Применение дифференциальных инвариантов в классических двумерных геометриях тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.04, кандидат физико-математических наук Стрельцова, Ирина Станиславовна

  • Стрельцова, Ирина Станиславовна
  • кандидат физико-математических науккандидат физико-математических наук
  • 2012, Астрахань
  • Специальность ВАК РФ01.01.04
  • Количество страниц 138
Стрельцова, Ирина Станиславовна. Применение дифференциальных инвариантов в классических двумерных геометриях: дис. кандидат физико-математических наук: 01.01.04 - Геометрия и топология. Астрахань. 2012. 138 с.

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Стрельцова, Ирина Станиславовна

Оглавление

Введение

0.1 Общая характеристика работы

0.1.1 Актуальность темы исследования

0.1.2 Цель работы

0.1.3 Основные задачи исследования

0.1.4 Научная новизна

0.1.5 Методы исследования

0.1.6 Теоретическое и прикладное значение

0.1.7 Апробация работы

0.1.8 Публикации автора по теме диссертации

0.1.9 Структура диссертации

0.2 Обзор содержания диссертации

1 Дифференциальные С-инварианты кривых

1.1 Многообразие

1.2 Распределение Картана

1.3 Продолжение преобразований

1.4 Орбиты кривых

1.5 Дифференциальные инварианты кривых

1.5.1 Абсолютные дифференциальные инварианты

1.5.2 Относительные дифференциальные инварианты

1.5.3 Инвариантные дифференцирования

1.5.4 эквивалентность кривых

2 Классификация кривых на плоскости в классических геометриях

2.1 Кривые в геометрии Евклида

2.1.1 Дифференциальные инварианты

2.1.2 6?Е-эквивалентность кривых

2.2 Кривые в геометрии Минковского

2.2.1 Дифференциальные инварианты

2.2.2 См-эквивалентноеть кривых

2.3 Кривые в конформной геометрии Евклида

2.3.1 М-конформные преобразования плоскости Евклида

2.3.2 Размерность алгебры дифференциальных инвариантов

2.3.3 М-конформая кривизна кривой на плоскости Евклида

2.3.4 Структура алгебры дифференциальных инвариантов

2.3.5 Кривые с постоянной М-конформной кривизной

2.3.6 СсЕ-эквивалентность кривых

2.4 Кривые в конформной геометрии Минковского

2.4.1 М-конформные преобразования плоскости Минковского

2.4.2 Размерность алгебры дифференциальных инвариантов

2.4.3 Кривые с постоянной М-конформной кривизной

2.4.4 Структура алгебры дифференциальных инвариантов

2.4.5 Ссм-эквивалентность кривых

2.5 Кривые в геометрии Лобачевского

2.5.1 Группа собственных движений плоскости Лобачевского

2.5.2 Размерность алгебры дифференциальных инвариантов

2.5.3 Кривизна кривой на плоскости Лобачевского

2.5.4 Инвариантное дифференцирование и алгебра дифференциальных инвариантов

2.5.5 Эквивалентность кривых

2.6 Кривые в геометрии де Ситтера

2.6.1 Группа собственных движений плоскости де Ситтера

2.6.2 Размерность алгебры дифференциальных инвариантов

2.6.3 Дифференцальные инварианты

2.6.4 Инвариантное дифференцирование и алгебра дифференциальных инвариантов

2.6.5 Кривые с постоянной кривизной де Ситтера

2.6.6 Структура алгебры скалярных дифференциальных инвариантов

2.6.7 Эквивалентность кривых

3 Дифференциальные С-инварианты слоений кривых

3.1 Пространство к-джетов слоений кривых

3.2 Распределение Картана на Jk{ir)

3.3 Размерность алгебры дифференциальных инвариантов

3.4 Инвариантные дифференцирования

3.5 Дифференциальные уравнения конечного типа

3.6 Эквивалентность слоений

4 Слоения кривых на плоскости в классических геометриях

4.1 Слоения в геометрии Евклида

4.1.1 Алгебра Ge~дифференциальных инвариантов

4.1.2 6?Е-эквивалентность слоений

4.2 Слоения в геометрии Минковского

4.2.1 Алгебра См-дифференциальных инвариантов

4.2.2 См-эквивалентность слоений

4.3 Слоения в геометрии Лобачевского

4.4 Слоения в геометрии де Ситтера

Список литературы

Приложение 1. Программы для вычисления дифференциальных инвариантов кривых на Мар1е-12

Рекомендованный список диссертаций по специальности «Геометрия и топология», 01.01.04 шифр ВАК

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Применение дифференциальных инвариантов в классических двумерных геометриях»

Введение

0.1 Общая характеристика работы

0.1.1 Актуальность темы исследования

В Эрлангенской программе [9] Феликс Клейн предложил единый подход к описанию различных геометрий. Согласно этой программе, одной из основных задач геометрии является построение инвариантов геометрических объектов относительно действия групп. Этот подход во многом опирается на идеи Софуса Ли, который ввел в геометрию непрерывные группы преобразований, известные сейчас как группы Ли. В частности, при рассмотрении классификационных задач и проблем эквивалентности в дифференциальной геометрии следует рассматривать дифференциальные инварианты относительно действия групп Ли. При этом проблема эквивалентности геометрических объектов сводится к нахождению полной системы скалярных дифференциальных инвариантов.

