Преобразование оптических кубитов между дискретными и непрерывными степенями свободы тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.21, кандидат наук Уланов Александр Евгеньевич

• Уланов Александр Евгеньевич
• кандидат наук
• 2019

Оглавление диссертации кандидат наук Уланов Александр Евгеньевич

Введение

0.1 История развития представлений о природе света

0.2 Первая и вторая квантовые революции

0.3 Актуальность данной работы. Гибридный поход в квантовой

физике

0.4 Новизна полученных результатов

0.5 Практическая значимость полученных результатов

0.6 Защищаемые положения

0.7 Личный вклад автора

Глава 1. Квантовая телепортация между непрерывными и дискретными кодировками оптических кубитов

1.1 Концепция

1.2 Белловская проекция

1.3 Приготовление гибридно-запутанного ресурса для телепорта-ции

1.3.1 Сравнение состояний одомодово-сжатого вакуума с кошками Шредингера

1.3.2 Квадратурные корреляции гибридно-запутанного ресурсного состояния

1.3.3 Процедура настройки экспериментальной установки

1.3.4 Сбор и обработка данных

1.3.5 Симулирование источников потерь

1.3.6 Результаты томографии ресурсного состояния

1.4 Эксперимент по гибрибной квантовой телепортации

1.4.1 Фазовая зависимость выходного ДП кубита при телепортации когерентного состояния

1.4.2 Настройка установки

1.4.3 Сбор и обработка данных

1.4.4 Анализ результатов

1.5 Выводы

Глава 2. Запутанность и телепортация между поляризационными и

непрерывными степенями свободы оптического кубита

2.1 Концепции экспериментов

2.1.1 Гибридная телепортация

2.1.2 Гибридный обмен запутанностями

2.2 Проекция Белла в поляризационном базисе

2.3 Критерий запутанности для двумодовых состояний

2.4 Приготовление поляризационно-запутанного состояния |Ф+)

2.5 Приготовление гибридно-запутанного ресурса

2.5.1 Фазовые зависимости гибридно-запутанного ресурса

2.5.2 Метод восстановления матрицы плотности состояния по проекциям на различные поляризационные базисы

2.5.3 Настройка экспериментальной установки

2.5.4 Схема сбора данных и стабилизации фазовой разности

2.5.5 Результаты эксперимента по удаленному приготовлению состояний

2.6 Квантовая телепортация состояния поляризационного кубита на состояние непрерывного кубита и гибридный обмен запутанностями

2.6.1 Оценка скорости счета фотонов

2.6.2 Бюджет эффективности гомодинного детектирования

2.6.3 Процедура настройки экспериментальной установки и схема сбора данных

2.6.4 Результаты эксперимента по телепортации и обмену запутанностями

2.7 Выводы

Заключение

Литература

Введение

Данная диссертация посвящена разработке методов преобразования квантовой информации между дискретными и непрерывными степенями свободы неклассического света. Связующим звеном для такого преобразования служит двумодовое гибридно-запутанное состояние света между однополосным или двухполосным однофотонным кубитом в первой моде и кубитом, закодированным в суперпозиции когерентных состояний противоположных амплитуд во второй. Полученное запутанное состояние протестировано в качестве ресурса для гибридной телепортации состояний кубитов между непрерывными и дискретными кодировками.

0.1. История развития представлений о природе света.

Так как основным объектом исследования данной работы является неклассический свет, то хотелось бы начать с небольшого обзора истории развития представлений человечества о природе света в целом, а также более подробно заострить внимание на концепции корпускулярно-волнового дуализма.

Человечество издревле интересовала причина, по которой мы можем видеть мир вокруг нас. Еще древнегреческий философ и математик Пифагор (570^490 гг. до н. э.) считал, что объекты, окружающие нас, становятся видимы благодаря тому, что они испускают мельчайшие частицы, которые потом попадают в глаз наблюдателя. Его точку зрения позднее разделил Демокрит (ок. 460 — ок. 370 до п. э.) и назвал эти частицы «атомами». Некоторые древние философы, например, Эмпедокл (ок. 490 — ок. 430 до н. э.) и Платон (428 — 347 до п. э.), напротив считали, что это наши глаза испускают лучи, которые затем «ощупывают» объекты во внешнем мире

(правда тогда становилось непонятным, почему человек не может видеть в темноте).

До XVII века нашей эры исследования природы света имели весьма отрывочный и несистематический характер. Однако, в 1690 году Гюйгенс выпустил «Трактат о свете» [2], в котором попытался систематизировать и объяснить явления прямолинейного распространения, отражения, преломления и двулучепреломления света с точки зрения волновой теории. В соответствии с теорией Гюйгенса свет — это волны, которые распространяются в некоторой гипотетической среде, называемой эфиром. Однако, Гюйгенс не смог последовательно объяснить прямолинейное распространение света в рамках своей теории. Кроме того, его теория была не способна объяснить явление поляризации света, используя только продольные волны, известные науке на тот момент.

Эти и многие другие факты заставили Ньютона встать на сторону корпускулярной модели света. В соответствии с данной теорией, свет представляет собой поток мельчайших частиц - корпускул, которые распространяются от светящегося объекта к наблюдателю и не взаимодействуют друг с другом. Однако, корпускулярная теория света не может с легкостью объяснить явление частичного преломления и отражения на границе двух прозрачных сред с различными показателями преломления. Для объяснения этого эффекта Ньютон ввел абстрактные понятия о «приступах легкого отражения» и «приступах легкого прохождения», испытываемых частицами света на границе раздела сред. А по сути эти абстрактные предположения являлись гипотезой о том, что отражение и преломление фотонов описывается вероятностными законами. В 1702 годы вышла знаменитая книга Ньютона «Оптика» [3], которой не было аналогов в этой области вплоть до XIX века. Авторитета Ньютона на тот момент было достаточно, чтобы корпускулярная теория света оставалась общепринятой в научных кругах на протяжении полутора веков.

Однако, сначала в 1803 году Томас Юнг, а затем в 1816 году Жан Френель объяснили явления интерференции и дифракции света, рассматривая свет как волну. Стоит упомянуть, что было еще одно существенное различие между корпускулярной и волновой теорией. В соответствии с теорией Ньютона скорость света в оптически более плотной среде больше, чем в менее плотной, а в соответствии с волновой теорией наоборот. В конце XIX века Физо и Фуко окончательно склонили чашу весов на сторону волновой теории, экспериментально измерив в лабораторных условиях, что скорость света в воде меньше, чем в воздухе. И наконец, в 1873 году вышла книга Джеймса Максвелла "Трактат об электричестве и магнетизме" [4], где он описал математическую теорию электромагнитного поля из которой следовало, что свет - это электромагнитные волны. Таким образом, к концу XIX века, после череды научных достижений, физики сошлись во мнении, что свет является электромагнитной волной.

