Применение и развитие метода прямого разделения движений для исследования новых классов упругих динамических систем тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.04, доктор наук Сорокин Владислав Сергеевич

• Сорокин Владислав Сергеевич
• доктор наук
• 2016

Оглавление диссертации доктор наук Сорокин Владислав Сергеевич

Содержание

1. Введение

1.1. Предмет исследования

1.2. Актуальность темы

1.3. Степень разработанности темы и обзор литературы

1.4. Цель и задачи работы

1.5. Научная новизна

1.6. Теоретическая и практическая значимость

1.7. Общая характеристика работы и методы исследования

1.8. Основные положения, выносимые на защиту

1.9. Степень достоверности и апробация результатов

2. Модифицированный метод прямого разделения движений: исследование динамики систем общего вида, допускающих 38 разделение движений по времени

2.1. О предлагаемой модификации МПРД

2.2. Уравнение Матье без явного малого параметра

2.2.1. Постановка задачи

2.2.2. Решение с помощью модифицированного МПРД

2.2.3. Оценка справедливости полученных результатов

2.2.4. Сравнение с результатами численных экспериментов

2.2.5. Обсуждение полученных результатов

2.3. Исследование отклика нелинейного параметрического усилителя при соотношении 2:1 между частотами параметрического и 52 внешнего воздействий

2.3.1. Постановка задачи

2.3.2. Решение с помощью модифицированного МПРД

2.3.3. Случай малой амплитуды внешнего воздействия

2.3.4. Отклик усилителя в общем случае

2.3.5. Коэффициент усиления

2.3.6. Обсуждение полученных результатов

2

2.4. Уравнение Ван дер Поля без явного малого параметра

2.4.1. Постановка задачи

2.4.2. Решение с помощью модифицированного МПРД

2.4.3. Определение параметров установившихся режимов колебаний в системе

2.4.4. Нестационарные режимы колебаний

2.5. Обсуждение результатов, полученных с помощью модифицированного МПРД

3. Метод изменяющихся амплитуд: исследование параметрически возбуждаемых и нелинейных систем, движения которых не 73 разделяются по времени

3.1. О методе изменяющихся амплитуд

3.2. Уравнение Матье в более широкой области изменения параметров

3.2.1. Постановка задачи и решение с помощью метода изменяющихся амплитуд

3.2.2. Определение границ устойчивости для третьего параметрического резонанса и обсуждение полученных 80 результатов

3.3. Исследование отклика нелинейного параметрического усилителя при наличии расстройки между частотами внешнего и 82 параметрического воздействий

3.3.1. Постановка задачи

3.3.2. Линейный случай

3.3.3. Нелинейный случай. Решение с помощью метода изменяющихся амплитуд

3.3.4. Обсуждение полученных результатов и проверка с помощью численных экспериментов

3.3.5. Сравнение с результатами натурных экспериментов

76

76

89

94

3.4. Исследование влияния характера нелинейности на отклик

параметрического усилителя

3.4.1. Постановка задачи

3.4.2. Решение с помощью метода изменяющихся амплитуд

3.4.3. Обсуждение полученных результатов и проверка с помощью численных экспериментов

3.5. Обсуждение результатов, полученных с помощью метода

111

изменяющихся амплитуд

4. Исследование динамики структур, движения которых допускают разделение по пространственной координате, а не по времени, с 113 помощью модифицированного метода прямого разделения движений

4.1. О разделении движений не по времени, а по пространственной

113

координате

4.2. Собственные частоты и формы струны с переменным

116

поперечным сечением

4.2.1. Постановка задачи

4.2.2. Решение с помощью модифицированного МПРД

4.2.3. Определение собственных частот и форм колебаний струны

4.2.4. Сравнение с результатами численных экспериментов

4.2.5. Обсуждение полученных результатов

5. Исследование динамики пространственно периодических структур, движения которых не допускают разделения по координате, с 130 помощью метода изменяющихся амплитуд

5.1. Об использовании метода изменяющихся амплитуд

5.2. Собственные частоты и формы балки с переменным поперечным

131

сечением. Теория Бернулли-Эйлера

5.2.1. Постановка задачи

5.2.2. Решение с помощью метода изменяющихся амплитуд

5.2.3. Дисперсионные соотношения балки

5.2.4. О влиянии модуляций на собственные частоты и формы

балки

5.2.5. Сравнение с результатами численных экспериментов

5.2.6. Обсуждение полученных результатов

5.3. Дисперсионные соотношения и полосы частот запирания балки с

153

переменным поперечным сечением. Теория Тимошенко

5.3.1. Постановка задачи

5.3.2. Дисперсионные соотношения однородной балки Тимошенко

5.3.3. Безразмерные уравнения колебаний балки Тимошенко с

157

переменным поперечным сечением

5.3.4. Решение с помощью метода изменяющихся амплитуд

5.3.5. Анализ полученных дисперсионных соотношений балки

5.3.6. Проверка с помощью серии численных экспериментов

5.3.7. Обсуждение полученных результатов

5.4. Подавление вибрации струны, находящейся под действием распределенной внешней нагрузки, с помощью пространственных 181 модуляций ее параметров

5.4.1. Постановка задачи

5.4.2. Пространственно гармоническая внешняя нагрузка

5.4.3. Постоянная по координате внешняя нагрузка

5.4.4. Произвольно распределенная внешняя нагрузка

5.4.5. Обсуждение полученных результатов

5.5. Влияние нелинейных факторов на дисперсионные соотношения и

202

полосы запирания периодической балки Бернулли-Эйлера

5.5.1. Постановка задачи

5.5.2. Уравнения движения

5.5.3. Решение с помощью метода изменяющихся амплитуд

5.5.4. Дисперсионные соотношения и полосы частот запирания

5.5.5. Проверка полученных результатов

5.5.6. Обсуждение полученных результатов

5.6. Распространение продольных упругих волн в периодическом

238

стержне в случае произвольной модуляции его поперечного сечения

5.6.1. Постановка задачи

5.6.2. Решение с помощью метода изменяющихся амплитуд

5.6.3. Ширина и положение нечетных полос запирания

5.6.4. Ширина и положение четных полос частот запирания

5.6.5. Общая несимметричная форма корригации

5.6.6. Обсуждение полученных результатов

5.7. Распространение поперечных волн в продольно движущейся

261

периодической струне

5.7.1. Постановка задачи

5.7.2. Уравнения движения

5.7.3. Области параметрической неустойчивости для однородной

266

струны

5.7.4. Полосы частот запирания для неоднородной не движущейся

271

струны

5.7.5. Подавление параметрической неустойчивости колебаний

274

струны путем пространственных модуляций ее параметров

5.7.6. Обсуждение полученных результатов 279 5.8. Обсуждение результатов, полученных с помощью Метода

Изменяющихся Амплитуд при исследовании динамики 280 пространственно периодических структур

6. Заключение

6.1. Итоги и основные результаты исследования

6.2. Рекомендации и перспективы дальнейшей разработки темы

6.3. Список публикаций автора по теме диссертации 290 Список литературы

1. Введение

1.1. Предмет исследования

Настоящая работа посвящена развитию новых аналитических методов исследования динамики упругих линейных и нелинейных структур. Особое внимание уделяется системам, находящимся под сильным параметрическим воздействием, а также существенно нелинейным задачам. В частности, рассматриваются прикладные задачи, связанные с исследованием динамики пространственно периодических структур и композитных материалов и определением отклика микро- и нано-масштабных параметрических усилителей. Отдельно обсуждается случай, когда рассматриваемые структуры находятся под действием многих параметрических и (или) внешних сил с некратными частотами.

