Применение метода конечных элементов в задаче дифракции акустических и электромагнитных полей в сложных средах тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат наук Коняев, Денис Алексеевич

• Коняев, Денис Алексеевич
• кандидат наук
• 2014

Оглавление диссертации кандидат наук Коняев, Денис Алексеевич

Оглавление

Введение

Актуальность темы исследования

Степень разработанности темы исследования

Цели и задачи

Обоснование научной новизны задачи

Теоретическая и практическая значимость работы

Методология и методы исследования

Положения, выносимые на защиту

Степень достоверности и апробация результатов

Глава 1

§1. Постановка задачи

1.1.1. Математическая формулировка задачи дифракции скалярной волны. Условия излучения Зоммерфельда

1.1.2. Ограничение области. Постановка граничных условий на фиктивной границе

1.1.3. Использование на фиктивной границе условий излучения Зоммерфельда

1.1.4. Использование на фиктивной границе радиационных граничных условий первого порядка

1.1.5. Использование на фиктивной границе парциальных условий излучения

1.1.6. Достоинства и недостатки описанных способов постановки граничных условий на фиктивной границе

§2. Метод конечных элементов

1.2.1. Общая схема использования метода конечных элементов в случае задачи дифракции

1.2.2. Этапы построения численного решения задачи дифракции при помощи метода конечных элементов

Глава 2

§1. Построение треугольных и тетраэдрических сеток

2.1.1. Методы построения треугольных и тетраэдрических сеток

С

2.1.2. Основные способы оптимизации треугольных и тетраэдрических сеток

2.1.3. Реализация используемого метода граничной коррекции

2.1.4. Процедура оптимизации сетки в трёхмерном случае

2.1.5. Процедура определения границ элементов принадлежащих границам областей задачи

§2. Сборка матриц

2.2.1. Выбор порядка конечных элементов

2.2.2. Выбор способа хранения матриц. Разреженный строчный формат

§3. Сборка матриц в двумерном случае

2.3.1. Сборка матрицы жёсткости (К)

2.3.2. Сборка матрицы массы

2.3.3. Сборка матрицы соответствующей коэффициенту уравнения Гельмгольца

2.3.4. Сборка матрицы граничных условий соответствующей коэффициенту при неизвестной функции

2.3.5. Сборка матрицы граничных условий соответствующей правой части граничных условий

2.3.6. Сборка матриц соответствующих парциальным условиям излучения

§4. Сборка матриц в трёхмерном случае

2.4.1. Сборка матрицы жёсткости

2.4.2. Сборка матрицы массы

2.4.3. Сборка матрицы соответствующей коэффициенту уравнения Гельмгольца

2.4.4. Сборка матрицы граничных условий соответствующей коэффициенту при неизвестной функции

2.4.5. Сборка матрицы граничных условий соответствующей правой части граничных условий

2.4.6. Сборка матриц соответствующих парциальным условиям излучения

§5. Решение Системы Линейных Алгебраических Уравнений (СЛАУ)

2.5.1. Прямые методы. Метод Гаусса

2.5.2. Итерационные методы

2.5.3. Проекционные методы. Подпространства Крылова. Обобщённый метод минимальных невязок (GMR.ES)

2.5.4. Предобусловливание СЛАУ. Неполное Ш разложение

2.5.5. Алгоритм построения неполного Ьи разложения для матрицы СЛАУ, хранимой в разреженном строчном формате без необходимости поиска, используемый в программе

2.5.6. Описание реализации метода минимальных невязок (GMR.ES), используемого в

программе

§б. Представление результатов

2.6.1. Диаграмма рассеяния

2.6.2. Структура данных, используемая для хранения решения

Глава 3. Тестирование программы

§1. Двумерный случай

3.1.1. Радиационные граничные условия первого порядка

3.1.2. Парциальные условия излучения

§2. Трёхмерный случай. Парциальные условия излучения

Глава 4. Результаты работы программы

§1. Двумерный случай

§2. Трёхмерный случай

Заключение

Список литературы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Применение метода конечных элементов в задаче дифракции акустических и электромагнитных полей в сложных средах»

Введение

Актуальность темы исследования.

Математическое моделирование волновых полей в сложных средах является актуальной

задачей в связи с проблемами радиолокации, антенной техники, электроразведки, различными

\

биомедицинскими и другими применениями. А, как известно, для решения обратных задач и задач синтеза необходимо иметь надёжный алгоритм решения прямых задач [1,2].

В общем случае задача дифракции является задачей поиска волнового поля, которое в случае акустической волны является решением уравнения в частных производных, неизвестной функцией, которого, является скалярное поле давления [3 - 5].

Огромный класс задач, представляющих практический интерес, образуют задачи, в которых решение имеет вид установившихся колебаний. То есть неизвестную функцию 1/(М, €) можно представить в виде У(М, £) = или У(М> 0 = v(M')eшt [6]. Далее, для

определённости, будем использовать временную зависимость вида У(М, £) = г(М)е~'а)*. При этом правая часть уравнения имеет вид /(М, £) = /(М)е-|Л,Г. Тогда уравнение можно переписать в следующем виде.

й)2

с2(М)

Или вводя обозначения:

р(Л/) - Ат;(М) = /(М) (2)

2 2

кЧЮ = = = (3)

где с0 - скорость распространения волн в однородной среде, получим уравнение, называемое уравнением Гельмгольца:

Ду(М) + £2(МММ) = -/(М). (4)

На границах рассеивателей при этом необходимо в зависимости от природы

/

рассеивателей поставить либо граничные условия, либо условия сопряжения.

Точно такое же уравнение можно получить при некоторых допущениях для компонент электромагнитного поля. Запишем систему уравнений Максвелла в СГСЭ.

' _ 1дд 4 с дt с 1 дВ

го1£ = --—; ' (5)

с оЬ

с1пгЯ = 0; с1иг = 4пр.

