Применение метода собственных функций к определению и аппроксимации источников в задачах излучения и дифракции электромагнитных волн тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 00.00.00, кандидат наук Майоров Андрей Геннадьевич

• Майоров Андрей Геннадьевич
• кандидат наук
• 2023

Оглавление диссертации кандидат наук Майоров Андрей Геннадьевич

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА 1. МЕТОДОЛОГИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ СТРОГОГО

РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ИЗЛУЧЕНИЯ И ДИФРАКЦИИ

1.1 Общая постановка задач излучения и дифракции электромагнитных волн

1.2 Метод моментов

1.3 Метод собственных функций

1.4 Особенности численного решения полной проблемы

собственных значений в области пространства параметров

1.5 Общий подход к построению аппроксимационных моделей

1.6 Интегральные представления электромагнитного поля

1.7 Математическая модель трубчатого вибратора

1.8 Математическая модель тонкопроволочной структуры

1.9 Основные итоги главы

ГЛАВА 2. СПЕКТРАЛЬНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ИНТЕГРАЛЬНОГО ОПЕРАТОРА ВНУТРЕННЕЙ ЭЛЕКТРОДИНАМИЧЕСКОЙ ЗАДАЧИ

ДЛЯ ТРУБЧАТОГО ВИБРАТОРА

2.1 Сингулярное интегральное уравнение

2.2 Собственные значения и собственные функции

интегрального оператора

2.3 Результаты численного моделирования

2.4 Вычисление собственных значений

с помощью собственных функций

2.5 Сравнение с методом характеристических мод

2.6 Основные результаты главы

ГЛАВА 3. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ

ЭЛЛИПТИЧЕСКОЙ РАМОЧНОЙ СТРУКТУРЫ

И ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ СПИРАЛЬНОЙ СТРУКТУРЫ

3.1 Эллиптическая рамочная структура (ЭР)

3.2 Численное моделирование и анализ результатов для ЭР

3.3 Цилиндрическая спиральная структура (ЦС)

3.4 Численное моделирование

и анализ результатов для ЦС

3.5 Основные результаты главы

ГЛАВА 4. АППРОКСИМАЦИЯ РЕШЕНИЯ

ВНУТРЕННЕЙ ЗАДАЧИ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ

МЕТОДОМ СОБСТВЕННЫХ ФУНКЦИЙ

4.1 Тонкий трубчатый электрический вибратор

4.2 Аппроксимационная модель трубчатого вибратора

4.3 Результаты численного моделирования

4.4 Основные результаты главы

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

СПИСОК СОКРАЩЕНИЙ И УСЛОВНЫХ ОБОЗНАЧЕНИЙ

ПРИЛОЖЕНИЯ

ВВЕДЕНИЕ

Современную жизнь невозможно представить без радиоэлектронных систем, неотъемлемыми элементами которых являются приемные и передающие антенны, а также элементы устройств СВЧ. Также здесь можно отметить уже давно наметившуюся тенденцию на создание искусственных сред и материалов, обладающих заранее заданными свойствами, использующихся для создания новых устройств и способных значительно улучшить характеристики устройств, существующих на данный момент.

Важным аспектом при разработке упомянутых устройств и структур является создание их математических моделей, адекватно описывающих происходящие в них физические процессы. Основу здесь составляет математический аппарат электродинамики, который является мощным инструментом для исследования процессов излучения и дифракции электромагнитных волн и позволяет строить математические модели излучающих и переизлучающих структур различного уровня сложности.

Исторически первыми появились наиболее простые модели, опирающиеся на физику процессов, протекающих в рассматриваемых системах, описывающихся в довольно грубых приближениях. Далее происходило постепенное усложнение моделей, появлялись и развивались методы расчета структур, но серьезный качественный скачок в практическом применении строгих моделей пришелся на конец двадцатого века. Это произошло в связи с резким увеличением вычислительных мощностей ЭВМ, а также с увеличением их доступности для специалистов, занимающихся решением вопросов в рассматриваемой области.

История развития вычислительной электродинамики показала, что построение моделей излучающих и переизлучающих структур является очень нетривиальной задачей, и «прямое» решение многих электродинамических задач даже на современном уровне развития вычислительных технологий представляется за-

труднительным, а зачастую и невозможным. Таким образом, построение эффективных электродинамических моделей предполагает серьезное привлечение аналитических приемов, позволяющих преодолеть недостатки численных методов.

Потребность в эффективных и корректных математических моделях на сегодняшний день очень высока. Если говорить об излучающих структурах, то сейчас существует множество типов антенн: вибраторные, рамочные, щелевые, спиральные, рупорные, зеркальные, линзовые и т.д. Данные излучающие структуры используются не только в качестве самостоятельных антенн, но и как образующие элементы сложных антенных систем. Более того, эксперименты с геометрией излучающих структур приводят к появлению новых типов антенн.

В настоящее время для решения задач излучения и дифракции электромагнитных волн широко привлекаются системы автоматизированного проектирования (САПР). Существующие на сегодняшний день системы САПР обладают высокой точностью и универсальностью, что позволяет анализировать структуры произвольной конфигурации. В современных САПР реализованы прямые методы решения граничных задач, такие как метод конечных элементов (МКЭ) [1] и метод конечных разностей во временной области (РЭТЭ) [2]. В рамках МКЭ математические модели структур с помощью метода моментов [3] сводятся к системам линейных алгебраических уравнений (СЛАУ), решение которых представляется стандартной задачей. Несмотря на возрастающие мощности ЭВМ, даже сейчас электродинамический анализ структур с помощью САПР порой является крайне трудоемкой процедурой, требующей больших затрат машинного времени и оперативной памяти. Это связано с универсальностью САПР, а также пренебрежением дополнительными априорными сведениями о решаемой задаче.