Методы, предлагаемые в настоящей работе, являются развитием Метода Прямого Разделения Движений - эффективного подхода к описанию и исследованию явлений, возникающих при действии высокочастотной вибрации на нелинейные механические системы [1-5]. Данный метод был предложен руководителем лаборатории Вибрационной механики Института Проблем Машиноведения РАН и научным консультантом автора Блехманом И.И. Основными направлениями развития метода, следуемыми в настоящей работе, являются: 1. Расширение области применимости метода 2. Расширение спектра решений, получаемых с помощью метода. В частности, предложена модификация метода, не предполагающая введение ограничений на спектр частот воздействия на систему. Также метод адаптирован для исследования динамики структур, движения которых разделяются не по времени, а по пространственной координате, например, пространственно периодических структур. На основе этих подходов разработан новый метод для исследования систем и структур, движения которых не допускают разделения ни по времени, ни по координате, названный Методом Изменяющихся Амплитуд.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Применение и развитие метода прямого разделения движений для исследования новых классов упругих динамических систем»

1.2. Актуальность темы

Многие задачи, с которыми сталкиваются сегодня физики, инженеры и специалисты по прикладной математике, не поддаются точному решению. Среди причин, затрудняющих точное решение, можно указать, например, нелинейные уравнения движения, переменные коэффициенты и нелинейные граничные условия на границах сложной формы. В некоторых случаях, если даже точное решение задачи явно найдено, оно может оказаться бесполезным для математической и физической интерпретаций или численных расчетов. В качестве примеров можно привести функции Бесселя большого порядка при больших значениях аргумента и двоякопериодические функции. В результате, для решения многих важных и актуальных для приложений задач используются различного рода приближения, или численные методы, или комбинации тех и других. Среди приближенных методов отдельно следует выделить асимптотические методы и методы возмущений по большим или малым значениям параметра или координаты.

Приближенные методы широко применяются в механике, физике и других науках, оперирующих дифференциальными уравнениями. Большинство этих методов (например, метод Пуанкаре, метод усреднения, метод пограничного слоя) первоначально возникли именно при решении конкретных задач механики и физики, а затем уже были развиты и обобщены. В настоящее время, в эпоху быстрого развития вычислительной техники, данные методы отнюдь не утрачивают своего значения. Они служат для выяснения качественных особенностей задач, для получения асимптотик и анализа особых точек, для построения тестовых решений, а в ряде случаев являются также основой для разработки вычислительных методов.

Изучение динамических, в частности колебательных, процессов имеет

основное значение для самых разнообразных разделов механики, физики и

техники. Вибрации сооружений и машин, электромагнитные колебания в

радиотехнике и оптике, автоколебания в системах регулирования и следящих

системах, звуковые и ультразвуковые колебания могут быть исследованы с

8

помощью одних и тех же приближенных методов линейной и нелинейной динамики. С развитием науки и техники быстро возрастает роль колебательных процессов в различных приложениях, а следственно растет и значимость методов их исследования. Многие инженерные задачи современной техники требуют изучения динамики систем, возбуждаемых параметрически и описываемых дифференциальными уравнениями с периодическими коэффициентами. В частности, с такими уравнениями приходится встречаться при расчете динамической устойчивости упругих линейных и нелинейных систем, анализе периодических режимов систем автоматического регулирования, ускорителей элементарных частиц, колебаний линий высоковольтных передач и т.д.

Настоящая работа посвящена развитию новых аналитических приближенных методов исследования динамики линейных и нелинейных упругих систем и структур. Решение целого ряда актуальных задач, возникающих в различных областях науки и техники, требует учета нелинейных факторов. Во многих случаях, как это было отмечено выше, воздействие на систему включает параметрическую компоненту, что подразумевает переменные коэффициенты в уравнениях движения. Для решения таких задач существующие аналитические методы зачастую оказываются непригодными, так как их использование налагает слишком существенные ограничения на параметры системы и/или спектр разыскиваемых решений. Например, подобные трудности возникают при исследовании распространения упругих волн в пространственно периодических структурах, отклика микро- и нано-масштабных параметрических усилителей, колебаний линий электропередач и подвесных мостов, динамики железнодорожных путей и т.д. В этих и других случаях приходится иметь дело с упругими структурами, находящимися под сильным параметрическим воздействием или под действием многих параметрических и (или) внешних сил с некратными частотами. Данные, также как и

существенно нелинейные, задачи требуют разработки новых аналитических методов исследования, что и является предметом настоящей работы.

Методы, предлагаемые в работе, имеют более широкую область применимости и дают больший спектр решений, чем традиционные асимптотические и приближенные методы. В связи с этим, они могут быть использованы для решения широкого круга актуальных задач механики и физики, в частности задач механики деформируемого твердого тела, например, о распространении упругих волн в периодических структурах и композитных материалах, подавлении вибрации в заданных частях распределенных структур, управлении откликом нелинейных микро- и нано-масштабных параметрических усилителей и т.д. В частности, предлагаемые методы могут быть полезными для решения актуальной задачи управления динамическими свойствами упругих структур и систем, например их собственными формами и частотами колебаний, с помощью пространственных модуляций структурных параметров, что, в свою очередь, может послужить толчком к созданию новых типов структур и материалов. Также данные методы оказываются применимыми для исследования систем, параметры которых изменяются и по времени и по пространственной координате, например, движущихся периодических цепей приводов, ремней машин, линий конвейеров и т.д., что представляет существенный интерес для приложений. Они позволяют выявить ряд значимых эффектов, использование которых дает возможность управлять характером колебаний таких систем, в частности, подавить области параметрической неустойчивости их движений.

1.3. Степень разработанности темы и обзор литературы

Истоки современной теории линейной и нелинейной динамики находятся в классической механике времен Галилея, Гюйгенса и Ньютона, в частности в классической задаче о движении маятника [6,7]. В трудах

Лагранжа (см. например, [8]) имеется уже сформировавшаяся теория малых колебаний. При дальнейшем развитии она получила название теории линейных колебаний, т.е. колебаний, характеризуемых линейными дифференциальными уравнениями с постоянными коэффициентами. Впоследствии, данная теория получила свое применение и развитие для исследования большого числа важных с точки зрения приложений задач, как в зарубежных, так и отечественных работах (см., например [9, 10]). Простота основных принципов теории линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами обусловила большую разработанность теории линейных колебаний, общность формулировок ее законов и их физическую наглядность. Значительный вклад в обоснование методов данной теории внесли работы [11,12]. Вопросам теории и приложения указанных методов также посвящены работы [13-17].

Ввиду того, что теория линейных колебаний обладает детально разработанным и простым и ясным в применении математическим аппаратом, на протяжении долгого времени многие исследователи стремились изучаемые ими колебательные процессы по возможности подводить под линейные схемы, отбрасывая часто без должного обоснования нелинейные члены, несмотря на то, что такая «линейная» трактовка могла привести к существенным ошибкам не только количественного, но и принципиально качественного характера. На первом этапе развития теории колебаний лишь в отдельных случаях не пользовались линеаризацией и рассматривали нелинейные колебания как таковые [18-20].

Успехи, достигнутые в чисто линейных физических и механических

теориях, в частности, в теории электромагнитного поля и квантовой

механике [21-22], в определенной степени ослабили внимание к

«нелинейным» трудностям, приводившим к некоторой ограниченности, а в

некоторых случаях и возможной несостоятельности представлений о

динамике того или иного физического процесса. Кроме того, методы

линейной теории удалось весьма удачно применить к многочисленным

11

классическим задачам [23], используя линеаризацию исходных уравнений. В результате, понадобилось некоторое время для осознания того, что указанные нелинейные трудности остались неразрешенными и их преодоление не связано с идеями линеаризации. Развитие физики твердого тела, теории колебаний, гидродинамики, теории упругости, радиоэлектроники, теории плазмы, оптики, электродинамики, общей теории относительности в XX веке показало принципиальную недостаточность линейного приближения к описанию нашего мира. Стало ясно, что даже малые отклонения от линейности могут привести к качественно новым эффектам, таким как тепловое расширение твердых тел, автоколебания, срыв вынужденных колебаний, неустойчивости в жидкостях, твердых телах, плазме. Более того, существует ряд задач, когда линейное представление совсем неприменимо; в таких системах часто имеют место существенно новые явления, принципиально невозможные в линейных моделях [2, 24-27].