Но уже в начале XX века пришлось вернуться к корпускулярной модели света и существенно переработать ее, для того чтобы теоретически обосновать новые физические явления, которые не могли быть объяснены с помощью волновой модели света. Так, например, для того чтобы объяснить спектральное распределение энергии излучения черного тела Максу Планку пришлось предположить, что свет излучается и поглощается дискретными порциями, пропорциональными частоте электромагнитного излучения, которые он назвал квантами [5]. Планк сначала угадал закон, верно описывающий эмпирические данные, которых было предостаточно на тот момент, а затем теоретически обосновал полученную формулу, проквантовав энергию осцилляторов. При этом он не верил в квантового природу света и считал, что это всего лишь остроумный математический трюк, позволяющий получить верную формулу. Однако, уже в 1905 году А. Эйнштейн дальше развил гипотезу Планка [6]. Сделав предположение, что свет не только излучается и поглощается, но и распространяется дискретными порциями,

ему удалось объяснить явление фотоэффекта. Впоследствии, в 1923 году наличие импульса у фотона было доказано Комптоном экспериментально в наблюдениях рассеяния фотонов на свободных электронах [7].

Таким образом, в начале XX века чаша весов вновь склонилась в пользу корпускулярной модели света. А что же тогда делать с опытами Фуко и Физо по определению скорости света? Необходимо сделать вывод, что динамика фотонов не подчиняется классической Ньютоновской механике, нельзя рассматривать фотоны как обыкновенные частицы, имеющее определенную траекторию в пространстве. Свободно распространяющиеся фотоны проявляют волновые свойства, так как наблюдаются явления дифракции и интерференции, в то время как явления взаимодействия света с веществом объясняются с точки зрения корпускулярной теории. Отсюда можно сделать вывод, что корпускулярно-волновой дуализм является отражением глубинной природы света, которое, к сожалению, невозможно объяснить исходя из представлений классической физики.

Стоит отметить, что чуть позже в 1927 было обнаружено явление дифракции электронов [8] и концепция корпускулярно-волнового дуализма, которая была теоретически предложена Луи де Бройлем еще в 1923 году [9], была распространена на другие элементарные частицы.

0.2. Первая и вторая квантовые революции

Переворот в науке, который произошёл в начале XX века, привел к появлению совершенно нового направления - квантовой физики. Предложенные тогда Планком, Бором, Эйнштейном и де Бройлем идеи были настолько новы и необычны для общепринятой на тот момент физической модели, что их открытия теперь называют первой квантовой революцией. Теоретические основы нового направления физики были заложены В. Гей-зенбергом в 1925 году и впоследствии развиты им совместно с М. Борном

и П. Йорданом. Разработанное ими направление квантовой механики потом получило название "матричной механики" [10]. Независимо от них П. Дираком и Э. Шредингером была разработана иная трактовка квантовой механики, которая получила название "волновой механики" [11]. Позже было показано, что эти две теории, несмотря на различные подходы, являются полностью эквивалентными с точки зрения предсказательной силы.

Фундаментом, для построения волновой механики Шредингера, послужили теоретические работы де Бройля, в которых он предложил парадоксальную идею, что концепция корпускулярно-волнового дуализма справедлива не только для света, но и распространяется на любые частицы материи. Однако, данное утверждение надо использовать очень аккуратно и понимать, что в реальности вслед за материальной частицей не распространяется никакая материальная волна. На самом деле, волны де Бройля представляют собой ни что иное, как распределения амплитуд вероятности частиц находиться в определенной точке пространства.

Понимание того, что электрон может вести себя как волна (в смысле волновой функции), позволило объяснить поведение заряженных частиц в полупроводниках, что в итоге привело к созданию транзистора в 1947 году, микропроцессора в 1960 году и впоследствии целой инфраструктуры цифровых информационных технологий, которые окружают нас сейчас повсеместно. Понимание квантовой природы света позволило создать в 1954 году лазер, который помимо огромного прикладного значения сыграл неоценимую роль в развитии экспериментальной физики в целом.

Уже к концу XX века, фундаментальные открытия, сделанные в 20-е годы, привели к огромному технологическому прогрессу и формированию новых областей промышленности. Таким образом, можно сказать, что квантовая революция предопределила путь развития человеческой цивилизации на многие годы вперед.

Необходимо отметить, что большинство квантовых физических явлений, используемых в современных технологиях, являются существенно коллективными. Шредингер еще в 1952 году отметил, что «... мы никогда не экспериментируем с одним-единственным атомом, электроном или (малой) молекулой. В мысленных опытах мы иногда предполагаем, что экспериментируем с одной частицей, но это, несомненно, приводит к нелепейшим последствиям... мы не можем экспериментировать с отдельными частицами, как не можем вырастить динозавра в зоопарке» [12]. И на тот момент он был абсолютно прав, так как не существовало необходимой для проведения таких экспериментов материальной базы, такой как лазеры, детекторы одиночных фотонов, магнитооптические ловушки и др. Поэтому вплоть до 50-60 хх годов XX века прогресс в квантовой физике в основном заключался в развитии теоретических моделей и мысленных экспериментов.

Но затем, по мере появления необходимого экспериментального оборудования, квантовая физика начала развиваться стремительно и на данный момент ученые уже научились манипулировать отдельными квантами [13,14]. Кроме того, сейчас уже ведутся активные исследования в области инженерии искусственных квантовых систем, таких как искусственные атомы [15] или сверхпроводящие квантовые цепи [16], которые будут обладать невиданными до сих пор свойствами. Иными словами, можно сказать, что сейчас идёт активное развитие квантовых технологий как таковых. Именно квантовым технологиям отводится ведущая роль в грядущей второй квантовой революции [17], которая должна привести к созданию универсального квантового компьютера [18], абсолютно защищенных квантовых линий связи [19], сверхточной квантовой метрологии [20] и квантового интернета [21].

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Преобразование оптических кубитов между дискретными и непрерывными степенями свободы»

0.3. Актуальность данной работы. Гибридный поход в квантовой

физике.

Сейчас физики научились манипулировать отдельными квантовыми системами, такими как атомы и ионы [13,14], фотоны [22], сверхпроводящие цепи [23] и т. д. Достижения в этой области были отмечены несколькими нобелевскими премиями по физике: В. Пауль и X. Демельт (1989); С. Чу, К. К,- Таннуджи и У. Филлипс (1997); С. Арош и Д. Вайнленд (2014).

Однако, отдельная квантовая система может выполнять лишь ограниченный и очень узкий спектр задач. Например, фотоны являются практически идеальными переносчиками информации, поэтому их логичнее всего использовать в линиях связи; атомные ансамбли или системы слабо взаимодействующих спинов могут иметь относительно большие времена когерентности, поэтому их можно использовать для создания квантовой памяти; сверхпроводящие цепи отличаются большими скоростями переключения квантовых состояний, поэтому на их базе предполагается создать квантовый процессор. Одной из главных задач, стремительно развивающихся сейчас квантовых технологий, является разработка приборов и устройств, которые могут одновременно быстро обрабатывать, хранить долгое время и эффективно передавать на большое расстояние различную квантовую информацию. Сейчас видится, что такой невероятно широкой функциональности можно достигнуть только путём одновременного использования различных квантовых систем с дополняющими друг друга свойствами гибридным образом [24].

