Применение метода прямого разделения движений к системам с распределенными параметрами тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.04, кандидат физико-математических наук Шишкина, Екатерина Валерьевна

• Шишкина, Екатерина Валерьевна
• кандидат физико-математических наук
• 2004

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Шишкина, Екатерина Валерьевна

1 Библиографический обзор

2 Поперечные колебания упругой балки под воздействием гармонически меняющейся продольной силы

2.1 О методе прямого разделения движений.

2.1.1 Пример: маятник с вибрирующей осью подвеса

2.2 Уравнение колебаний балки и граничные условия.

2.3 Уравнения быстрого и медленного движений. 2.4 Упрощенный подход.

2.5 Балка на шарнирных опорах.

2.5.1 Подход с использованием функции Грина при решении уравнения быстрого движения.

2.5.2 Определение поправки к первой собственной частоте (альтернативный подход).

2.5.3 Сравнение с упрощенным подходом.

2.6 Балка с защемленными концами.

2.6.1 Определение поправки к первой собственной частоте

2.6.2 Устойчивость.

2.6.3 Анализ решения.

2.6.4 Сравнение с упрощенный подходом и результатами численных расчетов.

2.7 Консольная балка.

2.7.1 Анализ решения.

2.7.2 Сравнение с упрощенным подходом и результатами численных расчетов.

2.7.3 Случай высокочастотного возбуждения (Г2 —> оо)

2.7.4 Анализ приближенного решения.

2.8 Основные результаты главы 2.

3 Задача об Индийской магической веревке

3.1 Постановка задачи.

3.2 Определение "вибрационной" поправки к величине критической жесткости.

3.3 Анализ решения.

3.4 Сравнение с упрощенным подходом и результатами численных расчетов.

3.5 О решении А. Чемпнейса и В. Фразера.

3.6 Основные результаты главы 3.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Применение метода прямого разделения движений к системам с распределенными параметрами»

Актуальность темы. В настоящее время значительный интерес вызывает исследование влияния вибрации на свойства механических систем, в том числе систем с распределенными параметрами. Следствием этого влияния являются такие эффекты, как изменение характера устойчивости положений равновесия системы и изменение ее эффективных жесткостных свойств. Изучение этих явлений с целью предотвращения их вредного влияния, а также использования данных эффектов в технике и технологии представляется весьма важной задачей.

Эффективным методом, позволяющим аналитически исследовать поведение нелинейных и параметрически возбуждаемых систем, является метод прямого разделения движений. Этот метод, толчком к развитию которого явилась работа П.Л. Капицы о маятнике с вибрирующей точкой подвеса, был существенно обобщен и широко использован в работах И.И. Блехмана, в которые он вошел как составная часть подходов, названных вибрационной механикой и вибрационной реологией. В последнее время эти концепции получили развитие в трудах как отечественных, так и зарубежных ученых. Вместе с тем, разработка методики использования данных подходов при решении задач о действии вибрации на системы с распределенными параметрами не может считаться завершенной. Это обусловлено, в основном, трудностями, связанными с удовлетворением граничных условий для быстрой компоненты движения. Разработка путей преодоления этих трудностей представляет собой актуальную проблему, поскольку ее решение позволит рассмотреть ряд важных классов прикладных задач механики. Важно также проиллюстрировать разработанные подходы на примере решения конкретных задач.

Цели работы:

• Для систем с распределенными параметрами на основе метода прямого разделения движений разработать и реализовать подход, позволяющий удовлетворить всем необходимым граничным условиям, в том числе для быстрой компоненты движения.

• Рассмотреть при помощи указанного подхода ряд модельных задач о поведении параметрически возбуждаемых систем с распределенными параметрами. Исследовать влияние точности удовлетворения и характера граничных условий на свойства полученных решений.

• Произвести сравнение представленного в диссертации подхода с использованными ранее способами применения метода прямого разделения движений для систем с распределенными параметрами.

• Решить задачу об Индийской магической веревке (исследовать возможности стабилизации верхнего вертикального положения равновесия веревки, находящейся под действием собственного веса, при помощи вертикальной вибрации ее нижнего конца).

Общая методика работы. В работе используется общий подход метода прямого разделения движений, методы теории нелинейных колебаний и математической физики (например, метод малого параметра, методы стационарной фазы и Лапласа), а также численные методы. Решения сопоставляются с результатами, представленными в работах других авторов.

