Применение методов теории классификации объектов для оценки структуры пространства параметров тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.16, кандидат физико-математических наук Редько, Ирина Николаевна

• Редько, Ирина Николаевна
• кандидат физико-математических наук
• 1997

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Редько, Ирина Николаевна

ОГЛАВЛЕНИЕ

ВВЕДЕНИЕ

1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ ПРИМЕНЕНИЯ МЕТОДОВ ТЕОРИИ КЛАССИФИКАЦИИ ОБЪЕКТОВ ДЛЯ ОЦЕНКИ СТРУКТУРЫ ОБЛАСТЕЙ ПАРАМЕТРОВ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ

1.1. Обзор традиционных методов исследования структуры фазового пространства динамических систем

1.2. Выделение групп подобных объектов методами теории классификации объектов

1.3. Постановка задачи оценки структуры областей параметров методами теории классификации объектов

1.4. Качество оценки структуры областей параметров динамических систем методами теории классификации объектов

1.5. Методы и алгоритмы оценки структуры области параметров

1.6 Выводы

2. ОЦЕНКА СТРУКТУРЫ ОБЛАСТЕЙ ПАРАМЕТРОВ АВТОНОМНЫХ ДИССИПАТИВНЫХ СИСТЕМ С ОДНОЙ ПЕРИОДИЧЕСКОЙ КООРДИНАТОЙ И ДВУМЯ СОСТОЯНИЯМИ РАВНОВЕСИЯ РАЗНОЙ УСТОЙЧИВОСТИ НА ПЕРИОДЕ

2.1. Особенности динамики автономных диссипативных систем с одной периодической координатой

2.2. Критерий классификации. Особенности структуры множества начальных условий

2.3. Качество оценки структуры областей параметров

2.4. Оценка структуры заданной области параметров в системе частотно-

фазовой автоподстройки частоты

2.5 Выводы

3. ОЦЕНКА СТРУКТУРЫ ЗАДАННОЙ ОБЛАСТИ ПАРАМЕТРОВ

КУСОЧНО-ЛИНЕЙНОЙ АВТОНОМНОЙ СИСТЕМЫ

3.1. Критерий классификации и особенности создания обучающего множества

3.3. Качество оценки структуры областей параметров

3.4. Оценка структуры заданной области параметров системы Чуа для фиксированных значений ш0, т1

3.5. Изменение структуры заданной области параметров системы Чуа

при изменении фиксированных параметров

3.4.5 Изменение структуры фазового пространства системы Чуа в

заданной области параметров

3.4.7 Выводы

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

ЛИТЕРАТУРА

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Применение методов теории классификации объектов для оценки структуры пространства параметров»

ВВЕДЕНИЕ

Актуальность темы. В связи с изучением условий устойчивого функционирования сложных систем актуальными становятся вопросы выделения в пространстве параметров областей, соответствующих различным динамическим свойствам системы. Структурные особенности современных систем требуют как можно более полного изучения соответствующих существенно нелинейных математических моделей. Родоначальники классической нелинейной динамики - А.Пуанкаре, А.М.Ляпунов, Дж.Биркгоф, Б.Ван дер Поль, Л.И.Мандельштам, А.А.Андронов, Н.Н.Боголюбов, Н.М.Крылов, Ю.И.Митропольский разработали эффективные методы анализа нелинейных динамических систем, но полученные результаты на этом этапе касались в основном двухмерных систем или предполагали определенное соотношение параметров, при которых рассмотрение многомерной математической модели сводилось к рассмотрению нелинейных дифференциальных уравнений не выше второго порядка.

Дальнейшее развитие качественной теории в рамках школы А.А.Андронова- Л.И.Мандельштама нашло свое отражение в работах Ю.И.Неймарка, Н.Н,Баутина, Е.А.Леонтович, Л.Н.Белюстиной, Л.П,Шильникова, В.С.Афраймовича, Н.К.Гаврилова и других представителей этой школы. Развитие с начала 60-х годов вычислительной техники дало новый толчок для развития численных методов исследования структуры фазового пространства многомерных динамических систем и методов определения бифуркационных кривых для различных устойчивых многообразий. С 70-х годов интерес исследователей переключается на изучение хаотической динамики.

Методики, разработанные в рамках качественно-численных методов позволяют подробно исследовать структуру фазового пространства динамических систем при фиксированных значениях параметров, но

выделение областей параметров, соответствующих заданным свойствам исследуемого объекта наталкивается на трудности, связанные с высокой размерностью фазового пространства или существенно нелинейным характером модели.

Одновременно с появлением ЭВМ возник и начал бурно развиваться раздел математики, который получил название теории распознавания образов. Классическая постановка задачи теории классификации предполагает создание обучающего множества из объектов, для которых априорно известно, какому классу они принадлежат, вывод решающего правила определенного качества на основе информации об объектах обучающего множества, установление класса новых объектов в соответствии с полученным правилом. Качество решающего правила характеризуется вероятностью ошибочной классификации новых объектов, отличных от объектов обучающего множества.

Таким образом, сложилась ситуация, когда результаты полученные в качественной теории исследования нелинейных динамических систем позволяют подробно исследовать структуру фазового пространства динамической системы в отдельных точках параметров, а методы теории классификации объектов позволяют по результатам исследования отдельных точек параметров получить усредненную характеристику областей параметров, соответствующих заданным свойствам динамической системы.

Настоящая работа посвящена оценке эффективности применения методов теории классификации объектов для оценки структуры заданной области параметров нелинейных динамических систем. В работе рассмотрена постановка задачи использования методов теории классификации для оценки структуры областей параметров динамических систем, математической моделью которых является система обыкновенных дифференциальных уравнений, рассматриваются вопросы качества такой оценки, приводятся результаты применения методов теории классификации для оценок областей параметров нелинейной автономной диссипативной

системы с одной периодической координатой и для кусочно-линейной системы Чуа. Эффективность применения методов теории классификации проиллюстрирована на математической модели системы частотно-фазовой автоподстройки частоты и на кусочно-линейной системе дифференциальных уравнений третьего порядка, известной как система Чуа, динамика которой при некоторых фиксированных значениях параметров подробно рассмотрена в работе [62].

Динамика рассмотренных в работе систем частотно-фазовой автоподстройки частоты рассмотрена достаточно подробно. В работах [37,53] имеются результаты исследования частных случаев математическими моделями которых являются системы дифференциальных уравнений второго порядка. В работе [53] установлены типы установившихся движений, возможных в данной системе в общем случае. Оценка структуры заданных областей параметров методами теории классификации объектов и сравнение полученных оценок с известными результатами позволяет проиллюстрировать эффективность применения методов теории классификации для оценки структуры областей параметров и получить некоторые новые количественные результаты разбиения пространства параметров на области, соответствующие неизменной структуре фазового пространства.

Изучение динамики системы Чуа также вызывает устойчивый интерес исследователей. Получены обобщающие условия возникновения, сохранения и разрушения странных аттракторов в фазовом пространстве системы. В связи с этим представляет интерес оценка областей существования странных аттракторов методами теории классификации и оценка общего разбиения областей параметров, содержащих области существования странных аттракторов. В работе [62] имеются результаты разбиения плоскости параметров т0,т] на области, соответствующие разной структуре фазового

пространства. В диссертационной работе на примере рассмотрения той же плоскости параметров продемонстрирована эффективность использования

методов теории классификации объектов для оценок таких областей, а также приводятся новые результаты разбиения решающими функциями заданной четырехмерной области параметров на области, соответствующие неизменной структуре фазового пространства.

Цель работы вытекает из актуальности темы и заключается в оценке эффективности применения методов теории классификации объектов для исследования структуры пространства параметров динамических систем; в разработке теоретических основ, алгоритмов и программных средств для оценки структуры областей параметров и для определения качества такой оценки.

Методы исследования. Согласно сформулированной цели диссертационной работы для исследования структуры фазового пространства динамических систем необходимо использовать методы качественной теории дифференциальных уравнений , метод точечных отображений, методы компьютерного моделирования, оценки структуры областей параметров выполнены методами теории классификации объектов.

Научная новизна диссертации. В процессе решения поставленных задач получены следующие новые результаты.

1 .Осуществлена постановка задачи оценки структуры областей параметров динамических систем в терминах теории классификации объектов.

2.Разработана методика оценки структуры областей параметров в терминах теории классификации объектов для систем, математическими моделями которых являются системы обыкновенных дифференциальных уравнений.

3.Предложен вариант решения задачи оптимизации качества оценки структуры областей параметров методами теории классификации объектов.

4.С помощью разработанных способов исследования, реализованных в программных средствах, получены оценки структуры заданной области параметров для системы частотно-фазовой автоподстройки частоты,

математической моделью которой является автономная нелинейная система трех дифференциальных уравнений с одной периодической координатой, и для автономной кусочно-линейной системы дифференциальных уравнений третьего порядка - системы Чуа.