Рассмотрим теперь предположения, при которых эту систему можно свести к уравнению Гельмгольца. Следуя [7], будем рассматривать в качестве рассеивателя цилиндр, протяжённость которого бесконечна, а ось со-направлена с осью OZ декартовой системы координат. Сечение цилиндра плоскостями параллельными плоскости OXY неизменно вдоль оси OZ и представляет собой произвольную замкнутую гладкую кривую. Как и в случае акустических волн будем рассматривать установившиеся колебания.

(6)

I £ = Ee~la)t. KJ

Материал цилиндра будем считать однородным вдоль оси OZ и изотропным. То есть, материальные уравнения можно записать в следующем виде.

(В = ц{х,уШ I D = f(x,y)£.

Будем предполагать отсутствие внешних зарядов, то есть р(М) = 0. Плотность тока j можно

представить как суперпозицию сторонних токов и токов проводимости, которые отличны от

нуля в случае наличия в среде отличной от нуля проводимости а(х,у).

;=/„. +<х(*, у) £ (8)

Пусть сторонние токи отсутствуют. То есть токи, создающие падающее поле, расположены на

значительном удалении от рассеивателей. Рассмотрим первое и второе уравнения из системы

уравнений Максвелла.

г - — ico г , ^ 4п 1 ->

rot Н =- s(x, y) + i—а(х, у) Е -ik0i(x, у)Е;

с L о) J J-Q4

rot Е = —ц(х,у)Н.

Как известно, третье и четвёртое уравнения Максвелла не являются независимыми. Следуя [7] рассмотрим падающую волну следующего вида.

ffl-ffl^

При этом решение системы уравнений Максвелла будем искать в виде:

\Н(*.У)/

Тогда система примет вид:

Г дН,

ду

+ ¿Уг#у = ~Ис0ё(х,у)Ех;

дН2

~1угНх —о^Г = -Ис0ё(х,у)Еу; дНу дНх

дх дЕ2

ду

= -Ис0ё(х,у)Е2;

(12)

ду

+ ¿у2Еу = Ис011(х,у)Нх]

-1У2ЕХ

дЕх

дх

= I\к0ц(х,у)Ну)

дЕу дЕх

= 1!к0м(х,у)Ня;

V дх ду Следуя [7] выразим Нх, Ну,Ех и Еу через Н2 и Е2.

дх\к02цё-уг2 д

(к0

дЕ2

--Уг

дх

дЕ:

к0211ё - -У^

1 (

к02цё -

1 (

к02цё - У 2 ^

1 1

к02цё - "Уг

дН2\\ ч

ду Уг дх

Тх дН.

. дН2\ ду

дН7 _дЕ2\

дх дБ.

дН2 ду

(13)

ду дН*

д I / дН2 дЕ2\\

О ( I ( , 6НХ\\ а I I

[дх\к02ц£-у2Л Ъ ду ^дх) ду [к02цё-Гг2 V

дх дН*

ду,

__дЕ^

ду Ух дх)

= I\к0цНх.

В итоге, если предположить, что и £ не зависят от координат внутри и вне цилиндра, то есть

являются кусочно-постоянными функциями, тогда получим

дН2 дЕ7 ду дЕ7

Ех =

I Л бня ОЕЛ

к0 Ц£ - у2г \ ду дх )

г ( дЕ2 дН2\

к0 це - у22 \ ду дх )

и 1 ( дН* ь -дЕЛ

к0 у.£ — у2 ^ дх °У' дЕ,

д_Ег

ду. дН7

I / 6Ь2 ОН2\

(14)

(д2Е2 д2ЕЛ , , ,ч

(д2Н2 д2НЛ . 2 \дх^ + ~дуГ) + (к° ~ =

Поскольку выполнены условия теоремы о возможности представления решения системы уравнений Максвелла в виде суперпозиции полей электрического и магнитного типов [4,8], то

ачэ+©- . - <»>

где НЭ2 = 0 и ЕМг = 0. Откуда следует, что система эквивалентна двум уравнениям

• " 4 '

Гельмгольца в двумерном случае.

1 '

Решение'удовлетворяет уравнению Гельмгольца внутри и вне рассеивателя, при этом на

границе рассеивателя, или же если их много, то на границах тел рассеивателей необходимо

< ■ >

поставить условия сопряжения [4,7,8]. .В случае акустической волны это непрерывность

искомой функции, и «её нормальной производной, в случае же электромагнитного поля —

*' 1

непрерывность тангенциальной составляющей вектора напряжённости электрического поля и нормальной составляющей индукции магнитного поля, а также, разрывность , нормальной составляющей вектора электрической индукции и тангенциальной составляющей напряжённости магнитного поля. Величины разрывов, которых, равны соответственно плотностям поверхностных зарядов и токов [4,7,8]. Для тел рассеивателей'с большим или бесконечным поглощением эти условия можно свести к'однородным условиям третьего и второго рода соответственно [4,7,8]. Получение этих условий, а также условий сопряжения для полученной скалярной задачи для дифракции электромагнитной волны можно найти в [4,7,8].

Известно, что для выделения единственного решения внешней краевой задачи для уравнения Гельмгольца необходимо дополнительно поставить условия излучения на бесконечности. При отсутствии во внешней среде поглощения, как правило, для этого используются условия излучения Зоммерфельда [4,7,8].

Нт т~ /МОЮ) = 0 (16)

г—>оо ОГ

где £(г) = л/г - в двумерном случае, и £(г) = г.

Степень разработанности темы исследования.

Поскольку методики решения задачи дифракции в векторном случае,' как правило, можно использовать в упрощённом виде для решения скалярных задач, то при обзоре существующих методик решения скалярных задач дифракции также будем уделять внимание и методикам решения векторных задач дифракции. Исторический обзор простейших приближённых методов нахождения дифракционного поля можно найти в [9]. Более детальное изложение этих методов можно найти в [10,11]. Простейшие методы позволяют приближённо исследовать некоторые простые случаи дифракции волновых полей на препятствиях специальной формы. Существуют и более сложные приближённые методы решения задачи дифракции [12]. Также были получены

аналитические решения математически строгой постановки задачи дифракции для' простых -видов рассеивателей, таких как, непроницаемый бесконечный цилиндр, или непроницаемая сфера [10,13]. Однако, как правило, не удаётся получить аналитическое решение для областей с

I .

