Представления постоянной гауссовой кривизны для кинематически интегрируемых уравнений математической физики и их приложения тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.03, кандидат физико-математических наук Тихомиров, Дмитрий Владимирович

• Тихомиров, Дмитрий Владимирович
• кандидат физико-математических наук
• 2005

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Тихомиров, Дмитрий Владимирович

Введение. Обзор литературы.

Глава I. Понятия представления гауссовой кривизны и кинематической интегрируемости для уравнений математической физики

§1.1. Представление гауссовой кривизны.

1.1.1. Общие положения

1.1.2. Примеры представлений гауссовой кривизны для уравнений математической физики.

§1.2. Представление нулевой кривизны.

1.2.1. Общие положения

1.2.2. Кинематическая интегрируемость уравнений.

1.2.3. Примеры представлений нулевой кривизны для уравнений математической физики.

§1.3. Структурные уравнения поверхности в Ег.

§1.4. Теорема существования представления нулевой кривизны для представления постоянной гауссовой кривизы уравнений

Глава II. Дифференциально-геометрический критерий кинематической интегрируемости

§2.1. Дифференциальные формы для операторов модифицированного вида задачи Захарова-Шабата.

§2.2. Теорема об отображении класса кинематически интегрируемых уравнений в класс уравнений, допускающих представление постоянной гауссовой кривизны.

§2.3. Дифференциально-геометрический критерий кинематической интегрируемости уравнений.

§2.4. Примеры построения представлений нулевой кривизны и метрик для уравнений математической физики.

2.4.1. Таблица примеров представлений нулевой кривизны и метрик для уравнений математической физики.

2.4.2. Псевдосферическая метрика.

2.4.3. Сферическая метрика.

2.4.4. Специальный способ построения псевдосферической метрики и операторов представления нулевой кривизны

Глава III. Матрица монодромии и преобразования Бэклунда для уравнений математической физики

§3.1. Матрица монодромии и приложения для уравнений математической физики

3.1.1. Общие положения

3.1.2. Задача Гурса и матрица монодромии.

3.1.3. Подход к построению матрицы монодромии с помощью калибровочного преобразования специального вида

§3.2. Преобразования Бэклунда и представление гауссовой кривизны

3.2.1. Псевдосферическая метрика общего вида.

3.2.2. Локальные преобразования Бэклунда для эллиптического уравнения Лиувилля.

3.2.3. Локальные преобразования Бэклунда для уравнения Бюргерса.

§3.3. Геометрическая интерпретация преобразований Бэклунда и солитонных решений для уравнения синус-Гордона

3.3.1. Преобразования Бэклунда для уравнения синус-Гордона

3.3.2. Геометрическая интерпретация односолитонного решения уравнения синус-Гордона.

3.3.3. Преобразования Бэклунда для уравнения синус-Гордона и псевдосферические поверхности.

3.3.4. Исследование особенностей псевдосферических поверхностей, отвечающих солитонным решениям уравнения синус-Гордона.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Представления постоянной гауссовой кривизны для кинематически интегрируемых уравнений математической физики и их приложения»

Многие задачи современной математической физики связаны с исследованием широкого класса нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных. Решение нелинейных уравнений весьма сложно, и в настоящее время не существует общих, универсальных методов решения. Как правило, исследование большинства нелинейных задач проводится численными методами в рамках конкретно заданных условий, при этом эффективность численных методов зависит не только от алгоритма решения задачи и его программной реализации, но и, в значительной степени, от выбора теоретической модели. При этом аналитические методы являются в ряде случаев единственно возможным инструментом исследования. Поэтому возникает необходимость в развитии общих теоретических подходов, таких как метод обратной задачи рассеяния (МОЗР) [1],[2], преобразования Бэклунда [3],[4],[5],[6], общая теория солитонов [1],[7], групповые методы [8],[9] и другие.

