Применение обобщённых уравнений метода конечных разностей к расчету оболочек тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.23.17, кандидат наук Нгуен Хоанг Ань

• Нгуен Хоанг Ань
• кандидат наук
• 2015

Оглавление диссертации кандидат наук Нгуен Хоанг Ань

Оглавление

Введение

Глава 1: Обзор литературы по расчету оболочек и численным методам

1.1. Обзор литературы по расчету оболочек на статические нагрузки

1.2. Метод конечных элементов

1.3. Метод последовательных аппроксимаций

1.4. Обобщённые уравнения метода конечных разностей ( МКР)

Глава 2: Расчет пологих оболочек

2.1. Разрешающие дифференциальные уравнения пологих оболочек

2.2. Переход к безразмерным величинам

2.3. Аппроксимация системы дифференциальных уравнений обобщёнными уравнениями МКР

2.4. Учет краевых условий

2.4.1. Краевые условия пологой оболочки

2.4.2. Приведение краевых условий пологой оболочки к безразмерному виду

2.4.4. Аппроксимация краевых условий

2.5. Алгоритм расчета и составление программы для ЭВМ

2.6. Примеры расчета пологих оболочек

2.6.1. Пологая оболочка под действием равномерно распределенной нагрузки по всей поверхности

2.6.1.1. Шарнирно-подвижная опора по всему контуру

2.6.1.2. Жестко заделанная по контуру оболочка

2.6.1.3. Задача расчета пологих тонких оболочек со смешанными краевыми условиями

2.6.1.4. Расчет пологой оболочки; шарнирно-неподвижно опирание в четырех углах

2.6.2. Расчет пологих оболочек, загруженных локальной нагрузкой

2.6.3. Расчет пологих оболочек, загруженных полосовой нагрузкой

2.6.4. Выводы по главе 2

Глава 3. Расчет цилиндрических оболочек

3.1. Разрешающие дифференциальные уравнения круговых цилиндрических оболочек в безразмерных величинах

3.2. Аппроксимация системы дифференциальных уравнений обобщёнными уравнениями МКР

3.2.1. Цилиндрическая оболочка в общем случае деформации

3.3. Краевые условия

3.3.1. Приведение краевых условий цилиндрической оболочки к безразмерному виду

3.3.2. Аппроксимация краевых условий обобщёнными уравнениями МКР для общего случая деформации

3.3.3. Аппроксимация краевых условий обобщёнными уравнениям МКР для осесимметричной деформации

3.4. Алгоритм расчета, программа для ЭВМ

3.4.1. Преобразование уравнений к разрешенному виду для регулярных точек

3.4.2. Преобразование уравнений к разрешенному виду для краевых точек

3.4.3. Вычисление производных для определения внутренний усилий

3.5. Пример расчета цилиндрической оболочки

3.6. Проверка решения - переход к осесимметричной задаче

3.7. Выводы по главе 3

Глава 4. Расчет сферических оболочек

4.1. Разрешающие дифференциальные уравнения сферических оболочек в безразмерных величинах

4.2. Аппроксимация системы дифференциальных уравнений обобщёнными уравнениями МКР

4.3. Учет краевых условий

4.3.1. Краевые условия сферической оболочки

4.3.2. Приведение краевых условий сферической оболочки к безразмерному виду

4.3.3. Аппроксимация краевых условий сферической оболочки для общего случая деформации

4.3.4. Аппроксимация краевых условий сферической оболочки для осесимметричных задач

4.4. Алгоритм расчета и составление программы для ЭВМ

4.4.1. Преобразование уравнений к разрешённому виду для регулярных точек

4.4.2. Преобразование уравнений к разрешённому виду для краевых точек

4.4.3. Вычисление необходимых производных для определении внутренний усилий

4.5. Примеры расчета сферических оболочек

4.5.1. Расчет сферической оболочки под действием циклической нагрузки

4.5.2. Проверка решения - переход к осесимметричиой задаче

4.5.3. Расчет сферической оболочки под действием распределенной нагрузки

4.6. Выводы по главе 4

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Список литературы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Применение обобщённых уравнений метода конечных разностей к расчету оболочек»

Введение

Актуальность темы диссертации.

Для инженерных проектов Вьетнама с учетом его климатических условий актуальным является создание способов расчета пологих, цилиндрических, сферических оболочек для нетрудной и верной оценки напряжено-деформированного состояния этих конструкций.

Отметим также, что в настоящее время происходили в РФ и за границей аварии покрытий бассейнов, рынков, резервуаров, тоннелей и зданий аэропортов. Расчеты таких оболочечных конструкций были разработаны по вычислительным программам, применяющим аналитический метод, метод конечных элементов (МКЭ).

Для проверки верности расчетов является жизненным построение новых методов расчета оболочек. Одним из таких способов, имеющих высокую верность и достаточную легкость, являются разработанные на кафедре строительной механики МГСУ обобщённые уравнения метода конечных разностей (МКР), которые и используются в диссертации.

Степень разработанности.

Оболочки являются одним из наиболее используемых компонентов конструкций в строительстве, а также в авиастроении, судостроении и в других отраслях. Вопрос создания новых концепций и улучшения способов расчета тонкостенных пространственных конструкций типа оболочек (своды, резервуары, др.) являлся и является в фокусе внимания специалистов, изучающих проблемы механики твердого тела и строительной механики.

Совокупность проблем, связанных с решением строительных задач: устойчивости, прочности и динамики оболочечных конструкций в пределах гипотезы типа Кирхгофа-Лява, преимущественно, представляется полностью использованной.

В то же время, имеется необходимость пересмотра и проверки верности существующих гипотез и способов расчета оболочечных конструкций, побуждающих разработку численно-аналитических (или численных) приемов, увеличивающих область приложения классической концепции.

Цели и задачи.

Цель диссертационной работы заключается в разработке метода расчета пологих, цилиндрических, сферических оболочек с применением обобщённых уравнений метода конечных разностей (МКР), составлении программы для ЭВМ с приложением ее для решения задач строительной механики.

Для решения поставленной цели необходимо решить следующие задачи:

В первой задаче представляется обзор литературных источников, предназначенных для расчета пологих, цилиндрических, сферических оболочек.

Особое внимание уделено трудам В.З. Власова, A.A. Назарова, Габбасова Р.Ф и других ученых, в которых разработаны проблемы использования теории оболочек и способов их расчета.

Вторая задача диссертации предназначена изложению способа расчета пологих оболочек, прямоугольных в плане, на которых действуют различные виды нагрузок, с использованием обобщённых уравнений метода конечных разностей (МКР).

Аппроксимируя разрешающие дифференциальные уравнения пологих оболочек в перемещениях обобщёнными уравнениями метода конечный разностей, получаем линейные алгебраические уравнения для внутренних и краевых точек.

Излагается алгоритм и составление программы для ЭВМ.

Третья задача диссертации предназначена изложению способа расчета круговых цилиндрических оболочек, на которые действуют различные виды нагрузок, с использованием обобщённых уравнений метода конечных разностей (МКР).