Вместе с тем, физика и механика в своем современном виде начинались

именно с нелинейных законов движения. Это видно уже на примере задачи

Кеплера, которая содержит типичные свойства нелинейных систем:

периодические орбиты с большим числом гармоник и зависимость периода

колебаний от амплитуды. Для изучения движения планет астрономами была

разработана теория возмущений, применимая для исследования нелинейных

колебаний, достаточно близких к линейным. Достаточно близкими к

линейным называются обычно колебания, для которых соответствующие

дифференциальные уравнения хотя и являются нелинейными, но содержат

некоторый параметр £, входящий в эти уравнения так, что при нулевом

значении £ они вырождаются в линейные дифференциальные уравнения с

постоянными коэффициентами. При этом предполагается, что параметр

является «малым», т. е. может принимать лишь достаточно малые по

абсолютной величине значения. Такого рода задачи, в частности знаменитая

«задача трех тел», рассматривались уже при самом возникновении небесной

механики. Вначале применялась самая простая с идейной точки зрения, хотя

12

и громоздкая техника: вычисление приращений координат и скоростей планет из дифференциалов за малые последовательные интервалы времени. При этом предсказания получаемых астрономических таблиц оказывались достоверными лишь для малых времен прогнозирования и, главное, не достигалось более глубокое понимание закономерностей, присущих рассматриваемым динамическим системам. Это связано с существенной трудностью, состоящей в невозможности использования обычных разложений по степеням малого параметра для получения результатов, пригодных для изучения движения за достаточно длительный промежуток времени.

Для преодоления данной трудности, связанной с вековыми членами в теории возмущений, после трудов Лагранжа [8], Клеро [28] и Лапласа [29] был предложен ряд асимптотических методов, которые оказались весьма эффективными в небесной механике и были затем перенесены в квантовую механику. Следует, однако, подчеркнуть, что эти методы были разработаны специально для консервативных динамических систем, описываемых каноническими уравнениями, и не могли быть без принципиального обобщения применены для изучения большинства рассматривавшихся нелинейных колебательных систем, поскольку эти последние являются неконсервативными и содержат источники как притока энергии, так и ее поглощения. Более того, какого-либо строгого обоснования теория возмущений не имела, а попытка получить решение в более высоких приближениях наталкивалась на принципиальную трудность - появление малых знаменателей, которые как бы увеличивали вес поправок, содержащих множителями малые параметры, и разрушали надежду на сходимость. Такая ситуация представлялась парадоксальной: с одной стороны, отбрасывание слагаемых с малым параметром в более высоких степенях становилось неоправданным, а с другой, и без их учета достигалось разумное соответствие с результатами астрономических наблюдений. Таким образом,

«задача трех тел» не только отразила наиболее общие особенности

13

нелинейной динамики, но и позволила раскрыть такие ее сложные и трудноразрешимые свойства, как неинтегрируемость и появление малых знаменателей в рядах теории возмущений. Более того, стало ясно, что для типичных нелинейных ситуаций нельзя предсказать на сколь угодно большое время динамические свойства даже слабо возмущаемых систем.

Кроме аппарата теории возмущений, был разработан математический аппарат, не связанный специально с консервативными системами. Здесь прежде всего следует указать на локальную теорию периодических решений Пуанкаре - Ляпунова [30,31]. В этой теории рассматриваются общие нелинейные дифференциальные системы, содержащие малый параметр £ , таким образом, что при £ = 0 они обладают периодическими решениями, и устанавливаются явные критерии существования и устойчивости периодических решений при достаточно малых значениях £ ^ 0. Методы Ляпунова и Пуанкаре имеют перед обычными методами теории возмущений то существенное преимущество, что являются методами строго обоснованными, пригодными не только для количественного, но также и для качественного исследования. Впервые методы Ляпунова-Пуанкаре были применены к систематическому исследованию нелинейных колебаний, начиная с 1929 г., отечественной школой физиков, связанной с именами Л. И. Мандельштама, Н. Д. Папалекси, А. А. Андронова, А. А. Витта [32-34]. Только после появления многочисленных исследований, связанных с проблемами упомянутого типа, стало физически ясным то глубокое, принципиальное отличие механики нелинейных колебаний от механики линейных колебаний, которое полностью сохраняется даже при рассмотрении слабо нелинейных колебаний, описываемых дифференциальными уравнениями, отличающимися от линейных с постоянными коэффициентами лишь наличием весьма малых членов. В частности, из-за нелинейности нарушается принцип суперпозиции, и отдельные гармоники колебаний вступают во взаимодействие между собой,

вследствие чего делается невозможным индивидуальное рассмотрение поведения каждого гармонического слагающего колебаний в отдельности.

Наряду с нелинейностью, присутствие параметрического воздействия на систему так же может явиться фактором, существенно затрудняющим ее анализ. В то же время, параметрически возбуждаемые системы часто встречаются в приложениях, например, в задачах механики, волновой динамики, электротехники, физики плазмы и т.д., см. например [35-39]. В практических задачах часто приходится иметь дело с системами с периодически изменяющимися нагрузками, жесткостями, массами или геометрическими параметрами. Такие системы описываются дифференциальными уравнениями с периодическими коэффициентами.

Известно также, что вопрос устойчивости особенно важен при изучении периодических колебаний нелинейных систем [35-37,39]. Устойчивость можно исследовать путем решения уравнения в вариациях, которое характеризует малые отклонения от периодических режимов. Уравнение в вариациях приводится к линейному уравнению, коэффициенты которого периодически зависят от времени. Таким образом, после работ Ляпунова и Пуанкаре центр тяжести в практических методах исследования устойчивости периодических движений, описываемых нелинейными дифференциальными уравнениями, был перенесен на системы линейных дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами. Типичными примерами таких уравнений являются уравнения Матье и Хилла. Для их исследования, усилиями А. М. Ляпунова и других исследователей, была создана теория линейных дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами, применимая, в частности, к исследованию часто встречающихся в приложениях уравнений Матье и Хилла, см. например работы А. М. Ляпунова [31,35], Пуанкаре [30], Флоке [36], Айнса и Стретта [40], Уиттекера [41-43], Бриуллина [38] и т.д.

В 1980-е годы трудами многих авторов был достигнут существенный

прогресс в данной теории. Были созданы практические методы расчета,

15

например метод Лаппо-Данилевского [44-46], позволяющие довольно просто получать приемлемые для инженера решения во многих задачах, которые ранее отпугивали своей громоздкостью. Эти методы таковы, что вычислительные трудности слабо возрастают с увеличением порядка системы, и это обстоятельство делает их особенно выгодными для применения в задачах с большим числом степеней свободы. Много новых глубоких результатов получено и для уравнения Хилла, в частности с помощью методов бесконечных определителей и цепных дробей, изложенных в книгах Стретта [40] и Мак-Лахлана [36].

Основополагающие результаты Ляпунова [35] и Пуанкаре [30] можно найти в известных монографиях Н. Н. Красовского [47], И. Г. Малкина [48], Н. Г. Четаева [49]. Многие смежные вопросы рассматриваются в монографиях Н. П. Еругина [50,51], И. Г. Малкина [52,53], Е. Н. Розенвассера [54], И. 3. Штокало [55], Л. Чезари [56], Д. Хейла [57]. Наиболее полно данные и другие результаты нашли свое отражение в классической монографии [37].

