Прикладной статистический анализ точечных процессов и его применение к задачам сейсмической миграции тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 04.00.22, кандидат физико-математических наук Заляпин, Илья Владимирович

• Заляпин, Илья Владимирович
• кандидат физико-математических наук
• 1999

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Заляпин, Илья Владимирович

Содержание

Введение

История вопроса

Опыт статистического анализа миграции

Предлагаемая методика исследования

Обзор используемых статистических методов

Спектральный анализ

Процессы, наблюдаемые на нерегулярных решетках

Бутстреп-метод

1 Точечные процессы и поля

1.1 Основные понятия и определения

1.1.1 Точечный процесс. Определение

1.1.2 Точечный процесс. Моменты

1.1.3 Точечный процесс. Стационарность

1.1.4 Стационарный точечный процесс. Спектр Бартлета

1.1.5 Точечное поле

1.2 Математические модели миграции

1.2.1 Модель кластерного поля

1.2.2 Поле Кокса

1.2.3 Модель в спектральной области

1.3 Оценивание спектра Бартлета точечного поля

1.3.1 Периодограмма точечного поля

1.3.2 Асимптотическое распределение значений периодограммы

1.3.3 Сглаживание периодограммы

1.3.4 Доверительный интервал для спектра

1.3.5 Количество степеней свободы спектральной оценки

1.4 Оценивание непрерывного процесса, наблюдаемого на нерегулярной решетке

1.4.1 Ковариационная функция и спектр

1.4.2 Оценивание ковариационной функции по конечной реализации

1.4.3 Оценки и их свойства

1.4.4 Пример

1.4.5 Доказательство

1.5 Оценка коэффициента вариации длин интервалов между последовательными событиями точечного процесса

1.5.1 Моменты оценки коэффициента вариации

1.5.2 Асимптотическое поведение оценки

1.5.3 Альтернативная оценка степени группируемости

1.5.4 Распределение оценки коэффициента вариации

1.5.5 Доказательства

1.6 Оценка параметров поля Кокса с управляющим процессом в виде Га-уссовской интенсивности

1.7 Выводы

2 Алгоритм выявления миграций сейсмического потока

2.1 Подготовка данных

2.2 Алгоритм выявления миграций

2.3 Выбор нулевой гипотезы

2.4 Модифицированный бутстреп-метод

2.5 Критерий проверки гипотезы об отсутствии миграции

2.6 Определение параметров алгоритма

2.7 Практические замечания о выборе значений параметров

2.8 Определение скорости и направления миграции

2.9 Выводы

3 Применение алгоритма к реальному каталогу

3.1 Преобразование каталога землетрясений в точечное поле

3.2 Выбор параметров алгоритма

3.3 Центральная Америка

3.3.1 Миграция в мелком масштабе

3.3.2 Миграция в большом масштабе

3.4 Южная Америка

3.4.1 Временной интервал 1900-1996гг

3.4.2 Временной интервал 1964-1996г

3.5 Афтершоковые серии

3.5.1 Выбор параметров алгоритма

3.5.2 Результаты анализа

3.6 Выводы

Заключение

Литература

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Прикладной статистический анализ точечных процессов и его применение к задачам сейсмической миграции»

Введение

К настоящему времени накоплен обширный материал, позволяющий изучать процессы, связанные с изменением основных характеристик различных геофизических полей, происходящим в больших временных масштабах. Важность исследования подобных динамических проблем оказывается ничуть не меньше важности детального изучения статической структуры Земли. Прежде всего это относится к изучению деформационных процессов в литосфере, которые тесно связаны с широким кругом геофизических явлений, включая сейсмичность. Всестороннее исследование протранственно-временных особенностей сейсмического потока, характеризуемого масштабами десятков лет и с характерным пространственным масштабом порядка сотен километров, таким образом, несомненно является актуальным. Теоретический аспект изучения подобных явления состоит в получении новой информации о строении Земли и о процессах, протекающих в Земной коре. Практический аспект связан, прежде всего, с проблемой прогноза землетрясений.

Одним из основных проявлений пространственно-временных вариаций сейсмического потока является эффект миграции землетрясений. Задачей данной работы является создание теоретической базы и разработка прикладных статистических методов обнаружения миграционных эффектов сейсмического потока.

История вопроса.

Пространственно-временная эволюция сейсмичности неоднократно обсуждалась и продолжает обсуждаться в литературе [29, 72, 75, 13]. Наиболее часто при этом речь идет о так называемой миграции землетрясений - перемещении эпицентров землетрясений вдоль заданного направления с некоторой характерной скоростью. Первое упоминание о миграции землетрясений было сделано, по-видимому, Ч.Рихтером [29], описавшим перемещение эпицентров сильных (М от 7.1 до 7.6) событий на Запад

вдоль Северо-Анатолийского разлома, последовавшее за сильнейшим (М=8.0) Эрзу-румским землетрясением 1939 года.

Идея о возможности направленного перемещения событий в пространстве была нова и привлекательна. Она побудила ряд исследователей заняться тщательным исследованием такой возможности. Следует отметить, что никому так и не удалось привести пример миграции, столь же яркий, как пример Ч.Рихтера, но, несмотря на это, целенаправленное изучение существующих каталогов привело к пониманию того факта, что миграционные проявления - реальность и их изучение является важной геофизической задачей.

Существующие в настоящее время работы по изучению миграционных свойств сейсмического потока можно условно разделить на две категории. К первой относятся работы, в которых возможность возникновения миграции проверяется в локальной сейсмоактивной зоне с учетом геолого-тектонического строения исследуемой зоны, механизмов очагов и ряда других геолого-геофизических параметров [12, 3].

Вторая категория характеризуется поиском миграций в крупном масштабе. При этом основным показателем является само пространственно-временное распределение эпицентров землетрясений, а различные геолого-тектонические соображения отходят на второй план [10, 75, 83].