Аппроксимируя дифференциальные уравнения в перемещениях обобщёнными уравнениями метода конечный разностей, получаем линейные алгебраические уравнения для внутренних и краевых точек.

Построен алгоритм расчета и составлена программа для ЭВМ. Четвертая задача диссертации предназначена изложению способа расчета сферических оболочек, круглых в плане, на которые действуют различные виды нагрузок, с использованием обобщённых уравнений метода конечных разностей (МКР).

Аппроксимируя дифференциальные уравнения в перемещениях обобщёнными уравнениями метода конечных разностей, получаем линейные алгебраические уравнения для внутренних и краевых точек. Построен алгоритм и составлена программа для ЭВМ. Научная новизна работы.

1. Разработан способ расчета пологих, цилиндрических, сферических оболочек в перемещениях.

2. Разработанный метод расчета тех же оболочек используется для проверки точности других методов (МГ1А, аналитический метод ...)

3. По разработанному способу составлена программа расчета на компьютере, испытанная на решении тестовых задач.

4. Решены новые задачи расчета пологих, цилиндрических, сферических оболочек.

Теоретическая и практическая ценность работы.

Разработанные способы и программа позволяют осуществлять расчет и проверку верности расчетов другими методами пологих, цилиндрических, сферических оболочек, применяющихся в строительной практике. Методология и методы исследования.

Проведение исследований выполняется с использованием российских и зарубежных материалов о расчете пологой, цилиндрической, сферической оболочек, включая анализ современных численных методов в строительной механике. Тестовые задачи проводились посредством ЭВМ. Положения, выносимые на защиту.

- Обоснование системы алгебраических уравнений по дифференциальным уравнениям цилиндрической, пологой, сферической оболочек, с использованием обобщённых уравнений метода конечных разностей;

- Учет краевых условий этих оболочек и их аппроксимации в виде алгебраических уравнений;

- Алгоритмы программирования для вычислительной машины;

- Тестовые задачи со сравнением с известными результатами.

Степень достоверности и апробация результатов обеспечивается корректностью постановки задач, применением апробированного численного способа, сравнением ряда результатов с ранее известными, численным изучением конвергенции решений.

Основные положения диссертационной работы были представлены на следующих конференциях и семинарах:

- Международная научная конференция «Интеграция, партнерство и инновации в строительной науке и образовании»( Москва, МГСУ, 2014 г.),

Международная конференция-семинар "Расчет и проектирование металлических конструкций" (Москва, МГСУ, 2014 г.).

Личный вклад автора в решение исследуемой проблемы состоит в разработке методов расчета пологих, цилиндрических, сферических оболочек.

Публикации. Основные положения диссертационной работы опубликованы в трех печатных работах [41, 42, 135].

Структура диссертации:

Диссертация состоит из оглавления, введения, основной части, состоящей из четырёх глав, заключения, списка литературы. Работа изложена на 125 страницах машинописного текста, включая список литературы из 163 наименований, 47 рисунков, 22 таблиц.

Автор выражает глубокую благодарность и признательность своему научному руководителю проф. д.т.н. Габбасову Р.Ф., заведующему кафедрой строительной механики проф. д.т.н. Мондрусу В.Л. и всему коллективу кафедры за постоянное внимание и большую помощь при выполнении настоящей диссертации.

Глава 1: Обзор литературы но расчету оболочек и численным методам 1.1. Обзор литературы по расчету оболочек на статические нагрузки

Современное строительство в 21-ом веке нуждается в построении высокопрочных конструкций наименьшего веса, имеющих большую пространственную жесткость. В связи с этим в настоящее время теория расчета оболочечных конструкций играет важную роль и обладает большой актуальностью.

Много русских ученных принимали участие в развитии теории. Учены Бубнов И.Г., Галеркин Б.Г., Лейбензон Л.С., Тимошенко С.П и др. написали фундаментальные работы, в которых были поставлены новые задачи, сформулированы новые методы их решения. Вследствие решения краевых задач теории упругих пластин Бубнов И.Г., Галеркин Б.Г. выработали результативный вариационный метод решения задач математической физики, примечательный по смыслу и простоте.

В Советское время вследствие большого развития практического строительства исследования расчета оболочечных конструкций обладали большим размахом и в настоящее время положение теории оболочек в России занимает важное место в мировой науке.

Ниже укажем краткий обзор исследований но расчету оболочек, осуществленных за годы Советской власти и в настоящее время, классифицируя эти работы по соответствующим разделам или объединённым проблемам.

Математическая теория оболочек вырабатывалась в виде определения основных дифференциальных уравнений теории оболочек и их качественного анализа. Вследствие этого классическая теория Лява была расширена с использованием современных методов теории поверхностей.

Разрабатывалась проблема о приведении трехмерной задачи теории упругости к двухмерной, которая явилась основой для предположения о верности методов интегрирования уравнений теории оболочек.

Вышеуказанные проблемы решены в трудах Гольденвейзера [49,51] и Лурье А. И [84,85].

Теория оболочек до настоящего времени еще держалась уязвимой в отношении парадокса, связанного с недостатком точных оценок отклонений фундаментальных допущений. К тому же, допущение Кирхгоффа-Лява о прямолинейности и нерастяжимости основных элементов приводит в теории оболочек к довольно сложным формулировкам.

Для суждения о точности допущений Кирхгоффа-Лява был осуществлен ряд испытаний построения теории оболочек на основе уравнений теории упругости без сокращенных допущений о характере деформаций.

Лейбензон Л.С [83] в первый раз получил формулу для анализа устойчивости сферической оболочки, решая задачу как задачу математической теории упругости. Галеркин Б.Г [43,44] решил общими способами теории упругости очень трудную задачу о напряженном состоянии цилиндрической оболочки.

Лурье А. И [84,85], Новожилов В.В., Финкельштейн P.O. [106] обосновали систему уравнений теории оболочек, свободную от допущения Кирхгоффа-Лява, и в результате выработанного исследования указали, что введение допущения о нормальных элементах приводит к отклонениям порядка SIR сравнительно с единицей; поэтому бессмысленно сохранять в уравнениях, основанных на этом допущении, элементы соответствующей степени малости.

Векуа И.Н [23] анализировал оболочки, которые имеют вид упругого тела, ограниченного снизу и сверху установленными плоскостями, а со сторон - цилиндрическими поверхностями.

Упругое тело такого вида относительно называется оболочкой призматического типа. В теории расчета оболочек, построенной на допущении Кирхгоффа-Лява, взамен 5 обычных условий на границе установляется лишь 4. В труде [23] вырабатывается приближенный способ

расчета оболочек показанного типа без допущении Кирхгоффа-Лява. Сравнение с обыкновенной теорией оболочек указывает небольшое отклонение.

Поставленный Векуа И.Н вариант уравнений более сближается (но не совпадает) с теорией оболочек, построенных на геометрических допущениях Кирхгоффа-Лява.

Важным достижением в общей теории оболочек представляются работы Гольденвейзера А.Л [45,46], в которых уравнения Лява расширены условиями совместности элементов деформации и величин изменения кривизны.

