Применение инвариантов в моделях актуарной математики для статистического оценивания и проверки гипотез тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат физико-математических наук Кротова, Елена Львовна

• Кротова, Елена Львовна
• кандидат физико-математических наук
• 2004

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Кротова, Елена Львовна

Введение

1. Проверка гипотезы о типе предельного распределения для случая строго устойчивых распределений

1.1. Модели, основанные на броуновском движении

1.2. Модели, основанные на гиперболических распределениях

1.3. Модели, использующие обобщенные процессы Кокса

1.4. Модели, не зависящие от времени

1.5. Дополнительные сведения

1.6. Асимптотическое поведение сопряженного смесителя

1.7. Численная реализация

2. Различение нормального и смеси нормальных распределений

2.1. Классические методы различения нормального и смеси нормальных распределений

2.2. Определение асимптотического поведения сопряженного смесителя для случая нормального распределения

2.3. Определение коэффициента устойчивости по опубликованным экспериментальным данным

3. НОРМД плотности двухпараметрического семейства гамма

3.1. Сопоставление эффективности статистических выводов на основе указанных инвариантов с выводами, базирующимися только на выборочных данных на примере распределения Коши.

3.2. Нахождение НОРМД плотности гамма распределения 94 Заключение 120 Библиографический список

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Применение инвариантов в моделях актуарной математики для статистического оценивания и проверки гипотез»

Можно без преувеличения сказать, что в последние два десятилетия центр основных интересов финансовой математики, ее более впечатляющие математические результаты и "выходы" в практику связаны со стохастическими аспектами, что и объясняет большой поток работ, опирающихся на результаты стохастического исчисления, теории мартингалов, оптимального стохастического исчисления и новых методов в статистике случайных процессов." [1]

Проблема эквивалентного описания эволюции финансовых индексов (цен акций, величин обменных курсов валют и т.д.) имеет давнюю историю и занимает в теоретических и прикладных исследованиях теории финансов весьма заметное место.

Финансовые модели с момента появления работы Башелье Л. в 1900 году [2], которая была первым опытом описания с помощью математического аппарата эволюции цен акций, привлекали внимание многих математиков.

В 1965 году Самуэльсон П. А. [3] предложил использовать в моделях актуарных расчетов геометрическое броуновсокое движение, таким образом, сделав предположение о нормальности распределения логарифмических приращений стоимостей активов. Модель Блэка-Мертона-ИГоулса, использующая геометрическое броуновское движение, вошла в распространенные пакеты прикладного программного обеспечения для финансовых вычислений (МАРЬЕ, МАТЬАВ).

Однако, при обработке реальных биржевых данных было замечено, что в действительности наблюдается заметно больше очень больших и очень маленьких по абсолютной величине приращений, чем их должно быть при нормальном распределении (см., например, Ширяев А.Н., 1994 [1], Кендалл М. [49], Самуэльсон П. А. [3] (1965), Бардорфф-Нильсен (1977) [49], Кларк П. [49]). Другими словами, наблюдаемые распределения приращений цен на интервалах времени умеренной длины являются более островершинными, нежели нормальные, и при этом имеют заметно более тяжелые хвосты. Такое поведение приращений хорошо описывается с помощью моделей случайных сумм, т.е. сумм случайного числа независимых случайных величин. Класс предельных распределений для случайных сумм весьма богат и содержит как распределения приращений для процессов, базирующихся на геометрическом броуновском движении со случайным сносом и диффузией в макромоделях биржевых цен (исследованием которых занимались Ширяев А. Н. [1,49] (1994), Королев В. Ю. [4,6,7,8,9,10,11,17] (1997), Бенинг В. Е. [6,7,8,9,10,11] (1998), Эберлейн Е., Келлер У., Нейман К. [49] (1992-1994), Первадчук В.П. [20] (2002), так и распределения, возникающие в моделях микроуровня, позволяющих учитывать неоднородность "биржевого времени". Дело в том, что представителями этого класса служат, так называемые, смеси нормального распределения, т.е. усреднения нормальной функции распределения по математическому ожиданию и стандартному отклонению, которые являются случайными и их закон распределения заранее неизвестен. В связи с выше сказанным, проблема определения типа распределения приращения активов по имеющейся реализации представляется весьма актуальной. Часть этой проблемы, касающаяся предельных распределений для обобщенных процессов Кокса рассматривается в моей диссертации. В работах Королева В. Ю., Бенинга В. Е. [7, 8, 9,10, 11] и др. показано, что при определенных ограничениях предельные распределения нормированных обобщенных процессов Кокса принадлежат классу симметричных строго устойчивых распределений.