Таким образом, разработка новых методов, направленных на исследование процессов излучения, дифракции и распространения волн в естественных и искусственных средах и способствующих созданию новых электродинамических систем является перспективным направлением развития в области радиофизики.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Применение метода собственных функций к определению и аппроксимации источников в задачах излучения и дифракции электромагнитных волн»

Актуальность работы

Развитие антенной техники происходило как в направлении поиска новых типов геометрии излучателей и приемников, так и в направлении применения все более новых типов материалов. Последнее можно отнести и ко всей технике СВЧ в целом. Если говорить о новых типах излучателей, то, к примеру, сейчас, разработчики, следуя опыту природы, конструируют антенные системы, используя фрактальный принцип самоподобия [4, 5]. Такие антенны имеют «сгущенные» частотные диапазоны и очень мощную спектральную структуру с большим числом резонансных частот. Касаясь темы новых материалов можно отметить, что в прошлом веке наиболее характерным является использование материалов естественного происхождения, с известными электродинамическими характеристиками (металлы, диэлектрики, полупроводники, ферриты и т.д.). В настоящее время все более популярными становится идея синтеза материалов с заранее заданными свойствами: диэлектрической и магнитной проницаемостью в заданной полосе частот, определенными параметрами анизотропии и т.д. Подобный подход позволяет получать материалы со свойствами, отсутствующими или крайне редко встречающимися в природе. Такие материалы называются метаматериалами [6, 7, 8]. Анализ существующих и создание новых излучающих и переизлучающих структур является мощным стимулом для дальнейшего развития методов электродинамики, на основе которых возможно создание их корректных и эффективных математических моделей.

Наиболее универсальным инструментом решения задач электродинамики являются уравнения Максвелла, однако непосредственное их применение к анализу конкретных структур, сопровождается большими вычислительными сложностями, связанными с необходимостью дискретизации больших пространственных областей.

Альтернативой здесь выступают непрямые методы, основанные на известном решении ключевой задачи об излучении точечного источника тока (функция Грина, [9]). Дискретизация в данном случае производится не по окружающему структуру пространству, а по области занимаемого ей пространства либо по излучающей поверхности. Наиболее важным в данном классе методов является метод конечных элементов (МКЭ) [1].

Отметим снова, что в рамках МКЭ математические модели структур с помощью метода моментов [3] сводятся к системам линейных алгебраических уравнений (СЛАУ), решение которых представляется стандартной задачей. Сложность прямого решения СЛАУ в зависимости от ее размерности N оценивается как 0(Ы3), поэтому даже незначительный рост N серьезно повышает трудоемкость решения. К тому же, СЛАУ большой размерности, как правило, имеют более плохие спектральные характеристики (хуже обусловлены), что негативно влияет на точность и устойчивость решения. Отметим, что размерность N непосредственным образом связана с выбором системы проекционных функций (СПФ), используемых в рамках метода моментов. Правильный выбор СПФ способен резко снизить значение N, улучшить спектральные характеристики матрицы СЛАУ, и в еще большей степени снизить трудоемкость решения СЛАУ. Оптимальными можно считать такие СПФ, при которых матрица СЛАУ является диагональной, что делает ее решение максимально простой процедурой. На этом достоинства указанного подхода не исчерпываются. Использование оптимальной СПФ существенно упрощает анализ и интерпретацию результатов. При включении рассматриваемого излучающего либо переизлучающего элемента в более сложную структуру и получении общей матрицы СЛАУ на конкретной частоте можно учитывать только те проекционные функции, которые вносят наиболее существенный вклад в формирование функции источника. Это позволяет сократить размер общей матрицы СЛАУ. Также можно использовать полученные СПФ в решении внутренней зада-

чи ([10, стр.9]) для структур, близких к рассмотренной. При этом можно ожидать, что матрица СЛАУ будет близка к диагональной, что делает возможным использование для решения СЛАУ методов Якоби и Гаусса-Зейделя [11], обладающих в данном случае быстрой сходимостью. Далее в диссертации будет показано, что наличие СПФ делает возможным построение аппроксимационных моделей (АМ) решения внутренней задачи электродинамики для исследуемой структуры. Этот факт является крайне важным, так как наличие АМ существенно уменьшает вычислительные затраты, упрощает интерпретацию решения и дает возможность прогнозирования результатов при изменении частоты, геометрических параметров структуры и параметров окружающего ее пространства.

Подводя итог сказанному, можно сделать вывод о том, что актуальность диссертационной работы связана с тремя моментами. Первый заключается в необходимости создания новых, более эффективных в вычислительном плане математических моделей излучающих и переизлучающих структур, адекватно и просто описывающих физику происходящих в них процессов. Второй момент связан с поиском оптимальных систем проекционных функций, используемых при решении внутренней задачи электродинамики. Наконец, третий момент связан с построением аппроксимационных моделей решения внутренней задачи электродинамики в заданной области частот и области значений параметров исследуемых структур.

Степень разработанности темы исследования

Объектами исследования диссертационной работы являются излучающие и переизлучающие элементы (далее по тексту: исследуемые структуры) - трубчатый вибратор, эллиптическая рамка и цилиндрическая спираль с линейным шагом намотки. В плане оценки степени разработанности темы исследования необходимо, во-первых, для каждой из этих структур установить факт наличия математиче-

ских моделей следующего вида: простейших (способных лишь к качественному описанию процессов в структуре), строгих (позволяющих получить количественные характеристики процессов), и аппроксимационных (представляющих систему аналитических выражений для решения внутренней электродинамической задачи). Во вторых, при наличии строгих моделей структуры необходимо установить факты наличия работ по исследованию спектральных характеристик интегрального оператора (ИО) внутренней электродинамической задачи. В процессе оценки степени разработанности также следует дать краткое исследование по применению строгих и приближенных методов анализа и построения математических моделей к различным структурам, включая рассматриваемые в диссертации.

Строгий подход к решению задач излучения и дифракции, как правило, предполагает использование систем интегральных и (или) интегро-дифферен-циальных уравнений, формулируемых относительно функций источников. Спектральные характеристики операторов этих систем подлежат определению в рамках метода собственных функций. В этой связи нельзя оставить без внимания работы, посвященные развитию строгих методов решения задач излучения и дифракции. Строгое решение задач дифракции рассмотрены в работах Ильинского А.С., Смирнова Ю.Г. [12], [13], Самохина А.Б. [14], Еремина Ю.А. [15], Дмитриева В.И., Пименова Ю.В., Захарова Е.В. [16], [17]. Среди зарубежных авторов здесь можно отметить работы Colton D. [18], [19], Costabel M. [20], Nedelec J.-C. [21], Stephan E.P. [22], Wendland W.L. [23] и т.д. Строгое решение задач излучения рассмотрены в работах Ильинского А.С., King R. [24], Pocklington H. [25], Hallen E. [26], Mei K. [27], Неганова В.А. [28], Лифанова И.К. [29] и др. Также можно отметить труды Неганова В.А., Нефедова Е.И. [30], Никольского В.В. [31], в которых рассматриваются строгие методы решения краевых задач в направляющих структурах. Таким образом, можно отметить, что в строгом решении электродинамических задач на сегодняшний день накоплен колоссальный опыт. Далее перейдем

к конкретным структурам, исследуемым в диссертации.