Совершенно естественно, что наиболее доступными для исследования

являются колебательные системы с малой нелинейностью, поскольку к ним в

той или иной форме можно применять методы теории возмущений или

методы Пуанкаре. Как было отмечено выше, еще до 1930-ых годов был

разработан ряд достаточно общих методов, например методы Рэлея [58],

Дуффинга [59], Мандельштама и Папалекси [34], Андронова, Хайкина и

Витта [32,33], применимых ко многим типичным классам колебательных

систем, часто встречающимся на практике. Одним из первых таких методов

явился метод Ван-дер-Поля [60-63]. Для получения первого приближения

Ван-дер-Поль предложил особый метод «медленно меняющихся»

коэффициентов, аналогичный одному из методов, применявшихся еще

Лагранжем в небесной механике [8]. Однако, в данной Ван-дер-Полем

формулировке приближение выводилось с помощью чисто интуитивных

рассуждений, также оставались неясными вопросы его теоретического

16

обоснования, пределов применимости и получения высших приближений. Тем не менее, современные достижения в теории и методах нелинейного анализа напрямую связаны с работами Дуффинга [59] и Ван-дер-Поля [6063].

Оказалось, что и в сложных линейных задачах (а с открытием изначально линейной квантовой механики такие задачи стали гораздо более разнообразными) асимптотический подход является зачастую наиболее эффективным средством анализа. При этом в роли малых параметров выступают такие величины, как относительная толщина твердого тела или слоя жидкости, отношение вязкости жидкости к ее инерционной характеристике, отношение расстояния между атомами к характерной длине волны в кристалле и т.д. Было осознано, что наличие того или иного малого параметра есть, как правило, важнейшая предпосылка успешного анализа физической проблемы. Резкое расширение сферы применения асимптотической методологии, ее выход за рамки небесной механики привели к разработке новых схем реализации асимптотического подхода с использованием зачастую далеко не очевидных параметров разложения.

Через полвека после метода малого параметра Пуанкаре-Ляпунова

были предложены асимптотические методы нелинейной механики,

разработанные Н. М. Крыловым, Н. Н. Боголюбовым и Ю.А. Митропольским

[16,64-68], в частности методы усреднения, явившееся существенным шагом

вперед в данной области. Указанные методы являются строго

обоснованными с математической точки зрения и имеют четко очерченные

границы применимости. Кроме того, они применимы для исследования

систем с медленно меняющимися параметрами. Книга Минорского [69]

включает данные и другие результаты, а также собственные исследования

автора. Среди других книг по этим вопросам следует упомянуть работы

Стокера [70], Мак-Лахлана [71], Каннингхэма [72], Ку [73], Каудерера [74] и

Минорского [75]. Принципиальный вклад в понимание и разрешение

возникающих здесь трудностей внесли теория Колмогорова-Арнольда-

17

Мозера (КАМ-теория) [76-78] и доказательство теоремы о сохранении инвариантов, которые впервые прояснили характер усложнений в поведении возмущенной системы, вытекающих из существования малых знаменателей.

На сегодняшний день одним из самых популярных аналитических методов исследования динамики слабонелинейных систем является метод многих масштабов, разработанный Найфе [79] и другими исследователями (см. например, [80-83]) на основе методов усреднения Боголюбова и Митропольского. Данный метод отличается сравнительной простотой и большей универсальностью процедуры применения, чем классические методы усреднения.

Также отдельно следует отметить метод гармонического баланса [8486], который является прямым следствием метода усреднения [85]. Данный метод часто и с успехом используется для получения чисто периодических решений уравнений, описывающих движения колебательных систем при наличии (или отсутствии) внешнего воздействия. Отличительной чертой этого метода, математически законного для уравнений с малой нелинейностью, является применимость и для уравнений с не слишком большой нелинейностью, проверяемая путем решения числовых примеров для случаев немалой нелинейности [85].

Особое место в ряду асимптотических методов занимает теория сингулярных возмущений, имеющая дело с уравнениями, которые содержат малый параметр в коэффициентах при старших производных [87,88].

Определение нового свойства нелинейных систем - динамической

энтропии Колмогорова - Синая [89-91], явилось существенным вкладом в

развитие исследований нелинейных систем строгими методами. Эта

энтропия, будучи новым инвариантом системы, отразила в количественной

форме возможность нелинейных систем совершать движение с

перемешиванием - свойство, которое еще ранее исследовалось в работах Е.

Хопфа и Н. С. Крылова [92, 93]. В последствии (см. например, [94])

выяснилось, что перемешивание, или хаос, может возникать даже в системе с

18

двумя степенями свободы и появление его или отсутствие зависит лишь от значений параметров или начальных условий задачи. Таким образом, в нелинейную динамику вошел качественно новый элемент движения, потребовавший пересмотра ряда более ранних приближенных результатов.

Благодаря всем перечисленным достижениям, а также многим другим результатам к настоящему времени сформировано некоторое общее представление о нелинейной динамике различных процессов независимо от той области физики, к которой они имеют отношение. Обсужденные выше асимптотические приближения методов усреднения и многих масштабов при всей их эффективности, однако, не гарантируют преодоления математических трудностей, если уравнения физической теории существенно нелинейны. Они предполагают применение линеаризации -асимптотического метода, использующего представление о процессах малой интенсивности. Если рассматривать линейную систему как первое приближение нелинейной (в этом суть локальной линеаризации), то при учете нелинейных поправок в уравнениях второго и последующего приближений появляются эффективные внешние нагрузки, вызывающие резонанс в нормальных колебаниях [64,79-82].

Однако сильно нелинейные системы, особенно высокой размерности,

нельзя описать ни в каком приближении метода локальной линеаризации.

Поэтому до недавнего времени сочетание высокой размерности с сильной

нелинейностью выглядело непреодолимой преградой для исследования

физической системы. Но в 1980-е годы был открыт класс многомерных

нелинейных систем, допускающих такое исследование. Эти системы,

получившие название интегрируемых, имеют частные решения в виде

уединенных волн - солитонов, представляющих собой в некотором смысле

аналог нормальных колебаний в линейных системах [95-99], см. также [27].

Возникло нелинейное обобщение метода Фурье - метод обратной задачи

рассеяния, в котором солитоны играют фундаментальную роль, во многом

представляя собой аналог разложения Фурье [95-99]. Метод обратной задачи

19

рассеяния можно трактовать как нелокальную линеаризацию исходного нелинейного уравнения. Используются преобразования, сводящие построение широкого класса решений к анализу линейных уравнений. В рамках асимптотического подхода интегрируемые системы, в свою очередь, могут выступать в качестве первого приближения при анализе близких к ним, но не интегрируемых.

Отдельно следует отметить сравнительно недавно предложенные аналитические методы исследования нелинейных систем с сильным параметрическим воздействием, основанные на преобразовании Ляпунова-Флоке с последующим применением, так называемых, time-dependent normal form theory или time-periodic center manifold reduction, см. например [100103]. Тем не менее, данные методы в общем случае не могут быть использованы для изучения динамики систем, находящихся под действием многих параметрических и (или) внешних сил с некратными частотами. Кроме того, их существенным недостатком является сравнительная сложность в применении, что делает практически невозможным их использование для решения многих актуальных задач, зависящих от большого числа параметров.

