Предельные теоремы для процессов с условно независимыми приращениями и функционалов аддитивного типа от регенерирующих процессов тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 00.00.00, Хусанбаев, Якубджан Мухамаджанович

• Хусанбаев, Якубджан Мухамаджанович
• 1983

Оглавление диссертации Хусанбаев, Якубджан Мухамаджанович

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА I. ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ ДЛЯ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ С УСЛОВНО НЕЗАВИСИМЫМИ ПРИРАЩЕНИЯМИ

§ I.I. Случайные процессы с условно независимыми приращениями

§ 2.1. Общие условия сходимости случайных процессов с условно независимыми приращениями в топологии 3.

ГЛАВА П. ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ ДЛЯ ПРОЦЕССОВ ОСТАНОВЛЕННЫХ В МОМЕНТ НЕДОСКОКА

§ 1.2. Условия сходимости недоскоков

§ 2.2. Условия сходимости для обобщенных процессов накопления построенных по процессам с независимыми приращениями

§ 3.2. Явные представления для характеристической функции от процесса накопления построенного по процессу с независимыми приращениями

ГЛАВА Ш. ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ ДЛЯ АДДИТИВНЫХ ФУНКЦИОНАЛОВ ОТ РЕГЕНЕРИРУЮЩИХ ПРОЦЕССОВ

§ 1.3. Общие условия слабой сходимости одномерных распределений аддитивных функционалов от регенерирующих процессов.

§ 2.3. Общие условия слабой сходимости конечномерных распределений аддитивных функционалов от регенерирующих процессов.'

§ 3.3. Примеры.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Предельные теоремы для процессов с условно независимыми приращениями и функционалов аддитивного типа от регенерирующих процессов»

Предельные теоремы являются одной из наиболее содержательных частей современной теории вероятностей.

В работах Ю.В.Прохорова, В. Скорохода, А. А»Боровкова, П.Бил-лингслея, М.Донскера и других авторов получены общие предельные теоремы о сходимости распределений, а также условия сходимости в различных топологиях различных классов случайных процессов и полей.

Изучение предельных распределений для случайных процессов представляет значительный интерес для общей теории случайных процессов. С другой стороны, интерес к подобной проблематике вызван потребностям приложений в статистике, физике, теории массового обслуживания и теории надежности.

Одним из перспективных направлений исследований в этой области является изучение предельных теорем для процессов с условно независимыми приращениями и для регенерирующих процессов. Важные результаты в этом направлении получены в работах Б.Григелиониса, Д.С.Сильвестрова, В.В.Анисимова, Р.Серфозо и других авторов

18-19, 21, 37, 49] .

Настоящая диссертация посвящена исследованию общих достаточных условий сходимости процессов с условно независимыми приращениями в 3 ~ топологии и слабой сходимости конечномерных распределений аддитивных функционалов от регенерирующих процессов без предположения "малости выбросов" между моментами регенерации, в схеме серии, а также изучению условий сходимости процессов, остановленных в момент недоскока.

Все результаты диссертации являются новыми. В работе получены:

- явная оценка для модуля непрерывности в топологии Э процесса с условно независимыми приращениями;

- достаточные условия сходимости в топологии 3 процессов с условно независимыми приращениями при общих согласующих условиях на частотные характеристики переключающего процесса;

- условия сходимости случайных процессов, остановленных в момомент недоскока;

- явное представление преобразование Лапласа от характеристической функции процесса накопления построенного по однородному процессу с независимыми приращениями;

- условия слабой сходимости конечномерных распределений аддитивных функционалов от регенерирующих процессов без предположения малости выбросов процессов накопления между моментами регенерации .

Полученные в работе результаты могут быть использованы для решения практических задач теории массового обслуживания и теории надежности, а также задач теории случайных процессов.

Диссертация состоит из трех глав.

В первой главе изучается свойство траектории случайного процесса с условно независимыми приращениями и условия сходимости в топологии J процессов с условно независимыми приращениями.

§ I.I. имеет вводный характер, в нем приведены основные определения, оценка для модуля непрерывности в топологии 3 процесса с условно независимыми приращениями, доказана отсутствия разрывов второго рода у таких процессов.

§ 2.1. получены условия компактности и условия сходимости в J - топологии процессов с условно независимыми приращениями.

Вторая глава посвящена исследованию достаточных условий сходимости процессов, остановленных в момент недоскока.