Стоит отметить, что физические системы различной природы могут быть грубо разделены на два больших класса, в зависимости от типа базиса, который наиболее удобно использовать для кодирования квантовой информации [25]:

1. Дискретный базис естественно использовать, если пространство собственных значений наблюдаемых системы является дискретным от природы. Например, состояние поляризации фотона, направление ядерного или атомного спина, направление тока в сверхпроводящем контуре [26].

2. Непрерывный базис наиболее выгодно использовать, если пространство собственных значений наблюдаемых системы является непрерывным. Примерами таких наблюдаемых являются: коллективные спиновые переменные ансамбля атомов, квадратуры электромагнитного поля, координата и импульс механического осциллятора [27].

Для этих двух классов существенно различаются методы приготовления, детектирования и характеризации квантовых состояний.

Естественно, что такое разделение справедливо и для квантово-оптических состояний и технологий. Используя фотоны, квантовую информацию в дискретных переменных (ДП) наиболее часто кодируют двумя способами:

1. Используя поляризационный базис можно получить двухполосный ку-бит ("dual-rail qubit"), роль логических нуля и единицы в котором выполняют соответственно горизонтально |H) пли вертикально \V) поляризованные фотоны.

2. В однополосном кубите ("single-rail qubit") роль логического 0 играет отсутствие фотона \0) (вакуумное состояние), а роль логической 1 его наличие \1) (однофотонное состояние) в фоковском базисе.

В непрерывных переменных (НП) информацию можно закодировать в виде суперпозиции когерентных состояний противоположных амплитуд {\а) , |—а)}, при условии, что амплитуда а является достаточно большой, чтобы базисные состояние можно было считать ортогональными с хорошей точностью [29,30]. Альтернативным подходом, является использование ба-

зиса состоящего из кошек Шредиигера противоположной четности [31-33], так как эти состояния являются ортогональными.

Причём оба класса имеют свои преимущества и недостатки для решения конкретных задач. Например, НП состояния имеют следующие достоинства: детерминистический способ приготовления и манипулирования, высокая эффективность детектирования и сравнительно легкая интеграция в существующие информационные технологии [27]. Однако, квантовые состояния в непрерывных переменных очень чувствительны к оптическим потерям. В то время как ДП состояния имеют встроенный механизм дистилляции после потерь и высокую верность получаемых квантовых состояний, но они страдают из-за вероятностной процедуры приготовления и манипуляции [28].

В последнее время началась разработка способов гибридизации технологий и методов из этих двух классов и в оптической области [34,35]. Данный подход, как уже отмечалось выше позволит объединить достоинства квантовых состояний, закодированных в непрерывных и дискретных переменных, и открыть новые горизонты для приготовления, преобразования, контроля и характеризации неклассических состояний света. Однако метод преобразования квантовой информации между двумя кодировками, который позволил бы широко использовать гибридный подход в квантовой обработке информации, пока не разработан.

Данная работа нацелена на устранение этого пробела посредством разработки способов взаимного преобразования между квантово-оптическими состояниями, закодированными различным образом.

0.4. Новизна полученных результатов

Данная диссертация содержит два основных результата, каждому из которых посвящена отдельная глава:

Глава I. Впервые экспериментально реализована гибридная квантовая теле-портация состояния НП кубита, закодированного в виде суперпозиции когерентных состояний противоположных амплитуд, на состояние однополосного ДП кубита, закодированного в виде суперпозиции фоковских нуля и единицы.

Глава 2. Впервые экспериментально приготовлено двумодовое гибридно-запутанное состояние света, в котором первая мода закодирована в состоянии двухполосного поляризационного кубита, а вторая в виде суперпозиции когерентных состояний противоположных амплитуд. Полученное состояние затем протестировано в качестве ресурса для квантовой телепортации состояния двухполосного поляризационного кубита на состояние НП кубита, а также в качестве ресурса для обмена запутанностями между поляризационным и непрерывным базисом.

0.5. Практическая значимость полученных результатов

Описанные в данной диссертации результаты доказывают принципиальную возможность приготовления гибридно-запутанных квантово-оптических состояний и их дальнейшего использования для осуществления различных протоколов квантовой обработки информации. Полученные результаты, по точности приготовленных запутанных состояний и верности осуществленных протоколов гибридной квантовой телепортации, превосходят соответствующие классические пороги, несмотря на использование некоторых экспериментальных приближений и невысокую эффективность доступного на настоящий момент оборудования. Данный этап является зна-

чимым достижением на пути к созданию масштабируемых линий квантовой связи и построению систем распределенных квантовых вычислений.

0.6. Защищаемые положения

Глава 1. Разработан протокол гибридной квантовой телепортации состояния кубита, закодированного в базисе кошек Шредингера [36] на однополосный ДП кубит, в котором в качестве логических нуля и единицы используется соответственно отсутствие или наличие одиночного фотона в определенной световой моде. Результаты симуляции показали, что предложенный протокол имеет среднюю верность для произвольного входного НП кубита более 79.5 %, что превосходит классический порог телепортации 2/3 [37]. Протокол реализован экспериментально, полученные результаты отлично согласуются с результатами симуляции.

Глава 2. Разработан способ приготовления двумодового гибридно-запутанного состояния, в котором первая мода закодирована в состоянии двухполосного поляризационного кубита, а вторая в виде суперпозиции когерентных состояний противоположных амплитуд. Такое состояние приготовлено экспериментально и верность с максимально запутанным составила более 84 %, что превышает классический порог 1/2 [38]. Полученное состояние затем протестировано в протоколе квантовой телепортации состояния поляризационного кубита на состояние НП кубита. Проведенная симуляция показала, что верность протокола телепортации на экспериментальном ресурсе для произвольного входного ДП кубита превышает 80 %, что превосходит классический порог 2/3

с результатами моделирования.

0.7. Личный вклад автора

Результаты, описанные в настоящей диссертации, получены в составе научного коллектива, в который помимо автора входили Д. Сычев, Е. Тиунов, А. Пушкина, В. Новиков, И. Федоров, Ю. Курочкин, А. Львовский. Автор играл определяющую роль в проектировании экспериментов, построении и юстировке оптических схем, а также обработке и анализе полученных результатов.

Глава 1. Квантовая телепортация между непрерывными и дискретными кодировками оптических кубитов

Квантовая телепортация, возможно, является одним из самых захватывающих и контринтуитивных явлений квантовой физики и олицетворяет странность квантовой механики, которую Эйнштейн назвал «призрачным дальнодействием» (spooky action at a distance) [40]. Данное явление не может быть объяснено с точки зрения классической физики.

Идея квантовой телепортация была предложена в 1993 году Чарльзом Беннеттом и /Килем Брассаром [41]. Протокол заключается в передаче из точки А в точку Б квантового состояния, без прямого переноса физического объекта, посредством предварительного распространения запутанного состояния [42] между этими точками и специального проективного измерения (проекция Белла [43]), произведенного в точке А. Данный протокол требует наличия классического канала связи между Алисой и Бобом (так в квантовой информатике обычно называют, участвующие в протоколе субъекты или точки в пространстве), следовательно не допускает сверхсветовой коммуникации между ними, а так же является невозможным без вспомогательного запутанного состояния (ресурса телепортации).