Значительную сложность исследованиям нелинейных дифференциальных уравнений придает отсутствие каких-либо общих свойств и классификаций. В этой связи актуальной является задача поиска классификаций нелинейных уравнений, допускающих применение различных методик. Например, метод обратной задачи рассеяния (МОЗР) предлагает возможность классификации кинематически интегрируемых уравнений с помощью групповых методов (алгебры Ли), тем самым определенным образом устанавливая возможные классы уравнений, для которых применим гамильтонов формализм МОЗР. С другой стороны, применение подобных классификаций не является абсолютным и не позволяет формировать какие-либо выводы для уравнений, не входящих в рассматриваемые классы.

Особую роль играет взаимосвязь геометрии и теории нелинейных дифференциальных уравнений, которая предлагает новые пути к решению и исследованию современных задач математической физики [10],[11],[12],[13]

Возникновение дифференциальной геометрии побудило к развитию методов решения и исследования нелинейных задач геометрическими методами [14], [15], [16]. Первые работы по дифференциальной геометрии связаны с такими знаменитыми именами, как JL Эйлер и Г. Монж, фундамент современной теории поверхностей был заложен в работах Гаусса. Эпохальную роль в развитии геометрии сыграло открытие Н.И. Лобачевским неевклидовой геометрии, на основе которой построен геометрический подход к решению и анализу современных задач математической физики, рассматриваемый в настоящей работе.

Научное направление исследования взаимосвязи геометрии с теорией нелинейных дифференциальных уравнений традиционно развивается в школе Ефимова-Позняка геометрии "в целом" [17], [18].

Рассмотрим дифференциальное уравнение в частных производных вида: f(u,ux,uuuxx,.\x,t) = 0.

Метрический тензор

Над II = где Е = Е(и, их, щ,ихх,.; x,t),F = F(u, их,щ,ихх,.; х, t) и G = G(u, их,щ,ихх,.\х,{) зависят от функции u(x,t) и ее производных, называется Л2-представлением уравнения, если уравнение Гаусса, связывающее метрические коэффициенты E,F,G с гауссовой кривизной K(x,t):

К =

4W'2

Е Ех Et F Fx Ft G Gx Gt

1 . д .Et — Fx.д —

2VW[dt\^W } Ox1 VW )h

W = EG- F\ выполняется тождественно для К = — 1 и при условии выполнения рассматриваемого уравнения. При этом уравнения, допускающие А2-представления образуют А2 -класс уравнений. В случае произвольной гауссовой кривизны K(x,t) будем говорить о представлении гауссовой кривизны (G- класс).

В указанной связи особую роль сыграли исследования уравнения синус-Гордона [19],[20]: zxt = sin г, возникновение которого в геометрии связано с проблемой регулярных изометрических погружений частей плоскости Лобачевского в трехмерное евклидово пространство. Уравнение синус-Гордона занимает особое место, как исторически первое уравнение, нашедшее свое геометрическое содержание. Это уравнение впервые было получено П.Л. Чебышевым при исследовании вопроса существования на поверхности в евклидовом пространстве Ег особых сетей линий [21]. Уравнение синус-Гордона принадлежит Л2-классу дифференциальных уравнений, которому в Ег отвечает метрика чебышевской сети на поверхности с гауссовой кривизной К = -1: ds2 = dx2 + 2 cos z(x, t)dxdt + dt2, где 2(x, ^-сетевой угол чебышевской сети - сети линий с равными противоположными сторонами элементарного координатного четырехугольника. Уравнение синус-Гордона может рассматриваться как уравнение погружения плоскости Лобачевского А2 в евклидово пространство Данный подход был использован Д.Гильбертом в 1900 году для изучения вопроса о регулярном изометрическом погружении плоскости А2 в евклидово пространство Ег [22]. В своей работе им была доказана теорема о том, что в Е3 не существует полной регулярной поверхности изометрич-ной в целом плоскости А2. Неоценимый вклад в исследования уравнения синус-Гордона принадлежит Э.Г. Позняку [24], [25]. Изучая вопрос погружения плоскости А2 [23], Э.Г. Позняк доказал теорему, согласно которой нерегулярным особенностям поверхности с кривизной А' = — 1 отвечают линии уровней z(x,y) — пк решений уравнения синус-Гордона. Таким образом, исследование свойств линий уровней позволяет строить псевдосферические поверхности, реализующие метрику плоскости Лобачевского. Сейчас можно сказать, что уравнение синус-Гордона знаменует собой гармоничное сочетание двух фундаментальных направлений в науке - дифференциальной геометрии поверхностей и теории нелинейных дифференциальных уравнений [26],[27].

