находится зависимость оптимальных траекторий от начальных угловых положений планет и область этих положений, для которой время перелета меньше, чем время прямого перелета Земля-Марс.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [59], [65]-[68].

Заключение диссертации по теме «Теоретическая механика», Тычина, Павел Александрович

Заключение.

В диссертации рассмотрены применения логарифмических спиральных траекторий КА с СП и пертурбационного маневра для задач гелиоцентрических перелетов. Показано, что существуют спиральные траектории, являющиеся экстремалями специальной задачи быстродействия. Построены оптимальные траектории перелета от Земли к Марсу с пертурбационным маневром у Венеры.

Логарифмические спиральные траектории являются одним из самых простых классов траекторий перелетов К А с СП: угол установки СП на них постоянен, а гелиоцентрическое расстояние изменяется монотонно. Существование логарифмических спиралей является следствием квазиоднородности уравнений движения КА с СП при постоянном угле установки паруса: они являются частными решениями в виде квазиоднородных лучей. Интересно, что такие простые алгоритмы управления могут удовлетворять необходимым условиям оптимальности для задачи быстродействия. Такой подход позволяет достраивать квазиоднородные лучи до точных частных решений сопряженных уравнений принципа максимума Понтрягина.

Во второй и третьей главах оптимальные логарифмические спирали использовались для построения квазиоптимальных траекторий перелета между круговыми орбитами. Отличие квазиоптимальной траектории от оптимальной мало если длительность полета по спиральному участку велико по сравнению с суммой длительностей полета по участкам сопряжения начальной и конечной орбиты со спиралью.

В четвертой главе построены траектории перелета от Земли к Марсу с пертурбационным маневром у Венеры, удовлетворяющие необходимым условиям оптимальности в задаче быстродействия. Найдена область положения планет, где время перелета с маневром меньше времени прямого перелета Земля-Марс. Сложность задачи состоит в исследовании двухпараметрического семейства оптимальных траекторий. Для отделения оптимальных частей построенного семейства траекторий от неоптимальных надо исследовать самопересечения проекции оптимальной поверх

91 ности на пространство Яъ(ау, &м,Т). При пересечении проекции линии самопересечения на плоскость угловых положений ау, ам, оптимальный закон управления изменяется скачкообразно, теряется гладкость зависимости функционала от параметров ау и ам- Дополнительным фактором, который усложнит исследование двухпараметрических семейств может быть наличие особенностей проектирования этих семейств на плоскость параметров наподобие складки или сборки Уитни. Такие особенности в задаче о перелете от Земли к Марсу с пертурбационным маневром у Венеры возникают только при достаточно больших временах перелета. Наиболее продуктивным методом исследования двухпара-метрического семейства траекторий оказалось построение линий постоянства общего времени перелета. Этот метод позволяет эффективно и наглядно представить зависимость общего времени перелета от начальных угловых положений планет.

Очень интересным оказалось семейство экстремалей задачи быстрейшего достижения заданного расстояния Я: для некоторых значений Я существует три экстремали, причем для значений Я < 1 такого явления не наблюдается. Участок полета к Венере является самым медленным: минимальное время достижения расстояния Яу равно 4.105. Время полета по участку Венера-Марс оказывается почти вдвое меньше. Траектория, дающая минимальное время перелета оказалась интересной: в начале траектории (рис. 4.9) КА немного увеличивает гелиоцентрическое расстояние перед тем как сблизиться с Венерой. Этот маневр нужен для набора большей по модулю венероцентрической скорости, что позволяет сократить общее время перелета за счет уменьшения времени перелета Венера-Марс.

Интересно отметить связь задачи о быстрейшем достижении заданного расстояния Я с методом интерполяции оптимального многообразия (ОМ), изложенным в работе [26]. В работе [26] методом продолжения по параметру строилось трехпараметрическое семейство экстремальных по быстродействию перелетов с круговой орбиты до некоторой конечной точки, координаты которой выбирались в качестве параметров семейства. С помощью этого метода были построены оптимальные траектории перелета с начальной круговой орбиты в ее некоторую окрестность. Метод работал вплоть до значений времени перелета равных « 5/27Г года. Это можно объяснить существованием точки на кривой, изображенной на рис. 4.2, где возрастание R меняется на убывание.

