Приложения эквивариантных когомологий в вещественной алгебраической геометрии тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.06, доктор физико-математических наук Краснов, Вячеслав Алексеевич

• Краснов, Вячеслав Алексеевич
• доктор физико-математических наук
• 1998

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Краснов, Вячеслав Алексеевич

Введение.<.'.

Глава I. Эквивариантные когомологии вещественного топологического пространства.

§ 1. Когомологии Гротендика С- пучков.

§ 2. Z/2 - модули.

§ 3. Конструктивное определение эквивариантных когомологий вещественного топологического пространства.

§ 4. Канонические гомоморфизмы а,р,Т.

§ 5. Неравенства Гарнака-Тома

§ 6. СМ - пространства.

§ 7. СМ2 - пространства.

§ 8. Векторные расслоения на вещественном топологическом пространстве.

§ 9. Эквивариантный класс Тома.

§ 10. Отображения эквивариантного цикла.

Глава II. Эквивариантные когомологии вещественного алгебраического многообразия.

§ 1. Отображения циклов на вещественном алгебраическом многообразии.

§ 2. Специальные многообразия.

§ 3. Первая спектральная последовательность эквивариантных когомологий поверхности.

§ 4. Точные последовательности для эквивариантных когомологий поверхности.

§ 5. Вещественные алгебраические СМ(2) - поверхности.

Глава III. Топологические приложения эквивариантных когомологий.

§ 1. Соотношения между характеристическими классами.

§ 2. Дополнительные сравнения для М- многообразий.

§ 3. Дополнительные сравнения для (М-с1) - многообразий.

§ 4. Сравнение для двойного проективного пространства.

Глава IV. Геометрические приложения эквивариантных когомологий.

§ 1. Отображение Альбанезе.

§2. Группа Пикара и группа Нерона-Севери.

§ 3. Эквивариантные этальные когомологии.

§ 4. Когомологическая группа Брауэра комплексного алгебраического многообразия.

§ 5. Когомологическая группа Брауэра вещественного алгебраического многообразия.

§ 6. Группа Брауэра вещественной алгебраической поверхности.

§7. Алгебраическая группа когомологий.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Приложения эквивариантных когомологий в вещественной алгебраической геометрии»

Эквивариантные когомологии ' Нпс(Х ,А) топологического (7-пространства X? согласно конструкции Бореля ^ равны Н"(ЕОхсХ,А). Когда группа (? дискретная ? конструкция Бореля эквивалентна конструкции Гротендика, согласно которой Нп (X; С, А) = 11пГс(А) (см. [ 6, гл. V] ). В случае дискретной группы О конструкция Гротендика для алгебраической геометрии оказывается более полезной, так как позволяет рассматривать эквивариантные когомологии с коэффициентами в произвольном О- пучке, а также может быть расширена до определения эквивариантных когомологий для разных обобщённых топологий алгебраического многообразия, например, можно рассматривать эквивариантные этальные когомологии. Если X вещественное алгебраическое многообразие, то на множестве комплексных точек X(С) действует группа Галуа 0=0(С/К), которая является группой второго порядка. Это действие задаётся инволюцией комплексного сопряжения £7 Х(С) -^Х(С). Тогда можно, в частности, рассмотреть следующие группы эквивариантных когомологий: Нп (Х(С);С,¥г), Нп (Х(С);в, Z±Л Нп (Х(С);в,б*), где 2Г+ - (7 - модуль целых чисел, на котором инволюция g действует умножением на ±1 , б*- пучок ростков голоморфных обратимых функций, на которых инволюция действует по правилу g(h) = ho gl черта означает комплексное сопряжение.

Настоящий труд излагает достаточно полно результаты моих статей [11-25], в которых применялись указанные выше эквивариантные когомологии для решения задач вещественной алгебраической геометрии. Это сочинение состоит из четырёх глав. В первой (вводной) главе мы занимаемся топологическими пространствами с инволюцией, которые называем вещественными топологическими пространствами. Для них рассмотрены следующие общие вопросы: Галуа-максимальность вещественного топологического пространства, характеристические классы векторных расслоений на вещественном топологическом пространстве, отображения цикла на вещественном топологическом пространстве. Вторая глава посвящена эквивариантным когомологиям вещественного алгебраического многообразия. Здесь мы доказываем необходимые и достаточные условия для Галуа - максимальности вещественного алгебраического многообразия. Изучаем отображения алгебраических циклов. Вычисляем первую спектральную последовательность для эквивариантных когомологий поверхности. Строим точные последовательности, помогающие вычислять эквивариантные когомологии поверхности. Главы III, IV посвящены применениям эквивариантных когомологий. Здесь мы находим соотношения между характеристическими классами вещественного алгебраического многообразия. Изучаем отображение Альбанезе для вещественного алгебраического многообразия. Вычисляем группы Пикара, Нерона-Севери и Брауэра, а также алгебраическую группу когомологий.