Положения, выносимые на защиту.

• На основе метода прямого разделения движений разработан подход, позволяющий исследовать поведение систем с распределенными параметрами, находящихся под действием вибрации. Подход базируется на построении (согласно требованиям метода) уравнений быстрого и медленного движений и последующем представлении их решений в виде асимптотических разложений по малому параметру (амплитуде). Данная методика позволяет находить решения, удовлетворяющие всем необходимым граничным условиям как для медленной, так и для быстрой компонент движения.

• На основе предложенного подхода решены модельные задачи о поперечных колебаниях предварительно поджатой упругой балки, находящейся под действием продольной вибрационной нагрузки малой амплитуды, при различных условиях закрепления концов (шарнир-но опертых концах, жестко защемленных концах, консольном закреплении). Получены выражения для "вибрационной" поправки к величине критической нагрузки невозмущенной системы, а также для первых двух типов граничных условий найдены поправки к первым частотам исследуемого медленного движения.

• Произведено сравнение полученных результатов с решением, найденным на основе приближенного подхода, при котором удовлетворяются только граничные условия для главной (медленной) компоненты движения. В случае шарнирного закрепления концов балки результаты, полученные на основе обоих подходов, совпадают. В остальных случаях наблюдаются отличия, связанные с пренебрежением при применении упрощенного подхода граничными условиями для быстрой компоненты движения.

• Решена задача об устойчивости верхнего вертикального положения равновесия упругой балки, нагруженной собственным весом, нижний конец которой вертикально вибрирует. Рассматривается случай высокочастотной вибрации с малой амплитудой. Данная задача является модельной для описания эффекта Индийской магической веревки. Для случая больших частот возбуждения получена зависимость вибрационной поправки к величине критической жесткости невозмущенной системы от параметров вибрации. Доказано, что в определенном диапазоне частот неустойчивое верхнее вертикальное положение равновесия веревки может быть стабилизировано.

Научная новизна и теоретическая ценность. Разработан новый способ реализации метода прямого разделения движений для случая систем с распределенными параметрами, находящихся под действием вибрации. Данный подход обладает рядом преимуществ по сравнению с использованными ранее (в том числе и автором диссертации) способами применения метода прямого разделения движений к расчету бесконечномерных систем. На основе указанного подхода решены несколько модельных задач, а также задача об Индийской магической веревке.

Практическая значимость. Метод прямого разделения движений является эффективным инструментом для изучения поведения систем, находящихся под воздействием вибрации. Разработанная в диссертации методика применения метода для случая систем с распределенными параметрами позволит расширить круг изучаемых с его помощью явлений, повысить качественную и количественную точность получаемых результатов. Решения рассмотренных в работе задач имеют явный, удобный для анализа вид и могут быть использованы в практических приложениях, например, при расчете строительных конструкций, в текстильной промышленности, в космических технологиях.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на XXIX, XXX, XXXI Международных летних школах "Актуальные проблемы механики" ("Advanced Problems in Mechanics", Санкт-Петербург, 2001, 2002, 2003); IV Международной конференции по нелинейным колебаниям (IV Euromech Nonlinear Oscillations Conference, Москва, 2002); VIII Международной конференции "Современные проблемы механики сплошной среды" (Ростов-на-Дону, 2002); XIV Симпозиуме "Динамика виброударных (сильно нелинейных) систем" (Звенигород, 2003); Городском семинаре по вычислительной и теоретической акустике (ИПМаш РАН, 2003).

Публикации. Основные результаты диссертации изложены в работах [4, 5, 6, 8, 29, 30, 31, 44]

Заключение диссертации по теме «Механика деформируемого твердого тела», Шишкина, Екатерина Валерьевна

У 3.6 Основные результаты главы 3

1. Решена модельная задача, позволяющая объяснить эффект Индийской магической веревки. Веревка моделировалась балкой Бернулли-Эйлера, находящейся под действием собственного веса. Поскольку веревка обычно имеет некоторую малую изгибную жесткость, использование такой модели представляется оправданным. Нижний конец веревки совершает малую вертикальную вибрацию высокой частоты. В результате проведенного исследования в явном виде получена зависимость вибрационной поправки к величине критической жесткости невозмущенной системы от амплитуды и частоты вибрации. Показано, что данная поправка в зависимости от частоты возбуждения может быть как положительной, так и отрицательной. В диапазоне частот, где поправка отрицательна, верхнее вертикальное положение равновесия веревки, жесткость которой до приложения вибрации меньше критического значения (то есть положение равновесия в начальный момент времени неустойчиво), может быть стабилизировано. Показано также, что выражение для поправки к величине критической жесткости обращается в бесконечность при некоторых характерных значениях частот вибрации.

