Применение амплитудно-фазовых операторов в некоторых экстремальных задачах анализа тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 00.00.00, кандидат наук Чкалова Дарья Геннадьевна

• Чкалова Дарья Геннадьевна
• кандидат наук
• 2023

Оглавление диссертации кандидат наук Чкалова Дарья Геннадьевна

1.5 Метод Прони

1.6 Производящий многочлен и его свойства

1.7 Алгоритмы регуляризации

1.8 Основной результат

1.9 Многочастотная задача А

2 Применение метода АФО для построения оценок типа Фейера и Бернштейна

2.1 Неравенства типа Фейера для тригонометрических многочленов

2.2 Алгебраический аналог оценок Фейера

2.3 Двусторонние неравенства типа Бернштейна

3 Метод АФО в задачах обработки сигналов

3.1 Низко- и высокочастотные АФО

3.2 Дискретный вариант АФО

3.3 Обобщение АФО на случай функции двух переменных

Заключение

Список литературы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Применение амплитудно-фазовых операторов в некоторых экстремальных задачах анализа»

Введение

Aктуальность исследования. Оператором взвешенных сдвигов, или амплитудно-фазовым оператором (АФО), называется конечная сумма вида Н(Т, {Х^}, {А^}; г) = X) • Т(г — А^) с фиксированной базисной функцией Т определенного класса, переменными амплитудами X) е С и начальными фазами А^ е С. АФО представляют интерес как аппарат решения некоторых экстремальных и аппроксимативных задач (см., например, работы [1-7]).

В сходных задачах (экстремальные неравенства, интерполяция и аппроксимация Паде, др.) применяются также амплитудно-частотные операторы (АЧО) — конечные суммы вида Я(Т, {Х^}, {А^-}; г) = • Т(А^г) с фиксированной базисной функцией Т(г) и переменными Х^, А^. АФО и АЧО являются естественными обобщениями наипростейших рациональных дробей и ^-сумм, широко применяемых в теории приближений [8-36] и носят взаимодополняющий характер. В некоторых случаях с помощью АФО и АЧО можно решать даже одну и ту же задачу, что полезно для разнообразия подходов. Так, если в АФО в качестве базисной взять функцию Т(г) = 1/г и считать, что Х^ = 1, то придем к задаче аппроксимации посредством наипростейших дробей ^ . К такой же задаче придем, если в АЧО качестве базисной взять функцию Т(г) = 1/(г — 1) и считать Х^ = А^.

Цель работы - применение АФО и АЧО в экстремальных оценках типа Фейера гармоник неотрицательных тригонометрических многочленов и степеней алгебраических многочленов с неотрицательной вещественной частью в круге, а также в экстремальных неравенствах типа Бернштейна и Сегё для производных тригонометрических многочленов. В основе лежит построение АФО, выделяющего из базисной функции - тригонометрического

многочлена

Tn(t) = ^^ Tk(t), Tk(t) := ak cos kt + bk sin kt, ak,bk G C,n G N, k=0

суммы гармоник заданных порядков. Остановимся на формулировке задачи. При вещественных Xj , Xj определим АФО порядка m G N:

m

Hm(Tn, {Xj}, {Aj};t) := ^^Xj • Tn(t — Xj), Xj, Aj G Ш,

j=i

где все Xj отличны от нуля, а exp(iAj) попарно различны.

Задача A. При заданном наборе различных натуральных чисел M = {^i,... }, v < n, требуется построть АФО порядка m < n, для которого

Е.-\т

Т1 (г) = Нт(Тп, {Х,}, {Х,}; г), и := ^ = Хз, (0-1) 1еМ 3

где Х3, Х3- — искомые вещественные параметры, не зависящие от Тп.

Аналогичным образом формулируется алгебраический аналог задачи

А - построение АЧО для выделения из алгебраического многочлена Рп =

£П=оРк%к, рк G С, суммы степеней заданных порядков.

Задача В. При заданном наборе различных натуральных чисел М =

{д1,..., ^}, V < п, требуется построить АЧО порядка т < п, для которого

т

Рои + ^ Р1 г1 = Ят(Рп, {Хз}, {Хз}; %) := ^ Х3 • Рп(гХ,), (0.2) гGМ 3=1

где Х3, Х3 — искомые вещественные параметры, не зависящие от Рп.

Задачи (0.1) и (0.2) в случае V = 1 или V > 2 будем называть одно-частотными или многочастотными, соответственно. Впервые одночастот-ные задачи в случае выделения первой гармоники, по-видимому, рассматривались Г. Сегё [1].

Методы исследования. Приведем кратко метод решения задач (0.1) и

(0.2) в наиболее важном для приложений случае знакопостоянства всех Х^. Эти задачи равносильны ассоциированной задаче Каратеодори для системы дискретных моментов:

Х1гк1 + ... + ХпгП = ак, г3 := е-1^, к = 1~П, (0.3)

где ак = 1 при к еМ, ак = 0 при к е М, причем некоторые Х^ могут быть нулевыми. Классическая теорема Каратеодори [37] утверждает, что система (0.3) всегда имеет (единственное) решение с условием > 0, г3 = е—гХ^, А3 е К (даже при произвольных комплексных правых частях ак) [37-39].

Для нахождения явного вида этого решения предлагается следующий метод симметризации [72]. Система (0.3) дополняется комплексно сопряженными уравнениями этой же системы (с номерами 1,...,п — 1) и еще одним свободным уравнением Х1 + ... + Хп = ш, где ш — вещественный параметр. Получается полная система дискретных моментов вида:

Х1гк + ... + Хпгкп = ак, к = — п + 1,п, (0.4)

где г3 := е—гХ^, а0 = ш, а±к = 1 при к е М и а±к = 0 при к е М. Параметры ш, при которых задача (0.4) разрешима, будем называть допустимыми. По указанной теореме Каратеодори допустимые параметры всегда существуют. При любом допустимом ш задачи (0.3) и (0.4) равносильны, причем вещественность Х^ в (0.4) не требуется, это условие выполняется автоматически.

Важную роль при анализе систем (0.4) играет квадратная матрица Тёплица Qn+1(M; ш) = {д^} порядка п + 1 со следующей структурой: на главной диагонали находится параметр ш, а на параллельных ей диагоналях симметрично расположены веса а/, причем = а/ при |г—] | = I, I = 1,..., п. Известно (см., напр., [37-39]), что для решения задачи Каратеодо-

ри (т.е. задачи (0.4) при Х, > 0 и вещественных {Х,}) значение параметра и равно наибольшему корню и+ (и+ = и+ (п) > 0) многочлена ¿е! фп+1(М; и) — определителя матрицы Тёплица. Отсюда, очевидно, следует, что для решения задачи (0.3) с неположительными {Х,} и вещественными {Х,} значение параметра и = ^п=1 Х, равно наименьшему корню иМ (и- = и-(п) < 0) определителя той же матрицы Тёплица ^п+1(М; и).