Практическая ценность. Предложенный принцип оценки областей существования позволяет по результатам исследования структуры фазового пространства в отдельных точках параметров предсказывать динамические свойства системы в некоторых областях параметров, что является важным для исследования динамики объектов, математическими моделями которых являются существенно нелинейные многомерные дифференциальные уравнения. Результаты оценки структуры областей параметров, полученные методами теории классификации можно рассматривать как основу для более детального исследования структуры пространства параметров и фазового пространства системы и для определения различных динамических свойств.

Вопросы, рассмотренные в диссертации, являются частью научных исследований, проводимых на кафедре теории колебаний и автоматического регулирования ННГУ.

Публикации и апробация результатов по теме диссертации опубликовано 11 печатных работ. Материалы диссертационной работы обсуждались на XXXVI Всесоюзной сессии, посвященной Дню радио (Москва, 1981), на Всесоюзной конференции "Проблемы повышения эффективности и качества систем синхронизации. " (Каунас - 1982, Львов -1984), на VIII Всесоюзной конференции "Проблемы теоретической кибернетики" ( Горький, 1988), на Научной конференции по радиофизике (Нижний Новгород, 1993), на 4-й конференции "Нелинейные колебания в механических системах"(нижний Новгород, 1996), на научной конференции по радиофизике (Нижний Новгород, 1997).

Содержание работы. Диссертационная работа состоит из введения, трех глав и заключения.

Введение содержит обоснование актуальности темы исследования, целей исследования, оценку научной новизны, краткое изложение содержания работы.

Первый раздел посвящен постановке задаче оценки структуры областей параметров в терминах теории классификации объектов. П.п. 1.1 и 1.2 содержат обзор традиционных методов исследования динамических систем и методов решения задачи классификации объектов. В пункте 1.4 описан способ оценки качества приближения границ областей параметров, соответствующих неизменной структуре фазового пространства, методами теории классификации. В пункте 1.5 приведено описание алгоритмов, применяемых в процессе исследований.

Во втором разделе рассматриваются особенности применения методов теории классификации объектов для оценки структуры областей параметров диссипативной нелинейной автономной динамической системы с одной периодической координатой. Вводятся описания численных характеристик установившихся движений, возможных в системе рассматриваемого типа, рассматриваются особенности вывода и оценки качества решающих правил. В качестве примера динамической системы указанного типа рассмотрена система частотно-фазовой автоподстройки частоты [53]. Для нее получены оценки границ областей параметров, соответствующих неизменной структуре фазового пространства в виде кусочно-постоянных решающих функций оптимального качества. Приводятся проекции решающих функций на плоскости различных значений параметров.

В третьем разделе излагается постановка и решение задачи оценки структуры областей параметров для автономной, кусочно-линейной системы дифференциальных уравнений. В качестве примера рассмотрена система Чуа:

— = а(у - щх - О,5(т0 - щ)\\х +1| - \х -1|]

йу

— = х-у + г

Л

сЬ

Известны [62] результаты разбиения плоскости параметров (а,(3) этой системы при ш0=0.142857, ш1=0.285714 на области с различным количеством установившихся движений разного типа. Исследуемая область параметров включает большое количество узких подобластей. Это обстоятельство обуславливает необходимость исследовать структуру фазового пространства для значительного количества значений параметров, близких к бифуркационным. Фазовое пространство при таких значениях параметров имеет нечеткую структуру, поэтому численное исследование, как правило, затруднительно.

Для указанных фиксированных значений тО и т1 приводится

сравнение разбиения плоскости параметров, полученные в [62], и оценки этих же областей методами теории классификации объектов с целью апробации разработанного подхода. Для рассматриваемой системы получена функция вероятности ошибки, достигающая минимального значения для обучающего множества определенной длины. Ограничение объема обучающей выборки в соответствии с изменением вероятности ошибки классификации позволяет сократить количество численных экспериментов для значений параметров, близких к бифуркационным.

Получены новые результаты разбиения фиксированной четырехмерной области параметров (а,Р,шО,т1) на области, соответствующие неизменной структуре фазового пространства. Выделены области, соответствующие существованию в фазовом пространстве системы установившихся непериодических движений. Для полученных оценок структуры параметров методами теории классификации приводятся характеристики качества полученного разбиения.

Заключение содержит основные результаты работы и выводы.

1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ ПРИМЕНЕНИЯ МЕТОДОВ ТЕОРИИ КЛАССИФИКАЦИИ ОБЪЕКТОВ ДЛЯ ОЦЕНКИ СТРУКТУРЫ ОБЛАСТЕЙ ПАРАМЕТРОВ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ.

1.1. Обзор традиционных методов исследования структуры фазового пространства динамических систем.

Успешное проектирование сложных технических систем требует всестороннего исследования динамических свойств физических объектов. Характерные особенности динамики системы удобно изучать на математической модели - совокупности понятий состояния динамической системы в некоторый момент времени и оператора Т, определяющего изменение состояния динамической системы во времени [15]. При этом состояние системы рассматривают как точку некоторого пространства, называемого фазовым пространством. Изменению состояния системы отвечает в фазовом пространстве движение изображающей точки по фазовой траектории. Исследование поведения физического объекта сводится к изучению разбиения фазового пространства на траектории и к выяснению зависимости структуры этого разбиения от значений физических параметров системы. Будем рассматривать динамические системы, математическими моделями которых являются обыкновенные дифференциальные уравнения.

Первоначально теория динамических систем строилась на основании результатов Пуанкаре (1878-1900), Ляпунова (1893), Биркгофа (1908-1944) и результатах, касающихся точечных отображений, полученных в конце 19-го и 20-го века Кённигсом, Ламереем, Латтесом, Адамаром. Интерес физиков и техников на этом этапе ограничивался рассмотрением линейных приближений математических моделей динамических систем. Но для всестороннего рассмотрения явлений в различных областях физики математический аппарат линейных дифференциальных уравнений оказывался недостаточным. В его рамки не укладывались как раз наиболее

характерные и интересные явления. Попытки лианеризовать заведомо нелинейные уравнения приводили к потере результатов и ошибкам. Специалисты отмечают наиболее бурное развитие теории нелинейных динамических систем в рамках школ Мандельштама-Андронова (Москва-Горький) и Крылова-Боголюбова (Киев) (с 1920 до наших дней) Отметим, что с 20-х годов в области исследования "конкретных динамических" систем исследователи шли двумя путями. Первый связан с разработкой специальных методов, ориентированных на решение частных задач в физических или технических науках. Второй путь - исследование аналогий в поведении динамических систем из различных областей науки и построение общих математических инструментов, позволяющих описывать и изучать динамические явления. Этот путь дает начало двум различным подходам, реализованным соответственно в рамках школ Мандельштама-Андронова и Крылова-Боголюбова.

Первый подход опирается на использование качественных методов для исследования динамических систем. Известно [15], что структура фазового пространства полностью определяется особыми фазовыми траекториями системы. К последним относятся особые точки, соответствующие состояниям равновесия системы или ее стационарным движениям, изолированные замкнутые траектории, называемые предельными циклами, сепаратрисные кривые и поверхности, которые являются границами областей притяжения к различным устойчивым особым траекториям. Особые элементы фазового пространства могут образовывать интегральные многообразия. Качественные методы рассматривают природу особых траекторий и их эволюции при изменении параметров системы или при наличии непрерывного структурного изменения системы.

Второй подход соответствует использованию для исследования аналитических методов. Здесь решения дифференциальных уравнений, составляющих математическую модель системы, определяются посредством сходящихся или, по меньшей мере, асимптотически сходящихся разложений

в ряд, или в среднем. К аналитическим методам традиционно относятся метод малого параметра Пуанкаре, асимптотические методы Крылова-Боголюбова-Митропольского, метод усреднения и метод гармонической лианеаризации в теории нелинейных колебаний.

Два эти подхода составляют две относительно независимые ветви теории нелинейных колебаний. Они не являются чисто математическими или чисто физическими. Но они имеют одни и те же цели: создание математических инструментов для решения конкретных задач, разработка общей теории динамических систем.

В разработке и развитии теоретических основ первого подхода главную роль играют работы в рамках школы Мандельштама-Андронова. Основные результаты основателей школы - Л.И.Мандельштама и А.А.Андронова связаны с исследованием нелинейных колебательных систем 2-го порядка. Дальнейшее развитие школа получила в работах Ю.И.Неймарка, Н.Н.Леонова, Л.Н.Белюстиной, Л.П.Шильникова и др. Одним из наиболее важных вкладов является вклад Ю.И.Неймарка, существенно развившего теорию точечных отображений. Исследования представителей этой школы были направлены в основном на разработку подходов изучения динамики многомерных систем, на исследование бифуркаций, которые переводят системы Морса-Смейла в системы со счетным множеством периодических орбит. Имеется много таких бифуркаций различных типов. Ю.И.Неймарком была рассмотрена задача структурного неустойчивой гомоклинической или гетероклинической структуры. Л.П.Шильников, В.С.Афраймович, Н.К.Гаврилов изучили некоторые из этих бифуркаций , соответствующих наличию структурно неустойчивых гомоклинических или гетероклинических кривых, связанных с точками равновесия или периодическими орбитами для дифференциальных уравнений порядка выше третьего. С начала 70-х годов основное внимание исследователей было обращено на хаотическую динамику.