2. Исследование проводилось при помощи метода прямого разделения движений. При этом некоторые из дифференциальных уравнений, возникающих при использовании данного подхода, были решены приближенно в предположении, что частота вибрации достаточно велика. В то же время, найденные решения удовлетворяют всем необходимым граничным условиям. Приближенное решение указанных уравнений позволяет получать качественно верные результаты. Однако, характерные точки, которые при точном решении уравнений должны совпадать с собственными частотами невозмущенной системы, определяются приближенно и несколько смещены относительно точных значений.

3. В работе приведен сравнительный анализ результатов, полученных при использовании данного подхода, с результатами, полученными при использовании упрощенной процедуры метода прямого разделения движений (в ходе реализации которой граничными условиями для быстрой компоненты движения пренебрегают). Показано, что упрощенная процедура не позволяет учесть быстро меняющуюся по пространственной координате компоненту быстрого движения, что приводит к потере информации о поведении системы вблизи характерных частот. Упрощенная процедура позволяет качественно верно описывать поведение балки между характерными частотами при достаточном удалении от них, однако количественная ошибка при этом может быть значительной.

4'

В заключение работы можно сформулировать следующие основные результаты и выводы

• На основе метода прямого разделения движений разработана асимптотическая процедура исследования периодических движений в системах с распределенными параметрами, находящихся под действием вибрации. Данный подход позволяет находить решения, удовлетворяющие всем необходимым граничным условиям, как для медленной, так и для быстрой компонент движения.

• При помощи указанной процедуры решена задача о поперечных колебаниях предварительно поджатой упругой балки, находящейся под действием продольной вибрационной нагрузки малой амплитуды. Рассмотрены три типа граничных условий, соответствующих случаю балки с шарнирно опертыми концами, с жестко защемленными концами и консоли. Получены выражения для "вибрационной" поправки к величине критической нагрузки невозмущенной системы, а также для первых двух типов граничных условий найдены выражения для первых частот исследуемого медленного движения.

• Для случая шарнирного закрепления концов балки показано, что вибрация повышает устойчивость системы при любых значениях частоты возбуждения (в области допустимых значений). При этом наблюдается явление ужесточения системы за счет добавления эффективной "вибрационной" изгибной жесткости.

• Показано, что при жестко защемленных концах балки и при консольном закреплении вибрационное воздействие может приводить как к повышению, так и к понижению "степени" устойчивости. Кроме того, в этих случаях наблюдается обращение "вибрационной" поправки к величине критической нагрузки в бесконечность при определенных значениях частоты вибрации, совпадающих со значениями частот свободных колебаний невозмущенной системы, находящейся на нижней границе области устойчивости. Это явление обусловлено существованием при данных граничных условиях быстро изменяющейся по пространственной координате компоненты быстрого движения. Заметим, что влияние резонансных эффектов может быть уменьшено при помощи введения в систему диссипации.

• Произведено сравнение полученных результатов с решением, найденным при помощи известного ранее упрощенного подхода. В случае шарнирного закрепления концов балки результаты, полученные на основе обоих подходов, совпадают. В остальных случаях наблюдается отличия, связанные с пренебрежением при применении упрощенного подхода граничными условиями для быстрой компоненты движения и, как следствие, игнорированием быстро меняющейся по пространственной координате компоненты быстрого движения. По сравнению с представленным в литературе способом применения метода прямого разделения движений к расчету систем с распределенными параметрами, основанным на использовании процедуры Бубнова-Галеркина, предложенный в диссертации подход также имеет ряд преимуществ. Недостатком процедуры Бубнова-Галеркина являет зависимость точности получаемых результатов от вида выбранных базисных функций. При этом в случае, когда решение содержит заранее неизвестную быстро меняющуюся по пространственч ной координате составляющую, выбор подходящих базисных функций представляет собой весьма непростую задачу.