Понятия дифференциального инварианта и инвариантного дифференцирования, введенные Софу сом Ли [50], являются основными понятиями при классификации геометрических объектов. С точки зрения геометрии пространств джетов [1], дифференциальный инвариант порядка к группы Ли С— это функция на пространстве к-джетов, инвариантная относительно продолженной группы Ли <3^.

Дифференциальные инварианты образуют подалгебру алгебры функций на пространстве джетов. В зависимости от рассматриваемой геометрии, порядки первых нетривиальных дифференциальных инвариантов могут быть различны. Например, в пространстве К3, снабженном евклидовой метрикой, кривизна и кручение кривой представляют собой дифференциальные инварианты второго и третьего порядка соответственно, а первый дифференциальный инвариант кривой на плоскости относительно проективных преобразований имеет седьмой порядок.

На алгебре дифференциальных инвариантов действуют дифференциальные операторы первого порядка — так называемые инвариантные дифференцирования. Это операторы, коммутирующие с продолжениями элементов соответствующей алгебры Ли Я. Например, дифференцирование где 5 — натуральный параметр кривой, является инвариантным дифференцированием относительно группы Ли движений кривой. Инвариантным дифференцированием относительно группы Ли проективных преобразований плоскости является дифференцирование Штуди (см., например, [48]).

Как правило, с помощью инвариантных дифференцирований из уже известных дифференциальных инвариантов можно получать новые. При этом важную роль играет теорема Ли-Трессе:

Теорема 1 (Ли-Трессе). Существует конечное число базисных дифференциальных инвариантов и инвариантных дифференцирований, таких, что любой инвариант выражается через базисные инварианты и их инвариантные дифференцирования.

Эта теорема является аналогом фундаментальной теоремы алгебраической геометрии — теоремы Гильберта о базисе, утверждающей, что алгебра полиномиальных инвариантов конечно порождена [47].

Отметим, что наряду с дифференциальными операторами первого по-

рядка, существуют инвариантные дифференцирования более высоких порядков.

Скалярные дифференциальные инварианты эффективно используются при решении проблем эквивалентности геометрических объектов. Саму же проблему эквивалентности можно рассматривать как проблему построения полной системы скалярных дифференциальных инвариантов.

Предлагаемая диссертационная работа посвящена описанию алгебр дифференциальных инвариантов кривых и их слоений (одномерных распределений) на плоскости в различных классических геометриях и применению этих алгебр к проблемам эквивалентности.

Существует общий подход к определению кривизн кривых в различных геометриях (см., например, [18, 20]). Понятие кривизны для плоских кривых приводятся в работах следующих авторов: П.А. Широкова и А.П. Широкова [42] — для аффинной группы и ее подгрупп (центроаффинной, эквицентро-аффинной и эквиаффинной групп, группы евклидовых подобий), Б.А. Фукса [41] — для геометрии Лобачевского и др. Для нахождения дифференциальных инвариантов кривых Э. Картан применял созданный им метод подвижного репера [8]. Отметим, что метод подвижного репера является альтернативой инфинитезимальному подходу С. Ли [50], который мы использовали в работе.

Для двух плоских кривых вопрос локальной эквивалентности в геометрии Евклида решается следующей теоремой (цитируется по [39], стр. 13.).

Теорема 2. Пусть 71 : [0, Ь] —> М2 и 72 : [0, Ц —> М2 — натурально параметризованные регулярные кривые и их кривизны совпадают: ^1(5) = /^(з) для всех в Е [0,1/]. Тогда существует такое движение : М2 —» Ж2, сохраняющее ориентацию, что 72(5) = <^(71 (в)) для всех в Е [0, Ь].

Аналогичные теоремы приводятся и для плоских кривых в других гео-

метриях (см., например, [42]).

Однако этот критерий имеет один недостаток: для того, чтобы записать натуральное уравнение кривой, необходимо задать натуральный параметр. То есть, в том числе, указать, какая точка кривой отвечает нулевому значению этого параметра. Но натуральный параметр не может быть выбран однозначно: он определен с точностью до преобразования сдвига и выбора направления на кривой: m±s + const (см., например, [3]).

Поэтому, если две кривые заданы натуральными уравнениями, то для применения сформулированной выше теоремы необходимо выбрать на них точки, отвечающие нулевым значениям натуральных параметров, и ориентацию кривых. Как это сделать, в теореме не указывается.

Во первой главе настоящей диссертации мы предлагаем конструктивный метод решения проблемы эквивалентности, свободный от этого недостатка, а во второй главе применяем для решения задачи эквивалентности кривых в различных классических геометриях.

В третьей и четвертой главах мы рассматриваем эквивалентность слоений кривых на плоскости в различных классических геометриях.

0.1.2 Цель работы

Целью настоящей диссертационной работы является решение локальной проблемы эквивалентности кривых и слоений кривых на плоскости относительно структурных групп, отвечающих различным классическим геометриям: Евклида, Минковского, Лобачевского, де Ситтера, а также конформной. В каждой из рассматриваемых задач построена полная система скалярных дифференциальных инвариантов, указаны инвариантные дифференцирования и доказаны теоремы эквивалентности.

