Приближенные методы прогнозирования параметров движения стохастических объектов в задачах управления тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.01, кандидат физико-математических наук Балабушкин, Александр Николаевич

• Балабушкин, Александр Николаевич
• кандидат физико-математических наук
• 2001

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Балабушкин, Александр Николаевич

ВВЕДЕНИЕ.

Глава 1. ПРИБЛИЖЕННОЕ РЕШЕНИЕ ГРАНИЧНОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ

ДИФФУЗИОННЫХ ПРОЦЕССОВ С МАЛЫМИ ВОЗМУЩЕНИЯМИ.

1.1. Постановка задачи.

1.2. Обзор методов решения граничных задач.

1.3. Первые поправки к гауссовской аппроксимации.

1.4. Доказательства.

1.5. Выводы по главе.

Глава 2. ПРОГНОЗИРОВАНИЕ МИНИМУМА КООРДИНАТЫ ЛИНЕЙНОЙ

СТОХАСТИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ ПРИ МАЛЫХ ВОЗМУЩЕНИЯХ.

2.1. Постановка задачи.

2.2. Обзор методов решения задач о распределении экстремумов нестационарных случайных процессов.

2.3. Распределение координаты случайного процесса в момент первого обращения ее производной в ноль.

2.4. Аппроксимация распределения минимума координаты диффузионного процесса при малых случайных возмущениях

2.5. Доказательства.

2.6. Выводы по главе.

Глава 3. ПРОГНОЗИРОВАНИЕ МИНИМУМА ГАУССОВСКОГО ПРОЦЕССА С и-ОБРАЗНЫМ ТРЕНДОМ.

3.1. Асимптотика вероятности пересечения винеровским процессом и-образной границы возрастающей кривизны.

3.2. Верхняя и нижняя оценки вероятности пересечения для гауссовских процессов с положительными корреляционными функциями.

3.3. Асимптотика вероятности пересечения гауссовским процессом И-образной границы возрастающей кривизны.

3.4. Доказательства.

3.5. Выводы по главе.

Глава 4. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ПРОГНОЗИРУЕМЫХ ОЦЕНОК ДЛЯ УПРАВЛЕНИЯ СТОХАСТИЧЕСКИМИ ОБЪЕКТАМИ.

4.1. Основные свойства управления с прогнозированием для детерминированных объектов.

4.2. Динамические свойства оценок в граничной задаче.

4.3. Динамические свойства оценок экстремумов.

4.4. Динамические свойства оценок при неточных измерениях.

4.5. Аналог фильтра Калмана для возмущений с недоопределенными характеристиками.

4.6. Доказательства.

4.7. Выводы по главе.

Глава 5. ЧИСЛОВЫЕ РАСЧЕТЫ.

5.1. Оценка вероятности пересечения случайным процессом заданной границы.

5.2. Прогнозирование гарантированных с заданной вероятностью оценок минимальной высоты при уходе самолета на второй круг с посадочной траектории.

5.3. Выводы по главе.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Приближенные методы прогнозирования параметров движения стохастических объектов в задачах управления»

В последнее время в ряде работ теоретического характера и многочисленных практических приложениях получил развитие метод управления детерминированными динамическими объектами, основанный на идее использования данных о возможных будущих состояниях объекта для выработки текущего управляющего воздействия [1], [2], [9] - [13], [38], [43]. Этот метод, называемый далее методом управления с прогнозированием, эффективен, в частности, для решения следующих задач:

1) терминальной задачи управления, в которой цель управления формулируется в терминах фазового состояния объекта в момент окончания движения. Этот момент может быть как заранее фиксированным моментом времени, так и моментом достижения объектом некоторой границы в фазовом пространстве (например, моментом достижения той или иной фазовой координатой априори заданного значения);