Замечательным является тот факт, что сопоставление результатов работ из обеих упомянутых категорий приводит к общим выводам. И в тех и в других работах скорости обнаруженных миграций колеблются в интервале от километров в год до сотен километров в год. Это дает основание считать, что существуют некоторые объективные факторы, порождающие направленное перемещение сейсмической активности с упомянутыми скоростями.

Большинство работ по исследованию миграции землетрясений связано с изучением визуально выделеных малочисленных групп событий. Статистическая проверка полученных результатов при этом затруднена, и это связано в первую очередь с отсутствием развитого статистического аппарата, направленного на решение подобных задач. Кроме того, объемы изучаемых выборок настолько малы, что по ним не представляется возможным сделать сколко нибудь надежные выводы о наличии или отсутствии миграции. Как правило, в таких работах рассматривается небольшой

пространственно-временной регион.

Сущетвует ряд работ, в которых рассматриваются большие временные и пространственные интервалы сейсмической активности. Среди таких работ в первую очередь надо отметить работы К.Моги (К.Мо§1) [72, 74, 75]. В них изучаются закономерности пространственно-временной эволюции сильной сейсмичности, сосредоточенной вдоль основных сейсмоактивных поясов Земли. В работе [75], выбирая подходящие пространственно-временные и магнитудные пороги, автор строит распределения событий на плоскости

фхТ,

где ф - широта эпицентра события, Т - время. Результаты, полученные для западной части Тихоокеанского сейсмического пояса, оказываются настолько выразительными, что, может, и не требуют строгого статистического подтверждения. Однако, яркие примеры очевидных миграций встречаются нечасто, и в большинстве работ по миграции вывод о ее наличии скорее надо приписать интуиции исследователя, чем формальному критерию.

Однозначное определение миграции к настоящему времени еще не сформулировано, и каждый исследователь определяет это понятие по-своему. Конкретный вид определения миграции каждый раз оказывается зависящим от методов исследования, применяемых тем или иным автором, и это затрудняет попытки статистически проверить результаты анализа. Существуют работы, где фиксируются цепочки единичных событий [29, 62, 56, 69, 42, 63]. В других работах рассматривается эволюция облаков эпицентров [75, 77, 64]. Третьи связаны с изучением миграций в афтершоко-вых сериях [1, 59]. Временные интервалы возможной миграции колеблются от дней до десятков лет, а пространственные - от километров до тысяч километров. Объединяет столь различные подходы лишь интуитивное представление авторов о том, что на самом деле является миграцией и, как уже упоминалось, сходство результатов таких исследований.

Еще одним характерным свойством существующих на данный момент работ по миграции сейсмичности являются попытки определить точную скорость обнаруженного перемещения событий. Значения скоростей, данные с точностью до десятых долей от абсолютного значения, приводятся даже для миграционных цепочек из не-

скольких землетрясений [62, 28]. Однако нет ни одного примера, подтверждающего, что события могут перемещаться длительное время с постоянной скоростью. Наоборот, анализ известных примеров миграции показывает, что скорее надо говорить о некотором итервале скоростей либо о характерной скорости миграции, определить которую можно лишь достаточно грубо. Изменяться может не только скорость, но и направление распространения миграционной волны в одной области иследования [83, 22, 23, 26].

Вообще, на настоящий момент, по-видимому, не найдено ни одного параметра сейсмической миграции, который оставался бы постоянным для всех известных примеров. Неизвестны и взаимосвязи каких-либо параметров миграции, показавшие свою устойчивость для значительного количества примеров [2].

Все сказанное заставляет обратить самое пристальное внимание на проблему статистического изучения миграционных проявлений сейсмичности.

Опыт статистического анализа миграции.

Первая попытка широкомасштабного статистического исследования миграционных свойств сейсмического потока была предпринята в работах М.Г.Шнирмана, Е.В.Вилькович и соавторов [7, 8, 9, 10]. Новизна предложенного подхода заключалась в том, что наряду с выявлением миграционных волн проводилась также проверка их статистической значимости. На настоящий момент развитая М.Г.Шнирманом и Е.В.Вилькович методика статистической проверки существования миграционных волн является одним из немногих примеров формального статистического анализа пространственно-временной эволюции сейсмичности.

В приведенных выше работах были найдены миграционные цепочки землетрясений в различных регионах мира с уровнем значимости не меньше 0.9. При этом под миграцией понималось перемещение эпицентров событий вдоль некоторой линии на поверхности Земли, происходящее с постоянной скоростью. Была определена статистика £(■«), оценивающая интенсивность миграции с заданной постоянной скоростью V и построен формальный критерий проверки значимости миграционных волн. Целью построения такого критерия была оценка вероятнояти, с которой статистика Е примет значение Ео, полученное для реального каталога, будучи вычисленной по событиям поля, заведомо не обладающего миграционными свойствами. При та-

ком подходе, который представлется достаточно естественным в подобных задачах, критическим является вопрос выбора вида немиграционного поля. В упомянутых работах немиграционное поле получалось случайным перемешиванием времен событий реального каталога с сохранением их пространственных координат. Выбранный вид немиграционного поля делает малоэффективной оценку значимости миграции в регионах, где сейсмичность имеет неоднородности временного распределения.

Особенностью описанного подхода является то, что скорость возможной миграции предполагается фиксированной и неизменной на всем рассматриваемом временном интервале вдоль заданной пространственной линии, что не позволяет выявить миграции с переменными скоростями или случаи изменения направления этой миграции. Кроме того, необходим предварительный выбор локального региона для анализа. Как такой субъективный выбор может сказаться на значимости полученных утверждений - предугадать трудно. Эта проблема была отмечена самими авторами, и о ней необходимо помнить при интерпретации результатов анализа.