Введение понятия А2 -представления (представления гауссовой кривизны) дифференциальных уравнений явилось отправной точкой нового понимания диффе-ренциально-геометрической природы уравнений, после которой был проведен целый ряд исследований. Так, помимо построения А2-представлений отдельных уравнений математической физики, были разработаны специальные методы построения для определенных классов уравнений, например, вида: Wt = /ж[ш]. Подробное изложение методик построения А2 -представлений можно найти в работах [28], [29]. Значительные исследования проведены в области изометрического погружения псевдосферических метрик в Е3, рассматриваемых в качестве А2- представления нелинейных уравнений математической физики [30], [31]. В работах [30],[32] проведены исследования псевдосферических поверхностей, отвечающих уравнению синус-Гордона.

Говоря о взаимосвязи дифференциальной геометрии и теории нелинейных дифференциальных уравнений, отметим специальное преобразование, в равной степени относящееся к обоим этим разделам. Это преобразование получило название преобразования Бэклунда [33],[34],[35]. Стоит отметить некоторые результаты исследований преобразований Бэклунда, коррелирующие с исследованиями Л2-представлений. Так, с помощью преобразований Бэклунда получены солитонные решения известных уравнений математической физики; взаимосвязь результатов исследований псевдосферических поверхностей, отвечающих А2-представлению уравнения, и исследований преобразований Бэклунда побудила к развитию подходов геометрической классификации многосолитонных решений уравнений по особенностям на соответствующих псевдосферических поверхностях. Определенные результаты в данной области изложены в статьях [32],[36]. Подробнее по тематике преобразований Бэклунда для псевдосферических поверхностей рассматривается в монографии [37], а в работах [38],[39],[40] и [41] представлены исследования преобразований Бэклунда для нелинейных дифференциальных уравнений.

Сегодня серьезной научной темой становятся исследования особых решений уравнений математической физики - солитонов [42], [43], специальных классов трансцендентных функций [44],[45],[46] во взаимосвязи с уникальными физическими явлениями [47]. При этом методы дифференциальной геометрии и преобразования Бэклунда предлагают определенные инструменты исследования [48],[49],[50],[51]. Так, например, с помощью преобразований Бэклунда построены многосолитонные решения уравнения синус-Гордона; исследованы свойства поверхностей постоянной отрицательной гауссовой кривизны [52],[53],[54],[55],[56]; с использованием алгебро-геометрических подходов на основе тета-функции Римана [57],[58] построены и исследованы конечно-зонные решения ряда уравнений математической физики и исследована взаимосвязь с методом обратной задачи рассеяния. Ярким примером геометрических исследований уравнения синус-Гордона в автомодельных переменных и связанной с ним третьей трансцендентной функцией Пенлеве являются работы Ам-слера [59], в которых рассматривается характер поведения поверхности в зависимости от решения уравнения.

Применение дифференциально-геометрического подхода позволяет интерпретировать поверхности отрицательной кривизны для явлений, описываемых уравнением синус-Гордона, как фазовых поверхностей (двухмерных нелинейных аналогов классических фазовых пространств в физике), определяющих развитие соответствующих нелинейных процессов. Данная концепция приводит к установлению эволюционного принципа для широкого класса явлений, который позволяет на геометрической основе объяснить такие закономерности, как распространение ультракоротких импульсов (эффект самоиндуцированной прозрачности) в двухуровневой резонансной среде [61], особенности поведения вектора намагниченности в блоховской стенке [62], процессы в джозефсоновском контакте [63], возмущенные состояния элементарных частиц [64] и другие [65].

