Применение сингулярного анализа матрицы Якоби для повышения эффективности управления режимами работы электроэнергетических систем тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.14.02, кандидат наук Белов Евгений Игоревич

• Белов Евгений Игоревич
• кандидат наук
• 2020

Оглавление диссертации кандидат наук Белов Евгений Игоревич

Введение

Глава 1. Теоретические основы исследования неоднородностей

электроэнергетических систем

1.1. Модель ЭЭС в общем виде

1.2. Модели ЭЭС для описания установившегося режима

1.3. Представление матрицы Якоби в разных формах

1.4. Терминология

1.5. Использование обратной матрицы Якоби и матрицы Ъ

1.6. Использование сингулярного анализа

1.7. Дефинирующие элементы

1.8. Способы снижения неоднородности и сенсорности сети

1.9. Выводы

Глава 2. Использование СА матрицы Якоби для определения сенсорных и дефинирующих элементов в ЭЭС

2.1. Определение сенсорных узлов методом визуализации обратной матрицы Якоби

2.2. Определение сенсорных узлов с помощью СА матрицы Якоби

2.3. Определение сенсорных узлов с помощью расчётов режимов работы электрической сети в ПК «Кав1:^т»

2.4. Поиск дефинирующих узлов с помощью САМЯ и эксперимента в ПК «RastrWm»

2.5. Поиск дефинирующих ветвей с помощью САМЯ и эксперимента в ПК «RastrWin»

2.6. Снижение сенсорности ЭЭС путём введения новых ветвей в схему

2.7. Сравнение влияния установки БСК в определяющем узле и в узле, в котором контролируется напряжение

2.8. Снижение сенсорности ЭЭС путём фиксации напряжения в узлах схемы

2.9. Выводы

Глава 3. Исследование статической устойчивости энергосистем при помощи САМЯ

3.1. МСЗ матрицы Якоби и оценка статической устойчивости электроэнергетической системы

3.2. Компоненты ППСВ как индикаторы критических по напряжению узлов

3.3. Повышение запаса статической устойчивости с помощью мероприятий по усилению сети

3.4. Выводы

Глава 4. Влияние изменений схемно-режимной ситуации в ЭЭС на результаты применения метода САМЯ

4.1. Ремонтные схемы

4.2. Различные схемно-режимные ситуации

4.3. Выводы

Глава 5. Способы практического применения метода САМЯ

5.1. Поиск критических узлов (по напряжению) и определение оптимальной траектории утяжеления

5.2. Оценка статической устойчивости энергосистем

5.3. Определение самых эффективных вариантов строительства новых сетей и расстановки СКРМ и УПК, с точки зрения снижения сенсорности электрической сети

5.4. Поиск самых эффективных способов увеличения предельных по СУ перетоков активной мощности в КС в нормальной и ремонтных схемах сети

5.5. Разработка адаптивных систем ПА

5.6. Выбор оптимальных вариантов развития электроэнергетических систем

5.7. Экономический эффект от применения метода сингулярного анализа

5.8. Примеры применения метода САМЯ

155

5.9. Выводы

Заключение

Список литературы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Применение сингулярного анализа матрицы Якоби для повышения эффективности управления режимами работы электроэнергетических систем»

Введение

Электроэнергетические системы (ЭЭС) предназначены для производства, передачи и распределения электрической энергии для доставки её конечному потребителю. Основными составными частями ЭЭС являются: электрические станции, трансформаторные подстанции и линии электропередачи ([34], [41], [64]). Ввиду наличия большого количества сложных технических устройств в составе каждой ЭЭС обеспечение их слаженной и бесперебойной работы является одновременно очень важной, но в тоже время и очень сложной задачей ([66]). Для решения этой задачи специалисты по всему миру не перестают изучать различные аспекты функционирования ЭЭС с целью поиска новых подходов к их построению и управлению для минимизации рисков нарушения электроснабжения потребителей (особенно так называемых ответственных потребителей, нарушение электроснабжения которых приводит к значительному ущербу).

В энергосистемах постоянно происходят различные возмущения, например: изменяются мощности нагрузок, положение коммутационных аппаратов, генерируемая электростанциями активная и реактивная мощности, происходят короткие замыкания, работа защит, противоаварийной и режимной автоматик, аварийные отключения оборудования ([37]). Данные возмущения приводят к тому, что параметров режима (напряжений в узлах энергосистем, токов в ветвях, перетоков мощностей в сечениях и др.) также изменяются. То, каким образом изменятся параметры режима при возникновении возмущения будет определяться как видом, величиной и местом приложения возмущения (внешних факторов), так и топологией энергосистемы, и параметрами её элементов (внутренних факторов).

Накопленные знания о расчетах установившихся режимов работы электроэнергетических систем свидетельствует о том, что в общем случае электрические сети являются неоднородными и неравнопрочными системами. Данный факт проявляется в том, что параметры режима определённых элементов

энергосистем в среднем больше реагируют на случайные возмущения в энергосистеме, чем остальные.

Информация о том, как ЭЭС реагирует на возмущения и каким образом проще всего изменить характер этой реакции, может быть использована для снижения неоднородности ЭЭС и, как следствие, улучшения поведенческих свойств ЭЭС (управляемости, надёжности, контролируемости), снижения потенциальной возможности возникновения аварийных ситуаций и повышения надёжности электроснабжения потребителей за счёт снижения вероятности выхода режимных параметров за допустимые пределы. До настоящего момента задача получения такой информации об ЭЭС решается в основном эмпирическим путём: проведением многочисленных расчётов установившихся режимов для разных сценариев изменения схемно-режимной ситуации с последующим анализом полученных результатов с целью выявления характерных закономерностей в поведении каждой рассматриваемой ЭЭС. Приведённый в настоящей работе метод позволяет радикально снизить объём вычислительной работы и получить более полную картину поведенческих свойств ЭЭС, чем при выполнении расчётов электрических режимов для отдельно выбранных схемно-режимных ситуаций.

Определение запаса статической устойчивости ЭЭС является неотъемлемым этапом обеспечения их бесперебойной работы ([25], [32]). Актуальность оценки запаса статической устойчивости ЭЭС не снижается со временем, так как существующие энергосистемы постоянно развиваются и изменяются, что делает необходимым выполнение новых расчётов для учёта складывающихся схемно-режимных условий. Статической устойчивостью называется способность энергосистемы возвращаться к исходному режиму после малых возмущений. Нарушения устойчивости параллельной работы генераторов могут привести к нарушению электроснабжения большого числа потребителей электроэнергии (с соответствующими денежными или иными потерями) или даже к разделению ЭЭС на две или более частей, работающих изолированно друг от друга с разными частотами (работающие несинхронно).