Итак, описанный подход оказывается достаточно эффективным при исследовании миграции, однако он связан со следующими ограничениями.

Во-первых, скорость возможной миграции предполагается фиксированной и не меняющейся во времени.

Во-вторых, необходим предварительный субъективный выбор локального региона исследования.

Развиваемые в предлагаемой работе методы статистического анализа миграции направлены на то, чтобы преодолеть эти трудности. Это представляется возможным сделать, используя развитый аппарат теории точечных полей [54].

Вопросы, связанные с зависимостью координат многомерных (в первую очередь двумерных) точечных полей к настоящему времени достаточно хорошо исследованы как теоретически [54], так и с точки зрения практических приложений [94, 41, 65]. Общий обзор методов обработки пространственных взаимосвязей реальных данных может быть найден в [93].

Аппарат теории точечных полей применялся для поиска пространственно-временных связей землетрясений Д.Вере-Джонсом (D.Vere-Jones), Я.Я.Каганом (Y.Y.Kagan), Л.Кноповым (L.Knopoff), И.Огатой (Y.Ogata). Теоретические вопросы такого подхо-

да разработаны детально Д.Вере-Джонсом [54, 94, 95].

Предлагаемая методика исследования.

Предлагаемая методика анализа миграций состоит в следующем.

События исследуемого региона будут представлены в виде двумерного точечного поля. Процедура соответствующего преобразования подробно изложена в работе [8].

Будет дано определение миграции в терминах точечного поля. Такое определение должно быть достаточно общим, чтобы охватывать широкий круг миграционных ситуаций. С другой стороны, необходимо, чтобы условия, сформулированные в определении, могли быть эффективно проверены по конечной выборке небольшого объема.

Будет найдена некоторая статистика 5, реагирующая на образование точками поля миграционных областей. Эта статистика не должна зависеть от масштаба зоны локальной миграции, чтобы можно было исследовать регионы произвольного пространственно-временного объема.

Будет выбрана модель поля, заведомо не обладающего миграционными свойствами. Обратим внимание на то, что миграция является особенностью пространственно-временного распределения событий поля, но, тем не менее, не должна зависеть от каждого из маргинальных распределений в отдельности. Для того, чтобы особенности пространственного и временного распределений событий поля, соответствующего реальному каталогу, не влияли на эффективность анализа, немиграционная модель должна сохранять такие особенности.

Будет вычислено значение я статистики $ для поля, соответствующего событиям реального каталога. Распределение Рд значений статистики при отсутствии миграции вычисляется по модели немиграционного поля.

Вычисляется вероятность (1 — р) того, что случайное значение б получено в выборке из распределения ^. Чем меньше вероятность наблюдать значение в выборке из распределения ^, тем с большей уверенностью мы можем говорить о наличии миграции в анализируемом поле.

Как уже упоминалось, при разработке методики выявления миграций за основу будет взят аппарат теории точечных полей.

В первую очередь необходимо определить, какие характеристики точечного поля

наиболее тесно связаны с проявлением его миграционных свойств, так как такие характеристики необходимы при формулировке эффективного определения миграции. Для ответа на этот вопрос точечное поле будет изучено в спектральной и во временной области.

Будут решены некоторые задачи, связанные с прикладным анализом точечных полей. Некоторые из них имеют непосредственное отношение к алгоритму выявления миграционных свойств сейсмического потока. Другие помогают лучше понять свойства поля, связанные с миграцией.

Обзор используемых статистичеких методов.

Приведем краткий обзор методов, которые применялись в данной работе при анализе миграционных свойств точечных полей.

Спектральный анализ.

Начало гармоническому анализу было положено Жаном Батистом Жозефом Фурье (1768-1830) в 1822 году. В работе "Аналитическая теория тепла", посвященной вопросам теплопроводности, он рассмотрел разложение функции /(ж), ж € [—7Г; 7г] в бесконечный ряд

оо

/(ж) = во + (а*. сое кх + Ък я'ткх),

к=—оо

коэффициенты которого вычисляются по формулам:

*7Г

1

а0

1 Ж 1 " а/. = — / /(х)соъкхс1х Ь^ = — / /(х)в'ткхс1х. 7Г У я J

—ж

Начало активного использования Фурье-анализа связано с работами Шустера (Sh.ii.ster) (см., например [89]), который ввел термин периодограмма в связи с тем, что занимался поиском скрытых периодичностей. Шустер применял гармонический анализ для выявления связи солнечных и лунных процессов с землетрясениями, для обнаружения периодичностей в метеопроцессах и возникновении магнитных аномалий. В начале века у него появилось множество последователей, которых привлекала простота и эффективность нового метода. Применение Фурье-анализа к поиску скрытых периодичностей в различных процессах явилось важным фактором в развитии эмпирического гармонического анализа временных рядов.

Из математиков, внесших наиболее значительный вклад в развитие математического аппарата гармонического анализа, надо отметить Винера (Wiener) [97], Хинчина [67], Колмогорова [15, 16], Крамера (Cramer) [18].

Вместе с развитием математического аппарата в 40-х годах у гармонического анализа появляется новая сфера практического применения - исследование зависимости временных рядов. В 1953 году в работе [96] Уиттл (Whittle) вводит понятие кросс- периодограмма. Несмотря на то, что произведение конечных преобразований Фурье двух рядов было использовано значительно раньше Винером (см. [97]), термин возник лишь с началом широкого практического использования гармонического анализа применительно к вопросам взаимосвязи процессов. Розенблатт (Rosenblatt) и Ван Несс (Van Ness) в 1965 году ввели периодограмму 3-го порядка, а обобщение вопросы периодограмм высших порядков получили в работах Бриллинджера (Brillinger) и Розенблаттаа [49, 50]. Стоит также упомянуть обсуждение в 1946 году работы Бартлета (Bartlett) [34], в ходе которого Даниэль (Daniel) впервые высказал идею о сглаживании периодограмм для получения удовлетворительных оценок спектральной плотности. Впоследствии сглаживание становится одним из самых распространенных приемов оценивания. Подробное обсуждение различных сглаживающих функций, их характеристик и влияния на свойства спектральных оценок можно найти, например, в [92].