В современной математической физике сложилась большая область, носящая название метода обратной задачи рассеяния. Начало методу положила пионерская работа принстонской группы "Метод для решения уравнения Кортевега-де Фриза" [66], опубликованная в 1967 году. Период становления метода обратной задачи связан с работой Лакса [50] в 1968 году, в которой были формализованы результаты работы принстонской группы и введено понятие L — А пары Лакса. Исследованиями Захарова и Шабата 1971 года [67] показано, что понятие L — А пары не является специальным свойством уравнения Кортевега-де Фриза, а применимо и к нелинейному уравнению Шредингера; тем самым, были открыты перспективы для применения метода и к другим уравнениям. После этого, развитие метода обратной задачи и его приложений пошло с нарастающей скоростью и привело в настоящее время к созданию целой области математической физики [69],[70].

Особый интерес представляет гамильтонова интерпретация метода обратной задачи [67],[68]. Именно на основе общих соображений гамильтонова формализма метод обратной задачи получил наиболее элегантную формулировку, сочетая в себе методы дифференциальной геометрии и физики. Современный подход состоит во введении пары матричных недифференциальных операторов U и V для заданного уравнения f(u, их,щ, ихх,.; х, t) = 0 и построения соответствующей переопределенной системы: U(u,ux,ut,uxx,.;x,t, \)(р, §f = У(щ их, щ,ихх,.; х, t\ \)<р, где ip = ( ^ ) -вектор-функция от (х, t); U, F-матрицы 2x2, Л-комплексный W параметр. Соответствующее условие совместности системы, выполняющееся при всех А:

Ut-Vx + [U,V} = о, называется уравнением представления нулевой кривизны для рассматриваемого уравнения /(м, их, ut,uxx,.; х, t) = 0.

На сегодняшний момент, несмотря на разработанные подходы к исследованию спектрально-эволюционной задачи и уравнениям математической физики на основе групповых методов и процедур задачи Римана, вопрос о существовании представления нулевой кривизны для уравнений в общем случае является нетривиальным и открытым.

В связи с рассматриваемой тематикой представления нулевой кривизны следует отметить результаты, полученные в рамках школы Ефпмова-Позняка геометрии "в целом". Так, с самого момента основания дифференциально-геометрического подхода, была отмечена взаимосвязь между представлениями нулевой и гауссовой кривизны для дифференциальных уравнений [71]. В работе [29] получены аналитические формулы выражения матричных операторов U, V представления нулевой кривизны через элементы метрического тензора представления постоянной гауссовой кривизны, тем самым, устанавлено прямое отображение G-класса К = Const ф 0 в класс кинематически интегрируемых уравнений. Среди других научных групп, ведущих смежные направления исследований, являются K.Tenenblat [73],[77], N.Kamran [74], S.S.Chern [72], J.A.Cavalcante [78], A.Sym [79] и другие [75],[76]. Известные работы K.Tenenblat и N.Kamran посвящены методам построения метрик постоянной гауссовой кривизны и выявлению дифференциально-геометрических свойств для определенных классов уравнений, с целью возможной их классификации и обобщения. Группа ученых - A.Sym, J.Cieslinski [80] и другие, посвятили своп исследования задачам погружения метрик noli стоянной гауссовой кривизны в евклидово пространство и исследованию свойств псевдосферических поверхностей во взаимосвязи со свойствами соответствующих нелинейных дифференциальных уравнений.

Настоящая работа продолжает исследования, связанные с дифференциально-геометрическим рассмотрением уравнений математической фи-зизки, и на новом витке научного развития данных подходов направлена на обобщение известных результатов. Приведенные в работе доказательства теорем используют аналогии между методом обратной задачи рассеяния и системой структурных уравнений поверхности. Полученные результаты относятся к обобщению различных методик, принадлежащих к несвязанным на первый взгляд разделам математических теорий. Обсуждаемые взаимосвязи различных подходов в исследовании нелинейных уравнений, использующие дифференциально-геометрическую основу, базируются на понятиях представления гауссовой и нулевой кривизны.