Традиционным способом оценки статической устойчивости является расчёт максимально допустимых перетоков в контролируемых сечениях. В настоящей работе, учитывая результаты, полученные при исследованиях чувствительности и неоднородности электроэнергетических систем, представлен альтернативный способ оценки близости режима к границе статической устойчивости, не требующий выполнения традиционных расчётов.

Кроме того, важным этапом в определении максимально допустимых перетоков (МДП) в контролируемых сечениях (КС) является выбор траектории утяжеления. От него во многом зависят результаты, получаемые в процессе расчётов. На сегодняшний день задача выбора траектории утяжеления не имеет однозначного решения ввиду отсутствия чётких критериев определения узлов, включаемых в траекторию утяжеления. Предложенная в настоящей работе методика позволяет выбрать именно ту траекторию, при использовании которой при утяжелении режима будет реализовываться самый тяжёлый сценарий.

В отечественной науке наибольший вклад в исследование неоднородностей ЭЭС приходится на работы, выполненные в 1980-х - 1990-х годах XX века и 2000-х годах XXI века О. Н. Войтовым, Н. И. Воропаем, А. З. Гаммом, И. И. Голуб, Д. Н. Ефимовым, Н. Ш. Чемборисовой и др. ([1], [15], [16], [17], [41], [45], [78]). Исследования, представленные в настоящей работе, в значительной степени основаны на результатах, полученных этими учёными. При этом количество работ по данной тематике в русскоязычной литературе совсем невелико. В зарубежной литературе практически отсутствуют исследования, посвящённые рассматриваемой теме. Принимая во внимание данные обстоятельства, можно сделать вывод о том, что существует значительный потенциал в развитии и углублении результатов, полученных отечественными учёными, которые положили начало исследованиям в области чувствительности и неоднородности электрических сетей.

Основным методом, который использован в ходе исследований, является сингулярный анализ (СА) матрицы Якоби, рассчитанной для установившегося режима работы электрической сети. Данный математический приём подробно

рассмотрен в главе 1, посвящённой теоретическим основам рассмотренной в работе методики.

Цель настоящей работы - исследование возможности применения СА матрицы Якоби для определения неоднородностей ЭЭС и последующего их устранения, а также практической применимости полученных результатов для решения задач в сфере электроэнергетики.

Задачи, решаемые в ходе выполнения настоящей работы:

1. Поиск элементов ЭЭС, параметры которых (модуль напряжения, фаза напряжения в узле) сильнее всего реагируют на возмущения.

2. Поиск элементов ЭЭС, при изменении параметров которых (индуктивное сопротивление линии, проводимость шунта в узле и пр.) наибольшим образом изменяется реакция ЭЭС на случайные возмущения.

3. Экспериментальная проверка полученных результатов с помощью проведения расчётов установившихся режимов в ПК «RastrWm».

4. Определение влияния различных сценариев изменения схемно-режимной ситуации на результаты применения рассмотренной методики.

5. Определение возможности применения рассмотренной методики для решения конкретных задач при управлении и проектировании развития ЭЭС.

Структурно диссертация содержит следующие части: введение, пять глав, заключение и список литературы, в котором представлены 108 наименований.

В первой главе подробно рассмотрена теоретическая база, использованная при выполнении настоящей работы.

Во второй главе приведены результаты применения предлагаемой методики в части исследования чувствительности и неоднородности для двух электрических схем и сделаны выводы о совпадении результатов, полученных с помощью рассматриваемой методики и экспериментальных расчётов режимов работы электрической сети с помощью программного комплекса «RastrWin».

В третьей главе рассмотрено применение предлагаемой методики в области анализа статической устойчивости.

В четвёртой главе рассмотрено влияние изменения схемно-режимной ситуации на результаты применения СА матрицы Якоби.

В пятой главе предложены области практического применения результатов, которые могут быть получены с помощью предлагаемой методики.

В настоящей работе обобщены выявленные ранее закономерности в сфере неоднородностей и чувствительности электроэнергетических систем, выполнены дальнейшие исследования, посвящённые влиянию изменения схемно-режимной ситуации на результаты применения метода СА матрицы Якоби, и разработаны способы практического применения результатов анализа ЭЭС с помощью данного метода.

Глава 1. Теоретические основы исследования неоднородностей электроэнергетических систем

1.1. Модель ЭЭС в общем виде

Режим работы ЭЭС может быть представлен с помощью соотношений, имеющих следующий вид ([15]):

/¿Я \

Ш(Х,а^) — ЛШ( —,а,Т^) = 0, (1.1)

где Ш(Х, а, D) — соотношения баланса мощности в узлах, которые получаются путём применения законов Ома и Кирхгофа (данные соотношения связывают параметры режима друг с другом);

ЛШ а, Т, D) — небалансы мощности на валах электрических машин;

X - параметры режима работы энергосистемы, которые изменяются при возникновении возмущений D;

— — производные от параметров режима работы энергосистемы по времени;

Т - вектор динамических параметров энергоситемы (постоянные времени, коэффициенты демпфирования и т.д.);

а — параметры настройки систем управления.

Если соотношения Ш(Х, а, D) линеаризовать в точке, где Ш(Х, а, D) = 0, получим

аж аж /¿Я

ЛЯ + —ЛЯ — ЛШ( — ,а,Т^| = 0

ая ая ^

ЙА \

¿р^И (1.2)

и

Чаж /¿я \

ЛЯ = —( —-) — ЛЯ+ЛШ( —,а,Т^)

1ая/ ая \(И

(1.3)

где ---матрица явных производных баланса мощности по параметрам

режима (матрица Якоби);

^ — матрица явных производных баланса мощности по возмущениям Я.

1.2. Модели ЭЭС для описания установившегося режима

Уравнения установившегося режима ЭЭС могут быть представлены в виде балансов токов или балансов мощностей в узлах.

Рис. 1.1. П-образная схема замещения ветви. Уравнения в форме баланса токов для каждого узла имеют следующий вид ([3], [15]):

т

п п

ЬПиг] + У дц^а] + П2 + тт2 = 0 ]=1 ]=1 +

= У 9цТп + У ЬиУа1 + иа13 + = 0,1 = 1,...,п,

(1.4)

] ею^

] ею!