Сформулируем более подробно некоторые результаты, изложенные в данном труде. Далее X - неособое проективное вещественное алгебраическое многообразие, рассматриваемое как схема над R .

1 °. Галуа- максимальность. Всегда выполняются неравенства (см. [15]): dim Я* (X(R),F2) < dim Я* (X(C),F2) , (0-1) dim Я* (X(R),F2) < dim Я1 (G, Я* (X(C),F2)), (0-2) dim Я* (X(R),F2) < dim Я1 (G. H* (X(C),Z)) + (0-3) dim H2 ( G, H* (X(C),Z)). Многообразие X называется М- многообразием, если неравенство (0-1) становится равенством. Такое определение дано в [33], а в [15] предложено аналогичное определение. Многообразие X называется GM- многообразием, если неравенство (0-2) становится равенством. Заметим, что X является М- многообразием тогда и только тогда, когда X является GM- многообразием и инволюция g*: Я* (X(C),F2) —» Н* (X(C),F2) тривиальна. Продолжая аналогию, мы называем X GMZ - многообразием, если неравенство

0-3) становится равенством. В случае, когда группа Н* (X(C),Z) свободная, правые части неравенств (0-2), (0-3) совпадают, поэтому ' ^ справедливо утверждение. Если группа Я (X(C),Z)) свободная, то X является GMZ- многообразием тогда и только тогда, когда X-GM- многообразие. В общем случае это утверждение неверно, но имеет место

Теорема 01. GM- многообразие X является тогда и только тогда GMZ-многообразием, когда гомоморфизм Бокштейна

S:Hq-l(X(C),F2)G->2Hq(X(C),Z)G G эпиморфен при каждом q , где 2Hq(X(C),Z) подгруппа Hq(X(C),Z) , состоящая из элементов второго порядка.

Следствие 02. Каждое М- многообразие является GMZ- многообразием.

Общего критерия для того, чтобы X было GM- многообразием, по-видимому, не существует. Мы сформулируем сейчас такой критерий для "специальных многообразий", которые определяются следующим образом. Пусть т = dim X и т сн<~2(Х)= е снч(х), н<т(х(с))= е Hq(X(C)j2), т а<т q<2 где CHq (X) группа Чжоу циклов коразмерности q , тогда определено отображение цикла т clc:CH<2(XН<т(Х(С)). (0-4)

Будем называть многообразие X специальным, если отображение цикла (0-4) эпиморфно. Для такого многообразия определен канонический гомоморфизм т у: Н<т(Х (С)) Н 2 (X (R) ), (0-5) где т

H^(X(R)) - е Нч(Х(R), F2). т q<2

Этот гомоморфизм определяется следующим образом. Пусть z eH2q(X(C)),Z eCHq(X) [ч такие элементы, что clc (Z)

-z, тогда доказывается, что класс когомологий с/R (Z) е Hq (Х(R) ) зависит только от класса когомологий zeH2q(X( С)), поэтому полагаем y(z) = clR(Z). Оказывается, что справедлива

Теорема 03. Если Х- специальное многообразие, то X является GM- многообразием тогда и только тогда, когда отображение (0-5) мономорфно.

Примером специального многообразия является неособое полное пересечение, для него утверждение теоремы 03 формулируется следующим образом.

Следствие 04. Если X неособое полное пересечение, eH1(X(R)) класс когомологий, определённый гиперплоским сечением, то X является GM- многообразием тогда и только тогда, когда & 0, где

Г™ 1 m - odd, т- 1

J 2 т - 2

2 т - even.