В § 1.2 получены общие достаточные условия сходимости процессов, остановленных в момент недоскока.

В § 2.2 изучаются условия сходимости обобщенных процессов накопления построенных по процессам с независимыми приращениями.

В § 3.2 найдено явное представление преобразование Лапласа от характеристической функции процесса накопления построенного по однородному процессу с независимыми приращениями.

В третьей главе изучаются достаточные условия слабой сходимости конечномерных распределений функционалов аддитивного типа от регенерирующих процессов.

В § 1.3 приведены основные определения и некоторые вспомогательные результаты, а также получены достаточные условия слабой сходимости одномерных распределений аддитивных функционалов от регенерирующих процессов.

В § 2.3 получены достаточные условия слабой сходимости конечномерных распределений функционалов аддитивного типа от регенерирующих процессов без предположения малости выбросов процессов накопления между моментами регенерации.

В § 3.3 приведены примеры, иллюстрирующие полученных результатов главы Ш.

Изложим содержание диссертации более подробно.

Пусть ) - некоторое измеримое пространство, q(t) , t>0 измеримый случайный процесс со значениями в X , ^(х) — - измеримая положительная функция, tn(') - мера

Лебега на борелевской б - алгебре g подмножеств числовой прямой.

Процесс fj(t), t>0 назовем ^ - интегрируемым, если m(ds) - конечная с вероятностью I случайная $9<2(3» о t>0 величина для каждого Пусть сЛу , сЛу 1+у2

U у2 Г где ОС(Х)- измеримая числовая функция на X , П(Х,А) - неотрицательная измеримая по ОС . функция на X для всех А € и конечная мера на jbg для всех осе)[ . Пусть L - некоторое конечное положительное число. Функцию V(*9>) назовем - подчиненной, если sup(lg-'(3c)a(oc)l: хе Х)<1, sup(g-(!c/l(cc,JZ,) :хеХ)<1. с £

Обозначим через Jа *=*(5 {(Х^ 3< в } б - алгебру случайных событий, порожденную тректорией процесса на (X, &) . Пусть £,(£) ♦ t >0 числовой процесс определенный на том же вероятностном пространстве, что и t>0

Процесс t) , t>0 назовем (g9Ji) - процессом с условно независимыми приращениями относительно д - интегрируемого процесса q(t) , t> О , если к , QJ к U eccplL J V(\hrf(s))fn(ds)} для любых 00 , /С^ / . Здесь

- подчиненная функция вида (I). Основным результатом § I первой главы является следующая ТЕОРЕМ I.I.I. Если £,(1) , 1>0 - сепарабельный процесс с условно независимыми приращениями относительно д -интегрируемого процесса r^tt) , t>0, то процесс ^(t) , t>0 не имеет разрывов второго рода.

В дальнейшем , 7g - неслучайные положительные функции такие , что V£, Г£ —+ 00 при е —~ О . Обозначим через t о

Основным результатом § 2 первой главы является следующая

ТЕОРЕМА 2.2.1. Пусть выполнены условия b'-V;'%(A,t)9Ae5hX9t>0==>jr<:A)%,Ae!lbx,t>0 при , где SO) б - конечная мера, ,t>0 - непрерывный строго монотонно возрастающий с вероятностью I случайный процесс;

Vfi VYA,oc) при Е — О где

УМ, X) = a ВД * j( еа'- /-0) 'Л(ос, oty)

- оо 'У ч7

- кумулянта безгранично делимого закона; D : существуют множества Ьы Q D]Ын , /У> /, t X такие, что:

1. litn sap(ge(X): хе , N>{;

2. , /У>/;

ТТе

Тогда: I) функции ЭС) , Д^зс), /7сх,абсолютно интегрируемы относительно меры и

JVfA.i/W^-^^/jfTe^- i-gL^n^y),

- оо ' У " где Пд(А)=§П(х,А)Я(о/х,); х х

2) на любом конечном промежутке

0,Т1 при £—0, где: а) §(£•) - сепарабельный процесс с независимыми приращениями и кумулянтой А) ; б) ^ , £ - процесс описанный в условия В; в) процессы ^ и независимы.