В трудах [107-110] Новожиловым В.В обоснована возможность представления уравнений теории оболочек в систематической форме, что внесло этим уравнениям компактность, обозримость и обнаружило новые методы их решения.

С точки зрения обобщений представляет интерес труд Кильчевского Н.А [65], которым построен обобщённый метод преобразования трехмерной задачи к двухмерной. Им выработан ряд вариантов теории оболочек. Обычная теория может быть анализирована как частный случай.

Анализирована также проблема о пригодности общих теорем теории упругости к оболочкам. Этой проблеме посвящен труд Гольденвейзера А.Л [47].

Лурье А. И [85] дал посредством тензорного обозначения гармоничную систему уравнений теории оболочек в любых координатах и показал методы их интегрирования посредством введения функций, подобных функциям напряжений. Власов В.З [32] предложил распространение уравнений теории тонких оболочек на оболочки существенной толщины.

Необходимо отметить труды, посвященные осесимметричным задачам моментной теории оболочек. В этой области велики достижения Штаермана И.Я., изучавшего оболочки вращения [153] и предложившего одновременно

метод асимптотического интегрирования уравнений равновесия в механическом толковании.

Пастернак П.Л. построил практический способ расчета оболочек вращения, представляющих собой тонкостенные круглые резервуары, нагруженные осесимметрично.

Для оболочек вращения любой формы общее решение можно получить приближенно методом суммирования решений безмоментшлх уравнений и уравнений «граничного эффекта». Решения, соответственные граничному эффекту, быстро затухают с удалением от границы оболочки. Эта проблема разработана в работах Гольденвейзера А.Л [48,51], а также в трудах Работнова Ю.Н. [115] и Муштари Х.М. [99].

Ряд результативных решений осесимметричных задач теории оболочек выработан в капитальной монографий Власова В.З [32].

Общее изучение конической оболочки разработано Балабухом Л.И. [11]. Расчет катеноидной оболочки анализирован Новожиловым В.В. [110]; торообразной - Новожиловым В.В. [109], Эстриным М.И [157] и Тумаркиным С.А.

В развитие общей теории оболочек и различных ее вопросов за последние десятилетия большой вклад внесли Всероссийские научные конференции по теории пластин и оболочек, организованные в научных центрах России по предложению Института проблем механики АН России под руководством Гольденвейзера А.Л.

Теория оболочек пополняется отличающимися работами, в которых было предложено много ценных мнений и концепций. К таковым причисляется монография Векуа И.Н. о тонких пологих оболочках переменной толщины [24]. В этой работе разрабатывается вариант теории оболочек, который в противоположность от классической теории оболочек не применяет допущения Кирхгоффа-Лява.

Монография Черных К. Ф. [136,137] включает две части. В первой части излагается систематический обзор основ линейной теории тонких

оболочек, вырабатывается решение ряда задач, существенных с точки зрения применения. Во второй части даются некоторые фундаментальные вопросы теории: термоупругие напряжения, вариационные методы и некоторые общие теоремы, асимптотическое интегрирование, расчет торообразных компенсаторов и труб с круговой осыо. Излагается дальнейшее развитие систематичного метода и вырабатывается вывод фундаментальных соотношений теории оболочек в координатах общей формы.

Монография Кана С.Н [64] предназначена способам расчета прочности, устойчивости и колебаний при разных видах нагружения тонкостенных оболочек: трехслойных, конических, цилиндрических и оболочек с поперечными, продольными подкреплениями, используемых в различных областях машиностроения и строительства. Анализированы также оболочки с криволинейной осью (тороидальные) и оболочки различной формы. Изложен единый энергетический метод. Указаны примеры расчета как из авиационной, так из различных областей машиностроения.

В монографию Биргера И.А. [13] включен расчет на прочность пологих оболочек. Волновые течения деформаций упругих плит и оболочек изучены в статье Айнола Л. И и Ни гул У. [4].

В труде Даревского В. М. по общей теории оболочек [53] рассматривается проблема о допустимых упрощениях соотношений упругости в общей теории оболочек. В [54,55] изложены нелинейные уравнения равновесия оболочки любой формы, выведенные с учетом вращения и удлинений линейных компонентов срединной поверхности.

Использование метода интегральных уравнений к расчету оболочек изложено в труде Вайнберга Д. В., Синявского А. Л. [16].

Сферическая оболочка представляет собой одну из наиболее исследованных форм оболочек. Задача о расчете таких оболочек, загруженных любым образом, решена Соколовским В. В. [125], Репманом 10. В. [118], Гольденвейзером А. Л. [47] и Новожиловым В. В. [110].

Репман Ю. В. [118] ввел задачу о расчете асимметрично загруженной сферической оболочки к единственному уравнению четвертого порядка и двум уравнениям Пуассона.

Векуа И. Н. использовал способы решения эллиптических уравнений к теории тонкой сферической оболочки. Им высказан [21,22] способ интегрирования системы уравнений равновесия тонкой сферической оболочки. Как пример вырабатывается краевая задача для оболочки, обладающей формой сферической секции, закрепленной по контуру.

Осесимметричная задача теории расчета сферической оболочки исследована Штаерманом И. Я. [153]. Им был в первый раз высказан способ асимптотического интегрирования уравнений оболочки вращения [153-155], что получил впоследствии значительное развитие в работах Гольденвейзера А. Л. В его монографии [51] большое место уделено анализу проблем асимптотического интегрирования как уравнений с частными производными вообще, так и уравнений теории оболочек в частности

Штаерман И. Я. построил также универсальный и простой для приложения способ параллели между куполом и аркой на упругом основании [156].

В своей основательной монографии [32] Власов В. В. предложил новый вид записи уравнений топких сферических оболочек. Рекач В. Г. разработал в докторской диссертации [116] метод их интегрирования, вследствие этого предложил алгоритм решения уравнений в функциях Лежандра. Им же дано сравнение предлагаемого в диссертации метода решения с методом асимптотического интегрирования.

Расчету цилиндрических оболочек посвящено значительное количество трудов за счет большого применения их в строительной практике. Цилиндрические оболочки наблюдаются в форме сводчатых покрытий, трубопроводов, и других тонкостенных конструкций; цилиндрические панели употребляются в кораблестроении и авиастроении.

Труды, предназначенные теории расчета цилиндрических оболочек, можно распределить на три категории: к первой причисляются труды, выработанные по теории оболочек Лява, ко второй - выработанные на использовании общих способов теории упругости, к третьей - труды, обладающие целыо практический расчет цилиндрических оболочек при упрощающих гипотезах.

Первая категория включает работы Тимошенко. С. П., Бубнова И. Г. и Папковича П. Ф. Ко второй категории причисляются труды Галерки на Б. Г. [43,44] и Лейбензона Л. С. [83]. Галеркин Б. Г. анализирует цилиндрическую оболочку как объемную задачу теории упругости и определял напряжения в функции трех координат любой точки, взятой по толщине цилиндрической оболочки па базе способа Галеркина Б. Г., кроме пересмотра приближенных методов расчета тонких оболочек, можно изучать также напряженное состояние цилиндрической оболочки со средней толщиной.

