Применение расширенного фильтра Калмана для демодуляции хаотических колебаний тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.01, кандидат технических наук Аливер, Вячеслав Юрьевич

• Аливер, Вячеслав Юрьевич
• кандидат технических наук
• 2005

Оглавление диссертации кандидат технических наук Аливер, Вячеслав Юрьевич

Введение.

Глава 1. Демодуляторы сообщений на хаотической несущей, построенные на алгоритме РФК.

1.1. Постановка задачи.

1.2. Синхронизация хаотических колебаний.

1.3. Прием непрерывных сигналов, передаваемых с использованием хаотических колебаний.

1.4. Выводы.

Глава 2. Демодуляторы сообщений на хаотической несущей для случая, когда сообщения меняются медленно.

2.1. Постановка задачи.

2.2. Структура приемных устройств.

2.3. Результаты моделирования.

2.4. Выводы.

Глава 3. Анализ квазиоптимальных систем передачи информации с хаотической модуляцией на помехоустойчивость.

3.1. Постановка задачи.

3.2. Результаты моделирования для сообщения, представляющего собой двухкомпонентный марковский СП.

3.3. Результаты моделирования для сообщения, представляющего собой медленно меняющийся СП.

3.4. Выводы.

Глава 4. Хаотические режимы в непрерывных динамических системах.

4.1. Постановка задачи.

4.2. Последовательность действий для установления границ диапазонов параметров нелинейных систем.

4.2.1. Этап 1. Линейный анализ устойчивости.

4.2.2. Этап 2. Бифуркационные диаграммы и показатели Ляпунова

4.2.3. Этап 3. Временные последовательности, фазовые траектории, спектры, отображения Пуанкаре.

4.2.4. Этап 4. Слуховой анализ режимов в генераторах хаоса.

4.3. Примеры исследования поведения нелинейных динамических систем: осциллятор Дуффинга, система Лоренца и генератор Чуа

4.4. Выводы.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Применение расширенного фильтра Калмана для демодуляции хаотических колебаний»

Актуальность темы. Возможность передачи информации с использованием хаотических сигналов давно привлекала внимание исследователей. Этому способствовали следующие важные обстоятельства.

Во-первых, динамический хаос - сравнительно недавно вошедшее в научную картину мира явление, главным образом, лишь в последней четверти XX века. Исследования, проведенные за этот период, позволили сформировать понимание природы динамического хаоса и заставили пересмотреть многие привычные представления об окружающем нас мире, о том, как могут вести себя различные объекты и процессы. Стало ясно, что благодаря новым, разработанным на основе этого явления теориям и подходам, появляются неизвестные ранее возможности в различных областях знаний и в освоении новых технологий. Таким образом, встал вопрос о практическом применении динамического хаоса, и, прежде всего, о его применении в информационных технологиях и радиотехнике, поскольку эти научно-технические отрасли были и остаются одним из самых важных теоретических и экспериментальных полигонов для активного исследования свойств хаоса. Построение помехоустойчивых систем передачи информации с использованием хаотических сигналов даже только лишь с научно-методической точки зрения представляет огромный интерес, поскольку такие сигналы с полной уверенностью можно назвать новыми носителями информации для систем связи.

Во-вторых, хаотические колебания относятся к широкополосным сигналам, которые, как уже давно известно, потенциально очень эффективны для передачи информации. Широкополосные сигналы могут обладать высокой помехоустойчивостью, скрытностью, большой информационной емкостью. Прежде всего привлекает то, что коммуникационные системы, использующие хаотическую модуляцию, уже сами по себе являются конфиденциальными, так как главными свойствами хаотических процессов являются: внешнее сходство с посторонними шумовыми процессами, экспоненциальное разбегание фазовых траекторий при малейшей разнице как в начальных условиях, так и в параметрах источников хаоса. Для того, чтобы посторонний пользователь мог принять передаваемое на хаотической несущей информационное сообщение, ему необходимо точно знать: 1) какая нелинейная система применяется в качестве генератора хаоса, 2) какие параметры у этой системы, 3) способ формирования передаваемого через канал связи колебания - вариант ввода полезного сообщения в нелинейную систему, 4) начальные условия для хаотических компонент и для сообщения, 5) теорию оптимального приема сигналов или, по крайней мере, ее основы. В природе существует огромное множество нелинейных динамических систем, по существу, все системы нелинейные. В любой нелинейной системе, модель которой описывается системой обыкновенных дифференциальных уравнений (ДУ) не ниже третьего порядка, могут существовать хаотические колебания. Для различных физических систем всегда можно получить их аналог - радиотехническую модель таких систем, по крайней мере, цифровую. Параметры и (или) начальные условия одной и той же нелинейной динамической структуры часто могут варьироваться в широких пределах и принимать в этих пределах абсолютно любое неизвестное нарушителю значение. Способы взаимодействия полезного сообщения с хаотическими компонентами и параметрами также весьма разнообразны для одних и тех же систем. Таким образом, изучаемые в данной главе системы связи являются достойной альтернативой известным системам с расширением спектра для защиты информации [23, 60, 64, 72, 91], а также альтернативой применению известных криптографических методов [60, 71, 114].