чуть более сложной структурой. Поэтому важную роль играют численные и асимптотические методы решения задачи дифракции' [14]. Асимптотические методы являются весьма универсальными, но требуют наличие некоторого малого параметра, поэтому не ' всегда применимы. Как правило, малым параметром служит отношение длины волны падающего излучения к линейному размеру рассеивателя или обратная к этому отношению величина. Примеры использования асимптотических методов можно найти в [15 - 19]. Случай, когда длина волны имеет' тот ' же порядок, что и линейный размер рассеивателя называют

резонансным [4]. Для этого случая наиболее универсальными являются численные методы

- • • ,. ' >■

решения задачи дифракции. В данной работе рассматривается именно резонансный случай. Эти методы можно условно разбить на две большие группы.

Методы, основанные на сведении исходной задачи к интегральному уравнению. Методы этой группы снискали весьма большую популярность среди исследователей [20 - 24]. Общим признаком этих методов является замена исходной краевой (задачи эквивалентным интегральным уравнением. [25 - 45]. Дальнейшую классификацию этой группы методов можно провести, основываясь на типе интегрального уравнения, к которому сводится задача дифракции. Часто встречаются интегральные уравнения первого и второго рода на некоторой

границе [22,31,32,35,36,45,46], в частности границе рассеивателя [22,32,33,35,45]. Здесь

»

необходимо отметить, что для сведения задачи к интегральному уравнению часто используется вспомогательная задача, через решение которой решение исходной задачи выражается в виде квадратуры. С развитием вычислительной техники весьма популярными также' стали интегральные уравнения, интегрирование в которых производится по внутренней области тела рассеивателя [26,29,30,34,35,37-40]. Здесь уже интегральное уравнение, как правило, содержит искомое поле в качестве неизвестной функции.

Основным достоинством этой группы методов является возможность решения поставленной задачи только во внутренней области рассеивателя, или на некоторой границе, за

г

счёт чего достигается экономия вычислительных ресурсов [47 - 50]. Однако, при наличии нескольких рассеивателей, применение этих методов значительно усложняется, особенно если структура рассеивателей разнообразна. Например, совокупность проницаемых и непроницаемых рассеивателей.

Методы, основанные на решении исходной краевой задачи. [51 — 60]. Среди методов этой группы весьма популярным является метод дискретных источников [61 - 66]. Вкратце суть

этого метода можно описать • следующим образом. При решении задачи во внешней, по отношению к рассеивателю области, внутри области задаётся компактный носитель, на котором задаётся множество точек, в котором располагают фиктивные источники, при этом поле этих источников автоматически удовлетворяет уравнению Гельмгольца (в случае акустической

волны) и условиям излучения на,бесконечности.'Далее за счёт выбора амплитуд излучения

* . • * .

фиктивных источников строится поле, являющееся суперпозицией этих полей, сколь угодно точно приближающее граничные условия на границе рассеивателя. Подробное обоснование этого метода' представлено [64]. При поиске решения внутри рассеивателя.,носитель; содержащий фиктивные источники выбирается во внешней по отношению, к рассеивателю области. Этот метод также позволяет сэкономить вычислительные затраты при решении задачи дифракции, однако опять же возникают трудности при его применении к задачам со сложной структурой рассеивателей. 1 ':

При решении краевых задач в сложных областях наиболее универсальным является метод конечных элементов [67 - 71]. Однако, в связи с тем, что задача дифракции ставится, в неограниченной области, применение этого метода требует серьёзных затрат вычислительных ресурсов [29]. Задача ограничения области и постановки оптимальных граничных условий.на фиктивной' границе, позволяющих достичь максимальной точности результатов при минимальных вычислительных затратах сама по себе является весьма сложной [3,72]. В работе [3], рассматривается вопрос постановки неотражающих условий на границах расчётной области, обеспечивающих поглощение падающих на них волн. Основным недостатком этих условий является отсутствие универсальности их построения. \ '• '

Для решения многомерных краевых задач используются также и комбинированные методы. В работе [73] представлена ■: вычислительная схема' решения краевых задач шредингеровского типа методом Канторовича [74]. А именно приведение задачи к системе обыкновенных дифференциальных уравнений по одной из независимых переменных и решение полученных краевых задач для систем самосопряжённых обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка методом конечных элементов [75,76].

Парциальные условия излучения [4,8] в каком-то смысле можно считать выполняющими ту же роль, что и неотражающие. Дело в том, что парциальные условия в точной постановке (в виде ряда) позволяют выделить необходимое решение, то есть являются точными. При этом фиктивную границу можно расположить достаточно близко к рассеивателям. Стоит отметить, что парциальные условия излучения представляет собой интегро-дифференциальный оператор, поэтому их использование требует адаптации к методу конечных элементов. '

Цели и задачи. 1

Целью данной работы является разработка алгоритма ,и программного комплекса, позволяющего применять метод конечных элементов, в задаче дифракции акустических и электромагнитных полей в сложных средах с использованием парциальных условий излучения. В качестве задач исследования можно выделить следующие пункты.

1. Программная реализация алгоритма построения неструктурированной сетки в сложных областях в двумерном и трёхмерном случаях.

2. Программная реализация алгоритмов хранения и операций над разреженными матрицами.

3. Программная реализация алгоритмов сборки разреженных матриц, получаемых при применении метода конечных элементов к двумерным и трёхмерным задачам дифракции,

I

при использовании простых граничных условий на фиктивной границе.

4. Программная реализация алгоритма решения систем линейных алгебраических уравнений большой размерности с разреженными матрицами.

5. Разработка и программная реализация алгоритма применения парциальных' условий излучения при использовании метода конечных элементов для решения задачи дифракции

. в двумерном и "трёхмерном случаях. Распараллеливание наиболее затратных участков алгоритмов. 1 , »

6. Тестирование разработанного программного комплекса. • '

7. Получение решений частных случаев задач дифракции, демонстрирующих возможности реализованного программного комплекса.