На настоящее время была продемонстрирована квантовая телепортация в самых разнообразных физических системах, например: ДП [44] и НП [45] фотонные кубиты, неклассические квантовые состояния (сжатый вакуум [46], кошка Шредингера [47]), атомные ансамбли [48] и т. д. (исчерпывающий обзор достижений в данной области может быть найден по ссылке [49]).

В 2016 году была реализована телепортация в городских волоконных сетях на телекоммуникационной длине волны света 1550 нм [51,52], что доказывает принципиальную возможность построения квантовых линий связи

на масштабах одного города уже в ближайшем будущем, причем, что важно, используя уже существующую коммуникационную инфраструктуру.

Существенные усилия были предприняты для увеличения максимального расстояния телепортации, рекордом на данный момент является дистанция в 1400 км между Землей и космическим спутником, достигнутая в 2017 году командой Китайских физиков под руководством Д. В. Пана [50].

Не осталась без внимания реализация интерфейсов для обмена информацией между различными по природе физическими системами, например, была продемонстрирована телепортация в гибридных системах свет - твердое тело [53], свет - полупроводниковые квантовые точки [54], холодные атомы в двух разных оптических резонаторах [55].

Однако до сих не была экспериментально реализована квантовая телепортация между НП и ДП оптическими кубитами. Важность такого интерфейса для развития квантовых технологий была подробно обсуждена во введении к данной диссертации.

Данная глава посвящена эксперименту по гибридной квантовой телепортации состояния НП кубита, закодированного в виде суперпозиции когерентных состояний противоположных амплитуд, на состояние дискретного кубита, закодированного в виде суперпозиции вакуумного и однофотонного фоковских состояний.

1.1. Концепция

Для экспериментальной реализации квантовой телепортации требуется собрать воедино несколько необходимых компонент: начальный кубит, состояние которого будет подвергнуто телепортации; запутанное квантовое состояние, которое служит ресурсом для телепортации; правильно реализованное белловское измерение, результат которого является триггером для телепортации.

Рис. 1.1. Концептуальная схема эксперимента по гибридной квантовой телепортации.

Концептуальная схема эксперимента изображена на рисунке 1.1. Телепортации осуществляется посредством гибридно-запутанного ресурса [56]:

\Л)аВ = К_|са1_)с |0>я + К+|са1+)с |1>д, (1.1)

где \са^) и \cat_) состояния четной и нечетной кошек Шредингера соответственно [31,57], которые задаются выражениями:

|са1±) = ^±(|а) ± |_а)), (1.2)

где М± = 1/>/2 ± 2е_2а - нормировочные коэффициенты. К± варьируемые весовые коэффициенты, такие что |К+12 + |К-|2 = 1, а {|0)_р , |1)_р} -соответственно вакуумное и однофотонное состояния в фоковском базисе. Таким образом, мода С является закодированной в непрерывных переменных, а мода Б в дискретных. Процедура приготовления такого запутанного состояния будет описана ниже.

Исходным телепортируемым состоянием является фотонный НП ку-

бит

(1.3)

Непрерывная световая мода С ресурса отправляется к Алисе, а дискретная мода Б к Бобу. Затем Алиса проводит совместное проективное измерение над входным состоянием (1.3) и модой С ресурса (1.1). Белловский базис в НП определяется состояниями:

±х |а)А |а)с ± |-а)А |-а)с.

|Ф±\ = I--/с.

|ф !ас ^2 ± 2е-4а2 . 1 ;

±х |а)А |-а)С ± |-а)А |а)С

^ 'ас Т2 ± 2е-4а2 . 1 ^

В эксперименте была возможность выполнять достоверную проекцию

только на состояние |Ф-). Данное ограничение вызвано низкой эффективностью детекторов одиночных фотонов (ДОФ), имеющихся на данный момент, что не позволяет построить детекторы четности. Детали реализации белловского измерения в эксперименте будут обсуждены ниже. Состояние |Ф-) можно переписать следующим образом:

| са^_)а |са^)с + |са1+)А | са^_)с

ас = тт

ф ас = 1~_/ А|""с с . (1.6)

Детектирование состояния (1.6) в модах А и С приводит к проекции дискретной моды Б на состояние суперпозиции фоковских нуля и единицы.

МЬ = <Ф|ас 1К)ап = — (ХК- |0)д + гк+ |1)д) (1.7)

Таким образом, зарегистрировав совместное состояние мод А и С в состоянии |Ф-), Алиса завершает протокол телепортации фотонного кубита из НП в ДП.

1.2. Белловская проекция

Одной из основных экспериментальных трудностей данной работы является построение детектора Белла. Теоретическая идея, как реализовать подобное проективное измерение была предложена X. Джеонгом в 2001 году [58].

На симметричном светоделителе без потерь состояния (1.4, 1.5) преобразуются в тензорное произведение положительной или отрицательной кошек Шрёдингера в одной из выходных мод и вакуума в другой:

(|-2а) ± |-15а))1/|0)2/

|Ф± 12 ^ —-' , , (1.8)

I '12 12 ± 2в-4«2 ' 1 }

±) |0>1/ (|>/2а) ± |—л/2а))2/

|Ф±) 12 ^ ' /г 4 1 ' 1 //2/. (1.9)

I /12 12 ± 2е—4«2 1 }

Зная разложение когерентного состояния по фоковскому базису

^ ап

|а> = £ е—1|а|2-пт '"> ' (1'10)

п л/п!

п=0 у

легко показать, что в нем положительная и отрицательная кошки Шре-дингера имеют вид суперпозиции только по четным или нечетным числам фотонов соответственно:

еа^—а]^ = |0) + -2а2 |2) + 0(а4); (1.11)

-2

-3

еа1— [-2а] ^ = |1) + —2а2 |3) + 0(а4). (1.12)

Тогда, например, детектирование чётного числа фотонов в моде 2', проецирует входные моды 1 и 2 на состояние |Ф+), а нечетного в моде 1 на состояние |Ф_) (см. рисунок 1.2).

Рис. 1.2. Концептуальная схема реализации белловской проекции в НП с использованием симметричного светоделителя и двух детекторов четности.

Таким образом, если пространство входных состояний ограничено четырьмя белловскими состояниями, то теоретически можно различить любое из них с произвольно высокой точностью, используя схему, изображенную на рисунке 1.2 (при условии наличия эффективных различающих число фотонов ДОФ и больших амплитуд альфа).

Однако, на практике мы ограничены существующими экспериментальными технологиями, которые на данный момент не позволяют построить эффективный детектор четности, поэтому выполнение проекции на любое из четырёх состояний Белла не представляется возможным. Тем не менее, в рамках текущего эксперимента, из-за малой амплитуды а когеренст-ных состояний в ресурсе возможно выполнение проекции на состояние |Ф_), используя обыкновенный, не разрешающий число фотонов, ДОФ низкой эффективности.