В-третьих, давно известен и достаточно хорошо развит аппарат оптимальной линейной и нелинейной фильтрации. Динамические системы, в которых наблюдаются хаотические колебания, являются типичными представителями нелинейных систем. Таким образом, возникает естественный интерес применить известные методы нелинейной оптимальной фильтрации к приему сигналов с хаотической несущей, выяснить, остаются ли такие методы адекватными в данном случае и при необходимости развить их и адаптировать к приему хаотических колебаний, если такое окажется возможным. Также интересен тот факт, что теория оптимальной фильтрации сформировалась раньше, чем современная теория динамического хаоса, и развитие методов оптимального приема шло, по-видимому, без принятия во внимание хаотических явлений.

Существует достаточно много работ по системам передачи информации с использованием хаотических колебаний [23, 24, 28 - 32, 48, 55, 58, 67, 85 - 87, 92 - 96, 103 - 106, 115 - 147, 149, 150, 153 - 183]. Были предложены различные варианты введения информационного сигнала в хаотический на передающей стороне и его выделения на приемной, но, тем не менее, вплоть до настоящего времени имеется определенная неудовлетворенность от существующих работ по таким системам передачи информации, связанная с тем, что выделение информационного сигнала из хаотической несущей является сложной, требующей особого подхода задачей.

Первые работы по определению структуры приемников основывались на идее декомпозиции уравнений, описывающих генератор хаотических колебаний - работа Пекоры Л. М. и Кэрол л а Т. Л., 1990 [159 - 166], а позднее работы группы Дмитриева А. С. [24, 28 - 32, 58]. Одно из интересных предложений состояло в использовании на приемной стороне алгоритма, обратного алгоритму введения информации в хаотическое колебание на передающей - Волков-ский А. Р., Рульков Н. В., 1993 [21], Фелдмэн и др., 1995 [126]. Также имеются работы, в которых приемное устройство строилось как генератор хаотического колебания, идентичный генератору передатчика и управляемый сигналом ошибки между принятым сигналом и его копией в приемнике - Хаслер М., 1994 [130]. Такая структура наиболее близка к структуре оптимального приемника. Существует работа, в которой представлена система передачи информации, где информация закладывается в начальные условия передаваемых в канал связи фрагментов хаотических реализаций, а на приемной стороне осуществляется корреляционная обработка принятых сообщений совместно с созданными в приемнике точными копиями элементарных хаотических сигналов передатчика - Кулешов В. Н. и др., 1997 [45].

Среди работ исследователей регулярной и хаотической динамики радиотехнических систем, помимо перечисленных выше, следует выделить работы Тихонова В. И., Тратаса Ю. Г., Шалфеева В. Д., Капранова М. В., Шахтарина Б. И., Собиски Д., Эндо Т., Чуа Л. О., Холмса Дж. и др. [16, 19, 23 - 25, 28 - 38, 40, 45, 48 - 51, 54, 55, 58, 61 - 64, 67, 88, 91 - 104, 110, 112, 115 - 150, 157183].

Основу нелинейной динамики и методов исследования хаотических систем создали А. Пуанкаре, Э. Лоренц, Ю. И. Неймарк, П. С. Ланда, В. С. Ани-щенко, А. С. Дмитриев, Г. Шустер, Г. Кэрол, Л. Пекора и др. [6 - 10, 12, 14, 15, 18, 22, 26, 27, 41 -44, 46, 47, 52, 53, 56, 57, 108, 109, 151 - 156].