2) задачи удержания объекта в заданной области фазового пространства, выход за границы которой недопустим, например, по условиям безопасности состояния объекта. Содержательная сторона данного подхода к управлению довольно проста и может быть пояснена следующим наглядным примером, в котором обе указанные задачи совмещены. Один из этапов посадки самолета, называемый глиссадным планированием, начинается с момента «захвата» глиссады (то есть требуемой, или идеальной, траектории снижения, задаваемой лучом наземного радиомаяка) и заканчивается в момент достижения высоты принятия решения -решения о переходе в режим выравнивания с последующим касанием полосы или уходе на второй круг. Для обеспечения возможности перехода в режим выравнивания параметры движения самолета на высоте принятия решения должны лежать в допустимых пределах, то есть имеет место терминальная задача управления. Кроме того, в течение всего процесса глиссадного планирования должен соблюдаться ряд ограничений на параметры движения самолета. В частности, в любой момент должна сохраняться возможность ухода на второй круг без касания поверхности с учетом того, что на первом этапе ухода в силу инерционности самолета происходит потеря высоты (просадка).

Рассмотрим идею управления с прогнозированием на примере второй из описанных задач. Закон управления, предусмотренный для режима ухода на второй круг, заранее задан (в общем случае этот закон можно назвать «противоаварийным»). Это позволяет для каждого текущего состояния самолета, с учетом его динамических характеристик, рассчитать гипотетическую траекторию движения в случае немедленного перехода в противоаварийный режим, и на этой траектории определить минимум высоты. Непрерывный расчет указанного минимума в процессе движения самолета позволяет контролировать возможность ухода на второй круг и своевременно определять момент наступления аварийной ситуации, когда требуется немедленное включение режима «Уход».

Аналогично, в случае задачи терминального управления метод управления с прогнозированием состоит в том, чтобы по определенной методике выбрать некоторый допустимый закон управления и для каждого текущего состояния объекта прогнозировать гипотетическую будущую траекторию движения вплоть до конечного состояния. Реальное управляющее воздействие при этом следует формировать таким образом, чтобы прогнозируемое состояние по возможности максимально удовлетворяло заданной цели управления. Этот метод обладает рядом достоинств, таких как устойчивость при сколь угодно больших коэффициентах обратной связи, отсутствие перерегулирования, иерархическая структура системы управления без вмешательства в подсистемы нижнего уровня (в качестве одной из которых может выступать существующая на объекте штатная система управления), возможность перехода с автоматического на ручной режим управления, упрощение управления объектом в ручном режиме, разделение каналов при многопараметрическом управлении (автономность), применимость к нелинейным объектам, независимость от систематических составляющих ошибок в измерениях и оценках входных параметров и ДР- [9]-[13].

Реализация данного метода управления сопряжена с необходимостью расчета в темпе реального времени прогнозируемых значений координат объекта (граничных или экстремальных) для практически каждого текущего состояния объекта. Непосредственный способ определения прогнозируемых значений состоит в решении в ускоренном масштабе времени дифференциального уравнения, описывающего динамику объекта. В некоторых случаях соответствующие зависимости допускают аналитическое описание. Еще один вариант реализации состоит в предварительном расчете предсказанных значений для некоторой сетки узлов в области возможных текущих состояний объекта в фазовом пространстве с последующей аппроксимацией достаточно простыми функциями или сплайнами. Существенно, однако, что нахождение зависимости предсказанных значений от текущего состояния объекта в детерминированном случае не представляет принципиальных трудностей, так как сводится к решению системы обыкновенных дифференциальных уравнений с заданным начальным состоянием.

Иначе обстоит дело при попытке перенесения метода управления с прогнозированием на стохастические системы. Так, в примере с уходом самолета на второй круг учет случайных возмущений приводит к тому, что ожидаемая минимальная высота на траектории ухода оказывается случайной величиной. Следовательно, речь может идти о прогнозировании какой-либо статистической характеристики этой случайной величины, например, квантили заданного порядка, то есть уровня, выше которого траектория ухода окажется с заданной вероятностью.

