Применение моделирования статистических игр в задаче оценивания параметра гипергеометрического распределения тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат физико-математических наук Иванов, Михаил Анатольевич

• Иванов, Михаил Анатольевич
• кандидат физико-математических наук
• 2000

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Иванов, Михаил Анатольевич

Введение.

Глава 1. Теоретико-игровые модели задач статистического оценивания.

§ 1. Антагонистические игры и их решение.

§ 2. Классические постановки задач точечного и интервального оценивания.

§ 3. Биномиальное и гипергеометрическое распределения и их связь с задачами оценки качества продукции.

§ 4. Теоретико-игровая постановкавадачш оценивания.

§ 5. Классические интервальные оценки для параметра гипергеометрического распределения.

Глава 2. Моделирование задачи принятия решения в форме статистической игры (на примере гипергеометрического распределения).

§ 1. Задача интервального оценивания в форме задачи принятия решения.

§ 2. Решение статистических игр

§ 3. Полученные результаты

Глава 3. Сравнение различных точечных оценок параметров биномиального и гипергеометрического распределений.

§ 1. Постановка задачи.

§ 2. Сравнение оценок для биномиального параметра.

§ 3. Сравнение оценок для гипергеометрического параметра.

Глава 4. Компьютерная реализация теоретико-игровой постановки статистической задачи. Компьютерная система минимаксного оценивания.

§ 1. Основные направления исследований, проводимых при создании компьютерной системы.

§ 2. Назначение компьютерной системы.

§ 3. Структура компьютерной системы.

§ 4. Направления совершенствования системы.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Применение моделирования статистических игр в задаче оценивания параметра гипергеометрического распределения»

В диссертации рассматривается теоретико-игровая модель задачи статистического оценивания параметра дискретного распределения вероятностей на примере гипергеометрического распределения, В рамках этого подхода статистические задачи точечного и интервального оценивания сводятся к статистическим играм, которые и решаются с помощью компьютерной системы минимаксного оценивания.

Уже П. Лаплас [50] и К. Гаусс [47] ясно понимали возможность игрового истолкования статистических задач. В дальнейшем идея применения теоретико-игрового подхода к решению статистических задач была развита в многообещающих работах А.Вальда [5], Д. Блекуэлла и М. Гиршика [1], Э. Лемана [21] и других статистиков-теоретиков. Однако широкого практического применения эти идеи до настоящего времени не получили и, по-видимому, не могли получить в силу ряда объективных взаимосвязанных причин, из которых можно выделить следующие три:

1) Построение теоретико-игровых моделей для конкретных статистических задач, связанное с конструированием пространства решений и выбором функции потерь, оказалось весьма не простым делом.

2) Неготовность (в частности, психологическая) к использованию рандомизированных решающих функций, поскольку таковыми оказываются оптимальные решающие функции, если Статистик не ограничивает себя выпуклыми функциями потерь.

3) Отсутствие быстродействующих компьютерных комплексов, позволяющих не только решать статистические задачи и находить рандомизированные решающие функции, но и формировать сами задачи.

После первых успехов в решении статистических игр (см. [1]) исследователи столкнулись с серьёзными трудностями, пути преодоления которых основывались как на развитии общей теории антагонистических, в частности матричных игр [30], так и с развитием линейного программирования, численные методы которого являются основным инструментом для решения матричных игр.

Среди многих статистических задач наиболее исследованы в классической математической статистике задачи точечного и интервального оценивания параметра семейства распределений. При этом среди дискретных распределений первое место всегда принадлежало биномиальному распределению. Успехи Ходжеса и Немана [49] во многом предопределили интерес статистиков к теоретико-игровому подходу. Ими была сформулирована и решена задача точечного оценивания параметра для квадратичной функции потерь. В дальнейшем статистики неоднократно обращались к полученному ими решению статистической игры, которое постоянно сравнивалось с классической точечной оценкой.

В той же работе Ходжеса и Лемана [49] были получены минимаксные точечные оценки для гипергеометрического распределения, которые также сравнивались с классическими точечными оценками. Статистики критиковали оценки Ходжеса-Лемана за то, что они слишком много уделяют внимания оценкам параметра в окрестности точки Уг. Автор показывает, что классические точечные оценки выделяются среди всех других точечных оценок только своей простотой. Для подтверждения этого тезиса рассматривается нелинейная оценка Луценко, эффективность которой сравнивается с классическими и минимаксными оценками.

