Правила ветвления для линейных и проективных представлений тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.06, кандидат наук Щиголев, Владимир Викторович

• Щиголев, Владимир Викторович
• кандидат наук
• 2013

Оглавление диссертации кандидат наук Щиголев, Владимир Викторович

Оглавление

Введение

Обозначения

Глава 0 Гипералгебра группы СЬП(Р)

0.1 Основные объекты и понятия

0.1.1 Определяющие соотношения для БЬП(1Р) и СЬП(Е)

0.1.2 Рациональные представления группы СЬП(Е)

0.1.3 Гипералгебра

0.1.4 Категория Ь%(п)

0.2 Функтор Т : 1п^(п) 11аЪ¥{п)

0.2.1 Действия группы

0.2.2 Рациональность

0.3 Функтор 9 : КаЬ¥(п) -»Ы¥(п)

0.3.1 Коалгебры и комодули

0.3.2 Случай поля С

0.3.3 2-формы

0.3.4 Случай произвольного поля

0.3.5 Структурное отображение

0.4 Тождественность композиций <ЗТ и ТЯ

0.4.1 Тождественность ЯТ

0.4.2 Тождественность ТЯ

Глава 1 Правила ветвления старших уровней для полной линейной группы

1.1 Обозначения и определения

1.1.1 Общие обозначения

1.1.2 Мультимножества

1.1.3 Кольца и юГчастные

1.1.4 Гипералгебра над Z'

1.1.5 Гипералгебры над произвольными полями

1.2 Элементарные выражения

1.3 Коэффициенты восстановления

1.4 Геометрия целочисленной плоскости

1.4.1 Уменьшающие вложения

1.4.2 Уменьшающие вложения для 7?

1.4.3 Змейки

1.4.4 Множество 5

1.4.5 Диаграммы

1.5 Формальная факторизация элементарных выражений

1.5.1 Операторы разрезания

1.5.2 Факторизация

1.5.3 Операторы поднимания

1.5.4 Операторы T¿fM{I,J)

1.5.5 Коэффициенты восстановления

1.5.6 Возвращение в гипералгебру

1.5.7 Многочлены J))

1.6 Доказательство теоремы 1.0.2.2

1.6.1 Операторы Т™м(1)

1.6.2 Подпространство V\

1.6.3 Достаточность для теоремы 1.0.2.2

1.6.4 Некоторые базисные коэффициенты

1.6.5 Критерий несуществования

1.6.6 Необходимость для теоремы 1.0.2.2

Глава 2 Проективные представления симметрической группы

2.1 Введение

2.1.1 Проективные представления

2.1.2 Супералгебры, супералгебры Ли и супермодули

2.1.3 Супергруппа Q{n)

2.1.4 Множества и множества со знаком

2.2 Понижающие операторы

2.2.1 Определения

2.2.2 Свойства операторов и Sfj({j})

2.2.3 Суперкоммутирование Hf и S^M)

2.2.4 Суперкоммутирование Ef и Sf¿(M) при I ^ j

2.2.5 Действие Ef на при I ф j - 1 по модулю /г+

2.3 Коммутативные многочлены

2.3.1 Операторы сг^ и соотношения между ними

2.3.2 Многочлены f?/{S)

2.3.3 Многочлены g%(S) и g¡%qd(S)

2.3.4 Соотношения

2.4 Коэффициенты восстановления

2.4.1 Индуктивные формулы

2.4.2 Случай множества со знаком из чётных элементов

2.4.3 Случай множества со знаком с одним нечётным элементом

2.5 Последовательности из + и —

2.5.1 Редукция

2.5.2 Потоки и почти потоки

2.5.3 Случай простого знака

2.5.4 Случай двойного знака

2.6 Построение [/р(п—1)- примитивных векторов

2.6.1 Функция 773(A)

2.6.2 Построение, случай 1

2.6.3 Построение, случай 2

2.6.4 Построение, случай 3

2.6.5 Вспомогательная лемма

2.6.6 Достройка, случай 1

2.6.7 Достройка, случай 2

2.6.8 Достройка, случай 3

2.6.9 Нормальные индексы

2.6.10 Некоторые коэффициенты

2.7 Основные результаты для Q{n)

2.7.1 Отсутствие ненулевых U¥(n—1)-примитивных векторов

2.7.2 Критерий существования U¥(n — 1)-примитивных векторов

2.7.3 Цоколь ограничения первого уровня

2.7.4 Переформулировки

2.7.5 Случай Ап = 0 (mod р)

2.7.6 Удаляемые и добавляемые клетки

2.8 Правила ветвления для проективных представлений

2.8.1 Полиномиальные представления

2.8.2 Правила ветвления для З^п-супермодулей

2.8.3 Правила ветвления для 7^-супермодулей

2.8.4 Кристаллические графы

2.8.5 Правила ветвления для 7^-модулей

Глава 3 Локальный критерий для модулей Вейля

3.1 Гипотезы и переформулировки

3.1.1 Гипотезы

3.1.2 Доказательство гипотез в одну сторону

3.1.3 Переформулировки

3.1.4 Операторы скручивания

3.1.5 Пример для G = В2{¥) и корня 2а + ¡3

3.1.6 Пример для G = B2(F) и корня а + р

3.2 Критерий для G = 4/(F)

3.2.1 Потоки

3.2.2 Базис гипералгебры

3.2.4 Таблицы

3.2.5 Сравнение таблиц

3.2.6 Сравнение потоков

3.2.7 Доказательство утверждения В

Список обозначений

Общие

Глава 0

Глава 1

Глава 2

Глава 3

Предметный указатель

Список литературы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Правила ветвления для линейных и проективных представлений»

Введение

Теория представлений симметрической группы ¿"„ занимает совершенно особое место в теории представлений конечных групп. Над полями нулевой характеристики эта теория позволяет получить полную классификацию представлений: каждое представление группы ¿"„ полупросто, неприводимые представления группы ¿"„ соответствуют разбиениям числа п и их размерности вычисляются по формуле крюков (см. §20 из книги Г.Джеймса [1]). С другой стороны, эта теория в случае положительной характеристики основного поля далека от завершения. Так например, даже размерности неприводимых ¿"„-модулей неизвестны.