В настоящее время в России есть несколько научно-исследовательских групп, занимающихся хаотической динамикой, среди которых следующие: Институт Радиотехники и Электроники РАН (А. С. Дмитриев, А. И. Панас), Саратовский Государственный Университет (В. С. Анищенко), Нижегородский Государственный Университет (В. Д. Шалфеев, В. Н. Белых), Московский Энергетический Институт (Технический Университет) (М. В. Капранов, В. Н. Кулешов, Н. Н. Удалов), Московский Технический Университет Связи и Информатики (Пестряков А. В.), Московский Государственный Технический Университет им. Н. Э. Баумана (Шахтарин Б. И., Губанов Д. А., Голубев С. В. и ДР-)

Тем не менее, несмотря на интенсивное изучение вопроса применения хаоса для передачи информации, многие проблемы остаются нерешенными. Эти проблемы являются следствием свойств динамического хаоса и заключаются, в основном, в следующих ограничениях:

1) передача информации ведется при слишком большом отношении сигнал/шум (ОСШ), как правило, не достижимом в реальных ситуациях;

2) даже при достаточно большом ОСШ периодически наблюдается явление временной десинхронизации передаваемой и приемной систем;

3) накладываются значительные ограничения на допуск разброса параметров передатчика и приемника, погрешность значений параметров обычно не должна превышать 1 - 2 %.

Кроме того, такие известные методы передачи информации, как нелинейное подмешивание и хаотическая маскировка, приводят к тому, что в канале связи наряду со «случайной» хаотической компонентой, по сути дела, присутствует и само полезное сообщение. Следовательно, можно предположить, что существует, по крайней мере, потенциальная возможность отфильтровать это сообщение без обладания информацией об используемом в коммуникационной системе генераторе хаоса. Это может свести на нет всю конфиденциальность. Другой известный способ взаимодействия сообщения с хаотической несущей -модуляция параметра нелинейной системы - обладает тем существенным недостатком, что, во-первых, модулируемый параметр должен очень медленно меняться по сравнению с изменением несущей, во-вторых, он может меняться лишь в определенном нешироком диапазоне, что приводит к низкой энергетической эффективности такого метода. Этот способ сильно ограничивает возможности цифровой обработки сигналов и применим, в основном, в радиодиапазоне.

Таким образом, исходя из вышесказанного, необходимо продолжать исследования, касающиеся разработки систем связи, использующих хаотические колебания в качестве носителя информационных сообщений и, по-возможности, не обладающих перечисленными недостатками.

Цель и задачи диссертации. Причиной указанных недостатков является слишком малое внимание достижениям в области статистического синтеза оптимальных приемных устройств. Целью настоящей работы является повышение помехоустойчивости демодуляторов хаотических колебаний за счет применения и адаптирования методов теории оптимальной фильтрации сигналов для данного случая.

В связи с поставленной целью задачами настоящей диссертации являются следующие.

1) Показать адекватность методов теории оптимальной фильтрации для случая приема хаотических сигналов. При этом считается, что по каналу связи передается хаотическая несущая, а информационное сообщение является некоторым, причем, в общем случае, произвольным (в отличие от работ Тратаса Ю. Г. [85 - 87]), параметром хаотического сигнала. Кроме того, в общем случае, не делается допущение о том, что спектр полезного сигнала лежит в области значительно более низких частот, чем спектр хаотической несущей (в отличие от работы [30], когда речь шла о модуляции параметра). Полученное в результате синтеза приемное устройство должно быть представлено в виде наглядной математической модели.

2) Провести анализ модели устройства на помехоустойчивость для случая аддитивного гауссова белого шума (ГБШ) в канале связи.

3) Разработать (конкретизировать, формализовать уже существующие) методику анализа наличия и качества (устойчивости) хаотических режимов генераторов хаоса. На основе этой методики провести сравнительный анализ источников хаоса. При этом необходимо создать соответствующее программное обеспечение.

Методы исследования. Современными методами синтеза приемных устройств для сложных сигналов являются методы теории обработки сигналов, и, в частности, методы оптимальной фильтрации [76 - 83]. С другой стороны, методами исследования нелинейных динамических систем являются известные методы теории нелинейных колебаний [18, 38, 41, 57] и методы анализа хаотического поведения [8, 26, 56]. В соответствии с этим, в данной диссертации:

- при синтезе устройств приема сигналов с хаотической модуляцией применялись алгоритм расширенного фильтра Калмана и численное моделирование;

- при сравнительном анализе непрерывных генераторов хаоса применялись методы теории устойчивости динамических систем, метод Ляпунова, метод Пуанкаре, метод бифуркаций и методы численного интегрирования. Научная новизна.