Обосиоваине научной новизны задачи.

При реализации численных методов для решения каких-либо практических задач исследователь может столкнуться с выбором между эффективностью и универсальностью при выборе конкретного алгоритма. В частности в рассматриваемой задаче дифракции. Если при рассмотрении задачи дифракции типы рассматриваемых рассеивателей заведомо сильно ограничены, то исследователь может создать программный комплекс,' позволяющий эффективно с минимальными затратами решать задачи для рассматриваемого класса рассеивателей, например если рассматривать только непроницаемые рассеиватели, или рассеиватели состоящие из одного тела, или же рассеиватели расстояние между которыми велико [4,8]. В противном случае, если класс рассматриваемых рассеивателей достаточно широк и сложен, возникает потребность в применении более универсальных методов, которые уже могут не обладать столь высокой степенью эффективности. На сегодняшний день наиболее универсальным методом решения краевых задач в сложных областях является метод конечных элементов [67]. Применение этого метода к задаче дифракции длительное время считалось

излишне ресурсоёмким [30]. Действительно, исходная- краевая задача ставится в неограниченной области, поэтому возникает необходимость ограничения расчётной области при применении метода конечных элементов. Вследствие чего, при использовании простых с точки зрения практического применения граничных условий возникает необходимость рассмотрения расчётной области внушительных размеров. В данной работе использовались парциальные условия излучения на фиктивной границе [4,8], которые позволяют максимально уменьшить расчётную область. Однако эти условия представляют собой сложный интегро-дифференциальный оператор, который в свою очередь представляется в виде медленно сходящегося ряда. В данной работе ряд заменялся его частичной суммой с небольшим числом членов. При этом результаты численного эксперимента показали неплохое согласие с известными аналитическими решениями задачи дифракции, что подтвердило возможность такого эвристического подхода к использованию парциальных условий излучения при численном решении задачи дифракции. '

Теоретическая и практическая значимость работы.

Теоретическая значимость данной работы заключается в доказательстве вычислительной эффективности применения метода конечных элементов к задаче дифракции с использованием парциальных условий излучения в виде его частичной суммы. Причём в качестве вычислительной машины при этом достаточно использовать мощный современный1 персональный компьютер.

Практическая значимость работы заключается в реализации программного комплекса,, позволяющего решать акустические задачи дифракции в сложных двумерных и трёхмерных областях, и некоторые задачи дифракции электромагнитных волн на сложных рассеивателях, которые могут быть сведены к двумерной задаче дифракции скалярного волнового поля."

Методология и методы исследования.

При выполнении рассматриваемого исследования ключевым подходом следует считать метод вычислительного эксперимента [77]. Следуя [77] этот метод можно разбить на пять основных этапов.

1. Построение математической модели рассматриваемого явления.

/ *

2. Составление численного алгоритма решения математической задачи.

3. Программная реализация алгоритма решения математической задачи.

4. Расчёты на вычислительной машине.

5. Сравнение полученных результатов с данными опыта, и уточнение модели.

Построение математической модели задачи дифракции имеет достаточно длинный

исторический путь развития [9]. В настоящее время математическая модель этой задачи,

называемая математической задачей дифракции, широко используется в различных

приложениях. Существует несколько возможных эквивалентных с математической точки

зрения формулировок этой модели. Например, задачу дифракции можно1 поставить в виде

сингулярного интегрального уравнения [29], или в виде краевой задачи с условиями излучения

Зоммерфельда на бесконечности [4,8], или же в виде краевой задачи с применением принципа

предельного поглощения или предельной амплитуды, для выделения единственного решения

[4,8]. Как уже было сказано, целью данной работы является реализация метода конечных

элементов для постановки математической задачи дифракции с использованием парциальных'

условий излучения. " •'.,'■'.

В качестве используемого численного алгоритма был выбран метод конечных элементов в

связи с универсальностью его применения к задачам, решаемым в сложных областях. При этом,

как было сказано выше, одной из основных задач данной работы является разработка алгоритма

применения парциальных условий излучения при конечно-элементном анализе задачи

дифракции. Отметим, что. важным методологическим моментом в исследовании стал выбор

подхода к применению парциальных условий излучения. А именно, выбор между

последовательным теоретически обоснованным методом поиска возможностей ускорения.

сходимости ряда, входящего в эти условия, й подходом, представляющим собой выбор

частичной суммы этого ряда, тем самым ограничив набор гармоник, разложением по которым

является решение задачи.

В соответствии со следующим этапом проведения численного эксперимента был

разработан и протестирован программный комплекс, позволяющий решать задачу дифракции

скалярного волнового поля на сложных рассеивателях, состоящих из нескольких тел, методом

конечных с использованием парциальных условий излучения.

! « В соответствии со следующим пунктом, были произведены вычисления,

демонстрирующие возможности разработанного программного комплекса.

Положения, выносимые на защиту.

1. Доказана вычислительная эффективность парциальных условий излучения в конечно-элементном анализе задачи дифракции в сложных средах методом численного эксперимента.

2. Разработан алгоритм применения парциальных условий излучения в методе конечных элементов, позволяющий моделировать явление дифракции в сложных средах.

3. Реализован программный комплекс, позволяющий решать задачу дифракции на • рассеивателях, состоящих из многих тел.

Степень достоверности и апробация результатов.

В главе 3 настоящей работы представлены результаты тестирования реализованного

программного комплекса. В этой главе рассматривается сравнение результатов численных

' '' ' • •

экспериментов с известными аналитическими решениями задачи дифракции на канонических рассеивателях. Из 'результатов этих сравнений видно, что при рекомендуемом выборе параметров приближённых парциальных условий ошибка в сеточной С норме уменьшается при уменьшении линейного размера элементов сетки. При этом результаты тестов, показывают, что

у

при линейных размерах сетки, достаточных для адекватной аппроксимации рассеивателей уже

> , I . - » ,

можно рассчитывать на неплохую точность результатов. .