Развитие спектрального анализа всегда было связано с практическими нуждами исследователей и в немалой степени ими инициировалось. В связи с этим огромное значение имело открытие в 60-х годах способа быстрого вычисления конечного преобразования Фурье (см. [52]), сделавшее спектральный анализ доступным для широкого практического использования. Подробный обзор методов, касающихся приложения спектрального анализа к геофизическим проблемам, может быть найден в [21].

Оценивание спектра стационарного ряда с помощью периодограммы является эффективным и удобным методом благодаря возможности применения быстрого преобразования Фурье. Однако, существует ряд альтернативных методов. Гренандер (Grenander) в [60] исследовал оценку, основанную на непосредственном преобразовании эмпирической ковариационной функции. Осреднение периодограмм, полученных по коротким непересекающимся фрагментам ряда было предложено Бартлетом в [35].

Широко известной является оценка Капона (Capon) [51]. Она обладает высокой разрешающей способностью и так же использует разбиение ряда наблюдений на сегменты. В 1972 году В.Ф.Писаренко рассмотрел класс нелинейных оценок, обобщающих методику сегментирования ряда (см. [86]). Оценки Бартлета и Капона оказываются частными случаями оценок Писаренко.

Спектральная теория, получившая к середине 60-х годов глубочайшее развитие применительно к непрерывным процессам, практически не затрагивала процессов точечных. Такие процессы исследовались лишь во временной области в основном через изучение распределения интервалов между последовательными событиями. Несомненно, этот пробел должен был быть восполнен. И вот 1 мая 1963 года на Собрании Королевского Статистического Общества, посвященном методам прикладных исследований, Бартлет выступает с сообщением, посвященным спектральному анализу точечных процессов. Он определяет спектр fc(w) точечного процесса как преобразование Фурье ковариационной плотности /¿с(т):

и рассматривает спектры кластерного точечного процесса, процесса Кокса и процесса восстановления. Сообщение вызвало ряд комментариев, в которых была отмечена возможность немедленного применения изложенного подхода к современным прикладным задачам (см. выступление Дженкинса (Jenkins) в [37]) и его важность в создании единой теории спектрального анализа процессов в непрерывном времени. Кокс (Сох) отметил также неясность интерпретации спектрального представления точечного процесса, в отличие от такой интерпретации процесса непрерывного.

Теория спектрального анализа точечных процессов по сути представляет собой развитие теории преобразования Фурье неограниченных мер и требует распространения классических результатов (в частности, теоремы Бохнера) на этот случай. Теоретические основания Фурье-анализа неограниченных мер изложены в [33]. Эмпирическая спектральная теория точечных процессов развивалась в 60-х, 70-х годах такими статистиками как Бартлет, Кокс, Льюис (Lewis), Бриллинджер. В настоящее время наиболее полной монографией, посвященной теории точечных процессов, является, на наш взгляд, [54]. Однако, вопросы, связанные с обработкой конечных

оо

— со

преобразований Фурье, в этом издании не затрагиваются. Обзор основных различий обработки точечных и непрерывных процессов дан в [48].

Процессы, наблюдаемые на нерегулярных решетках.

Задачи оценивания характеристик непрерывных случайных процессов, наблюдаемых на конечном интервале времени, стали особо актуальными в конце 60-х, начале 70-х годов. К этому времени, благодаря широкому распространению электронных носителей информации, исследователи получили доступ к обширным базам данных, содержащим сведения о самых разнообразных природных процессах. Появилась реальная возможность обширной статистической обработки сложной медицинской, геофизической, инженерной информации. Однако выяснилось, что получивший к тому времени основательное развитие аппарат теории оценивания временных рядов не всегда адекватен при решении возникающих задач. Необходимо было учитывать ошибки в данных, а также наличие пропущенных или потерянных по тем или иным причинам фрагментов записей. Кроме того, некоторые процессы, такие как сейсмичность или вулканизм, просто не могли быть описаны временным рядом с равными временными интервалами между последовательными записями. Таким образом, возникла необходимость исследования не только последовательных значений некоторого временного ряда X(t), но и ряда, составленного из моментов наблюдений {¿.¿}.

В 1972 году в работе [46] Д.Бриллинджер рассмотрел задачу оценки спектра и ковариационной функции непрерывного стационарного процесса X(t), наблюдаемого в моменты стационарного точечного процесса N(dt). Он вывел общие формулы для спектра и ковариационной функции и исследовал их основные свойства. Структура рассмотренных наблюдений оказалась такова, что искомый спектр являлся решением линейного интегрального уравнения и его непосредственная оценка была затруднена. Обсуждение способов решения такого уравнения может быть найдено в обозрении Д.Бриллинджера, входящем в сборник [91].

Исследования Д.Бриллинджера породили большой интерес среди статистиков к поставленной им задаче. Значительный вклад в решение проблем оценивания процессов, наблюдаемых на нерегулярных решетках был внесен, в частности, Элиасом Масри (Elias Masry) [70, 71]. В серии работ, относящихся к концу 70-х, началу 80-х годов, он развил предложенный в [46] подход, сконструировав эффективные оцен-

ки спектра и ковариационной функции процесса и изучив их асимптотические свойства.

Проблемам, связанным с анализом процессов, наблюдаемых на нерегулярных решетках посвящен сборник [91], включающий работы различных авторов по данной тематике. В нем можно также найти дальнейшие ссылки на необходимую литерату-

Бутстреп-метод.