Развитие аналитических методов шло по пути приближения трансцендентных решений дифференциальных нелинейных уравнений. Существенный вклад в развитие аналитических методов сделала школа Крылова-Боголюбова. Для исследования динамики систем в этом случае был использован классический метод возмущений., который был обобщен этой школой на неконсервативные системы. В 1932 году метод Крылова-Боголюбова дал окончательное обоснование исследованиям Ван-дер-Поля, касающимся осцилляторов. Затем асимптотический метод улучшается Ю.А.Митропольским - за счет использования только асимптотически сходящихся разложений в ряд. В основном вклад этой школы относится: к системам с одной или несколькими степенями своды, к определению периодических или почти периодических решений, к определениям переходных режимов, к свойствам интегральных многообразий, к нелинейным резонансам, к явлению синхронизации. Работы этой школы касались также исследования динамических систем с идеальными задержками.

С 1960 года бурное развитие вычислительной техники дало широкое распространение численному подходу в задачах исследования структуры фазового пространства динамических систем. Качественные и аналитические методы позволяют для определенных типов динамических систем указать, какие установившиеся движения существуют в фазовом пространстве исследуемой системы при заданных значениях параметров, Опираясь на результаты качественного и аналитического исследования, с помощью численных методов оказалось возможным проследить эволюцию теоретически установленного установившегося движения, начиная со значений параметров, при которых исследуемая система приводится к теоретически изученному типу до значений параметров, для которых теоретических результатов нет. Использование численных методов привело к дискретизации как исследования поведения фазовых траекторий, так и определения бифуркационных значений параметров.

1.2. Выделение групп подобных объектов методами теории классификации объектов.

Классификация объектов как научная дисциплина начала формироваться одновременно в СССР и США примерно со 2-ой половины 50-х годов.

В СССР первая работа в области классификации объектов была выполнена в 1959 г. Одним из основоположников современной теории информатизации A.A. Харкевичем. Значительный вклад в развитие теории и практики классификации объектов внесли В.М.Глушков, Я.З.Цыпкин, Ю.И.Журавлев, В.А.Ковалевский, Н.Г.Загоруйко, М.А.Айзерман, Э.М.Браверман, Л.И.Розоноэр, М.М.Бонгард, В.Н.Вапник, А.Я.Червоненкис и др. С 1962 года до настоящего времени в Горьком под руководством Ю.И.Неймарка, Ю.Г.Васина и др. ведутся работы по применению и развитию теории классификации объектов вначале для задач медицинской диагностики, а затем и для других прикладных задач.

В США основоположником работ в области классификации объектов является Розенблатт- создатель перцептрона, модели деятельности мозга, связанной с распознаванием образов.

Первые работы в области классификации объектов помимо исследования перцептрона были посвящены главным образом теории и практике построения чистых автоматов и само слово "образ" использовалось для обозначения напечатанного или написанного от руки знака, изображающего букву или цифру. Математическим аппаратом постановки и решения задач классификации объектов с момента их возникновения явилась теория статистических решений. Основы этой теории разработаны Дж. Нейманом и К. Пирсоном.

В классической постановке задача классификации представляет собой задачу преобразования входной информации, в качестве которой уместно

рассмотреть некоторые примеры, в выходную, представляющую собой заключение о том, к какому классу относится классифицируемый образ. В более широкой трактовке задачу классификации можно сформулировать следующим образом. Имеется некоторая совокупность объектов или явлений. В соответствии с выбранным принципом классификации она подразделена на ряд классов, т.е. составлен алфавит классов. Разработан словарь признаков, на языке которого описывается каждый класс объектов. Созданы технические средства, обеспечивающие определение признаков, а на вычислительных средствах системы классификации реализован алгоритм классификации, позволяющий сопоставлять апостериорные данные о неизвестном объекте с априорной информацией и на основе сопоставления определить, к какому классу он может быть отнесен.

В настоящее время различают детерминистскую и статистическую постановки задачи классификации объектов, а обучение делится на обучение с учителем и без него.

Задача классификации с учителем состоит в следующем: некоторые объекты, описывающиеся какими-то признаками, разделены учителем в простейшем случае на два класса А и В. Нужно по статистическим выборкам А и В (обучающие выборки) объектов классов А и В определить без указания учителя, к какому из классов принадлежит новый объект, не входящий в статистические выборки А и В.

Если ввести в рассмотрение пространство признаков X, то каждый объект в нем будет изображаться некоторой точкой x{xi,x2-..xn}, классы А и В - множествами точек А и В, статистические выборки - подмножествами А и В точек множеств А и В. Априорные вероятности появления точек классов А - Р(А), и вероятности появления точек класса В - Р(В), а также плотности вероятности fA(x) и fß(x) неизвестны.

Требуется на основе предъявления системе классификации объектов обучающей выборки с указанием классов, которым они принадлежат, построить в признаковом пространстве гиперповерхность, разделяющую это

пространство на .области, соответствующие классам А и В. При этом разделение должно осуществляться в каком-либо смысле наилучшим образом. В детерминистской постановке гиперповерхности соответствует некоторая функция равная +1 в точках множества А и равная -1 в точках множества В, в статистической постановке функция Г представляет собой вероятность принадлежности некоторой точки классам А или В, предъявляемая точка будет помещена в тот класс, для которого больше вероятность попадания.

В последние годы происходит переход от изучения и построения простых классифицирующих устройств к созданию сложных, больших систем классификации. Построение сложных систем классификации требует решения ряда теоретических и инженерных задач: разбиение множества объектов на классы(создание алфавита классов), выбора классов объектов в условиях ограничений пространства признаков и описания на языке признаков либо путем непосредственной обработки исходной априорной информации, либо на основе методов обучения или самообучения; разработки и построения технических средств определения признаков; разработки методов и алгоритмов обработки информации техническими средствами, а также методов и алгоритмов собственно решения задач классификации; разработки методов и алгоритмов оптимизации процессов классификации в системе; оценки эффективности системы классификации в различных режимах ее функционирования и других специфических задач.

1.3. Постановка задачи оценки структуры областей параметров методами теории классификации объектов.

Таким образом, в рамках качественной теории дифференциальных уравнений разработаны методические основы оценки структуры областей параметров, основанные на отслеживании эволюции установившихся

движений и на определении бифуркационных значений одного из параметров.

Для систем, математическими моделями которых являются нелинейные дифференциальные уравнения выше второго порядка и динамические свойства которых зависят более чем от двух параметров, пока не удается получить полное решение задачи определения структуры пространства параметров, хотя результаты, полученные в теории нелинейных дифференциальных уравнений позволяют исследовать поведение системы в отдельных точках пространства параметров.

Вместе с тем сформировалась новая область информатики, которая имеет целью создание технологий выявления знаний, их сохранения, переработку и использование для получения новых знаний . Одна из составных частей этой области - теория классификации объектов. Методы теории классификации позволяют по описаниям отдельных объектов выводить правила для выделения множеств объектов с одинаковыми свойствами. Такие множества называют классами.

В связи с этим представляется целесообразным использовать качественные и численные методы теории дифференциальных уравнений для исследования структуры фазового пространства динамической системы в отдельных точках параметров, а затем получить глобальные оценки структуры заданных областей пространства параметров методами теории классификации объектов. Задачу выделения областей параметров, соответствующих неизменной структуре фазового пространства можно интерпретировать как задачу разделения области параметров динамической системы на классы.

Рассмотрим систему, математической моделью которой является система обыкновенных дифференциальных уравнений вида:

у гЧУ (1.1)

Здесь ^ - фазовые переменные, ^ ,а2 ...»Эщ - параметры модели. Для каждой точки параметров в фазовом пространстве динамической системы существует ки состояний равновесия разной устойчивости, кр периодических координат. Требуется в ограниченной области параметров А выделить подобласти параметров А{ такие , что для значений параметров из этих подобластей в фазовом пространстве системы (1.1) существует 1 различных установившихся движений . Обозначим поставленную задачу как задачу I.

Сформулируем задачу I в терминах теории классификации объектов. Будем рассматривать каждую точку пространства параметров в качестве объекта классификации. Когда для группы объектов результаты исследования структуры фазового пространства оказываются аналогичными, будем считать, что объекты принадлежат одному классу. Тогда задачу выделения областей А^ можно интерпретировать как задачу разделения области параметров А на К классов, таких что класс А^ - множество параметров, при которых в фазовом пространстве модели существует 1 установившихся движений. Для решения задачи I требуется вывести правило определения принадлежности точек области А заданному классу. Вывод правила - задача теории классификации. Решение этой задачи включает следующие основные этапы: создание обучающей выборки, вывод правила.

1.3.1. Создание обучающей выборки. Обучающая выборка - это множество объектов, для которых каким-либо способом установлена принадлежность тому или иному классу. На основе информации о векторах обучающего множества путем выполнения некоторой вычислительной процедуры выводится решающее правило, которое позволяет относить вновь предъявляемые объекты к одному из классов, выявленных для обучающего множества.