1) Исследован вопрос применимости и адаптации известных методов нелинейной оптимальной фильтрации к построению систем передачи информации с использованием хаотических колебаний. Показаны работоспособность моделей таких систем и их преимущества перед другими моделями, которые не являются оптимальными [30].

2) Получена новая обобщенная математическая модель, описывающая структуру квазиоптимальных демодуляторов хаотических сигналов.

3) Проведен анализ помехоустойчивости представленной модели системы связи с хаотической модуляцией. При этом проведено сравнение случаев с разными моделями полезных сообщений и разными параметрами. Некоторые результаты анализа являются весьма неожиданными, далеко не тривиальными и, конечно же, практически значимыми.

4) Развит и формализован в виде методики и прикладного программного обеспечения подход к исследованию режимов генераторов хаотических сигналов. На базе теории устойчивости, теории бифуркаций и метода Ляпунова получены и представлены графически плоскости параметров различных генераторов хаоса, разбитые на области с регулярным и хаотическим режимами, а также сечения этих плоскостей. Сделаны выводы в пользу выбора таких устройств и их параметров.

Основные результаты, выносимые на защиту:

1) математические модели приемных устройств, реализованных на базе РФК;

2) рабочие характеристики - зависимости относительной среднеквадратиче-ской ошибки (СКО) от ОСШ, а также зависимости относительной СКО от отношения несущая/сообщение (ОНС) для случая приема сигнала на фоне аддитивного ГБШ;

3) получившая дальнейшее развитие методика анализа непрерывных генераторов хаоса;

4) диаграммы режимов поведения генераторов хаоса: осциллятор Дуффинга, система Лоренца, генератор Чуа.

Практическая значимость. В соответствии с целью диссертации решены поставленные и перечисленные выше задачи. Полученные результаты имеют большое практическое значение, заключающееся в следующем.

1) Предложенные и проанализированные модели устройств приема сигналов с хаотической модуляцией дают основу для практического конструирования таких устройств в соответствующих систем связи. Такие коммуникационные системы обладают, прежде всего, повышенной стойкостью к перехвату передаваемой информации. При этом их помехоустойчивость, как установлено автором, сопоставима с помехоустойчивостью систем связи, использующих другие несущие сигналы.

2) Полученные в диссертации результаты введены в учебный процесс кафедры «Автономные информационные и управляющие системы» МГТУ им. Н. Э. Баумана, а именно, в лабораторные работы и лекционный курс.

3) Разработано программное обеспечение, позволяющее исследовать генераторы хаоса, в результате чего можно будет давать практические рекомендации по выбору их параметров. При этом используется предложенная в диссертации методика.

Достоверность полученных автором результатов.

Достоверность математических моделей устройств приема хаотических сигналов подтверждается результатами численного моделирования. При этом численная модель, составленная в пакете "MatLab", является имитационной. Модель работоспособна для широкого диапазона значений большинства ее параметров.

Достоверность анализа хаотических режимов в нелинейных динамических системах подтверждается совпадением результатов, полученных разными методами.

Реализация результатов исследования. Результаты диссертационной работы внедрены в НИР, а также используются в учебном процессе кафедры СМ-5 МГТУ им. Н. Э. Баумана (издано два учебных пособия, [102, 107]), что подтверждено актами о внедрении.

Апробация работы. Материалы диссертации обсуждались на LVII и LVIII научных сессиях НТОРЭС им. А. С. Попова, посвященных Дню радио (14 -16 мая, 2002 и 2003 г., Москва); научно-техническом семинаре «Синхронизация, формирование и обработка сигналов» (3-5 июля 2003 г., Ярославль); международной научной конференции к 95-летию академика В. А. Котельникова (29 - 30 октября 2003 г., Москва); на семинарах кафедры СМ-5 МГТУ им. Н. Э. Баумана (2000 - 2003г.); а также XXX научно-технической конференции МГТУ им. Н. Э. Баумана, посвященной 65-летию факультета «Специальное машиностроение» и памяти профессора Николая Андреевича Лакоты (2003 г.).

Публикации. По теме диссертации опубликовано более 20 печатных работ.

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из Введения, четырех Глав, Заключения, списка литературы и Приложения. Объем диссертации составляет 230 страниц. Из них 117 страниц основного текста, 60 страниц иллюстраций, 13 страниц списка литературы (180 наименований), 40 страниц приложения (не считая иллюстраций).

