Предельные циклы возмущенного центра квадратичного векторного поля на плоскости тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат физико-математических наук Фишкин, Алексей Юрьевич

• Фишкин, Алексей Юрьевич
• кандидат физико-математических наук
• 2010

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Фишкин, Алексей Юрьевич

Введение

1 О числе изолированных нулей у возмущения аналитической функции

1.1 Определения и формулировка теоремы об оценке числа нулей.

1.2 Теорема Эрве и свойства идеалов кольца ростков голоморфных функций.

1.3 Доказательство теоремы об оценке числа нулей.

2 Оценка числа предельных циклов у квадратичных векторных полей, близких к центрам

2.1 Квадратичные векторные поля и их предельные циклы

2.2 Переход к отображению Пуанкаре.

2.3 Оценка числа нулей невязки отображения Пуанкаре.

2.4 Доказательство основной теоремы 2 по модулю вспомогательных утверждений.

2.5 Доказательство леммы 2.

2.6 Доказательство леммы 3.

Построение отмеченного полидиска

Константа роста для идеала Баутина в образующих Дюлака.

Константа роста для идеала Баутина /р(£) в канонических образующих.

2.7 Теорема Ильяшенко-Ллибре для уравнения в комплексной нормальной форме.

2.8 Доказательство теоремы 1.

Связь параметров 6, а и к в разных нормальных формах

Теорема Ильяшенко-Ллибре в нормальной форме Каптейна

2.9 Доказательство предложения 2.

2.10 Доказательство теоремы 3.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Предельные циклы возмущенного центра квадратичного векторного поля на плоскости»

Полиномиальное векторное поле на плоскости задается системой дифференциальных уравнений х = Р(х,у), y = Q(x,y), (1) где (х, у) € Ж2, а Р(х,у) и Q(x,y) — многочлены. Его предельным циклом называется изолированная замкнутая траектория, гомеоморфная окружности. Во второй части 16-й проблемы Гильберта поставлены следующие вопросы (см. [II]): ql) Можно ли оценить число предельных циклов любого полиномиального векторного поля на плоскости величиной Н(п), зависящей только от п — наибольшей из степеней многочленов Р и Q? q2) Если ответ на первый вопрос положителен, то оценить сверху Н(п).

Эта проблема была сформулирована Гильбертом в 1900 г. в докладе на Н-ом Международном конгрессе математиков. С тех пор 16-й проблеме Гильберта были посвящены многие замечательные исследования, получены важные результаты, разработаны новые методы и разделы теории дифференциальных уравнений, однако сформулированные выше вопросы до сих пор открыты даже для простейшего класса квадратичных (т.е. полиномиальных степени два) векторных полей на плоскости. Единственный общий результат о числе предельных циклов полиномиальных векторных полей состоит в конечности этого числа для каждого конкретного векторного поля. Для квадратичных векторных полей соответствующая теорема была получена Бамоном в 1986 г. [Ва], а общее утверждение для векторных полей произвольной степени было получено несколькими годами позже независимо Ильяшенко [13] и Экалем [Е].

Попытки решения 16-й проблемы Гильберта привели к рассмотрению ряда смежных задач, а также частных случаев. Одной из таких задач является инфинитезимальная 16-я проблема Гильберта, недавно решенная группой математиков из Вейсмановского института. Она заключается в следующем. Пусть Н(х, у) — многочлен степени п + 1 с вещественными коэффициентами, а и = А(х, y)dx + В(х, y)dy — вещественная 1-форма с полиномиальными коэффициентами А и В степени не выше п. Запишем дифференциальное уравнение на плоскости в Пфаффовой форме, т.е. в виде дифференциальной 1-формы, обнуляющей векторное поле: dH + = 0.

При малых по абсолютной величине е 6 R это уравнение является возмущением Гамильтонова уравнения dH — 0, фазовые траектории которого разбивают вещественную плоскость на линии уровня многочлена Н. Замкнутые линии уровня Гамильтонова уравнения, не содержащие особых точек, называются вещественными овалами. При возмущении векторного поля, большинство овалов, вообще говоря, размыкается, и лишь некоторые из них порождают вблизи себя предельные циклы. Для того, чтобы вблизи овала 7 невозмущенного векторного поля при малом возмущении возник предельный цикл, необходимо равенство нулю Абелева интеграла: / и.

J 7

В инфинитезимальной 16-й проблеме Гильберта ставится вопрос о конечности и верхней оценке на максимальное число изолированных нулей Абе-левых интегралов в зависимости от степени п векторного поля. Конечность этого числа была доказана Варченко и Хованским в 1984 г. ( [V], [Kh]). Явная верхняя оценка получена в 2008 г. Яковенко, Новиковым и Беньями-ни [BNY].