В общем случае расширение области применимости метода управления с прогнозированием с детерминированных систем на стохастические требует решения следующих задач:

I) прогнозирования параметров распределения координаты стохастического объекта, уравнение движения которого с учетом воздействия случайных возмущений известно, в заданный будущий момент времени или в случайный момент достижения заданной границы в фазовом пространстве (далее - задача I);

II) прогнозирования параметров распределения минимума координаты стохастического объекта, уравнение движения которого с учетом воздействия случайных возмущений известно (далее - задача II).

В такой постановке задачи прогнозирования являются типичными и достаточно хорошо изученными задачами теории случайных процессов. Их решение сводится к решению соответствующих уравнений с частными производными [8], [31]. Однако для многомерных стохастических объектов это связано с трудоемкими и сложными расчетами. На практике для решения обеих задач чаще применяют метод Монте-Карло и различные его модификации [1], [15], [20], [21]. Этот метод является универсальным с точки зрения возможности учета всех особенностей конкретной постановки задачи, но также требует больших объемов вычислений. Применительно к задаче прогнозирования сложность расчетов многократно возрастает ввиду того, что они должны быть проведены для каждого узла из выбранной сетки на множестве возможных состояний объекта.

В этой связи актуальным является рассмотренный в данной работе вопрос о нахождении достаточно простых приближенных аналитических способов решения задач I, II. Полученные результаты базируются на предположении «малости» случайных возмущений, воздействующих на объект, и в этом смысле примыкают к целому направлению исследования стохастических систем (см. [7], [32], [33], [52], [57] и цитируемую там литературу). При этом используется аппарат стохастических дифференциальных уравнений диффузионного типа и связанных с ними уравнений с частными производными.

Кроме того, приближенное решение задачи II приводится также для случая, когда объект является линейным, а «невозмущенная» траектория его движения имеет резко выраженный и-образный минимум. Методы анализа здесь опираются на результаты, связанные с вероятностью пересечения винеровским процессом и центрированным гауссовским процессом с определенными свойствами заданной кривой [41], [46], [47], [50], [51], [55], [64].

В более узком контексте собственно задачи управления с прогнозированием рассмотрен вопрос о том, как меняются прогнозируемые статистические характеристики в процессе движения объекта. Показано, что их динамические свойства аналогичны тем свойствам предсказанных параметров в детерминированном случае, на которых основан метод управления с прогнозированием.

Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения и списка литературы.

Заключение диссертации по теме «Системный анализ, управление и обработка информации (по отраслям)», Балабушкин, Александр Николаевич

5.3. Выводы по главе

В данной главе применимость результатов предыдущих глав демонстрируется на конкретных примерах.

Во-первых, показано, что в задачах определения вероятности пересечения винеровским процессом и броуновским мостом различных парабол (то есть типичных И-образных границ) полученные приближенные результаты имеют высокую точность в широком диапазоне параметров границ.

Во-вторых, точность различных приближенных оценок анализируется на примере прогнозирования минимума высоты при уходе на второй круг самолета ТУ-154М. При этом используется упрощенная линеаризованная модель движения самолета. Показано, что применение результатов главы 3 позволяет определять «коридор», в котором лежит квантиль распределения минимума высоты заданного порядка, причем указанный коридор достаточно узок.