Теперь сформулируем основные результаты второй главы. Пусть для каждого б>0 §&(t) = (jfe(t)9X£(t)), t>0 - случайный процесс без разрывов второго рода, непрерывный справа и со значениями в . Предположим, что компонента две(-) монотонно не убывает с вероятностью I и Эе&(£)—- + при оо . Обозначим через %(oc) = j)a(de£(-)) = inf(S'-de€(S)>a) . Будем предполагать выполненным условие сходимости процессов £>0 в топологии «7 :

E4)$e(t),leT*=*$e(t),ieT* при t-O, где Г*- некоторое счетное всюду плотное в множество точек стохастической непрерывности процесса §о0) содержащее 0;

2) Ume^P{A($tO),cJ)>8hO, 69Т>0 с—о г"О где

А(Щ-),с,Т)=зир min(loc(-6)-oc(i)j,loc(£//)-x.(t)i).

Основным результатом § I второй главы является ТЕОРЕМА 2.1.2. Пусть выполняются условия £ и Г

P{deo(t<)=deo(^)=a} = 0 для всех ;

Тогда

V£ (a)=>%(a), f( ( % (a) - 0)) => f( ( 4 W " 0)) при £—0 , где f(•) - некоторая непрерывная функция, определенная на В.т+4 и принимающая значение в .

Пусть дв(1) , t>О - монотонно не убывающий с вероятностью I однородный процесс с независимыми приращениями, непрерывный справа. Известно, что

Пе1Хт*=еЬУ(Х\ (2) о где 0= const >0 , П - мера на (3 - алгебре борелевских со подмножеств [0,°<>) такая, что ••Х /7(<^х)<°° . о i-m ос О

Обозначим через j П(о1и) . Будем считать по определео нию, что Q-0 в следующих случаях: I) ff=+ <=*=> ; 2) б>0 , ; 3)6=0 , и распределение &('зс) = сс не имеет атомов. о

Если (5 = 0 , Зг<<=*э и распределение имеет атомы, то где /У= {0,{,2,.}, , п= - атомы распределения #Yoc),

Следующие леммы из § 2 второй главы представляют самостоятельный интерес.

ЛЕММА 1.2.2. Пусть 2£(t), i>0 - однородный процесс с независимыми приращениями с характеристической функцией вида / 2 /. Тогда для любого a&Q

P{de(t<) = de(t2)=a}=0 для всех tj<t <<=*>.

ЛЕШ 2.2.2. Пусть = (f(t),de(t)), t>0 непрерывный справа однородный процесс с независимыми приращениями в которой процесс де(-) имеет характеристическую функцию вида / 2 /. Тогда для любого

Р{$(1(а)-0)= или эe(S)(a)-0)<a , з= где \)(a) = tnf(S:de(S)>a).

Основным результатом § 2 второй главы является ТЕОРЕМА 1.2.2. Пусть при каждом е>0 (pt(£)>dzt(t))9 t>0 случайный процесс без разрывов второго рода и непрерывный справа. Если

1) $0(£),6еТ* при £-0 где (t) =( (t), зго (i)), t>0 - однородный процесс с независимыми приращениями такой, что компонента зе0(*) имеет

- некоторое счетное всюду плотное в множество точек стохастической непрерывности процесса £,о0) содержащее 0 ;

2) tim ezz Р{А($М,с,Т)>5}=0, 5,Т>0, с-~о s—o то для любого OL в Q

S> £(а)=>^(а)9

Ct)-O)) =>/Y Г й (а)-О)) при £-~0.

В частном случае, когда С') » однородные процессы с независимыми приращениями, теорему 1.2.2 можно сформулировать следующим образом.

ТЕОРЕМА 2.2.2. Пусть при каждом е>0 t>0- однородный процесс с независимыми приращениями, непрерывный справа. Если при то справедливо утверждение теоремы 1.2.2.

Третья глава посвящена изучению условий сходимости аддитивных функционалов от регенерирующих процессов.

Пусть fe(-)9t>0, £>О - измеримые числовые функции определенные на Rm .