Принципиальным вопросом, возникающим при исследовании предельных циклов векторных полей, является вопрос описания предельных циклов с помощью средств, поддающихся анализу. Таким средством является отображение Пуанкаре (оно же отображение последования или отображение монодромии). Рассмотрим трансверсаль (т.е. гладкую кривую без контакта) Г к векторному полю и сопоставим каждой точке х G Г точку первого возвращения траектории векторного поля, начинающейся в х, на Г (если, конечно, такая точка определена). Получим, вообще говоря, не определенное всюду, отображение Пуанкаре Р : Г —> Г. Предельные циклы векторного поля, пересекающие Г отвечают тем точкам х G Г, для которых Р{х) определено и Р{х) — х = 0. Таким образом, при помощи отображения Пуанкаре, вопрос об оценке числа предельных циклов полиномиального векторного поля сводится к вопросу об оценке числа нулей отображения Р(х) — х. Для аналитического векторного поля на плоскости и аналитической трансверсали, отображение Пуанкаре является аналитической функцией одного переменного. Прекрасным инструментом для получения нелокальных оценок на число нулей аналитической функции является теорема о нулях и росте [IYal], которую мы сформулируем в §1.3. С ее помощью были получены оценки на число предельных циклов уравнений Абеля [12], уравнений Льенара нечетной степени [IP] и обобщенных уравнений Льенара нечетного типа.

Теорему о нулях и росте, тем не менее, не всегда удается использовать при получении нелокальных оценок на число предельных циклов аналитического векторного поля. Для её применения, как будет следовать из формулировки, необходимо оценить снизу максимум модуля разности Р(х) — х. Но когда отображение Пуанкаре является сколь угодно малым возмущением тождественного отображения, то эта разность оценивается снизу нулем, и применение теоремы о нулях и росте не дает никакой конечной оценки на число предельных циклов. Рассмотрим, например, полиномиальные векторные поля степени п на плоскости. Они образуют конечномерное линейное пространство. Выберем в нем базис и обозначим через Л Е Шк^ координаты в этом базисе. При некотором значении параметра А = £ векторное поле может иметь особую точку топологического типа центр, также являющуюся центром по линейным членам. При значениях Л близких к £ такая особая точка, вообще говоря, обращается в фокус, и в ее окрестности могут появляться предельные циклы. Сдвигом фазового пространства можно добиться, чтобы возмущенная особая точка оставалась неподвижной. После такого сдвига аналитическая полутрансверсаль с вершиной в особой точке исходного поля останется также полутрансверсалью для всех близких значений Л. Отображение Пуанкаре при этом удается определить на некотором отрезке полутрансверсали с началом в особой точке и аналитически продолжить одновременно в комплексную окрестность полутрансверсали по переменной х на ней и в комплексную окрестность точки £ по параметрам. Обозначим это продолжение через Р\{х) и положим /(х, А) = Р\(х)—х. Тогда = 0. В первой главе диссертации мы обобщаем теорему о нулях и росте и получаем равномерную оценку на число изолированных нулей малого аналитического возмущения тождественно нулевой функции. Важную роль в этом обобщении играет идеал Баутина. Для аналитической функции f(x, А) он определяется следующим образом. Пусть

А) = J2fk(x)xk к> о есть разложение ростка /(ж, А) в ряд Тейлора по £ в точке х = 0. Идеал /(£) — (/о,. •, //с, • • .)(£) кольца ростков голоморфных функций от нескольких комплексных переменных в точке который порожден всеми ростками {/&} в этой точке, называется идеалом Баутина ростка / в точке х = 0 при А = Заметим, что в нашем случае идеал /(£) нетривиален, поскольку f(x,£) = 0. Индексом Баутина ряда Тейлора для f(x, А) называется наименьшее целое число d > 0, для которого /(£) совпадает с идеалом (/о, •., fd)(0i порожденным первыми d + 1 коэффициентами ряда. Конечность индекса является следствием нётеровости кольца ростков голоморфных функций (см. [Н]). В качестве обобщения теоремы о нулях и росте нами получен следующий результат:

Рассмотрим линейно связный компакт К С С, содероюащий замкнутый диск Дг(0) радиуса г <1 с центром в нуле, а тако/се

- односвязную окрестность U компакта К с кусочно-гладкой границей,

- полирадиус R и функцию f(x: А), голоморфную в замыкании U х Дд(£) декартова произведения U на полидиск с центром в £ и полирадиусом R, и ограниченную там по абсолютной величине константой М > О,

- ряд Тейлора f(x,\) = Е/с>о в точке х = О при А Е Аи соответствующий идеал Баутина /(£) индекса d.