Значит, равенства (0.1) справедливы при и = и+ (и тогда все Х, > 0) и при и = и— (и тогда все Х, < 0). Представление (0.1) в каждом из этих случаев будем называть регулярным, если порядок соответствующего АФО равен в точности п (то есть все Х, = 0).

При известных и = и± для определения неизвестных = е_гЛ при-

меняется многочлен Прони-Ганкеля Сп(%; М,и±); так называется определитель, который получается из указанного определителя Тёплица заменой его первой строки на строку (%п, %п-1,..., г, 1).

В регулярном случае все корни = е_гЛ ] = 1,...,п, многочлена Сп(%; М,и±) различны и расположены на единичной окружности симметрично относительно К. Их аргументы и дают нужные значения Х, в (0.3). В этом случае неизвестные Х, находятся из линейной относительно Х, системы (0.3) с отличным от нуля определителем Вандермонда. Таким образом, в регулярных случаях построение решений одночастотных и многочастотных задач на практике проводится весьма простыми алгоритмами.

В нерегулярном случае, когда порядок АФО в (0.1) меньше п, построение АФО и АЧО значительно усложняется даже в одночастотных задачах. В этом случае многочлен Прони-Ганкеля равен тождественно нулю, Сп(%; М,и±) = 0 и не несет никакой информации. Для нерегулярных задач в диссертации разработано несколько методов регуляризации определенными вариациями правых частей {ак} в (0.4) [72]. Для регуляризован-

ной системы (0.4) соответствующий многочлен Прони-Ганкеля отличен от тождественного нуля и его ненулевые корни являются искомым решением системы (0.3) г^ = е—гХ^, ] = 1,..., т, т < п.

Указанные методы регуляризации позволили найти решение одноча-стотных задач в явном виде.

Теоретическое и практическое значение полученных результатов. Аппарат АФО весьма удобен и естественен в ряде задач гармонического анализа. Это обусловлено, в частности, тем, что для вещественных многочленов Тп задача А имеет важную физическую интерпретацию — выделение сумм гармоник с заданными номерами М из сигнала Тп путем наложения (интерференции) подобных ему сигналов, полученных сдвигами по вещественной фазе А3 и умножениями на вещественные константы Х^.

Выделение гармоник — одно из направлений гармонического анализа, имеющее непосредственные приложения в задачах фильтрации и аппроксимации сигналов разной природы [40-43]. Наиболее известные математические модели в этом направлении опираются на прямые и обратные преобразования Фурье, Уолша, вейвлет-преобразования и др. Обычно прямые преобразования позволяют находить частотно-временные спектры поступающих сигналов, а обратные преобразования после определенной «чистки» спектра восстанавливают нужные гармоники. Однако, при работе со спектральными методами могут возникать значительные трудности, связанные с дополнительной обработкой спектра и соответствующими погрешностями. Выделение гармоник непосредственным наложением (без использования промежуточных спектральных замеров) позволяет значительно быстрее и точнее (а в рассматриваемых задачах для многочленов - точно) выявлять нужные гармоники.

Действие АФО можно распространить на задачу обработки и мно-

гомерных стационарных сигналов (фильтрация, аппроксимация и др.). В этом случае АФО можно применять как последовательное действие нескольких независимых АФО по разным переменным. Например, для двумерного тригонометрического сигнала Tni,n2 (ti, порядков (ni, n2) по переменным (ti, t2) соответственно комбинация двух независимых АФО Hmi и Hm2 по переменным t1 и t2 имеет вид

H (ti,t2) = Hm2 (Hmi (Tni,n2, {j}, {А^}; ti) , {xj2)}, {Af}; t2) .

Поэтому решение задачи A дает (см. (0.1)): H (ti,t2)= WiW2ao + ^2 ^ Tii (ti) + Wi ^ T¿2 (t2) + ^ T/i (ti) ^ T¿2 (t2),

íieMj /2gM2 /ieMj /2GM2

где Mi, M2 — выделяемые наборы частот по переменным (ti ,t2), а w1, w2 -соответствующие допустимые параметры (они зависят только от ni, n2 и Mi, M2). В задаче на плоскости одномерные компоненты сигнала часто удается исключить и рассматривать только многочлены Tni,n2(ti,t2), не содержащие констант a0 и одинарных гармоник (т.е. слагаемых, зависящих только от одной переменной). Тогда в выделенном сигнале остается только последнее слагаемое и значения выделяемого сигнала на сетке (Aji), aS2) ) восстанавливаются двумерным аналогом формулы (0.3) по значениям поступающего сигнала на этой же сетке.

Имея возможность достаточно произвольного выбора частот M, можно производить фильтрацию и частотную детализацию сигналов в соответствии с особенностями изучаемого класса сигналов T. Методы АФО испытаны автором на разных одномерных и двумерных дискретных сигналах [70,71,76-78]. Например, разработана программа построения ландшафта с разной степенью детализации по двумерному замеру высот рельефа

земной поверхности [76].

Одним из основных результатов диссертации является явное решение одночастотных задач (0.1), (0.2) в регулярных и нерегулярных случаях при M = {д}, n = s^ — 1 [72]. Допустимые параметры имеют вид:

па -

ш = — 2cos-, а = 1, s, s = 2,3,....

s + 1'

Здесь при а = s все Xj > 0 и, значит, получается решение, удовлетворяющее условиям Каратеодори. В тригонометрическом случае формула (0.1) дает явное решение и на классе сходящихся тригонометрических рядов, в которых отсутствуют гармоники с номерами ß вида

ß = д + 0k, n + 1 + в (k — 1) < ß < в + 0(k — 1), в := n + д + 1, k е N.

Формула (0.1) дает также решение в дискретной задаче выделения гармоник на равномерной сетке узлов из тригонометрических многочленов (или рядов с указанной структурой), заданных на той же самой сетке [73].

