Применение полусдвиговой теории В.И. Сливкера к решению задач статики и динамики тонкостенных стержней тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.04, кандидат наук Дьяков, Станислав Федорович

• Дьяков, Станислав Федорович
• кандидат наук
• 2013

Оглавление диссертации кандидат наук Дьяков, Станислав Федорович

Содержание

Введение

Глава 1. Исторический обзор по развитию теории расчета тонкостенных стержней

Глава 2. Статика тонкостенных стержней открытого и замкнутого профиля с учетом деформации сдвига при кручении

2.1. Аналитическое решение уравнения закручивания стержня. Общее и частные решения

2.2. Определение геометрических характеристик тонкостенных стержней

2.3. Построение матриц жесткости прямолинейных тонкостенных стержней с учетом деформаций сдвига при кручении

2.4. Исследование влияния геометрического параметра ф на решение задачи кручения

2.5. Возможность возникновения эффекта запирания из-за учета деформаций сдвига

2.6. Выводы

Глава 3. Динамика тонкостенных стержней открытого и замкнутого профиля с учетом деформации сдвига при кручении

3.1. Вывод уравнения движения тонкостенного стержня в рамках полусдвиговой теории

3.2. Крутильно-депланационные волны в тонкостенных стержнях. Математические модели и дисперсионные свойства

3.3. Аналитическое решение задачи о поиске собственных частот

3.4. Построение согласованных матриц масс тонкостенного стержня с учетом деформаций сдвига при кручении

3.5. Об оптической ветви дисперсии в полусдвиговой теории Сливкера

3.6. Выводы

Глава 4. Практическое применение метода конечных элементов

4.1. Матрица преобразования координат

4.2. Формирование общих матриц жесткости и масс

4.3. Пример применения расчетной программы

Заключение

Литература

Список иллюстраций

Список таблиц

Приложение А. Выражения для матриц А\ и А™

Приложение Б. Выражения для матриц В1 и В™

Приложение В. Выражения для матриц С,} и С76;2

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Применение полусдвиговой теории В.И. Сливкера к решению задач статики и динамики тонкостенных стержней»

Введение

Актуальность работы

В механике деформируемого твердого тела для анализа и расчета конструкций и их элементов применяются расчетные схемы — реальный объект, освобожденный от несущественных особенностей. Одним из основных способов построения расчетных схем является приведение геометрической формы тела к схеме стержня или к схеме оболочки в зависимости от соотношения характерных размеров:

1. У оболочки одно из измерений (толщина) много меньше двух других;

2. У стержня одно из измерений (длина) много больше двух других.

Однако, в некоторых случаях целесообразно выделение еще одной

расчетной схемы, промежуточной между двумя вышеназванными — схемы тонкостенного стержня. Для тонкостенного стержня характерно существенное различие всех трех характерных размеров: толщина стенки стержня £ много меньше протяженности профиля поперечного сечения в, которая, в свою очередь, много меньше длины стержня Ь.

Критерием тонкостенности, в связи со всем вышесказанным, могут служить следующие условия:

в. Ь

т>1, ¿>1, ш

где (1 — характерный размер поперечного сечения.

Основываясь на указанных критериях, к тонкостенным относятся не только популярные нынче легкие стальные тонкостенные конструкции (ЛСТК), но и обычный «черный» прокат.

Возобновление интереса к теории тонкостенных стержней в России связано с тем фактом, что повсеместно в строительстве стали использоваться легкие стальные тонкостенные конструкции из тонкостенных хо-лодногнутых профилей.

Они нашли применение в области:

1. малоэтажного и индивидуального строительства;

2. реконструкции кровель с организацией мансардных этажей;

3. производства термопанелей для каркасно-монолитного строительства;

4. коммерческого строительства (ангары, автомойки, офисы продаж и т.д.).

Несмотря на то, что ЛСТК пытаются активно внедрить во многие сферы строительства, несовершенство российской нормативной базы, а также недостаточность опыта проектирования таких конструкций являются причинами, задерживающими более широкое их распространение.

При включении тонкостенного стержня в конструкцию, стержень работает, в том числе, и на стесненное кручение. Это означает, что депланация поперечных сечений не происходит равномерно по длине стержня (в отличие от свободного кручения). Неравномерность (стесненность) депланации приводит к тому, что по-разному искривляясь, соседние сечения «давят» друг на друга. Из-за этого, при стесненном кручении, в поперечных сечениях возникают дополнительные нормальные секториальные напряжения, которые могут вносить существенный вклад в суммарные нормальные напряжения.

Видимо, это стало одной из причин, почему в новом СП 16.13330.2011 «Стальные конструкции. Актуализированная редакция СНиП Н-23-81*» добавлено четвертое слагаемое, отвечающее, как раз, за учет нормальных секториальных напряжений:

N Му М2 В а = -±—г±-Гу±-ш, (2)

где а — суммарные нормальные напряжения; N — продольное усилия; А — площадь поперечного сечения; Му и Мх — изгибающие моменты относительно осей у и г; В — бимомент; 1у и /г — моменты инерции относительно осей у и г; 1Ш — секториальный момент инерции; и — секториальная площадь.

Для численного решения инженерных задач расчета конструкций, включающих в себя тонкостенные стержни, с применением конечноэле-ментных методик существует два способа: использование оболочечного моделирования или стержневой модели.

Современное положение на рынке конечноэлементных программ такого, что в расчетных комплексах, реализующих метод конечных элементов (МКЭ), в элементах типа «стержень» присутствует только шесть степеней свободы в узле. Поэтому компоненты напряжений, связанные с деплана-цией, которую можно назвать седьмой степенью свободы, не учитываются. Исследователи пока не пришли к единому мнению о реализации седьмой степени свободы в МКЭ. Существует мнение, что ее реализация невозможна без введения восьмой и девятой узловых степеней свободы, физический смысл которых пока вообще не ясен [44].

Использование для тонкостенных стержней оболочечного моделирования хоть и дает достаточно точные результаты, но является очень трудоемким, как для расчетчика, так и для вычислительной техники, т.к. многократно увеличивает количество степеней свободы.

Все вышеперечисленное говорит о том, что требуется разработка новых стержневых конечных элементов, подходящих для расчета тонкостенных конструкций и, соответственно, учитывающих энергию депланации.