• Решена модельная задача, позволяющая объяснить эффект Индийской магической веревки. Веревка моделировалась балкой Бернулли-Эйлера, находящейся под действием собственного веса. Поскольку веревка обычно имеет некоторую малую изгибную жесткость, использование такой модели представляется оправданным. Нижний конец веревки совершает малую вертикальную вибрацию высокой частоты. Получена зависимость вибрационной поправки к величине критической жесткости невозмущенной системы от параметров вибрации. Доказано, что в определенном диапазоне частот неустойчивое верхнее вертикальное положение равновесия веревки может быть стабилизировано. Показано, что выражение для поправки к величине критической жесткости обращается в бесконечность при некоторых характерных значениях частот вибрации (совпадающих со ^ значениями частот свободных колебаний невозмущенной системы).

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Шишкина, Екатерина Валерьевна, 2004 год

1. Блехман И.И. Синхронизация в природе и технике. М.: Наука, 1981. 352 с.

2. Блехман И.И. Вибрационная механика. М.: Физматлит, 1994. 400 с.

3. Блехман И.И. Вибрация изменяет законы мехники // Природа. 2003. N 11. С. 42-53.

4. Блехман И.И., Васильков В.Б., Якимова К.С., Шишкина Е.В. Генерирование медленных потоков жидкости вибрирующим вблизи стенки диском (к теории вибрационных насосов) // Обогащение руд. 2001. N 1. С. 36-38.

5. Блехман И.И., Дресиг X., Шишкина Е.В. Об Индийской магической веревке // Проблемы механики деформируемого твердого тела (к 70-летию академика Н.Ф. Морозова). СПб.: СПбГУ, 2002. С. 58-63.

6. Блехман И.И., Лурье К.А. О динамических материалах // Докл. АН РФ. 2000. Т.371. N 2. С. 182-185.

7. Бурд В.Ш. Об одной задаче теории нелинейных колебаний // Сборник обзорных статей к 20-летию математического факультета. Ярославль: Яросл. гос. ун-т., 1996. С. 43-49.

8. Вольмир A.C. Устойчивость деформируемых систем. М.: Наука, 1967. 984 с.

9. Зайцев В.Ф., Полянин А.Д. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям: точные решения. М.: Физматлит, 1995. 560 с.

10. Зеньковская С.М. Действие высокочастотной вибрации на фильтрационную конвекцию // Прикл. мех-ка и техн. физ-ка. 1992. Т. 195. N 5. С. 83-88.

11. Зеньковская С.М., Симоненко И.Б. О влиянии вибрации высокой ча-4* стоты на возникновение конвекции // Механика жидкости и газа.1966. N5. С. 51-56.

12. Капица П.Л. Динамическая устойчивость маятника при колеблющейся точке подвеса // Журнал эксперимантальной и теоретической физики. 1951. Т.21. N 5. С. 588-597.

13. Капица П.Л. Маятник с вибрирующим подвесом // Успехи физ. наук. 1951. Т. 44, N 1. С. 7-20.

14. Малкин И.Г. Некоторые задачи теории нелинейных колебаний. М.: Гостехиздат, 1956. 491 с.

15. Морс Ф.М., Фешбах Г. Методы теоретической физики. Tl. М.: Изд-во иностранной лит-ры, 1958. 930 с.

16. Найфе А.Х. Методы возмущений М.: "Мир", 1976. 446 с. Т 20] Федорюк М.В. Метод перевала. М.: "Наука", 1977. 368 с.

17. Челомей В.Н. О возможности повышения устойчивости упругих систем при помощи вибрации // Докл. АН СССР. 1956. Т.110. N 3.1. С. 345-347.

18. Челомей В.И. Парадоксы в механике, вызываемые вибрациями // Докл. АН СССР. 1983. Т. 270. N 1. С. 62.

19. Пановко Я.Г. Введение в теорию механических колебаний. М.: Наука, 1991. 256 с.

20. Янке Е., Эмде Ф., Леш Ф. Специальные функции. М.: Наука, 1964. 344 с.

21. Aches on D. J. A pendulum theorem // Proc. Roy. Soc. Lond. 1993. A443. P. 239-245.

22. Acheson D.J. Multiple-nodding oscillations of a driven inverted pendulum // Proc. Roy. Soc. Lond. 1995. A448. P. 89-95.