Бутстреп-метод был введен в статистическую практику Эфроном [32] в 1978 году. Он предназначен для оценивания таких вероятноятных характеристик случайного процесса, теоретическое вычисление которых по тем или иным причинам оказывается затруднительным. Поэтому этот метод незаменим при статистическом анализе данных самой разнообразной природы. Решение многих прикладных задач стало возможным благодаря введению этого метода [27].

Опишем кратко идею метода.

Рассмотрим простейшую ситуацию, когда необходимо оценить распределение некоторой статистики ,?(£) при неизвестном распределении случайной величины В нашем распоряжении имеется лишь выборка небольшого объема из распределения

Суть метода состоит в том, что, имея выборку {жг} объема п из распределения F, мы можем построить эмпирическое распределение

и использовать его для генерации большого числа случайных величин {■щ }. Эти величины, в свою очередь, могут быть использованы для оценки распределения интересующей нас статистики.

Бутстреп-метод оказался крайне эффективным и полезным при решении прикладных задач, так как позволяет без усилий получать достоточно хорошие оценки для широкого спектра характеристик случайных процессов.

ру-

Заключение диссертации по теме «Геофизика», Заляпин, Илья Владимирович

3.6 Выводы.

В этой главе были проиллюстрированы возможности применения алгоритма выявления миграций к событиям реального сейсмического потока.

Показано, что предлагаемая статистическая методика может быть использована для анализа миграционных связей, возникающих в реальной сейсмичности. Предлагаемый алгоритм может выделять и устанавливать статистическую значимость таких связей.

Установлено существование нескольких областей, относящихся к регионам Центральной и Южной Америки, где существует миграция землетрясений с М > 5 и М > 6 на уровне значимости не меньше 0.98.

С высокой значимостью установлено наличие миграций в нескольких афтершоко-вых сериях Северной Америки и Японии.

Характеристики миграций афтершоковых серий оказались во многом отличны от аналогичных характеристик основных толчков. Основное отличие состоит в том, что скорость миграции афтершоковых серий убывает степенным образом при удалении по времени от основного толчка. Тем не менее, анализ афтершоковых миграций возможно проводить с использованием той же методики, что и для основных толчков.

Описана процедура локализации миграционных зон. Необходимость такой процедуры объясняется тем, что зона миграции, выделяемая алгоритмом, может быть существенно меньше всей рассматриваемой области. Процедура локализации применена к выделенным в реальной сейсмичности миграциям.

Отмечено, что группируемость событий, формирующих миграцию, возможно, является дополнительным фактором, свидетельствующим о существовании миграционных связей.

Заключение.

Общая цель данной работы - создание теоретической основы и разработка прикладных методов анализа миграционных свойств сейсмического потока. За основание при этом была взята теория точечных полей, которая, как показано в работе, оказалась эффективной при решении поставленной задачи.

В теоретическом плане полученные результаты могут представлять интерес для понимания возможностей статистического оценивания миграционных эффектов и их описания в рамках рассмотренного в работе подхода.

Специфика рассматриваемой задачи и главная ее трудность связаны с определением понятия сейсмической миграции в терминах точечного поля. Эффект миграции настолько сложен, а ее проявления настолько разнообразны, что адекватность выводов, получаемых при использовании формальных моделей, полностью определяется тем, насколько полно миграционные свойства реального потока событий могут быть представлены в таких моделях и тем, какое влияние на модели оказывают эффекты, схожие с миграцией, такие как неоднородность пространственного и временного распределения событий. Как следствие, важной задачей является определение поля с заданными пространственным и временным распределениями событий, и не обладающего свойством миграции. Эта задача была решена в представленной работе.

Перечислим полученные результаты более подробно:

1. Понятие миграции определено в терминах интенсивности точечного поля. Сформулированы строгие критерии проверки наличия или отсутствия миграции. Формулировка определения такова, что включает в себя широкий круг миграционных проявлений потока событий. В рамках единого подхода могут быть исследованы такие наиболее распространенные виды миграции как цепочки единичных событий и миграции облаков эпицентров.

Определения допускают изменение параметров миграции - ее скорости и направления, а так же приспособлены для отражения одновременного присутствия в потоке событий нескольких миграционных волн.

2. Миграционные свойства точечного поля изучены в спектральной и временной областях. Описаны модели, отражающие наличие миграции, и описывающие ее свойства.

Для однородного Пуассоновского поля найдены размеры спектральной области, значения из которой могут быть использованы для эффективного оценивания и проверки гипотез относительно точечного поля. Полученные результаты могут быть применены к полям самого общего вида при проверке их миграционных свойств в спектральной области.

Исследована ситуация, при которой точечное поле порождается некоторым непрерывным полем, и, как следствие, его миграционные свойства определяются свойствами этого непрерывного поля. Выведена оценка ковариационной функции непрерывного процесса, наблюдаемого в моменты событий точечного процесса. Установлены ее асимптотические свойства.

3. Разработан алгоритм выявления миграций сейсмического потока. Особое внимание уделено вопросам проверки статистической значимости обнаруженных миграций. Класс процессов, удовлетворяющий требованиям нулевой гипотезы (отсутствие миграции), используемый в формальном алгоритме тестирования, оказывается гораздо шире, чем классы процессов, рассматривавшиеся ранее в подобных задачах. Это значительно повышает надежность выводов, основанных на результатах анализа.

Новым в предлагаемом алгоритме является следующее:

- алгоритм способен выявлять различные виды миграционной зависимости, в частности он способен одновременно анализировать цепочки событий и миграции облаков эпицентров,

- алгоритм способен одновременно выявлять миграции, протекающие с разными скоростями и в разных направлениях,

- при оценке значимости обнаруженных миграций используется информация о пространственном и временном распределении событий анализируемого региона,

4. Возможности алгоритма проверены на реальной сейсмичности. Алгоритм показал способность выявлять миграции, присутствующие в реальном сейсмическом потоке.