Для того чтобы осуществить белловскую проекцию мода С ресурса перекрывается на симметричном светоделителе с модой А входного куби-

та. Трансформация белловских состояний на симметричном светоделителя описывается формулами (1.8, 1.9). Вычислим вероятности всех четырёх состояний Белла привести к срабатыванию ДОФ в моде 1'. Очевидно, что состояния |Ф±) не могут произвести такого события, так как мода 1' в обоих случаях является вакуумной. Состояние |Ф_) с гораздо большей вероятностью вызовет "щелчок"детектора по сравнению с состоянием |Ф+) при малых амплитудах |а| < 1, так как |Ф_) на симметричном светоделителе преобразуется в отрицательную кошку, которая имеет однофотонное состояние в качестве первого слагаемого в разложении (1.12), в отличие от |Ф+), трансформирующегося в положительную кошку, для которой первый член ряда (1.11) есть фоковский ноль.

Для того чтобы точно вычислить вероятности срабатывания ДОФ в | Ф±)

вается РОУМ оператором [59]:

Й = £[1 _ (1 _ П)п] Н<п| . (1.13)

п

Тогда вероятность щелчка можно вычислить путём применения оператора ДОФ к состоянию световой моды и взятия следа:

р = Тг[рП], (1.14)

а

до (а8) в иредположении п ^ 1, получится искомая вероятность:

Р|ф+) « 4па4; р|ф-> « 1 + 4а4^ ; Р|ф±> = 0. (L15)

Таким образом, для малых амплитуда и малой квантовой эффективности ДОФ п вероятности срабатывания детектора на состояния |Ф+> и |Ф-) относятся как а4 (рис. 1.3).

То есть для экспериментальной ситуации а+ = 0.44 и а- = 0.74 где а+ и а- - амплитуды четной и нечетной кошек Шредингера соот-

0.15

о о

к

о ^

ф со

0.1

0.05

1 1 |/ ✓ / , 1 1 * / / / // / / -------1-------------^ X / \ \ Лг / /V? / / /

1 1 / /\ 1 1 / / 1 / / // 1 , / 1 1/ / 1 -------1------//—1------- /у 1 // 1 1 1 1 1 -¿г 1 1 _| ^^^^

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

а

Рис. 1.3. Вероятности детектирования состоянийР|ф+) (красный) ир|ф-) (синий) для квантовой эффективности ДОФ п = 0.1. Сплошные кривые соответствуют точному расчету по формуле (1.14), пунктирные - приближению (1.15).

ветственно, причина разных значений будет объяснена позже) получаем, что Р|ф-)/Р|ф+) = 9.3. Это позволяет сделать вывод, что обычный ДОФ, даже с низкой квантовой эффективностью, с хорошей точностью выполняет проекцию на состояние |Ф-) для малых амплитуд альфа и может быть использован для реализации детектора Белла в данном эксперименте.

1.3. Приготовление гибридно-запутанного ресурса для телепорта-ции

В качестве ресурса для телепортации в данном эксперименте используется гибридно-запутанное состояние (1.1). Метод приготовления такого состояния был предложен О. Морином в 2014 году [56]. В эксперименте ис-

Рис. 1.4. Принципиальная схема эксперимента по приготовлению и томографии гибридно-запутанного состояния (1.1). Ресурсное состояние приготавливается геральдическим образом по срабатыванию ДОФ1. Квантовая томография полученного состояния осуществляется с помощью гомодинных детекторов.

пользуются два процесса спонтанного параметрического рассеяния, вырожденный и невырожденный, которые происходят в нелинейных кристаллах (I и II на рис. 1.4) КТР с периодической доменной структурой и квазифазовым синхронизмом первого и второго типа соответственно [60]. Принципиальная схема эксперимента представлена на рисунке 1.4.

Непрерывная мода ресурса генерируется на кристалле I, который под действием импульсной лазерной накачки производит одномодово-сжатый вакуум [61]. Было показано, что для малых параметров сжатия, которые фактически достигаются в эксперименте, одномодово-сжатый вакуум с большой верностью аппроксимирует состояние четной кошки Шрединге-ра [57].

Дискретная часть ресурса создается на кристалле II, на котором генерируется слабый двумодово-сжатый вакуум [61]. Для того чтобы запутать две независимые части ресурса, вычитается примерно 5-10 % мощности из моды С на слабо отражающем светоделителе. Отраженная часть перекрывается на варьируемом светоделителе с холостой модой двумодово-сжатого вакуума и результат отправляется на ДОФ. Далее возможны два сценария:

1. Фотон, который вызвал срабатывание ДОФ, пришел из вычтенной моды. Тогда в канале С остается состояние нечетной кошки Шрединге-ра [31,62], а мода Б, с наибольшей вероятностью, будет находится в вакуумном состоянии из-за малой амплитуды спонтанного параметрического рассеяния на кристалле II.

2. Фотон, вызвавший событие на ДОФ, пришел из холостой моды двумодово-сжатого света. Тогда мода С будет в состоянии четной кошки Шредингера, а мода Б в однофотонном фоковском состоянии, приготовленном геральдическим образом [22].

В итоге генерируется состояние (1.1), так как не разрешающий число фотонов ДОФ неспособен различить два полностью эквивалентных фотона, пришедших различными оптическими путями.

Соотношение между весовыми коэффициентами К- состояния (1.1) определяются соотношением счетов от двух кристаллов и может контролироваться путем варьирования отражения и пропускания светоделителя перед ДОФ.

1.3.1. Сравнение состояний одомодово-сжатого вакуума с кошками Шредингера

В данной работе состояния четной и нечетной кошек Шредингера получались из одномодово-сжатого света. Известно, что сжатый вакуум в фо-

ковском базисе имеет следующие представление:

^ )|0)=^ Х>* Z )m

v ^ m=0

= |0) + -L Z |2) + y|z2 !4) + O(Z3), (1.16)

где Z это параметр сжатия [61]. Подействовав па него оператором уничтожения фотонов, получим состояние:

'з

àS(C) |0> = Z

|1> + \/2 Z |3> + 0(Z2)

(1.17)

Теперь необходимо разложить состояния четной и нечетной кошек Шредингера по фоковскому базису:

|cat+) = |0) + —а2 |2> + 0(а4); (1.18)

v2

|cat-> = |1) + —а2 |3) + 0(а4). (1.19)

л/ 6

Сравнивая формулы (1.16 - 1.19) легко заметить, что для малых параметров ( < 1:

1. Сжатый вакуум аппроксимирует состояние четной кошки Шредингера | cat+ ) амплитуды а = л/С, с большой верностью

2. Кроме того, сжатый вакуум с вычтенным одиночным фотоном аппроксимирует состояние нечетной кошки Шредингера |cat-) амплитуды а = \/3С с высокой верностью

На рисунке 1.5 изображена зависимость верности (F) между состояниями одномодово-сжатого вакуума с вычтенным фотоном и без с одной стороны и нечетной или четной кошками Шредингера с другой стороны соответственно. Верность между двумя состояниями с матрицами плотности

г _-| 2

р и а здесь и далее вычисляется по формуле F(р, а) = Tr у7 —ра—р

Из рисунка видно, что для параметра сжатия Z = 0.18, достигаемого экспериментально, верность кошек Шредингера, получаемых из сжатого

z

Рис. 1.5. Зависимость верности аппроксимации соответственно четной и нечетной кошек Шредингера состояниями сжатого вакуума (красная кривая) и сжатого вакуума с вычтенным фотоном (синяя кривая). Красный пунктир соответствует экспериментально достигаемому уровню сжатия.