Для тригонометрических многочленов (и рядов с указанной структурой) при а = s легко получается классическое неравенство Фейера-Эгервари-Сасса для неотрицательных многочленов:

ао — ш—^аJ + bj > minTn(x), y^aj + bj < шао < 2 ao. (0.5)

При д = 1 эти оценки принадлежат Фейеру [44]. При д > 1 оценки (0.5) (с доказательством их точности) были получены Эгервари и Сас-

сом методами, основанными на представлении неотрицательных многочле-

_ 2

нов Tn(t) в форме Фейера П=1 ак exp(ikt) | [45]. Значительно упростить их доказательство удалось С. Б. Гашкову сведением общего случая к случаю д = 1 [45]. Отметим, что неравенства (0.5) и их различные обобщения и мо-

дификации возникают во многих экстремальных задачах для неотрицательных многочленов, см., например, работы С.Б. Стечкина, В.П. Кондратьева, В.В. Арестова, А.С. Белова, А.В. Резцова, С.В. Конягина [46-51] и ссылки в них.

Метод АФО позволяет строить в явном виде экстремальные многочлены, на которых достигаются равенства в (0.5), что является весьма непростой самостоятельной задачей. Например, в работе [73] показано, что равенства (0.5) достигаются на четном неотрицательном многочлене

где Х, — решение задачи (0.1), соответствующее случаю а = й.

Методом АФО получены также обобщения неравенства Фейера-Эгер-вари-Сасса на интегральные метрики. Например, при 1 < р < то для многочленов с комплексными коэффициентами имеем Ьр-оценку экстремального характера:

||ао ± и_1тм(г)Уьр[0,2п] < ||Тп|ир[0,2п].

В многочастотных задачах построение АФО в явном виде, как правило, не представляется возможным. Автору известны явные решения многочастотных задач А о представлении сумм двух гармоник тм(г) + т^(г) только для пар М = {д, V} вида (к,п — к + 1) [52] и (2,п) [53]. Известные алгоритмы численного решения многочастотных задач также весьма трудоемки [37-39]. Однако в рассматриваемых нами приложениях задач А, В принципиально то, что ассоциированные с ними системы моментов имеют правые части ак, состоящие из нулей и единиц, или специально подобранных весов. В таких случаях в диссертации разработаны эффективные и достаточно простые алгоритмы построения АФО на основе классического

метода Прони [54] по указанной выше схеме [73].

В наиболее сложных случаях при допустимых ш возникают совместные, но не являющиеся регулярными, системы моментов (0.3), (0.4) (переопределенные системы, в которых некоторые = 0). В таких случаях, как уже говорилось в описании метода, многочлен Прони-Ганкеля обращается в тождественный нуль и не несет никакой информации. Этот многочлен может вырождаться даже в одночастотной задаче. Например, одночастотная задача (0.3) при д > 2 не является регулярной.

Поэтому регуляризации в диссертации уделено особое внимание, разработано несколько методов регуляризации вариациями правых частей } в (0.4). Для регуляризованных систем (0.4) соответствующий многочлен Прони-Ганкеля отличен от тождественного нуля и его ненулевые корни являются искомым решением системы (0.3) = е—гЛ, ] = 1,... ,т, т < п.

Многочастотные задачи позволили проводить новые оценки типа Фей-ера сумм некольких гармоник [74]. Они существенно отличаются от классических оценок типа (0.5). Так, для неотрицательного многочлена Тп получаем экстремальное двустороннее неравенство

с определенными Ш1 < 0 < ш2, причем, вообще говоря, —= ш2. Например, при п = 20 имеем

Многочастотные задачи лежат также в основе новых экстремальных неравенств типа Бернштейна и Сегё для производных тригонометрических многочленов [75].

2.46974.. • ад < п(£) + т^) + тз(£) < 5.74472.. • ад.

В алгебраическом случае решение многочастотных задач (0.2) позволило получить экстремальные неравенства для свободных членов Ро алгебраических многочленов Рп с неотрицательной действительной частью на единичной окружности [74]. Эти неравенства значительно обобщают основные результаты работ [55,56].

Научная новизна. В диссертации разработаны методы регуляризации систем моментов и на их основе получены новые методы построения АФО и АЧО, решающих в явном виде одночастотные задачи А, В.

Получены новые интегральные и равномерные экстремальные неравенства типа Фейера для тригонометрических и алгебраических многочленов, приведены методы построения соответствующих экстремальных многочленов.

Для многочастотных задач А, В разработаны алгоритмы построения решений, на основе которых получены новые экстремальные двусторонние неравенства типа Бернштейна и Сегё для тригонометрических многочленов. Приведен метод построения соответствующих экстремальных многочленов.

Основные положения, выносимые на защиту

1. Разработаны методы симметризации и регуляризации задачи дискретных моментов.

2. Построены явные решения одночастотных задач выделения гармоник и степеней из тригонометрических и алгебраических многочленов с помощью амплитудно-фазовых операторов. Для многочастотных случаев разработаны численные алгоритмы.

3. Построены новые точные двусторонние оценки типа Фейера для сумм гармоник тригонометрических многочленов, их алгебраические аналоги и точные двусторонние неравенства типа Бернштейна для производных тригонометрических многочленов.

1 Выделение гармоник из тригонометрического

многочлена

1.1 АФО и их связь с задачей дискретных моментов

В настоящем параграфе будем рассматривать тригонометрический многочлен вида:

n

Tn(t) = ао + ^Tk(t), Tk := akcoskt + bksinkt, ak, bk G C (1.1) k=i

и амплитудно-фазовый оператор (АФО), преобразующий (1.1) в сумму многочленов, подобных исходному Tn. А именно, АФО действует на многочлен (1.1) по правилу:

m

Tn(t) ^ Hm(Tn, {Xj}, {Aj}; t) := ^Xj • Tn(t - Aj), Xj, Aj G R, (1.2)

j=i

где вещественные параметры АФО: Xj - амплитуды и Aj - фазовые сдвиги, а порядок АФО - натуральное m. Пример многочлена Tn и соответствующего ему слагаемого АФО Xj • Tn(t — Aj) приведены на рисунке 1.

/СО' < 0

■ Tn(t "¿г)

t

Рисунок 1. Многочлен Тп и соответствующее ему слагаемое АФО X ■ Тп(г — Х^-)

Вещественность параметров позволяет интерпретировать многочлен (1.1) как сигнал произвольной природы и, кроме этого, использовать АФО для ре-

шения разнообразных задач вещественного гармонического анализа, в частности, для вычисления коэффициентов Фурье сходящегося тригонометрического ряда и получения точных односторонних и двусторонних оценок заданной гармоники (или суммы гармоник) типа Фейера (см. главу 2).

Для удобства формулировок основных результатов будем рассматривать тригонометрические многочлены с нулевым свободным коэффициентом: а0 = 0. Это условие не нарушает общности, ведь действие АФО на свободный коэффициент дает константу а0 • X, которую легко вычесть из результата, зная амплитуды Xj.