В-третьих, рассматривается полная модель движения самолета ТУ-154М в турбулентной атмосфере с точки зрения задачи обеспечения возможности безопасного ухода самолета на второй круг с посадочной траектории. Обосновывается целесообразность непрерывного прогнозирования и предоставления летчику гарантированной с заданной вероятностью оценки минимальной высоты на предполагаемой траектории ухода (то есть квантили соответствующего порядка минимальной высоты). Приводится простая методика расчета оценок, сочетающая метод Монте-Карло с полученными в настоящей работе приближенными аналитическими результатами, и показывается практическая применимость данной методики.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В диссертации получены следующие основные результаты. С учетом актуальности соответствующих прикладных проблем и на основании обзора литературы сформулированы две взаимосвязанные задачи: для стохастического объекта, описываемого уравнением диффузионного типа с малыми возмущениями, найти достаточно простые с вычислительной точки зрения алгоритмы приближенного нахождения параметров распределения координаты объекта в момент достижения им заданной границы в пространстве состояний (задача I); ( и ) экстремального значения координаты объекта (задача II). Для задачи I известная гауссовская аппроксимация уточнена благодаря учету следующих по порядку малости членов разложения функции распределения координаты объекта относительно малого параметра (эти члены содержат смещение среднего и коэффициент асимметрии). Алгоритм расчета допускает простую реализацию, поскольку предполагает решение обыкновенных дифференциальных уравнений при заданных начальных условиях (решение задачи Коши).

Показано, что результат п. 2 значительно упрощается в частном случае, когда

I) объект является линейным; и ) структура уравнения объекта такова, что интересующая нас координата объекта дифференцируема по времени (диффузия по данной координате вырождена); (111) моментом остановки процесса является момент обращения производной выбранной координаты в ноль.

При этом получен результат качественного характера: уточненная оценка квантили координаты смещена по отношению к квантили гауссовской аппроксимации того же порядка вниз, если производная рассматриваемой координаты в начальный момент отрицательна, и вверх - если положительна.

4. Доказано, что в условиях п. 3 приближенное решение граничной задачи (задачи I) с точностью до величин более высокого порядка малости является одновременно и решением задачи о распределении экстремума заданной координаты (задачи II).

5. Результаты пп. 2-4 распространены на случай, когда начальное состояние объекта не известно точно, а является гауссовским с заданным средним и убывающей пропорционально малому параметру ковариационной матрицей.

6. Для линейного стохастического объекта задача II переформулирована в терминах вероятности пересечения центрированным гауссовским процессом заданной кривой, соответствующей траектории невозмущенного движения объекта. Для этой вероятности при условии положительности корреляционной функции случайного процесса находятся верхняя и нижняя оценки, основанные на известных результатах для винеровского процесса.

7. Получено приближенное выражение для вероятности пересечения винеровским процессом и центрированным гауссовским процессом границы «параболообразной» (11-образной) формы, нижняя точка которой фиксирована, а кривизна в окрестности минимума неограниченно возрастает. Данная асимптотическая формула отличается простотой.

8. Показано, что полученные приближенные решения задач I, II могут быть эффективно использованы для управления стохастическим объектом в ручном режиме, поскольку их динамические свойства аналогичны свойствам прогнозируемых величин в детерминированном случае, на которых основан метод управления с прогнозированием.

Точность результатов пп. 6 - 7 продемонстрирована на конкретных числовых примерах (задачах определения вероятности пересечения винеровским процессом и броуновским мостом различных парабол - типичных И-образных границ - в широком диапазоне параметров границ, а также на упрощенной линеаризованной модели ухода самолета ТУ-154М на второй круг с посадочной траектории).

Рассмотрена полная модель движения самолета ТУ-154М в турбулентной атмосфере с точки зрения задачи обеспечения возможности безопасного ухода самолета на второй круг с посадочной траектории. Обоснована целесообразность непрерывного прогнозирования и предоставления летчику гарантированной с заданной вероятностью оценки минимальной высоты на предполагаемой траектории ухода. Приведена простая методика расчета оценок квантилей высоты, сочетающая метод Монте-Карло с полученными в настоящей работе приближенными аналитическими результатами, и показана практическая применимость данной методики.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Балабушкин, Александр Николаевич, 2001 год

1. Акимов В.Н., Борисов В.Г. и др. Интегральные показатели состояния динамических систем и их применение. 11-ый Международный конгресс ИФАК, сб. докладов, т. 6, Таллин, 1990 (на англ. языке).