0.1.3 Основные задачи исследования

1) Построить алгебры скалярных дифференциальных инвариантов кривых и слоений кривых на плоскости относительно групп движений в геометриях Евклида, Минковского, Лобачевского, де Ситтера и конформной.

3) В терминах построенных инвариантов найти необходимые и достаточные условия локальной эквивалентности кривых и слоений.

0.1.4 Научная новизна

Все результаты работы, выносимые на защиту, являются новыми. На защиту выносятся следующие результаты.

1) Для действий групп Ли движений в геометриях Евклида, Минковского и их М-конформных аналогов, а также в геометриях Лобачевского и де Ситтера построены алгебры дифференциальных инвариантов кривых и слоений кривых на плоскости. Указаны инвариантные дифференцирования, отвечающие этим группам Ли.

2) В терминах построенных алгебр дифференциальных инвариантов найдены условия локальной (а в случае аналитических кривых — и глобальной) эквивалентности кривых и слоений кривых на плоскости.

0.1.5 Методы исследования

Для решения поставленных задач мы применяем методы современной дифференциальной геометрии, в том числе методы контактной геометрии и геометрии пространств джетов [5, 49].

Для построения решений дифференциальных уравнений, допускающих группу симметрий, мы используем теорему Ли-Бьянки [49].

При проведении расчетов были использовали пакеты DifferentialGeometry и JetCalculus, написанные Яном Андерсоном (I. Anderson) для системы компьютерной алгебры Maple. Мы приносим ему глубокую благодарность.

0.1.6 Теоретическое и прикладное значение

Результаты, полученные в диссертации, носят теоретический и прикладной характер. Они могут быть использованы для дальнейшего изучения геометрии кривых и слоений, в том числе и кривых в многомерных пространствах. Результаты могут быть использованы при решении задач распознавания изображений.

Построенные дифференциальные инварианты можно использовать для описания как обыкновенных дифференциальных уравнений, так и уравнений в частных производных, допускающих заданную группу симметрий. Это позволяет применить методы группового анализа для их интегрирования и, в частности, теорему Ли-Бьянки [49].

Автором диссертации составлен комплекс компьютерных программ для системы компьютерной алгебры Maple для вычисления дифференциальных инвариантов любого порядка и для решения проблем эквивалентности.

Результаты работы были частично использованы при чтении курса "Дополнительные главы теории дифференциальных уравнений" для студентов, обучающихся по специальности "Математика с дополнительной специальностью" в Астраханском государственном университете, что подтверждается актом внедрения.

0.1.7 Апробация работы

Основные результаты диссертации были представлены на следующих семинарах и конференциях:

— на семинаре по дифференциальной геометрии под руководством профессора В.В. Шурыгина (Казань, Казанский (Приволжский) федеральный университет, 26 мая 2011 г.);

— на семинаре по геометрии дифференциальных уравнений (Москва, Институт проблем управления РАН, апрель 2011 г.);

— на Международной конференции "Геометрия в Одессе - 2007" (Одесса, Украина, 21-26 мая 2007 г.);

— на II Международном семинаре "Симметрии: теоретический и методический аспекты" (Астрахань, Астраханский государственный университет, 11-14 сентября 2007 г.);

— на Международной конференции "Геометрия в Астрахани - 2007" (Астрахань, Астраханский государственный университет, 11-14 сентября 2007 г.);

— на Шестой молодежной научной школе-конференции "Лобачевские чтения - 2007" (Казань, Казанский государственный университет, 16-19 декабря 2007 г.);

— на Международной конференции "Геометрия в Одессе - 2008" (Одесса, Украина, 19-24 мая 2008 г.);

— на Международной конференции "Геометрия в Астрахани - 2008" (Астрахань, Астраханский государственный университет, 18-24 августа 2008 г.);

— на научной конференции "Геометрия - наука и учебный предмет"

(Москва, Московский государственный областной университет, май

2008 г.);

— на Международной конференции "Диффернециальные уравнения и топология", посвященной 100-летию со дня рождения JL С. Понтрягина (МГУ им. М. В. Ломоносова - Математический институт имени В. А. Стеклова РАН, Москва, 17-22 июня 2008 г.);

— на Седьмой молодежной научной школе-конференции "Лобачевские чтения - 2008" (Казань, Казанский государственный университет, 1-3 декабря 2008 г.);

— на Международной конференции "Геометрия в Одессе - 2009" (Одесса, Украина, 25-30 мая 2009 г.);

— на Международной научной конференции "Лаптевские чтения", посвященной 100-летию со дня рождения Г. Ф. Лаптева (МГУ им. М. В. Ломоносова - Тверской государственный университет, Москва-Тверь, 25-29 августа 2009 г.);

— на III Международном семинаре "Симметрии: теоретический и методический аспекты" (Астрахань, Астраханский государственный университет, 10-14 сентября 2009 г.);

— на Международной конференции "Геометрия в Астрахани - 2009" (Астрахань, Астраханский государственный университет, 10-16 сентября

2009 г.);

— на Восьмой молодежной научной школе-конференции "Лобачевские чтения- 2009" (Казань, Казанский государственный университет, 1-6 ноября 2009 г.);

— на Международной конференции "Геометрия в Одессе - 2010" (Одесса, Украина, 24-30 мая 2010 г.);

— на Международной конференции "Геометрия в Кисловодске - 2010" (Кисловодск, Кисловодский гуманитарно-технический институт, 13-20 сентября 2010 г.);

— на Международной школе-конференции для молодежи "Геометрия. Управление. Экономика" (Астрахань, Астраханский филиал Волжской государственной академии водного транспорта, 15-27 августа 2011 г.).