Ввиду вещественности параметров АФО, будем рассматривать его действие только на многочлены с действительными коэффициентами. Итак, рассмотрим одно слагаемое тригонометрического многочлена (гармонику с номером k) и представим sin kt и cos kt через комплексные экспоненты:

Tk(t) = ак cos kt + bk sin kt = "k (еШ + e—ikt) - i-^ - е_Ш) =

22

= (f - ¿y) e*k< + (f + 4)e-,kí = «ke*k<+akeikt,

где 2ak = ak — ¿bk. Поэтому сдвиг многочлена Tn(t) на вещественную фазу Xj принимает вид:

n n

Tn (t — Xj) = ^^ Tk(t — Xj) = ^^ ak cos k(t — Xj) + bk sin k(t — Xj) = k=i k=i

^«k eik(t—Aj) + ak eik(t"Aj) = ^ ak e—ikAj eikt + ak e—ikA; e

к=1 к=1 Так как все X? должны быть вещественными, то X? = X?. Рассмотрим сначала частный случай: т = п, т.е. количество слагаемых в АФО (1.2) равно степени многочлена (1.1). Последнее условие равносильно тому, что среди амплитуд X? не должно быть нулевых, а все сдвиги А? должны

быть попарно различны (с точностью до 2п). Таким образом, элементарными преобразованиями получаем следующее представление для амплитудно-фазового оператора Нп (а0 = 0):

пп

Нп(Тп, {X,}, {Х,}; г) = £ £ X,е—акеш+

к=1 \,=1 /

n n n n

^ Xje—ikAj akeikt = 2 • Re ^ ^ Xje—ikAj ) akeikt. k=i j=i k=i j =i

Далее для удобства сделаем замену г, := е ^, и тогда результат действия АФО (1.2) на (1.1) представляет собой некоторый тригонометрический многочлен Тп(г) степени не выше п и принимает вид:

nn

Hn(Tn, {Xj}, {Aj}; t) = 2 • Re ^ ^^XjzkJ akeiktJ = Tn(t), (1.3)

где Tn(t) = X^n=1 Tk(t), Tk(t) = akcoskt + bksinkt, или (см. преобразования выше):

n

Tn(t) = 2 • Re ^ akeikt, 2ak = ak — ibk. k=i

Замечание 1. Для сходящегося тригонометрического ряда T(t) = ^^=1 Tk(t) вместо (1.3) получается представление

то / n

Hn(T, {Xj}, {Aj}; t) = 2 • Re J ^ ^ Xjzk ) akeikt ) . (1.4)

>k=1 \ j=1

Таким образом, возможность построения необходимого АФО (т.е. существование параметров X,, Х,) обусловлена выполнением следующих равенств:

п

^ X, гк = ^к, к = !~п, (1.5)

,=1

где ак = ак/ак, если ак = 0 и ак = ак = 0, если ак = 0.

Система (1.5) относительно неизвестных X?, г? является задачей дискретных моментов, при этом в контексте АФО и рассмотренного нами случая т = п необходимо выполнение следующего набора условий: все ^| = 1 и попарно различны, а все X? = 0.

Заметим, что система (1.5) с названными условиями представляет собой классическую задачу Каратеодори, которая, согласно [37], всегда имеет решение X?, г? с X? > 0, ^| = 1 при произвольных комплексных ак (оно единственно). Существуют и численные алгоритмы приближенного решения системы (1.5) (см., например, [38,39], а также алгоритмы в п. 1.9).

1.2 Постановка одночастотной задачи А

Рассматривается задача выделения гармоники т^(£) с заданным номером д из тригонометрического многочлена вида (1.1).

Одночастотная задача А. При фиксированных натуральных п и д < п найти натуральное т = т(д;п) < п и вещественные X? = X?(д;п), А? =

А? (д; п), ] = 1,т, для которых имеет место представление

т

«о • ^ X? + т„(*) = Ят(Тп, {X?}, {А?}; *), (1.6)

?=1

где т, X?, А? не зависят от коэффициентов многочлена Тп.

Пример выделения гармоники т3(£) из многочлена Т5(£) с помощью АФО приведен на рисунке 2. Сумма слагаемых АФО дает нужный результат.

Далее определим важные понятия: допустимость и регулярность решения поставленной задачи.

Определение 1. Решение {X?}, {А?} задачи (1.6) будем называть допустимым, если соответствующий АФО имеет порядок не выше п, т.е. вы-

/V

. Г5(£)

Х1 ■ ] ди - Я±

■ Тф

Хз 1

-4-3-2-10 1 2 3 4

Рисунок 2. Пример выделения гармоники г3(Ь) из многочлена Т5(¿) с помощью АФО

полнены условия (С): т < п, значения Х^, Л^ вещественны и не зависят от Тп, все егЛ попарно различны.

Здесь допускается случай, когда некоторые Х^ = 0 и, следовательно, порядок АФО т в (1.6) может быть строго меньше п.

Определение 2. Допустимое решение [Х^}, {Л^} будем называть регулярным, если выполнены условия (С): порядок АФО в точности равен п (т.е. если в (1.6) т = п, все егЛ попарно различны, а все = 0).

Решения, удовлетворяющие условиям (С) и (С), будем называть (С)-разрешимыми и (С)-разрешимыми, соответственно.

Благодаря вещественности параметров , АФО имеют геометрическую и физическую интерпретацию - наложение конечного числа подобных сигналов, полученных из исходного путем сдвигов по фазе Л3 и умножений на константы Х^. Ввиду вещественности параметров АФО, достаточно решить задачу (1.6) для вещественных многочленов Тп, поэтому далее полагаем ак, Ьк Е К.

Отметим важное обстоятельство: в задаче (1.6) требуется найти точное решение и явные формулы параметров АФО.

Из (1.3) следует, что для выделения одной заданной гармоники с номером д необходимо одновременное выполнение равенств:

—¿Ло-

Х? ? = 0, к = д, ^ X?- г2 = 1, г? = е-^

3=1

?=1

Таким образом, в регулярном случае будет выполнено:

Яп(тп, {X?}, {Л?}; *) = 2 • Ие (о^2*) = т^)

и, следовательно, задача (1.6) сводится к неполной системе дискретных мо-

ментов из п уравнений относительно 2п неизвестных {X?}, {г?}, ] = 1,п:

Х1 + + ... + Хпгп = ох

< Х^ + Х2^2М + ... + =

(1.7)

Х^? + Х2*П + ... + = оп где о2 = 1, = 0 при к = д и все | = 1.

1.3 Вычисление амплитуд Х^ при известных гк

Рассмотрим случай, когда все различны. При формальной замене Хкна в системе (1.7) получаем систему относительно с определителем Вандермонда W... ,гп) = 0 (при такой формальной замене первая строка имеет вид (У1,..., УП) независимо от значений ).