I] ^а] 1 у 2 + тт2 иа1 + иг1

где:

для П-образной схемы замещения ветви (рисунок 1.1) уц = д^ + -продольная проводимость ветви I — у;

У = Та1 + - напряжение в узле I в комплексной форме; п — число узлов схемы;

^ Уа1^уа1 + Qi Уа1^уг1 Уг1^уа1, 1у1 Ач + ^уа1 +

1у1 - узловой ток;

wi — номера узлов, которые являются смежными с ¿-м узлом;

и Ьн - токи генерации и нагрузки в узле ¡. Система уравнений установившегося режима ЭЭС в форме баланса мощностей имеет вид ([3], [15]):

^ = ^ + ^ 5;) — ^ = 0,

(1.5)

^ = + ^ 5;) — = 0,1 = 1.....п,

где:

Л«, - активная и реактивная мощности нагрузки в узле ¿;

Лч, - генерируемая в узле I активная и реактивная мощность; - фазы напряжений в узлах I и У; ^¿у - поток активной и реактивной мощности по ветви I — у, идущий

из узла I в узел у.

Если в качестве возмущений режима работы ЭЭС рассматриваются изменения токов в узлах (ДТ), то реакцией ЭЭС будет изменение напряжений в узлах:

л^ = Г—1Л/ = ЯЛ/, (1.6)

где 2 - матрица собственных и взаимных сопротивлений узлов. Элементы этой матрицы ) устанавливают взаимосвязь между возмущением тока в у-м узле и изменением напряжения в /-м узле. Матрица 2 не зависит от режима работы ЭЭС и определяется только схемой сети и её параметрами.

Если в качестве возмущений рассматриваются изменения активных и реактивных мощностей, то реакция ЭЭС уже определяется из системы нелинейных уравнений (1.4) или (1.5). В линеаризованном виде эти соотношения связывают возмущения Д Ж и реакции ДХ через матрицу Якоби этих систем уравнений:

■ЛЯ = ЛШ. (1.7)

дЯ

Матрица Якоби в силу нелинейности уравнений (1.4) и (1.5) в определённой степени зависит от режима работы ЭЭС.

Свойства матрицы У = проявляются через свойства матрицы Якоби. То есть, если анализ матрицы У выявляет наличие неоднородностей в сети, то эти неоднородности обнаруживаются и при анализе матрицы Якоби.

Матрица узловых проводимостей и матрица Якоби ^ могут

рассматриваться как основной источник информации о чувствительности и неоднородности ЭЭС в установившихся режимах.

1.3. Представление матрицы Якоби в разных формах

Найдем производные невязок (1.4) по продольной иа^ и поперечной иг1 составляющим комплексов напряжений, образующих собой декартовы координаты. Таким образом мы получим элементы матрицы Якоби. Они будут равны ([17]):

ди

Г1

Ьи и? и Ьи + и22\1 и?

2 иа1иг1Р, и4

Qi

— Ь;; +--т

" и?

(1.8)

при

и¿ « иаь иг1 « иаь (1.9)

что соответствует представлению нагрузки эквивалентной проводимостью

Ь1э и?.

(1.10)

Преобразуем выражение (1.8):

дШг

Р

диаЛ

диг1

Рь

и?

Р1

дШр,

диг1

= —Ь;

= ди—77?\1 —

2 и2-

2 иа1

и2

дШ,

Р

диа1

1*1

= да—-^2\1 —

2 и

п

и?

2 иа

и

9ц;

2 иа им и 4

За

и?

З" + 772;

Р и2

?

д^п

= 9ц ;

зи^

з^

=

I*/

Таким образом, матрица Якоби в декартовых координатах для баланса токов примерно равна:

где Бэ и Сэ - диагональные матрицы, элементами которых являются:

& Л

6»э=^2 И ^¿э=^2. (1.12)

В режимах работы энергосистемы, далёких от предела статической устойчивости, когда справедливы введённые предположения (1.9) и вводимые добавки ¿¿¿э и ^¿¿э не оказывают существенного влияния на диагонали матриц В и можем пренебречь первыми. Тогда выражение (1.11) примет следующий вид:

^ = Г = в> (1-13)

Декартова и полярная ) системы координат связаны друг с другом следующим образом:

^ = (1.14)

^ = (1.15)

Обратное преобразование:

та + ^й; (1.16)

$ = acrtg—(1.17)

Матрицы Якоби в полярной (/р/) и в декартовой (/^) системах координат связаны друг с другом следующим образом:

дШ1 _ дШ1 дХа

^ХР'д^'дХР'

где Хр = ( и^, 8{) - вектор составляющих комплексов напряжений полярной системе координат размерностью 2п; Х а = (иа, иг) - то же декартовой системе координат. Тогда:

(1.18)

узлов в самое в

дХй1 дХ

р

\д81

Матрица преобразования:

= ^и1С08 81 БШ8Л

(1.19)

_ дХ *йр = дХ

а

р

/ и1 СОБ 81 БШ 81 —и1Бт81 соб81

0 0

0 0

\

\

0 0

0 0

ип СОБ 8п

— ипБт8п

sin8n

СОБ 8п)

(1.20)

Рассмотрим теперь случай записи системы уравнений установившегося режима в форме баланса мощностей. Матрица Якоби для системы уравнений установившегося режима в форме баланса мощностей может быть записана следующим образом:

1рБ =

дШР1 дШР1 . дШР1 , дШР1 дШР1 . дШР1

д81 д82 ' д8п ' ди1 ди ' дип

дШР2 дШР2 . дШР2 | дШР2 дШР2 . дШР2

д81 д82 ' д8п ' ди1 ди • дип

дШрп дШрп . дЩп | дЩп дЩп . дЩп

д81 д82 ' д8п 1 ди1 дЩ • дип

дШ(1 дШ(1 . дШ(1 + 1 дШ(1 дШ(1 . дШ(1

д81 д82 ' д8п ' ди1 ди • дип

дШ^ дШ(2 . дШ(2 дШ(2 . дШ(2

д81 д82 ' д8п 1 ди1 д и 2 • дип

дШ(3п дШ(п . дШ(п дШ(п . дШ(п

„ д81 д82 ' д8п 1 ди1 дЩ • дип

\

V

dtf ) (121)

dWp dW0 _

где , — квадратные блоки-подматрицы матрицы .

В итоге имеем матрицу Якоби для системы уравнений установившегося режима в форме баланса мощностей в полярных координатах. Матрицы Якоби в декартовых и в полярных координатах для уравнений в форме баланса мощностей связаны между собой так же, как соответствующие матрицы для уравнений в форме баланса токов.

Можно показать ([17]), что матрицы Якоби для систем уравнений установившегося режима в форме баланса токов и в форме баланса мощностей связаны между собой несложным соотношением (при допущении, что обычно « и « Ui):

Wo (1"22)

Таким образом, переход от одной формы представления матрицы Якоби к другой может быть легко осуществлён. В настоящей работе для анализа и расчётов выбрана матрица Якоби для уравнений установившегося режима в форме баланса мощностей в полярных координатах.