2. Алберт А. Регрессия, псевдоинверсия и реккурентное оценивание. М., Наука, 1977.

3. Алексеев В.М., Тихомиров В.М., Фомин C.B. Оптимальное управление. М.: Наука, 1979.

4. Биллингсли П. Сходимость вероятностных мер. М.: Наука, 1977

5. Буков В.Н. Адаптивные прогнозирующие системы управления полетом. М.: Наука, 1987.

6. Вентцель А.Д. Фрейдлин М.И. Флуктуации в динамических системах под действием малых случайных возмущений. М.: Наука, 1979.

7. Гихман И.И., Скороход A.B. Введение в теорию случайных процессов. М.: Наука, 1977.

8. Гулько Ф.Б., Новосельцева Ж.А. Системы управления с прогнозированием. В сб. Измерение, контроль, автоматизация. М.: ЦНИИТЭИ приборостроения, 1976, № 1, стр. 64-71.

9. Гулько Ф.Б. Новосельцева Ж.А. Применение методов прогнозирования в задачах синтеза систем автоматическогоуправления. VIII Всесоюзное совещание по проблемам управления. Тезисы докладов, т. 1, Таллин, 1980.

10. Гулько Ф.Б., Новосельцева Ж.А. О корректном упрощении синтеза регуляторов. Автоматика и телемеханика, 1981, № 11.

11. Гулько Ф.Б., Новосельцева Ж.А. Метод разделения движений в нелинейных системах и его применение для синтеза регуляторов. Автоматика и телемеханика, 1986, № 9.

12. Гулько Ф.Б., Крючков JI.A. Управление с прогнозированием для неманевренной машины при парном полете. Авиакосмическая техника и технология, 1998, № 2.

13. К оценке погрешностей, возникающих при использовании метода квазимоментов в задачах анализа нелинейных систем. Автоматика и телемеханика, 1979, № 1, стр. 36 43.

14. Евдокименков В.Н., Карлов В.И., Красильщиков М.Н. Оценка значений вероятностных критериев качества, близких к единице, на основе методов планирования эксперимента. Известия АН СССР, сер. Техническая кибернетика, 1989, № 4, стр. 92 104.

15. Ермаков С.М. Метод Монте-Карло и смежные вопросы. М.: Наука, 1975.

16. Ито К., Маккин Г. Диффузионные процессы и броуновское движение. М.: Мир, 1968.

17. Крамер Г., Лидбеттер М. Стационарные случайные процессы. М.: Мир, 1969.

18. Крылов Н.В. Управляемые процессы диффузионного типа. М.: Наука, 1977.

19. Крючков Л.А., Гулько Ф.Б. и др. Исследование методовпрогнозирования просадки самолета при уходе на второй круг с траектории автоматической посадки. Отчет предприятия п/я В-8759 и ИПУ № 1476 83 - IX, 1983.

20. Кузьмин В.П., Ярошевский В.А. Приближенный метод оценки вероятности больших отклонений параметров траектории самолета при действии случайных возмущений. Известия АН СССР, сер. Техническая кибернетика, 1989, № 2, стр. 119 126.

21. Кушнер Г.Дж. Вероятностные методы аппроксимации в стохастических задачах управления и теории эллиптических уравнений. М.: Наука, 1985.

22. Ланкастер П. Теория матриц. М.: Наука, 1982

23. Леви П. Стохастические процессы и броуновское движение. М.: Наука, 1972.

24. Липцер Р.Ш., Ширяев А.Н. Статистика случайных процессов. М.: Наука, 1974.

25. Мирошин Р.Н. Пересечение кривых гауссовскими процессами. М.: Наука, 1981.

26. Новиков A.A. Об оценках и асимптотическом поведении вероятности невыхода винеровского процесса за подвижную границу. Мат. сб., 1979, 110, № 4, стр. 539 550.