С высоким уровнем значимости установлено наличие миграции вдоль восточной части Тихоокеанского сейсмического пояса в Центральной и Южной Америке.

С высоким уровнем значимости установлена миграция событий в некоторых афтершоковых сериях Северной Америки и Японии. Самостоятельный интерес представляет обнаруженный в работе факт, что скорость миграции афтершоков убывает степенным образом при удалении во времени от основного толчка.

Алгоритм программно реализован и может быть применен без изменений к любым сейсмоактивным регионам мира.

5. Для дальнейших исследований представляются перспективными следующие направления:

- поиск новых статистик, адекватно отражающих отличия миграционного поля от поля, не обладающего свойством миграции,

- дальнейшее исследование статистической эффективности используемого в алгоритме теста,

- широкомасштабное исследование миграционных свойств различных сейсмоактивных регионов с помощью предложенного метода,

- оценка влияния различных геотектонических факторов исследуемого региона на параметры миграционного процесса.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Заляпин, Илья Владимирович, 1999 год

Литература

[1] Оскорбин JI.C., Волкова Л.Ф., Параметры основного толчка и сейсмический режим афтершоков Монеронского землетрясения 5(6) сентября 1971 г., Обработка сейсмологических наблюдений и поиск предвестников землетрясений на Дальнем Востоке, Южно-Сахалинск, 1978, стр.68-87

[2] Барабанов B.JL и др. О миграции коровых землетрясений. В сб. Динамические процессы в геофизической среде (ред., Николаев A.B.) М., Наука, 1994, стр.149167

[3] Баренблатт Г.И., Кейлис-Борок В.И., Монин A.C., Фильтрационная модель последовательности землетрясений, ДАН СССР, 1983, Т.269, N4, стр.831-834.

[4] Болыпев JI.H., Смирнов Н.В. Таблицы математической статистики, ВЦ АН СССР, М., 1968, 473 стр.

[5] Бриллинджер Д. Временные ряды. Обработка данных и теория., М., Мир, 1980, 536 стр.

[6] Волконский В.А., Розанов Ю.А. Некоторые предельные теоремы для случайных функций. Теория вероятности и ее применение, 1959, т.4, в.2, с.186-207.

[7] Вилькович Е.В., Губерман Ш.А., Кейлис-Борок В.И. Волны тектонических деформаций на крупных разломах. Докл. АН СССР, 1974, 219, 1, стр.77-80.

. [8] Вилькович Е.В., Шнирман М.Г. Об одном алгоритме выявления миграций сильных землетрясений. Вычислительная сейсмология, 1980, вып.12, стр.37-44.

[9] Вилькович Е.В., Шнирман М.Г. О миграции очагов землетрясений вдоль крупных разломов и зон Беньофа. Вычислительная сейсмология, 1980, вып. 13, стр. 1924.

[10] Вилькович Е.В., Шнирман М.Г. Волны миграции землетрясений (Примеры и модели). Математические модели строения Земли и прогноза землетрясений, М., Наука, 1982, стр.27-37.

[11] Гельфанд И.М., Виленкин Н.Я. Некоторые применения гармонического анализа. Оснащенные гильбертовы пространства, М., Физматгиз, 1961, 472 стр.

[12] Губин И.Е., Миграция землетрясений и цепная реакция возникновения очагов, ДАН СССР, 1986, Т.289, N5, стр.1190-1193.

[13] Динамические процессы в геофизической среде (ред., Николаев A.B.) М., Наука, 1994, 254 стр.

[14] Кендалл М., Моран П. Геометрические вероятности, М., Наука, 1972. 192 стр.

[15] Колмогоров А.Н. Интерполирование и экстраполирование стационарных случайных последовательностей. Изв. АН СССР, сер. матем., 1941, N5, с.3-14.

[16] Колмогоров А.Н. Стационарные последовательности в гильбертовом пространстве. Бюлл. МГУ, 1941, т.2, N6, с.1-40.

[17] Крамер Г. Математические методы статистики, М., ИЛ, 1948, 651 стр.

[18] Крамер Г., Лидбеттер М., Стационарные случайные процессы, М., Мир, 1969, 255 стр.

[19] Кузнецов И.В., Кейлис-Борок В.И. Взаимосвязь землетрясений Тихо- океанского сейсмического пояса. ДАН РАН, Геофизика, 1997, Т355, N3, стр.389-393.

[20] Кузнецов И.В. Взаимосвязь сильных землетрясений Восточной части Альпийского пояса. ДАН РАН, Геофизика. (В печати).

[21] А.Л.Левшин,Т.Б.Яновская,А.В.Ландер и др. Поверхностные сейсмические волны в горизонтально-неоднородной среде. М., Наука, 1986, 278 стр.

[22] Лукк A.A., Нерсесов И.JI. Вариация во времени различных параметров сейсмотектонического процесса. Изв.АН СССР, Физика Земли, 1982, N3, с.10-27.

[23] Лукк A.A., Юнга С.Л. Пространственно-временные проявления сейсмо- тектонической деформации Гармского района. Экспериментальная сейсмология, М., Наука, 1983, с.52-62.

[24] Моги К. Предсказание землетрясений. М., Мир, 1988, 380 стр.

[25] Молчан Г.М., Дмитриева O.E. Идентификация афтершоков: обзор и новые подходы, Вычислительная сейсмология, 1991, N24, с.19-50.

[26] Нерсесов И.Л. и др. О распространении деформационных волн в земной коре юга Средней Азии. Изв. АН СССР, Физика Земли, 1990, N5, с.102-112.