Для развития модулярной (то есть над полями положительной характеристики) теории представлений группы ¿"„ необходимо понять, чем эта группа выделяется среди конечных групп. Один из ответов на этот вопрос получил И. Шур в своей диссертации [58], в которой он построил теорию представлений полной линейной группы СЬП(С) на основе открытых до этого Г. Фробениусом комплексных характеров симметрической группы [32]. Позже Дж. А. Грин [33] вернулся к этому вопросу и обратил рассуждения И. Шура, построив неприводимые представления симметрической группы из неприводимых представлений полной линейной группы СЬП(Ж) над произвольным алгебраически замкнутым полем Р. При этом неприводимые ¿"„-модули получаются как образы неприводимых рациональных СЬ„(Е)-модулей под действием функтора Шура (см. §6.1 работы [33]). Так как последние модули однозначно определяются своими старшими весами (см. теорему 3.5а из [33], а также теорему 31.3 из [6]), то функтор Шура позволяет получить также параметризацию неприводимых ¿"„-модулей: каждый неприводимый ¿"„-модуль изоморфен ровно одному модулю £>л, где Л — р-регуляриое (то есть не содержащее р или более одинаковых частей) разбиение. Такой подход к построению неприводимых ¿"„-модулей проще чем подход, изложенный в работе [1], который не выходит за рамки представлений группы ¿"п, а также позволяет получить некоторые результаты не входящие в [1], например, теорему о удалении столбца и строки из матрицы разложения [38].

На применении функтора Шура основана также модулярная теория ветвления для симметрической группы, развитая А. С. Клещёвым в работах [42] и [43]. Напомним, что для основного поля нулевой характеристики, правила ветвления (см. теорему 9.2 из [1]) позволяют разложить ограничение Г>л неприводимого ¿"„-модуля в прямую сумму неприводимых ¿"„-1-подмодулей. Напротив, в случае основного поля характеристики р > 0 ограничение Вх |,?п_1 не обязательно полупросто. Как показано в [43], оно распадается в прямую сумму неразложимых ¿"п_1 модулей, цоколь которых изоморфен в точности одному неприводимому ¿"„-1-модулю. Поэтому в этой диссертации проблема ветвления для симметрической группы в модулярном случае понимается именно как нахождение цоколя ограничения _Ол |.5П_1- Информация о цоколе оказывается значительно более полезной, чем может сначала показаться. Например, на её основе в

работе [31] А. С. Клещёв и Б. Форд доказали гипотезу Муллино [55] о том, как устроена биекция на множестве р-регулярных разбиений А >-»• /л, где D^ = Dx <g> sgn (здесь sgn — знакопеременное представление группы Sn). Кроме того, эти правила ветвления позволяют вычислять Ext ^пространства между простыми ¿"„-модулями: в работах А.С.Клещёва и Дж. Шеса [46] и [47] вычислены пространства ExtlSn{Dx,Dti), где А и \i — разбиения, состоящие не более чем из двух ненулевых частей; в работе [36] Д. Хеммер вычислил Ex.t1Sn(Dx, D^), где Dx и D^ — вполне расщепимые модули (то есть такие, что их ограничение на любую подгруппу Юнга полупросто); автор в работах [67] и [68] вычислил Ext5n(DA, D^) для случая, когда Dx — вполне расщепляемый модуль и А $ ¡1 (А > ¡л обозначает, что А; ^ Ак для любого к и хоты бы одно неравенство строгое). При этом утверждение о том, что Dx — вполне расщепляемый модуль, имеет вполне чёткий комбинаторный смысл в терминах разбиения А (см. работу А. С. Клещёва [44]). В частности, результат работ [67] и [68] позволяет утверждать, что радикал модуля Шпехта Sx такого, что Dx = head Sx — вполне расщепляемый модуль (где А — р-регулярное разбиение), либо нулевой либо содержит единственный наибольший подмодуль. В последнем случае фактор Dx по этому подмодулю явно вычислен (см. лемму 4.5 и теорему 4.6 из [68]). Наконец, упомянутые выше работы [46] и [47] и работа автора [70] содержат версии этих результатов для линейных групп. В работе автора [66] показано, что Ех^-пространства между неприводимыми 5п-модулями связаны с правилами умножения наклонных модулей (fusion rules for tilting modules) при помощи дуальности Шура-Вейля. Правила умножения, которые используются в работе [66], содержаться в работах О. Матьё [53] и К. Эрдманн [30]. Информация об упомянутых выше Ext ^пространствах может быть использована в различных приложениях, например, в задаче из работы автора [65] о возможности задать все неприводимые модули множества {£)л+(г") | г 6 N}, где А — разбиение высоты менее р и п < р, конечным количеством соотношений.