— на Десятой молодежной научной школе-конференции "Лобачевские чтения - 2011" (Казань, Казанский (Приволжский) федеральный университет, 31 октября - 4 ноября 2011 г.).

0.1.8 Публикации автора по теме диссертации

По теме диссертации автором опубликовано 7 статей (из них 3 - в журналах,

рекомендованных ВАК [81-83], 2 - в реферируемых научных журналах

[84, Э7], 2 - в сборниках научных трудов [85, Б6]) и 15 тезисов докладов

[22, 23, 25, 26, 27, 29, 30, 32, 33, 34, 36, 38, 54, 55, 56].

Статьи, опубликованные в журналах, рекомендованных ВАК

Б1. Стрельцова, И.С. М-конформные инварианты кривых [Текст] / И.С. Стрельцова // Изв. ВУЗов. Математика. - 2009. - №5. - С. 78-81.

32. Стрельцова, И.С. Классификация 4-тканей на плоскости относительно проективных преобразований [Текст] / И.С. Стрельцова // Естественные науки. - 2011. - №2. - С. 203-209.

33. Стрельцова, И.С. Дифференциальные инварианты кривых на двумерных многообразиях [Текст] / И.С. Стрельцова // Известия ПГПУ им. В.Г.

Белинского. - 2011. - №26. - С. 209-217.

Статьи, опубликованные в других изданиях

54. Кузаконь, В.М. Дифференциальные инварианты расслоений кривых на плоскости Минковского [Текст] / В.М. Кузаконь, И.С. Стрельцова // Ма-тематичш методи та ф1зико-мехашчш поля. 1нститут прикладних проблем мехашки i математики iM. Я. С. Шдстригача. - Льв1в, 2007. - Т. 50.

- №4. - С. 49-54.

55. Кузаконь, В.М. Расслоения кривых на плоскости Минковского [Текст] / В.М. Кузаконь, И.С. Стрельцова. - Сборник научных трудов II Международного семинара "Симметрии: теоретический и методический аспекты".

- Астрахань, 2007. - С. 53-58.

56. Стрельцова, И.С. Структура алгебры скалярных дифференциальных инвариантов кривых и конформная кривизна [Текст] / И.С. Стрельцова.

- Доклады конференции "Геометрия - наука и учебный предмет". Под ред. Мантурова О.В. Московский государственный областной университет, май 2008 г. - С. 79-83.

57. Стрельцова, И.С. R-конформная геометрия кривых на плоскости: алгебра дифференциальных инвариантов [Текст] / И.С. Стрельцова // Геомет-р1я, тополопя та ix застосування. Зб1рник праць 1н-ту математики HAH

■ УкраТни. - 2009. - Т. 6. - №2. - С. 235-246.

В соавторстве выполнены две работы. Вклад автора составляет 50%. 0.1.9 Структура диссертации

Диссертация изложена на 138 страницах, состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы, содержащего 59 наименований, и приложения. Диссертация содержит 3 таблицы и 5 рисунков.

Нумерация параграфов производится двумя символами, а нумерация пунктов и подпунктов — тремя и четырьмя соответственно. Например, номером 2.3 обозначен третий параграф второй главы, а номером 2.3.4 — четвертый пункт третьего параграфа второй главы.

Нумерация рисунков, диаграмм, таблиц и теорем в тексте диссертации сквозная, а нумерация формул в каждой главе своя.

0.2 Обзор содержания диссертации

В разделах 1.1 - 1.3 первой главы "Дифференциальные С-инварианты кривых" приводятся основные определения и результаты, необходимые в дальнейшем. В частности, дается определение пространства джетов, распределения Картана и указывается способ продолжения преобразований плоскости в пространства к-джетов.

В разделе 1.4 метод вычисления размерностей алгебр дифференциальных инвариантов, предложенный В.В. Лычагиным (см. [52]) для псевдогрупп Ли, применяется для вычисления размерностей дифференциальных инвариантов кривых относительно действия групп Ли.

В разделе 1.5 даются определения абсолютных и относительных дифференциальных инвариантов, инвариантных дифференцирований, а также указывается способ вычисления инвариантных дифференцирований. Приводится схема доказательства теоремы об эквивалентности С-регуляриых кривых.