Заключение диссертации по теме «Системный анализ, управление и обработка информации (по отраслям)», Аливер, Вячеслав Юрьевич

Основные выводы, сделанные на основе полученных результатов, следующие.

1) Минимальное ОСШ, при котором еще возможен прием, составляет -10 дБ: СКО = 25%, когда сообщение представляет собой медленно меняющийся процесс, и СКО = 60%, когда сообщение - двухкомпонентный марковский процесс.

2) Применение расширенного фильтра Калмана позволяет легко синхронизировать хаотические колебания: при ОСШ 17 дБ длительность переходного процесса составляет долю периода центральной частоты хаотического сигнала.

3) В целом нелинейное подмешивание и модуляция параметра дают сопоставимое качество связи. Однако при разных конкретных комбинациях взаимодействий сигналов в хаотическом модуляторе получаются разные результаты: иногда значительно лучше (СКО меньше в несколько раз) модуляция параметра, а иногда нелинейное подмешивание. В случае использования модели Лоренца при одинаковых условиях модуляция параметра предпочтительней, когда по каналу передается компонента х (/). Нелинейное подмешивание предпочтительней, когда по каналу передается компонента >»(/) (структура модулятора при этом не меняется).

4) Диапазон частот полезного сообщения может лежать выше диапазона частот хаотической несущей: при отношении центральных частот 0}ха<>с/С0сопгще,ше = ®-2 Раза относительная ошибка фильтрации составляет примерно 50%.

5) Начальные состояния передатчика и приемника могут значительно различаться, по крайней мере, в том случае, если параметры обоих систем идентичны. Следует отметить, что это происходит несмотря на то, что в алгоритме РФК используется допущение о малой величине ошибки оценки.

6) Система приема, в которой в качестве модели сообщения используется двухкомпонентный марковский процесс менее требовательна к выбору конкретного способа взаимодействия хаотического и информационного сигнала и выбору передаваемых по каналу связи компонент, чем система, в которой моделью сообщения служит медленно меняющийся процесс.

7) СКО растет с увеличением ОНС, причем во всех рассмотренных случаях, как при наличии информационного сигнала в канале связи (нелинейное подмешивание), так и при его отсутствии (модуляция параметра). Удовлетворительное качество связи достигается (СКО менее 20%), когда ОНС составляет не более 10-20 дБ. При ОНС свыше 40 дБ связь практически невозможна: даже при больших ОСШ СКО составляет более 50%.

8) В случае медленно меняющегося сообщения допустима очень малая глубина хаотической модуляции (большое ОНС): СКО составляет 20% при ОНС 45 дБ и ОСШ 30 дБ, СКО составляет 20% при ОНС 20 дБ и ОСШ 5 дБ.

9) Существует некоторое пороговое значение отношения центральных частот <пхаос1<псообщете, при котором использование двух видов сообщений, ДМСП и ММП, дает одинаковое качество связи. При меньших <°.хаос/асообщение предпочтительнее ДМСП, а при больших - ММП. На примере системы приема информации, основанной на уравнениях Лоренца, установлено, что при средних ОСШ и ОНС (10 дБ) это отношение составляет « 70 раз. При <йхаж\(осообщаша > 70 можно условно считать информационный сигнал медленно меняющимся и использовать в качестве модели сообщения ММП, а при сохаж! (оаюСщсиис < 70 более корректным будет применение в качестве модели сообщения ДМСП.

10) Установлено, что величина максимального показателя Ляпунова в областях с хаотическим поведением следующая: Лтах «2 - для системы Лоренца, Ятах « 0.3 - для генератора Чуа, /1тах « 0.2 - для осциллятора Дуффинга, Л™* ~ 0-2 для всех ФАП 3-го порядка и Ятах « 0.2 для ФАП 2-го порядка.

Следовательно, по критерию наибольшего ^тах предпочтительнее всего система Лоренца.

11) Наиболее «протяженные» области значений параметров имеет система Лоренца. Кроме того, у этого генератора хаоса в отличие от всех других (осциллятор Дуффинга, генератор Чуа, ФАПы) число «вкраплений» с регулярным поведением невелико. Также следует учесть, что система Лоренца имеет малое число параметров и проста для схемотехнической реализации. Следовательно, в первую очередь, именно систему Лоренца можно предложить в качестве основы построения приемо-передающих систем с хаотической модуляцией.