В 1980-е годы строго математически обоснованная схема усреднения

Крылова-Боголюбова-Митропольского была обобщена на широкий класс

континуальных систем, описываемых уравнениями в частных производных

с переменными коэффициентами, и нашла свое применение в таких важных

Список литературы диссертационного исследования доктор наук Сорокин Владислав Сергеевич, 2016 год

Список литературы

1. Блехман, И.И.: Вибрационная механика. Наука, Москва, 1994

2. Блехман, И.И.: Что может вибрация? Наука, Москва, 1988

3. Blekhman, I.I.: Selected Topics in Vibrational Mechanics. World Scientific, Singapore at al., 2004

4. Blekhman, I.I.: Vibrational Mechanics. Nonlinear Dynamic Effects, General Approach, Applications. World Scientific, Singapore, 2000

5. Блехман, И.И.: Теория вибрационных процессов и устройств. Вибрационная механика и вибрационная техника. Руда и Металлы, Санкт-Петербург, 2013

6. Шмутцер, Э.: Основные принципы классической механики и классической теории поля. Мир, Москва, 1976

7. Г. Голдстейн. Классическая механика. Наука, Москва, 1975

8. Лагранж, Ж.Л.: Аналитическая механика. ГИТТЛ, Москва, 1950

9. Heaviside, O.: Electromagnetic theory. The Electrician, London, 1912

10. Крылов, А.Н.: О некоторых дифференциальных уравнениях математической физики, имеющих приложения в технических вопросах. 2 изд. АН СССР, Ленинград, 1932

11. Карсон, Д.Р.: Электрические и нестационарные явления и опреационное исчсление. ДНТВУ, Киев, 1934

12. Bromwich, T.J.: The application of operational methods. Proc. London Math. Soc., v. 31, 1930, p. 209

13. Эфрос А.М., Данилевский А.М.: Операционное исчисление и контурные интегралы. ОНТИ, 1937

14. Крылов, Н.М.: Избранные труды. Изд. АН УССР, Киев, 1961

15. Штокало И.З.: Операционное исчисление (обобщения и приложения). Наукова думка, Киев, 1972

16. Крылов, Н.М., Боголюбов, Н.Н.: Введение в нелинейную механику. Изд. АН УССР, Киев, 1937

17. Лурье, А.И.: Операционное исчисление и его приложения к задачам механики. Гостехиздат, Москва, 1951

18. Остроградский, М.В.: Избранные труды. Изд. АН СССР, Москва, 1958

19. Гельмгольц, Г.Л.Ф.: Основы вихревой теории. ИКИ, Москва, 2002

20. Rayleigh, L.: Scientific papers. Cambridge University Press, Cambridge, 2011

21. Максвелл, Дж.К.: Избранные сочинения по теории электромагнитного поля. ГИТТЛ, Москва, 1952

22. Einstein, A.: The collected papers of Albert Einstein, Princeton University Press, Princeton, 1989

23. Ландау, Л.Д., Лифшиц, Е.М.: Теоретическая физика. Физматлит, Москва, 2004

24. Cartwright, M.L.: Nonlinear vibrations. Brit. Assoc. Advan. Sci. 6 (21), 1949

25. Ludeke, C.A.: Nonlinear phenomena. Trans. ASME, 79, 1957, pp. 439444

26. Weber, E.: Nonlinear physical phenomena. Symp. Nonlinear Circuit Analysis, 2, 1953, pp. 1-27

27. Vakakis, A.F., Manevitch, L.I., Mikhlin, Y.V. et al.: Normal modes and localization in nonlinear systems, Wiley, 1996

28. Клеро, А.К.: Теория фигуры Земли, основанная на началах гидростатики. Серия: Классики науки. Изд. АН СССР, Москва, 1947

29. Лаплас, П.С.: Изложение системы мира. Наука, Москва, 1982

30. Пуанкаре, А.: Избранные труды. Наука, Москва, 1971-1974

31. Ляпунов, А.М.: Собрание сочинений. Изд. АН СССР, Москва, 19541959

32. Андронов, А.А., Витт, А.А., Хайкин, С.Э.: Теория колебаний. Физматгиз, Москва, 1959

33. Андронов, А.А., Витт, А.А.: К теории захватывания Ван-дер-Поля, Собрание трудов А. А. Андронова. Изд. АН СССР, Москва, 1956

34. Мандельштам, Л.И., Папалекси, Н.Д.: О резонансных явлениях при делении частоты, Полное собрание трудов Л. И. Мандельштама. Изд. АН СССР, Москва, 1947

35. Ляпунов, А.М.: Общая задача об устойчивости движения. Гостехиздат, Москва, 1950

36. McLachlan, N.W.: Theory and Application of Mathieu Functions. Dover, New York, 1964

37. Якубович В. А., Старжинский В. М.: Линейные дифференциальные уравнения с периодическими коэффициентами и их приложения. Наука, Москва, 1972

38. Brillouin, L.: Wave Propagation in Periodic Structures second edition, Dover Publications, New York, 1953

39. Майлыбаев А.А., Сейранян А.П.: Многопараметрические задачи устойчивости. Теория и приложения в механике. Физматлит, Москва, 2009

40. Стретт, М.Д.О.: Функции Ламе, Матье и родственные им в физике и технике. ОНТИ, Москва, 1935

41. Whittaker, E.T.: General solution of Mathieu's equation, Proc. Edinburgh Math. Soc, 32, 1913-1914, pp. 75-80

42. Уиттекер, Э.Т., Ватсон, Дж.Н.: Курс современного анализа. Физматгиз, Москва, 1961

43. Young, A.W.: Quasi-periodic solutions of Mathieu's equation, Proc. Edinburgh Math. Soc, 32, 1913-1914, pp. 81-90

44. Лаппо-Данилевский И.А.: Теория функций от матриц и системы линейных дифференциальных уравнений. ОНТИ, Гостехиздат, Москва, 1934

45. Лаппо-Данилевский И.А.: Применение функций от матриц к теории линейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Гостехиздат, Москва, 1957

46. Еругин Н.П.: Метод Лаппо-Данилевского в теории линейных дифференциальных уравнений. Изд. ЛГУ, Ленинрад, 1956

47. Красовский Н.Н.: Некоторые задачи теории устойчивости движения. Физматгиз, Москва, 1959

48. Малкин И.Г.: Теория устойчивости движения. Изд. 2, Наука, Москва, 1966

49. Четаев Н.Г.: Устойчивость движения. Изд. 2, Гостехиздат, Москва, 1955

50. Еругин Н.П.: Приводимые системы. Труды МИАН им. Стеклова, 12, 1946

51. Еругин Н.П.: Линейные системы обыкновенных дифференциальных уравнений с периодическими и квазипериодическими коэффициентами, АН БССР, Минск, 1963

52. Малкин И.Г.: Методы Ляпунова и Пуанкаре в теории нелинейных колебаний. Гостехиздат, Москва, 1949

53. Малкин И.Г.: Некоторые задачи теории нелинейных колебаний, Гостехиздат, Москва, 1956

54. Розенвассер Е.Н.: Колебания нелинейных систем. Метод интегральных уравнений. Наука, Москва, 1969

55. Штокало И.3.: Линейные дифференциальные уравнения с переменными коэффициентами. Изд. АН УССР, Киев, 1960

56. Чезари Л.: Асимптотическое поведение и устойчивость решений обыкновенных дифференциальных уравнений. Мир, Москва, 1964

57. Хейл Дж.: Колебания в нелинейных системах. Мир, Москва, 1966

58. Рэлей Стрэтт Дж.: Теория звука, Гостехиздат, Москва, 1955

59. Duffing G., Erzwungene Schwingungen bei veranderlicher Eigenfrequenz

una ihre technische Bedeutung. Sammlung Vieweg, Braunschweig, 1918

297

60. Pol B. van der: On Relaxation-oscillations, Phil. Mag., 7-2, 1926, pp. 978-992

61. Pol В. van der: Forced oscillations in a circuit with nonlinear resistance, Phil. Mag., 7-3, 1927, pp. 65-80

62. Pol B. van der, Strutt M.J.O.: On the stability of the solutions of Mathieu's equation, Phil. Mag., 7-5, 1928, 18-38

63. Ван-дер-Поль: Нелинейная теория электрических колебаний. Связьиздат, Москва, 1935