Существует полидиск Ар(£) С Атакой, что для любого А Е АД£) число N{А) изолированных нулей функции /(•, Л) на компакте К оценивается сверху константой, зависящей только от первых rf-f 1 коэффициентов /о,., fd ряда Тейлора, от величины М и от геометрии множеств К и U. При этом точная оценка, а также достаточные условия для полидиска АД^) выписываются в явном виде.

Мы не указываем во введении явную оценку, поскольку это требует дополнительных определений, которые будут даны в главе 1. Там же мы приведем полную формулировку и доказательство соответствующего результата (см. теорему 4).

Как уже говорилось, 16-я проблема Гильберта не решена даже для квадратичных векторных полей. Квадратичные векторные поля обладают рядом замечательных свойств, упрощающих их исследование. К примеру,

1) любой предельный цикл квадратичного векторного поля обходит ровно одну особую точку, которая является топологическим фокусом;

2) у квадратичного векторного поля может быть не более двух особых точек типа фокус;

3) все предельные циклы квадратичного векторного поля, за исключением, может быть, одного цикла, обходят один и тот же фокус.

Свойства (1) и (2) приведены в обзоре Коппела (см. [С] и ссылки этой работы). Свойство (3) является недавним результатом Чжан Пингуанга (см. [PI], [Р2]). Таким образом, вопрос о верхней оценке числа предельных циклов у квадратичного векторного поля сводится к вопросу об оценке числа предельных циклов, обходящих одну особую точку типа фокус. При этом наиболее сложным для исследования оказывается именно случай, когда фокус является медленным, будучи малым возмущением особой точки типа центр. Основополагающий результат о числе предельных циклов, рождающихся при малом возмущении центра в классе квадратичных векторных полей, был получен Баутиным в середине прошлого века (см. [В1], [В2], а также [Zol] и [IYa2]). При таком возмущении в малой окрестности особой точки рождается не больше трех предельных циклов. Долгие годы предполагалось, что любое квадратичное векторное поле имеет не более трех предельных циклов, пока в 1979 г. не было доказано существование квадратичного векторного поля с по крайней мере четырьмя предельными циклами [CW], а в 1980 г. Ши Сонглином не был приведен конкретный пример такого векторного поля [S]. Правдоподобна гипотеза о том, что у квадратичного векторного поля может быть не больше четырех предельных циклов. В этом русле недавно Филимоновым был исследован пример Ши Сонглина и доказано, что соответствующее векторное поле имеет ровно четыре предельных цикла, не пересекающих узкий отрезок оси ординат длины менее чем 4 • Ю-2. Данное исследование скоро появится в журнале "Дифференциальные уравнения". Тем не менее, существующие оценки на число предельных циклов квадратичных векторных полей, даже при дополнительных ограничениях, представляются несравнимо большими предполагаемой верхней границы.

Таким образом, исследование 16-й проблемы Гильберта осмысленно начинать с квадратичных векторных полей. При помощи компактификации фазового пространства и пространства коэффициентов полиномиального векторного поля, вопрос о конечности числа Н(п) сводится к вопросу о конечной цикличности предельных периодических множеств. Мы не будем останавливаться на этой конструкции подробно, а отошлем читателя к статье [DRR]. В случае п = 2 данная стратегия приводит к рассмотрению 121 конфигурации предельных периодических множеств, и к необходимости доказательства конечной цикличности каждой конфигурации. По сей день в различных работах исследовано более 80 таких конфигураций, и доказана конечная цикличность каждой из них. Реализация этой стратегии, однако, не позволяет ответить на вопрос (q2). Для ответа на этот вопрос может оказаться полезной оценка числа предельных циклов, не проходящих через малые окрестности особых точек системы (1). Это приводит к рассмотрению ограниченной 16-й проблемы Гильберта, которую мы сейчас сформулируем (см. также [F1]).

Рассмотрим квадратичное векторное поле (1) с особой точкой типа фокус или центр. Нетрудно проверить, что при помощи подходящей аффинной замены координат и линейной замены времени, такая особая точка может быть помещена в начало координат, а система (1) преобразована к нормальной форме Каптейна (см. [Kapl], [Кар2]): х = \1Х-у- Х3х2 + (2Л2 + Л5)ху + Х6у2,

2а) у = х + Xiy + Х2Х2 + (2Л3 + Х4)ху - Х2у2, где Ai 6 М, Л — (Л2,., А6) G S5 (т.е. ||А|| = 1), а А = (Ai, А) обозначает набор параметров, из коэффициентов системы (2д). Рассмотрим предельные циклы системы (2д), обходящие начало координат. Среди этих циклов 5-хорошими называются те, которые не проходят через J-окрестности всех (в том числе и комплексных) особых точек системы и содержатся в круге л/х2 + у2 <1/8 (где 5 > 0 - произвольно). Обозначим через Н(5, А) число ^-хороших предельных циклов уравнения (2д). Следующая ограниченная версия 16-й проблемы Гильберта для квадратичных векторных полей была предложена Ильяшенко:

Проблема. (Ю.С. Ильяшенко) Для произвольного 5 > 0 получить равномерную по X £ R х §5 оценку для величины Н(8, А).