1.4. Терминология

Элементы ЭЭС (узлы и ветви), параметры режима которых (фазы и модули напряжения, токи в ветвях) больше всего реагируют на случайные возмущения в энергосистеме, в [15] названы «сенсорными» элементами. Очевидно, использование именно этого термина основано на том, что в английском языке глагол to sense означает «чувствовать, ощущать». Действительно, описанные выше элементы будет логично характеризовать как чувствительные.

Неоднородность электрической сети, благодаря которой появляются сенсорные элементы, в большой степени определяется топологией электрической сети и ее параметрами. Следует отметить, что можно выделить определённый набор элементов электрических сетей, при изменении параметров

которых реакция энергосистемы на случайные возмущения будет изменяться сильнее всего. Таким элементам авторами в [15] дано название «слабые места».

В современной терминологии, которую используют специалисты, работающие в сфере эксплуатации электросетевого комплекса России (в сетевых и генерирующих компаниях, а также в структуре оперативно-диспетчерского управления), существует созвучный термин «узкие места». Данный термин не имеет никакого отношения к «слабым местам» в том значении, в котором термин «слабые места» использован в [15]. «Узким местом» называют, например, ЛЭП, пропускная способность которых сильно ограничена, подстанции, на которых велик риск выхода напряжения на шинах за рамки наибольшего рабочего, районы с резко выраженным дефицитом генерации и т.п.

Ввиду указанного выше обстоятельства, представляется более рациональным для описания элементов ЭЭС, обусловливающих наличие сенсорных элементов в сети, ввести новое понятие, которое одновременно будет лучше отражать вкладываемый в него смысл и не сможет быть ошибочно принято за другое устоявшееся понятие.

Наиболее подходящим словом из русского языка, описывающим роль рассматриваемых элементов, представляется прилагательное «определяющий». В английском языке значения «определять, задавать, устанавливать, намечать, характеризовать» носит глагол to define. Используя упомянутую ранее аналогию «чувствительный - to sense - сенсорный», введём новый термин: «определяющий - to define - дефинирующий».

Помимо приведённых выше преимуществ, фонетически более органичной представляется пара «сенсор - дефинитор», чем пара «сенсор - слабое место».

Ввиду вышесказанного, далее по тексту будут использованы следующие группы терминов:

• «чувствительный» (узел/ветвь/элемент), «сенсорный»

(узел/ветвь/элемент), «сенсор»;

• «определяющий» (узел/ветвь/элемент), «дефинирующий» (узел/ветвь/элемент), «дефинитор» (вместо терминов «слабое место», «слабый элемент», «слабый узел», «слабая ветвь»).

1.5. Использование обратной матрицы Якоби и матрицы Z

Для исследования реакции системы на возмущения, в качестве которых будем понимать изменение активной и реактивной составляющей нагрузок в узлах энергосистемы ДР и используем линеаризованное выражение:

О^Р' (1.23)

где Д5 и Д^ - изменения фаз и модулей напряжения; / - матрица Якоби системы уравнений установившегося режима в форме баланса мощностей в полярных координатах. Матрица Якоби структурно может быть представлена следующим образом:

/ =

/ЗР д^

35 Ъй

зс зс

\з5 3^

(1.24)

Это квадратная несимметричная матрица размера X , где & = 2х п — / — 1, п - количество узлов в схеме, / - количество узлов, в которых напряжения фиксированы, один узел имеет фиксированную фазу.

Линеаризация в данном случае подразумевает, что происходит изменение

нагрузки на относительно небольшую величину. При этом большее изменение

может быть представлено как сумма небольших:

с

ДР

= ^ ДРт, (1.25)

т

ш=1 г

Д^ = ^ ДСт. (1.26)

ш=1

Следовательно, для каждого изменения ДРт и Д@т матрицу Якоби можно считать постоянной.

Элементы обратной матрицы Якоби ]-1 (^Г ) представляют

собой степень влияния изменения небалансов активной и реактивной мощности в узле У, возникающих вследствие возмущений в ЭЭС, на изменения фаз и модулей напряжений в узле I. Как будет показано далее, оценки сенсорных узлов, полученные с помощью экспериментальных расчётов режимов, совпадают с оценками, полученными в результате анализа элементов обратной матрицы Якоби.

В том случае, если в узлах заданы сравнительно небольшие нагрузки, то, как следует из (1.11), ключевые параметры матрицы Якоби будут зависеть от свойств матрицы узловых проводимости У. Исходя из этого, можно сделать предположение о том, что максимальные диагональные элементы матрицы 1 = У-1 будут определять сенсорные узлы.

Данный метод справедлив, если модули диагональных элементов намного больше недиагональных:

п

]=1

¡Ф I

В противном случае необходимо анализировать все элементы указанных матриц. Для этого могут быть использованы алгоритмы кластеризации.

В [15] предлагаются два вида кластеризации. Первый называется «одномерная кластеризация». Такой алгоритм распределяет номера сенсорных узлов в порядке убывания их чувствительности. Данный алгоритм реализуется следующим образом:

1. В каждом столбце обратной матрицы Якоби -1 необходимо найти максимальный по модулю элемент. Рассматриваемому столбцу затем присваивается номер, который равен номеру строки, в которой находится данный элемент. Номер строки при этом является номером узла.

2. Затем необходимо произвести подсчёт, сколько столбцов имеют максимальные элементы в одной и той же строке. Это число ставится в

соответствие любому из таких столбцов. Остальные столбцы исключаются из рассмотрения.

3. Далее столбцы ранжируются по принципу убывания раннее найденного соответствующего им числа объединённых столбцов. При этом столбцы, которые не были объединены, упорядочивают по значению модуля максимального элемента столбца.

В результате столбцы будут располагаться в порядке убывания сенсорности узлов, а номера строк будут соответствовать номерам узлов рассматриваемой схемы.

Второй вид кластеризации - «визуализация» обратной матрицы Якоби. Этот метод является более наглядным, чем описанный выше, так как позволяет графически отобразить элементы исследуемой матрицы чувствительности. Последовательность его реализации можно представить следующим образом:

1. Для каждого блока-подматрицы обратной матрицы Якоби /-1

. 35 35 ЗУ ЗУ ч тт _

( —) строится отдельная диаграмма. На ней по оси абсцисс

откладываются номера узлов, а по оси ординат - масштабированные величины элементов столбцов матрицы по модулю. Масштабирование достигается путём деления текущего элемента на максимальный элемент текщего блока-подматрицы.

2. По полученным диаграммам можно определить сенсорные модулю и фазы напряжения узлы следующим образом: им соответствуют максимальные значения по оси ординат.