23. Acheson D., Mullin T. Upside-down pendulums // Nature. 1993. V. 366. P. 215-216.

24. Blekhman /./. Vibrational Mechanics. Singapure, New Jersey, London, Hong Kong: "World Scientific", 2000. 509 p.

25. Blekhman /., Dresig H., Shishkina E. About the Indian magic rope // Proc. of the XXIX Summer School "Actual problems in mechanics" (АРМ 2001), Saint-Petersburg, 2001. SPb.: IPME RAS, 2002. P. 143-147.

26. Blekhman /./., Dresig H., Shishkina E. On the Theory of the Indian Magic Rope // Selected Topics in Vibrational Mechanics. Chapter 8. World Scientific, 2004. P. 139-149.

27. Blekhman /./., Shishkina E.V. The pulse control of rigidity of elastic elements // Proceedings of XIV symposium "The dynamics of vibroimpact (strongly nonlinear) systems". Moscow: MERI RAS, 2003. P. 17.

28. Champneys A.R., Fraser W.B. The "Indian rope trick" for a parametrically excited flexible rod: linearized analysis // Proc. Roy. Soc.

29. V Lond. 2000. A456. P. 553-570.

30. Fraser W.B., Champneys A.R. The "Indian rope trick" for aparametrically excited flexible rod: nonlinear and subharmonic analysis // Proc. Roy. Soc. Lond. 2002. A458. P. 1353-1373.

31. Galan J., Fraser W.B., Acheson D.J.) Champneys A.R. The parametrically excited upside-down rod: an elastic jointed pendulum model // Preprint submitted to Phisica D. 2001.

32. Hsu C.S. On a restricted class of coupled Hill's equations and some applications // J. appl. Mech. 1961. N 28. P. 551-556.

33. Jensen J.S. Buckling of an elastic beam with added high-frequency excitation // Int. J. Non-Linear Mech. 2000. N 35. P. 217-227.

34. Kalmus H.P. The inverted pendulum // Am. J. Phys. 1970. N 38. P. 874878.

35. Kevorkian J., Cole J.D. Multiple scale and singular perturbations methods. New York, Berlin, Heidelberg: "Springer", 1996. 633 p.

36. Krylov V., Sorokin S.V. Dynamics of elastic beams with controlled distributed stiffness parameters // Smart Mater. Struct. 1997. N 6. P. 573582.

37. Levi M. Stability of the inverted pendulum a topological explanation // SIAM Review. 1988. V. 30. N4. P. 639-644.

38. Lowenstern E.R. The stibilizing effect of imposed oscillations of high frequency on a dynamic system //Phil. Mag. 1932. N. 8. P. 458-486.

39. Mullin T. et al. The "Indian wire trick" via parametric excitation: a comparison between theory and experiment //Proc. Roy. Soc. Lond. 2003. A459. P. 539-546.

40. Otterbein S. Stabilisierung des n-Pendels und der Indische Seiltrick // Archive for Rational Mechanics and Analysis. 1982. V.78. N 4. P. 381393.

41. Shishkina E.V. On an efficient flexural stiffness of a string under the action of vibration // Proceedings of the XXX Summer School "Advanced Problems in Mechanics" (APM 2002). St. Petersburg: IPME RAS, 2003.1. C. 584-588.

42. Stephenson A. On a new type of dynamic stability // Memoirs and Proceedings of the Manchester Literary and Philosophical Society. 1908 V.52. N8. P. 1-10.

43. Stephenson A. On induced stability // Phil. Mag. 1908. N 15. P. 233-236.

44. Stephenson A. On induced stability // Phil Mag. 1909. N 17. Pp. 765-766. P. 381-393.

45. Tchernyak D. The influence of fast excitation on a continuous system // Journal of Sound and Vibration. 1999. V. 227 N 2. P. 343-360.

46. Thomsen J.J. Theories and experiments on the stiffening effect of high-frequency excitation for continuous elastic systems // Journal of Sound and Vibration. 2003. V. 260. P. 117-139.

47. Zak M. Elastic continua in high frequency excitation field. // Int. J. NonLinear Mech. 1984. V.19. N 5. P. 479-487.1. S