[27] Писаренко В.Ф. Бутстреп для случайных процессов, ДАН, 1997, Т.352, N5, стр.687-689.

[28] Пустовитенко Б.Г., Камнебродский А.Г., Закономерности миграций очагов землетрясений крыма, Исследования по физике землетрясений, М., Наука, 1976, стр.184-193.

[29] Рихтер Ч. Элементарная сейсмология, М., Наука, 1963, 670 стр.

[30] Розанов Ю.А. О центральной предельной теореме для аддитивных случайных функций. Теория вероятностей и ее применение, 1960, т.5, в.2, с.242-246.

[31] Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения. М., Мир, 1984, 751 стр.

[32] Эфрон Б. Нетрадиционные методы многомерного статистического анализа. М., Финансы и статистика, 1988, 264 стр.

[33] Argabright L., and de Lamadrid J.С. Fourir analysis of unbouded measures on locally compact abelian groups. Mem. Am. Math. Soc., 1974, N145, pp.339-401.

[34] Bartlett M.S. On the theoretical specification of sampling properties of auto-correlated time series. J. Roy. Stat. Soc. Suppl., 1946, N8, pp.27-41.

[35] Bartlett M.S. Smoothing periodograms from time series with continuous spectra. Nature, 1948, N161, pp.686-687.

[36] Bartlett M.S. Periodogram analysis and continuous spectra. Biometrica, 1950, N37, pp.1-16.

[37] Bartlett M.S. The Spectral Analysis of Point Processes. J. Roy. Stat. Soc., Ser., 1963, B29, pp.264-298.

[38] Bartlett M.S. The spectral analysis of two-dimwnsional point processes. Biometrica, 1964, N51, pp.299-311.

[39] Bartlett M.S. Inference and stochastic processes. J. R. Statist. Soc. A, 1967, N130, pp.457-477.

[40] Bartlett M.S. The Statistical Analysis of Spatial Pattern. Adv. Appl. Prob., 1974, N6, pp.336-358.

[41] Bartlett M.S. An introduction to the analysis of spatial patterns, Spec, suppl. to Advances in Applied Probability, 1978, pp.1-13.

[42] Bath M., The seismology of Greece. Tectonophysics, 1983, Vol.98, N3/4, pp.165-208.

[43] Benioff H. Global strain accumulation and release as revealed by great earthquakes. Bull.geol. Soc. Am., 1951, Vol.62, pp.331-338.

[44] Billingsley P. Convergence of Probability Measures. Wiley, NY, 1968.

[45] Bloomfield P. Spectral analysis with randomly missing observations. J. R. Statist. Soc. B, 1970, N32, pp.369-380.

[46] Brillinger D.R., The spectral analysis of stationary interval functions. Proc. Sixth Berkley Symp. Math. Statist. Prob., University California Press, 1972, N1, pp.483514.

[47] Brillinger D.R. Statistical inference for stationary point processes. In Stochastic Processes ans Related Topics, Ed.Puri M.L., Academy Press, N.Y., 1975, Vol.1, pp.5599.

[48] Brillinger D.R. Comparative aspects of of the study of ordinary time series and point processes. In Development in Statistics, Academy Press, N.Y., 1978, vol.1, pp.33-133.

[49] Brillinger D.R. and Rosenblatt M. Asymptotic theory of k-th order spectra. Spectral Analysis of Time Series. Ed. B. Harris, NY., Wiley, 1967, pp.153-188.

[50] Brillinger D.R. and Rosenblatt M. Computation and interpretation of k-th order spectra, Spectral Analysis of Time Series. Ed. B. Harris, NY., Wiley, 1967, pp.189232.

[51] Capon J. High resolution frequency wavenumber spectral analysis. Proc. I.E.E.E., 1969, N57, pp.1408-1418.

[52] Cooley J.W. and Tukey J.W. An algorithm for the machine calculation of complex Fourier series. Math. Comp., 1965, N19, pp.297-301.

[53] Cox D.R. Some statistical methods connected with series of avevnts (with Discussion) J. R. Statist. Soc. Ser., 1955, B17, pp.129-164.

[54] Daley D.J. and Vere-Jones D. An Introduction to the Theory of the Point Processes. Springer-Verlag, N.Y. Berlin, Heibelberg, London, Paris, Tokyo, 1988, 702 p.

[55] Diggle P.J., Besag J.E. Gleaves J.T. Statistical analysis of spatial point patterns by means of distance methods. Biometrics, N32, pp.659-667

[56] Duda S., Strain release in the circum-Pasific belt. Chile 1969. Ibid., 1963, Vol.68, pp.5531-5544.

[57] Dziewonski A., Bloch S., Landisman M. A technique for the analysis of transient seismic signals. Bull. Seismol. Soc. Amer., 1969, N59, pp.427-444.

[58] Gardner J., Knopoff L., Is the sequence of earthquakes in S.California with aftershocks removed Poissonian? Bull. Seismol. Soc. Amer., 1974, V64, N5, pp. 13631367.

[59] Gedney L., Estes S., Biswas N., Earthquake migration in the Fairbanks, Alaska seicmic zone, Bull. Seismol. Soc. Amer., 1980, V.70, N1, pp.223-241.

[60] Grenander U. On empirical spectral analysis ofstochastic processes. Ark. Math., 1951, N1, pp.503-531.

[61] Jones R.H. Spectrum estimation with missing observations. Ann. Inst. Math., 1971, N23, pp.387-398.

[62] Kadinsky-cade K., Tokzoz M., Barka A. Space-time migration of sallow earthquakes in Eurasia and implication for earthquakes prediction. Strong ground motion seismology. Amsterdam, Reidel, 1987, pp.45-58.