Будем говорить, что функции f^O) , при Е^О сходятся к функции fo0) локально равномерно в точке (i0, SQ) ,если для любых (te}e>Qi lse}€>0 таких, что t£-~l0 и при О

Пусть при каждом ёр-Q <$ек=<де£к, £,&K(t),£>0>, - последовательность случайных функций в которой 9Qek , к= 4,2,. - неотрицательные с вероятностью I случайные величины, X"=/,J?,. - измеримые случайные процессы со значениями в измеримом пространстве (Х,!Ьх) • В дальнейшем предполагается, что при каждом £>0 случайные функции независимы в совокупности и имеют одни и те же конечномерные распределения. Кроме того предполагается выполненным следующее условие "регулярности": р

Т — ДР + 2Р + + ЭР + <=хэ при tl ——00

Через Ux будем обозначать пространство измеримых функций на [0,<=хэ) со значениями в (Х,5Ьх) . Пусть <ptO) > t>0 - семейство функционалов, определенных на пространстве ilx и обладающие следующими свойствами: I. является измеримым отображением Ux *[0,

2. Для всех t,S>0 и для любой функции здесь 9t Х(эс)= £ (t + эс)

3. Для каждого t>0 и любых двух функций Х^е. (Хх таких, что ^6S) = £2<\S), 0^S<t.

Положим где = таэс(п •• t).

Пуснь §(t)=(^(i),de(t))11>0 - двумерный однородный процесс с независимыми приращениями такой, что компонента имеет характеристическую функцию вида (2) . Введем следующие обозначения:

A£K=sup {/%(6,£ O))- / se[t£K,, t£K)}.

В случае, когда —-О при <£—- О с вероятностью I изучению предельных распределений величин (t)= у? (£ (•)) посвящено много работ (см.,например J.29J ,[32] , [46] ). Следующий простой пример показывает, что условия "малости выбросов" между моментами регенерации не всегда выполняется.

Пусть {Х^*} /,2 - две независимые последовательности независимых неотрицательных случайных величин таких, что при X —, рде ОС е.

0,1) , с, >О , - функция, медленно меняющейся на бесконечности. Построим процесс 4 (') следующим образом:

0, если +

1, если teltb+X^^). п.

Здесь to~0 A=Z(X"+XK ) , кч €

Если рассмотреть случайную величину то, как показано в § 3.3, величина Ь /fb~(t) при Ь — + 00 не сходится к нулю.

В § I третьей главы доказывается ТЕОРЕМА I.I.3. Пусть выполняются условия при t-0 и длн teQ локально равномерно для почти всех у по распределению для каждого иеТ , где I - счетное всюду плотное в множество. Здесь F(y,tt) - при каждом у является функцией распределения по и и при каждом и измеримая функция ПО у .

Тогда для любого te.Q $i(t)=by(1(t)-0)+f>t при г-0 где случайная величина такая, что совместное распределение ее с задается равенством t

P{X(l(t)-0)<V, jbt<u}=$F(y, a)<Pt(ir,dy).

Здесь Фь(<Г,у) = Фь(&, y,0) , где

Фь «Г, у, *)= Р {XW(t)-0)< V, oc-(t)>y,

Положим

Ре^СУЛк, , tO = ^ { ($„(•))< ^о , v f£ су, Лс.эс,,/«Г-0,m-/,xm,{/)=P{y^n(х„, г/'»- /г- 7^7,

Основным результатом § 2 третьей главы является ТЕОРЕМА 5.2.3. Пусть выполнено условие /У из теоремы I.I.3. Пусть кроме того для всех /л>/ , £ в Q и для любых 0<Xj<\2< .< Лд,^0*0ВЫПОЛНЯЮТСЯ условия fit :

• , г- /, т//, 60—£ С , г- /, т*/, , при <9 локально равномерно по у для почти всех ^ по распределению cL (t) для каждого (/>0 и (Х,,.,Хт+/)е +/ где (t) - счетное всюду плотное в множество. Здесь предельные функции при фиксированном (у,0~) являются функцией распределения в Rm+j и при фиксированных if, (OC.J, -., OCm+1) измеримые функции по у .

Тогда конечномерные распределения процесса 6>0 слабо сходятся к распределениям процесса t>0 для всех t из [0^00) за исключением, быть может, счетного множества Q . Процесс (t),t> О такой, что для всех 0<Ь1< , z^e Q , i=/,/Y и для любого

И> / , где

Здесь для /</<//-/ и dZ),

У+iOCj где для /У- / tj+ft* e J 6v itrtru^ fi , /,/,*, of« ) и t, о 1

Здесь

V: (tt, ^, i = /77, *, tf)=// YjCt^d^t^z^/c-IJ^Mdx), где о °

В § 3 третьей главы полученные результаты проиллюстрируются в примере альтернирующего процесса.