Основными целями диссертационной работы являются:

- развитие подходов исследования нелинейных дифференциальных уравнений математической физики, базирующихся на представлении гауссовой и нулевой кривизны, и установление взаимосвязи между данными подходами;

- исследование приложений, связанных с рассматриваемыми подходами (матрица монодромии, калибровочные преобразования, преобразования Бэклунда), и построение примеров для актуальных уравнений математической физики;

- развитие вопроса взаимных преобразований метрик и построение на их основе преобразований Бэклунда для уравнений математической физики;

- исследование свойств солитонных решений уравнения синус-Гордона и построение псевдосферических поверхностей, отвечающих данным решениям.

Заключение диссертации по теме «Математическая физика», Тихомиров, Дмитрий Владимирович

Заключение

Проведенные в работе исследования взаимосвязи представления постоянной гауссовой и нулевой кривизны позволяют на новом витке развития взглянуть на роль дифференциально-геометрического подхода в теории нелинейных уравнений математической физики.

Идея представления нелинейного дифференциального уравнения с помощью уравнения Гаусса, предложенная Э.Г. Позняком и А.Г. Поповым содержит в себе не только возможность особой интерпретации уравнений, представление гауссовой кривизны оказывается связанным с алгебраическими и дифференциальными свойствами соответствующих геометрических структур и дает новые возможные трансформации различных методик анализа нелинейных систем.

Одновременно с разработкой геометрических подходов в исследовании нелинейных уравнений возникает перспективная задача геометрического "истолкования" ожидаемых результатов и, возможно, построение обобщений существующих закономерностей в сложных нелинейных системах. Реализация таких идей представляет серьезный практический интерес, т.к. модельные уравнения непосредственно связаны с современными прикладными исследовани ями.

Уникальные возможности подхода к описанию дифференциально-геометрических объектов с помощью структурных уравнений поверхности, использованные в первой главе, позволяют не только получить точные аналитические выражения для искомых объектов, но и детально исследовать данные объекты. Обобщая подходы, предложенные Сасаки (R.Sasaki), результаты первой и второй глав настоящей работы позволяют провести параллель между классами нелинейных дифференциальных уравнений и двумя подходами к описанию рассматриваемых уравнений.

В настоящей работе более детально исследована взаимосвязь представления постоянной гауссовой кривизны и представления нулевой кривизны в направлении обобщения, с дальнейшей целью возможного прикладного использования конкретных результатов и подходов.

Разнообразие возможных вариантов построения операторов представления постоянной гауссовой и нулевой кривизны, рассмотренных в первой главе, подчеркивает тесную связь структурных уравнений поверхности с представлением нулевой кривизны. Возможности построения операторов U,V спектрально-эволю-ционной задачи, представленные в пункте 1.4, открывают пути дальнейших исследований и поиска методов классификации нелинейных уравнений математической физики с помощью дифференциально-геометри-ческих построений.

Существенным результатом, представленным во второй главе, является теорема об отображении класса кинематически интегрируемых уравнений в класс уравнений, допускающих представление постоянной гауссовой кривизны. Данная теорема позволяет строить представления постоянной гауссовой кривизны по представлению нулевой кривизны. Дифференциально-геометрический критерий поставляет необходимые и достаточные условия кинематической интегрируемости уравнений и предлагает определенный путь классификации представлений в зависимости от знака гауссовой кривизны. Безусловно, вопрос практического применения представленного критерия кинематической интегрируемости требует дальнейшего изучения и, прежде всего, зависит от развития аппарата построения представлений для уравнений. В рассмотренных примерах демонстрируются определенные подходы к построению представлений гауссовой и нулевой кривизны, однако рассматриваемые подходы являются частными и не позволяют охватить все возможные модельные уравнения.

Интересным приложением метода обратной задачи рассеяния является матрица монодромии, исследованная в третьей главе. Тесная взаимосвязь с интегралами движения и свойство независимости следа матрицы монодромии от времени предлагают определенные пути исследования нелинейных уравнений математической физики с позиции интегральных характеристик.