Аналитическое представление плотностей этих распределений возможно лишь в исключительных случаях, поэтому практический интерес представляет математический аппарат получения статистических выводов, не связанный с компьютерно-интенсивным методом, предложенным в работе Фама и Ролла [27], 1970. Поскольку статистические выводы, реализуемые в работе, базируются на новой выборке, полученной из исходной посредством ее модификации с помощью имитаций стандартной нормальной величины, то для сопоставления эффективности выводов необходимы новые теоретические построения и методы их численной реализации. Один из возможных подходов указан в диссертации. Попутно решена задача нахождения НОРМД (несмещенных оценок с равномерно минимальной дисперсией) неизвестного параметра масштаба гамма распределения, предложенная в свое время Колмогоровым А. Н. и имеющая самостоятельный интерес в различных приложениях.

Целью работы является реализация новых методов, основанных на плотности распределения инвариантов, для решения двух типов задач. К первому типу можно отнести проблему проверки гипотез о принадлежности данному распределению модифицированной выборки. Ко второму - задачу оценивания неизвестного параметра при известном семействе распределений.

В работе построены: аппроксимации функций распределений, графики плотностей и функций распределения для различных значений коэффициента устойчивости. Приведены таблицы критических точек, которые используются для проведения процедуры проверки гипотез с помощью критерия Колмогорова. Численно реализован пример, иллюстрирующий применение метода. Найдена НОРМД для гамма распределения. Кроме того, в работе построены таблицы, позволяющие определить необходимый объем выборки, требуемый для построения удовлетворительных статистических выводов.

Результаты работы докладывались на XXXVII Международной научной студенческой конференции "Студент и научно-технический прогресс" (Новосибирск, 1998), где доклад был удостоен диплома, на трех Всероссийских школах-коллоквиумах по прикладной и промышленной математике (Самара, 1999, 2001, Ростов-на-Дону, 2002), и на пятом Всероссийском симпозиуме по прикладной и промышленной математике (Кисловодск, 2004). Полученные в работе результаты обсуждались на научных семинарах кафедры математической статистики факультета вычислительной математики и кибернетики Московского государственного университета, кафедры теории вероятностей и математической статистики Пермского государственного университета.

Диссертация общим объемом 125 стр. состоит из введения, трех глав, поделенных на 12 параграфов, 6 таблиц и 26 рисунков, заключения, и списка литературы, содержащего 53 наименования. Основные результаты работы изложены в статьях [35, 42, 45]. По теме диссертации опубликовано 7 печатных работ.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Кротова, Елена Львовна

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В диссертации получены следующие основные результаты.

1. Численно реализован метод проверки гипотез о типе предельного распределения для математических моделей финансовой математики, построенных на классе строго устойчивых распределений.

2. Найдены предельные плотности распределения сопряженного смесителя для значений коэффициента устойчивости в интервале (1,2;2). Построены таблицы критических точек.

3. Построен критерий согласия предельного распределения с нормальным против устойчивой смеси нормальных, используемый для математических моделей финансовой математики, построенных на коротком периоде наблюдений.

4. Построен метод проверки гипотезы о принадлежности распределению Коши логарифмических приращений наблюдаемых величин.

5. Построены таблицы объемов выборки, необходимых для получения удовлетворительного результата при различении нормального распределения и смеси нормальных распределений.

6. Разобран численный пример, основанный на реальном курсе евро к рублю. Построена математическая модель процесса, найдено предельное распределение для конкретной задачи.

7. Предложен новый алгоритм нахождения оценок неизвестных параметров. Найдена НОРМД параметра гамма распределения с помощью плотности распределения достаточных статистик семейства гамма.

8. Осуществлена проверка гипотезы о параметре гамма распределения. Найдена формула, выражающая необходимый объем выборки для построения критерия удовлетворительной мощности.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Кротова, Елена Львовна, 2004 год

1. Ширяев А. Н. Стохастические проблемы финансовой математики. // Обозрение прикладной и промышленной математики: 1994, Т.1, В.5, С. 780-820.

2. BachelierL. Th'eorie de la speculation. // Ann. Ecole Norm. Sup., 1900, V.17, P. 21-86. (Перепечатка: The random character of stock market prices. Ed. by P.H. Coothner. Cambridge, MA: MIT Press, 1967, P. 17-78).