Первый объект диссертационного исследования - электрический вибратор. В целом можно отметить, что тонкий электрический вибратор является классическим объектом исследования в теории антенн, которому посвящено огромное количество работ. Часто при расчете характеристик излучения вибраторов используют приближение заданных токов [32], минуя стадию решения внутренней электродинамической задачи. Такой подход можно считать оправданным лишь для вибраторов небольшой электрической длины при рассмотрении дальней зоны излучения. Распределения токов при этом получают в результате приближенного решения соответствующей краевой задачи. Здесь также необходимо отметить, что тонкий электрический вибратор является одной из первых структур, для которых были сформулированы интегральные уравнения относительно токовых функций [25], [26], [33], [34], полученные в тонкопроволочном приближении и классифицируемые как ИУ Фредгольма первого рода [30]. Наиболее известной на сегодняшний день является тонкопроволочная модель вибратора, в рамках которой внутренняя задача сводится к интегральному уравнению (ИУ) Поклингтона [25]. Данная модель имеет ряд недостатков, рассмотренных в [35]. В работе [36] показано, что максимальный радиус вибратора, допускающий тонкопроволочное приближение, составляет 0.125% длины волны. В работе [37] произведен анализ устойчивости решения в тонкопроволочном приближении в зависимости от радиуса и параметров дискретизации. Существует также множество работ, в которых используются интегральные уравнения со слабой (логарифмической) особенностью, полученные для трубчатой модели вибратора. Среди подобных работ отметим [38], [39]. В [35] представлена более совершенная модель вибратора, решение внутренней задачи для которого сводится к сингулярному интегральному уравнению (ИУ) с особенностью типа Коши, записанному относительно производной поверхностной плотности тока. В [29] распределение тока для трубчатой модели вибратора вычисля-

ется с помощью гиперсингулярного ИУ.

В работе [40] предложено интегральное уравнение для тонкого криволинейного вибратора с гиперсингулярным ядром и приведен алгоритм его решения.

В [41] на основе одного из известных функции Грина в цилиндрической системе координат, получено сингулярное интегральное представление (СИП) электромагнитного поля (ЭМП) трубчатого вибратора. Эти результаты также вошли в монографию [28]. При постановке граничных условий СИП ЭМП переходит в сингулярное интегральное уравнение (СИУ) с особенностью типа Коши, записанное относительно производной тока по продольной координате. В [42] вибратор рассмотрен как частный случай трубчатой квазиодномерной структуры, приведен вывод СИП ЭМП трубчатого вибратора и сформулировано СИУ относительно азимутально-независимого тока на трубке.

Отметим, что по исследованию собственных функций (СФ) ИО в задачах излучения и дифракции автором диссертации не было обнаружено каких-либо значимых работ. При этом в [43] при решении внутренней задачи на толстом вибраторе использованы собственные функции сингулярного ИО, в [44] подобный подход был применен к решению внутренней задачи для печатных структур с металлизацией произвольной формы. Также есть работы Васильева Е.Н. [45], [46] более общего плана, в которых наличие у структур симметрии вращения позволяет в аналитическом виде определять азимутально-зависимую часть собственных функций, что на единицу снижает размерность решаемых задач. Еще более частным, но очень важным случаем, является строгое решение задачи дифракции ПЭМВ на однородной сфере произвольного диаметра и состава, находящейся в однородной среде [47]. Характерной особенностью перечисленных работ является то, что собственные функции имеют аналитическое представление. Особым случаем являются задачи электростатики, интегральный оператор которых является самосопряженным. В этом случае потери на излучение отсутствуют, а соб-

ственные функции и собственные значения являются действительными. Так, в [48] предложен алгоритм расчета распределения зарядов по поверхности проводника неканонической формы при наличии произвольного внешнего поля, позволяющий находить решение интегрального уравнения Фредгольма первого рода в виде разложения по собственным функциям интегрального оператора Фредгольма.

Здесь следует сказать о том, что при исследовании волноведущих структур метод собственных функций (МСФ), по сути, является основным, однако в литературе, как правило, рассматривают структуры без потерь, в результате чего оператор краевой задачи является самосопряженным. Такие задачи с несамосопряженными операторами рассмотрены Раевским С.Б. и его учениками [49]. Показано, что в данном случае в волноведущих структурах существуют комплексные волны, а также возможно явление комплексного резонанса.

Наиболее часто исследование интегральных операторов с целью отыскания оптимальных СПФ осуществляют методом характеристических мод [50], [51], [52] (МХМ). Среди очевидных достоинств метода можно отметить работу с симметричными действительными матрицами, решение полной проблемы собственных значений для которых имеют довольно простую реализацию, а также ортогональность векторных диаграмм направленности в дальней зоне излучения, создаваемых различными характеристическими модами. Существенный недостаток метода заключается в низкой устойчивости вычислительной процедуры. Тем не менее, имеется достаточно большое количество работ по применению МХМ. Так, в [53] метод применен к исследованию электромагнитных резонансов уединенных тонкостенных углеродных нанотрубок произвольной формы, в [54] предложен алгоритм интерполяции собственных значений и собственных функций для ускорения оценки поведения характеристических мод в широкой полосе частот. Для численной проверки метода были выбраны антенна типа «галстук-бабочка», самолет и сферическая поверхность. Сделан вывод о эффективности предложенного

алгоритма. В [55] рассмотрена проблема характеристических мод электрически малых проводящих объектов. Показано, что в этом случае собственные функции имеют слабо выраженную частотную зависимость, а собственные значения уменьшаются примерно в кубической зависимости от частоты. В результате предложено аппроксимировать собственные функции и собственные значения простыми математическими выражениями в широкой полосе частот. В [56] приведены результаты исследования модовых характеристик трехмерных проводящих объектов произвольной формы в слоистой среде без потерь. В качестве основного уравнения для численного анализа используется интегральное уравнение электрического поля с функцией Грина для слоистой среды.