27. Новиков A.A. Мартингальный подход в задачах о времени первого пересечения нелинейных границ. Тр. МИАН, т. 158, 1981.

28. Рагимов Ф.Г. О плотности момента первого выхода гауссовского процесса за нелинейную границу. Теория вероятностей и ее применения, т. XXX, вып. 2, 1985.

29. Случайные процессы. Выборочные функции и пересечения.

30. Новое в зарубежной науке. Сер. Математика, № 10, М.: Мир, 1978.

31. Тихонов В.И., Хименко В.И. Выбросы траекторий случайных процессов. М.: Наука, 1987.

32. Флеминг У., Ришел Р. Оптимальное управление детерминированными и стохастическими системами. М.: Мир, 1978.

33. Черноусько Ф.Л., Колмановский В.В. Оптимальное управление при случайных возмущениях. М.: Наука, 1978.

34. Ширяев А.Н. Вероятность. М.: Наука, 1980.

35. Abrahams J. Ramp crossing for Slepian's process. IEEE Trans. Inf. Theory, 1984,30,3,574-575.

36. Adler R. The supremum of a particular Gaussian field. J. Ann. Prob., 1984, 12, N2.

37. Blake I.F., Lindsey W.C. Level crossing problems for random processes. IEEE Trans. Inform. Theory, IT-19, pp. 295 315, 1973.

38. Buell G., Leondes C.T. Optimal aircraft go-around and flare maneuvers. IEEE Trans. Aerospace and Electron. Syst., 1973, V. 9, N 2, pp. 280 -289.

39. Buonocore A., Nobile A.G., Ricciardi L.M. A new integral equation for the evaluation of first-passage-time probability densities. Adv. Appl. Prob., 19, 784-800, 1987.

40. Buonocore A., Giorno V., Nobile A.G., Ricciardi L.M. On the two-boundary first-crossing-time problem for diffusion processes. J. Appl. Prob., 27, N 1, 1990.

41. Cuzick J. Boundary crossing probabilities for stationary Gaussian process and Brownian motion. Trans. Amer. Math. Soc., 263, 469-492,1981.

42. Daniels H.E. The minimum of a stationary Markov process superimposed on a U-shaped trend. J. Appl. Prob., 6, pp. 399 408, 1969.

43. Digital systems in the DC-10. Interavia, 1970, N11.

44. Doob J. Heuristic approach to the Kolmogorov Smirnov theorem. Ann. Math. Statist., 20, 393-403, 1949.

45. Boundary crossing probabilities for the Brownian motion and Poisson processes and tachniques for computing the power of the Kolmogorov -Smirnov test. J. Appl. Prob., 8, N 3, 431 453, 1971.

46. Durbin J. The first-passage density of a continuous Gaussian process to a general boundary. J. Appl. Prob., 1985, V. 22, N 1, 99 122.

47. Durbin J. The first-passage density of the Brownian motion process to a curved boundary. J. Appl. Prob., 29, 291 304, 1992.

48. Favella L., Reinery M.T., Riccardi L.M., Sacerdote L. First passage time problems and some related computational methods. Cybernetics and Systems, 13, 95 128,1982.

49. Fernique X. Regularite des trajectoires des fonctions aleatoires gaussiennes. Lecture Notes in Mathematics, 480, 1975.

50. Ferebee B. The tangent approximation to one sided Brownian exit densities. Z. Wahrsch. verw. Geb., 61, 309 326,1982.

51. Ferebee B. An asymptotic expansion for one-sided Brownian exit densities. Z. Wahrsch. verw. Geb., 63, 1 15, 1983.

52. Fleming W.H. Stochastically pertubed dynamical systems. Rocky Mountain J. Math., V. 4, N 3, 1974, pp. 407 433.

53. Giorno V., Nobile A.G., Ricciardi L., Sato S. On the evaluation of thefirst-passage-time probability densities via non singular integral equation. Adv. Appl. Prob., 21, 20 36, 1989.