3. Samuelson P. A. Rational theory of warrant pricing. // Industrial Manag. Rev., 1965, P. 13-31.

4. Королев В. Ю. Вероятностные модели: введение в асимптотическую теорию случайного оценивания. //М.: Диалог-МГУ, 1997.

5. Grandell J. Doubly Stohastic Poisson Processes. // Lect. Notes Math., 1976, V.529.

6. Bening V. E., Korolev V. Yu., Shorgin S. Ya. On approximations to generalized Poisson processes. // J. Math. Sci., 1997, V.83, N 3, P. 360-373.

7. Бенине В. E., Королев В. Ю. Асимптотические разложения для квантилей обобщенных процессов Кокса и некоторые их приложения к задачам финансовой и актуарной математики. // Обозрение прикладной и промышленной математики: 1998, Т.5, В.1, С. 23-43.

8. Бенинг В. Е., Королев В. Ю. Асимптотические поведение обобщенных процессов Кокса. // Вестник Московского универсситета, серия выч. Мат-ки и кибернетики: 1996, В.З, С. 55-68.

9. Р. Бенинг В. Е., Королев В. Ю. Предельное поведение неслучайно центрированных обобщенных процессов Кокса. // Фундаментальная и прикладная математика: 1996, N 4, С. 957-975.

10. Bening V. Е., Korolev V. Yu. On approximations to generalized Cox processes. // Probab. Theory and Math. Stat., Wroclaw, 1998.

11. Bening V. E., Korolev V. Yu. Asymptotic behavior of generalized non-ordinary Cox processes. // Probabilistic Methods in Discrete Mathematics, 1997, VSP, P. 111-129.

12. Золотарев В. M. Одномерные устойчивые распределения. М.: Наука, 1983.

13. Кащеев Д. Е. Моделирование динамики финансовых рядов и оценивание производных финансовых инструментов. Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук. Тверь. 2001.

14. Прохоров Ю. В., Розанов Ю. А. Теория вероятностей. Основные понятия, предельные теоремы, случайные процессы. М.: Наука, 1967.

15. Ибрагимов И. А., Линиик Ю. В. Независимые и стационарно связанные величины. М.: Наука, 1965.

16. Ибрагимов И. А., Хасъминский Р. Э. Асимптотическая теория оценивания. М.: Наука, 1979.

17. Королев В. Ю. Об асимптотической устойчивости распределений обобщенных неординарных процессов Кокса. // Теория вероятностей и ее применение: 1997, Т.42,В.З, С. 359-361.

18. Сапожников П. Н. Проверка гипотез о типе предельного распределения обобщенных процессов Кокса. // Обозрение прикладной и промышленной математики: 2001, Т.8, В.1, С. 314-315.

19. Большее JI. Н., Смирнов Н. В. Таблицы математической статистики. М.: Наука. 1983.

20. Первадчук В.П., Тренин Ю.Б. Анализ и прогнозирование финансовых рынков методами теории детерминированного хаоса. // Вестник ПГТУ. Математика и прикладная математика. Пермь: ПГТУ, 2002, С.7-11.

21. Володин И. Н. Планирование эксперимента при сравнении параметров двух нормальных совокупностей. // Теория вероятностей и ее применение: 1973, Т.18, В.1, С. 206-211.

22. Коваленко И.Н. О восстановлении аддитивного типа распределения по последовательности независимых испытаний.// Тр. Всесоюз. сов. по ТВ и МС. Ереван, 1960, С. 148-159.

23. Прохоров Ю.В. Характеризация класса распределений распределением некоторой статистики. // Теория вероятностей и ее применение: 1965, Т. 10, В.З, С. 479-487.

24. Sapozhnikov Р. N. Pseudomixers for strong stable mixers of standard normal law. // Seminar on Stab. Problem of stohastic models. Pamplona, Spain, 2003, P. 49.

25. Никитин Я. Ю. Асимптотическая эффективность непараметрических критериев. М.: Физматлит, 1995.

26. Black F., Scholes М. The pricing of option and corporate liabilities. // J. Polit. Econom., 1973, N3, P. 637-659.

27. Eugene F. Fama, Richard Roll. Parameter Estimates for Symmetric Stable Distributions // Journal of the American Statistical Association: 1971, V. 66, P. 331-338.