1.6. Использование сингулярного анализа

Квадратные корни из общих собственных значений А действительных матриц и называются сингулярными числами матрицы А

размерностью ^хп, т.е. при к < п

^¿(А) = ТМА^А)^ ТМАА^.если ¿ = 1,...Д, (1.27)

и

^(Л) = 0, если ¿ = £ + 1,...,п. (1.28)

Для матрицы Якоби будет справедливо сингулярное разложение ([17]):

к

] = = ^ wiaivJ> (1.29)

Ь=1

где Ш = к) и V = ...^к) — ортогональные матрицы

размером ( кхк), их 1-е столбцы являются, соответственно, ¿-м левым и ¿-м правым сингулярными векторами, для которых справедливы условия:

wJwi = 1, = 1), wТwj = 0, = 0), (1.30)

при I ^ ])

X = й1ад(а1, о2,..., ак) — диагональная матрица сингулярных значений.

Анализируя данные свойства, можно заключить, что если существует обратная матрица Якоби ]-1, т.е. ни одно из 0 (I = 1,..., к) не равно нулю, то

к

г1 = ( VТ)-1 = Y¡ViwI/oi. (1.31)

=1

Выражение (1.23) с учётом этого будет выглядеть следующим образом:

к

а=г-о=1 (.,32)

=1

Далее необходимо расположить сингулярные значения по возрастанию:

о1 < о2 < ••• < ок. Значение (число), оказавшееся на первом месте, называют

минимальным сингулярным значением (МСЗ). Если оно намного меньше всех

остальных, то при прочих равных условиях сильнее всего на изменение модулей

и фаз напряжения будет влиять связанное с ним первое слагаемое суммы

к

^ViwТ/ъ^(щ). (1.33)

=1

Тогда (1.32) можно записать в виде:

к к

+

=2 =2

где погрешность, возникающая из-за отбрасывания в (1.32)

к — 1 слагаемых.

Введем новую величину, которая будет являться обобщенным возмущением относительно ¿-го сингулярного значения ([17]):

д5Ю = «Л7()(Д). (1.36)

При ( = 1 (1.36):

О™ = = *1«/"1) (Д)' (1-37)

где Д5(1) — первое обобщенное возмущение.

Чем меньше МСЗ по сравнению с остальными сингулярными числами, тем меньше погрешность отбрасывания к — 1 слагаемых в (1.32).

Таким образом, перед использованием в исследованиях метода сингулярного анализа необходимо установить, как сильно минимальное сингулярное значение отличается от всех последующих. Если отличие существенно, то можно заключить, что рассматриваемая энергосистема является в достаточной степени неоднородной и использование описанного выше метода корректно.

Если некоторое количество г первых сингулярных чисел сравнимы по величине между собой, но намного меньше к — г оставшихся, то для сингулярного анализа необходимо использовать данное количество г слагаемых.

Основываясь на сказанном выше, для определения узлов, чувствительных к изменению модуля и фазы напряжения, исследуются элементы матрицы ^ш^/о!. Блоки данной матрицы соответствуют модулям и фазам напряжений в узлах энергосистемы, элементы с максимальными значениями соответствуют наиболее сенсорным узлам по изменению фазы и модуля напряжения.

Левый и правый сингулярные векторы, связанные с МСЗ (и ), называются первым левым и первым правым сингулярными векторами (ППСВ). Из выражения (1.37) следует, что наибольшие изменения модулей и фаз

напряжений, связанные с изменением небалансов Р и Р в узлах, можно ожидать в узлах, соответствующих максимальным компонентам ППСВ, который распределяет обобщённое возмущение по узлам электрической сети. При этом величина обобщённого возмущения при одинаковых изменениях нагрузок в узлах будет напрямую зависеть от величины компоненты первого левого сингулярного вектора, то есть он определяет узлы, изменение небалансов Р и Р в которых вызывает наибольшую реакцию системы.

Следующие заключения могут быть сделаны по итогам рассмотрения метода сингулярного анализа ([15]):

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Белов Евгений Игоревич, 2020 год

Список литературы

1. Агарков О. А., Войтов О. Н., Воропай Н. И., Гамм А. З., Голуб И. И. Два подхода к анализу слабых мест электроэнергетических систем // Известия РАН. Энергетика. - М.: Высш. шк., 1985. - 536 с.

2. Аюев Б. И. Анализ эффективности вычислительных моделей расчета установившихся режимов электрических систем/ Б.И. Аюев, В.В. Давыдов, В.Г. Неуймин// Электричество, 2008, № 8.

3. Аюев Б. И., Давыдов В. В., Ерохин П. М., Неуймин В. Г. Вычислительные модели потокораспределения в электрических системах / Под ред. П. И. Бартоломея. М.: Флинта, Наука, 2008. 253 с.

4. Баранов И. Л. Применение показателей чувствительности узлов в задачах управления режимами ЭЭС: дис. ... канд. техн. наук: 05.14.02. - МЭИ, Москва, 2015 - 138 с.

5. Барзам, А. Б. Системная автоматика / А.Б. Барзам. - 4-е изд., пере-раб. и доп. - М.: Энергоатомиздат, 1989. - 446с.

6. Баринов В. А. Режимы энергосистем: Методы анализа и управления / В.А. Баринов, С.А. Совалов - М.: Энергоатомиздат, 1990. - 440 с.: ил.

7. Белов Е. И., Латманизова Ю. Н., Сорокин Е. В. Применение визуализации обратной матрицы Якоби и сингулярного анализа для определения сенсорных узлов в электроэнергетических системах // Известия НТЦ Единой энергетической системы, 2017, №2 2 (77). - С. 8794.

8. Белов Е. И., Латманизова Ю. Н., Сорокин Е. В. Применение сингулярного анализа для определения сенсорных по току ветвей в электроэнергетических системах // Электроэнергия. Передача и распределение, 2018, № 4 (49). - С. 48-52.

9. Белов Е. И. Исследование влияния параметров узлов и ветвей на сенсорность элементов электроэнергетической системы // Известия НТЦ Единой энергетической системы, 2018, № 2 (79). - С. 88-95.

10. Белов Е. И., Сорокин Е. В. Применение сингулярного анализа матрицы Якоби при оценке статической устойчивости ЭЭС // Известия НТЦ Единой энергетической системы, 2019, № 1 (80). - С. 117-121.

11. Беляев А. Н., Смоловик С. В., Чудный В. С. Исследование статической и динамической устойчивости электроэнергетических систем: Лабораторный практикум. СПб.: СПбГПУ, 2006. 56 с.

12. Болоев Е. В. Обнаружение сенсорных и слабых мест в ЭЭС линейными методами вероятностного потокораспределения // Электроэнергетика глазами молодежи: научные труды III международной научно-технической конференции: сборник статей. В 2т.: Т.1. - Екатеринбург: УрФУ, 2012, т. 1. 732с. - С. 144.