* * ' • ^ ' ~ ' * '

Результаты, представленные в работе, докладывались на нескольких 'конференциях. Тезисы докладов с этих конференций представлены в виде следующих публикаций:

1. Кошев ДА. Метод конечных элементов для решения задачи дифракции.//Материалы Международного молодежного научного форума «JIOMOHOCOB-2012» / Отв. ред. А.И. Андреев, A.B. Андриянов, Е.А. Антипов, К.К. Андреев, М.В. Чистякова. [Электронный ресурс]—М.: МАКС Пресс, 2012. '..

2. Коняев Д.А. Реализация метода конечных элементов для задачи дифракции.//Труды Российского научно-технического общества радиотехники электроники и связи имени A.C. Попова. Серия: Акустооптические и радиолокационные методы измерений и обработки информации. Выпуск V, 2012г., стр. 41-43.

3. Коняев Д.А. Реализация- метода конечных элементов для решения скалярной задачи дифракции с использованием парциальных условий излучения//Труды Российского научно-технического общества радиотехники электроники и связи имени A.C. Попова. Серия: Акустооптические и радиолокационные методы измерений и обработки информации. Выпуск VI, 2013г., стр. 67-69.

4. Коняев ДА. Строгий учёт парциальных условий излучения в конечно-элементном анализе задачи дифракции. // Материалы Международного молодежного научного форума «JIOMOHOCOB-2013»/ Отв. ред. А.И.Андреев, A.B. Андриянов, Е.А. Антипов, К.К. Андреев, М.В. Чистякова. [Электронный ресурс] — М.: МАКС Пресс, 2013.

Также, результаты работы опубликованы в статьях: [78 - 80]. Кроме того, результаты диссертационной работы обсуждались на научном семинаре кафедры математики физического факультета МГУ им. М.В. Ломоносова «Математические методы в естественных науках» (руководитель А.Н. Боголюбов).

Глава 1 , .

§1. Постановка задачи.

Как было отмечено во введении, имеет смысл, наряду с трёхмерной постановкой, также рассматривать и двумерную постановку задачи дифракции [51]. Как нетрудно .заметить} дальнейшие рассуждения справедливы как для двумерной, так и для трёхмерной постановки

> I • •• '

задачи дифракции с точностью до трактовки обозначений. .

Во-первых, необходимо однозначно определить понятие сложный рассеиватель. Пусть рассеиватель' состоит из нескольких тел достаточно сложной формы. Обозначим за П^ — внутренние области этих тел, а за ЗП^, - соответственно, границы этих тел, где индекс м/ = 1,2, Обозначим, также область, внешнюю по отношению* к этим телам как П0. Будем

считать, что для ЗПц, выполнены требования существования касательной ¿'каждой точке, звёздности, связности, а также V \VlW2 (ИзЬ^дП^,

ап^) > с > О [78 - 80]. Далее под рассеивателями будем понимать тела, принадлежащие всему рассматриваемому в каждом конкретном случае рассеивателю. Пример допустимой совокупности рассеивателей представлен на рисунке 1. ' . • . \

■ /

Рисунок 1. Пример конфигурации тел рассеивателя.

Рассмотрим теперь возможные варианты внутренней структуры рассеивателей. Во-первых, рассеиватель может быть абсолютно непроницаемым для рассматриваемого поля. В таком случае на его границе необходимо поставить однородное граничное условие Неймана или Дирихле. В рассматриваемой версии программы рассматриваются только условия Неймана как частный случай условий третьего рода. Так же рассеиватель может быть проницаемым. В таком случае, необходимо поставить условия сопряжения решения внутри рассеивателя и во внешней по отношению к нему области. Упрощённой версией проницаемого рассеивателя является рассеиватель с сильным поглощением [4,8]. Например, в случае рассеяния электромагнитного поля рассеиватель с достаточно большой, но конечной проводимостью [4,8]. Такой рассеиватель можно приближённо рассматривать как непроницаемый, но на его границе

необходимо поставить условие третьего ' рода. Очевидно, что, .внутри непроницаемых рассеивателей поле отсутствует. В случае рассеивателя с сильным поглощением поле отлично от нуля в узкой области близ границы рассеивателя, размером которой можно пренебречь. В настоящей работе рассматриваются непроницаемые и проницаемые рассеиватели. Для непроницаемых рассеивателей имеется возможность поставить граничные условия третьего рода. Для проницаемых рассеивателей, в представляемой версии программы, имеется лишь возможность"поставить условие непрерывности, как функции, так и её производной. Перейдём к строгой математической формулировке рассматриваемой задачи. .. '

1.1.1. Математическая формулировка задачи дифракции скалярной волны. Условия

■. - . • у

излучения Зоммерфельда. ■ • ' . "

Как уже было сказано, на границе проницаемых рассеивателей ставится условие

непрерывности функции и производной, поэтому в дальнейших рассуждениях при

использовании метода конечных элементов достаточно лишь аппроксимировать их границу

элементами сетки. В связи с этим из набора областей П^ исключим соответствующие

• ■ ' ■ < 1 . . . ■ проницаемым рассеивателям, которые добавим к П0. Оставшиеся области перенумеруем и

переобозначим за IV общее число непроницаемых рассеивателей (в коде программы, а также в

Главе 4, данная * перенумерация отсутствует, поскольку не является необходимой, а'

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Коняев, Денис Алексеевич, 2014 год

Список литературы

1. Еремин Ю.А., Свешников А.Г. Задачи распознавания и синтеза в теории дифракции // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1992. Т. 32. № 10. С. 15941607.

2. Еремин Ю.Л., Свешников Л.Г. Обоснование метода неортогональных рядов и решение некоторых обратных задач дифракции // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1983. Т. 23. № 3. С. 738-742.

3. Ильгамов М.А., Гильманов А.Н. Неотражающие условия на границах расчётной области. Москва: ФИЗМАТЛИТ, 2003.

4. Свешников А.Г., Могилевский И.Е. Избранные математические задачи теории дифракции. Москва: Физический факультет МГУ, 2012.

5. Болотовский Б.М., Галстьян Е.А. Дифракция и дифракционное излучение // Успехи физических наук. 2000. Т. 170. № 8. С. 809-830.