В качестве объектов классификации будем рассматривать векторы а(а1,а2,...,ат) из области параметров А. В описание объекта добавим

дополнительную координату ат+1=1. Таким образом вектор а(аьа2,...,ат) преобразуется в пополненный вектор образов а(а1,а2,...,ат,1).

На этапе создания обучающего множества для ограниченного числа векторов известными качественными и численными методами необходимо провести исследование структуры фазового пространства с целью определения количества различных установившихся движений в фазовом пространстве и указания соответствия выбранной точки какому-либо классу.

Рассмотрим особенности определения класса исследуемого объекта.

Объект характеризуется координатами выбранной точки параметров. Класс объекта определяется максимальным количеством различных установившихся движений в фазовом пространстве системы при заданных значениях параметров.

Установившиеся движения являются предельными множествами фазовых траекторий или точечных отображений. Для определения максимального количества установившихся движений необходимо выбрать множество начальных условий Ф0 такое, что оно содержит хотя бы по одной точке из областей притяжения всех установившихся движений, возможных в исследуемой динамической системе .установить предельные множества фазовых траекторий или соответствующих им точечных отображений с начальными условиями из Ф0 иопределить максимальное количество установившихся движений.

Для определения максимального количества различных установившихся движений введем численные характеристики

установившегося движения так, чтобы можно было различать типы движений, а движения одинакового типа, различались бы по положению в фазовом пространстве.

По определению [16], установившиеся движения - это предельные движения, которые асимптотически устанавливаются в динамической системе. В свою очередь точка - предельная точка фазовой траектории

если можно указать бесконечновозрастающую последовательность времен ^^¿з,... такую, что

Нтх(Ч) = хи,

1-Х»

С учетом малых возмущений, приближение фазовой траектории к предельному множеству будет наблюдаться лишь в том случае, когда xw -предельное множество не только для фазовой траектории х(1), но и для всех других фазовых траекторий, близких к х(1;) [16]. Если множество xw обладает этим свойством асимптотической устойчивости, то оно является аттрактором. Простейшие установившиеся движения - это асимптотически устойчивые состояния равновесия, предельные циклы. Простейшие установившиеся движения могут образовывать интегральные многообразия. Наряду с простейшими установившимися движениями в динамических системах возможно существование сложных установившихся движений, в которые входят несколько простых, так называемых, странных или стохастических аттракторов.

Основными характеристиками простейших установившихся движений являются: тип и характеристика положения в фазовом пространстве.

В качестве характеристики положения в фазовом пространстве используем матрицу координат точек предельного множества фазовой траектории или точечного отображения. Обозначим ее Х^ и назовем матрицей предельного множества. Матрица предельного множества характеризует местоположение предельного множества в фазовом пространстве. Обозначим Х1к матрицу предельного множества, полученную в момент времени Матрицы имеют размерность пхг, где г - количество точек предельного множества. Если г=1, предельное множество является состоянием равновесия, если г=сопз! - тороидальным многообразием и, в частности, циклом.

В общем случае для аналитической характеристики странных аттракторов необходимо определять специальные величины. В случае численного моделирования не будем рассматривать задачу точного определения установившегося движения как странного аттрактора. Воспользуемся тем фактом, что точки странного аттрактора локализованы в некоторой области фазового пространства и будем характеризовать предельное множество траектории как возможный странный аттрактор, если к некоторому моменту времени среднее значение радиус-вектора фазовой траектории мало отличается от некоторого постоянного значения, и при этом для рассматриваемой траектории не удается определить предельное множество конечной длины. Местоположение странного аттрактора в фазовом пространстве будем характеризовать средними значениями фазовых координат.

Установившиеся движения будем считать различными, если у них не совпадает хотя бы одна из характеристик: или местоположение в фазовом пространстве или тип. Состояния равновесия системы определяются известными качественными и численными методами и перенумеровываются.

Тип т-го установившегося движения будем характеризовать вектором

Мт(п1т,П2т,...Пяп) 2=П+кр+3

Координаты щт характеризуют: п1т равно номеру устойчивого состояния равновесия, если предельным множеством траектории оказалось состояние равновесия и равно нулю для установившихся движений другого типа п2т равно г - количеству точек в предельном множестве, координаты с номерами 3<1<2+кр+п используются для характеристики тороидальных многообразий: значения первых кр координат п^ равны периодам по периодическим координатам или нулю, если изменение периодической координаты координаты не превышает ее периода, значения следующих п координат равны периодам по времени фазовых координат с

соответствующими номерами; последняя координата вектора N с номером

Ьп+кр+З характеризует возможный странный аттрактор и равна его

очередному номеру, если установившееся движение численно определено

как возможный странный аттрактор, в противном случае равна нулю.

Простое предельное множество каждой исследуемой траектории будем

характеризовать матрицей координат точек предельного множества

траектории или точечного отображения и вектором N01. Возможный

странный аттрактор будем характеризовать вектором средних значений

координат, и вектором

Сформулируем критерий классификации предлагаемых объектов

пространства параметров системы (1.1). Для этого введем функцию М(Ф0) -функцию количества обнаруженных в фазовом пространстве различных установившихся движений на множестве начальных условий Ф0. Для характеристики класса имеет значение только количество и тип обнаруженных установившихся движений. Поэтому по мере определения предельных множеств траекторий с начальными условиями из Ф0, из полученных векторов Ит сформируем матрицу описания класса - матрицу К^. При этом будем включать в матрицу векторы N„1 ^ соответствующие

установившимся движениям, различающимся как местоположением, так и типом. Класс рассматриваемой точки пространства параметров характеризуется составом и длиной матрицы ^.Состав матрицы К)

характеризует количество в фазовом пространстве системы установившихся движений, различных по типу и местоположению.

Перенумеруем классы в порядке обнаружения. Критерий

принадлежности заданной точки параметров классу [ можно сформулировать

следующим образом: точка обучающего множества принадлежит классу ], если к моменту определения тахМ(у0), сформирована матрица К;,

Уо ефо ^

определяющая принадлежность рассматриваемой точки параметров классу с номером ]. Обозначим это критерий К.

По результатам исследования структуры фазового пространства заменим дополнительную координату вектора параметров на номер класса -

Предположим, что в результате обучения обнаружено к1 классов.

1.3.2. Вывод решающего правила. На основании информации о векторах обучающего множества, используя методы теории классификации объектов [77,76,78], можно вывести правило для классификации других точек пространства параметров. В частности решающим правилом может быть уравнение поверхности, отделяющей один класс от другого. Такой вид решающего правила удобен для наглядной оценки структуры областей параметров, соответствующих различной структуре фазового пространства. Если в процессе обучения выделено более двух классов, то задачу разделения области параметров А на К классов будем решать путем последовательного разбиения области А на 2 класса - класс А! - области параметров, соответствующих классу с выбранным номером ] и А2 - области параметров, соответствующие другим классам, а каждый вектор параметров а преобразуем по следующему правилу: если « £ то умножим координаты вектора на (-д) , если а е Ар то оставим вектор без изменения. Уравнение поверхности, разделяющей классы называется решающей функцией. Простейшим случаем решающей функции является линейная решающая функция:

VIа = 6(у/}= \Vjaj +\У2а2+...+штат+лут+1

После перехода к пополненному вектору образа и изменения знака координат у векторов класса А2 на противоположный решающая функция будет обладать следующим свойством:

а > 0, если а е А^ а < 0 , если а е А2.

Далее задача состоит в том, чтобы используя известные в теории классификации вычислительные процедуры, определить коэффициенты вектора так, чтобы как можно больше точек обучающей выборки классифицировались правильно.

Полученная таким образом решающая функция с1("№) является оценкой границ области существования набора установившихся движений определенного типа.

Как правило , вид разделяющей поверхности неизвестен, поэтому для уменьшения количества ошибок классификации целесообразно воспользоваться понятием обобщенной решающей функции:

С!(\У) = w1f1(a)+W2f2(a)+...+wkfk(a)+wk+1 (1.11)

Выбирая разные функции ^ , можно улучшить качество решающей функции в смысле уменьшения количества ошибок классификации, но при этом увеличивается размерность пространства образов, соответственно увеличивается объем обучающей выборки, вместе с тем заранее неизвестно, какие именно функции ^ следует выбирать. Для более полного использования информации о векторах обучающего множества целесообразно перейти к кусочно-постоянным решающим функциям.

Таким образом, в результате обучения и вывода решающего правила каждому классу ставится в соответствие решающая функция.

1.4. Качество оценки структуры областей параметров динамических систем методами теории классификации объектов.

Для упорядочивания поиска приемлемой функции необходимо ввести функцию качества разбиения области параметров динамической системы на классы.