Во второй главе "Классификация кривых на плоскости в классических геометриях" указанная схема применяется к различным классическим геометриям: Евклида, Минковского, конформной, Лобачевского и де Ситтера. Для этой цели строится полная система скалярных дифференциальных инвариантов кривых. Первые дифференциальные инварианты кривых — это их кривизны. Существует общий подход к определению кривизн кривых в различных геометриях (см., например, [18, 20, 41, 42]). Для наших целей и для единообразия изложения мы использовали определение кривизны кривой, ос-нованнованное на теории дифференциальных инвариантов действий группы Ли С. Порядок этого дифференциального инварианта зависит от рассматриваемой геометрии. Так, например, в рассматриваемой нами К-конформной геометрии кривизна кривой — это дифференциальный инвариант третьего

порядка, а в проективной геометрии на плоскости — седьмого. На этом пути мы получили уже известные дифференциальные инварианты в геометриях Евклида, Минковского, Лобачевского и К.-конформной геометрии (см. [41, 42]). ■

Наряду с уже известными кривизнами для каждой геометрии мы построили операторы инвариантных дифференцирований, которые, видимо, ранее не рассматривались. Исключение составляет извесный оператор дифференцирования по натуральному параметру в геометрии Евклида. С их помощью удалось построить полные системы дифференциальных инвариантов кривых, которые тоже, как нам известно, ранее не приводились. Отметим, что другой подход к размножению дифференциальных инвариантов — это теория производных Трессе [57].

Основной результат этой главы — теоремы эквивалентности. Для гладких кривых они носят локальный характер, а для аналитических кривых — глобальный. Основная идея этих теорем — использование кривизны кривой в качестве параметра на ней. Это всегда возможно, если дифференциал кривизны не обращается в нуль на этой кривой. Такие кривые мы называем С-регулярными.

Пусть J — кривизна, а I — дифференциальный инвариант более высокого порядка, чем 3. Оба они являются функциями на пространстве джетов. Их ограничения /7 и 31 — это функции от одной переменной. Поэтому между ними существует функциональная зависимость /7 = Ф(./7), где Ф — функция, зависящая от кривой. В терминах этой функции формулируются теоремы эквивалентности кривых. Такой подход позволяет избежать указания отрезка [О, Ь] в теореме 2 (см. стр. 8).

В третьей главе "Дифференциальные (^-инварианты слоений кривых" приводятся необходимые далее определения и результаты и указывается спо-

соб вычисления инвариантных дифференцирований. Отметим, что проблема эквивалентности слоений кривых принципиально отличается от проблемы эквивалентности кривых. Причина состоит в следующем. Слоение кривых на плоскости локально можно задать с помощью функции / € С°°(М) (с1/ ф 0), линии уровня которой совпадают с кривыми слоения. Эта функция определена с точностью до калибровочных преобразований / 1—> 1?(/), где .Р : М —> М — гладкая функция. Поэтому вместо группы Ли преобразований, как это было в случае кривых, здесь нужно рассматривать псевдогруппу Ли, порожденную преобразованиями группы Ли (7 и калибровочными преобразованиями. Заметим однако, что функция 4е, где /ж и — частные производные функции / = /(ж, у) по координатам ж, у плоскости, является инвариантом относительно калибровочных преобразований. Это позволяет применить перенормировку и рассматривать функцию Ь- вместо функции /. При этом

■Ту

вместо псевдогруппы Ли мы получаем группу Ли.

В четвертой главе "Слоения кривых на плоскости в классических геометриях" результаты, полученные в третьей главе, мы применяем к конкретным геометриям Евклида, Минковского, Лобачевского и де Ситтера. Мы находим алгебры дифференциальных инвариантов слоений и применяем их к проблеме эквивалентности.

Предложенный в диссертации подход может быть применен и к другим геометриям, которые мы здесь не рассматривали. Например, к аффинной1 и проективным геометриям, а также к кривым и слоениям в п-мерных пространствах. Его также можно применить в задачах классификации относительно псевдогрупп Ли, что тоже представляет интерес. Например, контактная геометрия кривых рассматривалась в [58].

1 Формула для аффинной кривизны кривой была получена Э. Картаном в [8] методом подвижного репера

Похожие диссертационные работы по специальности «Геометрия и топология», 01.01.04 шифр ВАК

Заключение диссертации по теме «Геометрия и топология», Стрельцова, Ирина Станиславовна

Заключение

Методы, предложенные в диссертации, можно применить и кдругим задачам классификации и эквивалентности геометрических объектов. Перечислим те из них, в которых нами получены результаты, не вошедшие в данную диссертацию.

1. Описание алгебры дифференциальных инвариантов кривых в и м и "П п-мерных пространствах с заданной структурной группой. В этом направлении нами найдены дифференциальные инварианты кривых в трехмерном пространстве относительно конформных преобразований пространства Евклида и Минковского (см. [27]).

2. Классификация 3- и 4- тканей относительно проективных преобразований плоскости. Три-ткань на плоскости можно задать тремя одно-параметрическими семействами функций от двух переменных: и(х,у) = Сиу{х,у) = С2,т(х,у) = С3.

Эти функции определены с точностью до калибровочного преобразования.