64. Боголюбов Н.Н., Митропольский Ю.А.: Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний. Физматгиз, Москва, 1963

65. Боголюбов Н.Н.: Избранные труды в трех томах. Наукова думка, Киев, 1969

66. Митропольский Ю.А.: Проблемы асимптотической теории нестационарных колебаний. Наука, Москва, 1964

67. Митропольский Ю.А.: Лекции по методу усреднения в нелинейной механике. Наукова думка, Киев, 1966

68. Митропольский Ю.А.: Метод усреднения в нелинейной механике. Наукова думка, Киев, 1971

69. Minorsky N.: Introduction to nonlinear mechanics. Ann Arbor, Mich., 1947.

70. Стокер Дж., Нелинейные колебания в механических и электрических системах. ИЛ, Москва, 1952

71. М^асЫел N.W.: Ordinary nonlinear differential equations. 2d ed., London, 1955

72. Каннингхэм В.: Введение в теорию нелинейных систем. Госэнергоиздат, Москва, 1962

73. Ku Y.H.: Analysis and control of nonlinear systems. New York, 1958

74. Каудерер Г.: Нелинейная механика. ИЛ, Москва, 1961

75. Minоrskу N.: Nonlinear oscillations. Princeton, N. J., 1962

76. Колмогоров, А.Н.: О сохранении условнопериодических движений при малом изменении функции Гамильтона, Докл. АН СССР, т. 98, 1954, с. 572

77. Арнольд, В.И.: Малые знаменатели и проблема устойчивости движения в классической и небесной механике, Успехи математических наук, т. 18, 1963, с 85

78. Мозер, Ю.: КАМ-теория и проблемы устойчивости. РХД, Ижевск, 2001

79. Nayfeh A.H.: Perturbation methods. Wiley, New York, 1973

80. Nayfeh A.H., Mook D.T.: Nonlinear oscillations. Wiley, New York, 1979

81. Mitropolsky Y.A., Nguyen V.D.: Applied asymptotic methods in nonlinear oscillations. Kluwer, Dordrecht, 1997

82. Sanders J.A., Verhulst F.: Averaging methods in nonlinear dynamical systems. Applied mathematical sciences 59, Springer-Verlag, New-York, 1985

83. Levi M.: Geometry and physics of averaging with applications. Physica D, 132, 1999, pp. 150-164

84. Magnus K.: Vibrations. Blackie, London, 1965

85. Хаяси Т.: Нелинейные колебания в физических системах. Мир, Москва, 1968

86. Bolotin V.V.: The Dynamic Stability of Elastic Systems. Holden-Day, San Francisco, 1964

87. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я.: Методы решения некорректных задач. Наука, Москва, 1979

88. Маслов В.П.: Теория возмущений и асимптотические методы. Изд. МГУ, Mосква, 1965

89. Колмогоров А.Н.: Об энтропии на единицу времени как метрическом инварианте автоморфизмов. ДАН СССР, т. 124, вып. 4, 1959, с. 754755

90. Синай Я.Г.: О понятии энтропии динамической системы. ДАН

СССР, т. 124, вып. 4, 1959, с. 768-771

299

91. Синай Я.Г.: Современные проблемы эргодической теории. Физматгиз, Москва, 1995

92. Хопф. Е.: Эргодическая теория, УМН. т. 4. вып. 2, 1949, с. 129

93. Крылов Н.С.: Работы по обоснованию статистической физики. Изд-во АН СССР, Москва, 1950

94. Неймарк Ю.И., Ланда П.С.: Стохастические и хаотические колебания. URSS, Москва, 2008

95. Абловиц М., Сигур Х.: Солитоны и метод обратной задачи. Мир, Москва, 1987

96. Лэм Дж.: Введение в теорию солитонов. Мир, Москва, 1983

97. Захаров В.Е., Манаков С.В., Новиков С.П., Питаевский Л.П.: Теория солитонов: метод обратной задачи. Наука, Москва, 1980

98. Калоджеро Ф., Дегасперис А.: Спектральные преобразования и солитоны. Методы решения и исследования эволюционных уравнений. Мир, Москва, 1985

99. Маневич Л.И.: Линейная и нелинейная математическая физика: от гармонических волн к солитонам, Соросовский Образовательный Журнал. № 1, 1996, с. 86-93

100.Encyclopedia of Vibrations. Ewins D.J., Rao S.S., Braun S.G. (Eds.) Academic Press, 2001

101.Bifurcation and Chaos in Complex Systems. Sun J.Q., Luo A.C.J. (Eds.) Elsevier Science, 2006

102. Wooden, A.M., Sinha S.C.: Analysis of periodic-quasiperiodic nonlinear systems via Lyapunov-Floquet transformation and normal forms, Nonlinear Dynamics. 47, 2007, pp. 263-273

103. Sinha S.C., Redkar S., Butcher E.A.: On macromodeling of nonlinear systems with time periodic coefficients, Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation. 11, 2006, pp. 510-530

104. Бахвалов Н.С., Панасенко Г.П.: Осреднение процессов в

периодических средах. Наука, Москва, 1984

300

105. Андрианов И.В., Лесничая В.А., Маневич Л.И.: Метод усреднения в статике и динамике ребристых оболочек. Наука, Москва, 1985

106.Маневич Л.И., Павленко А.В., Коблик С.Г.: Асимптотический метод в теории упругости ортотропного тела. Выща школа, Киев, 1981

107. Panasenko G.P.: Multi-Scale Modelling for Structures and Composites. Springer, Netherlands, 2005

108. Lurie, K.A.: Applied Optimal Control Theory of Distributed Systems. Plenum Press, New York, 1993

109. Blekhman, I.I.: Vibrational dynamic materials and composites, Journal of Sound and Vibration, 317 (3), 2008, pp. 657-663

110. Фрёман, Н., Фрёман, П. У.: ВКБ-приближение. Мир, Москва, 1967

111. Pierce, A.D.: Physical Interpretation of the WKB or Eikonal Approximation for Waves and Vibrations in Inhomogeneous Beams and Plates. The Journal of the Acoustical Society of America 48 1, 1970, pp. 275-284

112. Rayleigh, L.: On the maintenance of vibrations by forces of double frequency, and on the propagation of waves through a medium endowed with a periodic structure, Philosophical Magazine, 24, 1887, pp. 145-159

113. Mead, D.J.: Free wave propagation in periodically supported, infinite beams. Journal of Sound and Vibration, 11, 1970, pp. 181-197

114. Gupta, G.S.: Natural flexural waves and the normal modes of periodically supported beams and plates, Journal of Sound and Vibration, 13, 1970, pp. 89-101

115. Poulton, C.G., Movchan, A.B., McPhedran, R.C., Nicorovici, N.A., Antipov, Y.A.: Eigenvalue problems for doubly periodic elastic structures and phononic band gaps, Proceedings of the Royal Society A, 456 (2002), 2000, pp. 2543-2559

116. Jensen, J.: Phononic band gaps and vibrations in one- and two-dimensional mass-spring structures, Journal of Sound and Vibration, 266, 2003, pp. 1053-1078

117. Olhoff, N., Niu, B., Cheng, G.: Optimum design of band-gap beam structures. Int J Solid Struct, 49, 2012, pp. 3158-3169

118. Haslinger, S.G., Movchan, N.V., Movchan, A.B., McPhedran, R.C.: Transmission, trapping and filtering of waves in periodically constrained elastic plates, Proceedings of the Royal Society A, 468 (2137), 2012, 7693

119. Sorokin, S. V.: On propagation of plane symmetric waves in a periodically corrugated straight elastic layer, Journal of Sound and Vibration, 349, 2015, pp. 348-360

120. Mead, D.J.: Wave propagation in continuous periodic structures: research contributions from Southampton, 1964-1995, Journal of Sound and Vibration, 190 (3), 1996, pp. 495-524

121. Shen, M., and Cao, W.: Acoustic band-gap engineering using finite-size layered structures of multiple periodicity, Appl. Phys. Lett. 75, 1999, pp. 3713-3715

122. Ruzzene, M., and Bas, A.: Attenuation and localization of wave propagation in periodic rods using shape memory alloys, Smart. Mater. Struct. 9, 2000, pp. 805-811

123. Tongele, T.N., and Chen, T.: Control of longitudinal wave propagation in conical periodic structures, J. Vib. Control. 10, 2004, pp. 1795-1811

124. Wu, M.-L., Wu, L.-Y., Yang, W.-P., Chen, L.-W.: Elastic wave band gaps of one-dimensional phononic crystals with functionally graded materials, Smart. Mater. Struct. 18, 2009, 115013.