54. Gutierrez R., Ricciardi L.M., Roman P., Torres F. First-passage-time densities for time-non-homogeneous diffusion processes. J. Appl. Prob.,34, 623-631, 1997.

55. Jennen C., Lerche H.R. First-exit densities of Brownian motion through one-sided moving boundaries. Z. Wahrsch. verw. Geb., 55, 133 148, 1981.

56. Jennen C., Lerche H.R. Asymptotic densities of stopping times associated with tests of power one. Z. Wahrsch. verw. Geb., 61, 501 -511, 1982.

57. Kushner H. Robustness and approximation of escape times and large deviations estimates for systems with small noise effects. SIAM J. Appl. Math., 1984, 44, N 1, 160 182.

58. Martin-Lof A. The final size of a nearly critical epidemic, and the first passage time of a Winer process to a parabolic barrier. J. Appl. Prob.,35, 671 -682, 1998.

59. Novikov A., Frishling V., Kordzakhia N. Approximation of boundary crossing probabilities for a Brownian motion. J. Appl. Prob., 36, 1019 -1030, 1999.

60. Park C., Paranjape S.R. Probabilities of Wiener paths crossing differentiable curves. Pacific J. Math., 53, 579 583, 1974.

61. Ricciardi L.M., Sato S. A note on the evaluation of the first passage time probability densities. J. Appl. Prob., 20, 197 201, 1983.

62. Ricciardi L.M., Sacerdote L., Sato S. On an integral equation for firstpassage-time probability densities. J. Appl. Prob., 21, 302 314, 1984.

63. Robbins H., Siegmund D. Boundary crossing probabilities for the Wiener process and sample sums. Ann. Math. Stat., 41, 5, 1410 1429, 1970.

64. Scheike Т.Н. A boundary-crossing result for Brownian motion. J. Appl. Prob.,29, 448-453, 1992.

65. Schweppe F.C. Uncertain dynamic systems. New Jersey, Prentice-Hall, 1973.

66. Slepian D. First passage time for a particular Gaussian process. Ann. Math. Stat., V. 32, pp. 610 612, 1961.

67. Slepian D. The one-sided barrier problem for Gaussian noise. Bell Syst. Tech. J., V. 41, pp. 463 501, 1962.

68. Tuckwell H.C., Wan F.Y.M. First passage time of Markov process to moving barriers. J. Appl. Prob., 21, 4, 695 710, 1984.

69. Wang L., Potzelberger K. Boundary crossing probability for Brownian motion and general boundaries. J. Appl. Prob., 34, 54 65, 1997.

70. Балабушкин A.H. Аналог фильтра Калмана для возмущений с недоопределенными характеристиками. Автоматика и телемеханика, № 3, стр. 151 154, 1985.

71. Балабушкин А.Н., Гулько Ф.Б. Прогнозирование экстремальных значений фазовых координат стохастических систем. Автоматика и телемеханика, № 6, стр. 70 76, 1988.

72. Балабушкин А.Н., Гулько Ф.Б., Крючков JI.A. Прогнозирование просадки самолета при уходе на второй круг в турбулентной атмосфере. Тез. докл. На ВНТК "Проблемы совершенствования радиолокационных комплексов и систем управления полетом". Киев, 1989.

73. Балабушкин А.Н. Прогнозирование состояния динамического объекта в момент достижения границы при малых возмущениях. Автоматика и телемеханика, 1991, №11, стр. 64 70.

74. Гулько Ф.Б., Балабушкин А.Н. и др. Исследование новых принципов автоматического управления и контроля посадочными режимами ЛА. Отчет по теме "Рулевой" № 231-91/01, ИПУ, ЛИИ им. М.М. Громова, 1991.

75. Balabushkin A.N. Approximation to the exit probability of a continuous Gaussian process over U-shaped boundary of increasing curvature. J. Appl. Prob., 32, pp. 429-442, 1995.