Далее мы хотим привести критерий Галуа-максимальности поверхности, но сначала приведём необходимое для этого определение. Если в е Hl(X(C),F2) ненулевой элемент, то он задаёт двухлистное неразветлённое накрытие 7i:We —>• Х(С). При Х(Я)Ф 0 вещественная структура g: Х(С) —» Х(С) поднимается до вещественной структуры на We тогда и только тогда, когда

1 g * в е Н (Х(C),F2) Итак, пусть g(0) = 9, тогда существуют две вещественные структуры , i =1,2, накрывающие вещественную структуру g: Х(С) —» Х(С). Положим

X(R)(^7L(wf}), тогда множество вещественных точек X(R) разбивается на две непересекающиеся части X(R)($\ X(R)(q\ каждая из которых состоит из целых компонент связности множества X(R), причём 1 одна из частей может быть пустой. Элемент в е Hl(X(C),F2) u будем называть неразделяющим Х(R), если одна из частей X(R)(^ пустая.

Теорема 05. Пусть Х- поверхность и X(R)^0. Тогда X является GM- поверхностью если и только, если каждый ненулевой

1 С элемент веН (Х(С),F2) , неразделяющий X(R) на части и обращающийся в нуль при ограничении на X(R), принадлежит подгруппе (\ + g*)Hl(X(C),F2).

Теорема 06. Пусть X такая поверхность, что X(R)^ 0, группа Нх(Х(C),Z) - 2-элементарная, т.е. является F2 - пространством, и инволюция g*: Hl(X(C),Z) —> Hl(X(C),Z) тривиальна. Тогда X является GMZ- поверхностью если и только, если разделяющие Х( R) элементы из Hl(X(C),F2) удовлетворяют условию

Q /x(R) ^ 0; а неразделяющие удовлетворяют условию в1 /x(R) ^ 0 .

2°. Отображения цикла. Кроме отображений цикла с1с, с1 к имеется более " тонкое" отображение с!:СНЧ(Х)-^ Н2ч(Х(С);в,¥2). Эти три отображения цикла с1с, с1 к, с1 связаны между собой. Чтобы описать эти связи рассмотрим два канонических гомоморфизма а : Н2\(Х(С);С,12) ^ Н2*(Х(С),Т2).

Р: Н1ч(Х(С);0,¥2) -^Н1е}(Х(Я);С^2). Первый из них - это гомоморфизм забывания вещественной структуры, а второй - гомоморфизм ограничения. Заметим, что

2 Ч

Н2ч(Х(Я);С,Р2) = е Нк(Х(Я),Г2). к = О

Теорема 07. Выполняются равенства аос1-с1с, (5 о с1 = £<7 ° с1К, где Бц - полный квадрат Стинрода.

Следствие 08. Если Х- СМ- многообразие, у&СНч(Х) такой элемент, что с1 К (у) = 0, то

30. Соотношения между характеристическими классами. С помощью следствия 08 доказываются следующие предложения.

Предложение 09. Если Х- СМ- многообразие, то из равенства м> (Х(Я)) = 0 следует соотношение м^ (Х(С)) е(1 + ¿)Н2«(Х(С),¥2).

Предложение 010. Если Х- СМ- многообразие, то из равенства V (Х(Я)) = 0 следует соотношение г ¿усу ; е (i + / )н24 (х( с),р2).

Предложение 011. Пусть Нт'1(Х( с),г2)=0, тогда из соотношения [Х(Я)]* <е(\ +)Нт(Х(С),¥2) следуют равенства пт1(Х(Я)) = пт(Х(Я))=0.

Предложение 012. Пусть Х- специальное многообразие размерности т=2к, тогда из соотношения

Х(Я)]т <Е(\ + %)Нт(Х(С),¥2) следует равенство Ук (Х(Я)) -0.

Предложение 013. Пусть X - М- многообразие размерности т-2к, тогда из равенства vk(X(R))=0 следуют равенства vJX(C))=0, [X(R)]*=0.

С помощью теоремы 07 доказывается также следующая Теорема 014. Пусть Х- специальное многообразие, Xx,.,Xs-компоненты связности множества X(R), тогда среди классов гомологий ],.,[Xs] е Нт(Х( C),F2) возможно лишь одно соотношение, а именно, [Х(R)]=0.