Что касается интервального оценивания, то наиболее известными являются оценивающие биномиальную вероятность доверительные интервалы К. Клоппера и Е. Пирсона [42], Т. Стерна [52] и Е. Кроу [44]. Не удивительно поэтому, что первые попытки теоретико-игрового подхода (идейно подготовленные работами М. Дрешера [10] и H.H. Воробьёва [6]) к решению задач интервального оценивания параметров дискретных распределений, относятся к оцениванию биномиального параметра. При этом, если в первоначальной для указанного направления работе H.A. Никитиной [31] речь шла лишь о построении доверительного интервала по одному наблюдению, то методика, предложенная

М.М. Луценко [22, 23], позволяет строить доверительные интервалы для биномиального параметра при любом объёме выборки методами динамического программирования.

В 1989 году Л.Б. Мерку лов и ч ж В.Г. Суздаль [29] разработали: метод, позволяющий сводить решение матричной статистической игры большой размерности к решению задачи линейного программирования с матрицей, размеры которой существенно меньше. Развитием этих работ в направлении их практического применения явилась созданная на кафедре "Высшая математика" 1ТГУМС под руководством М.М. Луценко компьютерная система минимаксного оценивания и проверки гипотез [24,27,28].

Первоначально эта система решала лишь некоторые задачи точечного и интервального оценивания биномиального параметра малой размерности. При развитии этой системы стало возможно формировать и решать задачи оценивания параметра гипергеометрического распределения [12]. Автором были добавлены подсистемы, позволяющие для гипергеометричесшш распределения строить:

1) Любые точечные оценки параметра и, в частности, классическую, Ходжеса-Лемана, нелинейную оценку Луценко;

2) Классические интервальные оценки (аналоги оценок Клоппера-Пирсона и Стерна-Кроу);

3) Минимаксные интервальные оценки для широкого круга доверительных областей.

В частности, автор и его научный руководитель построили доверительные интервалы фиксированной ширины для параметра гипергеометрического распределения [18], аналогичные соответствующим интервалам для биномиального параметра, построенным ранее в работе М.М. Луценко и С.Г. Мало-шевсшго [25]. Было показано, что минимаксные доверительные интервалы при заданных точности и надежности оценки требуют значительно меньшего числа наблюдений по сравнению с их классическими аналогами (подробнее результаты сравнения излагаются в главе 2 диссертации).

При сравнении классических точечных оценок и оценок, полученных на основе теоретико-игрового подхода (минимаксные оценки), появилось устойчивое мнение, что минимаксные оценки " выглядят не всегда разумными" [4, с, 77-78], поскольку минимаксная точечная оценка параметра биномиального (или гипергеометрического) распределения будет лучше классической тогда, когда объём выборки небольшой, а априорное распределение оцениваемого параметра сосредоточено в узкой окрестности 0 = Vi. Однако вошедший в главу 3 диссертации анализ точечной оценки, предложенной М.М. Луценко, показывает, что последняя оценка лучше классической в том же смысле, в каком классическая лучше оценки Ходжеса-JI емана.

Диссертация состоит из введения, четырех глав и приложений и занимает 132 страницы м/т. Библиография содержит 54 наименования работ отечественных и зарубежных авторов,

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Иванов, Михаил Анатольевич

Результаты работы неоднократно докладывались автором на различных конференциях Москвы, Санкт-Петербурга и Пскова, в частности на международной конференции " Применение многомерного статистического анализа в экономике и оценке качества продукции ", подготовленной Центральным экономико-математическим институтом РАН, а также на различных научных семинарах в Санкт-Петербурге.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ.

Работа посвящена исследованию теоретико-игровой модели задачи оценивания параметра гипергеометрического распределения.

Классические задачи точечного и интервального оценивания параметра гипергеометрического распределения представлены в форме статистических игр точечного и интервального оценивания Гр, где Р - семейство случайных величин, имеющих ги пер» соме три ческое распределение. Данная постановка задачи позволяет осуществлять единообразный подход к построению как точечных, так и интервальных оценок параметра для любых функций потерь.

Разработана процедура построения доверительных интервалов фиксированной ширины для параметра гипергеометрического распределения. Проведены сравнения доверительных интервалов фиксированной ширины, доверительных интервалов Клопнера-Пирсона и доверительных интервалов Стерна-Кроу, оценивающих параметры гипергеометрического и биномиального распределений. В результате подтвердились выводы о том, что интервалы Стерна-Кроу более точны, чем интервалы Клоппера-Пирсона, а длины всех рассматриваемых доверительных интервалов для параметра гипергеометрического распределения меньше длин соответствующих доверительных интервалов для параметра биномиального распределения. 1 {оказано, что при фиксированной точности и надежности оценки применение доверительных интервалов фиксированной ширины позволяет на 20-30% уменьшить количество необходимых наблюдений в задаче выборочного контроля качества продукции.