Теорию тонкостенных стержней, созданную В.З. Власовым и A.A. Уманским, развивали такие ученые и исследователи, как P.A. Ада-дуров, О.В. Лужин, Д.В. Бычков, Б.Н. Горбунов, А.И. Стрельбицкая, A.A. Захаров, Е.А. Бейлин, А.К. Мрощинский, В.А. Постнов, Г.Ю. Джани-лидзе, Я.Г. Пановко, В.Б. Мещеряков, А.Р. Туснин, И.Ф. Дьяков, С.А. Чернов, В.П. Юзиков, В.Ф. Оробей, J.M. Gere, W.F. Chen, M.Y. Kim, G.A. Gunnlaugsson, J.W. Wekezer, A.G. Razaqpur и другие.

Исторически для всей теории тонкостенных стержней сложилось разделение на две ветви по типу профиля: открытый и замкнутый. Данное разделение было вызвано двумя причинами:

1. теории стержней открытого и замкнутого профилей строились независимо друг от друга;

2. стержни открытого профиля отождествлялись с бессдвиговой теории, а в стержнях замкнутого профиля учитывались деформации сдвига при кручении.

Со временем такое разделение повлекло за собой необходимость разра-

ботки двух различных конечных элементов для проведения численных расчетов тонкостенных стержней в рамках МКЭ, что является крайне неудобным с точки зрения унификации расчетов.

В 2005 г. В.И. Сливкером была предложена теория тонкостенных стержней, которую можно применять как для расчета тонкостенных стержней замкнутого, так и открытого профилей. Эту теорию автор назвал полусдвиговой теорией, т. к. изгиб такого стержня описывается в рамках бессдвиговой теории Бернулли-Эйлера.

В настоящее время вопросы динамики тонкостенных стержней в рамках полусдвиговой теории являются неисследованными как в теоретическом плане, так и с точки зрения численной реализации МКЭ.

Все вышеперечисленное свидетельствует об актуальности темы диссертационной работы.

Целями диссертационной работы являются:

1. Аналитическое решение статических задач кручения стержня в рамках полусдвиговой теории при любых граничных условиях. Сравнение полученных решений с известными решениями аналогичных задач по бессдвиговой теории Власова;

2. Вывод уравнений динамики тонкостенных стержней в рамках полусдвиговой теории. Аналитическое исследование крутильно-деплана-ционных волн, свойств собственных частот и форм колебаний. Сравнение полученных решений с известными решениями аналогичных задач по бессдвиговой теории Власова;

3. Получение матриц жесткости и масс тонкостенных конечных элементов с использованием различных функций формы;

4. Разработка конечноэлементной программы, позволяющей решать задачи статики и динамики пространственных конструкций, состоящих из тонкостенных стержней.

Научная новизна В диссертационной работе:

1. Получены уравнения динамики тонкостенного стержня в рамках полусдвиговой теории В.И. Сливкера;

2. Построены и проанализированы дисперсионные зависимости и фазовые скорости крутильно-депланационных волн в биссиметричных тонкостенных стержнях по полусдвиговой теории Сливкера. Произведено сравнение с известным решением аналогичных задач для бессдвиговой теории Власова;

3. Получены аналитические решения ряда задач о собственных колебаниях тонкостенных стержней в рамках полусдвиговой теории, применимые для стержней замкнутого и открытого профилей. Произведено сравнение с известным решением аналогичных задач для бессдвиговой теории Власова;

4. Построена матрица жесткости конечного элемента тонкостенного стержня открытого и замкнутого профилей по полусдвиговой теории с использованием общего решения однородных уравнений равновесия;

5. Получены согласованные матрицы масс конечных элементов тонкостенного стержня открытого и замкнутого профилей по полусдвиговой теории, основанные на различных видах аппроксимаций функций перемещений. Произведено сравнение их эффективности;

6. Разработан алгоритм и программа для решения задач статики и динамики пространственных конструкций, состоящих из тонкостенных стержней открытого и (или) закрытого профилей.

Практическая значимость работы состоит в следующем:

1. Получены универсальные выражения для функции угла закручивания 9{х) и меры депланации ¡3(х), позволяющие получить решение статических задач для любых граничных условий;

2. Получены универсальные уравнения, позволяющие получить спектр собственных частот тонкостенного стержня с биссимметричным поперечным сечением для различных граничных условий;

3. Получены общие выражения для геометрических параметров — коэффициентов формы сечения тр и позволяющие вычислить их значения для профилей в виде швеллера, двутавра или прямоугольной трубы;

4. Разработаны конечные элементы тонкостенных стержней по полусдвиговой теории В.И. Сливкера, позволяющие выполнить статический и динамический расчеты пространственных стержневых конструкций, состоящих из тонкостенных стержней открытого и (или) закрытого профилей;

5. Приведенные в работе выкладки позволяют разработчикам внедрить конечный элемент, учитывающий стесненное кручение, в любой ко-нечноэлементный расчетный комплекс, при условии, что он может работать с конечными элементами, имеющими семь степеней свободы в узле.

На защиту диссертации выносятся следующие основные результаты и положения:

1. Аналитические решения для функции угла закручивания 9{х) и меры депланации ¡3{х) задач стесненного кручения в рамках полусдвиговой теории;

2. Явные формулы, позволяющие вычислить значения геометрических параметров ф и ¡i^ для тонкостенных стержней открытого, а также закрытого профилей;

3. Матрица жесткости конечного элемента, построенная с помощью общего решения однородных уравнений равновесия полусдвиговой теории тонкостенных стержней;

4. Вывод уравнений движения в рамках полусдвиговой теории, применимых для тонкостенных стержней любого профиля;

5. Построение и анализ дисперсионных кривых крутильно-депланаци-онных волн тонкостенного стержня бисимметричного профиля;

6. Матрицы масс конечных элементов тонкостенного стержня произвольного профиля, построенные с использованием различных аппроксимаций для функций перемещений.

Апробация работы Основные результаты диссертации докладывались на следующих конференциях: VII Международная конференция по проблемам прочности материалов и сооружений на транспорте, ПГУПС, Санкт-Петербург, июнь 2011 г.; XXIV международная конференция «Математи-

ческое моделирование в механике деформируемых тел и конструкций. Методы граничных и конечных элементов», СПбГАСУ, Санкт-Петербург, сентябрь 2011 г.; Семинар на кафедре строительной механики и теории упругости СПбГПУ, СПбГПУ, Санкт-Петербург, 2012 .г; Научная конференция «Строительство, архитектура, инженерная охрана окружающей среды» в рамках Политехнического молодежного фестиваля науки ФГБОУ ВПО СПбГПУ, Санкт-Петербург, май 2013; XXV международная конференция «Математическое моделирование в механике деформируемых тел и конструкций. Методы граничных и конечных элементов», СПбГАСУ, Санкт-Петербург, сентябрь 2013; XLII scientific and practical conference for students, graduate students and young scientists «Week of Science in SPbSPU», Saint-Petersburg, December 2013.