4°. Дополнительные сравнения. С помощью предложения 013 доказывается следующее

Предложение 015. Пусть Х- М- многообразие размерности т=2к и vk (Х( R)) =0, тогда выполняется сравнение для эйлеровой характеристики % (X(R)) =0 (mod 8). Для поверхности справедливо следующее

Предложение 016. Пусть X - М- поверхность и каждая компонента множества Х(R) ориентируемая, тогда выполняется сравнение % (X(R))=0 (mod 16). А также имеет место

Теорема 016. Пусть Х- ориентируемая М- поверхность и эйлерова характеристика каждой компоненты связности XV.,XS множества X(R) сравнима с нулём по mod 2й, ¡л> 2, тогда выполняется сравнение %(X(R))=0 (mod 2И+3 ).

Сформулируем ещё сравнение для двойного проективного пространства. Пусть F(v0,.,vm) (т=2к) однородный многочлен с вещественными коэффициентами степени 2d , такой, что гиперповерхность S , заданная уравнением F(v) =0, неособая. Через

Рт (R) + обозначим часть Рт (R), заданную неравенством

F(v) > 0. Неравенство F(v)< 0 определяет множество Рт (R)

Через обозначим классы гомологий из Hq(Рт (R) ±,S(R);F2), заданные относительными циклами Pq(R)f]Pm (R) ±, тогда проверяется, что один из классов гомологий ¡ж равен нулю, а

2 г. другой нет. Будем считать, что Ф 0, заменив в противном случае r

F(v) на -F(v), тогда справедлива

Теорема 017. Пусть S является GM- многообразием и класс гомологий [-SY-fij] равен нулю в S(&), тогда выполняется сравнение %(Рт (R) J s (kd)2 (mod 4).

5°. Отображение Альбанезе. Предположим, что • X(R)^ 0 и зафиксируем точку x0eX(R), тогда определено отображение Альбанезе ¡л:Х —» А. Множество вещественных точек многообразия Альбанезе A(R) представляет собой объединение вещественных торов, число которых равно 2d, где d = dim H1 (G, H1 (X (С), Z)).

Теорема 018. Если X является GMZ- многообразием, то множество ju(X (R) порождает группу A(R).

Наиболее полно изучен случай кривой, тогда отображение Альбанезе совпадает с отображением Абеля-Якоби ц: X —>J.

Теорема 019. Пусть ¡л: X J - отображение Абеля-Якоби, тогда справедливы утверждения :

1) число компонент связности множества J(R) равно 251,где s- число компонент X(R);

2) разные компоненты X(R) отображаются в разные компоненты J(R) ;

3) если Хк компоненты X(R), к = 1,., s, то класс гомологий равен нулю тогда и только тогда, когда s=l и X(R) разбивает Х(С) на части;

4) множество ju(Х(R)) порождает группу J(R).

60. Группа Брауэра. Имеются две группы Брауэра произвольной схемы X. Первая из них Вг(Х) - группа классов подобия алгебр Адзумаи над X, а вторая Br'(X) = Het(X;Gт ) когомологическая группа Брауэра. Всегда имеется включение Вг(Х) аВг'(Х'), которое может быть несюрьективным, но оно сюрьективно, если dim Х< 1, а если X регулярно, то при dim Х< 2; до конца вопрос о сюрьективности включения Br(X) czBr'(X) не исследован ( см. [10] ). Если схема X имеет конечное число компонент связности, то Вг(Х) является группой кручения, а если X регулярная схема с конечным числом компонент связности, то Вг'(Х) также является группой кручения. Эти и другие факты о группе Брауэра более подробно можно посмотреть в [7], [10]. Перейдём к формулировке наших результатов о группе Брауэра вещественного алгебраического многообразия.

Теорема020. Имеет место канонический изоморфизм

Br'(X) = H2(X(C);G,6*)tors.

Чтобы сформулировать следующую теорему, введём дополнительные обозначения. Коядро отображения цикла cl: Div(X)—> Н2 (Х(С);G,Z) л обозначается через Н^ (Х(C);G,Z) и называется трансцендентной группой когомологий. Она является свободной группой, ранг её обозначим через Ро(Х) и назовём числом Лефшеца (см. аналогичное определение для комплексного многообразия в [2] ). Теорема 021. Существует ( неканонический ) изоморфизм

Br'(X) = (Q/Z)Po(X) ®H3(X(C);G,Z)tors.

Приведём ещё две теоремы о группе Брауэра поверхности; заметим, что для неё Вг'(Х) = Вг(Х).