Введем векторое расслоение 7г : М3 М2, 7г : (и,у,ъи) н-> (х,у). Пусть ^(п) — пространство &-джетов сечений расслоения 7г и х,у, и, у, гп, их,иу,. — координаты на нем. Три-ткань не имеет дифференциальных инвариантов нулевого и первого порядков, но имеет ровно три дифференциальных инварианта второго порядка относительно проективных преобразований. Укажем один из них:

2 {У^Ухх - 2УхУуУху + у1ууу){ь)хиу - цуцж)3

У'уУ'хх 2ихиуиху и1иуу)('шхУу - ЫуУх)3' 122

Нами найдены также инвариантные дифференцирования, с помощью которых строятся проективные дифференциальные инварианты более высоких порядков (см. [34]). Для 4-тканей на плоскости построены инвариантные дифференцирования и серия дифференциальных инвариантов относительно проективных преобразований плоскости (см. [35, 36]).

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Стрельцова, Ирина Станиславовна, 2012 год

Литература

[1] Алексеевский, Д.В. Основные идеи и понятия дифференциальной геометрии [Текст] / Д.В. Алексеевский, A.M. Виноградов, В.В. Лычагин // Итоги науки и техники. Серия "Современные проблемы математики. Фундаментальные направления". - М.: ВИНИТИ, 1988. - Т. 28. - 297 с.

[2] Белько, И.В. Дифференциальная геометрия [Текст] / И.В. Белько, A.A. Бурдун, В.И. Ведерников, A.C. Феденко. - Мн.:Изд-во БГУД982. - 256 с.

[3] Бляшке, В. Дифференциальная геометрия и геометрические основы теории относительности Эйнштейна [Текст] / В. Бляшке. - М.-Л.: ОНТИ, 1935. - Т. 1. - 330 с.

[4] Бочаров, A.B. Симметрии и законы сохранения уравнений математической физики [Текст] / A.B. Бочаров, A.M. Вербоветский, A.M. Виноградов и др. - М.: "Факториал", 1997. - 464 с.

[5] Виноградов, A.M. Введение в геометрию нелинейных дифференциальных уравнений [Текст] / A.M. Виноградов, И.С. Красильщик, В.В. Лычагин. - М.: "Наука", 1986. - 336 с.

[6] Зайцев, В.Ф. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям [Текст] / В.Ф. Зайцев, А.Д. Полянин. - М.: "Физматлит", 2001. -576 с.

[7] Камке, Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям [Текст] / Э. Камке. - М.: "Наука", 1971. - 576 с.

[8] Картан, Э. Теория конечных непрерывных групп и дифференциальная геометрия, изложенные методом подвижного репера [Текст] / Э. Картан.

- М.: Изд-во Московского ун-та. - 1963. - 363 с.

[9] Клейн, Ф. Сравнительное обозрение новейших геометрических исследований ("Эрлангенская программа") [Текст] / Ф. Клейн //В кн. А.П. Нор-ден: Об основаниях геометрии. - 1872. - С. 399-434.

[10] Кобаяси, Ш. Группы преобразований в дифференциальной геометрии [Текст] / Ш. Кобаяси. - М.: "Наука", 1986. - 224 с.

[11] Коновенко, Н.Г. Алгебри диференщальних iHBapiaHTiB геометричних величин на афшшй прямш [Текст] / Н.Г. Коновенко // Вюник Кшвського нацюнального ушверситету. Сер1я: ф1з.-мат. науки. - № 2. - С. 9-16 (2008)

[12] Кузаконь, В.М. Диференщальш шавр1анти субмерсш многовщцв [Текст] / В.М. Кузаконь // Bîch. держ. ун-ту "Льв1в пол1техшка". Сер. Прикл. математика. - 1999. - № 346. - С. 295-298.

[13] Кузаконь, В.М. Вычисление дифференциальных инвариантов второго порядка субмерсий евклидовых пространств [Текст] /В.М. Кузаконь // Математичш методи та ф i з и ко - м е ха шч н i поля. 1нститут прикладних проблем мехашки i математики îm. Я. С. Пщстригача. - Льв1в, 2005. - Т. 48.

- №4. - С. 95-99.

[14] Кузаконь, В.М. Уравнение Gala [Текст] / В.М. Кузаконь // Тези доп. М1жнар. конф. "Геометр1я в Одеа - 2007" (21 - 26 тр. 2007, Одеса). -Одеса: Благод. Фонд "Наука", 2007. - С. 69 - 70.

[15] Кузаконь, В.М. Расслоения кривых на плоскости Минковского [Текст] / В.М. Кузаконь, И.С. Стрельцова. - Сборник научных трудов II Международного семинара "Симметрии: теоретический и методический аспекты".

- Астрахань, 2007. - С. 53-58.

[16] Кузаконь, В.М. Дифференциальные инварианты расслоений кривых на плоскости Минковского [Текст] / В.М. Кузаконь, И.С. Стрельцова // Ма-тематичш методи та ф1зико-мехашчш поля. 1нститут прикладних проблем мехашки 1 математики 1м. Я. С. Шдстригача. - Льв1в, 2007. - Т. 50. - №4. - С. 49-54.

[17] Лычагин, В.В. Локальная классификация нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка [Текст] / В.В. Лычагин // ДАН СССР. - 1973. - Т. 20. - №3; УМН. - 1975. - Т. 30. -Вып. 1.- С. 101-171.

[18] Мордухай-Болтовской, Д.Д. О кривизне плоских кривых в пространстве Лобачевского [Текст] / Д.Д. Мордухай-Болтовской // Научн. записки Киевск. гос. ун-та, 10, вып. 1; Матем. сборник. - Москва. - №5. - С. 43-52.