Значения находятся как скалярные произведения [57]: = (£к •£), в которых 5 = (о,..., оп) и

£к =

П?=к- )

(-1)я"1р2)1,

(-1)

п—2р(к) р п—2,

Р1

(к)

(1.8)

1

1

(к)

где рт — элементарные симметрические многочлены, полученные из рт, в которых аргумент с номером к равен нулю:

ро = 1, ртт) = Рт(*1,... ,*к-ъ 0,гЛ+1,... ,2п), к = 1,п,

рт := рт(^1,...,гп)= ^ гл ...г?т, т = 1,п.

Отсюда получаем следующее представление для Хк(д) и Хк(1) (отметим, что все 2к отличны от нуля):

Хк(д)= (— ) ( Рп-2 ), 1 < д < П, Хк(1)= 2 п ?). (1.9)

Докажем утверждение (1.9). Сначала найдем скалярные произведения

Ук = (£к ^):

Ук =

-1)п-2рПк)

п—2

П?=к(2к - У

т. к. в строке 5 только один ненулевой элемент о2 = 1. При условии Ук Хк2к получаем первое равенство в (1.9). Далее рассмотрим Хк(1):

(_1)п-1р(к)

Хк (1)= ( 1) рп-1

2Ш?=к (2к- )'

По определению элементарных симметрических многочленов

рП—1 = рп-1(^1, . . . ,2к-1, 0,2к+1, . . . ,2П), к = 1,П, рп-1 = рп-1(гЪ . . . , 2п) = ^ ?.....= П ,

1<?1<...<?п-1<п ?=к

т. к. в рп-1(2х,... ,2п) остается только одно ненулевое слагаемое. Утверждение (1.9) доказано.

1.4 Примеры построения АФО в частных случаях

Рассмотрим частные случаи выделения первой и последней (д = 1,п) гармоник, из которых видна специфика построения АФО.

Утверждение 1. При д = 1 и нечетных п > 3 имеем регулярное решение (с точностью до знака Хк):

Лк = П^, Хк = П

п + 2 '

2п-1.

в=к

Л.ч — Лг

БШ

1

к = 1, п.

Доказательство. Из (1.9) при д = 1 имеем

(1.10)

п ГГп уП-2

(-1)п(п-1)/2 П Х (в = п 1Ь='(г;_ г )2

111<Ч<в<п(^9

¿=1

П

¿Ч ¿в

2

(1.11)

Множитель (-1)п(п-1)/2 появляется следующим образом. Выпишем знаменатели в последнем произведении для всех Хк (1):

Х1(1) : (^-^К^ -¿э )•.. .^-¿п), ..., Хп(1) : (¿п-¿^(¿п-¿2 )•.. .^(^п-^п-1).

В каждом произведении п - 1 множитель, а для того чтобы получить (1.11), необходимо поменять знак в Х2(1) один раз (в первом множителе), в Хэ(1) - два раза и т.д. Учитывая знак в (1.9), получаем:

(-1)п(п-1)+п(п-1)/2 = (-1)Эп(п-1)/2 = (-1)п(п-1)/2

Заметим, что последнее произведение в (1.11) вещественно, т.к.

¿я¿в 1 2 Ля Лв —гЛ —гЛ

--= --еовее2^-, = е гЛ<г, = е гЛ.

4

(¿я - ¿в)

2

Проверим последнее утверждение с помощью элементарные преобра-

1

зовании:

z z e iAq • e iAs e iAq • e iAs

(zq - zs)2 (e-iAq - e-iAs)2 e-2iAq - 2e-iAqe-iAs + e-2iAs

e-iAq/e-iAs - 2 + e-iA/e-iAq ei(Aq) + e-i(Aq) - 2 2(cos(Aq - As) - 1)' Таким образом, для вещественности (1.11) необходима вещественность

n

произведения П zs. Это равносильно тому, что

s=1

n n n

Im ^ zs = 0 ^ sin ^ As = 0 ^ ^ As = 0 (mod n). (1.12)

s=1 s=1 s=1

В силу (1.12) числитель в (1.9) должен быть вещественным. Значит, при всех k вещественным должен быть знаменатель:

Vk := zk (zk - Zs), arg Vk = 0 (modn). (1.13)

s=k

Вычислим arg (zk - zs):

zk - zs = e-iAk - e-iAs = e-iAk (1 - ei(Ak-As)) = e-iAk (1 - cos (Ak - As) -

/ л Л Ч _¿Ak / о • 2 Ak - As o- . Ak - As Ak - As \

-i Sin (Ak - As) = e k í 2 Sin2 —---2i sin —--cos —-— j =

Ak - As _¿A* / /Ak - As n\ . (Ak - As n\\

= 2 sin----e k cos —---- + i sin ' 11

2) V 2 2)) 1

I ч > , Лк Лs п /Лк Л8 п\

- ^ = -Лк + Т - -2 - 2 = Ч~2 + Т + 2,) .

Поэтому аргумент в (1.13) равен с точностью до п сумме (знак опустим):

1 п — 1 п — 1 1 п + 3. п — 1

2Лк + 2 Лs + Лк + п = 2 Л + Лк + п.

s=к s=k

1

1

Теперь будем считать n нечетным. Тогда, с учетом предыдущего:

arg = 2 ^ As + Ak, (1.14)

s=k

Требование вещественности Im vk = 0 дает:

1 v^л n + 3

2 As +--Ak = 0 (mod n).

s=k

Перенесем одно из (n + 3) Ak в сумму:

n

y^As + (n + 3)Ak = 0 (mod n) ^ ^ As + (n + 2)Ak = 0 (mod n).

s=k s=1

n

Пусть Л := As. Тогда при всех k = 1,..., n необходимо:

s=1

Л + (n + 2 )Ak = 0 (mod n). Рассмотрим удовлетворяющую этому свойству систему

Л + (n + 2)Ak = 4nk, k = 1,n. (1.15)

Сложим все п уравнений полученной системы и выразим сумму Л:

пЛ + (п + 2) ^ Лк = 2пп(п + 1) ^ Л = 2П9п(п +1) = пп.

2п + 2

к=1

Таким образом, система (1.15) принимает вид:

пп + (п + 2)Лк = 4пк, к = 1, п.

Отсюда легко находятся все фазовые сдвиги Лк:

п(4к - п) -—

Лк =-——, к = 1,п. (1.16)

п+2

Подставим Лк в (1.9) и найдем Хк = Хк(1). Покажем, что найден-

ные {Ak} и {Xk} являются решением задачи (1.6). В самом деле, из (1.15) следует (1.14), откуда с учетом (1.16) находим:

1. n + 2 nn n + 2 arg vk = 2Л +--Ak = +--Ak = 0 (mod n), т.е. Vk G R.