6. Ваганов Р.Б., Каценеленбаум Б.З. Основы теории диффракции. Наука, 1982.

7. Галишникова Т.Н., Ильинский A.C. Численные методы в задачах дифракции. Издательство Московского Университета, 1987.

8. Ильинский A.C., Кравцов В.В., Свешников А.Г. Математические модели электродинамики. Москва: «ВЫСШАЯ ШКОЛА», 1991.

9. Малюжинец Г.Д. Развитие представлений о явлениях дифракции // Успехи физ. наук. 1959. Т. 69. №2. С. 321-334.

10. Потехин А.И. Некоторые задачи дифракции электромагнитных волн. Советское радио, 1948.

11. Нефедов Е.И. Дифракция электромагнитных волн на диэлектрических структурах. Наука, 1979.

12. Низьев В.Г. Дипольно-волновая теория дифракции электромагнитного излучения // Успехи физических наук. 2002. Т. 172. № 5. С. 601-607.

13. Хёнл К., Мауэ А., Вестпфаль К. Теория дифракции. Москва: Издательство «МИР», 1964.

14. Jandieri V., Yasumoto К. Electromagnetic scattering by layered cylindrical arrays of circular rods // Antennas and Propagation, IEEE Transactions on. 2011. Vol. 59. No. 6. pp. 2437-2441.

15. Горяинов A.C. Асимптотическое решение задачи о дифракции плоской электромагнитной волны на проводящем цилиндре // Радиотехника и электроника. 1958. Т. 3. № 5. С. 603-614.

16. Нефедов Е.И., Фиалковский А.Т. Асимптотическая теория дифракции электромагнитных

волн на конечных структурах. Наука, 1972.

17. Кюркчан А.Г., Скородумова Е.А. Решение трехмерной задачи дифракции волн на группе объектов //Акустический журнал. 2007. Т. 53. № 1. С. 5-14.

18. Zouros G.P., Roumeliotis J.A. Scattering by an infinite dielectric cylinder having an elliptic metal core: asymptotic solutions //Antennas and Propagation, IEEE Transactions on. 2010. Vol. 58. No. 10. pp. 3299-3309.

19. Малюжинец Г.Д. Возбуждение, отражение и излучение поверхностных волн от клина с произвольными поверхностными импедансами // Докл. АН ССС. 1958. Т. 58. № 1. С. 752755.

20. Meana J., Martinez-Lorenzo J., Las-Heras F., and Rappaport C. Wave scattering by dielectric and lossy materials using the modified equivalent current approximation (MECA) // Antennas and Propagation, IEEE Transactions on. 2010. Vol. 58. No. 11. pp. 3757-3761.

21. Mackenzie A.I., Rao S.M., and Baginski M.E. Method of Moments solution of electromagnetic scattering problems involving arbitrarily-shaped conducting/dielectric bodies using triangular patches and pulse basis functions // Antennas and Propagation, IEEE Transactions on. 2010. Vol. 58. No. 2. pp. 488-493.

22. Jing Y.F., Huang T.Z., Duan Y., Lai S.J., and Huang J. A novel integration method for weak singularity arising in two-dimensional scattering problems // Antennas and Propagation, IEEE Transactions on. 2010. Vol. 58. No. 8. pp. 2725-2731.

23. Valdes F., Andriulli F.P., Bagci H., and Michielssen E. A Calder6n-Preconditioned Single Source Combined Field Integral Equation for Analyzing Scattering From Homogeneous Penetrable Objects //Antennas and Propagation, IEEE Transactions on. 2011. Vol. 59. No. 6. pp. 2315-2328.

24. Смирнов Ю.Г., Цупак A.A. Исследование электромагнитной задачи дифракции на диэлектрическом теле методом объёмного сингулярного интегрального уравнения // Журнал вычислительной математики и математической физики. 2004. Т. 44. № 12. С. 2252-2267.

25. Васильев Е.Н. Алгоритмизация задач дифракции на основе интегральных уравнений // Сборник научно-методических статей по прикладной электродинамике

26. Richmond J.H. Scattering by a dielectric cylinder of arbitrary cross section shape // IEEE Transaction on Antennas and Propagation. 1965. Vol. 13. No. 3. pp. 334-341.

27. Колтон Д., Кресс P. Методы интегральных уравнений в теории рассеяния. Москва: Издательство «МИР», 1987.

28. Лифанов И.К. Метод сингулярных интегральных уравнений и численный эксперимент в

математической физике, аэродинамике, теории упругости и дифракции волн. ТОО" Янус" М., 1995.

29. Медведик М.Ю. Субиерархический метод решения задачи дифракции электромагнитной волны на теле, расположенном в свободном пространстве // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. 2012. № 1.

30. Медведик М.Ю., Смирнов Ю.Г. Применение ГРИД-технологий для решения объемного сингулярного интегрального уравнения для задачи дифракции на диэлектрическом теле субиерархическим методом // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. 2008. № 2.

31. Еремин Ю.А., Свешников А.Г. Использование сопряженных уравнений в методе вспомогательных источников // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1988. Т. 28. № 6. С. 879-886.

32. Еремин Ю.А., Свешников А.Г. Итерационный метод квазирешения в задачах дифракции на диэлектрических телах // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1990. Т. 30. № 1.С. 99-106.

33. Еремин Ю.А., Свешников А.Г. Развитие методов вспомогательных источников в электромагнитных задачах дифракции // Математическое моделирование. 1990. Т. 2. № 12. С. 52-79.

34. Еремин Ю.А., Свешников А.Г. Эффективный метод анализа акустических рассеивателей // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1993. Т. 33. № 12. С. 18971902.

35. Ершов Н.Е., Илларионова J1.B. Численное решение трехмерной стационарной задачи дифракции упругих волн // Журнал вычислительной математики и математической физики. 2010. Т. 50. № 3. С. 486-502.

36. Захаров Е.В., Несмеянова Н.И. Метод решения осесимметричных задач дифракции электромагнитных полей // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1978. Т. 18. №2. С. 512-516.