[19] Овсянников, Л.В. Групповой анализ дифференциальных уравнений [Текст] / Л.В. Овсянников. - М.: "Наука", 1978. - 399 с.

[20] Синцов, Д.М. К вопросу о кривизне кривых линий [Текст] / Д.М. Синцов // Изв. Каз. физ.-мат. о-ва (2). - 12. - №4. - С. 71-84.

[21] Стернберг, С. Лекции по дифференциальной геометрии [Текст] / С. Стернберг. - М.: "Мир", 1970. - 412 с.

[22] Стрельцова, И.С. Алгебры дифференциальных инвариантов кривых на двумерных многообразиях [Текст] / И.С. Стрельцова // Труды Математического центра имени Н.И. Лобачевского. - 2007. - Т. 36. - С. 207-209.

[23] Стрельцова, И.С. И-конформные инварианты кривых [Текст] / И.С. Стрельцова // Тезисы докладов Международной конференции "Геометрия в Одессе - 2008". Одесса, Украина, 19-24 мая 2008 г. - С. 129-130.

[24] Стрельцова, И.С. Структура алгебры скалярных дифференциальных инвариантов кривых и конформная кривизна [Текст] / И.С. Стрельцова.

- Доклады конференции "Геометрия - наука и учебный предмет". Под ред. Мантурова О.В. Московский государственный областной университет, май 2008 г. - С. 79-83.

[25] Стрельцова, И.С. Конформная геометрия кривых на плоскости [Текст] / И.С. Стрельцова // Тезисы докладов Международной конференции "Геометрия в Астрахани - 2008". Астрахань, 18-24 августа 2008 г. - С. 5051.

[26] Стрельцова, И.С. Инварианты кривых в геометриях Лобачевского и де Ситтера [Текст] / И.С. Стрельцова // Труды Математического центра имени Н.И. Лобачевского. - 2008. - Т. 37. - С. 169-171.

[27] Стрельцова, И.С. Алгебра конформных скалярных дифференциальных инвариантов в М^ [Текст] / И.С. Стрельцова // Тезисы докладов Международной конференции "Геометрия в Одессе - 2009". Одесса, Украина, 25-30 мая 2009 г. - С. 73.

[28] Стрельцова, И.С. М-конформные инварианты кривых [Текст] / И.С. Стрельцова // Изв. ВУЗов. Математика. - 2009. - №5. - С. 78-81.

[29] Стрельцова, И.С. Дифференциальные инварианты кривых и интегрирование обыкновенных дифференциальных уравнений [Текст] / И.С. Стрельцова // Тезисы докладов Международной научной конференции "Лаптевские чтения - 2009". Москва-Тверь, 25-28 августа 2009 г. - С. 33.

[30] Стрельцова, И.С. Алгебра дифференциальных инвариантов кривых в пространствах Лобачевского и де Ситтера [Текст] / И.С. Стрельцова // Тезисы докладов Международной конференции "Геометрия в Астрахани

- 2009". Астрахань, 10-16 сентября 2009 г. - С. 28.

[31] Стрельцова, И.С. R-конформная геометрия кривых на плоскости: алгебра дифференциальных инвариантов [Текст] / И.С. Стрельцова // Геомет-р1я, тополопя та 'ix застосування. Зб1рник праць 1н-ту математики HAH Укршни. - 2009. - Т. 6. - №2. - С. 235-246.

[32] Стрельцова, И.С. Конформные скалярные дифференциальные инварианты кривых в пространствах Евклида и Минковского [Текст] / И.С. Стрельцова // Труды Математического центра имени H.H. Лобачевского. - 2009. - Т. 39. - С. 355-356.

[33] Стрельцова, И.С. Кривые с постоянной М-конформной кривизной [Текст] / И.С. Стрельцова // Тезисы докладов Международной конференции "Геометрия в Одессе - 2010". Одесса, Украина, 24-30 мая 2010 г. - С. 57.

[34] Стрельцова, И.С. Проективные инварианты три-тканей на плоскости [Текст] / И.С. Стрельцова // Тезисы докладов Международной конференции "Геометрия в Кисловодске - 2010". Кисловодск, 13-20 сентября 2010 г. - С. 31.

[35] Стрельцова, И.С. Классификация 4-тканей на плоскости относительно проективных преобразований [Текст] / И.С. Стрельцова // Естественные науки. - 2011. - №2. - С. 203-209.

[36] Стрельцова, И.С. Проективные инварианты 4-тканей [Текст] / И.С. Стрельцова / / Тезисы докладов Международной школы-конференции для молодежи "Геометрия. Управление. Экономика". Астрахань, 15-26 августа 2011 г. - С. 23.

[37] Стрельцова, И.С. Дифференциальные инварианты кривых на двумерных многообразиях [Текст] / И.С. Стрельцова // Известия ПГПУ им. В.Г. Белинского. - 2011. - №26. - С. 209-217.

[38] Стрельцова, И.С. Дифференциальные инварианты слоений кривых в геометрии Минковского [Текст] / И.С. Стрельцова // Труды Математического центра имени Н.И. Лобачевского. - 2011. - Т. 44. - С. 272-275.