Основные результаты, полученные в работе, опубликованы в работах ГЗЗ, дб-40] и докладывались на научных семинарах в Киевском госуниверситете и Института математики АН УССР в 1980-1983 годах.

Список литературы диссертационного исследования Хусанбаев, Якубджан Мухамаджанович, 1983 год

1. АНИСИМОВ В.В. "Предельные теоремы для случайных функцийи их применения к процессам с дискретной компонентой". Автореферат докт.диссертации, Киев, 1975.

2. АНИСИМОВ В.В. Предельные теоремы для ступенчатых процессов заданных на случайном процессе со счетным множеством состояний. "Теория случайных процессов", 1976, вып.4, с.3-12.

3. АНИСИМОВ В.В. Предельные теоремы для случайных процессов и их применение к дискретным схемам суммирования, Киев, Изд. объед. "Вища школа", 1976, 80 с.

4. АНИСИМОВ В.В. Предельные теоремы для суперпозиции случайных процессов. "Теор.вер. и мат.стат.", 1977, вып.17, с.6-22.

5. АНИСИМОВ В.В., ВОЙНА А.А. Предельные теоремы для схем суммирования на случайных процессах с произвольным пространством состояний. "Теор.вер. и мат.стат.", 1978, вып.19,

6. БИЛЛИНГСЛИ П. Сходимость вероятностных мер, М., "Наука", 1977, 352 с.

7. БОРОВКОВ А.А. Сходимость распределений функционалов от случайных процессов. "Успехи мат.наук.", 1972, т.27, вып.1, с.1-41.

8. БОРОВКОВ А.А., ПЕЧЕРСКИЙ Е.А. Сходимость распределений интегральных функционалов. "Сиб.мат.журнал", 1975, т.16,№ 5, с.909-915.

9. БОРОВКОВ А.А. Сходимость мер и случайных процессов. -"Успехи мат.наук.", 1976, т.31, вып. 2/188/, с.3-68.

10. ГИХМАН И.И., СКОРОХОД А.В. Введение в теорию случайных процессов, М., "Наука", 1965, 656 с.

11. ГИХМАН И.И., СКОРОХОД А.В. Теория случайных процессов, том I, М., "Наука", 1971, 664 с.

12. ГИХМАН И.И., СКОРОХОД А.В. Теория случайных процессов,

13. ГРИГЕЛИОНИС Б. Об относительной компактности множеств вероятностных мер в ^со,оо)(ЭС) "Литов.мат.сборник", 1973, т.13, № 4, с.83-96.

14. ГРИГЕЛИОНИС Б. Характеризация случайных процессов с условно независимыми приращениями. "Литов.мат.сборник", 1975, т.15, Ш 4, с.53-60.

15. ГРИТЕЛИОНИС Б. Случайные точечные процессы и мартингалы. "Литов.мат.сборник", 1975, т.15, №3, с.101-114.

16. ДЫНКИН Е.Б. Некоторые предельные теоремы для сумм независимых случайных величин с бесконечными математическими ожиданиями. "Изв.АН СССР", сер.мат.,1955, т.19, с.247-266.

17. ДУБ ДЖ. Вероятностные процессы, М., ИЛ, 1956.

18. ЕЖОВ И.И., СКОРОХОД А.В. Марковские процессы, однородные по второй компоненте, I. "Теор.вер. и ее прим". 1969, т.14, вып.1, с.3-14.

19. ЕЖОВ И.И., СКОРОХОД А.В. Марковские процессы, однородные по второй компоненте, П. "Теор.вер. и ее прим.", 1969, т.14, вып.4, с 679-692.

20. ИБРАГИМОВ И.А., ЛИННИК Ю.В. Независимые и стационарно связанные величины, М., "Наука", 1965, 524 с.

21. КАЛАШНИКОВ В.В. Непрерывность характеристик регенерирующих процессов. Изв.АН СССР, сер.Техн.киберн., 1977, № 3, с.87-96.

22. КЛИМОВ Г.П. Теория вероятностей и математическая статистика. Изд-во МГУ, 1983, 328 с.

23. КОКС Д., СМИТ В. Теория восстановления. М., "Сов.радио", 1967, 299 с.

24. КОРОЛЮК B.C., ТУРБИН А.Ф. Полумарковские процессы и их приложения, Киев, "Наукова думка", 1976, 184 с.