Проведен анализ нелинейной точечной оценки, предложенной М.М. Лу-ценко, и ее сравнение с классической и минимаксной точечными оценками параметров биномиального и гипергеометрического распределений, показавшие, что среди оценок Лупенко всегда можно найти такие, которые являются лучше классической оценки везде, где классическая оценка лучше минимаксной.

Модернизирована компьютерная система минимаксного оценивания. В частности, разработаны и включены в систему процедуры построения доверительных интервалов для параметра гипергеометрического распределения по методам Ютоппера-Пирсона и Стерна-Кроу. На основе компьютерной системы реализован единый подход к построению классических и минимаксных оценок параметра гипергеометрического распределения. Основные результаты, полученные в диссертации, опубликованы автором в работах [12-18], среди которых наиболее важными являются:

- "Минимаксные доверительные интервалы для параметра гипергеометрического распределения" в журнале "Автоматика и телемеханика" №7, 2000, 13 с. м/т (принята к публикации);

- " Сравнение различных точечных оценок параметров биномиального и гипергеометрического распределений с применением компьютерной системы минимаксного оценивания ", 25 с. м/т, депонирована в ВИНИТИ 19.04.2000, № Ю63-В00.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Иванов, Михаил Анатольевич, 2000 год

1. Блекуэлл Д., Гиршик М. Теория игр и статистических решений, ML: Издательство иностранной литературы, 1958.

2. Большее Л.Н., Смирнов Н.В. Таблицы математической статистики. М.: Наука, 1983.

3. Боровков A.A. Математическая статистика: Оценка параметров. Проверка гипотез. М.: Наука, 1984.

4. Боровков A.A. Математическая статистика. Дополнительные главы. — М.: Наука, 1984.

5. Вальд А. Статистические решающие функции // Позиционные игры. М.: Наука, 1967, с. 300-522.

6. Воробьев H.H. Об одном классе игр на единичном квадрате с разрывной функцией выигрыша // Теория игр. Доклады на I Всесоюзной конференции по теории игр. Ереван: Издательство АН Арм. ССР, 1973, с. 95-109.

7. Воробьев H.H. Теория игр. Лекции для экономистов-кибернетиков. Л.: Издательство ЛГУ, 1974.

8. Воробьев H.H. Основы теории игр. Бескоалиционные игры. М,: Наука, 1984.

9. Грень Е. Статисгические игры и их применение. М.: Ст атист ика, 1975.

10. Дрсшер М. Стратегические игры. Теория и приложения. М.: Сов. радио, 1964.

11. Закс Ш. Теория статистических выводов. М.: Мир, 1975.

12. Иванов М.А., Луценко М.М., Малошевский СЛ . Минимаксные оценки в курсе математической статистики // Труды между народной научнометодической конференции "Математика в ВУЗе". Псков, июнь 1997 г., с. 58-59.

13. Иванов М.А. Оценивание параметров дискретных распределений вероятностей И Тезисы докладов международной научно-методической конференции "Математика в ВУЗе". СПб, июнь 1998 г., с. 215-216.

14. Иванов М.А. Опыт практического применения компьютерной системы минимаксного оценивания // Тезисы докладов международной научно-методической конференции "Математика в ВУЗе". СПб, сентябрь 1999 г., с. 148-149.

15. Иванов М.А. Новые методы оценки параметров дискретных распределений // Тезисы докладов конференции "Неделя науки". СПб, ПГУПС, апрель 1999г., с. 24-25.

16. Иванов М.А. Сравнение различных точечных оценок параметров биномиального и гипергеометрического распределения с применением компьютерной системы минимаксного оценивания / ПГУПС. СПб., 2000. - 25 с. -Деп. в ВИНИТИ 19.04.2000 г., № Ю63-В00.

17. Иванов М.А., Луценко М.М. Минимаксные доверительные интервалы для параметра гипергеометрического распределения. Статья принята к публикации в журнале "Автоматика и телемеханика" 02.11.1999 г. Объем статьи -13 страниц м/т.

18. Карлин С. Математические методы в теории игр, программировании и экономике. М.: Мир, 1964.

19. Леман Э. Л. Проверка статистических гипотез. М.: Наука, 1979.

20. Леман Э. Л. Теория точечного оценивания. М.: Наука, 1991.

21. Луценко М.М. Теоретико-игровой. метод оценки параметра биномиального закона по результатам одного наблюдения // Теория вероятностей и ее применения, 1989. т.34. вын.З. с. 589-593.