Теорема 022. Пусть X - поверхность, Х(Я)Ф0, тогда выполняется равенство dim 2Br(X) = p0(X)-q(X) + kl(Y) + 2s-\, где q(X)~ иррегулярность X, Y-X(C)/G и kx(Y) равно размерности ядра гомоморфизма ограничения Hl (Y,F2) Я1 (X(R),F2), s- число компонент связности множеста Х(R).

Теорема 023. Пусть X поверхность такая, что группа Hl(X(C),Z) - 2-элементарная, инволюция g*\ Hx(X(C),Z)—> Нх (Х(C),Z) тривиальна и X(R) Ф 0, тогда вг(х) = (q/zjPo(X) е (z/2)a е(z/4)b, где а = 2s +2kl(Y)- к1(Х(С))- 1, Ъ = к1(Х(С))- kl(Y), kl(-) = dim Ker [ Я1 (- ,F2) ^ Я1 (X(R) ,F2)\ .

7°. Алгебраическая группа когомологий. Образ отображения цикла clR : Div X Я1 (X(R) ,F2 ) обозначим через Н] (X(R)) и назовём алгебраической группой когомологий, размерность её обозначим через hla(X(R)).

Теорема 024. Пусть X - поверхность, Х(R)&0, hl(-) = dim Hl(— ,F2 ), тогда выполняется неравенство hla(X(R))>hl(X(R))- hl(X(C))+q(X)-p0(X) ,

-11 которое становится равенством для М-поверхности. Рассмотрим теперь гомоморфизм нх(Х(ю,г) нх(Х(С),г)ц^*)н1 (Х(С),г), индуцированный вложением Х(Я) с Х(С). Так как н1(Х(я),г)к\^)н1(Х(К),1) = нх(Х(К),¥г), то он индуцирует гомоморфизм нх(Х(11),р2) -*н1(Х(С),г)1(\^*)н1(Х(С),2), размерность его ядра обозначим через 1 (X), тогда справедлива

Теорема 025. Пусть X поверхность, Х(Я)Ф0, тогда выполняются неравенства да - р,(Х)<}г1(х(11))< ^ да, причём для М- поверхности левое неравенство становится равенством.

На этом мы заканчиваем формулировку главных результатов, отметим только, что в основном тексте имеются и другие утверждения, имеющие теоретическое значение. Заметим ещё, что во введении мы не приводили ссылки на литературу, имеющую отношение к сформулированным здесь теоремам, это делается в основной части, но мы должны указать здесь, что приложения эквивариантных когомологий в вещественной алгебраической геометрии имеются также в работах [9], [32], [8], [26], [40].

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Краснов, Вячеслав Алексеевич, 1998 год

1. Арнольд В.И. О расположении овалов вещественных плоских алгебраических кривых, инволюциях четырёхмерных гладких многообразий и арифметике целочисленных квадратичных форм // Функц.анализ и его приложения. 1971. Т.6, вып.4. С. 1-9.

2. Бальдассари М. Алгебраические многообразия. М., "Ил",1961.

3. Бредон Г.Э. Теория пучков. М.,"Наука", 1988.

4. Виро О.Я. Успехи в топологии вещественных алгебраических многообразий за последние шесть лет // УМН, 1986. т. 41, вып. 3. С. 45-67.

5. Гриффите Ф, Харрис Дж. Принципы алгебраической геометрии. М.,"Мир", 1982.

6. Гротендик А. О некоторых вопросах гомологической алгебры. М.,"Ил", 1967.

7. Grothendick A. Le groupe de Brauer // Dix Exposes sur la Cohomologie des Schemas, North Holland, Amsterdam. 1968. P.46-188.

8. Degtyarev A. and Kharlamov V. Distribution of the components of real Enriques surface (preprint).

9. Калинин И.О. Когомологические характеристики вещественных проективных гиперповерхностей // Алгебра и анализ. 1991. Т. 3, вып. 2. С. 91-110.

10. Картан А. и Эйленберг С. Гомологическая алгебра. М.,"Ил", 1960.

11. Краснов В.А. Ориентируемость вещественных алгебраических многообразий // Конструктивная алгебраическая геометрия. 1981, вып. 194. Ярославль. С. 46-57.

12. Краснов В.А. Отображение Альбанезе для вещественных алгебраических многообразий // Матем. заметки. 1982. т. 32, вып 3. С. 365-374.