Публикации. Материалы диссертации опубликованы в 5 работах, из них 3 работы — в изданиях, входящих в Перечень ведущих рецензируемых научных журналов, утвержденный ВАК Российской Федерации.

Личный вклад автора Все представленные в диссертации результаты получены лично автором. Подготовка к публикации полученных результатов частично проводилась совместно с соавторами, причем вклад диссертанта был определяющим.

Структура и объем диссертации Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, библиографии и трех приложений. Общий объем диссертации 119 страниц, включая 32 рисунка и 9 таблиц. Библиография включает 82 наименования.

Глава 1

Исторический обзор по развитию теории расчета тонкостенных стержней.

Историю развития теории тонкостенных стержней условно можно разделить на три этапа. Первый этап (1905 - 1940 гг.) - первые экспериментальные и теоретические работы, посвященные, в основном, отклонениям от закона плоских сечений при изгибе балок. Второй этап (1940 - 1970 гг.) связан с разработкой законченной теории тонкостенных стержней с углубленным изучением неразрезных тонкостенных балок, вопросов устойчивости, а также расчетов плоских и трехмерных рам. Третий этап (1970 - по настоящее время) ознаменован появлением и активным развитием вычислительных средств и, в частности, методом конечных элементов [35].

Зарождение теории стесненного кручения тонкостенного стержня открытого профиля связано с работами С.П. Тимошенко [48, 49]. Он исследовал задачу о стесненном кручении консольной двутавровой балки, и выяснил, что для точного нахождения значения угла закручивания следует учитывать не только напряжения свободного кручения, но и напряжения изгиба в полках двутавра.

Немецкий ученый Вебер (С. Weber) [81] обобщил дифференциальное уравнение стесненного кручения, полученное Тимошенко, для стержней с иным поперечным сечением (двутавровое с разыми полками, швеллерного, зетового).

Законченную и обобщенную теорию расчета тонкостенных стержней открытого профиля при стесненном кручении разработал В.З. Власов [13, 14]. Предложенная им теория тонкостенных стержней основывается на двух гипотезах:

1. Тонкостенный стержень открытого профиля рассматривается в виде оболочки с недеформируемым в поперечной плоскости профилем;

2. Деформация сдвига в срединной плоскости профиля равна нулю.

Для ряда геометрических и силовых факторов Власовым были введены новые термины. Власовым получены общие дифференциальные уравнения деформирования тонкостенного стержня под нагрузкой, а также выявлено, что принцип Сен-Венана [41] о быстром затухании по длине стержня местных напряжений от уравновешенной внешней нагрузки практически не действует. A.B. Александров с помощью точного решения теории упругости, полученного с использованием тригонометрических рядов, проверил теорию Власова в работе [2].

В то время как Власов рассматривал тонкостенные стержни только открытого профиля, A.A. Уманский разработал теорию [54, 55] расчета тонкостенных стержней замкнутого профиля. Здесь уместно упомянуть об P.A. Ададурове, который сделал попытку разработать общий подход к расчету тонкостенных стержней, опираясь на минимальный набор гипотез, что дало в результате громоздкую разрешающую интегро-дифференциаль-ную систему уравнений [1]. Именно поэтому ее чаще всего не рассматривают как прикладную. Кроме того попытка объединить бессдвиговую теорию Власова с полусдвиговой теорией Уманского предпринял О.В. Лужин [29, 30]. Однако его теория не обладает безукоризненным логическим обоснованием, чего может быть достаточно для отказа от нее.

Дальнейшее развитие теория тонкостенных стержней получила с началом применения классических методов строительной механики (метод сил и метод перемещений) к расчету плоско-пространственных и пространственных стержневых систем и рам. Особенно следует отметить работы Д.В. Бычкова [8-12], работы Б.Н. Горбунова и А.И. Стрельбиц-кой [16, 45, 46],а также работу A.A. Захарова [25].

Благодаря появлению и развитию средств вычислительной техники стали появляться работы по расчету строительных конструкций с использованием матричных методов вычислений. Одной из первых публикаций, посвященной расчету тонкостенного стержня с применением метода конечных элементов, можно считать работу Р. Барсума и Р. Галлагера [60]. В ней рассматривалось решение задачи об устойчивости плоской формы равновесия тонкостенного стержня открытого профиля при чистом изгибе [35].

Нельзя не упомянуть JI.A. Розина, чья деятельность была направлена на развитие и популяризацию метода конечных элементов, ставшего в наши дни основным методом современной строительной механики [38, 47]. Основы МКЭ и его приложения к расчету различных конструкций поднимаются в книгах: Пшеминецкого [77], О. Зенкевича [26], В.А. Постнова [36, 37], Р. Галлагера [66], R. Kindmann [72] и др.

Большой вклад в развитие теории тонкостенных конечных элементов внес А.Р. Туснин [50-53], разработавший тонкостенный стержневой конечный элемент (ТКЭ), способный учитывать не только чистое, но и стесненное кручение за счет того, что ТКЭ обладает 14-ю степенями свободы.

Как уже упоминалось, в теории тонкостенных стержней, разработанной В.З. Власовым, в качестве одного из основополагающих постулатов выступает гипотеза об отсутствии сдвигов в срединной поверхности тонкостенного стержня. В процессе развития этой теории неоднократно возникали различного рода предложения по ее модификации и учитывающие тем или иным способом влияние деформаций сдвига на работу тонкостенного стержня. В качестве примера уместно сослаться на публикации P.A. Ададурова [1], Г.Ю. Джанилидзе и Я.Г. Пановко [18], В.Б. Мещерякова [31-33] и т.д.