Сформулируем коротко основные результаты, полученные в диссертации

1) Доказана оптимальность по быстродействию двух семейств логарифмических спиральных траекторий. Показана связь этого факта с квазиоднородностью системы уравнений движения.

2) Построена квазиоптимальная траектория перелета между двумя компланарными круговыми орбитами и круговыми орбитами с близкими наклонениями.

3) Построены оптимальные по быстродействию траектории перелета космического аппарата с солнечным парусом от Земли к Марсу с пертурбационным маневром у Венеры. Исследована зависимость оптимальных траекторий от начальных угловых положений планет.

4) Получено точное частное решение уравнений движения, которое ранее представлялось приближенными формулами.

В заключение хотелось бы выразить глубокую благодарность своим научным руководителям: проф. Егорову Всеволоду Александровичу и проф. Сазонову Виктору Васильевичу, которые руководили работой и оказывали неоценимую помощь на всех этапах ее написания.

Хотелось бы также выразить признательность соруководите-лям спецсеминара по механике космического полета члену корреспонденту РАН В.В. Белецкому и доц. К.Г. Григорьеву за поддержку и внимание к моей работе, а также E.H. Поляховой, М.В. Помазанову и И.С. Григорьеву за активное участие в работе семинара и полезные обсуждения.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Тычина, Павел Александрович, 1999 год

Список литературы

[1] Лебедев П.Н. Собрание сочинений. М.: Изд-во АН СССР, 1963.

[2] Цандер Ф.А. Перелеты на другие планеты. - В кн.: Цандер Ф.А. Проблема полета при помощи реактивных аппаратов: Межпланетные полеты. - 2-е изд. - М.: Оборонгиз, 1961.

[3] Поляхова Е.Н. Космический полет с солнечным парусом: проблемы и перспективы. М., Наука, 1986.

[4] Wright J.L. Space sailing// Gordon and Breach Science Publishers, Philadelphia. 1992.

[5] Friedman L.D., MacNeal R.H. a.o. Solar sailing - the concept made realistic// AIAA Pap., 1978, 82, 1-16.

[6] Jack C., Welch C.S. Solar kites: Small solar sails with no moving parts// 47 th Int. Ast. Cong., 1996, IAF-96-S.4.03

[7] Помазанов M.B., Егоров В.А. Солнечный парус: принципы конструкции, управление и перелеты к астероидам.// Препринт ИПМ им. М.В. Келдыша 1997 87.

[8] Семенов Ю.П., Бранец В.Н., Григорьев Ю.И., Зеленщиков Н.Л., Коше лев В. А., Мельников В.М., Платонов В.М., Севастьянов Н.Н., Сыромятников B.C. Космический эксперимент по развертыванию пленочного бескаркасного отражателя D=20m ("Знамя-2") // Космические исследования, 1994 т.32 вып 4-5, 186-193.

[9] Кошелев В.А., Мельников В.М., Зайцев С.Ю., Криволапо-ва О.Ю. Математическое моделирование развертывания центробежными силами космических конструкций// Космические исследования, 1994 т.32 вып 4-5, 218-220.

[10] Van der На J.С., Modi V.J. Long term evaluation of three-dimensional heliocentric solar sail trajectories with arbitrary fixed sail setting. // Celestial Mechanics.-1979, v.19, 2, 113-138.

94

[11] Джуманалиев Н.Д., Киселев М.И. Приближенный аналитический расчет межорбитального перелета с претерпевающим износ солнечным парусом. - Тр. Фрунз. политехи, ин-та, 1975, 90, 142-145.

[12] Поляхова E.H. Парусная гелиоцентрическая задача с переменной редукцией гравитационного поля. - Вестн. ЛГУ, 1984, 19, 63-68.

[13] London H.S. Some exact solution of the equation of motion of solar sail with, constant sail setting - ARS J., 1960, v.30, 2, 198200.

[14] Маланин В.В., Миттельман С.Е. К движению аппарата с солнечным парусом в центральном гравитационном поле. - Учен, зап. Перм. ун-та 1971, 239, 263-273.

[15] Жуков А.Н., Лебедев В.Н. Вариационная задача о перелете между гелиоцентрическими круговыми орбитами с помощью солнечного паруса// Космические исследования, 1964, т.2, 1, с. 46-50.

[16] Сапунков Б.Я., Егоров В.А., Сазонов В.В. Оптимизация траекторий перелета космического аппарата с солнечным парусом от Земли к Марсу// Космические исследования, 1992, т.30, вып 2.