Числители в (1.9) также вещественны и они равны -1. Действительно, из равенства (1.16) имеем

n / n \ /и

JJzk = exp I -i ^ AH = exp I -i ^

k=i V k=i / V k=i

k | = exp | -¿7 —^(4k - n)

n+2

exp f-if2П(1 + n)n - = exp f-i2™ + ^ = e^ = -1.

Fv V n + 2 n + 2УУ FV n + 2 У

Для получения формулы (1.10) остается вычислить модуль |vk |:

As - Ak

|vk| = П |e-iAs - e-iAk| = Ц2

s=k s=k

sin

= 2n-1 J]

s=k

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Чкалова Дарья Геннадьевна, 2023 год

Список литературы

1. Szego G. Koeffizientenabschätzungen bei ebenen und räumlichen harmonischen Entwicklungen // Mathematische Annalen. 1927. Vol. 96, №1. Pp. 601-632.

2. Винер Н. Интеграл Фурье и некоторые его приложения. М.: Физматгиз, 1963.

3. Faxen B. On approximation by translates and related problems in function theory // Arkiv for Matematik. 1981. Vol. 19, №1. Pp. 271-289.

4. Седлецкий А. М. Аппроксимация сдвигами и полнота взвешенных систем экспонент в L2(R) // Математический сборник. 1984. T. 123(165), №1. С. 92-107.

5. Комаров М. А. Представление типа Каратеодори с единичными весами и связанные с ним аппроксимационные задачи // arXiv:1807.06499v1 [math.CA] 17 Jul 2018.

6. Бородин П. А. Приближение суммами сдвигов одной функции на окружности // Известия РАН. Серия математическая. 2017. Т. 81, №6. C. 2337.

7. Бородин П. А. Плотность сумм сдвигов одного вектора в пространствах последовательностей // Труды МИАН. 2018. Т. 303, С. 39-44.

8. Danchenko V. I., Chunaev P. V. Approximation by amplitude and frequency sums // Joint CRM-ISAAC Conf. on Fourier Anal. and App. Theory: Abstracts (Bellaterra, 2013). 2013. P. 12.

9. Chunaev P., Danchenko V. Approximation by amplitude and frequency operators // Journal of Approximation Theory. 2016. Vol. 207. Pp. 1-31.

10. Данченко В. И., Чунаев П. В. Об аппроксимации посредством амплитудно-частотных сумм // Международная Казанская летняя школа-конференция (Казань, 22-28 августа 2013 г.). Теория функций, ее приложения и смежные вопросы. 2013. Т. 46. C. 174-175.

11. Yarman C. E., Flagg G. M. Generalization of Pade approximation from rational functions to arbitrary analytic functions - Theory // Math. Comp. 2015. Vol. 84, №294. Pp. 1835-1860.

12. Данченко В. И., Данченко Д. Я. О приближении наипростейшими дробями // Математические заметки. 2001. Т. 70, №4. C. 553-559.

13. Данченко В. И. Об аппроксимативных свойствах сумм вида k Xkh(Xkz) // Математические заметки. 2008. Т. 83, №5. С. 643-649.

14. Протасов В. Ю. Приближения наипростейшими дробями и преобразование Гильберта // Известия РАН. Серия математическая. 2009. Т. 73, №2. С. 123-140.

15. Данченко В. И. О сходимости наипростейших дробей в Lp(R) // Математический сборник. 2010. Т. 201, №7. С. 53-66.

16. Кондакова Е. Н. Интерполяция наипростейшими дробями // Известия Саратовского университета. Новая серия. Серия Математика. Механика. Информатика. 2009. Т. 9, №2. С. 30-37.

17. Данченко В. И., Кондакова Е. Н. Критерий возникновения особых узлов при интерполяции наипростейшими дробями // Труды МИАН. 2012. Т. 278. C. 49-58.

18. Данченко В. И., Кондакова Е. Н. Чебышевский альтернанс при аппроксимации констант наипростейшими дробями // Труды МИАН. 2010. Т. 270. С. 86-96.

19. Каюмов И. Р. Сходимость рядов наипростейших дробей в // Математический сборник. 2011. Т. 202, №10. С. 87-98.

20. Каюмов И. Р., Каюмова А. В. Сходимость мнимых частей наипростейших дробей в (К) при р < 1 // Исследования по линейным операторам и теории функций. 41, Зап. научн. сем. ПОМИ. Т. 416. ПОМИ, СПб. 2013. С. 108-116.

21. Каюмов И. Р. Интегральные оценки наипростейших дробей // Известия вузов. Математика. 2012. №4. С. 33-45.

22. Каюмов И. Р. Необходимое условие сходимости наипростейших дробей в // Математические заметки. 2012. Т. 92, №1. С. 149-152.

23. Каюмова А. В. Сходимость рядов простых дробей в // Ученые записки Казанского государственного университета. Серия Физико-математической науки. 2012. Т. 154, №1. С. 208-213.

24. Комаров М. А. Критерий разрешимости задачи кратной интерполяции посредством наипростейших дробей // Сибирский математический журнал. 2014. Т. 55, №4. С. 750-763.

25. Комаров М. А. Критерий наилучшего приближения констант наипростейшими дробями // Математические заметки. 2013. Т. 93, №2. С. 209215.

26. Комаров М. А. Скорость наилучшего приближения констант наипростейшими дробями и альтернанс // Математические заметки. 2015. Т. 97, №5. С. 718-732.

27. Komarov M. A. Uniqueness of a simple partial fraction of best approximation // Journal of Mathematical Sciences. 2011. Vol. 175, №3. Pp. 284-308.

28. Комаров М. А. Критерий наилучшего равномерного приближения наипростейшими дробями в терминах альтернанса // Известия РАН. Серия математическая. 2015. Т. 79, №3. С. 3-22.

29. Комаров М. А. Критерий наилучшего равномерного приближения наипростейшими дробями в терминах альтернанса. II // Известия РАН. Серия математическая. 2017. Т. 81, №3. С. 109-133.

30. Бородин П. А., Косухин О. Н. О приближении наипростейшими дробями на действительной оси // Вестник Московского университета. Серия 1: Математика. Механика. 2005. №1. С. 3-8.

31. Бородин П. А., Шкляев K. C. Приближение наипростейшими дробями в неограниченных областях // Математический сборник. 2021. Т. 212, №4. С. 3-28.