37. Ильинский A.C., Капустин Ю.Ю., Самохин А.Б. Математическая модель задачи дифракции на однородном цилиндрическом теле // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1998. Т. 38. № 9. С. 1563-1571.

38. Миронов Д.А. Применение суперкомпьютерных вычислительных сред для решения объемного сингулярного интегрального уравнения задачи дифракции на диэлектрическом

теле // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. 2009. № 2.

39. Самохин А.Б. Дифракция электромагнитных волн на локально-неоднородном теле и сингулярные интегральные уравнения // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1992. Т. 32. № 5. С. 772-787.

40. Самохин А.Б. Исследование задач дифракции электромагнитных волн в локально-неоднородных средах // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1990. Т. 30. № 1.С. 107-121.

41. Самохин А.Б., Самохина А.С. Метод решения задач дифракции электромагнитных волн на трехмерном диэлектрическим теле // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1996. Т. 36. № 8. С. 138-157.

42. Хижняк Н.А. Интегральные уравнения макроскопической электродинамики. Наук, думка, 1986.

43. Шестопалов Ю.В. Применение метода обобщенных потенциалов для решения некоторых задач теории дифракции и распространения волн // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1990. Т. 30. № 7. С. 1081-1092.

44. Гутников В.А., Кирякин В.Ю., Лифанов И.К., Сетуха А.В., Ставцев С.Л. О численном решении двумерного гиперсингулярного интегрального уравнения и о распространении звука в городской застройке // Журнал вычислительной математики и математической физики. 2007. Т. 47. № 12. С. 2088-2100.

45. Rao S.M., Wilton D., and Glisson A. Electromagnetic scattering by surfaces of arbitrary shape // Antennas and Propagation, IEEE Transactions on. 1982. Vol. 30. No. 3. pp. 409-418.

46. Zha L.P., Hu Y.Q., and Su T. Efficient surface integral equation using hierarchical vector bases for complex em scattering problems // Antennas and Propagation, IEEE Transactions on. 2012. Vol. 60. No. 2. pp. 952-957.

47. Tong M.S., Chew W.C. Fast Convergence of Fast Multipole Acceleration Using Dual Basis Function in the Method of Moments for Composite Structures // Antennas and Propagation, IEEE Transactions on. 2011. Vol. 59. No. 7. pp. 2741-2746.

48. Polimeridis A.G., Tamayo J. Fast and accurate computation of hypersingular integrals in Galerkin surface integral equation formulations via the direct evaluation method // Antennas and Propagation, IEEE Transactions on. 2011. Vol. 59. No. 6. pp. 2329-2340.

49. Nair N.V., Shanker B. Generalized method of moments: A novel discretization technique for

integral equations //Antennas and Propagation, IEEE Transactions on. 2011. Vol. 59. No. 6. pp. 2280-2293.

50. Peng Z., Wang X.C., and Lee J.F. Integral equation based domain decomposition method for solving electromagnetic wave scattering from non-penetrable objects // Antennas and Propagation, IEEE Transactions on. 2011. Vol. 59. No. 9. pp. 3328-3338.

51. Быков A.A., Свешников А.Г,, Трубецков M.K. Применение неполного метода Галеркина для решения задач дифракции электромагнитных волн на неоднородном цилиндре //Журнал вычислительной математики и математической физики. 1990. Т. 30. № 6. С. 894-909.

52. Войтович H.H., Каценеленбаум Б.З., Сивов А.Н. Обобщенный метод собственных колебаний в теории дифракции. Наука, 1977.

53. Еремии Ю.А., Лебедев O.A., Свешников А.Г. Использование мультипольных источников в методе неортогональных рядов в задачах дифракции // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1985. Т. 25. № 3. С. 466-470.

54. Еремин Ю.А., Свешников А.Г. Концепция квазирешения задач дифракции // Математическое моделирование. 1994. Т. 6. № 6. С. 76-84.

55. Еремин Ю.А., Свешников А.Г. Об одном численном алгоритме решения задач дифракции на локально-неоднородном теле // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1974. Т. 14. № 2. С. 499-504.

56. Еремин Ю.А., Свешников А.Г. Об исследовании скалярной дифракции на локально-неоднородном теле с помощью проекционного метода // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1976. Т. 16. № 3. С. 800-804.

57. Ильинский A.C., Ситшаева 3.3. Устойчивость неполного метода Галеркина в задачах дифракции волн на ограниченном теле //Журнал вычислительной математики и математической физики. 1983. Т. 23. № 6. С. 1501-1506.

58. Луговая H.A., Терентьев С.А. Численное решение двумерной задачи дифракции // Обратные и некорректные задачи прикладной математики: Труды XIII Бай-кальской международной школы-семинара "Методы оптимизации и их приложения". Иркутск. 2005. Т. 3. С. 153-157.

59. Ильинский A.C., Некрасов Л.М. Численный метод решения задачи дифракции на неоднородном диэлектрическом цилиндре и его обоснование //Журнал вычислительной математики и математической физики. 1995. Т. 35. № 1. С. 53-70.

60. Tsukerman I. A singularity-free boundary equation method for wave scattering // Antennas and Propagation, IEEE Transactions on. 2011. Vol. 59. No. 2. pp. 555-562.

61. Еремин Ю.А., Свешников А.Г. Анализ методом дискретных источников дифракции электромагнитных волн на трехмерных рассеивателях // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1999. Т. 39. № 12. С. 2050-2063.

62. Еремин Ю.А., Орлов Н.В., Свешников А.Г. Анализ сложных задач дифракции на основе метода дискретных источников // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1995. Т. 35. № 6. С. 918-934.

63. Еремин Ю.А., Свешников А.Г. Проекционно-итерационная схема определения амплитуд дискретных источников на основе диссипативных матриц // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1997. Т. 37. № 2. С. 223-229.

64. Ерёмин Ю.А., Свешников А.Г. Метод дискретных источников в задачах электромагнитной дифракции. Издательство Московского Университета, 1992.