125. Nayfeh, A.H.: Sound waves in two-dimensional ducts with sinusoidal walls, J. Acoust. Soc. Am. 56 (3), 1974, pp. 768-770

126. Bostrom, A.: Acoustic waves in a cylindrical duct with periodically

varying cross section, Wave Motion 5, 1983, pp. 59-67

302

127. El-Bahrawy, A.: Stop-bands and pass-bands for symmetrical Rayleigh-Lamb modes in a plate with corrugated surfaces, J. Sound. Vib. 170 (2), 1994,pp.145-160

128. Banerjee, S., and Kundu, T.: Symmetric and anti-symmetric Rayleigh-Lamb modes in sinusoidally corrugated waveguides: an analytical approach, Int. J. Solids. Struct. 43, 2006, pp. 6551-6567.

129. Lenci, S., Clementi, F., Mazzilli, C.E.N.: Simple formulas for the natural frequencies of non-uniform cables and beams. Int J Mech Sci, 77, 2013, pp. 155-163.

130. Firouz-Abadi, R.D., Haddadpour, H., Novinzadeh, A.B.: An asymptotic solution to transverse free vibrations of variable-section beams. J Sound Vib, 304, 2007, pp. 530-540.

131. Nielsen, R., Sorokin, S.: The WKB approximation for analysis of wave propagation in curved rods of slowly varying diameter. Proc R Soc A, 470, 2014, 20130718

132. Tarnopolskaya, T., de Hoog, F., Fletcher, N.H., Thwaites, S.: Asymptotic analysis of the free in-plane vibrations of beams with arbitrarily varying curvature and cross-section. J Sound Vib, 196, 1996, pp. 659-680

133. Langley, R.S.: A variational principle for periodic structures. Journal of Sound and Vibration 135, 1989, pp. 135-142

134. Fidlin A.: Nonlinear Oscillations in Mechanical Engineering. Springer, Berlin Heidelberg, 2005

135. Thomsen J.J.: Vibrations and Stability: Advanced Theory, Analysis and Tools. Springer, Berlin Heidelberg, 2003

136.Капица П.Л.: Маятник с вибрирующим подвесом, УФН, 44, 1951, стр. 7-20

137. Sorokin, V. On broadening of the applicability range of the method of direct separation of motions. Proceedings of the 7th European Nonlinear Dynamics Conference (ENOC 2011), Rome, Italy, 24-29 July, 2011, 2 pp.

138. Sorokin, V.S. Analysis of time-periodic systems when corresponding equations do not contain a small parameter explicitly. in Z. Dimitrovovâ, J.R. de Almeida, R. Goncalves (eds.) "Proceedings of the 11th International Conference on Vibration Problems (ICOVP 2013)", Lisbon, Portugal, 9-12 September, 2013, AMPTAC, ISBN 978-989-96264-4-7, 10 pp.

139. Sorokin, V.S. On the unlimited gain of a nonlinear parametric amplifier. Mechanics Research Communications, 62, 2014, pp. 111-116

140. Blekhman, I.I., Sorokin, V.S.: Effects produced by oscillations applied to nonlinear dynamic systems: a general approach and examples. Nonlinear Dynamics, 83(4), 2015, pp. 2125-2141

141. Sorokin, V.S.: Analysis of motion of inverted pendulum with vibrating suspension axis at low-frequency excitation as an illustration of a new approach for solving equations without explicit small parameter. International Journal of Non-Linear Mechanics, 63, 2014, pp. 1-9

142. Blekhman, I.I., Sorokin, V.S.: Extension of the method of direct separation of motions for problems of oscillating action on dynamical systems. Proceedings of the IUTAM Symposium on Analytical Methods in Nonlinear Dynamics, Frankfurt, Germany, 6-9 July, 2015, 8 pp.

143.Блехман И.И.: Синхронизация в природе и технике. Наука, Москва, 1981

144. Rugar, D., Grutter, P.: Mechanical parametric amplification and thermomechanical noise squeezing. Physical Review Letters 67, 1991, pp. 699-702

145. Dana, A., Ho, F., Yamamoto, Y.: Mechanical parametric amplification in piezoresistive gallium arsenide microcantilevers. Applied Physics Letters 72, 1998, 1152-1154

146. Krylov, S., Gerson, Y., Nachmias, T., Keren, U.: Excitation of large amplitude parametric resonance by the mechanical stiffness modulation

of a microstructure. Journal of Micromechanics and Microengineering 20, 2010, 015041

147. Karabalin, R.B., Masmanidis, S.C., Roukes, M.L.: Efficient parametric amplification in high and very high frequency piezoelectric nanoelectromechanical systems. Applied Physics Letters 97, 2010, 183101

148. Postma, H.W.C., Kozinsky, I., Husain, A., Roukes, M.L.: Dynamic range of nanotube- and nanowire-based electromechanical systems. Applied Physics Letters 86, 2005, 223105

149. Lifshitz, R., Cross, M.C.: Review of nonlinear dynamics and complexity. Vol. 1, Wiley, Weinheim, 2008

150. Rhoads, J.F., Shaw, S.W.: The impact of nonlinearity on degenerate parametric amplifiers. Applied Physics Letters 96, 2010, 234101

151. Блехман И.И., Мышкис А. Д., Пановко Я.Г.: Прикладная математика: Предмет, логика и особенности подходов. Наукова думка, Киев, 1976

152. Арнольд В.И.: Обыкновенные дифференциальные уравнения. Наука, Москва, 1966

153. Rhoads, J.F., Shaw, S.W., Turner, K.L.: Nonlinear dynamics and its applications in micro- and nanoresonators. Journal of Dynamic Systems, Measurement, and Control, 132, 2010

154. Kumar, V. Jacob K.M, Rhoads, J.F. Nonlinear parametric amplification and attenuation in a base-excited cantilever beam. Journal of Sound and Vibration, 330, 2011, pp. 5401-5409

155. Kozinsky, I., Postma, H. C., Bargatin, I., Roukes, M.: Tuning nonlinearity, dynamic range, and frequency of nanomechanical resonators. Applied Physics Letters 88, 2006, 253101.

156. Hughes, G.C., Bert, C.W.: Effect of gravity on nonlinear oscillations of a horizontal, immovable-end beam. Nonlinear Dynamics 3, 1992, 365-373

157. Zhang, W., Meng, G.: Nonlinear dynamical system of micro-cantilever under combined parametric and forcing excitations in mems, in: Proceedings of 30th annual conference of IEEE Industrial Electronics Society (IECON), Busan, South Korea, 2004, pp. 1571-1576.