Лейбепзон Л. С. [83] предлагал решение задач об устойчивости бесконечно длинной цилиндрической трубы, нагруженной снаружи и внутри равномерным напором.

Вследствие применения оболочек как конструктивных видов покрытий больших пролетов большое развитие приобрели труды, принадлежащие к третьей группе.

Проблема совместности в условиях упругого сопряжения оболочки с бортовыми компонентами или оболочками соседних пролетов была разрешена в ЦНИПС Власовым В.З. на базе анализа методов теории упругости и строительной механики [25].

Расчет сводов-оболочек, построенный на интегрировании дифференциальных уравнений момептпой теории, однако, затруднен для практического приложения и, к тому же, подходящий только для кругообразных оболочек. Эти недостатки ликвидированы в высказанном в 1932 г. Власовым В.З. [25,26,33] полубезмоментном методе, популярном также под названием способа заменяющей складки. По этому способу

оболочка анализируется как тонкостенная постоянная пространственная система, включающая бесконечное множество поперечных изогнутых элементарных рам и имеющая в продольном направлении безмоментиую схему.

В способе заменяющей складки расчета лежат два допущения.

Первое - статическое. В связи этим допущением игнорируют продольные изгибающие и крутящие моменты из-за их малости.'

Второе допущение — геометрическое. Деформация средней призматической поверхности может случится вследствие кручения составляющих поверхность плоских прямоугольных полос и вследствие растяжения этой поверхности только в продольном направлении вследствие изгиба.

Гипотеза об отсутствии деформации смещения причисляется в основном к призматическим оболочкам, обладающим довольной длиной в направлении составляющей.

Расчет призматической складки с учетом поперечных изгибающих моментов предложен также П. Л. Пастернаком [113,114].

Множественные изучения, разработаны на базе способа заменяющей складки и различных способов В. 3. Власова по расчету цилиндрических оболочек. Приведем некоторые важнейшие из них.

С. И. Стельмах предложил метод расчета металлических складчатых настилов. Н. Д. Левитская изучила цилиндрические оболочки, опертые на посредствующие колонны и усиленные затяжками [81,82]. Б. С. Васильков предложил методы расчета нескольких новых конструктивных видов цилиндрических оболочек, анализировал задачу предварительного напряжения цилиндрических оболочек.

Необходимо отметить важные труды И. Е. Милейковского и др. [88-90] по расчету сводов-оболочек методом перемещений с применением разложения функций по собственным решениям системы дифференциальных уравнений и обобщен на железобетонные своды-оболочки с учетом

трещинообразования и неупругой стадии бетона в труде [92]. Важные с практической точки зрения задачи расчета цилиндрических оболочек анализировал X. X. Лауль [76-79].

Важным аспектом этих трудов является выраженная в них попытка к значительному упрощению расчетного процесса. Г. С. Шахраманов разработал табличный метод расчета складчатых оболочек [150].

В. 3. Власовым был также предложен более универсальный способ расчета цилиндрических оболочек. В. 3. Власовым же разработан общий вариационный метод преобразования сложных двухмерных проблем теории пластинок и оболочек к одномерным [29,33]. Этот способ был разработан вследствие исследования теории расчета призматических оболочек, включающих конечные числа узких квадратных пластин и обладающих в поперечном сечении конечным числом замкнутых границ, а также призматических оболочек с поперечным сечением в виде рамы любого сечения. Разработаный В. 3. Власовым способ базируется на основе возможных сдвигов.

Вариационный метод используется в расчете кессонных конструкций, например в докторской диссертации И. Ф. Образцова, предназначенной расчету на прочность кессонных конструкций типа крыла самолета [111]. В труде предложен способ расчета с учетом фактора депланации. Результаты, принятые посредством этого способа, испытаны экспериментально.

В 1948 г. А. А. Джабуа использовал вариационный метод В. 3. Власова в оценке преположения об отсутствии смещения при расчете цилиндрических оболочек способом заменяющей складки [56].

Ребристые цилиндрические оболочки с недеформируемым поперечным очертанием могут быть анализированы посредством теории тонкостенных стержней В. 3. Власова, т. е. с учетом депланации плоских поперечных сечений.

Изучениями В. 3. Власова по цилиндрическим и призматическим оболочкам построена новая область строительной механики [26, 30, 33].

В труде [95] разработай универсальный вариант уравнений комплексного способа расчета призматических складок, в котором применяются положения, высказанные ученым ранее для расчета складок по методу перемещений.

В 1944 г. В, 3. Власовым была предложена моментная теория пологих оболочек, которая изложена в очень краткой и отчетливой форме. Эта теория дает возможность разрешать много новых существенных проблем строительной механики тонкостенных пространственных конструкций [27, 28,30,32].

Уравнения пологих оболочек составлены в отношении двух искомых величин: уравнение напряжений, через которое определяются внутренние силы безмоментной группы, и уравнение прогиба, посредством которого определяются внутренние силы моментной группы. В этой системе первая функция геометрическая, она высказывает условие цельности деформации, вторая — статическая.

В концепции В. 3. Власова исключаются гипотезы Кирхгоффа — Лява: расхождение принципа Бетти о двойственности, что подтверждает состав основных дифференциальных уравнений моментной теории. Для оболочек большой пологости для упрощения расчетов члены первой квадратичной формы Гаусса приняты равными единице.

Теория пологих оболочек имеет большое значение в развитии практических способов расчета пологих перекрытий. На ее основе разработано много достижений как теоретического, так и практического характера.

Следует отметить труды А. И. Лурье, в которых уравнения теории пологих оболочек применялись для решения задачи о концентрации напряжений около малого отверстия в цилиндрической трубе, нагруженной внутренним напором.

Используя теорию В. 3. Власова в расчете пологих цилиндрических оболочек, Т. Т. Хачатурян [133] выделил главную часть решения для плоской

пластины и разработал исправление по кривизне в форме быстро сходящегося ряда.

А. Г. Назаров [102] предложил использование импульсивных уравнений к расчету пологих оболочек, срединная поверхность которых испытывает изгиб, например стрельчатых сводов-оболочек и шатровых покрытий. По А. Г. Назарову, угол изгиба можно толковать как подходящий импульс кривизны. Решение сложной задачи упрощается введением в уравнения главных кривизн одиночных импульсивных функций, распределенных вдоль линии соприкосновения и помноженных на угол изгиба.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Нгуен Хоанг Ань, 2015 год

Список литературы

1. Абовский Н.П. О применении метода конечных элементов совместно с другими методами. Труды КПИ, вып.8, Красноярск, 1975.

2. Абовский Н.П., Андреев H.H., Сабиров P.A. Обобщенные вариационно-разностные уравнения теории анизотропных в том числе ребристых пологих оболочек. Сб: Пространственные конструкции в Красноярском крае, вып.7,1975.