32. Бородин П. А. Приближение суммами вида Y1 k h(Akz) в круге // Математические заметки. 2018. Т. 104, №1. С. 3-10.

33. Бородин П. А. Приближение наипростейшими дробями с ограничением на полюсы // Математический сборник. 2012. Т. 203, №11. C. 23-40.

34. Бородин П. А. Приближение наипростейшими дробями с ограничением на полюсы. II // Математический сборник. 2016. Т. 207, №3. C. 19-30.

35. Бородин П. А. Приближение наипростейшими дробями на полуоси // Математический сборник. 2009. Т. 200, №8. C. 25-44.

36. Косухин О. Н. Об аппроксимационных свойствах наипростейших дробей // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1. Матем., мех. 2001. №4. С. 54-59.

37. Grenander U., Szego G. Toeplitz forms and their applications. New York, Chelsea Publishing Company, 1984. 245 p.

38. Pisarenko V. F. The retrieval of harmonics from a covariance function // Geophysical Journal International. 1973. Vol. 33, №3. Pp. 347-366.

39. Belkin G., Monzyn L. On generalized gaussian quadratures for exponentials and their applications // Applied and Computational Harmonic Analysis. 2002. Vol. 12, №3. Pp. 332-373.

40. Марпл-мл. С. Л. Цифровой спектральный анализ и его приложения: Перевод с английского. М.: Мир, 1990.

41. Yazdekhasti A., Mojiri M. A method for harmonic extraction from power systems signals based on adaptive Notch filter // Advances in Computational Mathematics and its Applications. 2012. Vol 1, №1. Pp. 4046.

42. Сиберт У. М. Цепи, сигналы, системы: В 2-х частях. Перевод с английского. М.: Мир, 1988.

43. Ogden G. L., Zurk L. M, Jones M. E., Peterson M. E. Extraction of small boat harmonic signatures from passive sonar // The Journal of the Acoustical Society of America. 2011. Vol. 129, №6. Pp. 3768-3776.

44. Полиа Г., Сегё Г. Задачи и теоремы из анализа. Часть 2. Перевод с немецкого. 3-е издание. М.: Наука, 1978.

45. Гашков С. Б. Неравенство Фейера-Эгервари-Сасса для неотрицательных тригонометрических многочленов // Математическое просвещение. 2005. T. 3, №9. С. 69-75.

46. Стечкин С. Б. О некоторых экстремальных свойствах положительных тригонометрических полиномов // Математические заметки. 1970. T. 7, №4. С. 411-422.

47. Кондратьев В. П., О некоторых экстремальных свойствах положительных тригонометрических полиномов // Математические заметки. 1977. T. 22, №3. С. 371-374.

48. Арестов В. В. Об экстремальных свойствах неотрицательных тригонометрических полиномов // Труды Института математики и механики УрО РАН. 1992. Т. 1. С. 50-70.

49. Белов А. С., Конягин С. В. Об оценке свободного члена неотрицательного тригонометрического полинома с целыми коэффициентами // Известия РАН. Серия математическая. 1996. T. 60, №6. С. 31-90.

50. Белов А. С. Некоторые свойства и оценки для неотрицательных тригонометрических полиномов // Известия РАН. Серия математическая. 2003. T. 67, №4. С. 3-20.

51. Резцов А. В. Некоторые экстремальные свойства неотрицательных тригонометрических полиномов // Математические заметки. 1986. Т. 39, №2. С. 245-252.

52. Egervary E., Szasz O. Einige extremalprobleme im bereiche der trigonometrischen polynome // Mathematische Zeitschrift. 1928. Vol. 27, №1. Pp. 641-652.

53. Danchenko V. I., Danchenko D. Ya. Extraction of pairs of harmonics from trigonometric polynomials by phase-amplitude operators // Journal of Mathematical Sciences. 2018. Vol. 232, №3. Pp. 322-337.

54. Prony R. Sur les lois de la Dilatabilité des fluides élastiques et sur celles de la Force expansive de la vapeur de l'eau et de la vapeur de l'alkool, a differentes temperatures // Journal de l'École polytechnique. 1795. Vol. 4, №2. Pp. 28-35.

55. Holland F. Some extremum problems for polynomials with positive real part // Bulletin of the London Mathematical Society. 1973. Vol. 5, №1. Pp. 54-58.

56. Goldstein M., McDonald J. N. An extremal problem for non-negative trigonometric polynomials // Journal of the London Mathematical Society. 1984. Vol. 29, №1. Pp. 81-88.

57. Danchenko V. I., Dodonov A. É. Estimates for exponential sums. Applications // Journal of Mathematical Sciences. 2013. Т. 188, №3. Pp. 197-206.

58. Sylvester J. J. On a remarkable discovery in the theory of canonical forms and of hyperdeterminants // The London, Edinburgh, and Dublin Philosophical Magazine and Journal of Science. 1851. Vol. 2, №12. Pp. 391-410.

59. Lyubich Y. I. The Sylvester-Ramanujan system of equations and the complex power moment problem // The Ramanujan Journal. 2004. Vol. 8, №1. Pp. 23-45.

60. Boley D., Luk F., Vandevoorde D. Vandermonde factorization of a Hankel matrix // Scientific computing. 1997. Vol. 8. Pp. 27-39.

61. Суетин П. К. Классические ортогональные многочлены. М.: ФИЗМАТ-ЛИТ, 2005.

62. Прасолов В. В. Задачи и теоремы линейной алгебры. М.: Наука, 1996.

63. Данченко В. И., Семин Л. А. Точные квадратурные формулы и неравенства разных метрик для рациональных функций // Сибирский математический журнал. 2016. Т. 57, №2. C. 282-296.

64. Прудников А. П., Брычков Ю. А., Маричев О. И. Интегралы и ряды. Т. 1. Элементарные функции. М.: Физматлит, 2002.

65. Данченко В. И., Данченко Д. Я. Уточнение неравенства Фейера на одном подклассе неотрицательных тригонометрических многочленов // Современные методы теории функций и смежные вопросы: Материалы Воронежской зимней математической школы (Воронеж, 28 января - 2 февраля 2019г.). Воронеж: Воронежский государственный университет, 2019. C. 114-115.

66. Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. M.: Наука, 1988.

67. Бернштейн С. Н. Собрание сочинений: в 4 т. Т. 2. М.: Изд-во АН СССР, 1954.

68. Riesz M. A trigonometric interpolation formula and some inequalities for polynomials // Deutsche Mathematiker-Vereinigung. 1914. Vol. 23. Pp. 354-368.