[63] Kelleher J., Space-time seicmcity of the Alaska-Aleutian seicmic zone, J. Geophys. Res., 1970, V.75, N29, pp.5745-5756.

[64] Klein F., Einarsson P, Wyss M., The Reykjanes peninsula, Iceland, earthquake swarm of September 1972 and its tectonic significance, J. Geophys. Res., 1977, V.82, N5, pp.865-888.

[65] Kagan Y. Y., Knopoff L, Statistical search for non-random features of the seismicity of strong earthquakes, Phys. Earth., Planetary Interiors, 1976, V.12, pp.291-318.

[66] Kagan Y.Y. and Jeckson D.D. Long-term earthquake clustering. Jeophys J. Int., 1991, vol.104, pp.117-133.

[67] Khinchine A. Korrelationstheorie der stationaren Prozesse. Math. Annalen. 1934, N109, pp.604-615.

[68] Lee W.H. and Brillinger D.R. On Chinese earthquakes histiry-an attemp to model an incomplete data set by point process analysis. Pageoph., 1979, N117, pp.1229-1257.

[69] Limond W., Recq M. Possible earthquake migration along the western European plate boundary. J. Geophys. Res., 1981, Vol.86, N12, pp.11623-11629.

[70] Masry E. Poisson sampling and spectral estimation of continuous-time processes. IEEE, Trans. Inf. Theory, 1978, IT-24, pp. 173-183.

[71] Masry E. Nonparametric covariance estimation from irregularly-spaced data. Advances in Appl. Prob., 1983, N15 pp.113-132.

[72] Mogi K. Migration of seismic activity. Bull.Earthquake Res.Inst., 1968, vol.45, pp.53--74.

[73] Mogi K. Development of aftershock areas of great earthquakes. Bull.Earthquake Res.Inst., 1968, vol.46, pp. 175-203.

[74] Mogi K, Relationship between shallow and deep seismisity in the Western Pasific region, Tectonophysics, 1973, N17, pp.1-22.

[75] Mogi K. Active periods in the world's shieft seismic belts. Tectonophysics, 1974, N22, pp.265-282.

[76] Mogi K. Global variation of seismic activity. Tectonophysics, 1979, N57, pp. T43-T50.

[77] Mogi K. Downward migration of seismic activityprior to same great shallow earthquakes in Japanese subduction zone - a possible intermediate term precursor. Pure and Appl. Geophys., 1988, Vol.126, N2/4, pp.447-463.

[78] Nason R., Weertman J. A dislocation theory analysis of fault creep events. J. Geophys. Res., 1973, Vol.78, pp.7745-7751.

[79] Ogata Y. Point Process Models with Linearly Parametrized Intensity for Applications for Earthquake Data. J. of Appl. Prob., 1986, Spec.vol.23A, pp.291-310.

[80] Ogata Y. and Tanemura M. Estimation of interaction potentials of spatial point pattern through the maximum likelihood procedure. Ann. Inst. Statist., 1981.

[81] Ogata Y. and Tanemura M. Likelihood analysis of spatial point pattern. J. R. Statist. Soc. Ser., 1984, B46, pp.496-518.

[82] Ogata Y. and Vere-Jones D. Inference for earthquake models: A self- correcting model. Stoch. Proc. Appl., 1984, vol.17, pp.337-347.

[83] Olsson B. M. and Kulhunec 0. High-velocity migration of large earthquakes along the Azores-Iran plate boundary segments. Pure and Appl. Geophys., 1985, Vol.122, N6, pp.831-847.

[84] Omori F., Investigation of Aftershocks, Rep. Earthq. Inv. Comm., 1894, N2, pp. 103-139.

[85] Partasarathy K.R. Probability Measures on Metric Spaces. Academic Press, NY, 1967.

[86] Pisarenko V.F. On the estimation of spectra by means of non-linear functions of the covariance matrix. Geophys. J. Roy. Astron. Soc., 1972, N28, pp.511-531.

[87] Press F. and Briggs P. Chandler Wobble, earthquakes, rotation, and geomagnetic changes. Nature, 1975, Vol.256, pp.270-273

[88] Pollitz F.F., Burgmann R., Romanowicz B. Viscosity of oceanic asthenosphere inferred from remote triggering of earthquakes. Science, 1998.

[89] Shuster A. The periodogram and its optical analogy. Proc.Roy.Soc., 1906, N77, pp.137-140.

[90] Slutsky E. Sur l'extension de la theorie de periodogrammes aux suites des quantites dependentes. Comptes Rendues., 1929, N189, pp.722-733.

[91] Time Series Analysis of Irregularly Observed Data., Ed. E.Parzen, - Lecture Notes in Statistics, Springer, 1984, vol.25, 145p.

[92] Tukey J.W. An introduction to the calculations of numerical spectrum analysis, Adv. Seminar of Spectral Analysis of Time Series. Ed. B.Harris, NY,Wiley, 1967, pp.25-46.

[93] Proceedings of the conference on Spatial Patterns and Processes, (ed. R.L.Tweedie), spec.suppl.to Advances in Applied Probability, 1978, 143p.

[94] Vere-Jones D. Space time correlations for microearthquakes - a pilot study. Supplement to Adv. Appl. Probab., 1978, N10, pp.73-87.

[95] Vere-Jones D. and Ozaki T. Some examples of statistical inference applied to earthquake data. Ann. Inst. Statist. Math., 1982, N34, pp.189-207.

[96] Whittle P. The analysis of multiple stationary time series. J. Roy. Statist. Soc., B, 1953, N15, pp.125-139.

[97] Wiener N. Generalized harmonic analysis. Acta. Math., 1930, N55, pp.117-258.

[98] Wood M., Allen S. Recurrence of seismic migrations along the Central California Segment of the San-Andreas fault system. Nature, 1973, Vol.244, N5413, pp.213-215.