158. Amer, Y., Bauomy, H., Sayed, M.: Vibration suppression in a twin-tail system to parametric and external excitations. Computers and Mathematics with Applications 58, 2009, 1947

159. Elshurafa, A.M., Khirallah, K., Tawfik, H.H., Emira, A., Aziz, A.K.S.A., Sedky, S.M.: Nonlinear dynamics of spring softening and hardening in folded-mems comb drive resonators, Journal of Microelectromechanical Systems 20, 2011, 943-958

160. Agnes, G.S., Inman, D.J.: Nonlinear piezoelectric vibration absorbers, Smart materials and structures 5, 1996, 704

161. Neumeyer, S., Sorokin, V.S., Thomsen J.J.: Effects of quadratic and cubic nonlinearities on a perfectly tuned parametric amplifier. Journal of Sound and Vibration, 2016, in print

162. Космодемьянский Д.А., Шамаев A.C.: Спектральные свойства некоторых задач механики сильно неоднородных сред. Изв. РАН. МТТ. N6, 2009, с. 75-114

163.Шамаев А.С., Шумилова В.В.: О спектре одномерных колебаний слоистого композита с компонентами из упругого и вязкоупругого материалов. Сиб. журн. индустр. математики Т. 15. № 4, 2012. с. 124-134

164. Сорокин, В.С.: Гомогенизация одномерных колебательных систем с пространственно модулируемыми параметрами. Прикладная Математика и Механика, 78 (3), 2014, с. 346-355

165. Sorokin, V.S.: A new approach to the analysis of oscillations of one-dimensional spatially periodic structures. Journal of Sound and Vibration, 332 (14), 2013, pp. 3552-3563

166. Mabie, H., Rogers, C.: Transverse vibrations of double-tapered cantilever beams. J Acoust Soc Am, 51, 1972, pp. 1771-1774

167. Williams, F.W., Banerjee, J.R.: Flexural vibration of axially loaded beams with linear or parabolic taper. J Sound Vib, 99, 1985, pp. 121-138

168. Abrate, S.: Vibration of non-uniform rods and beams. J Sound Vib, 185, 1995, pp. 703-716.

169. Sorokin, V.S., Thomsen, J.J.: Eigenfrequencies and eigenmodes of a beam with periodically continuously varying spatial properties. Journal of Sound and Vibration, 347, 2015, pp. 14-26

170. Алафутов Н.А.: Основы расчета на устойчивость упругих систем. Машиностроение, Москва, 1978

171. Ansys mechanical, May 2015.

172. Hvatov A., Sorokin S.: Free vibrations of finite periodic structures in pass- and stopbands of the counterpart infinite waveguides. Journal of Sound and Vibration, 347, 2015, pp. 200-217

173. Kravchun, P.N., Prudnikov, E.V., Chernyshev, K.V.: Optimization of the length of the connecting wave-guides in one-dimensional sound and vibration isolators based on periodic structures. Soviet Physics Acoustics - USSR, 32 (4), 1986, pp. 344-347.

174. Lurie, K.A.: Effective properties of smart elastic laminates and the screening phenomenon. Int. J. Solids Structures, 34 (13), 1997, pp. 16331643.

175. Braun, S., Ewins, D. J., Rao, S. S., et al., Encyclopedia of Vibration, Academic Press, 2002.

176. Virgin, L.N., Santillan, S.T., Plaut, R.H.: Vibration isolation using extreme geometric nonlinearity. Journal of Sound and Vibration, 315 (3), 2008, pp. 721-731.

177. Mace, B.R., Duhamel, D., Brennan, M.J., Hinke, L.: Finite element

prediction of wave motion in structural waveguides. Journal of the

Acoustical Society of America, 117, 2005, pp. 2835-2843

307

178. Soe-Knudsen, A., Sorokin, S.: On accuracy of the wave finite element predictions of wavenumbers and power flow: a benchmark problem. Journal of Sound and Vibration, 330, 2011, pp. 2694-2700

179. Mahmoudia, M., et al.: Interaction of stable colloidal nanoparticles with cellular membranes. Biotechnology Advances, 32, 2014, pp. 679-692

180. Sorokin, V.S., Thomsen, J.J.: Vibration suppression for strings with distributed loading using spatial cross-section modulation. Journal of Sound and Vibration, 335, 2015, pp. 66-77

181. Narisetti, R. K., Leamy, M. J., Ruzzene, M. A.: Perturbation approach for predicting wave propagation in one-dimensional nonlinear periodic structures, Transactions of the ASME, Journal of Vibration and Acoustics, 132 (3), 2010, 1-11

182. Manktelow, K., Leamy, M. J., Ruzzene, M. A.: Multiple scales analysis of wave-wave interactions in a cubically nonlinear monoatomic chain, Nonlinear Dynamics, 63 (1-2), 2010, 193-203

183. Narisetti, R. K., Ruzzene, M., Leamy, M. J. Study of wave propagation in strongly nonlinear periodic lattices using a harmonic balance approach, Wave Motion, 49, 2012, 394-410

184. Manktelow, K., Narisetti, R. K., Leamy, M. J., Ruzzene M.: Finite-element based perturbation analysis of wave propagation in nonlinear periodic structures, Mechanical Systems and Signal Processing, 39, 2013, 32-46

185. Manktelow, K., Leamy, M. J., Ruzzene, M.: Comparison of asymptotic and transfer matrix approaches for evaluating intensity-dependent dispersion in nonlinear photonic and phononic crystals, Wave Motion, 50, 2013, 494-508

186. Atluri, S.: Nonlinear vibrations of a hinged beam including nonlinear inertia effects, Journal of Applied Mechanics - Transactions of the ASME, 40 E (1), 1973, 121-126

187. Lacarbonara, W. and Yabuno H.: Refined models of elastic beams undergoing large in-plane motions: theory and experiment, International Journal of Solids and Structures, 43, 2006, 5066-5084

188. Mead, D. J. Waves and modes in finite beams: application of the phase-closure principle, Journal of Sound and Vibration, 171, 1994, 695-702

189. Naugolnykh, K.A., Ostrovsky, L.A.: Nonlinear Wave Processes in Acoustics, Cambridge Univ. Press, Cambridge, 1998

190. Scott, A., Nonlinear Science. Emergence and Dynamics of Coherent Structures. Second Edition, Oxford Univ. Press, Oxford, 2003

191. Sorokin, V.S., Thomsen, J.J.: Effects of weak nonlinearity on dispersion relation and frequency band-gaps of a periodic Bernoulli-Euler beam. Proceedings of the Royal Society A, 2016, 472: 20150751

192. Nielsen, R.B., and Sorokin, S.V.: Periodicity effects of axial waves in elastic compound rods. J. Sound. Vib. 353, 2015, 135-149.

193. Miranker, W.L.: The wave equation in a medium in motion. IBM Journal of Research and Development 4, 1960, 36-42

194. Ulsoy A.G., Mote C.D., Szymani R.: Principal developments in band saw vibration and stability research. Holz als Roh- und Werkstoff, 36, 1978, 273-280

195. Wickert, J.A., Mote, C.D.: Current research on the vibration and stability of axially moving materials, Shock and Vibration Digest 20(5), 1988, 313.

196. Wickert, J.A., Mote, C.D.: Classical vibration analysis of axially moving continua. Transactions of the American Society of Mechanical Engineers, Journal of Applied Mechanics 57, 1990, 738-744

197. Li-Qun Chen. Principal parametric resonance of axially accelerating viscoelastic strings constituted by the Boltzmann superposition principle. Proceedings of the Royal Society of London A, 461(2061), 2005, pp. 2701-2720

198. Mote, C.D.: Stability of systems transporting accelerating axially moving materials. Transactions of the American Society of Mechanical Engineers, Journal of Dynamic Systems, Measurements and Control, 1975, 96-98.

199. Pakdemirli M., Ulsoy A.G., Ceranoglu A.: Transverse vibration of an axially accelerating string. Journal of Sound and Vibration 169, 1994, 179-196.

200. Mote, C.D.: A study of bandsaw vibrations. Journal of the Franklin Institute 279 (6), 1965, pp. 431-444