Следуя в русле общей идеи Сливкер В.И. [43] попытался учесть влияние деформаций сдвига, включив в выражение для энергии деформации тонкостенного стержня ту ее часть, которая вызвана работой касательных напряжений. По существу эта идея является переносом на теорию тонкостенных стержней соответствующей процедуры, использованной при переходе от теории балок Бернулли-Эйлера к теории балок Тимошенко. Но главной заслугой Сливкера в теории тонкостенных стержней является разработка им полусдвиговой теории. В ней он предлагает представить касательные напряжения как сумму двух слагаемых: касательных напряжений изгиба, порожденных поперечными силами Qz и Qy и касательными напряжениями кручения, вызываемыми моментом стесненного кручения Мш. Далее предлагается пренебречь касательными напряжениями изгиба, отнеся их в разряд второстепенных, в то же время сохранив касательные напря-

жения кручения. Данная теория обладает рядом преимуществ. Во-первых, она позволяет частично учесть деформации сдвига и при этом оказывается значительно проще, по сравнению со сдвиговой. Во-вторых, данная теория является универсальной для расчета как тонкостенных стержней открытого профиля (на основе теории В.З. Власова), так и закрытого профиля (на основе теории A.A. Уманского) ввиду схожести соответствующих дифференциальных уравнений кручения и функционалов энергий деформации.

Как правило тонкостенные стержни работают не одиночно, а в составе плоских или пространственных систем. Поскольку сейчас основным методом расчета механических конструкций стал метод конечных элементов, то логичным видится его применение и для расчета систем, содержащих тонкостенные стержни. В связи с этим, по-видимому, основные проблемы расчета стержневых тонкостенных систем методом конечных элементов:

1. построение матрицы жесткости и матрицы масс конечного элемента;

2. корректное включение матриц алгоритм работы конечно-элементной программы.

Из-за этого и в настоящее время не ослабевает поток работ по данной тематике [63-65, 67, 68, 70, 75].

В работе А.У. Богдановича [7] предлагается использовать холодно-гнутые тонкостенные стержни, имеющие переменную по длине стержня форму сечения для изготовления решетчатых ферм, прогонов и других конструкций. В работе приводятся уравнения, позволяющие решать задачу прочности и устойчивости тонкостенных стержней непрерывно-переменного сечения.

В работе A.B. Синелыцикова [42] предлагается математическая модель пространственного тонкостенного стержневого конечного элемента с переменным сечением. Получаемая автором матрица жесткости имеет размерность 14 х 14, при этом седьмой степенью свободы в узле выступает первая производная от угла закручивания, что свидетельствует о том, что деформация сдвига не учитывается.

В работе А.Е. Гвоздева [15] на основе статических уравнений равновесия тонкостенного стержня показано, что положение центров изгиба и

кручения в поперечных сечениях зависит от продольной координаты. Эта зависимость для них различна, поскольку выражается через неодинаковые специальные геометрические характеристики.

В работе И.Ф. Дьякова [19] рассмотрена конечно-элементная модель оболочки, укрепленной тонкостенными стержнями. Описано влияние де-планации сечения стержня при его кручении на напряженное-деформированное состояние конструкции в целом в результате переноса узловых перемещений стержня к узлам оболочки. Приведены необходимые преобразования матрицы жесткости стержня и сравнение результатов расчета с экспериментальными данными.

В работах С.А. Чернова [56, 57] рассмотрена пространственная конечно-элементная модель узла соединения тонкостенных стержней. Для моделирования узлов предложено использовать элементы оболочки, а вне узла — тонкостенные стержневые элементы. Кроме того рассмотрена матричная форма способа интегрирования произвольных эпюр. Предложен и реализован алгоритм вычисления геометрических характеристик произвольного тонкостенного сечения как открытого, так и одноконтурного закрытого профиля.

В работе В.П. Юзикова [59] предложена методика учета сдвига срединной поверхности при расчете тонкостенных стержней открытого профиля. Получены дифференциальные уравнения изгиба и кручения, а также матрица жесткости.

Кроме того стоит отметить работы A.B. Осокина [3, 4, 35], М.А. Гур-ковой [17] ,Е.В. Чефановой [34, 58] и В.А. Рыбакова [39, 40]. В работе Осокина автор касается вопросов построения матриц жесткости, геометрической жесткости, а также матрицы согласованных масс. С помощью полученных матриц решается ряд задач статики, устойчивости и определения спектра собственных частот. В работе Гурковой автор разработал методику автоматического определения геометрических характеристик тонкостенного стержня, а также производит расчет тонкостенного стержня замкнутого профиля с использованием принципа Кастильяно. В работе Чефановой выводятся динамические уравнения тонкостенного стержня и приводится рас-

чет на действие ударных нагрузок. В работах Рыбакова впервые были рассмотрены вопросы, касающиеся полусдвиговой теории Сливкера. Автором были получены матрицы жесткости с использованием различных функций форм, получены аналитические решения для функций угла закручивания и меры депланации для ряда граничных условий.

Из англоязычных публикаций стоит отметить работу М. Nedelcu [76], в которой автор рассматривает равновесие тонкостенного стержня с неде-формируемым и деформируемым поперечным сечением, а также касается вопросов устойчивости. В работе К. Saade [78] проводится систематизация теорий тонкостенных стержней, а также используется метод конечных элементов для решения различных задач, в том числе связанных с кручением. Kuo Mo Hsiao [69] вместе с соавторами исследует вопросы колебаний нелинейно деформируемых тонкостенных стержней.

В работе [79] рассмотрено применение неоднородных рациональных сплайновых кривых для оптимизации формы поперечного сечения тонкостенных балок. В качестве переменных оптимального проектирования выступают параметры таких кривых и толщина стенок балок.

Большое внимание исследователями уделяется вопросам потери устойчивости тонкостенных стержней [62, 71, 82, 83]. В работах D. Camotim и С. Basaglia [61] рассматриваются вопросы общей и местной потери устойчивости тонкостенных стальных элементов и пространственных систем. Описаны современные теории, разработанные для оценки возможности потери устойчивости элементов рам и ферм с разными видами загружений и опор. Е. Magnucka-Blandzi вместе с соавторами проводит численные и экспериментальные исследования проблем устойчивости холодно-гнутых тонкостенных балок при чистом изгибе [74]. Проводится численный анализ местной и общей устойчивости с помощью метода конечных полос. Для изучения вопроса потери местной устойчивости авторами проводятся экспериментальные исследования, которые сравниваются с численными результатами. Исследовательская группа во главе с P. Leach опубликовала результаты исследования перфорированных стальных колонн [73]. Ученые исследовали потерю устойчивости колонн, используя для вычисления кри-

тической нагрузки МКЭ.