25. ЛОЭВ М. Теория вероятностей, М., ИЛ, 1962, 720 с.

26. ПРОХОРОВ Ю.В. Сходимость случайных процессов и предельные теоремы теории вероятностей. "Теор.вер. и ее прим.",1956, т.1, вып.2, с.177-238.

27. СИЛЬВЕСТРОВ Д.С. Полумарковские процессы с дискретным множеством состояний, Изд-во Киевского университета, Киев,1971.

28. СИЛЬВЕСТРОВ Д.С. "Предельные теоремы для сложных случайных функций", Автореферат докт.диссертации, Киев, 1972, 37 с.

29. Сильвестров Д.С. Предельные теоремы для сложных случайных функций, Киев, Изд.объед. "Виша школа", 1974, 320 с.

30. СИЛЬВЕСТРОВ Д.С. Теорема восстановления в схеме серий.I -"Теор.вер. и мат.стат.", 1978, вып.18, с.144-161.

31. СИЛЬВЕСТРОВ Д.С. Полумарковские процессы с дискретным множеством состояний, М., "Сов.радио", 1980, 272 с.

32. СИЛЬВЕСТРОВ Д.С. Замечания об усиленном законе больших чисел для процессов накопления. "Теор.вер. и мат.стат." 1980, вып.22, с.118-130.

33. СИЛЬВЕСТРОВ Д.С., ХУСАНБАЕВ Я.М. Общие предельные тео. ремы для случайных процессов с условно независимыми приращениями.- "Теор.вер. и мат.стат.", 1982, вып.27, с.130-139.

34. СКОРОХОД А.В. Предельные теоремы для случайных процессов.- "Теор.вер. и ее прим.", 1956, т.1, вып.З, 289-319.

35. СКОРОХОД А.В. Случайные процессы с независимыми приращениями. М., "Наука", 1964, 280 с.

36. ФЕЛЛЕР В. "Введение в теорию вероятностей и ее приложения", том 2, М., "Мир", 1967, 752 с.

37. ФРАНКЕН П., ШТРЕЛЛЕР А. Стационарные обобщенные регенерирующие процессы. "Теор.вер. и ее прим.", 1979, т.24, вып.1,с.78-90.

38. ХУСАНБАЕВ Я.М. О предельных распределениях для аддитивных функционалов от регенерирующих процессов в схеме серий. -ДАН УзССР, 1983, № 8, с. 7-10.

39. ХУСАНБАЕВ Я.М. Условия сходимости случайных процессов, остановленных в момент недоскока. Укр.матем.журнал, 1984, № I, с.126-129.

40. ХУСАНБАЕВ Я.М. Общие предельные теоремы для аддитивных функционалов от регенерирующих процессов. "Исследование вероятностных характеристик некоторых стохастических систем", Институт математики АН УССР. Препринт 84.10., Киев, 1984, с.42-51.

41. ШУРЕНКОВ В.М., ЕЛЕЙКО Я.И., Предельные распределения временных средних для полумарковского процесса с конечным множеством состояний. "Укр.мат.ж." 1979, т.31, № 5, с.598-603.

42. Darling fi.A.,Kac М. On occupation times for MarKov processes.- Trans. Airier. Math. Sob.,1957,v.84,H2,p. 444-458.

43. LAMPERTI J. AN invariance principle in reneval theori.-Ann. Math. Statist., 1962,v.33,N2,p.685-696.

44. LINDBERGER K. Functional limit theorems for cumulative processes and stoping times.- Z.Wahr. und vervv. Gebiete, 1978, v.44, p.47-56.

45. LINDVALL P. Weak convergence of probability measures and random function in the function space Deo, oo) -J. Appl.Probab., 1973,v.10, p.109-121.

46. SERPOZO R.P. Processes with conditional stationary independent increments.- J. Appl. Probab.,1972,v9,p.303-315.

47. SERPOZO RP. Conditional Poisson processes.- J. Appl. Probab.,1972,v9, N2, p.288-302

48. SERPOZO R.P. Functional limit theorems for stochastic processes based on embedded processes.- Adv. Appl. Probab., 1975,v.7, К 1, p. 123-139.

49. SMITH W.L. Regenerative stochastic processes.- Proc. Royal Soc.( London ), Ser. A, 1955, v.232, p. 6-31.