Возможно, ещё более важным следствием модулярных правил ветвления является возможность задать параметризацию неприводимых линейных представлений группы Sn, определив их по сути при помощи этих правил, как это сделано в части I работы [45] (см. замечание 11.2.2). Известны три способа показать, что последняя параметризация и параметризация, происходящая из функтора Шура, совпадают. Первый способ принадлежит А. С Клещёву и описан в замечании 11.2.2 его работы [45], в котором автор ссылается на свою работу [43]. Второй способ описан в работе С. Арики [10]. Он опирается на теорему категорификации С. Арики из [9] и редукцию по модулю р. Третий способ [25] также опирается на теорему категорификации С. Арики, а также на идею экстремального веса из работы [22].

Всё сказанное выше в равной степени применимо к проективным представлениям симметрической группы, за исключением правил ветвления. Изучение проективных представлений симметрической группы Sn эквивалентно либо изучению линейных представлений либо в случае, когда я ) 4и характеристика основного поля отлична от двух, изучению представлений алгебры Тп, порождённой элементами ii,..., tn и заданной соотношениями

ij — 1, iiti+\ti = ti+lti^i+lj titj tjti,

где i,j = 1,... ,п — 1 и \i — j\ > 1. Удобно считать, что эта алгебра задана при любом n ^ 1 и является супералгеброй с градуировкой, в которой все порождающие ti,... ,tn нечётные.

Естественно пытаться задать неприводимые 7^-супермодули установив связь с представлениями некоторого геометрического объекта. В случае линейных представлений таким объектом была группа СЬП(Р). Для 7^-супермодулей таким объектом является супергруппа <2(п), которую мы понимаем как следующий функтор из категории за^р коммутативных F-cyпepaлгeбp в категорию групп (см. [39]):

Неприводимые полиномиальные (п)-супермодули Ь(А) степени п с р-ограниченным старшим весом А отображаются при помощи функтора Шура в неприводимые Уп-су-пермодули -О(А), где Уп = Тп ® Сп и Сп — супералгебра Клиффорда (см. [20]). Для получения неприводимых 7^-супермодулей требуется дополнительное усилие: функторы и <бп (см. § 13.2 из [45]) позволяют получить все (с точностью до изоморфизма) неприводимые 7^-супермодули Вх из уже построенных неприводимых 34-супермодулей -О(А), а так же проследить за тем, какие из полученных супермодулей остаются неприводимыми, если забыть про ^-градуировки и рассмотреть их как обычные модули. Аналогичный процесс применим к построению супермодулей Шпехта 5Л для супералгебры Тп.

Заметим, что в части II работы [45] на основе наперёд заданных правил ветвления построена совершенно другая система неприводимых 7^-супермодулей Сл. Однако эквивалентность Их = Сх до последнего времени не была доказана (за исключением случая Е = С), и фактически существовала ситуация, в которой некоторые результаты (см. [20] и [24]) относились к супермодулям £>А, в то время как другие результаты (см. [19], [45], [48], [22], [21], [57] и [И]) относились к супермодулям 0х (обозначения этих работ не должны вводить в заблуждение: неприводимые 7^-супермодули обычно обозначаются через -О(А) во всех этих работах независимо от способа определения).

В отличии от случая полей положительной характеристики, в случае (алгебраически замкнутых) полей нулевой характеристики проблема ветвления для алгебраических групп (и алгебр Ли) напротив изучена очень хорошо. Правила ветвления для ограничений с СЬ„(С) на СЬ„_1(С), с 8ршп(С) на Брт^С) и с 8рп(С) на Эр^С) доказаны в книге Д.П.Желобенко [2], а также в работах Бёрнера [13], Хегерфельд-та [35], Ли [50] и Леповски [51]. Элементарное изложение правил ветвления для этих ограничений содержится в книге Н. Р. Гудмана и Р. Уаллаха [64]. Опубликованы обширные таблицы правил ветвления для классических и исключительных алгебр Ли, см. работы Ж. Титса [63], М. Р Бремера, Р. В. Муди и Дж. Патера [14] и У. МакКей и Дж. Патера [54].

Для полей положительной характеристики можно рассмотреть проблемы ветвления для аналогичных пар подгрупп. Однако в общем виде в настоящее время все они далеки от решения. Более реалистичной представляется задача вычисления цоколя таких ограничений. Наиболее изученной является пара подгрупп СЬП_1(Е) < СЬП(¥). А. С. Клещёвым в [43] были найдены компоненты цоколя ограничения Ь(А) |сьп_1(Р) неприводимого СЬп(Р)-модуля со старшим весом А = (Аь ..., Ап), имеющие вид Ц/х), где (1 = (Ах,..., А*_1, А» — 1,...,АП_1) для некоторого г. Фактически этот результат следует из решенной в той же работе проблемы нахождения СЬп_1(Р)-примитивных векторов в Ь(А), имеющих вес того же вида. Нахождение именно таких компонент цоколей — это все, что необходимо для нахождения цоколей ограничений линейных неприводимых представлений симметрической группы Зп на подгруппу 5П_1.

В диссертации получены следующие основные результаты:

1. В главе 1 получен комбинаторный критерий (теорема 1.0.2.2), для каждого доминантного веса Л = (Ах,..., Ап), индекса г = 1,... ,п — 1 и числа d = 1,... ,р — 1 позволяющий выяснить, существует ли ненулевой GLn_i (Р)-примитивный вектор веса (Ai,... Аг-i, Аг—d, Ai+i,..., An_i) в неприводимом рациональном СЬп(Е)-модуле со старшим весом А, где р = char F > 0. Один из главных результатов работы [43] получается как частный случай этого результата при d = 1.

Результат главы 1 содержится в работе автора [72]. Другими работами, в кото- рых вычисляются GLn_i ^-примитивные векторы модуля L(А) являются работы А.С.Клещёва, Дж. Брандона и И.Д.Супруненко [26] и автора [74].