3. Абовский Н.П., Самолъянов И.И., Пасько Д.А. Расчет пологих оболочек в матричной форме методом сеток. Учебно-методическое пособие, Красноярск, 1965.

4. Айнола JI. Я., Нигул У. К- Волновые процессы деформации упругих плит и оболочек. «Изв. АН Эст. ССР. Серия физ.-мат. и техн. наук», № 1, 1965.

5. Алберг Дж., Нильсон Э., Уолш Дж. Теория сплайнов и ее приложения. М.: Мир, 1972. 316 с.

6. Александров A.B. Численное решение линейных дифференциальных уравнений при помощи матрицы дифференцирования // Тр. МИИТ. М., 1961. В. 131. С. 253-266.

7. Александров A.B., Лащеников Б .Я., Смирнов В.А., Шапошников

H.H. Методы расчета стержневых систем, пластин и оболочек с использованием ЭВМ. М.: Стройиздат, 1976. Ч. I. 248 с. Ч. II. 237 с.

8. Амбарцумян С. А. Приближенный метод расчета пологих тонких оболочек. ДАН Арм. ССР, т. 6, № 3, 1947.

9. Амбарцумян С. А. К расчету пологих оболочек. «Прикл. мат. и мех.», т. 2, вып. 5, 1947.

10. Баженов В. А., Гоцуляк Е. А., Гуляев В. И., Дехтярюк Е.С

Устойчивость периодических процессов в нелинейных механических системах.-В кн.: Динамика пространственных конструкций. -Киев: Изд-во Киевского инж.-строит, ин-та, 1978, с.61-64.

11. Балабух JI. И. Изгиб и кручение конических оболочек. Труды ЦАГИ, вып. 577, 1946.

12. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы. М.: Наука, 1987. 600 с.

13. Биргер И. А. Круглые пластинки и оболочки вращения. Оборонгиз, 1961.

14. Борисов М.В., Вахитов М.Б. О решении некоторых задач теории упругости с помощью интегрирующих матриц. Труды КЛИ. вып. 166. Казань, 1974.

15. Борисов М.В., Прегер А. Л. Метод интегрирующих матриц при расчёте пологих оболочек // Исследования по строительным конструкциям и строительной механике. Томск: Изд-во ТГУ, 1983. С. 28-30.

16. Вайнберг Д. В., Синявский А. Л. Расчет оболочек. Киев, Гос-стройнздат УССР, 1961.

17. Вайнберг Д.В. Арки на сплошном упругом основании II ПММ, Т. 1. вып. 2, 1937.

18. Вайнберг Д.В. и др. Метод конечного элемента в механике деформируемых тел // Прикладная механика. 1972. Т. 8. №8. С. 3-28.

19. Варвак П.М., Варвак Л.П. Метод сеток в задачах расчёта строительных конструкций. М.: Стройиздат, 1977. 154 с.

20. Вахитов М.Б. Интегрирующие матрицы - аппарат численного решения дифференциальных уравнений строительной механики // Известия вузов. Авиационная техника. 1966. №3. С. 50-61.

21. Векуа И. Н. Интегрирование уравнений сферической оболочки. «Прикл. мат. и мех.», т. 9, вып. 5. 1945.

22. Векуа И. Н. Новые методы решения эллиптических уравнений. Гостех-теоретиздат, 1948.

23. Векуа И. Н. Об одном методе расчета призматических оболочек. Труды Тбилис. математич. ин-та, т. 21, 1955.

24. Векуа И. Н. Теория тонких пологих оболочек переменной толщины. Тбилиси, изд-во «Мецниереба», 1965.

25. Власов В. 3. Новый метод расчета складчатых покрытий и цилиндрических оболочек. Госстройиздат, 1933.

26. Власов В. 3. Строительная механика оболочек. ЦНИПС. М. — Л., Главк, ред. строительной литературы, 1936.

27. Власов В. 3. Основные дифференциальные уравнения общей теории упругих оболочек. «Прикл. мат. и мех.», т. 8, вып. 2, 1944.

28. Власов В. 3. Уравнения неразрывности деформаций в криволинейных координатах. «Прикл. мат. и мех.», т. 8, вып. 4, 1944.

29. Власов В. 3. Расчет призматических многосвязных оболочек. «Прикл. мат. и мех.», т. 8, вып. 5. 1944.

30. Власов В. 3. Некоторые новые задачи строительной механики оболочек и тонкостепных конструкций. «Изв. АН СССР», ОТН, № 1. 1947.

31. Власов В. 3. О двух представлениях уравнений сферической оболочки. «Прикл. мат. и мех.», т. И, вып. 5, 1947.

32. Власов В. 3. Общая теория оболочек и ее приложения в технике. Гостех издат, 1949.

33. Власов В. 3. Строительная механика тонкостенных пространственных систем. Стройиздат, 1949.

34. Габбасов Р.Ф. О численно-интегральном методе решения краевых задач строительной механики для дифференциальных уравнений в частных производных // Исследования по теории сооружений. М.: Стройиздат, 1976. В. XXII. С. 27-34.

35. Габбасов Р.Ф. Об интегральной и дифференциальной формах численного метода последовательных аппроксимаций // Строительная механика и расчёт сооружений. 1978. № 3. С. 26-30.

36. Габбасов Р.Ф. Об одном алгоритме расчета арок произвольного очертания и переменной жесткости - Сборник материалов международной

научно - практической конференции XXI века, часть I, МГСУ, ПГС, М. -2000, с. 178-180.

37. Габбасов Р.Ф. Применение теории сплайнов к задачам строительной механики // Некоторые вопросы прочности строительных конструкций. Сборник трудов МИСИ. М., 1978. № 156. С. 65-76.

38. Габбасов Р.Ф. Численное решение задач строительной механики с разрывными параметрами: Дисс. докт. техн. наук. М., 1989. 343 с.

39. Габбасов Р.Ф., Габбасов А.Р., Филатов В.В. Численное построение разрывных решений задач строительной механики. -М., АСВ, 2008, 277с.

40. Габбасов Р.Ф. Эффективные численные методы расчета арок произвольного очертания - Изв. вузов. Строительство, 1999, № 10, с. 9-12.

41. Габбасов Р.Ф., Нгуен Х.А., Журавлева E.H., Хоанг Т.А. Численное решение циклически симметричной задачи по расчету сферической оболочки. Промышленное и гражданское строительство : научно-технический и производственный журнал. - 2015. - N 5. - С. 30-32.

42. Габбасов Р.Ф., Нгуен Х.А., Журавлева E.H. Численное решение циклически симметричной задачи по расчету круговой цилиндрической оболочки. Промышленное и гражданское строительство : научно-технический и производственный журнал. - 2015. - N 6. - С. 33-35.

43. Галеркии Б. Г. К теории упругой цилиндрической оболочки. ДАН СССР, т. 4, М 5—6, 1934.

44. Галеркии Б. Г. Равновесие упругой цилиндрической оболочки. Труды Ленингр. нн-та сооруж., вып. 2, 1935.