Оценки структуры областей параметров методами теории классификации объектов основана на численном моделировании. Поэтому точность результатов и оценок ограничена разрядностью и быстродействием ЭВМ. Последнее обстоятельство способствует накоплению вычислительных погрешностей на каждом этапе исследования. Определим качество оценки структуры областей параметров как вероятность ошибки хотя бы на одном из этапов проведения эксперимента: или на этапе исследования структуры фазового пространства в отдельных точках параметров и создания обучающего множества или на этапе определения решающей функции. Обозначим эту вероятность Р. Рассмотрим особенности определения качества оценки на каждом из этапов.

1.4.1. Качество решающего правила. Для каждой решающей функции <1^) определим качество этой функции как Ру - вероятность ошибок классификации объектов класса j решающей функцией, полученной на обучающем множестве длины 1.

Задачей теории классификации образов является поиск решающей функции с1(\у), которая минимизирует вероятность ошибок классификации. В классической постановке задачи поиск выполняется на обучающей последовательности фиксированной длины 1. Увеличение длины последовательности для таких традиционных задач классификации объектов как медицинская диагностика, геология, метеорология и др. связана с большими материальными или временными затратами. Известно [76], что по конечной выборке нельзя найти алгоритм, который безусловно гарантировал бы успех поиска решающей функции заданного качества.

Особенностью использования решающих функций для оценок различных областей параметров математических моделей динамических систем является возможность практически неограниченно увеличивать длину обучающей последовательности. Длина обучающего множества может быть ограничена лишь возможностями ПЭВМ, используемой для численного

моделирования. Таким образом, теоретически можно получить решающую функцию, для которой Ру=0.

Но, вместе с тем, следует учесть, что исследователь может рассмотреть только отдельные точки области параметров и вероятность пропустить вектор какого-либо класса отлична от нуля, а также то, что обучение ведется на ограниченном множестве векторов. При определении класса объекта по результатам численного эксперимента накапливается ошибка определения класса. Эти условия накладывают ограничения на объем обучающего множества и позволяют выделить множество параметров, на котором получается решающая функция оптимального качества.

Рассмотрим основные составляющие функции качества решающего правила класса ].

Поскольку, как правило, заранее неизвестно, где сосредоточены точки того или иного класса, то естественно распределять точки обучающего множества равномерно в области А и выбирать их в узлах сетки с шагами

Ьг^,

где а.[ и Ъ»! - соответственно минимальное и максимальное значение ьго параметра, щ - количество узлов в интервале изменения ьго параметра. Тогда вероятность того, что пропущена точка какого-либо класса, т. е. вероятность ошибки при выборе векторов обучающего множества можно вычислить так:

Рсет=^- (1-12)

(=1

Известно, что качество полученного решающего правила можно оценивать величиной вероятности ошибки классификации[76].

(1ЛЗ)

где 1 - длина обучающего множества, N=111 для обобщенной решающей функции (1.11) и №=т(к+1) для кусочно-постоянной функции, причем т -размерность пространства образов, а к - количество кусков. Определим вероятность ошибки классификации точек ]-го класса как:

ри =

ш(к^1) т(к; +1) —,ес ли---<1

2*1 2*1

1,е с ли--->1

2*1

Таким образом, обработка обучающей выборки методами теории классификации объектов обуславливает возможное наличие ошибок на одном из этапов: либо при выборе значений параметров - Рсет либо при определении решающей функции Ру.

1.4.2. Вероятность ошибки определения класса объекта при обучении. Объект характеризуется координатами выбранной точки параметров. Класс объекта определяется количеством и типом установившихся движения в фазовом пространстве системы при заданных значениях параметров.

Рассмотрим особенности численного определения установившихся движений.

Поскольку возможности аналитического исследования зачастую ограничены высокой размерностью фазового пространства динамической системы и высокой размерностью пространства параметров, то для исследования особенностей структуры фазового пространства проводят численное моделирование поведения системы и характеризуют установившиеся движения численными характеристиками.

При этом вычисления проводятся с некоторой точностью, ограниченной разрядностью и быстродействием ЭВМ. Последнее

обстоятельство, в свою очередь, приводит к погрешностям в определении характеристик установившихся движений.

Установившееся движение характеризуется вектором типа и вектором координат. Определим вероятности ошибок определения координат установившегося движения. Для этого воспользуемся понятием функции ошибки:

2 ь

Р(г+1)о ш = е1ОД = —г= 1е_и2с1и

л! Ж £

Положение установившихся движений в фазовом пространстве характеризуется матрицей координат точек предельного множества.

Обозначим вероятность ошибки определения установившегося движения Р5 Обозначим погрешность определения координат установившегося движения в.

Координаты установившихся движений могут быть определены аналитически или численно. В случае аналитического определения 8=0 и соответственно Р5=0. В случае численного определения неизбежна некоторая погрешность 8. В этом случае Р8 отлична от нуля.

По определению последовательность СьС2,...Ср точек фазовой траектории или точечного отображения является предельным множеством, если, начиная с некоторого момента времени Х{ для всех точек последовательности выполняется

р(С^к),С;(1к+1))=01=1,р (1.14)

При численном определении предельного множества считаем, что две точки фазовой траектории С; и С^- совпадают, если

Р (С;

То есть последовательность СьС2,...Ср точек фазовой траектории или

точечного отображения является предельным множеством, если, начиная с некоторого момента времени для всех точек последовательности выполняется с вероятностью, близкой к единице, неравенство

РШ,С^+1))<в 1=1,Р (1.14)

Предельным множеством траектории является такое множество точек фазовой траектории ,что данное неравенство выполняется для всех точек множества с вероятностью =1. Тогда к моменту времени 1;к вероятность погрешности в определении координат хотя бы одной точки предельного множества составит

Р8=1- (1-егТ(е))Р

Так как любые вычисления реализуются с некоторой точностью и в ходе вычислительного эксперимента происходит суммирование малых вычислительных погрешностей, то однократное выполнение условия (1.14) может быть случайным.

Определим вероятность Рсус наступления события (1.14) следующим образом. Будем рассматривать (1.14) как случайное событие и обозначим п -количество проведенных испытаний, т - количество благоприятных исходов, частость наступления (1-14) как

Р

п

п

Известно [95], что частость случайного события является случайной величиной и, при достаточно больших п, частость распределена нормально, причем значение центра распределения близко к значению априорной

вероятности события. Поскольку среднее арифметическое случайных величин Sn при больших п стремится к математическому ожиданию Мсус, то для оценки вероятности события (1.14) необходимо определить количество испытаний, которое необходимо для того, чтобы среднее арифметическое отличалось от математического ожидания не более чем на заданную величину А с вероятностью а.

|Sn-Mcyc|<A (1.15)

Поскольку среднее арифметическое является

нормальнораспределенной случайной величиной, то можно воспользоваться неравенством:

Sn-Mcvc

P(-za < ^ сус < +za) - 2Ф0(га) = а Vn

где а - вероятность, с которой должно выполняться неравенство (1.14) Ф0 - функция Лапласа:

1 z

ф0 = ie~du

V2п о ,

ст - оценка - дисперсии среднего арифметического, п - количество испытаний. По заданной исследователем вероятности а можно определить z а. Тогда для выполнения (1.14) должно выполняться неравенство:

z

Откуда получаем оценку необходимого числа испытаний:

(1.16).

Таким образом, чтобы оценить вероятность событий (1.14), необходимо провести не менее п испытаний. Если частости, полученные на (п-1) и п-м шаге отличаются менее чем на величину вр, то последовательность СьС2,...Ср точек фазовой траектории или точечного отображения является предельным множеством с вероятностью

р =И

гсус ' п

если после п испытаний ш раз выполнилось условие (1.14) и при этом частоты двух последних испытаний отличались не более чем на вр. Таким образом, вероятность ошибки определения координат установившегося движения составит:

Р8=1-(1-ег£(вЖ1-ег%))(1-Рсус),

где р - длина предельного множества.

Если предельным множеством траектории является интегральное многообразие, то условие (1.14) должно выполняться по каждой координате интегрального многообразия и вероятность ошибки в этом случае составит:

Р=1-(1-еГ^8))гт(1-егГ(8р))т(1-Рсус)т,

где т -количество периодических координат, г - количество предельных точечного отображения или фазовой траектории.