С учетом исследований состояния указанной темы были написаны работы [57], [58], [59], [60], [61], [62], [63]. В [57] рассмотрены спектральные характеристики ИУ Поклингтона, в [58], [59], [60] сформулированы задачи исследования оператора сингулярного интегрального уравнения для трубчатого вибратора методом собственных функций и методом характеристических мод. В [61] рассмотрено применение метода собственных функций для обращения матрицы импедан-сов. Сравнение численных результатов представлено в разделе 2.5 диссертации. В [63] проведено исследование зависимости собственных значений сингулярного интегрального оператора от частоты и геометрических размеров трубчатого вибратора. Определены асимптотики собственных значений при малых длинах и малых радиусах вибратора. Был сделан вывод о том, что исследованные зависимости допускают простую полиномиальную аппроксимацию, а для собственных функций интегрального оператора целесообразна аппроксимация гармоническими функциями. Следует отметить, что подход к решению внутренней электродинамической задачи с использованием собственных функций интегрального оператора был предложен Табаковым Д.П. и сформулирован в общем виде в [64], где в процессе обсуждения материалов с рецензентами был назван методом собственных

функций.

В [62] представлены результаты аппроксимации решения внутренней задачи для трубчатого вибратора на основе метода собственных функций. При этом в обеих работах делалось предположение о частотной независимости собственных функций. В [65], [66] Табаковым Д.П. был предложен общий подход к построению аппроксимационных моделей, на основе которого Майоров А.Г. построил аппрок-симационную модель трубчатого вибратора, учитывающая его радиус и электрическую длину.

Рамочные антенны являются одним из наиболее распространенных типов антенн. Они имеют широкую сферу применения (телевидение, сотовая связь, радиосвязь и т.д.). Их теоретическое исследование осуществлялось в течение довольно длительного времени, поэтому сейчас имеется довольно большое количество научных работ по данной тематике. В настоящий момент расчет характеристик подобных структур можно осуществлять с высокой степенью точности привлекая системы автоматизированного проектирования (САПР), с помощью инженерных формул, а также с помощью предлагаемых в различных работах моделей, имеющих различную степень сложности. В [67] анализ рамочной антенны осуществляется в приближении равномерного распределения тока. В [68] для расчетов используется теория длинных линий. В [69], [70] в поперечном сечении проводника, имеющего малые волновые размеры, для распределения тока вводится квазистатическое приближение. В [71] рассмотрена кольцевая полосковая антенна, для которой сформулирован бесконечный набор систем СИУ относительно Фурье-гармоник компонент вектора поверхностной плотности тока на полоске. Приведенные результаты позволяют оценить соотношение между амплитудами продольной и поперечной компонент тока.

Следует отметить, что строгие математические модели разработаны по большей части только для кольцевых рамок, имеющих наиболее простую геомет-

рию. Присутствующая в этом случае осевая симметрия структуры существенно упрощает решения внутренней задачи. Строгие модели рамок более сложной конфигурации (эллиптические, многоугольные и т.д.) не так сильно распространены, поэтому создание подобных математических моделей представляет собой актуальную задачу. Даже в случае строгих моделей, формулируемых в виде ИУ (в том числе сингулярных), авторы, как правило, ограничиваются анализом количественных характеристик распределений тока, не углубляясь в причины, приводящие к формированию этих распределений. Указанный момент является ключевым при создании адекватной картины внутренних физических процессов в рассматриваемых структурах. В [72] рассмотрена задача о собственных значениях интегрального оператора эллиптической рамочной структуры, для которых приведены частотные зависимости. Также в [72] приведены сечения паттернов излучения, создаваемых соответствующими собственными функциями. В [73] постановка задачи и результаты решения полной проблемы собственных значений для эллиптической рамочной структуры в существенно расширенном виде. Важным является тот факт, что собственные функции интегрального оператора для кольцевой рамки с квазистатическим приближением поперечного распределения тока имеют аналитический вид и выражаются через тригонометрические функции. В результате в указанном приближении можно получить аналитические выражения для распределения тока вдоль рамки и для ее входного сопротивления [74].

Спиральные элементы широко используются в СВЧ- и антенной технике в качестве самостоятельных антенн, в антенных решетках, как элементы облучателей зеркальных антенн, в замедляющих системах и других элементах СВЧ-устройств. Интенсивное исследование спиральных элементов как антенн началось еще в середине прошлого века, когда возникла необходимость в широкополосных излучателях с управляемой поляризацией [75]. С практической точки зрения спиральные элементы представляют интерес в качестве рассеивателей электро-

магнитного поля (ЭМП). Были построены математические модели с различной областью применения [76], [27]. При этом указанные математические модели используют различные приближения и допущения, в рамках которых результаты расчетов имеют, как правило, качественный, а не количественный характер, а исходная геометрия рассматриваемых структур заменяется сильно упрощенным эквивалентом. Так, регулярные цилиндрические спиральные антенны (СА) рассматривались в виде совокупности колец, в виде отрезка круглого волновода с анизотропно-проводящими стенками, для плоских СА адекватной считалась замена на резонансный кольцевой проводник с током и т.д. Для нерегулярных СА использовался принцип локальной эквивалентности. В целом здесь можно отметить, что границы, в рамках которого можно использовать тот или иной подход, являются сильно размытыми.

В настоящее время интерес к спиральным элементам возрос в связи с интенсивным исследованием метаматериалов [77], в частном случае обладающих свойством киральности [78]. Метаматериалы создаются на основе внедрения в диэлектрик различных включений определенной конфигурации. Эти включения можно рассматривать как атомы либо молекулы чрезвычайно больших размеров. Расположение и конфигурация включений определяют электродинамические свойства метаматериала. Очень часто рассматриваются включения в виде спиральных частиц. Как правило, исследование киральных сред осуществляется с помощью феноменологической теории [78], оперирующей параметром киральности. При исследовании метаматериалов часто используют эффективные значения диэлектрической и магнитной проницаемостей среды, в общем случае имеющих тензорный вид. Вычисление указанных параметров, имеющих к тому же зависимость от частоты, представляет собой самостоятельную достаточно сложную задачу, решаемую, зачастую, в различных приближениях. При этом делается предположение о малых электрических размерах внедряемых частиц и об относитель-

но больших расстояниях между ними. Это позволяет обойтись квазистатическими распределениями тока на частицах и пренебречь их взаимодействием. Однако наиболее интересного поведения подобных структур следует ожидать при размерах элементов и расстояниях между ними, соизмеримых с длиной волны.