вакуума F > 0.999. При этом для нечетной и четной кошек Шредингера амплитуды составляют а- = 0.74 и а+ = 0.42 соответственно. То есть разность амплитуд а+ и а- наследуется из метода их приготовления и приводит к неравенству нормировочных коэффициентов N+ и N- в состоянии (1.1).

1.3.2. Квадратурные корреляции гибридно-запутанного ресурсного состояния

Теперь рассмотрим действие оператора сдвига фазы U0c0d = егпсОс+inD6>D на состояние (1.1)

и 1Ш = ^\ 10>в + |1)р ивсво |К>св - \ае /с-2-

|0)р - |1>в с 2

- \-аегвс) с ^—^-^ (1.20)

Зная, что оператор X квадратуры задается выражением X — (а + о) )/\/2, и принимая в учет, что когерентное состояние является собственным для оператора уничтожения, можно получить зависимость ожидаемой величины квадратурных корреляций (XсXв > от фазовых сдвижек Ос и О в для ресурсного состояния |Д> св

св (И| ивсвоХсХв&всво ^>св — а 008 (Ос - Ор). (1.21)

Кроме того, известно, что для одномодово-сжатого вакуума средняя дисперсия квадратуры зависит от фазовой сдвижки следующим образом

(ДХ2> - оо8(2Ос). (1.22)

Таким образом, вычисления корреляции (ХсХр> и дисперсии (ДХ^> квадратур достаточно для нахождения фаз, соответствующих модам ресурсного состояния.

1.3.3. Процедура настройки экспериментальной установки

Оптическая схема, которая использовалась для генерации гибридно-запутанного состояния (1.1) представлена на рисунке 1.6. Основой для всех нетривиальных квантовых состояний, получаемых в данной работе, являются одномодово- или двумодово-сжатый вакуум, поэтому повышенное внимание в ходе юстировки уделяется оптимизации процедуры генерации и максимизации итоговой эффективности их детектирования.

СО

о

Лазер Coherent Mira 900

ИФ|

П31

Tpl

ТР2 <

Местная волна 1

Л15 Л16 ПСДЗ

ТрЗ •

Л14 Л13

■т

t

Л1 AI Л2 А2

Л19 Л20

ЛЗ A3 Л4 A4

КРр

Л5 А5 Л6 А6

-B-f

Л12 Л11 Л10

Накачка 2

4-

32

Д31

Настроечный

Кр1

31

П

К

ч

к

ез

луч 1

Шт

ПВП1 ПСД2 Л17 Л18

Сигнал

г О

4 Тр4

Л21 Л22 ПСД5

Д32

Настроечный луч 2

ГД2

Рис. 1.6. Полная схема экспериментальной установки по генерации состояния (1.1). ИФ - изолятор Фарадея, (Д/П)3 - (дихроическое/пьезо) зеркало, Тр - тромбон, Л - линза, А - апертура, ГД - гомодиииый детектор, ДОФ - лавинный детектор одиночных фотонов, ПСД - поляризационный светоделитель, Кр - нелинейные кристаллы.

Подробный экспериментальный и теоретический анализ используемых техник представлен в диссертациях [63,64]. Ниже будет приведена оптимальная процедура ежедневной настройки схемы, позволяющая наиболее эффективным образом привести экспериментальную установку в состояние готовности для сбора данных:

1. Ежедневная настройка начинается с выставления лазера Coherent Mira 900 в оптимальное положение по длине волны Л ~ 780 нм, длительности импульса т ~ 1.4 пс и средней выходной мощности Ppulse = 1.4 Вт путем оптимизации зеркала GTI и выходной апертуры в резонаторе лазера.

2. Затем следует оптимизация эффективности процесса удвоения частоты (780 нм ^ 390 нм) в кристалле трибората лития (LBO) Kp по мощности получаемого синего (390 нм) света (выходная мощность « 200 — 250 мВ). Это излучение затем будет использоваться в качестве оптической накачки в процессах спонтанного параметрического рассеяния.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Уланов Александр Евгеньевич, 2019 год

Литература

1. Д. В. Сивухин, Общий курс физики. Учебное пособие для вузов в 5 т. T. IV. Оптика. 3-е изд. М.: ФИЗМАТЛИТ (2005).

2. X. Гюйгенс, Трактат о свете. М.; Л.: ОНТИ (1935).

3. И. Ньютон, Оптика или трактат об отражениях, преломлениях, изгибаниях и цветах света. Перевод с примечаниями С. И. Вавилова. М.: Гостехиздат (1954).

4. Д. К. Максвелл, Трактат об электричестве и магнетизме. В двух томах. М.: Наука (1989).

5. М. Planck, Uber das Gesetz der Energieverteilung im Normalspektrum (О законе распределения энергии в нормальном спектре). Annalen Der Physik 4 (1901)

6. A. Einstein, Uber einen die Erzeugung und Verwandlung des Lichtes betreffenden heuristischen Gesichtspunkt (On a Heuristic Viewpoint Concerning the Production and Transformation of Light). Annalen Der Physik 17 (1905)

7. A. H. Compton, A Quantum Theory of the Scattering of X-rays by Light Elements. Physical Review 21, 483 (1923).

8. C. J. Davisson and L. H. Germer, Reflection of Electrons by a Crystal of Nickel. Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America 14, 317 (1928).

9. L. de Broglie, Waves and quanta. Nature 112, 540 (1923).

10. В. Гейзенберг, Физические принципы квантовой теории. М.;Л.: (1932).

11. Е. Schrödinger, Abhandlungen zur Wellenmechanik. Leipzig (1927).

12. E. Schrödinger, Are There Quantum Jumps? British Journal for the Philosophy of Science 10, 109 (1952).

13. D. J. Wineland, Nobel lecture: Superposition, Entanglement, and Raising Schrödinger's Cat. Nobel Media AB (2014).

14. S. Haroche, Nobel Lecture: Controlling Photons in a Box and Exploring the Quantum to Classical Boundary. Nobel Media AB (2014).

15. M. A. Kastner, Artificial Atoms. Physics Today 46, 24 (1993).

16. T. Hime, P. A. Reichardt, B. L. T. Plourde, T. L. Robertson, C.-E. Wu, A. V. Ustinov and J. Clarke, Solid-State Qubits with Current-Controlled Coupling. Science 314, 1427-1429 (2006).

17. J. P. Dowling and G. J. Milburn, Quantum technology: the second quantum revolution. Philosophical Transactions. Series A, Mathematical, Physical, and Engineering Sciences 361, 1655-1674 (2003).

18. T. D. Ladd, F. Jelezko, R. Laflamme, Y. Nakamura, C. Monroe, and J. L. O'Brien, Quantum computers. Nature, 464, 45-53 (2010).

19. N. Gisin, G. Ribordy, W. Tittel and H. Zbinden, Quantum cryptography. Review of Modern Physics 74, 145 (2002).

20. V. Giovannetti, S. Lloyd and L. Maccone, Quantum-Enhanced Measurements: Beating the Standard Quantum Limit. Science 306, 1330 (2004).