12) Установлено, что нелинейные динамические системы 3-го порядка, как системы ФАП, так и прочие автоколебательные контуры, используемые в качестве генераторов хаоса, более предпочтительны, чем системы 2-го порядка. Области существования хаотического режима для всех систем 2-го порядка имеют значительно большее число «вкраплений» - участков с регулярным движением и переходных участков, и, следовательно, системы 2-го порядка допускают меньшее отклонение параметров от номинального значения.

Заключение

Полученные и представленные в данной работе результаты расширяют представление о закономерностях динамики нетрадиционных широкополосных систем приема. Результаты и рекомендации могут быть использованы при расчете и построении коммуникационных систем с хаотической модуляцией. В соответствии с целью диссертации и поставленными задачами получены следующие основные результаты.

Показана применимость теории методов оптимальной фильтрации для случая приема хаотических сигналов - показана работоспособность модели системы передачи информации с хаотической модуляцией для случая, когда в качестве приемного устройства используется РФК, а полезное сообщение представляет собой двухкомпонентный марковский случайный процесс. Такая система обладает рядом преимуществ по сравнению с другими, не использующими методы оптимальной фильтрации и представленными, в частности, в работах Дмитриева А. С. и др., системами.

Проведен анализ помехоустойчивости модели приемного устройства для случая аддитивного ГБШ в канале связи. Определены наихудшие условия, для которых передача информации при хаотической модуляции еще возможна при использовании в качестве приемного устройства РФК. Получены минимально допустимые ОСШ и ОНС, при которых еще сохраняется работоспособность. Рассмотрены и сравнены между собой случаи с двумя разными моделями сообщения: ДМСП и ММП. Исследования проводились на примере, когда в качестве базового генератора хаоса использовалась система Лоренца.

Разработана методика анализа поведения динамических систем, позволяющая определять границы диапазонов значений параметров, соответствующих хаотическому поведению систем, для чего было создано и отлажено необходимое программное обеспечение. Методика и написанная программа 8уБу1еуег отработаны на классических генераторах хаоса - осцилляторе Дуф-финга, системе Лоренца и схеме Чуа. На основе анализа, выполненного согласно описанной методике, получены области значений параметров для нескольких динамических систем, при которых наблюдается хаотический режим. Даны практические рекомендации по выбору генераторов хаоса и конкретных значений их параметров для получения того или иного режима работы.

Список литературы диссертационного исследования кандидат технических наук Аливер, Вячеслав Юрьевич, 2005 год

1. Аливер В. Ю. Использование расширенного фильтра Калмана для демодуляции хаотических колебаний // Вестник МГТУ им. Баумана. Приборостроение. 2005. - № 1.-С. 100- 122.

2. Аливер В. Ю. Квазиоптимальные демодуляторы хаотических сигналов //Цифровая обработка сигналов и ее применение: Сборник трудов 7-ой Международной Конференции и Выставки; В 2 т. Москва, 2005. - Т. 2. -С. 358-361.

3. Аливер В. Ю., Сидоркина Ю. А., Шахтарин Б. И. Приемники частотно-модулированных сообщений и их анализ // Радиофизика и электроника на пороге 21-го века, школа-семинар: Сборник трудов молодых ученых, аспирантов и студентов. Ярославль, 2001. - С. 3 - 11.

4. Аливер В. Ю., Сидоркина Ю. А., Шахтарин Б. И. Статистические характеристики цифровых систем синхронизации // Электромагнитные волны и электромагнитные системы. 2003. - Т. 8, №2. - С. 59 - 74.

5. Аливер В. Ю. Оценка качества демодуляторов сигналов с фазовой манипуляцией /В. Ю. Аливер, Ю. А. Сидоркина, Б. И. Шахтарин и др. //Научный вестник МГТУ ГА. Радиофизика и радиотехника. 2003. -№61.-С. 187- 190.

6. Анищенко В. С. Сложные колебания в простых системах. Механизмы возникновения, структура и свойства динамического хаоса в радиофизических системах. М.: Наука, 1990. - 310 с.

7. Анищенко В. С. Знакомство с нелинейной динамикой: Лекции соросов-ского профессора: Учебное пособие. Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2002. - 144 с.

8. Анищенко В. С. Знакомство с нелинейной динамикой: Лекции соросов-ского профессора: Учебное пособие. Саратов: Изд-во Гос. УНЦ "Колледж", 2000. - 179 с.

9. Анищенко В. С., Вадивасова Т. Е., Астахов В. В. Нелинейная динамика хаотических и стохастических систем. Фундаментальные основы и избранные проблемы / Под ред. В. С. Анищенко. Саратов: Изд.-во Сарат. Унив., 1999.-367 с.