13. Краснов В.А. Неравенства Гарнака-Тома для отображений вещественных алгебраических многообразий // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1983. т.47, № 2. С. 268-297.

14. Краснов В.А. Отображение Альбанезе для GMZ- многообразий //Матем. заметки. 1984. т. 35, вып. 5. С. 739-747.

15. Краснов В.А. О классах гомологий, определенных вещественными точками вещественного алгебраического многообразия // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1991. т.55, № 2. С. 282-302.

16. Краснов В.А. Характеристические классы векторных расслоений на вещественном алгебраическом многообразии // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1991. т.55, № 4. С. 716-746.

17. Краснов В.А. Алгебраические циклы на вещественном алгебраическом GM-многообразии и их приложения // Изв. РАН, Сер. матем. 1993. т.57, № 4. С. 153-173.

18. Краснов В.А. О классах когомологий, определенных вещественными точками вещественной алгебраической GM-поверхности // Изв. РАН. Сер. матем. 1993. т.57, № 5. С. 210-221.

19. Краснов В.А. Об эквивариантных когомологиях Гротенди-ка вещественного алгебраического многообразия и их приложениях // Изв. РАН. Сер. матем. 1994. т. 58, № 3. С 36-52.

20. Краснов В.А. Когомологическая группа Брауэра вещественного алгебраического многообразия // Изв. РАН. Сер. матем. 1996. т. 60. №5. С. 57-88.

21. Краснов В.А. Эквивариантные когомологии вещественной алгебраичекой поверхности и их приложения // Изв. РАН. Сер. матем. 1996. т. 60. № 6. С. 101-126.

22. Краснов В.А. О группе Брауэра вещественной алгебраической поверхности // Матем. заметки. 1996. т. 60, вып. 6. С. 935-938.

23. Краснов В.А. Об ориентируемых вещественных алгебраических М-поверхностях // Матем. заметки (в печати).

24. Краснов В.А. Вещественные алгебраические GM- многообразия // Изв. РАН. Сер. матем.(в печати).

25. Краснов В.А. Вещественные алгебраические GMZ- поверхности // Изв. РАН. Сер. матем. (в печати).

26. Mangolte F. and van Hamel J. Algebraic cycles and topology of real Enriques surfaces ( preprint ).

27. Manin Y.I. Le groupe de Brauer- Grothendieck en géometrie diophantienne //Actes du Congrès Intern. Math. Nice (1970). T.l. P. 401411. Paris: Gantheer Villars. 1971.

28. Милн Дж. Этальные когомологии. M.,"Мир", 1983.

29. Никулин B.B. Целочисленные симметрические билинейные формы и некоторые их геометрические приложения // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1978. т. 43, № 1. С. 111-177.

30. Никулин В.В. Инволюции целочисленных квадратичных форм и их приложения к вещественной алгебраической геометрии // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1993. т. 47, № 1. С. 109-188.

31. Рохлин В.А. Сравнения no mod 16 в шестнадцатой проблеме Гильберта // Функц. анализ и его приложения. 1972. т. 6, вып. 4. С. 71-75; 1973. т. 7, вып. 2. С. 91-92.

32. Sommesse A.J. Real algebraic spaces // Annali della Scuota Normale Superiore di Pisa. 1977. v. 4, № 4. P. 599-612.

33. Thorn R. Sur Г homologie des variates algebriques reeles // Different, and combinator. top. Pinceton N.I. Univ. Press. 1965. P. 255265.

34. Харламов B.M. Новые сравнения для эйлеровой характеристики вещественных алгебраических многообразий // Функц. анализ и его приложения. 1973. т. 7, вып. 2. С. 74-78.

35. Харламов В.М. Дополнительные сравнения для эйлеровой характеристики четномерных вещественных алгебраических многообразий // Функц. анализ и его приложения. 1975. т. 9, вып. 2. С. 5160.

36. Харламов В.М. Топологические типы неособых поверхностей степени 4 в RP И Функц. анализ и его приложения. 1976. т. 10, вып. 4. С. 55-68.

37. Шафаревич И.Р. Основы алгебраической геометрии. М., "Наука", 1972.40. van Hamel J. Equiariant Borel Moore homology and the fundamental class of manifolds with a Z/p - action (preprint).