[17] Sauer C.G., Sauer Jr.G. Optimum solar-sail interplanetary trajectories// AIAA Paper 792, 1976, p.1-8.

[18] Понтрягин Л.С., Болтянский В.Г., Гамкрелидзе Р.В., Мищенко Е.Ф. Математическая теория оптимальных процессов. М., Наука, 1961.

[19] Болтянский В.Г. Математические методы в оптимальном управлении. М. Наука 1969.

[20] Понтрягин Л.С. Принцип максимума в оптимальном управлении. М, Наука 1989.

[21] Моисеев H. H. Элементы теории оптимальных систем. М., Наука, 1975.

[22] Алексеев В.М., Тихомиров В.М., Фомин C.B. Оптимальное управление. М., Наука 1979.

[23] Ащепков Л.Т. Оптимальное управление разрывными системами. Новосибирск, Наука 1987.

[24] Коган А.Ю., Котин В.А. Об оптимальных траекториях аппарата с солнечным парусом. В кн.: Труды объед. научн. чтений, посвящ. памяти выдаюгц. сов. ученых — пионеров освоения космич. пространства. Москва, 1979. Секция Прикладная небесная механика и управление движением. М., ИИЕТ АН СССР, 1979, с. 173-181.

[25] Van der На J.С., Modi V.J. On the maximization of orbital momentum and energy using solar radiation pressure. -J. Astronaut Sei., - 1979, v.17, 1, 63-84.

[26] Помазанов M.B. Вычисление оптимального многообразия для облегчения выбора цели и ее достижения с наименьшими затратами // ПММ 1997, т.61. вып.5. с. 755-765.

[27] Скопцов А.П. Вариационная задача о выходе космического аппарата с солнечным парусом из сферы притяжения Земли. В кн.: проблемы механики управляемого движения. - Пермь, 1971, 1, 216-234.

[28] Fimple W.R. A generalized three-dimensional trajectory analysis of planetary escape by solar sail. - ARS J., 1962, v.32, 6, 833-887.

[29] Белецкий B.B. Очерки о движении космических тел. - 2-е изд. М.: Наука, 1977.

[30] Егоров В.А., Сазонов В.В., Егоров М.А., Смирнов В.В. Сравнение оптимального и локально оптимального геоцентрических разгонов космического аппарата с солнечным парусом.// Космические исследования, 1994, т. 32, вып. 6, с. 77-88.

[31] Смирнов В.В. Построение траектории геоцентрического разгона космического аппарата с солнечным парусом. Канд. диссертация М. МГУ 1992.

[32] Егоров М.А., Егоров В.А., Сазонов В.В. Управление элементами орбиты спутника осветителя.// Космические исследования, 1995, т. 33, вып. 2, с. 220.

[33] Егоров М.А., Егоров В.А., Сазонов В.В. Оптимизация геоцентрического разгона космического аппарата с солнечным парусом при ограничении на угловую скорость паруса.// Космические исследования, 1995, т. 33, вып. б, с. 652.

[34] Белецкий В.В., Егоров В.А. Разгон космического аппарата в сфере действия планеты.// Космические исследования, 1964, т. 2, 3, с. 392-407.

[35] Гродзовский Г.Л., Иванов Ю.Н., Токарев В.В. Механика космического полета: проблемы оптимизации. - М.: Наука 1975.

[36] Салмин В.В. Оптимизация космических перелетов с малой тягой. М: Машиностроение. 1987.

[37] Ларичева В.В., Ефимов Г.Б. Применение асимптотики несимметричных колебаний в задачах разгона точки малой тягой в центральном поле притяжения. - Препринт ИПМ им. М.В. Келдыша 1983 108.

[38] Ахметшин Р.З., Белоглазов С.С., Глазков А.Н., Егоров В.А. Энергетические затраты и особенности траекторий одноце-левых и многоцелевых перелетов КА с малой тягой к телам Солнечной системы. //Труды III Научных чтений по космонавтике. М: 1984.

[39] Сарычев В.А., Сазонов В.В., Мельник Н.В. Пространственные периодические колебания спутника относительно центра масс// Космические исследования 1980. Т. 18. вып.5. С. 659677.

[40] Хайрер Э., Нерсет С. и Ваннер Г. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений /Нежесткие задачи/. М., Мир, 1990.