Наиболее точными являются модели спиральных элементов, построенные на основе ИУ [27], [79], [80] и др. Основным недостатком такого подхода можно считать сложность численных расчетов и аналитических выводов. Здесь также, как и в для рамочных структур, в случае строгих моделей, формулируемых в виде ИУ, авторы обычно ограничиваются анализом количественных характеристик распределений тока без объяснения причины, приводящие к формированию этих распределений.

В [64] в качестве примера рассмотрена задача дифракции плоской электромагнитной волны на сферической спиральной частице с помощью метода собственных функций. Там же было отмечено, что информация о собственных функциях и собственных значениях является достаточной для полного описания исследуемой структуры, что делает возможным построение аппроксимационной модели решения внутренней задачи на основе МСФ. В [81] приведены результаты исследования оценки устойчивости формы собственных функций цилиндрической спиральной структуры в зависимости от частоты. В [82] в существенно более полном варианте приведены постановка задачи и результаты исследований характеристик операторов ИУ цилиндрической спиральной структуры.

Подводя итог оценке степени разработанности темы, можно кратко отметить следующее. В настоящий момент для исследуемых структур имеется множество разнообразных моделей, от довольно простых до сложных (строгих), формулируемых в виде систем интегральных уравнений. Результаты, получаемые с помощью простых моделей, имеют больше качественный, чем количественный характер, и при этом просты в интерпретации. Результаты, получаемые с помощью

строгих моделей, (как правило, реализованных в САПР), имеют в большей степени количественный характер и обычно более сложны в интерпретации. Наличие существующих на данный момент математических моделей и методов расчета электродинамических структур не снижает актуальности задач, связанных с построением новых математических моделей и разработкой новых методов электродинамического анализа структур. Большая часть современных проекционных методов ориентированы на использование универсальных систем проекционных функций, при этом платой за универсальность является увеличение вычислительных затрат. В этой связи крайне актуальной представляется задача поиска оптимальных систем проекционных функций для конкретных классов структур, тесно связанная с задачей исследования спектральных характеристик интегральных операторов. В настоящий момент подход, связанный с поиском и использованием оптимальных систем проекционных функций применительно к задачам излучения и дифракции, не получил достаточно широкого распространения, за исключением некоторых частных случаев. Также можно отметить, что в настоящий момент проблема аппроксимации решения внутренней задачи электродинамики для различных классов электродинамических структур практически нигде и никем не ставилась. Исключение составляют лишь тривиальные частные случаи для тонких вибраторов, кольцевых рамок и подобных простейших структур.

Объект и предмет исследования, цель работы

Объектом исследования диссертационной работы являются излучающие и переизлучающие элементы (далее по тексту: исследуемые структуры) - трубчатый вибратор, эллиптическая рамка и цилиндрическая спираль с линейным шагом намотки. Данные структуры широко применяются в антенной технике и технике СВЧ.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Майоров Андрей Геннадьевич, 2023 год

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

[1] Gallagher R.H. Finite element analysis: fundamentals. — Prentice-Hall, 1974.

[2] Allen Taflove, Susan Hagness. Computational Electrodynamics: The Finite-Difference Time-Domain Method. — Artech House Publishers, 1980.

[3] F. Harrington R. Field Computation by Moment Method. — Macmillan, New York, 1968. — P. 150.

[4] Нефедов Е. И. Антенно-фидерные устройства и распространение радиоволн. — M: издательский центр «Академия», 2006. — 320 с.

[5] Кравченко В. Ф., Масюк В. М. Кольцевые фрактальные антенные решетки // Электромагнитные волны и электронные системы. — 2004. — Т. 9, № 5. — С. 312.

[6] Nader Engheta. Metamaterials: Physics and Engineering Explorations. — Wiley & Sons & IEEE Press, 2006. — P. 440.

[7] Веселаго В. Г. Электродинамика веществ с одновременно отрицательными значениями е и д // Успехи физических наук. — 1967. — Т. 92, № 3. — С. 517526.

[8] Вендик И. Б., Вендик О. Г. Метаматериалы и их применение в технике сверхвысоких частот (Обзор) // Журнал технической физики. — 2013. — Т. 83, № 1. — С. 3-28.

[9] Морс Ф. М., Фешбах Г. Методы теоретической физики. — М., 1958.— Т. 1.— 931 с.

[10] Марков Г. Т., Ф. Чаплин. А. Возбуждение электромагнитных волн.— М.: Энергия, 1976. — 376 с.

[11] Дж. Голуб, Ч. Ван Лоун. Матричные вычисления: Пер. с англ. — М.: Мир., 1999.- 548 с.

[12] Смирнов Ю. Г., А.А. Цупак. Математическая теория дифракции акустических и электромагнитных волн на системе экранов и неоднородных тел: монография. — Москва: РУСАЙНС, 2016. — 226 с.

[13] Ильинский А.С., Смирнов Ю. Г. Дифракция электромагнитных волн на проводящих тонких экранах на системе экранов и неоднородных тел: монография.—Москва: Радиотехника, 1996.

[14] Самохин А. Б. Интегральные уравнения и итерационные методы в электромагнитном рассеянии. — Москва: Радио и Связь, 1998.

[15] Еремин Ю.А., Свешников А.Г. Метод дискретных источников в задачах электромагнитной дифракции. — Москва: Издательство МГУ, 1992.

[16] Дмитриев В.И., Захаров Е.В. Метод интегральных уравнений в вычислительной электродинамике. — Москва: Макс-Пресс, 2008.

[17] Захаров Е.В., Пименов Ю.В. Численный анализ дифракции радиоволн.— Москва: Радио и Связь, 1982.

[18] Колтон Д., Р. Кресс. Методы интегральных уравнений в теории рассеяния. — Москва: Мир, 1987.

[19] Colton D., Kress R. Inverse Acoustic and Electromagnetic Theory. — SpringerVerlag, 1992.

[20] Costabel M., Darrigrand E., H. Sakly. On the essential spectrum of the volume integral orerator in electromagnetic scattering // C.R. Acad. Sci. Paris. — 2012. — no. 350. — P. 193-197.

[21] Duran M., Muga I., Nedelec J.-C. The Helmholtz equation in a locally perturbed half-space with non-absorbing boundary // Archive for Rational Mechanics and Analysis. — 2009. — Vol. 191, no. 1. —P. 143-172.

[22] Heuer N., Stephan E.P. Iterative substructuring for hypersingular integral equations in R3 // SIAM Journal of Scientific Computing.— 1998.— Vol. 20, no. 2. — P. 739-749.