Если за заданное количество итераций не удается обнаружить предельное множество из конечного количества элементов будем считать, что предельным множеством траектории является странный аттрактор с вероятностью:

Р,=1-(1-(1-ега[Ер»Р(

Согласно критерию, сформулированному в п. 1.3, для определения класса исследуемой точки параметров необходимо определитьтахМ(.у0),где

у0 - вектор начальных условий, функция М(у) - функция количества установившихся движений на множестве начальных условий, Ф0 -множество начальных условий, такое, что среди них есть хотя бы одна точка из области притяжения каждого установившегося движения. В общем случае структура границ областей притяжения установившихся движений неизвестна, поэтому начальные условия для определения максимального значения М(у0) выбираются по условию равновероятности попадания начальных условий в области притяжения различных установившихся движений, при этом возникает вероятность пропуска области притяжения какого-либо установившегося движения. Обозначим вероятность ошибки при поиске максимума функции Ртах- Пусть поиск максимума осуществляется за к шагов, то есть для определения максимума было исследовано к траекторий. Тогда вероятность того, что I- я точка параметров классифицирована без ошибок определяется как:

Р1=1-0-Ртах)*(1-Рз)>

Установившиеся движения характеризуются вектором координат и вектором типа. Вследствие накопления малых вычислительных погрешностей координаты предельных точек точечного отображения или фазовой траектории определяются с некоторой погрешностью, что обуславливает вероятность ошибки различения множеств - Р^. Общая вероятность ошибок обучения для ьй точки параметров из обучающего

множества составит:

Рг1-(1-Ртах)(1-Р8)(1-Р1с1) (1-17)

В результате создания обучающего множества в каждом классе окажется некоторое количество точек, при этом принадлежность классу

определена с некоторой вероятностью. Определим качество обучающего множества как вероятность ошибки при определении класса хотя бы одной точки. Обозначим вероятность Роб:

Роб = 1-П(1-Р;)

ы (1.18)

1.4.3.Особенности функции качества оценки структуры областей параметров. Вероятность ошибки хотя бы на одном из этапов построения разделяющей функции для заданного класса составляет:

РГ1-(1-Рсет)(1-Ри)(1-Роб) (1.19)

где j - номер класса. Тогда качество оценки разбиения фиксированной области параметров на классы можно оценить величиной вероятности ошибки классификации точек хотя бы одного класса:

ы

Р = 1-(1-РсеТХ1-Роб)П(1-РД

j=l

Будем рассматривать эту функцию как функцию длины последовательности Р(1). Докажем, что эта функция имеет минимум и, следовательно существует обучающее множество объемом lmin, на котором можно получить решающее правило наилучшего качества.

При 1= 1 Рсет= 1, и Pj=1. При 1-»со из (1.12) следует, что

Заключение диссертации по теме «Применение вычислительной техники, математического моделирования и математических методов в научных исследованиях (по отраслям наук)», Редько, Ирина Николаевна

3.4.7 Выводы.

В данном разделе представлены результаты исследования структуры заданной области параметров системы (3.5).

Выбор системы определяется наличием в пространстве параметров областей, соответствующих существованию в фазовом пространстве странных аттракторов, и наличием большого количества узких областей, соответствующих удвоению кратности предельного цикла. Интерес представляет оценка эффективности применения методов теории классификации для оценки структуры пространства параметров в случае наличия областей, соответствующих существованию в фазовом пространстве странных аттракторов. Наличие результатов разбиения плоскости тО = -0.142857, т1=0.285714 традиционными методами [62] позволяет на этом частном случае проиллюстрировать эффективность применения методов теории классификации для оценки структуры области параметров с указанными особенностями.

В продолжение результатов, полученных в [62], представлены оценки разбиения других областей параметров методами классификации объектов: А1(5<(3<35; 5<а<15; т0=-0.14256; 0.01<т1<5), А2(5<(3<35; 5<а<15; -5<т0< 5; т1=0.285712), АЗ (0< а <35, 0< р <15, -5< тО <5, 0.01< т1 <5). Установлено существование области непериодических движений в области А1 для 0 < гп1 < 1 , в области А2 для -5 < тО < 0. В общем случае для области АЗ установлено, что на плоскости (а,(3) возможно существование непериодических движений в области (-5<ш0<0; 0.01

20 -о

10 -

35

Обласгь 1 - устойчивости симметричных состояний рг.вновесЧя

35в

-5

-2,5

-1

-0,125 0 т0

Область 6

35

35

2,5

Рис.26

ЗАКЛЮЧЕНИЕ.

В диссертационной работе впервые рассмотрена возможность использования методов теории классификации объектов для оценки структуры пространства параметров динамических систем, математическими моделями которых являются системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Наличие хорошо разработанных аналитических и численных методов исследования структуры фазового пространства в отдельных точках пространства параметров и методов выводов свойств групп объектов по свойствам отдельных представителей групп позволяют рассмотреть задачу оценки структуры фиксированной области параметров динамической системы и указать способ ее решения.

В процессе решения поставленных задач получены следующие новые результаты.

1 .Разработана постановка задачи оценки структуры областей параметров методами теории классификации объектов.

В предлагаемой постановке области параметров, соответствующие неизменной структуре фазового пространства, интерпретируются как классы. Объектом классификации является точка в пространстве параметров. Свойства объекта определяют значения параметров. Класс объекта определяет количество установившихся движений различного типа в фазовом пространстве системы. Определение уравнения функции, разделяющей объекты на классы выполняется на основании результатов исследования структуры фазового пространства для ограниченного количества объектов - обучающего множества.

2.Разработана методика оценки структуры областей параметров в терминах теории классификации объектов для систем, математическими моделями которых являются системы обыкновенных дифференциальных уравнений.

3.Предложен вариант решения задачи оптимизации качества оценки областей существования установившихся движений.

Установлено, что при некоторой длине обучающего множества вероятность ошибки классификации достигает минимального значения. Уравнение разделяющей функции, полученное на обучающем множестве такой длины целесообразно выбрать в качестве оценки границ классов.

4.0сновные возможности разработанного способа оценки пространства параметров проиллюстрированы на конкретных математических моделях. В качестве объектов исследования были использованы модели системы частотно-фазовой автоподстройки частоты (2.4) и (2.5); а так же модель кусочно-линейной автономной системы Чуа (3.5).

Структура фазового пространства моделей (2.4) и (2.5) известна по результатам работ [37]. Для данных систем интерес представляют сравнение результатов, полученных традиционными методами и результатов, полученных методами теории классификации, а также количественные оценки, полученные методами теории классификации объектов. Использование качественно-численных методов для исследования структуры фазового пространства и методов теории классификации позволяют для выбранной системы построить функцию вероятности ошибки классификации в зависимости от объема обучающей выборки и найти ее локальный минимум; для обучающего множества, соответствующего минимальной вероятности ошибки, выявить множества параметров, соответствующие постоянным структурам фазового пространства и указать количество таких множеств, построить функции, разделяющие эти множества параметров.

Для модели (2.4) получено разбиение области параметров А (0<у<1, 0<А, <1, 0<Ь<10, 0<|3<50) на подобласти, соответствующие глобальной устойчивости, существованию одного устойчивого цикла второго рода, существованию двух устойчивых циклов второго рода. Полученные оценки позволяют строить проекции границ выявленных областей на различные плоскости параметров.

Для модели (2.5) получено разбиение области параметров А (0<у<1, 0<А, <1, 0<Ь<10, 0<Р<50, ) на подобласти, соответствующие глобальной устойчивости, существованию одного устойчивого цикла второго рода, существованию двух устойчивых циклов второго рода. Для данной модели также приведены проекции оценок на различные плоскости параметров.

Для модели (3.1) получены количественные оценки разбиения области параметров А (0< а <35, 0< р <15, -5< ш0 <5, 0.01< ш1 <5). Установлены структуры фазового пространства, возможные для значений параметров из различных подобластей области А, получены оценки границ подобластей. Результаты проиллюстрированы проекциями структуры разбиения пространства параметров на различные плоскости параметров. Более подробно исследовано изменение структуры пространства параметров для фиксированных значений т0 и т1, рассмотренных в [62].

5. Полученные результаты позволяют сделать вывод о том, что предлагаемый способ оценки эффективен как возможность быстрого предварительного "просмотра" заданной области пространства параметров и выявления наиболее характерных особенностей рассматриваемой динамической системы. Результаты такого исследования с одной стороны дают общую характеристику структуры пространства параметров, с другой -служат базой для более детального изучения характерных особенностей и для обнаружения более тонких структур.

Вместе с тем, оценка разбиения заданной области параметров требует формализации процесса исследования структуры фазового пространства. Для различных целей исследования детализация формального описания может иметь различную степень точности. Предложенный в работе способ формального описания структуры фазового пространства позволяет выделить установившиеся движения основных типов и не позволяет точно идентифицировать странные аттракторы.

6.Следует также отметить, что предлагаемый способ полезен для получения конкретных количественных оценок структуры пространства параметров, если возможные структуры фазового пространства в заданной области удается установить теоретически.

7.Для существенно нелинейных систем с высокой размерностью фазового пространства и пространства параметров предложенный способ оценки структуры области параметров позволяет целенаправленно получать информацию об отдельных динамических свойствах таких систем и структуре фазового пространства в целом.

8.В работе рассмотрен способ выделения в пространстве параметров областей, соответствующих неизменной структуре фазового пространства. Частным случаем такой постановки задачи является задача выделения областей параметров, соответствующих заданным динамическим свойствам системы.

9.В диссертационной работе представлен способ оценки структуры фиксированной области параметров методами теории классификации объектов только для динамических систем, математическими моделями которых являются обыкновенные дифференциальные уравнения. Для дальнейших исследований интерес представляет возможность распространения полученных результатов на другие типы систем дифференциальных уравнений, рассмотрение динамических систем со случайными внешними воздействиями.