Полученные в §3.2 преобразования Векуа и Коула-Хопфа отражают не только общие свойства уравнений А2-класса, связанные с локальными заменами координат, но и содержат дополнительную информацию дифференциально-геометрического характера. Использованная инвариантность гауссовой кривизны относительно локальных преобразований координат позволяет связывать решения различных уравнений Л2-класса, а локальное взаимнооднозначное соответствие самих метрик гарантирует взаимную однозначность получаемых преобразований Бэклунда.

Важное значение имеют прикладные исследования с использованием методов преобразований Бэклунда и дифференциальной геометрии в отношении конкретных уравнений математической физики. Рассмотренная в §3.3. геометрическая интерпретация преобразований Бэклунда и соли-тонных решений для уравнения синус-Гордона, предлагает пути построения и классификации солитонных решений уравнения на основе особенностей соответствующих псевдосферических поверхностей.

В заключение хочется выразить уверенность в дальнейшем развитии дифференциально-геометрического подхода в методах математической физики и связанных с ним новых приложений. В качестве некоторых из них тезисно укажем возможные направления дальнейших исследований:

1) Обобщение полученных результатов на случай переменной гауссовой кривизны К = K(x,t), которое позволит в значительной степени расширить возможности использования дифференциально-геометрических методов в исследованиях нелинейных уравнений математической физики.

2) Установление соответствий между внутригеометрическими характеристиками уравнений и структурами спектрально-эволюционной задачи.

3) Исследование взаимосвязи представлений гауссовой и нулевой кривизны для уравнений относительно комплекснозначных функций (например, нелинейное уравнение Шредингера).

4) Установление геометрической интерпретации матрицы монодро-мии и поиск подходов к построению матрицы монодромии геометрическими методами.

5) Исследование локальных преобразований метрик, отвечающих представлению гауссовой кривизны для уравнений математической физики в связи с калибровочной эквивалентностью представления нулевой кривизны.

Выделенные здесь направления относятся к задачам перспективных исследований, продуктивная реализация которых, вероятно, будет связана с использованием синтезированных методик, принципиальная роль в которых отводится геометрии.

В заключение, сформулируем общие результаты и утверждения, составляющие основу проведенных исследований представлений гауссовой и нулевой кривизны для уравнений математической физики и их приложений.

1). Доказана теорема существования представления нулевой кривизны для представления постоянной гауссовой кривизны уравнений.

2). Доказана теорема об отображении класса кинематически интегрируемых уравнений в класс уравнений, допускающих представление постоянной гауссовой кривизны.

3). Установлен дифференциально-геометрический критерий кинематической интегрируемости уравнений с операторами U, V спектрально-эволюционной задачи, принадлежащих sw(l, 1), su(2) алгебрам Ли. Построены примеры представлений нулевой кривизны и метрик для ряда актуальных уравнений математической физики.

4). Предложены способы построения матрицы монодромии с помощью калибровочного преобразования специального вида и условия интегрируемости мультипликативного интеграла.

5). Геометрическими методами построено локальное преобразование Бэклунда для уравнения Бюргерса, представляющее собой известное преобразование Коула-Хопфа.

6). Исследованы свойства двухсолитонных решений уравнения синус-Гордона и построены соответствующие двухсолитонные псевдосферические поверхности.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Тихомиров, Дмитрий Владимирович, 2005 год

1. В.Е. Захаров, С.В. Манаков, С.П. Новиков и др. Теория солитонов. Метод обратной задачи рассеяния.//М.:Наука, 1980

2. M.J. Ablowitz, D.J. Каир, А.С. Newell and H.Segur The inverse scattering transform-Fourier analysis for nonlinear problems.//Stud. Appl. Math. 53:249-315,1974

3. R.M. Miura Backlund transformation. The Inverse Scattering Method. Solitons and Their Applications// Lecture Notes in Math/ vol 515, Springer, New York, 1976

4. P.B. Mucha Backlund Transformation. // BULLETIN of Stud. Nonlinear Phys.Res.Group, N1, 1995

5. A. Gonzalez-Lopez and N. Kamran, 1998, The multi-dimensional Dar-boux transformation, J. Geometry and Physics, 26, pp. 202-226

6. Jan L Cieslinski The Darboux-Backlund transformation without using a matrix representation J. Phys. A: Math. Gen. 33 No 41 (2000) L363-L368

7. M. Абловитц, X. Сигур Солитоны и метод обратной задачи рассеяния. М., Мир, 1987, 480с

8. П.Олвер Приложения групп Ли к дифференциальным уравнениям. //М.: Мир, 1989

9. К. Номидзу Группы Ли и дифференциальная геометрия.