21. H. J. Kimble, The quantum internet. Nature 453, 1023-1030 (2008).

22. A. I. Lvovsky, H. Hansen, T. Aichele, O. Benson, J. Mlynek and S. Schiller, Quantum State Reconstruction of the Single-Photon Fock State. Physical Review Letters 87, 50402 (2001).

23. R. J. Schoelkopf and S. M. Girvin, Wiring up quantum systems. Nature 45, 664-669 (2008).

24. G. Kurizki, P. Bertet, Y. Kubo, K. M0lmer, D. Petrosyan, P. Rabl and J. Schmiedmayer, Quantum technologies with hybrid systems. Proceedings of the National Academy of Sciences 112, 3866-3873 (2015).

25. U. L. Andersen, J. S. Neergaard-Nielsen, P. van Loock and A. Furusawa, Hybrid discrete- and continuous-variable quantum information. Nature Physics 1, 713-719 (2015).

26. M. A. Nielsen and I. L. Chuang, Quantum Computation and Quantum Information. Cambridge University Press (2000).

27. S. L. Braunstein and P. van Loock, Quantum information with continuous variables. Review of Modern Physics 77, 513-577 (2005).

28. P. Kok, W. J. Munro, K. Nemoto, T. C. Ralph, J. P. Dowling and G. J. Milburn, Linear optical quantum computing with photonic qubits. Review of Modern Physics 79, 135 (2007).

29. H. Jeong and M. S. Kim, Efficient quantum computation using coherent states. Physical Review A 65, 042305 (2002).

30. T. C. Ralph, A. Gilchrist, G. J. Milburn, W. J. Munro and S. Glancy, Quantum computation with optical coherent states. Physical Review A 68, 042319 (2003).

31. A. Ourjoumtsev, R. Tualle-Brouri, J. Laurat and P. Grangier, Generating optical Schrôdinger kittens for quantum information processing. Science 312, 83-86 (2006).

32. D. V. Sychev, A. E. Ulanov, A. A. Pushkina, M. W. Richards, I. A. Fedorov and A. I. Lvovsky, Enlargement of optical Schrôdinger's cat states. Nature Photonics 11, 379382 (2017).

33. A. E. Ulanov, I. A. Fedorov, D. V. Sychev, P. Grangier and A. I. Lvovsky, Loss-tolerant state engineering for quantum-enhanced metrology via the reverse Hong-Ou- Mandel effect. Nature Communiacations 7, 11925 (2016).

34. S. Takeda, T. Mizuta, M. Fuwa, P. van Loock, and A. Furusawa, Deterministic quantum teleportation of photonic quantum bits by a hybrid technique, Nature (London) 500, 315 (2013).

35. S. Pirandola and S. L. Braunstein, Physics: Unite to build a quantum Internet. Nature 532, 169-171 (2016).

36. M. Dakna, T. Anhut, T. Opatrny, L. Knöll and D.G. Welsch, Generating Schrödinger-catlike states by means of conditional measurements on a beam splitter. Physical Review A 55, 3184 (1997).

37. S. Oh, S. Lee and H. Lee, Fidelity of quantum teleportation through noisy channels. Physical Review A 66, 022316 (2002).

38. C. A. Sackett, D. Kielpinski, B. E. King, C. Langer, V. Meyer, C. J. Myatt and C. Monroe, Experimental entanglement of four particles. Nature 404, 256-259 (2000).

39. S. Massar and S. Popescu, Optimal Extraction of Information from Finite Quantum Ensembles. Physical Review Letters 74, 1259-1263 (1995).

40. A. Einstein, B. Podolsky, and N. Rosen, Can quantum-mechanical description of physical reality be considered complete? Physical Review 47, 777 (1935).

41. C. Bennett, G. Brassard and C. Crepeau, Teleporting an unknown quantum state via dual classical and Einstein-Podolsky-Rosen channels. Physical Review Letters 70, 1895 (1993).

42. R. Horodecki, P. Horodecki, M. Horodecki and K. Horodecki, Quantum entanglement. Review of Modern Physics 81, 865-942 (2009).

43. S. L. Braunstein and A. Mann, Measurement of the Bell operator and quantum teleportation. Physical Review A 51, R1727-R1730 (1995).

44. D. Bouwmeester, J.-W. Pan, K. Mattle, M. Eibl, H. Weinfurter and A. Zeilinger, Experimental quantum teleportation. Nature 390, 575-579 (1997).

45. A. Furusawa, J. L. S0rensen, S. L. Braunstein, C. A. Fuchs, H. J. Kimble and E. S. Polzik, Unconditional Quantum Teleportation. Science 282, 706-709 (1998).

46. H. Yonezawa, S. L. Braunstein and A. Furusawa, Experimental Demonstration of Quantum Teleportation of Broadband Squeezing. Physical Review Letters 99, 110503 (2007).

47. N. Lee, H. Benichi, Y. Takeno, S. Takeda, J. Webb, E. Huntington and A. Furusawa, Teleportation of Nonclassical Wave Packets of Light. Science 332, 330-333 (2011).

48. X.-H. Bao, X.-F. Xu, C.-M. Li, Z.-S. Yuan, C.-Y. Lu and J.-W. Pan, Quantum teleportation between remote atomic-ensemble quantum memories. Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America 109, 20347-51 (2012).

49. S. Pirandola, J. Eisert, C. Weedbrook, A. Furusawa and S. L. Braunstein, Advances in quantum teleportation. Nature Photonics 9, 641-652 (2015).

50. J.-G. Ren, P. Xu, H.-L. Yong, L. Zhang, S.-K. Liao, J. Yin, et al., Ground-to-satellite quantum teleportation. Nature 549, 70-73 (2017).

51. R. Valivarthi, M. 1. G. Puigibert, Q. Zhou, G. H. Aguilar, V. B. Verma, F. Marsiii, et al., Quantum teleportation across a metropolitan fibre network. Nature Photonics 10, 676-680 (2016).

52. Q.-C. Sun, Y.-L. Mao, S.-J. Chen, W. Zhang, Y.-F. Jiang, Y.-B. Zhang, et al., Quantum teleportation with independent sources and prior entanglement distribution over a network. Nature Photonics 10, 671-675 (2016).

53. P.-Y. Hou, Y.-Y. Huang, X.-X. Yuan, X.-Y. Chang, C. Zu, L. He, et al., Quantum teleportation from light beams to vibrational states of a macroscopic diamond. Nature Communications 7, 11736 (2016).

54. Y.-M. He, Y.-M. He, Y.-J. Wei, X. Jiang, K. Chen, C.-Y. Lu, et al., Quantum State Transfer from a Single Photon to a Distant Quantum-Dot Electron Spin. Physical Review Letters 119, 60501 (2017).

55. C. Nölleke, A. Neuzner, A. Reiserer, C. Hahn, G. Rempe and S. Ritter, Efficient Teleportation Between Remote Single-Atom Quantum Memories. Physical Review Letters 110, 140403 (2013).

56. О. Morin, К. Huang, J. Liu, H. Le Jeannic, С. Fabre and J. Laurat, Remote creation of hybrid entanglement between particle-like and wave-like optical qubits. Nature Photonics 8, 570-574 (2014).