[23] Hhisao G.C., Wendland W.L. Boundary integral Equations. — New York: Springer, 2008.

[24] King R, Smith G. Antennas in Matter Cambridge. — Mass.: MIT Press, 1981.

[25] Pocklington H. C. Electrical oscillations in wire // Proceedings of the Cambridge Philosophical Society. — 1897. — no. 9. — P. 324-332.

[26] E. Hallen. Theoretical investigation into the transmitting and receiving qualities of antennas // Nova Acta (Uppsala). — 1938. — no. 11. — P. 1-44.

[27] Mei K.K. On the integral Equations of Thin Wire Antennas // IEEE Trans. on Ant. and Prop. AP-13. — 1965. — P. 374-378.

[28] Неганов В. А., Табаков Д. П., Яровой Г. П. Современная теория и практические применения антенн. / Под ред. В.А. Неганова. — М.: Радиотехника, 2009. — 720 с.

[29] Лифанов И. К. Особые интегральные уравнения и методы их численного решения. Учебное пособие по курсу лекций. — М.: Макс-Пресс, 2006. — 68 с.

[30] Неганов В. А., Нефедов Е. И., Яровой Г. П. Электродинамические методы проектирования устройств СВЧ и антенн / Под ред. В.А. Неганова. — М.: Радио и связь, 2002. — 416 с.

[31] Никольский В.В. Вариационные методы для внутренних задач электродинамики Изд. 2. - URSS, 2019. - 464 с.

[32] М. Сазонов Д. Антенны и устройства СВЧ: Учебник для радиотехнических специальностей вузов. — М.:Высшая школа, 1988. — 432 с.

[33] Эминов С.И. Теория интегро-дифференциальных уравнений вибраторов и вибраторных решеток // Электродинамика и техника СВЧ и КВЧ. — 1997. — Т. 5, № 2(18). — С. 2160-2168.

[34] Леонтович М. А., Левин М. Л. К теории возбуждения колебаний в вибраторных антеннах // ЖТФ. — 1994. — Т. 14, № 9. — С. 481.

[35] Неганов В. А. Физическая регуляризация некорректных задач электродинамики. — М.: Сайнс-Пресс, 2008. — 450 с.

[36] Радциг Ю.Ю., Сочилин А.В., Эминов С.И. Исследование методом моментов интегральных уравнений вибратора с точными и приближёнными ядрами // Радиотехника. — 1995. — № 3. — С. 55-57.

[37] Стрижков В.А. Математическое моделирование электродинамических процессов в сложных антенных системах // Математическое моделирование. — 1989. — Т. 1, № 8. — С. 127-138.

[38] Ильинский А. С. Метод интегральных уравнений в теории антенных решеток // РЭ. — 2019. — Т. 64, № 11. — С. 1096.

[39] Il'inskii A.S., Berezhnaya I.V. Mathematical Models of Thin Dipole Antennas // Computational Mathematics and Modeling. — 1990.— Vol. 1, no. 3.— P. 301317. — Consultants Bureau (United States).

[40] Лифанов И. К., Ненашев А. С. Гиперсингулярные интегральные уравнения

и теория проволочных антенн УУ Дифференциальные уравнения. — 2005. — Т. 11, № 1. — С. 121-137.

[41] Лемжин Михаил Игоревич. Применение сингулярных интегральных уравнений для анализа поля в ближней зоне электрических вибраторных антенн и решеток : дис. ... канд. физ.-мат. наук : 1.3.4. — Самара, 2009. — 119 с.

[42] Табаков Дмитрий Петрович. Сингулярные интегральные представления электромагнитного поля излучающих и переизлучающих структур специальной формы : дис. ... д-ра физ.-мат. наук : 1.3.4. — Самара., 2016.— 301 с.

[43] Эминов С.И., Сочилин А.В. Метод собственных функций сингулярных операторов в теории дифракции на толстом вибраторе УУ Журнал технической физики. — 1998. — Т. 68, № 4. — С. 96-101.

[44] Hybrid spectral-spatial method for the analysis of printed antennas У G. Vecchi [et al.] Radio Science. — 1996. —Vol. 31, no. 5. — P. 1263-1270.

[45] Васильев E. Н. Возбуждение гладкого идеально проводящего тела вращения У У Известия вузов. Радиофизика. — 1975. — Т. 10, № 4. — С. 530-538.

[46] Васильев E. Н. Возбуждение тел вращения. — М.: Радио и связь, 1987. — 272 с.

[47] G. Mie. Beitrage zur Optik trüber Medien, speziell kolloidaler Metallösungen У У Annalen der Physik. — 1908. — Bd. 330, H. 3. — S. 377-445.

[48] Расчет распределения зарядов пластин при наличии внешнего несимметричного поля У E. О. Кулешова [и др.] У У Известия Томского политехнического университета. — 2008. — Т. 312, № 4. — С. 75-80.

[49] Устройства СВЧ- и КВЧ-диапазонов. Методы расчета. Алгоритмы. Технологии изготовления. У Ю.А. Илларионов [и др.]. — М. : Радиотехника, 2013.— 752 с.

[50] Garbacz R. Modal expansions for resonance scattering phenomena // Proc.IEEE. - 1965. - Vol. 53. - P. 856-864.

[51] Harrington R., Mautz J. Theory of characteristic modes for conducting bodies // IEEE Trans. Antennas Propag. - 1971. - Vol. 19. - P. 622-628.

[52] Harrington R., Mautz J. Computation of characteristic modes for conducting bodies // IEEE Trans. Antennas Propag. - 1971. - Vol. 19.- P. 629-639.

[53] Electromagnetic resonances of individual single-walled carbon nanotubes with realistic shapes: A characteristic modes approach / A. M. Hassan [et al.] // IEEE Transactions on Antennas and Propagation. - 2016.- Vol. 64, no. 7.- P. 27432757.

[54] Su Donglin, Yang Zhao, Wu Qi. Interpolation strategy for broadband evaluation of characteristic modes // IET Science, Measurement & Technology. - 2018. -Vol. 12, no. 7.- P. 865-871.

[55] Wu Qi, Guo Siyuan, Su Donglin. On the Eigenmodes of Small Conducting Objects // IEEE Antennas and Wireless Propagation Letters. - 2014. - Vol. 13. -P. 1667-1670.

[56] Meng Min, Nie Zaiping. Study on characteristic mode analysis of three-dimensional conducting objects in lossless layered medium // IEEE Access. - 2018. - Vol. 6. -P. 77606-77614.