2. В главе 2 вычислен цоколь ограничения на подгруппу £п-1 неприводимого проективного представления группы Sn, полученного из неприводимого <5(п)-супермо-дуля со старшим весом А применением функтора Шура. Кроме того, на основание этого результата (точнее его версии для супермодулей) доказана упомянутая выше эквивалентность Dx = Gx (супермодуль Gx получен при помощи кристаллических графов). Дополнительно, мы получаем интерпретацию понятия нормальной клетки, введённой в [20], с точки зрения теории представлений (см. утверждение 2.8.4.12).

Результаты главы 2 получены автором совместно с А. С. Клещёвым и опубликованы в [75].

3. В главе 3 доказан алгоритм, позволяющий выяснить отличен ли от нуля произвольный вектор v веса /х модуля Вейля над группой SLn(F). Этот алгоритм не использует базисов и предполагает пошаговое поднятие пары (v,fi). Аналоги этого алгоритма (см. гипотезы А и В) для полупростых односвязных групп произвольного типа доказаны в одну сторону (см. следствие 3.1.2.2). Одним из применений последнего утверждения может быть построение гомоморфизмов между модулями Вейля (см. примеры 3.1.5 и 3.1.6). Таким образом, можно надеяться на получение теоремы аналогичной теореме Картера-Пейна [29] для групп типа Ап.

Результат главы 3 содержится в работе автора [73]. Выскажем предположение, что для некоторых особым образом выбранных векторов v из модулей Вейля алгоритмы, полученные в этой главе, могут установить неравенство v ф 0 более простым образом, чем разложение по стандартному базису.

Результаты для представлений симметрических групп, полученные в главе 2 этой диссертации, следуют из результатов для представлений супергруппы Q(n) (см. определение в §2.1.3). В свою очередь, представления супергруппы Q(n) сводятся к представлениям гипералгебры этой супергруппы (см. определение на странице 114). Тоже самое происходит и с представлениями группы GLn(F) в главе 1 и с представлениями полупростых алгебраических групп в главе 3. В любом из этих случаев можно утверждать, что категория рациональных представлений рассматриваемой (супер) группы эквивалентна категории целых представлений соответствующей гипералгебры (см. следствие 5.7 и теорему 4.4 работы [23] для супергруппы Q{n)). Такой переход позволяет в некотором смысле линеаризовать задачу. Чтобы продемонстрировать какими функторами устанавливается эквивалентность этих категорий (и чтобы определить понятие целого модуля), мы включили главу 0. В этой главе мы рассматриваем только случай

группы GL„(F). Несмотря на то, что в ней не получено никаких новых результатов, глава 0 служит важной цели — продемонстрировать почему работа с гипералгеброй (супер) группы является математически строгим методом изучения представлений самой (супер) группы.

Для теории ветвления, которой посвящены главы 1 и 2, принципиально важными оказываются особые элементы гипералгебр, которые называются понижающими операторами. Они начинают свою историю с работы Р. Картера [27]. Такие операторы являются достаточными для решения проблемы ветвления для группы GLn(F) в случае charF = 0. С другой стороны, в случае charF > 0 таких операторов явно недостаточно, так-как в ограничении-L(A) J.GLn_i(F) неприводимого СЬп(Р)-модуля L(А) могут содержаться примитивные векторы, которые нельзя получить (возможно многократным) применением операторов Картера к старшему вектору. Для первого уровня (то есть для векторов весов вида А минус корень) эта проблема была решена А. С. Клещёвым в работе [43] путём модификации операторов Картера. Логично было бы задать вопрос об избавлении от ограничения "для первого уровня". В §5.3 работы [15] Дж. Брандон высказал предположение, что этого можно добиться путём итерации (т.е. последовательного применения к вектору старшего веса) операторов Клещёва. В работе [69] показывается какие именно примитивные векторы ограничения можно так получить. Сравнение этого алгоритма с основным результатом главы 1 опровергает предположение Дж. Брандона. Первая попытка сконструировать понижающие операторы для старших уровней представлений группы GLn(F) была сделана автором в работе [71]. Эти операторы получаются из операторов Клещёва возведением всех операторов Картера, встречающихся в их определении, в фиксированную степень. Однако таким образом получался не критерий, а только способ генерировать достаточно большое количество GLn_x ^-примитивных векторов в неприводимых GLn (F)-модулях (см. таблицу 1 из [71]). Наконец, в работе [72] автором было получено достаточное количество операторов для получения некоторого критерия (см. теорему 1.0.2.2). С другой стороны, понижающие операторы первого уровня обобщались Дж. Бранданом на случай квантовых групп в [16] и [15] и Дж. Куявой на случай супергруппы GL(m|n) в [49].

Диссертация состоит из четырёх глав. Нулевая глава является вводной и не содержит новых результатов. Основными объектами, рассмотренными в этой главе, являются категории Ratip(n) рациональных GL„(Р)-модулей (см. §0.1.2) и категория Intw(n) целых [7р(п)-модулей (см. §0.1.4). Упомянутая здесь гипералгебра U${n) введена в §0.1.3. Основной целью этой главы является доказательство эквивалентности этих категорий путём построения функторов Т : Int^n) —> RatF(n) (см. § 0.2) и Q : Ratp(п) —► IntF(n) (см. § 0.3). Тождественность композиций QT и TQ доказана в §0.4. Построение функтора Q является достаточно стандартным. Мы используем для этого понятия коалгебр и комодулей (см. §0.3.1), а также некоторые Z-формы (см. §0.3.3) для перенесения результатов со случая поля комплексных чисел на случай произвольного алгебраически замкнутого поля (см. §0.3.4). С другой стороны, функтор Т строится на основании комбинаторной проверки определяющих соотношений для группы GLn(F) (см. §0.1.1). Для этой проверки используются различные преобразования сумм и соотношения между биномиальными коэффициентами. Мы используем некоторые определения и тождества из книги Р. Грехема, Д. Кнута и О. Паташника [3]. После того, как введено действие группы GLn(F) на данном целом £Ур(п)-модуле, остаётся проверить рациональность такого действия. Это проделано в §0.2.2 на основании конструкций, приведённых в книге Р. Стейнберга [5].