13. Влияние погрешностей информации на расчеты оптимальных режимов / В.И. Идельчик, А.С. Новиков, С.И. Паламарчук// Изв. АН СССР: Энергетика и транпорт. - 1981. - №2. - С. 22.

14. Ван дер Варден Б. Л. Математическая статистика./ Б.Л. Ван дер Варден. - М.: Изд. иностранной литературы, 1960.

15. Воропай Н. И. Теория систем для электроэнергетиков. Уч.пособие. / Н.И. Воропай. - Новосибирск: Наука, Сиб.издательская фирма РАН, 2000. - 273 с.

16. Войтов О. Н., Воропай Н. И., Гамм A. З., Голуб И. И., Ефимов Д. Н. Анализ неоднородностей электроэнергетических систем. Новосибирск: Наука. Сибирская издательская фирма РАН. 1999. - 256 с.

17. Гамм А. З., Голуб И. И. Обнаружение слабых мест в электроэнергетической системе // Известия РАН. Энергетика, 1993, №3. - С. 83-92.

18. Гамм А. З., Голуб И. И. Сенсоры и слабые места в электроэнергетических системах. Иркутск: СЭИ СО РАН. 1996 - 98 с.

19. Гамм А. З. Локализация контрольных точек для измерения показателей качества электрической энергии/ А.З. Гамм, И.И. Голуб, А.А. Ткачев / Электричество. - 2000. - №10. - С. 31.

20. Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. - М.: Наука, 1966. - 576 с.

21. Герасименко А. А. Передача и распределение электрической энергии/ А.А. Герасименко, В.Т. Федин - Изд. 2-е. - Ростов н/Д: Феникс, 2008. - 715с., с.322.

22. Герасимов С. Е., Камчкина А. В. Модели элементов и методы анализа установившихся режимов в электрических сетях (в примерах и задачах): учебное пособие. - СПб.: ПЭИПК, 2012. - 66 с.

23. ГОСТ 27.002-89. Надежность в технике. Основные понятия. Термины и определения.

24. ГОСТ Р 57114-2016. Единая энергетическая система и изолированно работающие энергосистемы. Электроэнергетические системы. Оперативно-диспетчерское управление в электроэнергетике и оперативно-технологическое управление. Термины и определения.

25. ГОСТ Р 58085-2018. Единая энергетическая система и изолированно работающие энергосистемы. Оперативно-диспетчерское управление. Правила предотвращения развития и ликвидации нарушений нормального режима электрической части энергосистем. Нормы и требования.

26. ГОСТ Р 58057-2018. Единая энергетическая система и изолированно работающие энергосистемы. Планирование развития энергосистем. Общие требования.

27. ГОСТ Р 58058-2018. Единая энергетическая система и изолированно работающие энергосистемы. Устойчивость энергосистем. Нормы и требования.

28. ГОСТ Р 55105-2012. Единая энергетическая система и изолированно работающие энергосистемы. Оперативно-диспетчерское управление. Автоматическое противоаварийное управление режимами

энергосистем. Противоаварийная автоматика энергосистем. Нормы и требования.

29. ГОСТ Р 57382-2017. Единая энергетическая система и изолированно работающие энергосистемы. Электроэнергетические системы. Стандартный ряд номинальных и наибольших рабочих напряжений.

30. ГОСТ Р 56303-2014. Единая энергетическая система и изолированно работающие энергосистемы. Оперативно-диспетчерское управление. Нормальные схемы электрических соединений объектов электроэнергетики. Общие графические требования.

31. ГОСТ Р 55608-2018. Единая энергетическая система и изолированно работающие энергосистемы. Оперативно-диспетчерское управление. Переключения в электроустановках. Общие требования.

32. ГОСТ Р 56302-2014. Единая энергетическая система и изолированно работающие энергосистемы. Оперативно-диспетчерское управление. Диспетчерские наименования объектов электроэнергетики и оборудования объектов электроэнергетики. Общие требования.

33. ГОСТ 34045-2017. Электроэнергетические системы. Оперативно-диспетчерское управление. Автоматическое противоаварийное управление режимами энергосистем. Противоаварийная автоматика энергосистем. Нормы и требования.

34. Гуревич Ю. Е., Либова Л. Е., Окин А. А. Расчеты устойчивости и противоаварийной автоматики в энергосистемах. - М.: Энергоатомиздат, 1990. - 390 с.

35. Давыдов В. В. Определение критических сечений в предельных режимах / В.В. Давыдов, В.Г. Неуймин, В.Е. Сактоев / Изв. РАН. Энергетика. - 1992. - №1. - с.74-80.

36. Евдокунин Г. А. Электрические системы и сети: Учебное пособие для студентов электроэнергетических специальностей вузов. СПб.: Издательство Сизова М. П., 2001. 304 с.

37. Жданов П. С. Вопросы устойчивости электрических систем / Под ред. Л. А. Жукова. М.: Энергия, 1979. 456 с.

38. Жуков Л. А. Установившиеся режимы сложных электрических сетей и систем: Методы расчетов/ Л.А. Жуков, И.П. Стратан - М.: Энергия, 1979. 416 с.19.

39. Идельчик В. И. Расчеты и оптимизация режимов электрических сетей и систем/ В.И. Идельчик.-М.: Энергоатомиздат, 1988.

40. Идельчик В. И. Электрические системы и сети: Учебник для вузов. - М.: Энергоатомиздат, 1989.

41. Исаев Е. В., Кац П. Я., Лисицын А. А., Николаев А. В., Тен Е. А. Алгоритм расчета управляющих воздействий по условиям обеспечения нормативного запаса по напряжению в узлах схемы и недопущения токовой перегрузки сетевых элементов в послеаварийном режиме энергосистемы// Известия НТЦ Единой энергетической системы. 2013.

- № 1 (68). - С. 58 - 67.

42. Использование обобщенных показателей схемы при анализе режимов электроэнергетических систем/ Н. Ш. Чемборисова, О. В. Фролов, И. Л. Баранов, И. Н. Баширов// Вестник МЭИ. М.: Изд. МЭИ: 2015 - №1.

- с.66.

43. Карапетян И. Г., Файбисович Д. Л., Шапиро И. М. Справочник по проектированию электрических сетей. - 3-е изд., перераб. и доп. - М.: ЭНАС, 2009.

44. Костюшко В. А. Анализ расчетных и экспериментальных оценок потерь мощности на корону на воздушных линиях электропередачи переменного тока [Библиотечка электротехника, приложение к журналу «Энергетик», Вып.6 (150)] / В.А. Костюшко. - М.: Энергопрогресс, 2011. - 84с.: ил.