10. Kamran, N., Lectures on the Geometrical Study of Differential Equations, Providence, RI, Amer. Math. Soc., 2002

11. Frittelli, S., Kamran, N., Newman, E. Т., л Differential equations and conformal geometry, J. Geom. Phys., 43:2-3 (2002), 133-145

12. Ceyhan A.S. Fokas,M. Gurses Deformations of surfaces associated with integrable Gauss-Mainardi-Codazzi equations, J. Math. Phys., 41 (2000) 2251-2270

13. M.Gurses, M.Nutku Ya. New nonlinear evolution equations from surface theory. J.Math.Phys.22, 7, 1981,1393-1398

14. Б.А. Дубровин, С.П. Новиков, A.T. Фоменко Современная геометрия. Методы и приложения. М.: Эдиториал УРСС, 1998. т.1, т.2.

15. А.В. Погорелов Дифференциальная геометрия, М.:Наука, 1974

16. Э.Г. Позняк, Е.В. Шикин Дифференциальная геометрия.//Изд. МГУ, М.,1990

17. Э.Г. Позняк, А.Г. Попов Геометрия Лобачевского и уравнения математической физики.// Доклады АН, 1993, T.332,N4,c.418-421

18. Э.Г. Позняк, А.Г. Попов Неевклидова геометрия: формула Гаусса и интерпретация дифференциальных уравнений в частных производных.// Геометрия II. Тематические обзоры, итоги науки и техники (ВИНИТИ), 1994, с.5-24

19. David М. Stuart Solitons pseudo-Riemannian manifolds. The sine-Gordon equation//Comm.Partial Differential Equations,1998,N9-10,pp.1815-1837

20. R. Beals, K. Tenenblat An intrinsic generalization for the wave and sine-Gordon equations, Differential geometry, Pitman Monogr. Surveys Pure Appl. Math., vol. 52, Longman Sci. Tech., Harlow, 1991, pp. 25-4G.

21. П.Л. Чебышев О кройке одежды.-Успехи математических наук, 1946, т.1, вып.2, с.38-42

22. Д. Гильберт Основания геометрии (добавление У), М.-Л.:Гостехиздат, 1948

23. Э.Г. Позняк Геометрическая интерпретация регулярных решений уравнения zxy = sinz.//Диф. уравнения, 1979, t.15,N7,c.1332-1336

24. Э.Г. Позняк О регулярной реализации в целом двумерных метрик отрицательной кривизны

25. N.M.Ercolani, M.G.Forest The geometry of real sine-Gordon wave-trains//Commun.Math.Phys.,99, 1985, 1-49

26. А.Г. Попов Методы геометрии Лобачевского в некоторых классах нелинейных задач математической физики.//Дисс. на соиск. уч. ст. д.ф.-м.н., М., 1995, 181с.

27. С.А. Зададаев Л2-представления уравнений математической физики и их некоторые приложения.//дисс. на соиск. уч. ст. к.ф.-м.н.

28. С.А. Зададаев Решения типа бегущих волн уравнения sin-Гордона и псевдосферические поверхности.// Вестник МГУ, сер.1 (Мат. Мех.), 1994, N2, с.41-47

29. А.В. Бадьин Изометрические погружения двумерных римановых метрик отрицательной кривизны в Е*.//Вестник МГУ, сер.1 (Мат.Мех.), 1994, N2, с.47-56

30. Д.В. Тихомиров Исследование псевдосферической поверхности, отвечающей двухсолитонному решению уравнения sm-Гордона.// Вестник МГУ, сер.З (Физ. Астрон.), 2001, N1, с.19-21