[57] Табаков Д. П., Майоров А. Г. Аппроксимация решения внутренней электродинамической задачи для тонкого электрического вибратора методом собственных значений // Материалы XVI МНТК «Физика и технические приложения волновых процессов» - г. Миасс. - 2018.

[58] Табаков Д. П., Майоров А. Г. О собственных функциях и характеристических модах трубчатого вибратора // III Научный форум телекоммуникации:

теория и технологии ТТТ-2019: Материалы XVII Международной научно-технической конференции - г. Казань. — 2019.

[59] Майоров А. Г. Сравнение решений внутренней задачи электродинамики для вибраторной антенны, полученных методом собственных функций и методом характеристических мод //IV Научный форум телекоммуникации: теория и технологии ТТТ-2020. Физика и технические приложения волновых процессов ФиТПВП-2020: Материалы XVIII Международной научно-технической конференции - г. Самара. — 2020.

[60] Майоров А. Г. Решение внутренней задачи электродинамики для вибраторной антенны методом собственных функций и методом характеристических мод // Тезисы докладов XXVIII Российской научно-технической конференции профессорско-преподавательского состава, научных сотрудников и аспирантов. — г. Самара. — 2021. — С. 97-98.

[61] Майоров А. Г. Обращение матрицы импедансов на основе аппроксимации задачи на собственные значения // Тезисы докладов XXIX Российской научно-технической конференции профессорско-преподавательского состава, научных сотрудников и аспирантов. — Самара. — 2022. — С. 89.

[62] Табаков Д. П., Майоров А. Г. Аппроксимация решения внутренней электродинамической задачи для тонкого трубчатого вибратора методом собственных функций // Труды учебных заведений связи. — 2019. — Т. 5, № 4. — С. 36-42.

[63] Табаков Д.П., Майоров А.Г. О собственных значениях интегрального оператора сингулярного интегрального уравнения тонкого трубчатого вибратора // Физика волновых процессов и радиотехнические системы.— 2019.— Т. 22, № 1. — С. 26-31.

[64] Табаков Д.П. Об описании излучения и дифракции электромагнитных волн

методом собственных функций // Известия высших учебных заведений. Радиофизика. - 2021. - Т. 64, № 3. - С. 179-191.

[65] Табаков Д. П., Майоров А. Г. Аппроксимация решения внутренней задачи электродинамики методом собственных функций // Письма в Журнал технической физики. - 2023. - Т. 49, № 9. - С. 26-28.

[66] Tabakov D.P., Mayorov A.G. Approximation of the solution of an internal problem of electrodynamics by the method of eigenfunctions // Technical Physics Letters. - 2023. - Vol. 49, no. 9. - P. 23-25.

[67] Wang T., Bell T. VLF/ELF input impedance of an arbitrarily oriented loop antenna in a cold collisionless multicomponent magnetoplasma // IEEE Transactions on Antennas and Propagation. - 1972.- Vol. 20, no. 3.- P. 394398.

[68] Ohnuki S., Sawaya K., Adachi S. Impedance of a large circular loop antenna in a magnetoplasma // IEEE Transactions on Antennas and Propagation. - 1986. — Vol. 34, no. 8.- P. 1024-1029.

[69] Андронов А. А., Чугунов Ю. В. Квазистационарные электрические поля источников в разреженной плазме // Усп. физ. наук. - 1975. - Vol. 116, no. 5. -P. 79-113.

[70] Мареев Е.А., Чугунов Ю.В. Антенны в плазме. — М. : Н.Новгород: ИПД АН СССР, 1991.- 231 с.

[71] Неганов В. А., Табаков Д. П. Задача о распределении поверхностной плотности тока по кольцевой полосковой антенне // Физика волновых процессов и радиотехнические системы. - 2007. - Т. 10, № 4. - С. 8-19.

[72] Табаков Д. П., Майоров А. Г. Собственные функции и собственные значения интегрального оператора внутренней задачи эллиптической рамки // IV

Научный форум телекоммуникации: теория и технологии ТТТ-2020. Физика и технические приложения волновых процессов ФиТПВП-2020: Материалы XVIII Международной научно-технической конференции - г. Самара. — 2020.

[73] Табаков Д. П., Майоров А. Г. Спектральные характеристики интегрального оператора внутренней задачи электродинамики для эллиптической рамочной структуры // Физика волновых процессов и радиотехнические системы. — 2023. — Т. 26, № 1. — С. 58-69.

[74] Неганов В. А., П. Табаков Д. Применение сингулярных интегральных уравнений для электродинамического анализа плоской кольцевой антенны // Антенны. — 2008. — № 10. — С. 25-33.

[75] Драбкин А.Л., Зузенко В.Л., Кислов А.Г. Антенно-фидерные устройства. Изд. 2-ое, доп. и перераб. — М.:«Сов. радио», 1974.— 536 с.

[76] Юрцев О.А., Рунов А. В., Казарин А.Н. Спиральные антенны.— М.: Сов радио, 1974. — 223 с.

[77] Физический энциклопедический словарь / Под ред. А. М. Прохорова. — М. : Большая российская энциклопедия, 1995.— 928 с.

[78] Неганов В.А., Осипов О.В. Отражающие, волноведущие и излучающие структуры с киральными элементами. — М.:Радио и связь, 2006.

[79] Adekola S, Mowete A, Ayorinde A. Compact Theory of the Broadband Elliptical Helical Antenna // European Journal of Scientific Research. — 2009.— Vol. 31, no. 3. — P. 446-490.

[80] Чебышев В. В. Микрополосковые антенны в многослойных средах. — М.: Радиотехника, 2007.

[81] Табаков Д. П., Майоров А. Г. Частотная устойчивость формы собственных функций интегрального оператора внутренней электродинамической задачи для цилиндрической спиральной структуры // IV Научный форум телекоммуникации: теория и технологии ТТТ-2020. Физика и технические приложения волновых процессов ФиТПВП-2020: Материалы XVIII Международной научно-технической конференции - г. Самара. - 2020.

[82] Spectral Characteristics of the Integral Operator of the Internal Problem of Electrodynamics for Cylindrical Spiral Structure / D. P. Tabakov [et al.] // Lobachevskii Journal of Mathematics. - 2023. - Vol. 44, no. 9. - P. 4078-4090.