45. Кудинов И. Д., Сацук Е. И. Основы проектирования противоаварийного управления электроэнергетических систем:

учебное пособие/Юж.-Рос. гос. техн. ун-т (НПИ). - Новочеркасск: ЮРГТУ (НПИ), 2013. -144 с.

46. Лопатин О. А. Использование параметров сети и обобщенных показателей режима для расстановки компенсирующих устройств/ О.А. Лопатин, Н.Ш. Чемборисова // Электричество. - 2011. - №3. - С.10.

47. Лоусон Ч., Хенсон Р. Численное решение задач метода наименьших квадратов/ Пер. с англ. - М.: Наука. - 1986. - 232 с.

48. Лужковский Ю. И. Согласование работы локальной автоматики предотвращения нарушения устойчивости и автоматики ограничения перегрузки оборудования // Изв. Вузов. Электромеханика. 2014. № 3. С. 103 - 105.

49. Матричные вычисления: Пер. с англ. / Дж. Голуб, Ч. Ван Лоун. - М.: Мир, 1999. - 548 с.

50. Методические рекомендации по проектированию развития энергосистем, утвержденные приказом Минэнерго России от 30.06.2003 № 281.

51. Методические указания по устойчивости энергосистем (приказ Минэнерго России от 03.08.2018 № 630).

52. Неклепаев Б. Н. Руководящие указания по расчету токов короткого замыкания и выбору электрооборудования РД 153-34.0-20.527-98 / Б.Н. Неклепаев. - М.: ЭНАС, 2004.

53. Неуймин В. Г., Машалов Е. В., Александров А. С., Багрянцев А. А. Программный комплекс Руководство пользователя. -2014. - 271 с.

54. Окин А. А. Противоаварийная автоматика. М.: МЭИ, 1995.

55. Окин A. А. Определение оптимальных управляющих воздействий противоаварийной автоматики в энергосистемах // Электричество. 1977. - №8. - С.7-17.

56. Осипов Я. Н. Разработка методов анализа надёжности сложных электроэнергетических систем с использованием обобщённых

параметров: дис. ... канд. техн. наук: 05.14.02 / Я.Н. Осипов. - М., 2010. - 223 с.

57. Павлушко С. А., Жуков А. В., Сацук Е. И., Кац П. Я., Лисицын А. А. Расчет управляющих воздействий по условиям статической устойчивости в программном обеспечении централизованной системы противоаварийной автоматики нового поколения // Электрические станции. 2015. - №2. - С. 35 - 40.

58. Подиновский В. В. Парето-оптимальные решения многокритериальных задач. / В.В. Подиновский, В.Д. Ногин. - 2-е изд., испр. и доп. - М.: ФИЗМАЛИТ, 2007. - 256с.

59. Потери электроэнергии в электрических сетях, зависящие от погодных условий / Ю.С. Железко, В.А. Костюшко, С.В. Крылов, Е.П. Никифоров, О.В. Савченко, Л.В. Тимашова, Е.А. Соломоник // Электрические станции. - 2004. - № 11. - С. 42.

60. Правила технологического присоединения энергопринимающих устройств потребителей электрической энергии, объектов по производству электрической энергии, а также объектов электросетевого хозяйства, принадлежащих сетевым организациям и иным лицам, к электрическим сетям (утверждены постановлением Правительства Российской Федерации от 27.12.2004 № 861 (в ред. от 22.06.2009)).

61. Правила оперативно-диспетчерского управления в электроэнергетике (утверждены постановлением Правительства Российской Федерации от 27 декабря 2004 г. № 854).

62. Правила предотвращения развития и ликвидации нарушений нормального режима электрической части энергосистем и объектов электроэнергетики (утверждены приказом Министерства энергетики Российской Федерации от 12.07.2018 № 548).

63. Правила разработки и утверждения схем и программ перспективного развития электроэнергетики (утверждены постановлением Правительства Российской Федерации от 17 октября 2009 г. № 823).

64. Правила технологического функционирования электроэнергетических систем (утверждены постановлением Правительства Российской Федерации от 13 августа 2018 г. № 937).

65. Правила устройства электроустановок. 7-е изд.-М.: Изд-во НЦ ЭНАС,

2003.

66. Рокотян С. С., Шапиро И. М. Справочник по проектированию электроэнергетических систем. - М.: Энергоатомиздат, 1985.

67. Рыжов Ю. П. Дальние электропередачи сверхвысокого напряжения: учебник для вузов / Ю.П. Рыжов. - М.: Издательский дом МЭИ, 2007. - 488 с.: ил.

68. Савоськин Н. Е. Надежность электрических систем/ Н.Е. Савоськин -Пенза: Издательство Пензенского государственного университета,

2004. - 100 с.

69. Способ нормализации уровней напряжения в ЭЭС/ В.Е. Фарафонов, Н.Ш. Чемборисова //8-й международный симпозиум по электромагнитной совместимости и электромагнитной экологии. Труды симпозиума 16-19 июня 2009г. Санкт-Петербург. - 2009 г.

70. Справочник по проектированию электрических сетей //под ред. Д. Л. Файбисовича - М.: Издательство НЦ ЭНАС, 2005.

71. Справочник по проектированию электрических сетей / под ред. Д.Л. Файбисовича. - 4-е изд., перераб. и доп. - М.: ЭНАС, 2012. - 376 с.: ил.

72. СТО 56947007-29.240.019-2009. Методика оценки технико-экономической эффективности применения устройств FACTS в ЕНЭС России.

73. СТО 59012820.27.010.005-2018. Методические указания по проведению расчетов балансовой надежности.

74. СТО 59012820.27.100.003-2012. Регулирование частоты и перетоков активной мощности в ЕЭС России. Нормы и требования.

75. Требования к перегрузочной способности трансформаторов и автотрансформаторов, установленных на объектах электроэнергетики, и ее поддержанию, утвержденные приказом Министерства энергетики Российской Федерации от 08.02.2019 № 81.

76. Управление качеством электроэнергии/ И.И. Карташев, В.Н. Тульский, Р.Г. Шамонов и др.; под ред. Ю.В. Шарова. - М.: Издательский дом МЭИ, 2006. - 320 с.: ил.

77. Федеральный закон «Об электроэнергетике» от 26.03.2003 № 35-Ф3 (в редакции Федерального закона от 02.08.2019 № 300-ФЗ).

78. Фролов О. В. Повышение эффективности расстановки устройств ограничения токов короткого замыкания в сетях мегаполисов/ О.В. Фролов, Н.Ш. Чемборисова // Новое в российской электроэнергетике. - 2011. - №4. - С. 33.