Zhao Qiang Wang [80] проводит анализ стесненного кручения тонкостенных балок открытого профиля. Автор разрабатывает конечный элемент основываясь на теории первого порядка. Согласно этой теории, полный угол поворота поперечного сечения стержня можно представить в виде суммы двух составляющих: свободное кручение депланации и стесненное кручение сдвига. Автор делает гипотезу, что в отличие от теории Власова, внутренние силовые факторы должны зависеть от свободного кручения депланации, а не от полного кручения.

Глава 2

Статика тонкостенных стержней открытого и замкнутого профиля с учетом деформации сдвига при кручении

В механике деформируемого твердого тела для расчета конструкций применяются расчетные схемы — реальный объект, освобожденный от несущественных особенностей. В дополнение к широко известным схемам стержня или оболочки следует добавить промежуточную схему тонкостенного стержня. Для тонкостенного стержня характерно существенное различие всех трех характерных размеров: толщина стержня Ь много меньше протяженности профиля поперечного сечения я, которая, в свою очередь, много меньше длины стержня Ь.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Дьяков, Станислав Федорович, 2013 год

Литература

[1] Ададуров, Р. А. Определение касательных напряжений в тонкостенных конструкциях вблизи заделки / Р. А. Ададуров // Труды ЦА-ГИ,- 1947. - Т. 614,- С. 12.

[2] Александров, А. В. Исследование работы тонкостенных стержней при действии продольных сосредоточенных сил / А. В. Александров // Исследования по теории сооружений. — 1967. — Т. 15.

[3] Александров, А. В. Разработка матриц упругой и геометрической жесткости тонкостенного стержня открытого профиля при изгибе и стесненном кручении / А. В. Александров, А. В. Осокин // Вестник МИИТа. - 2006. - Т. 15. - С. 50-58.

[4] Александров, А. В. Развитие метода конечных элементов для систем тонкостенных прямолинейных и криволинейных стержней / А. В. Александров, А. В. Осокин, А. А. Александров // Вестник МИИТа. - 2007. - Т. 11. - С. 40-47.

[5] Артоболевский, И. И. Введение в акустическую динамику машин / И. И. Артоболевский, Ю. И. Бобровницкий, М. Д. Генкин. — М.: Наука, 1979. - 296 с.

[6] Бейлин, Е. А. Элементы теории кручения тонкостенных стержней произвольного профиля / Е. А. Бейлин. — СПб.: СПбГАСУ, 2003. — 113 с.

[7] Богданович, А. У. Уравнения сжатия тонкостенных стержней непрерывного-переменного сечения / А. У. Богданович // Изв. вузов. Строительство. - 2002. - Т. 6. - С. 12-18.

[8] Бычков, Д. В. Совместное действие изгиба и кручения в металлических балках / Д. В. Бычков. — М.: Стройиздат, 1940. — 134 с.

[9] Бычков, Д. В. Расчет балочных и рамных стержневых систем их

тонкостенных элементов / Д. В. Бычков. — М.: Стройиздат, 1948. — 208 с.

[10] Бычков, Д. В. Строительная механика стержневых тонкостенных конструкций / Д. В. Бычков. — М.: Стройиздат, 1962. — 476 с.

[11] Бычков, Д. В. Испытание металлической балки П-образного сечения / Д. В. Бычков, А. К. Мрощинский. — М., 1944. — 154 с.

[12] Бычков, Д. В. Кручение металлических балок / Д. В. Бычков, А. К. Мрощинский. — М., 1944. — 260 с.

[13] Власов, В. 3. Тонкостенные упругие стержни / В. 3. Власов. — М.: Физматлит, 1959. — 568 с.

[14] Власов, В. 3. Избранные труды / В. 3. Власов, — М.: Наука, 1964. — 955 с.

[15] Гвоздев, А. Е. Влияние деформаций сдвига на положение центров изгиба и кручения в сечениях тонкостенных стержней / А. Е. Гвоздев, В. Б. Мещеряков // Вестник МИИТа. - 2008. - Т. 18. - С. 97-106.

[16] Горбунов, Б. Н. Теория рам из тонкостенных стержней / Б. Н. Горбунов, А. И. Стрельбицкая. — М.: Гостехиздат, 1948. — 198 с.

[17] Гуркова, М. А. Кручение тонкостенного стержня открытого и замкнутого профиля и автоматизация процесса расчета: Дис... канд. техн. наук. - М„ 2000. - 168 с.

[18] Джанилидзе, Г. Ю. Статика упругих тонкостенных стержней / Г. Ю. Джанилидзе, Я. Г. Пановко. — М.: Гостехиздат, 1948. — 208 с.

[19] Дьяков, И. Ф. К расчету оболочки, укрепленной тонкостенными стержнями / И. Ф. Дьяков, С. А. Чернов // Автоматизация и современные технологии. — 2008. — Т. 1. — С. 16-20.

[20] Ерофеев, В. И. Изгибно-крутильные, продольно-изгибные и продольно-крутильные волны в стержнях / В. И. Ерофеев // Вестник научно-технического развития. — 2012. — Т. 5. — С. 3-18.

[21] Ерофеев, В. И. Интенсивные продольно-крутильные волны в стержне / В. И. Ерофеев, А. С. Зинченко, В. В. Кажаев // Проблемы машиностроения и надежности машин. — 2011. — Т. 6. — С. 24-27.

[22] Ерофеев, В. И. Интенсивные изгибно-крутильные волны в упругом стержне / В. И. Ерофеев, В. В. Кажаев, О. И. Орехова // Проблемы машиностроения и надежности машин. — 2012. — Т. 1. — С. 11-15.

[23] Ерофеев, В. И. Волны в стержнях. Дисперсия. Диссипация. Нелинейность / В. И. Ерофеев, В. В. Кажаев, Н. П. Семерикова. — М.: Физматлит, 2002. - 208 с.

[24] Ерофеев, В. И. Дисперсия изгибно-крутильной волны, распространяющейся в балке / В. И. Ерофеев, О. И. Орехова // Приволжский научный журнал. - 2011. - Т. 2-3. - С. 7-15; 20-26.

[25] Захаров, А. А. Моделирование связей тонкостенного стержня в рамных конструкциях / А. А. Захаров // Строительная механика и засчет сооружений. - 1982. - Т. 5. - С. 26-29.