57. A. Ourjoumtsev, F. Ferreyrol, R. Tualle-Brouri and P. Grangier, Preparation of non-local superpositions of quasi-classical light states. Nature Physics 5, 189-192 (2009).

58. H. Jeong, M. S. Kim and J. Lee, Quantum-information processing for a coherent superposition state via a mixedentangled coherent channel. Physical Review A 64, 52308 (2001).

59. A. I. Lvovsky and J. Mlynek, Quantum-optical catalysis: generating nonclassical states of light by means of linear optics. Physical review letters 88, 250401 (2002).

60. W.R. Boyd, Nonlinear Optics (3rd edition) (Acad. Press, 2008)

61. A.I. Lvovsky, Squeezed light. Section in book: Photonics Volume 1: Fundamentals of Photonics and Physics, Edited by D. Andrews, littp: /arxiv.org/abs/1401.4118

62. J. S. Neergaard-Nielsen, В. M. Nielsen, C. Hettich, K. M0lmer and E. S. Polzik, Generation of a Superposition of Odd Photon Number States for Quantum Information Networks. Physical Review Letters 97, 83604 (2006).

63. H. Hansen, Generation and Characterization of New Quantum States of the Light Field. PhD Thesis, UFO, Atelier fiir Gestaltung und Verlag (2000).

64. R. Kumar, Process Tomography of Photon Creation and Annihilation Operators. MSc Thesis, University of Calgary (2012).

65. И. А. Федоров, Нелокальное управление квантовым состоянием света. Диссертация на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук, ФИАН им. П. Н. Лебедева, Москва (2016).

66. A. V. Masalov, A. Kuzhamuratov and A. I. Lvovsky, Noise spectra in balanced optical detectors based on transimpedance amplifiers. Review of Scientific Instruments 88, 113109 (2017).

67. T. Aichele, A. I. Lvovsky and S. Schiller, Optical mode characterization of single photons prepared by means of conditional measurements on a biphoton state. The European Physical Journal D - Atomic, Molecular and Optical Physics 18, 237-245 (2002).

68. W. Wasilewski, A. I. Lvovsky, K. Banaszek and C. Radzewicz, Pulsed squeezed light: Simultaneous squeezing of multiple modes. Physical Review A 73, 63819 (2006).

69. A. I. Lvovsky and M. G. Raymer, Continuous-variable optical quantumstate tomography. Reviews of Modern Physics 81, 299-332 (2009).

70. J. Rehäcek, Z. Hradil, E. Knill and A. I. Lvovsky, Diluted maximum-likelihood algorithm for quantum tomography. Physical Review A 75, 42108 (2007).

71. A. I. Lvovsky, Iterative maximum-likelihood reconstruction in quantum homodyne tomography. Journal of Optics B: Quantum and Semiclassical Optics 6, S556-S559 (2004).

72. J. S. Neergaard-Nielsen, M. Takeuchi, K. Wakui, H. Takahashi, K. Hayasaka, M. Takeoka, et al., Optical Continuous-Variable Qubit. Physical Review Letters 105, 53602 (2010).

73. H. Jeong, A. Zavatta, M. Kang, S. Lee, L. S. Costanzo, S. Grandi and M. Bellini, Generation of hybrid entanglement of light. Nature Photonics 8, 564 (2014).

74. F. Marsiii, V. B. Verma, J. A. Stern, S. Harrington, A. E. Lita, T. Gerrits, et al., Detecting single infrared photons with 93 % system efficiency. Nature Photonics 7, 210-214 (2013).

75. D. V. Sychev, A. E. Ulanov, A. A. Pushkina, I. A. Fedorov, M. W. Richards, P. Grangier, et al., Generating and breeding optical Schrodinger's cat states. AIP Conference Proceedings 1936, 20018 (AIP Publishing LLC, 2018).

76. A. E. Ulanov, D. Sychev, A. A. Pushkina, I. A. Fedorov and A. I. Lvovsky, Quantum Teleportation Between Discrete and Continuous Encodings of an Optical Qubit. Physical Review Letters 118, 160501 (2017).

77. D. W. Berry, A. I. Lvovsky and B.C. Sanders, Interconvertibility of single-rail optical qubits. Optics Letters 31, 107 (2006).

78. J.-W. Pan, D. Bouwmeester, H. Weinfurter and A. Zeilinger, Experimental Entanglement Swapping: Entangling Photons That Never Interacted. Physical Review Letters 80, 3891-3894 (1998).

79. C. K. Hong, Z. Y. Ou and L. Mandel, Measurement of subpicosecond time intervals between two photons by interference. Physical Review Letters 59, 2044-2046 (1987).

80. B. B. Blinov, D. L. Moehring, L.-M. Duan and C. Monroe, Observation of entanglement between a single trapped atom and a single photon. Nature 428, 153-157 (2004).

81. C. Clausen, F. Bussieres, A. Tiranov, H. Herrmann, C. Silberhorn, W. Sohler, et al., A source of polarization-entangled photon pairs interfacing quantum memories with telecom photons. New Journal of Physics 16, 93058 (2014).

82. J. Pan, S. Gasparoni, M. Aspelmeyer, T. Jennewein and A. Zeilinger, Experimental realization of freely propagating teleported qubits. Nature 421, 721-725 (2003).

83. S. L. Braunstein and H. J. Kimble, A posteriori teleportation. Nature 394, 840-841 (1998).

84. J.-W. Pan, D. Bouwmeester, H. Weinfurter and A. Zeilinger, Experimental Entanglement Swapping: Entangling Photons That Never Interacted. Physical Review Letters 80, 3891-3894 (1998).

85. L.-K. Chen, H.-L. Yong, P. Xu, X.-C. Yao, T. Xiang, Z.-D. Li, et al., Experimental nested purification for a linear optical quantum repeater. Nature Photonics 11, 695-699 (2017).

86. C. Wagenknecht, C.-M. Li, A. Reingruber, X.-H. Bao, A. Goebel, Y.-A. Chen, et al., Experimental demonstration of a heralded entanglement source. Nature Photonics 4, 549-552 (2010).

87. S. Barz, G. Cronenberg, A. Zeilinger and P. Walther, Heralded generation of entangled photon pairs. Nature Photonics 4, 553-556 (2010).

88. M. Mtiller, S. Bounouar, K. D. Jons, M. Glassl and P. Michler, On-demand generation of indistinguishable polarization-entangled photon pairs. Nature Photonics 8, 224-228 (2014).

89. J. Zhang, J. S. Wildmann, F. Ding, R. Trotta, Y. Huo, E. Zallo, et al., High yield and ultrafast sources of electrically triggered entangled-photon pairs based on strain-tunable quantum dots. Nature Communications 6, 10067 (2015).

90. A. Ourjoumtsev, H. Jeong, R. Tualle-Brouri and P. Grangier, Generation of optical 'Schrodinger cats' from photon number states. Nature 448, 784-786 (2007).

91. J. Etesse, M. Bouillard, B. Kanseri and R. Tualle-Brouri, Experimental Generation of Squeezed Cat States with an Operation Allowing Iterative Growth. Physical Review Letters 114, 193602 (2015).