10.Предложенное комбинирование методов численного исследования структуры фазового пространства и методов теории классификации объектов позволяет формализовать процесс численного исследования структуры пространства параметров динамических систем, математическими моделями которых являются системы обыкновенных дифференциальных уравнений и является основой создания программного комплекса для изучения динамики систем.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Редько, Ирина Николаевна, 1997 год

ЛИТЕРАТУРА

1.Ляпунов A.M., Общая задача об устойчивости движения // ОНТИ. 1935.

2.Биркгоф Дж., Динамические системы // М.: Гостехиздат. 1941.

3.Пункаре А., О кривых, определяемых дифференциальными уравнениями // серия Классики естествознания, ГИТТЛ, 1947.

4.Хопф Э., Эргодическая теория // УМН 4, вып. 1,1949.

5. Андронов A.A., Витт A.A., Хайкин С.Э., Теория колебаний // М.:Наука,1981. 568 С.

6. Андронов A.A., Леонтович Е.А., Гордон И.И., Майер А.Г., Качественная теория динамических систем второго порядка // М.:Наука, 1966.

7. Андронов A.A., Леонтович Е.А., Гордон И.И., Майер А.Г., Теория бифуркаций динамических систем на плоскости //М.:Наука, 1967. 487 С.

8. Малкин И.Г., Методы Ляпунова и Пуанкаре в теории нелинейных колебаний // Гостехиздат, 1949.

9. Morse Е., Hedlund G.A., Symbolic dynamics // I,II, Amer. Jour. Math. 60, 1938; 62, 1940.

Ю.Баутин H.H., Леонтович E.A., Методы и приемы качественного исследования динамических систем на плоскости // М.: Наука, 1990. 488 С.

П.Смейл С., Дифференцируемые динамические системы // УМН 25, вып. 1 (1970).

12.Неймарк Ю.И., Метод точечных отображений в теории нелинейных . колебаний // М. Наука, 1972. 472 С.

13.Неймарк Ю.И., Стохастичность в динамических системах, Теория колебаний прикладная математика и кибернетика // Горький: Изд-во ГГУ, 1973. С. 3-11.

14.Неймарк Ю.И., Стохастические движения динамических систем // Динамика систем, вып.7, Горький: Изд-во ГГУ, 1974. С. 3-50

15.Бутенин Н.В., Неймарк Ю.И., Фуфаев H.A., Введение в теорию нелинейных колебаний // М.:Наука, 1976. 384 С.

16.Неймарк Ю.И., Теория нелинейных колебаний и стохастические движения динамических систем // Динамика систем, вып 12, Горький: Изд-во ГГУ, 1977. С. 74-95

17.Неймарк Ю.И., Динамические системы и управляемые процессы // М.: Наука, 1978. 335 С.

18.Неймарк Ю.И., Ланда П.С. Стохастические и хаотические колебания // М.: Наука, 1987. 424 С.

19 .Т Пильняков Л.П., О некоторых случаях рождения периодических движений из особых траекторий // Матем. сб. 61, вып. 4, 1963. С. 433-446.

20.Неймарк Ю.И., Шильников Л.П., Об одном случае рождения периодических движений // ДАН СССР 160, №6, 1965. С. 1261-1264.

21.Шильников Л.П., О рождении периодических движений из траектории, идущей из состояния равновесия типа седло-узел в него же // ДАН СССР 170, №1,1966. С. 49-52.

22.Шильников Л.П., Теория бифуркаций и модель Лоренца./УМарсден Дж., Мак Кракен, Бифуркация рождения цикла и ее приложения, М.: Мир, 1980. С. 317-335

23.Гаврилов Н.К„ Шильников Л.П., О трехмерных динамических системах с негрубой гомоклинической кривой //1,11, Матем. сборник 88, вып. 4, 1972; 90, вып. 1, 1973. С. 139-156.

24.Афраймович B.C., Шильников Л.П., О малых периодических возмущениях автономных систем // ДАН СССР, т. 12, №4, 1974. С.739-742.

25.Афраймович B.C., Быков В.В., Шильников Л.П., О возникновении и структуре аттрактора Лоренца // ДАН СССР, т.234, №2, 1977. С. 336-339.

26.Афраймович B.C., Шильников Л.П., Инвариантные двумерные торы, их разрушение и стохастичность // Методы качественной теории дифференциальных уравнений, Горький: Изд-во ГГУ, 1983. С. 3-26.

27.Гаврилов Н.К., О трехмерных динамических системах, имеющих негрубый гомоклинический контур // Мат. заметки, т. 14,№5, 1973. С.687-696

28.Арансон С.X.,Динамические системы на двумерных многообразиях // Качественные методы теории нелинейных колебаний, Киев, вып.2, 1970.

29.Белюстина Л.Н., Об изучении фазового пространства систем синхронизации // сб. "Фазовая синхронизация", М.: "Связь", 1975. С. 21-34

30.Белюстина Л.Н., Малые периодические возмущения грубой автономной системы // ДАН СССР 148, №2, 1963. С. 251-255.

31.Белюстина Л.Н., Определение качественной структуры грубой динамической системы путем приближенного построения особых траекторий // Изв. вузов, Радиофизика, т.2. №4, 1959. С. 638-653

32.Белюстина Л.Н., Исследование динамики систем фазовой синхронизации качественно-численными методами. - В кн.: Динамика систем // ГГУ, вып.З, 1974. С. 30-49.

33.Белюстина Л.Н., Малые периодические возмущения грубой автономной системы // ДАН СССР, №2, 148 (1963). С. 251-255.

34.Белюстина Л.Н., О полосе захвата и численном исследовании точечных отображений в некоторых задачах синхронизации // Горький: Изд-во ГГУ, Динамика систем, вып.З, 1976. С. 9-23.

35.Баталова З.С., Численное исследование динамических систем с помощью ЭВМ // Изв. вузов, Радиофизика, т. 10, №3, 1967. С. 417-428.

36.Баутин Н.Н., Некоторые методы качественного исследования динамических систем, связанные с поворотом поля // ПММ 37, вып. 6, 1973.

37.Шалфеев В.Д., К исследованию нелинейной системы частотно-фазовой автоподстройки частоты с одинаковыми интегрирующими фильтрами в фазовой и частотной цепях // Изв. вузов, Радиофизика 11, № 3(1968). С.1037-1051

38.Белюстина Л.Н.,Шалфеев В.Д., К теории нелинейной системы частотно-фазовой автоподстройки // Изв. вузов, Радиофизика, II, №3, 383 (1968). С.383-396

39.Белых В.Н., Шалфеев В.Д., Частотно-фазовая автоподстройка частоты с нелинейным фильтром в фазовой цепи управления // Изв. вузов, Радиофизика, II, №11 (1968). С. 1756-1759

40.Белюстина Л.Н., Кивелева К.Г., Шалфеев В.Д., Применение ЭВМ к расчету полосы захвата нелинейной системы ФАПЧ // Радиотехника, 1972, т.27, №7. С.36-39. С. 94-104

41.Белюстина Л.Н., Белых В.Н., Шалфеев В.Д., О захвате в системе ФАП при действии аддитивной гармонической помехи. - В кн.: Теория колебаний, прикладная математика и кибернетика // ГГУ, 1973, №1. С.94-106.

42.Белюстина Л.Н., Белых В.Н., О неавтономной фазовой системе уравнений с малым параметром, содержащей инвариантные торы и грубые гомоклинические кривые // Изв. вузов, Радиофизика, т. 15, №7, 1972. С. 1039-1048.

43.Белюстина Л.Н., Белых В.Н., Гомоклинические структуры, порождаемые простейшей моделью фазовой автоподстройки // в кн. Фазовая синхронизация, М.: Связь, 1975. С. 97-115.

44.Белюстина Л.Н., Белых В.Н., О глобальной структуре разбиения цилиндрического фазового пространства одной неавтономной системы // Дифференциальные уравнения, т.9, №4, 1973. С. 1039-1048.

45.Белюстина Л.Н., Белых В.Н., Качественное исследование динамической системы на цилиндре // Дифф. уравнения, т.9, №3, 1973. С. 403-415.

46.Белых В.Н., Качественные методы теории колебаний сосредоточенных систем // Уч. пособие, Горький, Изд. ГГУ, 1980. 97 С.

47.Белых В.Н., О бифуркациях сепаратрис седла системы Лоренца // Дифференциальные уравнения, т.20, №10, 1984. С. 1666-1674.

48.Белых В.Н., О качественном исследовании неавтономного нелинейного уравнения второго порядка // Дифференциальные уравнения, т. 11, №10, 1975. С. 1738-1753.

49.Белюстина JI.H., Кивелева К.Г., Фрайман Л.А., Качественно-численный метод в исследовании трехмерных нелинейных систем фазовой синхронизации // М.: Радио и связь, 1982. С. 117-121.

50.Белых В.Н., Некоркин В.И., Качественное исследование системы трех дифференциальных уравнений из теории фазовой синхронизации // ПММ, т.39, №4, 1975. С. 642-649.

51.Белых В.Н., Некоркин В.И., Динамика системы ФАП третьего порядка // Горький: Изд-во ГГУ, Динамика систем, вып.15, 1978. С. 143-151.