69. Szego G. Über einen Satz des Herrn Serge Bernstein // Schriften Königsberg. 1928. Vol. 5. Pp. 59-70.

Публикации автора по теме диссертации

Статьи в изданиях, рекомендованных ВАК РФ для публикации основных результатов исследований

70. Васильченкова Д. Г., Голубев А. С., Звягин М. Ю. Реализация алгоритма амплитудно-фазового оператора для спектрального анализа периодических сигналов // Динамика сложных систем - XXI век, 2017. №4. С. 89-93.

71. Васильченкова Д. Г. Применение амплитудно-фазовых операторов для генерации цифровых изображений // Проектирование и технология электронных средств. 2020. №1. С. 43-48.

72. Васильченкова Д. Г., Данченко В. И. Выделение гармоник из тригонометрических многочленов амплитудно-фазовыми операторами // Алгебра и анализ. 2020. T. 32, №2. С. 21-44.

Перевод: Vasilchenkova D. G., Danchenko V. I. Extraction of harmonics from trigonometric polynomials by phase-amplitude operators // St. Petersburg Mathematical Journal. 2021. Vol. 32. Pp. 215-232.

73. Васильченкова Д. Г., Данченко В. И. Выделение нескольких гармоник из тригонометрических многочленов. Неравенства типа Фейера // Дифференциальные уравнения и динамические системы, Сборник статей, Труды МИАН. 2020. T. 308. C. 101-115.

Перевод: Vasilchenkova D. G., Danchenko V. I. Extraction of several harmonics from trigonometric polynomials. Fejer-type inequalities // Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics. 2020. Vol. 308. Pp. 92-106.

74. Данченко В. И., Чкалова Д. Г. Алгебраические аналоги неравенств Фей-ера // Проблемы математического анализа. 2021. Вып. 109. С. 65-70.

Перевод: Danchenko V. I., Chkalova D. G. Algebraic analogs of Fejer inequalities // Journal of Mathematical Sciences. 2021. Vol. 255. № 5. Pp. 601-608.

75. Danchenko V. I., Chkalova D. G. Bernstein-type estimates for the derivatives of trigonometric polynomials // Probl. Anal. Issues Anal. 2021. Vol. 10(28). № 3. Pp. 31-40.

Статьи в изданиях, индексируемых наукометрической базой Scopus

76. Vasilchenkova D. Landscape generation by means of amplitude and phase operators // International Russian Automation Conference (2019, September). IEEE. 2019. Pp. 1-5.

77. Chkalova D. G. Fast optical signal filtering by means of amplitude and phase operators // Journal of Physics: Conference Series. 2020. Vol. 1679. Pp. 1-4.

78. Chkalova D. G. Time series forecasting using amplitude-frequency analysis of STL components // Journal of Physics: Conference Series. 2021. Vol. 2094. Pp. 1-5.

Публикации в других изданиях

79. Данченко В. И., Васильченкова Д. Г. Выделение гармоник из тригонометрических многочленов амплитудно-фазовыми операторами // Комплексный анализ и его приложения: Материалы VIII Петрозаводской международной конференции (Петрозаводск, 3.07-9.07.2016). Петрозаводск: Издательство ПетрГУ, 2016. С. 93-95.

80. Данченко В. И., Васильченкова Д. Г. Фильтрация тригонометрических многочленов амплитудно-фазовыми операторами // Международная конференция по дифференциальным уравнениям и динамическим системам: Тезисы докладов (Суздаль, 8.07-12.07.2016). М.: Математический институт им. В. А. Стеклова РАН, 2016. C. 40-41.

81. Васильченкова Д. Г. Примеры фильтрации сигналов амплитудно-фазовыми операторами // XII международная научно-техническая конференция Перспективные технологии в средствах передачи информации: Материалы 12-й международной научно-технической конференции. Том II (Суздаль, 5.07-7.07.2017). Владимир: Аркаим, 2017. С. 115-117.

82. Васильченкова Д. Г., Голубев А. С., Звягин М. Ю. Реализация алгоритма амплитудно-фазового преобразования периодических сигналов // Международная конференция по математической теории управления и механике: Тезисы докладов (Суздаль, 7.07-11.07.2017). Владимир: Аркаим, 2017. С. 46-47.

83. Данченко В. И., Васильченкова Д. Г. Оценки гармоник тригонометрических многочленов // Международная конференция по математической теории управления и механике: Тезисы докладов (Суздаль, 7.0711.07.2017). Владимир: Аркаим, 2017. С. 48-49.

84. Данченко В. И., Васильченкова Д. Г. Неравенства типа Фейера для гармоник неотрицательных тригонометрических многочленов // Осенние математические чтения в Адыгее: Материалы II Международной конференции (Майкоп, 20.10-24.10.2017). Майкоп: Издательство АГУ, 2017. С. 55-60.

85. Данченко В. И., Васильченкова Д. Г. Многочастотные амплитудно-фазовые операторы // Международная конференция по дифференциальным

уравнениям и динамическим системам: Тезисы докладов (Суздаль, 6.0711.07.2018). Владимир: Аркаим, 2018. С. 51-52.

86. Данченко В. И., Данченко Д. Я., Васильченкова Д. Г. Точное выделение гармоник из тригонометрического многочлена, заданного на сетке // Международная конференция по дифференциальным уравнениям и динамическим системам: Тезисы докладов (Суздаль, 6.07-11.07.2018). Владимир: Аркаим, 2018. С. 53-54.

87. Васильченкова Д. Г. Генерация цифровых ландшафтов методом амплитудно-фазовых операторов // Перспективные технологии в средствах передачи информации: Материалы 13-й международной научно-технической конференции (Владимир, 3.07-5.07.2019). Владимир: Издательство ВлГУ, 2019. С. 125-127.

88. Васильченкова Д. Г. Фильтрация двумерных тригонометрических массивов методом амплитудно-фазовых операторов // Теория функций, ее приложения и смежные вопросы: Материалы Четырнадцатой международной Казанской научной школы-конференции (Казань, 7.09-12.09.2019). Казань: Издательство Казанского математического общества, Издательство Академии наук республики Татарстан, 2019. Т. 57. С. 82-84.

89. Данченко В. И., Чкалова Д. Г. Некоторые оценки бернштейновско-го типа // Актуальные проблемы прикладной математики, информатики и механики: сборник трудов Международной научной конференции (Воронеж, 7.12-9.12.2020). Воронеж: Издательство «Научно-исследовательские публикации», 2021. С. 844-846.

90. Чкалова Д. Г. Построение квадратурных формул с помощью амплитудно-фазовых операторов // Международная конференция по ал-

гебре, анализу и геометрии (Казань, 22.08-28.08.2021). Казань: Издательство Академии наук республики Татарстан, 2021. Т. 60. С. 332-334.