[26] Зенкевич, О. Метод конечных элементов в технике / О. Зенкевич. — М.: Мир, 1975. - 541 с.

[27] Ильин, В. П. Численные методы решения задач строительной механики / В. П. Ильин, В. В. Карпов, А. М. Масленников. — Минск: Высшая школа, 1990. — 351 с.

[28] Карякин, Н. И. Основы расчета тонкостенных конструкций / Н. И. Карякин. — М.: Высшая Школа, 1960. — 239 с.

[29] Лужин, О. В. Об одной аналогии в теориях стесненного кручения тонкостенных стержней / О. В. Лужин // Строительная механика и расчет сооружений. — 1960. — Т. 4. — С. 13-14.

[30] Лужин, О. В. Кручение тонкостенных стержней комбинированного поперечного сечения / О. В. Лужин // Проблемы расчета пространственных конструкций. Моск. Инж.-строит. Ин-т. — 1980. — С. 79-89.

[31] Мещеряков, В. Б. Общие уравнения теории тонкостенных стержней открытого профиля с учтом сдвигов / В. Б. Мещеряков // Труды МИИТа. - 1968. - Т. 260. - С. 82-93.

[32] Мещеряков, В. Б. Изгибно-крутильные колебания и динамическая устойчивость тонкостенных стержней открытого профиля с учетом сдвигов / В. Б. Мещеряков // Труды МИИТа.— 1970,— Т. 311.— С. 75-81.

[33] Мещеряков, В. Б. Геометрические характеристики прокатных профилей, необходимые для учета дефомаций сдвига / В. Б. Мещеряков // Вестник МИИТа. - 2006. - Т. 15. - С. 64-69.

[34] Мещеряков, В. Б. Динамика тонкостенных стержней открытого профиля / В. Б. Мещеряков, Е. В. Чефанова // Вестник МИИТа. — 2000,- Т. 3,- С. 123-130.

[35] Осокин, А. В. Развитие метода конечных элементов для расчета систем, включающих тонкостенные стержни открытого профиля: Дис... канд. техн. наук. — М., 2010. — 134 с.

[36] Постнов, В. А. Численные методы расчета судовых конструкций / В. А. Постнов. — Л.: Судостроение, 1977. — 245 с.

[37] Постнов, В. А. Метод конечных элементов в расчетах судовых конструкций / В. А. Постнов, И. Я. Хархурим. — Л.: Судостроение,

- 1974. - 287 с.

[38] Розин, Л. А. Расчет гидротехнических сооружений на ЭЦВМ. Метод конечных элементов / Л. А. Розин. — Л.: Энергия, 1971. — 126 с.

[39] Рыбаков, В. А. Конечные элементы для расчета ограждающих конструкций из тонкостенных профилей / В. А. Рыбаков, В. В. Лалин // Инженерно-строительный журнал. — 2011. — Т. 8. — С. 69-80.

[40] Рыбаков, В. А. Исследование конечных элементов для расчета тонкостенных стержневых систем / В. А. Рыбаков, В. В. Лалин // Инженерно-строительный журнал. — 2012. — Т. 1. — С. 53-73.

[41] Сен-Венан, Б. Мемуар о кручении призм / Б. Сен-Венан. — М.: Государственное издательство физико-математической литературы, 1961.-519 с.

[42] Синелыциков, А. В. Математическая модель тонкостенного стержневого конечного элемента с прямолинейной осью и переменным сечением / А. В. Синелыциков, В. П. Юзиков // Промышленное и гражданское строительство. — 2007. — Т. 9. — С. 19-21.

[43] Сливкер, В. И. Строительная механика. Вариационные основы / В. И. Сливкер. — М.: Издательство Ассоциации строительных вузов, 2005. - 736 с.

[44] Современные технологии расчета и проектирования металлических и деревянных конструкций / М. С. Барабаш, М. В. Лазнюк, М. Л. Мартынова, Н. И. Пресняков. - М.: Изд-во АСВ, 2008. - 328 с.

[45] Стрельбицкая, А. И. Теория рам из тонкостенных стержней / А. И. Стрельбицкая. — Киев: Наукова думка, 1964. — 254 с.

[46] Стрельбицкая, А. И. Экспериментальное исследование упруго-пластической работы тонкостенных конструкций / А. И. Стрельбицкая. — Киев: Наукова думка, 1968. — 182 с.

[47] Стрельбицкая, А. И. Стержневые системы как системы конечных еле-ментов / А. И. Стрельбицкая. — Л.: Изд. ленингр. университета, 1976.- 231 с.

[48] Тимошенко, С. П. Об устойчивости плоской формы изгиба двутавровой балки / С. П. Тимошенко // Изв. С.-Петербурского политех, института. — 1905-1906. — Т. 4-5. — С. вып. 3-4 вып 1-4.

[49] Тимошенко, С. П. Об устойчивости упругих систем / С. П. Тимошенко // Изв. Киевского политех, института. — 1910. — Т. 4. — С. 182.

[50] Туснин, А. Р. Матрица жесткости тонкостенного стержня с несовпадением центров тяжести и изгиба / А. Р. Туснин // Монтажные и специальные работы в строительстве. — 2003. — Т. 4. — С. 12-13.

[51] Туснин, А. Р. — Расчет и проектирование конструкций из тонкостенных стержней открытого профиля. — Дис... докт. техн. наук, М., 2003.

[52] Туснин, А. Р. Тонкостенный конечный элемент для расчета стержневых конструкций / А. Р. Туснин // Монтажные и специальные работы в строительстве. — 2003. — Т. 3. — С. 2-4.

[53] Туснин, А. Р. Точность расчета тонкостенного стержня открытого профиля методом конечных элементов / А. Р. Туснин // Промышленное и гражданское строительство. — 2003. — Т. 6. — С. 59-60.

[54] Уманский, А. А. Кручение и изгиб тонкостенных авиаконструкций / А. А. Уманский. — М.: Оборонгиз, 1939. — 112 с.

[55] Уманский, А. А. Расчет тонкостенных криволинейных балок / А. А. Уманский // Труды научно-технической конференции ВВА им. Н.Е.Жуковского. - 1944. - Т. 2 вып.2. - С. 35-48.

[56] Чернов, С. А. Автоматизация вычисления геометрических характеристик тонкостенного сечения / С. А. Чернов // Автоматизация и современные технологии. — 2011. — Т. 8. — С. 10-13.