[39] Тайманов, И.А. Лекции по дифференциальной геометрии [Текст] / И.А. Тайманов. —Ижевск,Институт компьютерных исследований, 2002.-176 с.

[40] Фавар, Ж. Курс локальной дифференциальной геометрии [Текст] / Ж. Фавар. - М.: Изд. иностр. лит., 1960. - 560 с.

[41] Фукс, Б.А. Неевклидова геометрия в теории конформных и псевдоконформных отображений [Текст] / Б.А. Фукс. - Москва-Ленинград: ГТТИ, 1951. - 148 с.

[42] Широков, П.А. Аффинная дифференциальная геометрия [Текст] / П.А. Широков, А.П. Широков. - М.: Гос. изд-во физ.-мат. лит., 1959. - 320с.

[43] Яглом, И.М. Принцип относительности Галилея и неевклидова геометрия [Текст] / И.М. Яглом. - М.: "Наука", 1969. - 304 с.

[44] Blaschke, W. Affine Differentialgeometrie [Текст] / W. Blaschke. - Berlin, 1923.

[45] Duzhin, S.V. Symmetries of distributions and quadrature of ordinary differential equations [Текст] / S.V. Duzhin, V.V. Lychagin // Acta Appl. Math. - 24 (1991). - No. 1. - P. 29-57.

[46] Euler, L. Introductio in analysin infinitorum [Текст] / L. Euler. - T. II. -Лозанна, 1748.

[47] Hilbert, D. Uber dei Theorie des algebraische Formen [Текст] / D. Hilbert // Math. Ann. - 36. - P. 473—534, 1890.

[48] Konovenko, N.G. On projective classification of plane curves [Текст] / N.G. Konovenko, V.V. Lychagin // Global and Stochastic Analysis. Vol. 1. - No. 2, December 2011. - P. 241-264.

[49] Kushner, A.G. Contact Geometry and Nonlinear Differential Equations [Текст] / A.G. Kushner, V.V. Lychagin, V.N. Rubtsov. - Encyclopedia of Mathematics and Its Applications. Vol. 101. - Cambridge: Cambridge University Press, 2007. - xxii+496 pp.

[50] Lie, S. Vorlesungen iiber differentialgleichungen mit bekannten infinitesimalen transformationen [Текст] / S. Lie. — Vol. 1-3, Leipzig, 1891-1896. // Перевод: С. Ли. Симметрии дифференциальных уравнений. - Т. 1-3. -Москва-Ижевск.: "R&C Dinamics-ISLC", 2011.

[51] Lychagin, V.V. Feedback Equivalence of 1-dimensional Control Systems of the 1-st Order [Текст] / V.V. Lychagin // Геометр1я, тополопя та ix засто-сування. 36ipHHK праць 1н-ту математики НАН УкраГни. - 2009. - Т. 6. -№2. - С. 288-302.

[52] Lychagin, V.V. Dimension formulae for algebra of differential invariants [Текст] / V.V. Lychagin // Тезисы докладов Международной конференции "Геометрия в Кисловодске - 2010". Кисловодск, 13-20 сентября 2010 г. - С. 49.

[53] Olver, P. Applications of Lie groups to differential equations [Текст] / P. Olver. - Graduate Texts in Mathematics, 107. - Springer-Verlag, New York

- 1986.

[54] Streltsova, I. Invariants of curves bundles on the Minkovsky plane [Текст] / I. Streltsova // Abstracts of the International Conference "Geometry in Odessa

- 2007". Odessa, Ukraine, 21-26 May 2007. - P. 154-155.

[55] Streltsova, I. Curves bundles on the Minkovsky plane [Текст] / I. Streltsova // Abstracts of the Second Internationa Workshop "Symmetry: its theoretical and methodical aspects". Astrakhan, 11-14 September 2007. - P. 103.

[56] Streltsova, I. Conformai differential invariants of curves and ordinary differential equations [Текст] / I. Streltsova // Abstracts of the International Conference "Differential equations and topology". Moscow, June 17-22, 2008. - P. 78-79.

[57] Tresse, A. Sur les invariants différentiels des groupes continus de transformations [Текст] / A. Tresse // Acta Math. 18. - 1894. - P. 1-88 .

[58] Vassiliov, Peter J. Contact Geometry of Curves [Текст] / Peter J. Vassiliov // Symmetry, Integrability and Geometry: Methods and Applications. - SIGMA 5 (2009), 098. - 27 pp.

[59] Vinogradov, A.M. Geometry of jet spaces and nonlinear partial differential equations. Advanced Studies in Contemporary Mathematics [Текст] / A.M. Vinogradov, I.S. Krasil'shchik, V.V. Lychagin. - 1. - New York: Gordon and Breach Science Publishers. - 1986. - xx+441 pp.

Обратите внимание, представленные выше научные тексты размещены для ознакомления и получены посредством распознавания оригинальных текстов диссертаций (OCR). В связи с чем, в них могут содержаться ошибки, связанные с несовершенством алгоритмов распознавания. В PDF файлах диссертаций и авторефератов, которые мы доставляем, подобных ошибок нет.