28. Shapiro S. S., WilkM. В., Chen H. J. A Comparative Study of Various Tests for Normality. // Journal of the American Statistical Association, 1968, P. 1343-1372.

29. Лумелъский Я. П., Сапожников П. Н. Несмещенные оценки для плотностей распределений. // Теория вероятностей и ее применение: 1969, Т. 14, В.2, С. 372-380.

30. Новицкий П. В., Зограф И. А. Оценка погрешностей результатов измерений. Ленинград: Энергоатомиздат, 1985.

31. Бейтмен Г., ЭрдейиА. Высшие трансцендентные функции. М.: Наука, 1973, Т.1.

32. Володин И. Н. О различении распределений гамма и Вейбулла. // Теория вероятностей и ее применение: 1994, Т.39, В.2, С.398-348.

33. Сапожников П. Н. Алгебраические методы оптимального статистического оценивания. Пермь: ПТУ, 1997.

34. Кротова Е. Л., Сапожников П. Н. НОРМД плотности двухпараметриче-ского семейства гамма. // Промышленное обозрение. ТВП: 1999, Т.6, В.1, С. 164.

35. Кротова Е. Л., Сапожников П. Н. Получение приближения для НОРМД гамма распределения // Статистические методы оценивания и проверки гипотез. Пермь: ПГУ, 1999, С.26-37.

36. Сапожников П. Н. Привлечение алгебраических свойств статистических моделей к нахождению распределений статистик. // Статистические методы оценивания и проверки гипотез. Пермь: ПГУ, 1993, С. 100-116.

37. Сапожников П. Н. Максимальные инварианты в теории оптимального оценивания. Пермь: Вестник ПГУ, 1997, В.1.

38. Прохоров А. В. Бета распределение. // Математическая энциклопедия. М.: Советская энциклопедия, 1977, Т.1, С.163-164.

39. Колмогоров А. Н. Несмещенные оценки // Известия АН СССР, Сер. мат., 1950,14, С. 303-326.

40. Субботин Ю. Н. Бернулли числа. // Математическая энциклопедия. М.: Советская энциклопедия, 1977, Т.1, С.425-426.

41. Кротова Е. Л. Проверка гипотезы о виде гамма распределения. // Обозрение прикладной и промышленной математики: 2001, Т.8, В.1, С. 247.

42. Кротова Е. Л. Применение приближенного распределения инвариантов для проверки гипотезы о типе предельного распределения. // Информационные управляющие системы. Пермь ПГТУ, 2002,С.22-25.

43. Сапожников П. И., Кротова Е. Л. Критерий согласия предельного распределения с нормальным против устойчивой смеси нормальных. // Обозрение прикладной и промышленной математики: 2002, Т.9, В.1, С. 133.

44. Кротова Е. Л. Распределение достаточных статистик для семейства гамма. // Материалы XXXVII Международной научной студенческой конференции "Студент и научно-технический прогресс". Новосибирск, 1999, С.83.

45. Кротова Е. JI. Об одной реализации проверки гипотезы о типе предельного распределения для случая строго устойчивых распределений. // Вестник ПГТУ. Математика и прикладная математика. Пермь: ПГТУ, 2002, С.96-100.

46. Прохоров A.B. Гамма распределение. // Математическая энциклопедия. М.: Советская энциклопедия, 1977, Т.1, С. 163-164.

47. Орлов А.И. О влиянии погрешности наблюдений на свойства статистических процедур (на примере гамма распределения). // Статистические методы оценивания и проверки гипотез. Пермь: ПТУ, 1988, С.45-49.

48. Воинов В.Г., Никулин М.С. Несмещенные оценки и их применения. М.: Наука, 1989.

49. Ширяев А.Н. Вероятностно-статистические модели эволюции финансовых индексов. // Обозрение прикладной и промышленной математики: 1995, Т.2.

50. Гармовски Б., Ранее С. Финансовые модели, использующие устойчивые законы. // Обозрение прикладной и промышленной математики: 1995, Т.2.

51. Гнеденко Б.В., Колмогоров А.Н. Предельные распределения для сумм независимых случайных величин. // М.: Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1949.

52. Kozek A. Construction of umv estimators and some problems of partial differential equations. // Trans 7-th Prague Conf. Prague, 1978, P. 279-290.

53. Градштейн И.С., Рыжик И.М Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. Москва: Государственное издательство физико-математической литературы, 1963.