65. Свешников А.Г., Еремин Ю.А. Компьютерная технология анализа задач рассеяния методом дискретных источников // Журнал вычислительной математики и математической физики. 2000. Т. 40. № 12. С. 1842-1856.

66. Richie J. Application of spatial bandwidth concepts to MAS pole location for dielectric cylinders // Antennas and Propagation, IEEE Transactions on. 2011. Vol. 59. No. 12. pp. 4861-4864.

67. Стренг Г., Фикс Д. Теория метода конечных элементов. Москва: Издательство «МИР», 1977.

68. Zhai Y.B., Ping X.W., and Cui T.J. Scattering from complex bodies of revolution using a highorder mixed finite element method and locally-conformal perfectly matched layer // Antennas and Propagation, IEEE Transactions on. 2011. Vol. 59. No. 5. pp. 1761-1764.

69. Лебедев A.M. Решение методом конечных элементов двумерных задач рассеяния электромагнитных волн плазменными и биологическими объектами // Дисс. на степень канд. техн. наук. М. 1998.

70. Лебедев A.M., Пермяков В.А. Эффективная процедура численного решения задачи дифракции Е-волны на двумерно неоднородном плазменном цилиндре с отрицательным ядром // Радиотехника и электроника. 1994. Т. 39. № 7. С. 1071-1078.

71. Лебедев A.M., Пермяков В.А. Влияние нервностей поверхности кожи на распределение удельной поглощаемой мощности под рупорной антенной миллиметрового диапазона // Всеросс. научн.-техн. журнал «Радиотехнические тетради». 1998. No. 16. pp. 17-20.

72. Софронов ИЛ. Точные искусственные граничные условия для некоторых задач аэродинамики и дифракции // Автореферат докт. дисс,-М: ИММ РАН. 1999.

73. Винницкий С.И., Гусев А.А., and Чулуунбаатар О. Решение краевых задач

шрёдингеровского типа методом Канторовича // Вестник Санкт-Петербургского университета. Серия 4: Физика. Химия. 2010. No. 3. pp. 111-115.

74. Канторович JI.B., Крылов В.И. Приближённые методы высшего анализа. Москва: Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1950.

75. Gusev А.А., Chuluunbaatar О., Vinitsky S.I., and Abrashkevich A.G. KANTBP 3.0: New version of a program for computing energy levels, reflection and transmission matrices, and corresponding wave functions in the coupled-channel adiabatic approach. Vol 185. Comput. Phys. Commun., 2014. 3341-3343 pp.

76. Chuluunbaatar O., Gusev A.A., Vinitsky S.I., and Abrashkevich A.G. ODPEVP: A program for computing eigenvalues and eigenfunctions and their first derivatives with respect to the parameter of the parametric self-adjoined Sturm-Liouville problem. Vol 181. Comput. Phys. Commun., 2009. 1358-1375 pp.

77. Самарский A.A. Компьютеры, модели, вычислительный эксперимент: Введение в информатику с позиций математического моделирования. Наука, 1988.

78. Коняев Д.А. Метод конечных элементов для решения скалярной задачи дифракции на двумерных рассеивателях сложной структуры // Вестник Московского Университета. Серия 3. Физика. Астрономия. 2012. № 4. С. 30-36.

79. Коняев Д.А., Делицын АЛ. Метод конечных элементов с учётом парциальных условий излучения для задачи дифракции на рассеивателях сложной структуры // Математическое моделирование. 2014. Т. 8. С. 48-64.

80. Коняев Д.А., Делицын A.J1. Математическое моделирование дифракции акустических и электромагнитных полей на сложных рассеивателях методом конечных элементов // Журнал радиоэлектроники: электронный журнал. 2014. № 4. URL:

h ttp ://j re. cpl i re.ru/j re/j an 12/9/tex t.pdf.

81. Gusev A.A., Chuluunbaatar O., Vinitsky S.I., Derbov V.L., Gozdz A., Hai L.L., and Rostovtsev V.A. Symbolic-numerical solution of boundary-value problems with self-adjoint second-order differential equation using the finite element method with interpolation Hermite polynomials // Lecture Notes in Computer Science. 2014. Vol. 8660. pp. 138-154.

82. Гусев A.A., Хай J1.J1. Вычислительные схемы для решения задачи Штурма-Лиувилля методом конечных элементов с интерполяционными полиномами Эрмита // Вестник РУДН. Серия Математика. Информатика. Физика. 2014. № 4. С. 34-50.

83. Frey P.J., George P.L. Mesh Generation Application to Finite Elements. HERMES Science Europe

Ltd., 2000.

84. Шайдуров B.B. Многосеточные методы конечных элементов. Москва: Наука, 1989.

85. Галаннн М.П., Щеглов И.А. Разработка и реализация алгоритмов трёхмерной триангуляции сложных пространственных областей: итерационные методы // Препринты Института прикладной математики им. MB Келдыша РАН. 2006. № 0. С. 9-32.

86. Галанин М.П., Щеглов И.А. Разработка и реализация алгоритмов трёхмерной триангуляции сложных пространственных областей: прямые методы // Препринты ИПМ им. MB Келдыша. 2006. № 10.

87. Freitag L., Knupp P.M. Tetrahedral mesh improvement via optimization of the element condition number // International Journal for Numerical Methods in Engineering. 2002. Vol. 53. No. 6. pp. 1377-1391.

88. Rao S.S. The finite element method in engineering. Butterworth-heinemann, 2005.

89. Писсанецки С. Технология разреженных матриц. Москва: Издательство «МИР», 1988.

90. Holand I., Bell К. Finite element methods in stress analysis. Tapir, 1970.

91. Калиткин H.H. Численные методы. Главная редакция физико-математической литературы, 1978.

92. Баландин М.Ю., Шурина Э.П. Методы решения СЛАУ большой размерности. Новосибирск: Издательство НГТУ, 2000.

93. Ахунов P.P., Куксенко С.П., Салов В.К., Газизов Т.Р. Усовершенствование алгоритма 1Ш(0)-разложения, использующего разреженный строчный формат // Записки научных семинаров ПОМИ. 2012. Т. 405. С. 40-53.