Основным результатом главы 1 является теорема 1.0.2.2. Алгоритм этой теоремы предполагает проверку существования строго уменьшающего вложения из одного подмножества плоскости Z2 в другое. Как объяснено сразу после формулировки теоремы 1.0.2.2, такая проверка может быть проведена непосредственно на прямой Ъ. Для этого нет необходимости проверять все вложения из одного множества в другое, так как мы можем воспользоваться утверждением 1.4.1.1. Множества 2)^(г,тг) и £Л(г, п) в формулировке теоремы 1.0.2.2 строятся на основании (направленного) расстояния с^д (стр.43), которое обобщает понятие разности вычетов двух клеток на двумерный случай.

Доказательство теоремы 1.0.2.2 построено на определении соответствующих понижающих операторов Т^м(1) (стр. 98). Они служат как для построения соответствующих ненулевых СЬП_1 (Р)-примитивных векторов в §1.6.3, так и для доказательства в §1.6.6 того, что ненулевые СЬп_х ^-примитивные векторы других весов отсутствуют. В обоих случаях нам необходимо проследить как ведёт себя вектор при действии на него операторами поднимания Этот процесс адекватно отражают операторы 7) (см. определение 1.5.4.1) аналогичные операторам А.С.Клещёва

из [43]. Однако операторы </) являются не элементами гипералгебр, а элемен-

тами алгебры формальных операторов ^^ (стр. 74). Как алгебра ^^ — всего лишь алгебра коммутативных многочленов. Смысл введения этой алгебры в том, что на ней действуют операторы поднимания р\г\ р\2\ (стр. 1.5.3), сумма которых р/ отражает умножение вектора Е; (см. лемму 1.5.6.4). Алгебра Р}^ связана с гипералгеброй и^{п)

операцией еу, которая отображает полные элементы (включая 7)) первой ал-

гебры во вторую (см. §1.5.6).

Введение алгебры формальных операторов связано с арифметикой элементарных выражений (см. §1.2). Элементарные выражения б^дД/х,..., Д+ь «А> • • ■> Л) — это некоторые далее не разложимые в рамках нашего подхода элементы гипералгебры их'(п), которые ведут себя по определённым хорошо устроенным правилам (1.2.0.12)—(1.2.0.14) при умножении по модулю идеала 11х'(п)Е1 на элементы Е[. Элементарные выражения обобщают произведение операторов Картера определённых в §2.9 работы [28]. Действительно, подстановка гц+х,..., ип_х ь-> 0 переводит ^г.п.лД0' • • •, 0, 0, ■ • •, 0) в произведение где М = {т! < <

т*;}. Нам бы хотелось получить аналогичную факторизацию в общем случае. Хотя это и не возможно сделать впрямую в гипералгебре, введение алгебры формальных операторов Л5^ решает этот вопрос. При этом коэффициенты восстановления (см. §1.3) согласуются с такой процедурой факторизации.

Комбинаторные рассуждения главы 1 в существенной мере используют геометрию целочисленной плоскости Z2, аналогично тому как рассуждения работы [43] используют геометрию целочисленной прямой Ъ. Мы излагаем соответствующие понятия (порядки, уменьшающие отображения, внутренние и граничные точки, конусы, змейки и т.д.) в §1.4.

Задачи, на которые направлена большая часть главы 2, заключаются в нахождении <3(п — 1)-примитивных векторов неприводимого <2(п)-супермодуля Ь(А) со старшим весом А,

имеющих вес вида (Ах,..., А^—х, А^ 1, А^х,..., Ап_ х) (теорема 2.7.2.1), и слагаемых цоколя ограничения Ь(А) |<э(п-1) со старшими весами того же вида (теорема 2.7.3.3). При этом нас интересует всего лишь существование вектора или слагаемого указанного вида (без размерностей или кратностей). Эти результаты дости-

гаются путём подходящего выбора понижающих операторов в гипералгебре

супергруппы <3(п) (см. формулы (8-1)-(8-6)). Такой способ определения операторов похож на способ вычисления операторов А. С. Клещёва в утверждении 3.5 из работы Дж.Брандона [15]. Определение операторов в главе 2 логично назвать определением снизу, так как все требуемые понижающие операторы собираются из самых простых операторов и ({:/'}) по индуктивным формулам (8 -3)-(8 -6). Заметим, что в

то время как оператор (О}) = выглядит вполне предсказуемо, оператор ¿>¿¿({.7'}) задаётся вполне неожиданной, не встречавшейся ранее, формулой (8-3). Свойствам этого оператора посвящён параграф 2.2.2. С другой стороны, коэффициенты восстановления (см. §2.4) удобнее задать при помощи многочленов (лемма 2.4.2.1) и д^] (лемма 2.4.3.2). Эти многочлены являются частным случаем многочленов /^(5'), определённых в §2.3.2 индуктивной формулой (Ь) из многочленов самой высокой степени /£'(0). Такое определение логично назвать определением сверху. Необходимость доказательства большого количества соотношений между многочленами д^ и в §2.3.4 — результат столкновения подходов снизу и сверху.