79. Фролов О. В. Формализованная расстановка устройств управления режимами в сетях мегаполисов/ О.В. Фролов, Н.Ш. Чемборисова, Н.С. Мулиц// Электричество. - 2012. - №5.

80. Электрические системы в примерах и иллюстрациях: Учеб. пособие для электроэнерг. спец. / В.В. Ежков, Г.К. Зарудский, Э.Н. Зуев и др.; под ред. В.А. Строева. - М.: Высш.шк., 1999 - 352 с.: ил.

81. Agarkov O. A., Voropai N. I., Abramenkova N. A., Zaslavskaya T. B. Structural analysis in power system stability studies // Proc. 10th PSCC, Graz, Austria, Aug. 30 - Sept.3, 1990. - P.152-159.

82. Ajjarapu, V. Computational Techniques for Voltage Stability Assessment and Control / V. Ajjarapu / Springer Science+Business Media. - 2006.

83. Ajjarapu, V., Ping L., Srinivasu B. An optimal reactive power planning strategy against voltage collapse // IEEE Transactions on Power Systems. -1994, Vol. 9, No. 2, p.906-917.

84. Alvarado F., Mansour Y., Xu W., Rinzin C. SVC placement using critical modes of voltage instability // IEEE Trans. Power Syst., vol. 9, №2. 2, p. 757763, May 1994.

85. A method for optimally localizing power quality monitoring devices in power systems / Dzienis C., Komarnicki P. // Power Tech, 2007 IEEE Lausanne. p.1522.

86. An efficient particle swarm optimization technique with chaotic se-quence for optimal tuning and placement of PSS in power systems./ M. Eslami, H. Shareef, A. Mohamed, M. Khajehzadeh. / Electrical Power and Energy Systems. - №43, 2013, p.1467-1478.

87. An optimal procedure for placing sensors and estimating the locations of harmonic sources in power systems / J. E. Farach, W. M. Grady, A. Arapostatis // IEEE Trans. on Power Delivery, Vol. 8, No. 3, p. 1303.

88. Bingham R. P. Measurement instruments for power quality monitoring. Transmission and Distribution Conference and Exposition, 2008. T&D. IEEE/PES.-2008.- P. 1.

89. Farsangi M. M., Lee K. Y., Nezamabadi-pour H., Song Y.-H. Placement of SVCs and Selection of Stabilizing Signals in Power Systems // IEEE Transactions On Power Systems, 2007, vol. 22, №. 3, p.1061-1071.

90. Full Harmonic Load Flow Calculation in Power System for Sensitivity Investigation / C. Dzienis, A. Bachry, Z. Styczynski// Seventh International Zur-ich Symposium on Electromagnetic Compatibility Conference in Singapore, p. 646-649.

91. Gamm A. Z., Golub I. I. The problem of weak places in electric power systems // Int. Symp. Stockholm Power Tech., SPT P 1706-0557. - 1995. -P. 542-546.

92. Gao B. Voltage stability evaluation using modal analysis/ B. Gao, G.K. Morison, P. Kundur/ Transactions on Power Systems, Vol. 7, № 4, 1992. -p. 1529-1542.

93. Heydt G. T. Identification of Harmonic Sources by a State Estimation Technique/ G.T. Heydt // IEEE Trans. on Power Delivery. - 1989. - Vol. 4, No. 1. - P.569.

94. Honorio L. M., Torres Geraldo L., Torres Germano L., Zambroni de Souza A. C. Increasing the Loadability of Power Systems Through Optimal-Local-Control Actions // IEEE Transactions On Power Systems, vol. 19, № 1, February 2004.

95. Kundur P. Power System Stability and Control/ P. Kundur - New-York: McGraw-Hill, 2006. - 1176 p.

96. Kundur P., Porretta B., Rogers G. J., Wong D. Y. Eigenvalue analysis of very large power systems // IEEE Transactions on Power Systems. - 1988, Vol. 3, № 2. p. 472-480.

97. Lof P.-A. On static analysis of long-term voltage stability in electric power systems / P.-A. Lof - Stockholm: Royal Ins. of technology, 1995, -197 p.

98. Lof P. A. Voltage stability indices for stressed power systems / P.A.Lof, G. Anderson, D.J. Hill / IEEE PES winter meeting New York. - 1992.

99. Martins, N. Efficient eigenvalue and frequency response methods applied to power system small-signal stability studies / N. Martins / IEEE Transactions on Power Systems, Vol. PWRS-1, No. 1, February 1986.

100. Observability in the state estimation of power systems/ E.E. Fetzer, P.M. Anderson // IEEE Trans. Power Appar. and Syst. - 1975. - Vol. 94, №6. -p. 1981-1988.

101. Optimal dips monitoring program for characterization of transmission system/ Olguin G, Bollen M.// IEEE power engineering society general meeting, Toronto, Canada. - 2003. - p. 2484.

102. Optimal Measurement Placement for Static Harmonic State Estimation in the Power Systems based on Genetic Algorithm/ B.M. Dehkordi, F.H. Fesharaki, A. Kiyoumarsi/ Journal of Electrical Engineering & Technology Vol. 4, No. 2, p. 175-184, 2009.

103. Optimal placement of monitors in transmission systems using fuzzy boundaries for voltage sag assessment/ M. Haghbin, E. Farjah// IEEE power tech, Bucharest, Romania; 2009. p. 1-6.

104. Optimal power quality monitor placement using genetic algorithm and Mallow's Cp / A. Kazemi, A. Mohamed, H. Shareef, H. Zayandehroodi/ Electri-cal Power and Energy Systems, 2013, № 53, p.564-575.

105. Pinto H. J. C. P., Martins N., Viviera X., Bianco A., Gomez P., dos Santos M. G. Modal analysis for voltage stability: Application at base case and point of collapse: Bulk Power System Voltage Phenomena - III / Voltage stability, Security and control, Davos, Switzerland, 22-26 August 1994.

106. Romero M. Developing a PQ monitoring system for assessing power quality and critical areas detection / M. Romero M., R. Pardo, L. Gallego // Re-vista Ingeniería E Investigación Vol. 31, № 2, p. 102-109.

107. Transmission network fault location observability with minimal PMU placement, / L. Kai-Ping, L. Chih-Wen, Y. Chi-Shan, J.A. Jiang // IEEE Transac-tions on Power Delivery, № 21, 2006. p. 1128-1136.

108. Wasley R. G. Identification and ranking of critical contingencies in dependent variable scale / R.G. Wasley, M. Danesdoost // IEEE Trans. Power Appar. and Syst. - 1983. - Vol. 102, №4. - p. 881-892.