45. Гольденвейзер A. Л. Дополнения и поправки к теории тонких оболочек Лява. В сб.: «Пластинки и оболочки». ЦНИПС, под ред. проф. А. А. Гвоздева. Госстройиздат, 1939.

46. Гольденвейзер А. Л. Уравнения теории тонких оболочек. «Прикл. маг. и мех.», т. 4, вып. 2, 1940.

47. Гольденвейзер А. Л. О применении общих теорем теории упругости к тонким оболочкам. «Прикл. мат. и мех.», т. 8, вып. 1, 1944.

48. Гольденвейзер А. Л. Исследование напряженного состояния сферической оболочки. «Прикл. мат. и мех», т. 8, вып. 6, 1944.

49. Гольденвейзер А. Л. Качественное исследование напряженного состояния тонкой оболочки. «Прикл. мат. и мех.», т. 9, вып. 6, 1945.

50. Гольденвейзер А. Л. Некоторые приемы интегрирования уравнений теории тонких оболочек. «Прикл. мат. и мех.», т. 10, вып. 3, 1946.

51. Гольденвейзер А. Л. Теория упругих тонких оболочек. Госгех.тео-рет.издат, 1953.

52. Городецкий A.C. Численная реализация метода конечных элементов // Сопротивление материалов и теория сооружений. Киев: Будивельник, 1973.

B. XX. С. 31-42.

53. Даревский В. М. Об основных соотношениях теории топких оболочек. «Прикл. мат. и мех.», 25, 1961.

54. Даревский В. М. Устойчивость цилиндрической оболочки при одновременном действии крутящих моментов и нормального давления. «Изв. АН СССР». ОТН, №Ц, 1957.

55. Даревский В. М. Нелинейные уравнения равновесия оболочки ДАН СССР, т. 170, № 3, 1966.

56. Джабуа А. А. Влияние деформации сдвига на расчетные усилия в «сундукообразной» оболочке. Труды Грузииск. политехнич. ии-та, № 18. Тбилиси, 1949 (на груз, яз., резюме —на русском).

57. Длугач М.И. Некоторые вопросы применения метола сеток к расчету пластин и оболочек// ЭЦВМ в строительной механике. М.: Стройиздат, 1966.

C. 555-560.

58. ЖелезновЛ.П. Применение метода конечных элементов к расчету на прочность и устойчивость элементов конструкции летательных аппаратов. Автореф. дисс. канд.тех.паук, Новосибирск, 1981. - 20 с.

59. Железное Л.П., Кабанов В.В. Исследование нелинейного деформирования цилиндрических оболочек при неосесимметричном

нагружении методом конечных элементов. Изв. АН СССР. Мех. твердого тела, 1981, № 3, с. 49-54.

60. Зенкевич О. Метод конечных элемен тов в технике. М., Мир, 1975.

61. Иванов В. Н.,, Кривошапко С. Н. Аналитические методы расчета оболочек неканонической формы // М.: РУДН, 2010. 540 с.

62. Кабанов В.В. Устойчивость круговой цилиндрической оболочки при неоднородном сжатии. Изв. АН СССР. Мехап. и машиностр., 1963, с. 181183.

63. Калманок А. С. Некоторые вопросы строительной механики пластинок и оболочек. Автореферат докт. дис. Московск. инж.-строит. ин-т, 1954.

64. Кан С. Н. Строительная механика оболочек. «Машиностроение», 1966.

65. Кильчевский Н. А. Основные уравнения равновесия упругих оболочек и некоторые методы их интегрирования. Сборник трудов ин-та математики АН УССР, я. 1, .N^9 4; ч. 2. № 5; ч. 3, X» 6. 1940 (на укр. яз.).

66. Клейн В.Г., Колтаков П.В. Метод конечных элементов при расчетах железобетонных конструкций с учетом дефектов // Транспортное строительство, №10, 2010, с.26-28.

67. Колкунов Н.В Основы расчета упругих оболочек. М.: Высш. шк., 1963.-278 е..

68. Коллатц Л. Численные методы решения дифференциальных уравнений. М,: Изд-во иностранной литературы, 1953. 460 с.

69. Коноплев Ю. Г. Экспериментальное исследование устойчивости цилиндрической оболочки под действием произвольного числа локальных осевых сил. Исследования по теории пластин и оболочек / Казан, ун-т, 1970, вып. У1-УП, с. 481-484.

70. Красовский В.Л. Влияние длины на устойчивость цилиндрических оболочек, сжатых продольными локальными усилиями. Сопротивление материалов и теория сооружений, 1972, вып. 16, с. 170-172.

71. Крысько В.А., Кириченко A.B. О динамических критериях потери устойчивости гибких пологих оболочек. // Нелинейная динамика механических и биологических систем. Саратов: СГТУ, 2000, с. 144-152.

72. Крысько В.А., Кравцова И.В. (Папкова И.В.) Стохастические колебания гибких осесимметричиых шарнирно-подвижных по контуру сферических оболочек // Известия вузов. Машиностроение. 2004. № 1. С. 1120.

73. Крысько В.А., Кравцова И.В. (Папкова И.В.) Хаотические колебания сферических оболочек под действием неоднородного нагружения // Вестник Саратовского государственного технического университета. Саратов, 2004. № 1(2). С. 24-36.

74. Крысько В.А., Кравцова И.В. (Папкова И.В.) Динамика и статика гибких секториальных пологих оболочек // Вестник Саратовского государственного технического университета. Саратов, 2004. № 2(3). С. 2736.

75. Ландау Л.Д., Мейман H.H., Халатников И.М. Численные методы интегрирования уравнений в частных производных методом сеток // Труды третьего математического съезда. М., 1956. Т. 2. С. 16.

76. Лауль X. X. Расчет длинных цилиндрических оболочек при антисимметричной нагрузке по методу Кастильяио—Ритца. Труды Таллинск. политехнич. ин-та, серия А, М 35, 1950.

77. Лауль X. X. Применение метода Кастильяно—Ритца для расчета длинных цилиндрических оболочек со стрингерами. 2. Расчет оболочек с опорным бортовым элементом. Таллин, 1952.

78. Лауль X. X. Цилиндрические железобетонные оболочки с трещинами в растянутой зоне. Цилиндрические железобетонные оболочки с предварительно напряженной арматурой. Труды Таллинск. политехнич. ин-га. серия А. Хз 45. 1953.

79. Лауль X. X. Расчет цилиндрических оболочек с криволинейными частями. очерченными по окружности. Труды Таллинск. политехнич. ин-та, серия А. Хз 50, 1953.

80. Лащеников Б.Я. Применение метода интегральной матрицы при разрывных и обобщенных функциях // Тр. МНИТ. М., 1963. В. 174. С. 123128.

81. Левитская Н. Д. Расчет цилиндрических оболочек, опертых на колонны и усиленных затяжками. Автореферат дисс. М., 1949.

82. Левитская Н. Д. Покрытия типа однопролетпой цилиндрической оболочки, опертой на колонны и усиленной затяжками. В сб. ЦНИПС: «Исследования по вопросам теории и проектир. тонкостенных конструкций». М.—Л., Стройиздат, 1950.