Заметим, что мы не используем всех построенных нами операторов Эти

операторы зависят от множества со знаком М, то есть от множества, каждому элементу которого присвоена некоторая чётность. Операторы хорошо ведут себя для любого М как при суперкоммутировании с элементами Я/ (см. §2.2.3) так и при умножении слева на элементы (см. §2.2.5) при / ^ ^ — 1 по модулю левого идеала, порождённого элементами Е[ и Однако коэффициенты восстановления удаётся посчитать только для множеств со знаком М, имеющих не более одного нечётного элемента. Таким образом, роль (а возможно и правильность определения) остальных понижающих операторов остаётся непонятной.

После того, как основные результаты о представлениях супергруппы п) получены, мы применяем их в §2.8 к проективным представлениям группы 5П следующим образом: сначала мы вычисляем без учёта кратностей компоненты цоколя ограничения -0А|т„ неприводимого 7^-супермодуля £>А (теорема 2.8.3.7), затем доказываем с помощью полученной информации о цоколе эквивалентность £>А = 0х (теорема 2.8.4.10) и, наконец, использую эту эквивалентность и известные из [45] правила ветвления для 7^-супермодулей Сх, получаем правила ветвления (то есть компоненты цоколя ограничения с кратностями) для 7^-супермодулей (утверждение 2.8.4.11) и 7^-модулей (теорема 2.8.5.4). Все эти правила содержат понятия хорошего индекса или хорошей клетки, которые предполагают приведение последовательностей знаков + и — (возможно с индексам) к редуцированному виду. Эта теория изложена в §2.5.

В главе 3 мы формулируем гипотезы (см. гипотезы А и В на стр. 265) о том, как проверить является ли произвольный вектор V модуля Вейля для односвязной

полу простой алгебраической группы С ненулевым без использования базисов. В формулировках этих гипотез участвует не сам вектор, а пара (Г, а;), в которой Г такой элемент отрицательной части гипералгебры Щ группы С, что V = Здесь обозначает фиксированный ненулевой вектор модуля Д(а>) веса ш. Согласно гипотезе А (гипотезе В), для проверки неравенства V ^ 0 требуется привести пару (Г,ш) к паре вида (с, 0) преобразованиями (а) (преобразованиями (а), где т = 1) и (Ь) (стр. 265). Следствие 3.1.2.2 показывает, что если такое преобразование возможно, то V Ф 0, а примеры параграфов 3.1.5 и 3.1.6 показывают, как такой алгоритм применяется на практике.

Доказательству гипотез А и В в обратном направлении в случае С = 8Ь„(Ж) по-

свящён §3.2. Сначала в § 3.2.1 мы вспоминаем понятие потока, введённое в § 2.5.2. Мы вводим понятия источника, стока, транзитной точки и г-знака потока и следим как они ведут себя при преобразовании потоков (см. операции Li, L2, L3, Mi, М2 и R, введённые таблицей на стр. 273). Наше изучение свойств потоков заканчивается построением отображений С°,С9\ М°, М9\ 1Z9 "обратных" к каждой группе операторов Li, L2, L3; Mi, M2; R.

Понятие потока участвует в нашем основном инструменте для рассматриваемого случая G = SLn(F), лемме 3.2.3.4. Для её доказательства мы используем формулу (1.2.0.3) из главы 1 (переформулированную в виде (3.2.3.1)) и свойства потоков, доказанные в § 3.2г1-. Для доказательства наших гипотез нам потребуется такие хорошо известные результаты как построение стандартного базиса модуля Вейля (утверждение 3.2.4.1) и так называемое "straightening rule" (утверждение 3.2.5.2). Необходимые для формулировки этих результатов понятия таблиц и порядков на них изложены в § 3.2.4 и 3.2.5. Затем в § 3.2.6 мы вводим отношение порядка между некоторыми потоками, которое вместе с отношением порядка на таблицах участвует в следствии 3.2.6.4. На его основе доказывается лемма 3.2.7.1, из которой следуют гипотеза В в случае G = SLra(F) (теорема 3.2.7.3). Как объяснено в замечании 3.1.2.3, из гипотезы В всегда следует гипотеза А.

Обозначения

Через Z, С мы будем обозначать множества целых и комплексных чисел соответственно. Мы положим Zp = Z/p Z и будем отождествлять это поле вычетов с простым подполем любого поля характеристики р.

Для отрезков множества Z мы будем использовать следующие обозначения:

В этих формулах х и у — целые числа или символы —оо и +сю. Мощность любого множества S будем обозначать через |5| (смотрите обобщение на мультимножества в параграфе 1.1.2).

Для любой последовательности А длины п и числа г = 1,... ,п через Аi мы будем обозначать г-й член последовательности А. Другими словами А = (Ai,..., Ап). Мы так

же положим J2 А = Ai Н-----Ь Ап. Рассматривая последовательность А как функцию на

[1..п], мы будем обозначать через A|s последовательность (Ai,..., Am), где S — начало множества [1..гг], состоящее из т элементов. Так например A|[i..n_i) = (Ai,..., An_i). Аналогичные обозначения мы будем использовать для функций. Если / : Т —► М некоторая функция, то её значение в точке t ET мы будем на равных правах обозначать как через f(t) так и через ft- Кроме того, если множество Т конечно, а М — абелева группа, то положим Y2f = /СО- Для подмножества S С Т через f\s обозначается ограничение функции / на S.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Щиголев, Владимир Викторович, 2013 год

Список литературы

[1] Джеймс Г., Теория представлений симметрической группы, Мир, М., 1980.