[57] Чернов, С. А. К расчету пространственной тонкостенной стержневой системы / С. А. Чернов, И. Ф. Дьяков // Автоматизация и современные технологии. — 2008. — Т. 2. — С. 3-6.

[58] Чефанова, Е. В. Динамика тонкостенных стержней при действии ударных нагрузок: Дис... канд. техн. наук. — М., 2004. — 129 с.

[59] Юзиков, В. П. Расчет тонкостенных стержней открытого профиля с учетом сдвига срединной поверхности / В. П. Юзиков, О. Б. Завьялова //. Изв. вузов. Строительство. — 2011. — Т. 1. — С. 108-114.

[60] Barsoum, R. Finite element analysis of torsional and lateral stability problems. / R. Barsoum, R. Gallagher // Int. J. Num. Meth. Eng. — 1970. - T. Volume 2. Issue 3. - C. 335-352.

[61] Camotim, D. Buckling analysis of thin-walled steel structures using generalized beam theory: state-of-the-art report / D. Camotim, C. Basaglia // Steel Construction. - 2013. - T. 6. - C. 117-131.

[62] Dubina, D. Design of Cold-formed Steel Structures / D. Dubina, V. Ungureanu, R. Landolfo. — Weinheim: Wiley-VCH Verlag GmbH, 2010.- 654 c.

[63] Finite element analysis of cold-formed steel connections / A. Bayan, S. Sariffuddin, H. Mohd, A. Yusof // International journal of engineering. — 2011. — T. 5. — C. 55-61.

[64] The finite element analysis of overall stability of high-frequency welded h-section steel beam / W. Liu, J. P. Wang, Y. S. Li, J. M. Shen // Advanced Materials Research. - 2013. - T. 671 - 674. - C. 810-814.

[65] Finite element analysis on frame structure of light steel temporary buildings / Z. Zhang, X. F. Cai, Y. C. Ma, J. Z. Zhou // Applied Mechanics and Materials. - 2013. - T. 351 - 352. - C. 808-811.

—[66] Gallagher, R. H. Finite element analysis. Fundamentals / R. H. Gallagher. — New Jersey: Prentice-hall, 1975. — 428 c.

[67] Gawlowski, S. Thin-walled beam with open cross-sections as a timoshenko bar / S. Gawlowski, S. Piechnik // Journal of theoretical and applied mechanics. - 2001. - T. 39. - C. 269-281.

[68] Guo, Y. J. Study on mechanical behavior of floor beams in the high-strength cold-formed steel framing system / Y. J. Guo, D. W. Zeng, Y. Z. Chen // Applied Mechanics and Materials. - 2011. - T. 71 - 78. -C. 3489-3494.

[69] Hsiao, K. M. Geometrically nonlinear dynamic analysis of thin-walled beams / K. M. Hsiao, Y. L. Wen, R. H. Chen // Proceeding of the world congress on engineering. — 2009. — T. II.

[70] Ioannidis, G. Stability analysis of bars with asymmetric open thin walled cross-sections under eccentric axial thrust / G. Ioannidis, J. Ermopoulos, A. Kounadis // Facta Universitatis. - 1999. - T. 2. - C. 865-876.

[71] Karmazinova, M. Thin-walled cold-formed steel beams with holes in lateral flexural-torsional buckling / M. Karmazinova, J. Melcher, M. Horacek // Advanced Materials Research.- 2013,- T. 743,-C. 170-175.

[72] Kindmann, R. Steel Structures: Design using FEM / R. Kindmann, M. Kraus. — Berlin: Ernst and Sohn Verlag fur Architektur, 2011. — 552 c.

[73] Leach, P. Axial capacity of perforated steel columns / P. Leach, L. Weekes // Steel Construction. - 2013. - T. 6. - C. 144-149.

[74] Magnucka-Blandzi, E. Buckling study of thin-walled channel beams with double-box flanges in pure bending / E. Magnucka-Blandzi, P. Paczos, P. Wasilewicz // Strain. - 2012. - T. 48. - C. 317-325.

[75] Minghini, F. Locking-free finite elements for shear deformable orthotropic thin-walled beams / F. Minghini, N. Tullin, F. Laudiero // International journal for numerical methods in engineering. — 2007. — T. 72. - C. 808-834.

[76] Nedelcu, M. Stability aspects for metallic structures: Ph. d. thesis. — 2009.

[77] Przeminiecki, J. Theory of matrix structural analysis / J. Przeminiecki. — New York: McGrawhill Book, 1968.

[78] Saade, K. Finite Element Modeling of Shear in Thin Walled Beams: Ph. d. thesis. - 2005.

[79] Shape design for thin-walled beam cross sections using rational b splines / U. Schramm, W. D. Pilkey, R. I. De Vries, Z. M. P. // AIAA journal. - 1995. - T. 11. - C. 205-211.

[80] Wang, Z. Q. A new torsion element of thin-walled beams including shear deformation / Z. Q. Wang, J. C. Zhao, J. H. Gong // Applied Mechanics and Materials. - 2011. - T. 94-96. - C. 1642-1645.

[81] Weber, C. Übertragung des drehmoments in balken mit doppelflanschigem querschnitt / C. Weber // Z.Fur angew. Math. Und Mech. - 1926. - T. 6. - C. 85-97.

[82] Yu, W.-W. Cold-Formed Steel Design / W.-W. Yu, R. A. LaBoube. -NJ, USA: John Wiley and Sons, 2010. - 528 c.

[83] Ziemian, R. D. Guide to Stability Design Criteria for Metal Structures / R. D. Ziemian. - NJ, USA: John Wiley and Sons, 2010. - 1024 c.