83. Лейбензон Л. С. О приложении метода гармонических функций В. Томсона к вопросу об устойчивости сферической и цилиндрической оболочек. Собрание трудов, т. 1. М., 1951.

84. Лурье А. И. Исследования по теории упругих оболочек. Труды Ленинградск. иидустр. ин-та, вып. 3, № б, 1937.

85. ЛурьеА. И. Общая теория упругих тонких оболочек. «Прикл. мат. и мех.», т. 4, вьгп. 2, 1940.

86. Львин. Я.Б. Расчет цилиндрической оболочки на циклические краевые воздействия (точное решение) / Я.Б. Львин // Инженерный сборник / Воронеж, инженер.-строиг. ин-т. - Воронеж, 1953. - Т. XVII. - С. 23-29.

87. Масленников A.M. Расчет строительных конструкций численными методами. Изд-во ЛГУ. Л., 1987.225 с.

88. Милейковский И. Е. Некоторые практические задачи по расчету покрытий типа цилиндрических оболочек. В сб. ЦНИПС «Исследования по вопросам теории и проектирования тонкостепных конструкций». Стройиздат, 1950.

89. Милейковский И. Е., Васильков Б. С. Расчет покрытий и перекрытий из пологих выпуклых оболочек двоякой кривизны. В сб.: ЦНИПС

«Эксперим. и теоретич. исслед. тонкостенных пространств, конструкций». Гос. изд. литературы по строит, и архит.. 1952.

90. Милейковский И. Е. Расчет сводов-оболочек методом перемещений с применением разложения функций по собственным решениям системы дифференциальных уравнений. В сб.: ЦНИПС «Исследования по вопросам строит, механики и теории пластичности». Гос. изд. литературы по строит, и архит., 1956.

91. Милейковский И. Е. Кисин Е. С. Расчет пологих оболочек двоякой кривизны с опорными диафрагмами арочного типа. В сб. Главпром-стройпроекта «Строительное проектирование промышл. предприятий», № 5, 1968.

92. Милейковский И. Е. Расчет железобетонных цилиндрических сводов-оболочек. Госстройиздат, 1963.

93. Милейковский И. Е. Расчет оболочек и складок методом перемещений. Госстройиздат, 1960.

94. Милейковский И. Е., Доренбаум И. В. Метод расчета покрытий из оболочек, очерченных по поверхности гиперболического параболоида. В сб. Главпромстройпроекта «Строительное проектирование промышл. предприятий» № 5, 1968.

95. Милейковский И. Е. Новый вариант уравнений смешанного метода расчета складок и оболочек. В сб.: «Строит, механика». Госстройиздат, 1966.

96. Мордовии Е.Д. Методика расчета цилиндрических оболочек при периодических краевых нагрузках - Вестник ТГТУ. 2009. Том 15. № 2.

97. Мухадзе Л. Г. Некоторые методы расчета пологих прямоугольных оболочек. «Строительство и архитектура», 1961, №9—10. Информац. бюл. Госстроя Груз. ССР. Тбилиси.

98. Мухадзе Л. Г. К расчету цилиндрической оболочки. Труды Ин-та строительной механики и сейсмостойкости АН Груз. ССР, 9, 1963.

99. Муштари X. М. Качественное исследование напряженного состояния упругой оболочки при малых деформациях и произвольных смещениях. «Прикл. мат. и мех.», т. 13. вып. 2., 1949.

100. Назаров А. А. Уравнения равновесия пологих оболочек и их применение. «Прикл. механика», т. 2, вып. 3. Киев. 1956. Изд. АН УССР.

101. Назаров А. А. Решение дифференциальных уравнений равновесия пологой оболочки с заданным прямоугольным планом методом простых тригонометрических рядов. «Доповиди! АНУРСР». № 1. 1956.

102. Назаров А. Г. Некоторые контактные задачи теории оболочек. «Докл. АН Арм. ССР», вып. 7, №1. 1947.

103. Назаров А. А. Основы теории и методы расчета пологих оболочек. М., Стройиздат, 1966, 302.

104. Нгуен Х.Д. Применение метода последовательных аппроксимаций к расчету пологих оболочек. - Дисс. на соискание уч. степени канд.тех.наук. -М., МИСИ, 2008, 138 с.

105. Новожилов В. В. Расчет напряжений в тонкой сферической оболочке при произвольной нагрузке. ДАН СССР, т. 27, М С. 1940.

106. Новожилов В. В., Финкельштейн Р. О. О погрешности гипотезы Кирхгоффа в теории оболочек. «Прнкл. мат. и мех.», т. 7. вып. 5, 1943.

107. Новожилов В. В. Новый метод расчета тонких оболочек. «Изв. АН СССР», ОТН, № I, 1946.

108. Новожилов В. В. Расчет цилиндрических оболочек. «Изв. АН СССР», ОТН, № 6, 1946.

109. Новожилов В. В. Расчет оболочек - тел вращения. «Изв. АН СССР», Л* 7, 1946.

110. Новожилов В. В. Теория тонких оболочек. Л., Гос. изд. судостроит. литерат., 1951.

111. Образцов И. Ф. Методы расчета на прочность кесонных конструкций типа крыла. Автореферат докт. дисс.. Московск. авиац. ин-т, 1956.

112. Пассек В.В., Герасимов В.А Устранение подтопления оголовков водопропускных труб на вечномерзлых грунтах . Путь и путевое хозяйство. 2014. № 10. С. 27-29.

113. Пастернак П. JI. Практический расчет складок и цилиндрических оболочек с учетом изгибающих моментов. Информац. бюл. НКТП, 1932.

114. Пастернак П. Л. Практический расчет складок и цилиндрических оболочек с учетом изгибающих моментов. «Проект и стандарт», № 2, 1933.

115. Работнов Ю. Н. Уравнения пограничной зоны в теории оболочек. ДАН СССР, новая серия, т. 17, № 4, 1945.

116. Рекач В. Г. Расчет сферических оболочек. Автореферат докт. дис. Московск. инж.-строит. ин-т, 1955.

117. Рекач В.Г Статический расчет тонкостенных конструкций. М.: Стройиздат, 1975, 256 стр.

118. Репман Ю. В. Расчет сферических оболочек по моментной теории на произвольную нагрузку. В сб.: «Пластинки и оболочки». ЦНИПС, под ред. проф. А. А. Гвоздева. М.—Л., Госстройиздат, 1939.

119. Розин Л.А. Метод конечных элементов в строительной механике // Строительная механика и расчет сооружений, №5, 1972.

120. Розин Л.А. Расчет гидротехнических сооружений на ЭЦВМ. Метод конечных элементов. М., Энергия, 1971.

121. Розин Л.А. Современное состояние метода конечных элементов в строительной механике // Известия вузов. Строительство и архитектура. 1981. № 11. С. 41 -54.

122. Розин Л.А., Гордон Л.А. Метод конечных элементов в теории пластин и оболочек//Известия ВНИИГ. 1971. Т. 95. С. 85-97.