22. Луценко М.М. Теоретико-игровой метод оценки параметра биномиального закона // Теория вероятностей и ее применения, 1990. т.35. вып.З. с. 471-482.

23. Луценко М.М., Малошевский С.Г. Компьютерная система минимаксного оценивания // Тезисы докладов конференции "Применение многомерного статистического анализа в экономике и оценке качества продукции". — Москва, 1997, с. 132-133.

24. Луценко М.М, Малошевский С.Г. A procédure оГconstruction of minimax con-lidentiai intervais for the binomial distribution // Proceedings of the St.Petersburg Workshop on Simulation. St.Petersburg State University, 1998, p. 266-270.

25. Луценко М.М, Малошевский СТ., Гарбарук В.Б. Теоретико-игровой подход при решении статистических задач // Тезисы докладов международной на-учно-методичсской конференции "Математика в ВУЗе". — Вологда, 1995, с. 55.

26. Луценко М.М, Малошевский С.Г., Гарбарук В.Б. Компьютерная система для минимаксного статистического оценивания // Тезисы докладов конференции "Теория игр и экономика". СПб, 1996, с. 42.

27. Никитина H.A. Статистические игры с пороговыми потерями // Теоретико-игровые вопросы принятия решений. М., 1973, с. 140-170.

28. Никитина Н.А. Теоретико-игровой метод определения неизвестной вероятности по одному наблюдению. Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук. Л.: Издательство ЛГУ, 1979.

29. Судаков P.C. Статистические задачи обработки систем и таблицы для числовых расчётов показателей надежности. М.: Высшая школа, 1975.

30. Хальд А. Математическая статистика с техническими приложениями. М., ИЛ, 1956.

31. Яновская Г.В. Антагонистические игры // Проблемы кибернетики. вып,34. 1978. М., Наука, с. 221-246.

32. Alvarez О., Matuszewski A. and Sotres D. A practical procedure to obtain confidence intervals for the Bernoulli parameter // Computational Statistics & Data Analysis. 1984. №2. p. 191-206.

33. Blyth C. R. On minimax statistical decision procedures and their admissibility // Annals of mathematical statistics. 1951. V.22. № 1. p. 22-42.

34. Blyth C. R. Approximate binomial confidence limits // Journal of the American Statistical Association. 1986. V. 81. p. 843-855.

35. Blvth C. R. and Hutchinson D.W. Tabic of Neyman-shortest unbiased confidence intervals for the binomial parameter // Biometrika. 196Q.V. 47. p. 381-391.

36. Blyth C.R. and Still H.A. Binomials confidence interv als // Journal of the American Statistical Association. 1983. V. 78. p. 108-116.

37. Casella G. Refining binomial confidence intervals // The Canadian Journal of Statistics. 1986. V.14. p.l 13-129.

38. Clopper C.J. and Pearson E.S. The use of confidence or fiducial limits illustrated in the case of the binomial // Biometrika. 1934. V. 26. p. 404-413.

39. Clunies-Ross C.W. interval estimation for the parameter of a binomial distribution 11 Biometrika. 1958. V. 45. p. 275-279.

40. Crow E.L. Confidence intervals for a proportion // Biometrika. 1956. V.43. p. 423-435.

41. Dant/ig G. B. A proof of the equivalence of the programming problem and the game problem /7 Activity analysis of production and allocation // Cowl es Commission Monograph X« 13., 1951, p. 330-335.99

42. Eudev, M.W. On the treatment of discontinuous variables // Techical Report No. 13, University of California, Berkeley, Statistical Laboratory, 1949.

43. Gauss C.F. Theoria combinationis observationum errobus minimis obnoxiae. -Gottinqcn, 1821.

44. Hald À. Statistical tables and formulas. New York: John Wiley, 1952»

45. Hodges J.L. and Lchmann E.L. Some problems in miniirtax point estimation // Biometrica. 1952. ¥. 38. p. 182-194.

46. Laplace P.S, Theoria analytique des probabilités. Paris, 1820.

47. Natrelia M.G. Experimental statistics. Handbook 91. National Bureau of Stan-darts. Washington, 1963.

48. Sterne, T.E. Some remarks of confidence or fiducial limits // Biometrika. 1954. V. 41. p. 275-278.

49. Stewens WX. Fiducial limits of the parameter of a discontinuous distribution // Biometrika. 1950. V. 37. p. 117-129.

50. Stewens W.L. Shorter intervals for the parameter of the binomial and Poisson distributions // Biometrika. 1957. V. 44. P. 436-440.