[2] Желобенко Д. П., Компактные группы Ли и их представления, Наука, Москва, 1970.

[3] Паташник О. Грехем Р., Кнут Д., Конкретная математика, Мир, М., 1998.

[4] Сергеев А. Н., Тензорная алгебра тождественного представления как модуль над супералгебрами Ли <51(п, т) и Q{n), Мат. сб., 123(165) (1984), 422-430.

[5] Стейнберг Р., Лекции о группах Шевалле, Мир, М., 1975.

[6] Хамфри Дж., Линейные алгебраические группы, Наука, М., 1980.

[7] Хамфрис Дж., Введение в теорию алгебр Ли и их представлений, МЦНМО, 2003.

[8] Шафаревич И. Р., Основы алгебраической геометрии. Том 1, Наука, М., 1988.

[9] Ariki S., On the decomposition numbers of the Hecke algebra of G(m, 1 ,n), J. Math. Kyoto Univ., 36 (1996), 789-808.

[10] Ariki S., Proof of the modular branching rule for cyclotomic Hecke algebras, J. Algebra, 306 (2006), 290-300.

[11] Arisha H., Schaps M., Maximal strings in the crystal graph of spin representations of the symmetric and alternating groups, Comm. Algebra, 37 (2009), 3779-3795.

[12] Bergman G.M., The diamond lemma for ring theory, Advances in Math., 29 (1978), n. 2, 178-218.

[13] Boerner H., Representations of Groups with Special Consideration for the Needs of Modern Physics, North-Holland, New York, 1970.

[14] Bremer M. R., Moody R. V., Patera J. , Tables of Dominant Weight Multiplicities for Representations of Simple Lie Algebras (Monographs and Textbooks in Pure and Appl. Math. 90), Marcel Dekker, New York, 1985.

[15] Brundan J., Lowering operators for GL(n) and quantum GL(n), Proc. Simposia in Pure Math., 63 (1998), 95-114.

[16] Brundan J., Modular branching rules and the Mullineux map for Hecke algebras of type A, Proc. London Math. Soc., 77 (1998), n. 3, 551-581.

[17] Brundan J., Modular representations of the supergroup Q(n). II, Pacific J. Math., 224 (2006), 65-90.

[18] Brundan J., Kleshchev A., Modular Littlewood-Richardson coefficients, Math. Z., 232 (1999), 287-320.

[19] Brundan J., Kleshchev A., Hecke-Clifford superalgebras, crystals of type A^ and modular branching rules for Sn, Represent. Theory, 5 (2001), 317-403.

[20] Brundan J., Kleshchev A., Projective representations of symmetric groups via Sergeev duality, Math. Z., 239 (2002), 27-68.

[21] Brundan J., Kleshchev A., Cartan determinants and Shapovalov forms, Math. Ann., 324 (2002), 431-449.

[22] Brundan J., Kleshchev A., Representation theory of symmetric groups and their double covers, Groups,-Combinatorics & Geometry (Durham, 2001),-World Sci. Publ., River Edge, NJ, 2003, 31-53.

[23] Brundan J., Kleshchev A., Modular representations of the supergroup Q{n), I, J. Algebra, 260 (2003), 64-98.

[24] Brundan J., Kleshchev A., James' regularization theorem for double covers of symmetric groups, J. Algebra, 306 (2006), 128-137.

[25] Brundan J., Kleshchev A., Graded decomposition numbers for cyclotomic Hecke algebras, Adv. Math., 222 (2009), 1883-1942.

[26] Brundan J., Kleshchev A., Suprunenko I., Semisimple restrictions from GL(n) to GL(n - 1), J. reine angew. Math., 500 (1998), 83-112.

[27] Carter R. W., Raising and lowering operators for sln, with applications to orthogonal bases of s/n-modules, Proceedings of the Areata conference on representations of finite groups, 47 (1987), 351-366.

[28] Carter R. W., Lusztig G., On the modular representations of the general linear and symmetric groups, Math. Z., 136 (1974), 193-242.

[29] Carter R. W., Payne M. T. J., On homomorphisms between Weyl modules and Specht modules, Math. Proc. Cambridge Philos. Soc., 87 (1980), 419-425.

[30] Erdmann K., Tensor products and dimensions of simple modules for symmetric groups, Manuscripta Math., 88 (1995), n. 3, 357-386.

[31] Ford B., Kleshchev A. S., A proof of the Mullineux conjecture, Math. Z., 226 (1997), n. 2, 267-308.

[32] Frobenius G., Uber die Charaktere der symmetrischen Gruppe, Sitz. Berlin Akad. Wiss (1900), 516-534.

[33] Green J. A., Polynomial representations of GLn(K), Lecture Notes in Mathematics, v. 830, Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, New York, 1980.

[34] Grojnowski I., Affine sip controls the representation theory of the symmetric group and related Hecke algebras, arXiv:math.RT/9907129.

[35] Hegerfeldt G. C., Branching theorem for the symplectic groups, J. Math. Physics, 8 (1967), 1195-1196.

[36] Hemmer D. J., The Ext ^quiver for completely splittable representations of the symmetric group, J. Group Theory (2001), n. 4, 401-416.

[37] Hochshchild G., Basic Theory of Algebraic Groups and Lie Algebras (Graduate Texts in Math. 75), Springer, New York etc., 1981.

[38] James G. D., On the Decomposition Matrices of the Symmetric group, III, J. Algebra, 71 (1981), 115-122.

[39] Jantzen J. C., Representations of algebraic groups, Second Edition (Mathematical Surveys and Monographs 107), Amer. Math. Soc.,-2003. .___

[40] Kac V. G., Lie Superalgebras, Advances in mathematics, 26 (1977), 8-96.