123. Силкин Е. И. Расчет пологих эллиптических оболочек шедовых покрытий вариационным методом. Автореферат канд. дне. Ин-т механики АН СССР. М., 1954.

124. Синицын С.Б. Строительная механика в методе конечных элементов стержневых систем. М.: АСВ, 2002, 320 с.

125. Соколовский В. В. Расчет сферических оболочек. «Докл. АН СССР», т. 16, № 1, 1937.

126. Смирнов А.Ф., Александров A.B., Лащеников Б.Я., Шапошников

H.H. Расчет сооружений с применением вычислительных машин. -М.: Стройиздат, 1964.

127. Смирнов А.Ф. Устойчивость и колебания сооружений. М.: Трансжелдориздат, 1958. 572 с.

128. Смирнов В.А. Численный метод решения некоторых краевых задач теории упругости для дифференциальных уравнений в частных производных. Сб.: Исследования по теории сооружений, вып. 17, М.,Стройиздат, 1969.

129. Справочник проектировщика - расчетно-теоретический. - М. ГСИ, 1960.- 1040 с.

130. Стечкин С.Б., Субботин Ю.П. Сплайны в вычислительной математике. М.: Наука, 1976. 248 с.

131. Стрелец-Стрелецкий Е.Б., Гепзерский Ю.В., Лазпюк М.В., Марченко Д.В., Титок В.П. Лира 9.2. Основы. Киев: Факт, 2005. 146 с.

132. Тимошенко С.П., Войновский-Кригер С. Пластинки и оболочки. -М., Наука, 1966, 625 с.

133. Хачатурян Т. Т. Пологие цилиндрические оболочки. Ереван, Изд. АН Арм. ССР. 1949.

134. Хечумов P.A., Кеплер X., Прокопьев В.И. Применение метода конечных элементов к расчету конструкций. -М., АСВ, 1994.

135. Хоанг Т. А. Габбасов Р. Ф. Нгуен Х.А. Сравнение результатов расчета тонких изгибаемых плит с использованием обобщенных уравнений методов конечных разностей и последовательных аппроксимаций. Промышленное и гражданское строительство : научно-технический и производственный журнал. - 2014. - N 1. - С. 62-64.

136. Черных К. Ф. Линейная теория оболочек, ч. 1. Общая теория. Ленинград. ун-т, 1962.

137. Черных К. Ф. Линейная теория оболочек, ч. 2. Некоторые вопросы теории. Лепингр. ун-т, 1964.

138. Чирас A.A. Математические модели анализа и оптимизации упруго-пластических систем И Вильнюс, Мокслас, 1982. 112 с.

139. Чирас A.A. Строительная механика // М.: Стройиздат, 1989. 256 с.

140. Чирас A.A., Боркаускас А.Э., Каркаускас Р.Г Теория и методы I оптимизация упруго — пластических систем // Л. : Стройиздат, 1974. 279 с.

141. Чирас A.A. Математические модели анализа и оптимизации упруго-пластических систем И Вильнюс, Мокслас, 1982. 112 с.

142. Чирас A.A. Методы линейного программирования при расчёте упруго-пластических систем [Текст] : монография / А. А. Чирас. - Л. : Стройиздат, 1969. - 200 с. : ил. - Библиогр. в конце глав. - 3000 экз.. - 1.75 р.

143. Чирас A.A., Боркаускас А.Э., Каркаускас Р.Г1. Теория и методы оптимизация упруго — пластических систем // Л. : Стройиздат, 1974. 279 с.

144. Шаншмелашвяли В. Н. К расчету весьма пологой сферической оболочки, нагруженной изгибающими моментами. «Сообщ. АН Груз. ССР», т. 10, №7, 1949.

145. Шаншмелашвили В.Н. Приближенный расчет достаточно пологой сферической оболочки при заданной деформации контура. «Сообщ. АН Груз. ССР», т. 10, № 10, 1949.

146. Шаишмелашвнли В. Н. К вопросу о расчете междуэтажного перекрытия типа тонкостенной сферической оболочки. «Сообщения АН Груз. ССР», т. 10, №4, 1949.

147. Шаишмелашвнли В. Н. К расчету пологих оболочек переменной кривизны. Труды Ин-та строит, дела АН Груз. ССР, т. 3, 1950 (на груз. яз.).

148. Шаишмелашвнли В. Н. О некоторых методах расчета пологих оболочек. Труды Ин-та строит, дела АН Груз. ССР, т. 5, 1955.

149. Шаишмелашвнли В.Н. Расчет пологих оболочек методом полос. «Сообщ. АН Груз. ССР», т. 18, №2, 1957.

150. Шахраманов Г. С. Расчет тонкостенных цилиндрических оболочек по обобщенным формулам. Труды Ин-та строит, дела АН Груз. ССР, т. 1, 1956.

151. Шимкович Д.Г. Расчёт конструкций в MSC visual Nastran for Windows. M.: ДМК Пресс, 2004. 704 с.

152. Шрамко В.В. Развитие численного метода последовательных аппроксимаций применительно к расчёту пологих оболочек и пластин: Дисс. канд. техн. наук. М., 1979. 149 с.

153. Штаерман И. Я. К теории симметричной деформации анизотропных упругих оболочек. «Изв. Киевск. поли- технич. и с.-х. ин-тов». 1924.

154. Штаерман И. Я. Об интегрировании дифференциальных уравнений равновесия упругих оболочек. Там же.

155. Штаерман И. Я. О приложении методов интерполяции к приближенному интегрированию дифференциальных уравнений равновесия упругих оболочек. «Вести Киевского политехнич.». 1926-1927.

156. Штаерман И. Я. Расчет купола как арки на упругом основании. «Проект и стандарт», № 9, 1933.

157. Эстрин М. И. Об одном методе решения однородной задачи для симметрично нагруженной оболочки. «Прикл. мат. и мех.», т. 17, вып. 5, 1953.

158. Argyris J.H., Kelsey Е. Energy Theorems and Structural Analysis. - In: Aircraft Engineering, Vols. 26 and 27, 1955.

159. Clough R.W. The Finite Element in Plane Stress Analysis. - Proceedings 211,1 A.S.C.E. Conference on Electronic Computation, Pittsburg. Pa. Sept. I960.

160. Courant R. Variational Methods for the Solution of Problems of Equilibrium and Vibrations. In: Bull. Amer. Math. Soc., Vol. 49 (1943)1. -S. 1-23.

161. Gabbasov R.F. Numerische Jntegrationsmethode zur Losung vor Randwertproblemen der Baumechanik // Wiss. Zeitsch. der I-Iochschule fur Arch, und Bauw. Weimar, 1975. Heft 2. S. 146-148.

162. Przemienieski J.S. Theory of matrix Structural Analysis N.Y., "Mo-Graw-Hill Book Company", 1968.

163. Turner M.J. Clough R.W. Martin H.C. Topp L.J. Stiffness and deflection analysis of Complex Structures. "J.aero.Sci.", №23, 1956.