31. C.-L. Terng, К. Uhlenbeck Backlund transformations and loop group actions. Comm. Pure Appl. Math. 53 (2000), 1-75

32. А.Г. Попов Точные формулы построения решений уравнения Лиувилля по решениям уравнения Лапласа.// Доклады АН, 1993, Т.ЗЗЗ, N4, с.440-441

33. Li Yan Guang Auto-Backlund transformations for some evolution equations. Advanced in applied mathematics and mechanics in China. Inter-nat.Acad.Publ.,Beijing,1992, Vol.4,91-106

34. E.B. Маевский Двухсолитонные решения уравнения sm-Гордона и связанные с ними псевдосферическпе поверхности.//Вестник МГУ, с.Физика. Астрономия. 2002, N3

35. L. Bianchi Lezioni di geometria differenziale. //Bolonia, 1927, V.I, Parte 2, P.660-664

36. J.Jena,Sharma V.D. Backlund transformations for the nonlinear evolution equation zyy = A(x, y, z)zx]x. Nuovo Cimento Soc.Ital.Fis.B.(12) 113 (1998),no.2,213-219

37. Some local properties of Backlund transformations. Acta Appl.Math.54 (1998), no.1,1-25

38. A.H. Ivhater, M.A. Helal, O.H. El-Kalaawy Backlund transforma-tions:exact solutions for the KdV and the Calogero-Degasperis-Fokas mKdV equations//Math.Methods.Appl.Sci,1998,N8,pp.719-731

39. P.T. Campos, K. Tenenblat Backlund transformations for a class of system of differential equations//Geom.Funct.Anal,1994,N3.pp.270-287

40. A. Gerold, K.Buchner Soliton and isometric immersions// J.Math.Phys 32,8,1991,2056-2062

41. W.H.Steeb Pseudospherical surfaces, soliton equations and compute al-gebra//International journal of Modern Physics C.,vol.6,5, 1995,743-746

42. M. J. Ablowitz, R. Halburd, B. Herbst On the Extension of the Painleve Property to Difference Equations, Nonlinearity, 13, (2000), 889-905

43. Bourque, S., Mathieu, P. The Painleve analysis fro N = 2 super Korteweg-de Vries equations, J. Math. Phys., 42:8 (2001), 3517-3539

44. T.Masuda On a class of algebraic solutions to the Painleve VI equation, its determinant formula and coalescence cascade, Funkcial.Ekvac.,46(2003),121-171

45. N.Noumi, K.Takano, Y. Yamada Backlund transformations and manifolds of Painleve systems, Funkcial. Ekvac., 45 (2002), 237-258

46. A.I. Bobenko A.I., Kitaev A.V. On asymptotic cones of surfaces with constant curvature and third Painleve equation.//Manuscripta Math., v.97, 1998, pp.489-516

47. Hoffman Discrete Amsler surfaces and a discrete Painleve third equations/Discrete integrable geometry and physics (Vienna, 1996), Oxford Lecture Ser. Math. Appl. v.16, Oxford Univ. Press, N.Y.,1999

48. П. Лаке Интегралы нелинейных эволюционных уравнений и уединенные волны.// -сб. Мат.,1969,т. 13,N15,с. 128-150

49. R. Sasaki Soliton equations and pseudospherical surfaces.// Nucl. Phys. В 154: 343-357, 1979

50. R.McLachlan A Gallery of Constant-Negative-Curvature Surfaces//The Mathematicul Intelligence,vol.16,4,1994,31-37

51. J.Tafel Surfaces in Я3 with prescribed curvature//Journal of Geometry and Physics 17, 1995,381-390

52. S.Z. Nemeth Backlund transformations of n-dimentional constant torsion curves.//Pub. Math. Debrecen, v.53, N3-4, 1998, pp.271-279

53. A. Sym, J.Cieslinski, P. Goldstein Isothermic surfaces in E3 as soliton surfaces//Phys.Lett.A.205,1995,Nl,pp.37-43

54. M. Melko, I. Sterling Application of soliton theory to the construction of pseudospherical surfaces in i?3//Ann.Global Anal.Geom.l 1(1),1993,pp.65-10757 5859