52.Белых В.Н., Некоркин В.И., О качественном исследовании многомерной фазовой системы // СМЖ, №4, 18, 1977. С. 723-735.

53.Некоркин В.И., Качественные структуры и бифуркации многомерной фазовой системы с двумя нелинейностями // Дифференциальные уравнения, 1980. С. 13-17.

54.Блехман И.И., Синхронизация динамических систем // М.: Наука, 1971. 894 С.

55.Шахгильдян В.В., Ляховкин A.A., Системы фазовой автоподстройки частоты // М.: Связь, 1972. 447 С.

56.Линдсей В., Системы синхронизации в связи и управлении // М.: Сов. радио, 1978. 598 С.

57.Барбашин Е.А., Табуева В.А., Динамические системы с цилиндрическим фазовым пространством // М.: Наука, 1969. 300 С.

58.Гелиг А.Х., Леонов Г.А., Якубович В.А., Устойчивость нелинейных систем с неединственным состоянием равновесия // М.: Наука, 1978. 400 С.

59.Фазовая синхронизация // Под ред. Шахгильдяна В.В., Белюстиной Л.Н., М.: Связь, 1975. 286 С.

60.Фазовая синхронизация // Под ред. Шахгильдяна В.В., Белюстиной Л.Н., М.: Радио и связь, 1982. 288 С.

61.Гапонов-Грехов A.B., Рабинович М.И., Хаотическая динамика простых систем // Природа, №2, 1981. СМ. 54-65.

62.Chua L.O., Komuro M., Matsumoto Т., The double Scroll Family // IEEE.Trans. on circuit and systems, v. cas-33, №11, november, 1986. pp. 10731118.

63 .Арнольд В.И., Дополнительные главы теории обыкновенных дифференциальных уравнений // М.: Наука, 1978.

64.Плисс В.А., Нелокальные проблемы теории колебаний // М. - Л.: Наука, 1966.

65.Айзерман М.А., Лекции по теории автоматического регулирования // Физматгиз, 1959.

66.Боголюбов H.H., Митропольский Ю.А., Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний // Физматгиз, 1958.

67.Крылов Н.М., Боголюбов H.H., Введение в нелинейную механику // Изд. АН УССР, 1937.

68.Митропольский Ю.И., Лекции по методу усреднения в нелинейной механике // "Наукова думка", 1966.

69.Понтрягин Л.С., Асимптотическое поведение решений систем дифференциальных уравнений с малым параметром при высших производных // Изв. АН СССР(сер. матем.) 21, вып. 7, 1957.

70.Тихонов А.Н., Системы дифференциальных уравнений, содержащие малые параметры при производных // Матем. сб. 31, вып. 3 , 1952.

71. Харкевич A.A., Опознание образов // Радиотехника, 1959, т. 14, 15.

72. Rosenblatt F., Perceptron simulation experiments // Proc. I.R.E. 1960, 48.

73.Неймарк Ю.И., Распознвание образов и медицинская диагностика // М.: Наука, 1972.

74.Васин Ю.Г., Хрошоприспособленные базисы и задачи обработки экспериментальной информации // Учебное пособие. - Горький: издательство Горьковского университета, 1979. 58 С.

75.Вапник В.Н., Восстановление зависимостей по эмпирическим данным // М.: наука, 1979.

76.Вапник В.Н., Червоненкис А.И., Теория распознавания образов // М.:Наука, 1974.415 С.

77.Ту Дж., Гонсалес Р., Принципы распознавания образов // М.: Наука, 1978.

78. Горелик A.JL, Скрипкин В.А., Методы распознавания //М., 1989.

79.Распознавание. Классификация, Прогноз // сб. под ред. Журавлева Ю.И.,вып. 2, 1989.

80.Журавлев Ю.И., Никифоов В.В., Алгоритмы распознавания, основанные на вычислении оценок // Кибернетика, №3, 1971.

81.Журавлев Ю.И., Об алгебраическом подходе к решению задач распознавания и ли классификации/УПроблемы кибернетики // М.: Наука, 1978, вып.З.

82. Цыпкин Я.З., Основы теории обучающихся систем // М.: Наука, 1970.

83.Айзерман М.А., Браверман Э.М., Розоноэр Л.И., Метод потенциальных функций в теории обучения машин // М.: Наука, 1970.

84.Математические методы в распознавании образов и дискретная оптимизация // сб., вып. 1, 1987; вып. 2, 1990.

85. Дуда Р, Харт П, Распознавание образов и анализ сцен //М.: Мир, 1976.

86. Гренадер У., Лекции по теории распознавания образов // М.Наука, 1981.

87.Васильев В.И., Принцип обучения распознаванию образов: принципы, алгоритмы, реализация // М., 1989.

8 8.Кисе лев Н.В., Методы построения систем распознавания и классификация негауссовых сигналов. // ЛГУ, 1986.

89.Еремин И.Н., Мазуров.В.Д., Вопросы оптимизации и распознавание образов//М.Д979.

90.Рудаков К.Н., О некоторых классах алгоритмов распознавания // М., 1980.

91.Липкин Л.И., Статистические задачи распознавания и алгебраические методы//М., 1985.

92.Налимов В.В., Голикова Т.И., Логические основания планирования эксперимента // М.,1981.

93. Регрессионные эксперименты: планировании и анализ // МГУ, 1977.

94.Стронгин Р.Г., Численные методы в многоэкстремальных задачах // М. :Наука, 1978.

9 5. Севастьянов Б. А., Курс теории вероятностей и математической статистики // М.: наука, 1982.

96.Корн Г., Корн Т., Справочник по математике // М.:Наука, 1973.

97.Мак-Кракен С.Х., Дорн У., Численные методы и программирование на ФОРТРАНе // М.: Мир, 1977.

98. Редько И.Н., Шалфеев В.Д. О динамике нелинейной системы частотно-фазовой автоподстройки частоты // XXXVI Всесоюзная сессия, посвященной Дню радио, тезисы доклада. Москва, 1981. С. 48.

99. Редько И.Н. О динамике нелинейной системы частотно-фазовой автоподстройки частоты при действии гармонической помехи // Всесоюзная конференция "Проблемы повышения эффективности и качества систем синхронизации", тезисы доклада. Каунас, 1982. С. 39

ЮО.Редько И.Н. О величине полосы захвата двухкольцевой системы фазовой синхронизации // Всесоюзная конференция "Проблемы повышения эффективности и качества систем синхронизации", тезисы доклада Львов, 1984. С. 41

101.Осипов Г.В., Панченко И.О., Редько И.Н., Хламова О.В. Шалфеев В.Д. Программный комплекс управления пакетами прикладных программ для решения задач моделирования динамики систем // Сборник "Оптимизация и моделирование в САПР", 1985, изд. ГГУ. С. 127-134

102.Редько И.Н. О величине полосы захвата системы частотно-фазовой автоподстройки частоты // Сборник "Теоретическая электротехника", №4, изд-во Львовского государственного университета, 1986. С. 58-61

103 .Редько И.Н. Применение методов классификации для исследования динамических систем // VIII Всесоюзная конференция "Проблемы теоретической кибернетики", тезисы доклада. Горький, 1988.

104.Редько И. Н., Шалфеев В. Д. О численной оценке области глобальной устойчивости в пространстве параметров уравнения маятникового типа //

Сборник "Теоретическая электротехника", № 5, 1989, изд-во Львовского государственного университета. С. 87-94.

105.Система автоматизации расчетов динамических характеристик типовых систем фазовой синхронизации // Отчет о НИР "Автомат"(заключительный),НИИ ПМК; руководители Белюстина Л.Н., Шалфеев В.Д., № ГР 81054239, инв.№0286.0083932, Горький, 1986.

106.Расчет динамических характеристик системы фазовой синхронизации при приближенном учете запаздывания и характеристик помехоустойчивости системы синхронизации по задержке при воздействии структурной помехи // Отчет о НИР "Автоматика" (заключительный), НИИ ПМК, руководители Белюстина Л.Н., Пономаренко В.П., № ГР 0184.0022498; инв. № 0285.0069161, Горький, 1985.

107.Редько И.Н. Оценка области глобальной устойчивости систем частотно-фазовой автоподстройки частоты методами теории распознавания образов, Научная конференция по радиофизике, ННГУ, Нижний Новгород, 1993. С. 86

108.Редько И.Н. Оценка области глобальной устойчивости уравнения маятникового типа методами теории классификации объектов // 4-я конференция "Нелинейные колебания в механических системах" ННГУ, 1996 г. С. 45-46.

Ю9.Редько И. Н. Применение методов теории классификации объектов для оценок областей существования установившихся движений // Научная конференция по радиофизике, посвященная 95-летию со дня рождения М.Т.Греховой ННГУ, 1997г. С.40

ПО.Редько И.Н., Шалфеев В.Д. Применение методов теории классификации объектов для оценок областей существования установившихся движений, Вестник ННГУ, Нелинейная динамика - синхронизация и хаос III, 1997г.