10. Бендат Дж., Пирсол А. Прикладной анализ случайных данных: Пер. с англ. М.: Мир, 1989. - 540 с.

11. Берже П., Помо И., Видаль К. Порядок в хаосе. О детерминированном подходе к турбулентности: Пер. с франц. Череповец: Меркурий-пресс, 2000. - 366 с.

12. Бибиков Ю. Н. Курс обыкновенных дифференциальных уравнений: Учеб. пособие для ун-тов. М.: Высшая школа, 1991. - 303 с.

13. Блехман И. И. Синхронизация в природе и технике. М.: Наука, 1981. -351 с.

14. Блехман И. И. Синхронизация динамических систем. М.: Наука, 1971. -320 с.

15. Борисов В. И., Зинчук В. М. Помехозащищённость систем радиосвязи. Вероятностно-временной подход. М.: Радио и связь, 1999. - 252 с.

16. Бугров Я. С., Никольский С. М. Дифференциальные уравнения. Кратные интегралы. Ряды. Функции комплексного переменного: Учебник для вузов. 3-е изд., испр. М.: физ.-мат. лит., 1989. - 511 с.

17. Бутенин Н. В., Неймарк Ю. И., Фуфаев Н. А. Введение в теорию нелинейных колебаний: Учеб. пособие для втузов. 2-е изд., испр. - М.: Физ.-мат. лит., 1987.-384 с.

18. Вайнштейн Л. А., Вакман Д. Е. Разделение частот в теории колебаний и волн. М.: Наука, 1983. - 288 с.

19. Вентцель Е. С. Теория вероятностей. М.: Гос. изд.-во физ.-мат. лит., 1962.-565 с.

20. Волковский А. В., Рульков Н. В. Синхронный хаотический отклик нелинейной системы информации // Письма в ЖТФ. 1993. - Т. 19, вып. 3. -С. 71-75.

21. Губанов Д. А. Динамические свойства демодуляторов широкополосных сигналов на базе фазовых автоматических систем: Дис. . канд. техн. наук. М.: МГТУ им. Н. Э. Баумана, 1997. - 265 с.

22. Губанов Д. А. и др. Генераторы хаоса в интегральном исполнении / Д. А. Губанов, А. С. Дмитриев, А. И. Панас и др. // Chip News. 1998. - № 10. -P. 2633-2643.

23. Гуткин JI. С. Теория оптимальных методов радиоприема при флуктуаци-онных помехах. 2-е изд., пер. и доп. — М.: Советское радио, 1972. — 448 с.

24. Данилов Ю. А. Лекции по нелинейной динамике. Элементарное введение. М.: Постмаркет, 2001. - 184 с.

25. Динамика одномерных отображений / А. Н. Шарковский, С.Ф. Коляда, А. Г. Сивак и др.; Под ред. И. А. Луковский. Киев: Ин-т математики АН УССР, 1989.-216 с.

26. Дмитриев А. С. Детерминированный хаос и информационные технологии // Компьютерра. 1998. - № 47. - С. 27 - 30.

27. Дмитриев А. С. и др. Прямохаотическая передача информации в СВЧ диапазоне / А. С. Дмитриев, Б. Е. Крягинский, А. И. Панас и др. // Радиотехника и электроника. 2001. - Т. 46, № 2. - С. 224 - 233.

28. Дмитриев А. С., Панас А. И. Динамический хаос. Новые носители информации для систем связи. М.: Изд. физ.-мат. лит., 2002. - 252 с.

29. Дмитриев А. С., Панас А. И., Старков С. О. Динамический хаос как парадигма современных систем связи // Зарубежная электроника. Успехи современной радиоэлектроники. 1997. - №10. - С. 4 - 19.

30. Дмитриев А. С., Старков С. О. Передача сообщений с использованием хаоса и классическая теория информации // Зарубежная электроника. Успехи современной радиоэлектроники. 1998. - №11. - С. 4 - 32.

31. Зюко А. Г. Помехоустойчивость и эффективность систем связи. М.: Связьиздат, 1983. - 320 с.

32. Зюко А. Г. и др. Помехоустойчивость и эффективность систем передачи информации / А. Г. Зюко, А. И. Фалько, И. П. Панфилов и др.; Под ред. А. Г. Зюко М.: Радио и связь, 1985. - 271 с.