[41] Fehlberg Е. Klassische Runge-Kutta-Formeln fünfter und siebenter Ordnung mit Schrittweiten-Kontrolle. Computing, 1969, v. 4, S. 93-106.

[42] Butcher J.C. Implicit Runge-Kutta processes. Mathematics and Computations, 1964, v. 18, N 1, p. 50-64.

[43] Гилл Ф., Мюррей У., Райт М. Практическая оптимизация. М.: Мир, 1985.

[44] По лак Э. Численные методы оптимизации. Единый подход. М.: Мир, 1974.

[45] Васильев Ф.П. Численные методы решения экстремальных задач. М. Наука 1980.

[46] Лоусон Ч., Хенсон Р. Численное решение задач метода наименьших квадратов. М. Наука 1986.

[47] Golub G.N., Reinsh С. Singular values decomposition and least squares solutions// Numer. Math. 1970. B.14. S. 403-420.

[48] Уилкинсон Дж., Райнш К. Справочник алгоритмов на языке АЛГОЛ. Линейная алгебра. - М.: Машиностроение, 1976.

[49] Абаффи Й., Спедикато Э. Математические методы для линейных и нелинейных уравнений. Проекционные ABS-алгоритмы. М. Мир 1996.

[50] Охоцимский Д.Е., Сихарулидзе Ю.Г. Основы механики космического полета. М. Наука, 1990.

[51] Охоцимский Д.Е. Исследование движения в центральном поде под действием постоянного касательного ускорения.// Космические исследования, 1964, т.2, вып 6, 817-842.

[52] Лоуден Д.Ф. Оптимальные траектории для космической навигации. М. Мир 1966.

Егоров В.А. О некоторых задачах динамики полета к Луне. УФН т. 63. 1957, вып 1а.

Лидов М.Л., Охоцимский Д.Е., Тесленко Н.А. Исследование одного класса траекторий ограниченной задачи трех тел.// Космические иследования. 1964. т.2, вып. 6, с. 843-852.

Гусев Л.И., Егоров В.А. Динамика перелетов между Землей и Луной. M Наука 1980.

Yoshida H. Necessary condition for the existence of algebraic first intégral// Celestial Mechanics.-1983, v.31, 363-399.

Козлов В.В. Симметрии, топология и резонансы в гамильто-новой механике. Издательство Удмуртского государственного университета. Ижевск. 1995.

Козлов В.В., Фурта С.Д. Асимптотики решений сильно нелинейных систем дифференциальных уравнений. Изд. Московского ун-та 1996.

Тычина П.А., Егоров В.А., Сазонов В.В. Квазиоптимальный перелет космического аппарата с солнечным парусом между гелиоцентрическими круговыми орбитами.// Космические исследования, 1996,Т.34, вып 4. С. 420-427.

Кострикин А.И., Манин Ю.И. Линейная алгебра и геометрия. М., Наука 1986.

Мальцев А.И. Основы линейной алгебры. М. Наука 1970.

Deprit A. Idéal Frames for Perturbated Keplerian Motions // Celestial Mechanics 1976 v. 13, 2. p. 253-263.

Брумберг Аналитические алгоритмы небесной механики. M. Наука 1980.

Голубев Ю.Ф. Основы теоретической механики. Изд-во Московского ун-та 1992.

[65] П.А. Тычина - "Квазиоптимальный перелет космического аппарата с солнечным парусом между гелиоцентрическими круговыми орбитами" // Труды XIX Научных Чтений по космонавтике. М. ИИЕТ РАН, 1995, с. 18.

[66] П.А. Тычина - "Квазиоптимальный перелет космического аппарата с солнечным парусом между круговыми орбитами" // тез. докл. конф. "Компьютерные методы небесной механики". С. Петербург 17-20 октября 1995 года.

[67] П.А. Тычина - "Квазиоптимальная траектория перелета космического аппарата с солнечным парусом между гелиоцентрическими круговыми орбитами с близким наклонением" // тез. докл. конф. "Наблюдения искусственных и естественных тел Солнечной системы". С. Петербург 26-28 ноября 1996 года.

[68] П.А. Тычина, A.B. Резников, В.А. Егоров, В.В. Сазонов " Оптимизация перелета космического аппарата с солнечным парусом от Земли к Марсу с пертурбационным маневром у Венеры" // Препринт ИПМ им. Келдыша 1999 8.