Решение этой проблемы было существенно продвинуто совместно Ильяшенко и Ллибре в [IL] (см. теорему 1 ниже). С помощью их теоремы, проблема сводится к рассмотрению нескольких отдельных задач, методы исследования которых различаются. Вторая глава диссертации посвящена решению одной из этих задач (см. теорему 2). Чтобы сформулировать соответствующие результаты, необходимо ввести два вспомогательных параметра, характеризующие векторное поле (2д). Здесь мы опишем их физический смысл, оставив строгое определение этих величин до §2.1. Параметр сг(А) > 0 измеряет расстояние от векторного поля (2д) до квадратичных векторных полей, приведенных к нормальной форме Каптейна и имеющих особую точку типа центр в начале координат; параметр к(Х) > 0 измеряет расстояние от векторного поля (2д) до множества сингулярных векторных полей (т.е. квадратичных векторных полей с прямой особых точек).

Для тех значений Л, при которых <т(А) = 0 или ft(A) = 0, легко получить равенство Н(5, А) = 0. Тем не менее, наиболее трудной задачей оказывается получение оценки на Н(5, А) при А близких к таким значениям. Приведем формулировку теоремы Ильяшенко-Ллибре. Эта формулировка адаптирована для нормальной формы Каптейна и несколько отличается от оригинальной.

Теорема 1. (Ильяшенко-Ллибре) Пусть {5, а, к} С (0,1), и А 6 R х §5 таково, что <т(А) > а, а к(Х) > к. Тогда

Н{5, А) < (| log а\ + 1) ехр (ехр(1076<Т33кГ2)) . (3)

Оценка в этой теореме не равномерна по А, поскольку стремится к бесконечности при а(Х) —> 0 или к(А) —> 0. Однако, из теоремы следует, что для решения ограниченной 16-й проблемы Гильберта для квадратичных векторных полей достаточно рассмотреть три частных случая:

Задача 1. Оцепить Н(5, А) равномерно по А при <х(А) —» 0 и к(Х) > к > 0, где к сколь угодно мало, но фиксировано.

Задача 2. Оценить Н(5, А) равномерно по X при к(Х) —» 0 и сг(Х) > <г > 0, где а сколь угодно мало, но фиксировано.

Задача 3. Оценить Н(6, А) равномерно по X при сг(А) —> 0 и к(Х) —» 0.

Задача 2 решена Ильяшенко с использованием методов теории быстро-медленных систем. Этот результат пока не опубликован. Задача 3 полностыо не решена; определенные продвижения в ней получены Дюмортье и Руссо [DR].

Следующая теорема дает ответ в задаче 1 (см. также [F2]).

Теорема 2. Пусть 0 < J < 1, 0 < я < 1. Если A G М х §5 таково, что «(А) > к, а сг(А) < а, где а = ехр(—1073«Г25~33), то

Н(6, Л) < exp (exp(1072«-2J-33)) = (4)

Из теорем 1 и 2 следует

Теорема 3. Пусть 0<8<1и0<к<1. Если A G К х §5; и векторное поле (2\) удовлетворяет условию к(А) > к, то число его 5-хороших предельных циклов не превосходит ехр (ехр(1077«Г2Г33)) .

Диссертация состоит из введения, двух глав и приложения. В первой главе доказано обобщение теоремы о нулях и росте, позволяющее получать равномерные оценки на число нулей малого возмущения тождественно нулевой функции (см. также [F3]). Эта теорема применяется при исследовании ^-хороших предельных циклов у квадратичных уравнений, близких к центрам. Основным результатом, доказанным во второй главе, является теорема 2, сформулированная выше. Также во второй главе мы приведем оригинальную формулировку теоремы Ильяшенко-Ллибре и переформулируем ее для случая нормальной формы Каптейна (теорема 1). Утверждение теоремы 3 сразу следует из теорем 1 и 2, в чем легко убедиться. Мы дадим соответствующее рассуждение в конце главы 2. В приложении приводятся тексты программ для пакета символьных вычислений Mathematica.