33. Капранов М. В. Системы коллективной фазовой автоподстройки частоты // Труды МЭИ (Москва). 1978. - Т. 355. - С. 3 - 9.

34. Капранов М. В., Кулешов В. Н., Уткин Г. И. Теория колебаний в радиотехнике. М.: Наука, 1984. - 320 с.

35. Капранов М. В., Томашевский А. И. Анализ фазовых траекторий в окрестностях особых точек 2-0 и 3-0 нелинейных динамических систем: Учеб. пособие по курсу "Теория колебаний". -М.: МЭИ (ТУ), 2003. 79 с.

36. Комаров В. М. Компьютерный анализ фонокардиограмм / В. М. Комаров, В. Л. Моргунов, А. И. Монаенков и др. // Вопросы разработки радиоэлектронных систем и устройств в диагностике сердечно-сосудистых заболеваний: Сб. М.: Радио и связь, 1984. - 79 с.

37. Костомаров Д. П., Корухова Л. С., Манжелей С. Г. Программирование и численные методы. М.: Изд.-во Моск. ун-та, 2001. - 224 с.

38. Котельников В. А. Теория потенциальной помехоустойчивости. М.: Госэнергоиздат, 1956. - 514 с.

39. Крищенко А. П., Попов В. С., Яковенко М. Г. Устойчивость автономных систем: Учебное пособие. М.: МГТУ им. Н. Э. Баумана, 1991. - 60 с.

40. Кроновер Р. М. Фракталы и хаос в динамических системах. Основы теории. М.: Постмаркет, 2000. - 352 с.

41. Кузнецов А. П., Кузнецов С. П. Критическая динамика одномерных отображений // Изд.-во Вузов ПНД (Саратов). 1993. - Т. 1, №1-2. - С. 15 -27.

42. Кузнецов С. П. Динамический хаос. М.: Физматлит, 2001. - 250 с.

43. Кулешов В. Н., Ларионова М. В., Удалов Н. Н. Система передачи информации с хаотической несущей // Вестник МЭИ. 1997. - № 5. - С. 54 -61.

44. Ланда П. С. Автоколебания в системах с конечным числом степеней свободы. М.: Наука, 1980. - 359 с.

45. Ланда П. С. Нелинейные колебания и волны. М.: Наука, 1997. - 496 с.

46. Линдсей В. Системы синхронизации в связи и управлении: Пер. с англ. /Под ред. Ю. Н. Бакаева, М. В. Капранова. М.: Сов. Радио, 1978. -600 с.

47. Лихтенберг А., Либерман Н. Регулярная и стохастическая динамика. М.: Мир, 1984. 528 с.

48. Малахов А. Н. Флуктуации в автоколебательных системах. М.: Наука, 1967.-660 с.

49. Малинецкий Г. Г. Хаос. Структуры. Вычислительный эксперимент. Введение в нелинейную динамику. М.: Эдиториал УРСС, 1997. - 253 с.

50. Малинецкий Г. Г., Потапов А. Б. Современные проблемы нелинейной динамики. М.: Эдиториал УРСС, 2000. - 335 с.

51. Матросов В. В. Регулярные и хаотические автоколебания фазовой системы // Письма в ЖТФ. 1996. - Т. 22, № 23. - С. 4 - 8.

52. Морозов А. Г. Использование цифровых хаотических последовательностей для передачи информации: Дис. . канд. техн. наук. М.: МЭИ, 2001.- 160 с.

53. Мун Ф. Хаотические колебания: Вводный курс для научных работников и инженеров: Пер. с англ. М.: Мир, 1990. - 321 с.

54. Неймарк Ю. И., Ланда П. С. Стохастические и хаотические колебания. -М.: Наука, 1987.-424 с.

55. Панас А. И. Системы передачи информации с хаотическими сигналами: Дис. . д-ра физ.-мат. наук. -М.: ИРЭ РАН, 2001. -350 с.

56. Панов В. Ф. Математика древняя и юная / Под ред. В. С. Зарубина. М.: МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2004. - 656 с.

57. Петраков А. В. Защита и охрана личности, собственности, информации: Справ, пособие. М.: Радио и связь, 1997. - 320 с.

58. Петрович Н. Т. Передача дискретных сигналов в каналах с фазовой манипуляцией. М.: Сов. радио, 1965. - 263 с.

59. Пиковский А. С. Синхронизация фазы стохастических автоколебаний периодическим внешним сигналом // Радиотехника и электроника. 1984. -Т. 30, № 10.-С. 1970- 1974.63.