[41] Kang S. J., Crystal bases for quantum affine algebras and combinatorics of Young walls, Proc. London Math. Soc. (3), 86 (2003), 29-69

[42] Kleshchev A. S., Branching rules for modular representations of symmetric groups. I, J. Algebra, 178 (1995), n. 2, 493-511.

[43] Kleshchev A. S., Branching rules for modular representations of symmetric groups. II, J. Reine Angew. Math., 459 (1995), 163-212.

[44] Kleshchev A. S., Completely splittable representations of symmetric groups, J. Algebra, 181 (1996), n. 2, 584-592.

[45] Kleshchev A., Linear and Projective Representations of Symmetric Groups, Cambridge University Press, Cambridge, 2005.

[46] Kleshchev A. S., Sheth J., On extensions of simple modules over symmetric and algebraic groups, J. Algebra, 221 (1999), n. 2, 705-722.

[47] Kleshchev A. S., Sheth J., Corrigendum: "On extensions of simple modules over symmetric and algebraic groups, J. Algebra, 238 (2001), n. 2, 843-844.

[48] Kleshchev A., Tiep P. H., On restrictions of modular spin representations of symmetric and alternating groups, Trans. Amer. Math. Soc., 356 (2004), 1971-1999.

[49] Kujawa J., Crystal structures arising from representations of GL(m|n), Represent. Theory, 10 (2006), 49-85.

[50] Lee C. Y., On the branching theorem for the symplectic groups, Canad. Math. Bull, 17 (1974), 535-545.

[51] Lepowsky J., Multiplicity formulas for certain semisimple Lie groups, Bull. Amer. Math. Soc., 77 (1971), 601-605.

[52] Mathieu O., Filtrations of G-modules. Ann. Sci. Ecole Norm. Sup. (4), 23 (1990), n. 4, 625-644.

[53] Mathieu O., On the dimension of some modular irreducible representations of the symmetric group, Lett. Math. Phys., 38 (1996), n. 1, 23-32.

[54] McKay W. G., Patera J., Tables of Dimensions, Indices, and Branching Rules for Representations of Simple Lie Algebras (Lecture Notes in Pure and Appl. Math. 69), Marcel Dekker, New York, 1981.

[55] Mullineux G., Bijections of p-regular partitions and p-modular irreducibles of the symmetric groups, J. London Math. Soc. (2), 20 (1979), n. 1, 60-66.

[56] Nazarov M., Young's symmetrizers for projective representations of the symmetric group, Adv. Math.

_[57] Phillips A. M., Restricting modular spin representations of symmetric and alternating groups to Young-type subgroups, Proc. London Math. Soc. (.3'), 89 (2004), 623-654.

[58] Schur I., Uber eine Klasse von Matrizen, die sich einer gegebenen Matix zuordnen lassen (1901), Springer, Berlin, 1973, 1-70.

[59] Sergeev A. N., The center of enveloping algebra for Lie superalgebra Q(n, C), Lett. Math. Phys., 7 (1983), 177-179.

[60] Sergeev A. N., The Howe duality and the projective representations of symmetric groups, Represent. Theory, 3 (1999), 416-434.

[61] Steiberg R., Générateurs, relations et révetements de groupes algebriques, Colloque sur la theorie des groupes algebriques (1962), 115-127.

[62] Thibon J. Y., Leclerc B., ¿/-Deformed Fock spaces and modular representations of spin symmetric groups, J. Phys. A, 30 (1997), 6163-6176.

[63] Tits J., Tabellen zu den einfachen Lie Gruppen und ihren Darstellungen (Lecture Notes in Math. 40), Spring er-Verlag, Berlin, 1967.

[64] Wallach N. R., Goodman R., Symmetry, Representations, and Invariants (Graduate Texts in Mathematics (255)), Springer, 2009.

[65] Shchigolev V.V., On the stabilization problem for submodules of Specht modules, J. Algebra, 251 (2002), n. 2, 790-812.

[66] Щиголев В.В., Конечная базируемость некоторых классов неприводимых представлений симметрических групп, Матем. сб., 194 (2003), п. 3, 149-160

[67] Щиголев В. В., О некоторых расширениях вполне расщепляемых модулей, Известия РАН, Сер. матем., 68 (2004), п. 4, 131-150.

[68] Щиголев В. В., О расширениях и правилах ветвления модулей близких к вполне расщепляемым, Матем. сб., 196 (2005), п. 8, 119-160.

[69] Shchigolev V., Iterating lowering operators, J. Pure Appl. Algebra, 206 (2006), 111-122.

[70] Shchigolev V.V., On some extensions of p-restricted completely splittable GL(n)-modules, Journal of Mathematical Sciences, Vol. 142, No. 2, 2007, 2015-2019.

[71] Shchigolev V., Generalization of modular lowering operators for GLn, Comm. Algebra, 36 (2008), n. 4, 1250-1288.

[72] Shchigolev V., Rectangular low level case of modular branching problem for GLn(K), J. Algebra, 321 (2009), n. 1, 28-85.

[73] Shchigolev V., A local criterion for Weyl modules for groups of type A, J. Pure Appl. Algebra, 213 (2009), n. 9, 1681-1701.

[74] Shchigolev V., Weyl submodules in restrictions of simple modules, J. Algebra, 321 . (2009), 1453-1462. _

[75] Kleshchev A., Shchigolev V., Modular Branching Rules for Projective Representations of Symmetric Groups and Lowering Operators for the Supergroup Q(n), Memoirs of the AMS, 220 (2012), n. 1034.