[83] Морозов Сергей Владимирович. Интегральные представления электромагнитного поля тонкопроволочных излучающих структур с различными типами симметрий : диссертация ... к-та физ.-мат. наук : 1.3.4.- Самара., 2018.115 с.

[84] Вычислительные методы в электродинамике / Под ред. Р. Митра. - М.: Мир, 1977.- 487 с.

[85] Материал с сайта OpenNET. - URL: https://www.opennet.ru/man.shtml?topic= zgeev&category=3&russian=4 (дата обращения: 09.08.2023).

[86] Материал c сайта Wikipedia. - URL: https://ru.wikipedia.org/wiki/LAPACK (дата обращения: 09.08.2023).

[87] Ludick D. J., Jakobus U., Vogel M. A Tracking Algorithm for the Eigenvectors Calculated with Characteristic Mode Analysis // 8th European Conference on Antennas and Propagation (EuCAP). - 2014. - P. 629-632.

[88] Kalaba R., Spingarn K., Tesfatsion L. Individual tracking of an eigenvalue and eigenvector of a parameterized matrix // Nonlinear Analysis: Theory, Methods and Applications. - 1981. - Vol. 5, no. 4. - P. 337-340.

[89] Raines B., Rojas R. Wideband Characteristic Mode Tracking // IEEE Trans. Antennas Propagat. - 2012. - Vol. 60, no. 7. - P. 3537-3541.

[90] Неганов В. А., Табаков Д.П. Сингулярные интегральные представления электромагнитного поля как средство корректного решения антенных задач // Физика волновых процессов и радиотехнические системы.- 2014.- Т. 17, № 3. - С. 9-22.

[91] Справочник по специальным функциям / Под ред. М. Абрамовица и И. Сти-гана. - М.: Наука. Физматлит, 1979.- 832 с.

[92] Интегральное представление электромагнитного поля геометрически кираль-ной структуры / В. А. Капитонов [и др.] // Физика волновых процессов и радиотехнические системы. - 2012. - Т. 15, № 4. - С. 6-13.

[93] Неганов В. А., Клюев Д. С., Табаков Д. П. Физическая регуляризация некорректных задач теории антенн // Электросвязь. - 2011. - № 5. - С. 35-37.

[94] Табаков Д. П. Тонкопроволочная модель фрактального симметричного вибратора на основе салфетки Серпинского // Радиотехника. - 2015.- № 2.-С. 16-22.

[95] Табаков Д. П., Морозов С. В., Клюев Д.С. Применение тонкопроволочного интегрального представления электромагнитного поля к решению задачи дифракции электромагнитных волн на проводящих телах // Физика волновых процессов и радиотехнические системы. - 2022. - Т. 25, № 2. - С. 7-14.

[96] Погорелов А. В. Дифференциальная геометрия. - М.: Наука, 1974.- 176 с.

СПИСОК СОКРАЩЕНИЙ И УСЛОВНЫХ

ОБОЗНАЧЕНИЙ

АМ - аппроксимационная модель

БФ - базисная функция (базисные функции)

ГУ - граничное условие

ИО - интегральный оператор

ИП - интегральное представление

ИУ - интегральное уравнение

КСВ - коэффициент стоячей волны

МКЭ - метод конечных элементов

МСФ - метод собственных функций

МХМ - метод характеристических мод

ПФ - проекционная функция (проекционные функции)

ПЭМВ - плоская электромагнитная волна

СА - спиральная антенна

СВ - собственный вектор (собственные векторы)

СЗ - собственное значение (собственные значения)

СФ - собственная функция (собственные функции)

САПР - система автоматизированного проектирования

СВЧ - сверхвысокие частоты

СКМ - система компьютерной математики

СПФ - система (системы) проекционных функций

СИП - сингулярное интегральное представление

СИУ - сингулярное интегральное уравнение

СЛАУ - система линейных алгебраических уравнений

ТПС - тонкопроволочная структура

ТФ - тестовая функция (тестовые функции)

ЦС - цилиндрическая спиральная структура

ЭВМ - электронная вычислительная машина

ЭМВ - электромагнитная волна

ЭМП - электромагнитное поле

ЭР - эллиптическая рамочная структура

РЭТЭ - метод конечных разностей во временной области

МИНИСТЕРСТВО ЦИФРОВОГО РАЗВИТИЯ, СВЯЗИ И МАССОВЫХ КОММУНИКАЦИЙ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования

«Поволжский государственный университет телекоммуникаций и информатики»

Льва Толстого ул., д. 23, г. Самара, 443010. Телефон: [phone]. E-mail: [e-mail], www.psuti.ru ОКПО 01179900; ОГРН 1026301421992; ИНН/КПП 6317017702/631701001 № На № от

УТВЕРЖДАЮ

внедрения в учебный процесс кафедры радиоэлектронных систем результатов диссертационной работы Майорова Андрея Геннадьевича «Применение метода собственных функций к определению и аппроксимации источников в задачах излучения и дифракции электромагнитных волн», представленной на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 1.3.4 - Радиофизика.

Комиссия в составе председателя - заместителя заведующего кафедрой радиоэлектронных систем (РЭС), доцента кафедры РЭС, к.т.н., доц. Ситниковой C.B. и членов: доцента кафедры РЭС, к.ф.-м.н., доц. Вороного A.A. и доцента кафедры РЭС, к.ф.-м.н., доц. Соколовой Ю.В., составила настоящий акт о том, что результаты диссертационного исследования Майорова А.Г. внедрены в учебный процесс кафедры РЭС, а именно:

1. В рамках учебной дисциплины «Антенны, СВЧ устройства и их технологии» для аспирантов очной формы обучения по группе научных специальностей 2.2. Электроника, фотоника, приборостроение и связь (научная специальность 2.2.14. Антенны, СВЧ устройства и их технологии) изучается применение метода собственных функций к решению задач излучения и дифракции

ПГУТИ

электромагнитных волн, рассматриваются методы построения аипроксимационных моделей решения внутренней задачи для вибраторных антенн.

2. В выпускных квалификационных работах, выполняемых на кафедре РЭС.

Председатель:

Зам. заведующего кафедрой РЭС,

доцент кафедры РЭС, к.т.н., доцент

С.В. Ситникова

Члены комиссии:

Доцент кафедры РЭС, к.ф.-м.н., доцент

А.А. Вороной

Доцент кафедры РЭС, к.ф.-м.н., доцент

Ю.В. Соколова