Список иллюстраций

2.1 Перемещения узлов и внутренние усилия пространственного тонкостенного стержня............................................19

2.2 Определение секториальной площади со.............28

2.3 Геометрические параметры стержня..............................29

2.4 Эпюры секториальных площадей.................29

2.5 Эпюра а, эпюра ш..................................................31

2.6 Эпюры статического секториального момента отсеченной части сечения ......................................................33

2.7 Поперечное сечение стержня...................45

2.8 Функция меры депланации /3(х).................46

2.9 Функция угла закручивания 9(х) ................46

2.10 Функция меры депланации /3(х).................47

2.11 Функция угла закручивания в(х) ................47

2.12 Зависимость значения коэффициента ф от безразмерных параметров XI и хг• (а) Двутавр; (б) Швеллер;..........49

2.13 График зависимости е и от геометрических размеров сечения двутавра...........................53

2.14 График зависимости е и от геометрических размеров сечения швеллера ....................................................53

3.1 Поперечное сечение стержня...................64

3.2 Зависимость и и г>ф от волнового числа р по теории Тимошенко 64

3.3 Зависимость ш и ^ от волнового числа р по теории Власова . 66

3.4 Зависимость и и г>ф от волнового числа р по теории Сливкера

(1-я ветвь)..............................69

3.5 Зависимость и и г>ф от волнового числа р по теории Сливкера

(2-я ветвь) .............................69

3.6 Собственные формы из акустической ветви......................87

3.7 Собственные формы из оптической ветви........................88

4.1 План первого блока третьей очереди производственного корпуса. Фрагмент плана в осях 1-4 и АЗ-ГЗ............95

4.2 Сечение первого блока третьей очереди производственного корпуса. Разрез в осях 1-4 ....................96

4.3 Расчетная схема.......................... 97

4.4 Суммарные деформации расчетной модели...........101

4.5 Эпюра внутренних усилий от статической нагрузки, А/", Н . . 101

4.6 Эпюра внутренних усилий Мх и Му от статической нагрузки 102

4.7 Эпюра внутренних усилий М2 и В от статической нагрузки . 102

4.8 Собственные формы колебаний..................104

4.9 Эпюра внутренних усилий N и Му от суммарной нагрузки . . 106

4.10 Эпюра внутренних усилий Мг и В от суммарной нагрузки . . 106

4.11 Расчетные точки поперечного сечения..............107

Список таблиц

2.1 Дифференциальное уравнение кручения ............20

2.2 Частные решения уравнения кручения стержня для различных вариантов закрепления и загружения ......................23

2.3 Максимальные значения перемещений .............50

3.1 Частотные уравнения для различных вариантов закрепления стержня..............................................................73

3.2 Собственные частоты тонкостенного стержня.........84

3.3 Значение \±, для определения собственных депланационных частот................................90

4.1 Нагрузки от собственного веса покрытия............ 98

4.2 Первые шесть собственных частот колебаний.........105

4.3 Сопоставление напряжений....................108

Приложение А Выражения для матриц А\ - и А

Все матрицы приведенные в этом разделе диагонально симметричны.

41

-А* -

"13 —

А1

"33 "31

О О О

о о

о о

1 к3ф2(2к1+5Ъ(2Ы)) 1 к2тр (—1+сЬ(2 Ы))

1 fc(-2fcг+sh(2 А:р) д

2П2

О

А* -"21 ~

-А1

"23

_ АI

"32

д д 1 к2ф{2к1+ъЪ(2Ы)) 1 /с(—1+сЬ(2 Ы)) д

о —2 о уп2

277Л

0 1 к2ф (—1+сЬ(2 Ы)) 1 к{-2Ы+вЪ{2Ы)) д

гп

О

о о

44

-А1

"34 —

Аь

"41

_ Л^

"43

О о о

о о

о о

о о

1 к2ф{-\+сЪ{2к1)) 1 к{-2Ы+ъЪ(2к1)) 1 к2ф{2кШЦ2к1))

гп*

О

1 к(-1+сЦ2Ы))

О

(А.1)

(А.2)

(А.З)

1 k{2kl+sh{2kl)) 1 /г(—l+ch(2 kl))

zn*

1 k{-2kl+sh(2kl))

zn*

A1 -

■"■22 —

ООО ООО ООО

о о о

(А.4)

А*

"24

А1

л42

о о о

1 fc(—l+ch(2 kl)) n 1 k(2kl+sh{2kl))

о __2 vJ о __2

zn*

1 k{-2kl+sh(2kl))

0

o ¿ 0 0

1 fc(—l+ch(2 kl))

0 0 0

(A.5)

At -

"44

0 0 0

0 0

0 0

0 0

1 k(—2 fc¿+sh(2 kl)) n 1 l+ch(2 kl)) ,2 U 4

zn'

о 0

1 k(2 fc/+sh(2 kl))

(A.6)

âw

- Aw —

— Aw "31

AW

^33

0 0 0

0 0

1 ф k{-2 kl+sh(2 kl))

0 0

1 3-4 ch(fcQ+ch(2 kl) 4 zn2

1 4 ф kl+sh(2 kiy+2 kl-8 sh{kl) q 4 V kzn2

(A.7)

О О

1 -2kl+sh(2kl) 1 3-4 ch(fcQ+ch(2 kl)

AW

"12

Aw — "21 —

— Aw "23

_4»

"32

0

zn'

ф kzn2

0

1 ch(2 kl)—l

ch(fcQ-l

rn 2

1 2 fc¿+sh(2 kl)—A sh(kl) n

8 ф bn2

1 —V) kl+sh(kl)

2 ф fc-zw2

0

(A.8)

Aw —

"14 —

Aw

41

_

"34

_Aw

"43

0 0 0

0

0

1 ch(2fc¿)+3-4 ch(fcZ)

zn*

0 0

1 4 ф kl+sh(2 fcQ-8 sh(fcQ+2 kl 8 ф kzn2

0

0 0

1 -2kl+sh{2kl) 8 zn2

1 ch(2 fc/)+3—4 chjkl) 8 ф kzn2

0

(A.9)

1 -2kl+sh(2kl) 1 —l+ch(2 kl) ch(fc/)-l

ф kzn2

ф kzn2

ф kzn2

Aw — 22 —

0 0

1 2kl+sh(2kl) sh (kl) q q 4 ф kzn2 ф kzn2

Л oo

zn¿

о о о

(А.10)

О О О

_1 ch(2 kl)+3-4 ch(A:l) 8 ф kzn2

1 sh(2 kl)+2 kl—4 sh(kl) 8 V" fczn2

-•0 fc¿+sh(fcQ fczn2

O i

o

1 -2fc¿+sh(2fcQ ф kzn2

0 i

o

-l+ch(2fc¿) ф kzn2

1 ch(fc¿)-l

2 ?/> kzn2

O

o

(A.11)

О О О

О О

О О

О О

AW

"44

1 4 ф kl+sh(2 kl)-8 sh(fc¿)+2 kl q l - ch(2 ta)-3+4 ch(kl) 4 ф kzn2 4 ф kzn2

0 0

1 -2 fc/+sh(2 kl) 4 ф kzn2

(A.12)