Повышение точностных и динамических характеристик лазерного гироскопа с виброподставкой и оптико-электронной системой измерения угловых перемещений тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 00.00.00, кандидат наук Авиев Алексей Андреевич

• Авиев Алексей Андреевич
• кандидат наук
• 2022

Оглавление диссертации кандидат наук Авиев Алексей Андреевич

Введение

Глава 1. Аналитический обзор оптических датчиков перемещений

и оценка их применимости в лазерном гироскопе

1.1. Лазерные интерферометры перемещений

1.1.1. Принципы построения ЛИП

1.1.2. Погрешности ЛИП

1.1.3. Оценка применимости ЛИП в ЛГ

1.2. Дифракционные датчики перемещений

1.2.1. Принципы построения ДДП

1.2.2. Погрешности ДДП

1.2.3. Оценка применимости ДДП в ЛГ

1.3. Датчики перемещений на основе оптического считывающего блока

1.3.1. Принципы построения накопителей с ОСБ

1.3.2. Использование ОСБ в качестве датчика перемещений и оценка его применимости в ЛГ

1.4. Выводы по первой главе

Глава 2. Оптико-электронная система измерения угловых перемещений чувствительного элемента в лазерном гироскопе

2.1. Функциональная схема и основные компоненты ОЭИС

2.2. Математическая модель оптического канала ОЭИС

2.2.1. Распространение излучения в передающем канале ОЭИС

2.2.2. Отражение излучения от траспаранта с микрометками

2.2.3. Распространение излучения в приёмном канале ОЭИС

2.3. Математическая модель движения компонентов ОЭИС

2.3.1. Относительное пространственное движение ЧЭ

2.3.2. Относительное пространственное движение объектива

2.3.3. Пьезоэлектрический актюатор объектива

Стр.

2.4. Инструментальные погрешности ОЭИС

2.4.1. Взаимное расположение компонентов ОЭИС при наличии внешних возмущений

2.4.2. Погрешности, возникающие из-за изменения взаимного расположения компонентов ОЭИС

2.4.3. Погрешности транспаранта

2.5. Алгоритм обработки сигналов ОЭИС

2.6. Метод компенсации составляющей ВП в выходном сигнале ЛГ

2.7. Дополнительные возможности ОЭИС

2.7.1. Функция нуль-индикатора

2.7.2. Измерение параметров конического движения ЧЭ

2.8. Метод компенсации кинематической погрешности ЛГ

2.9. Выводы по второй главе

Глава 3. Экспериментальные исследования оптико-электронной

измерительной системы

3.1. Исследование макета ОЭИС в составе серийного ЛГ

3.1.1. Описание экспериментальной установки

3.1.2. Результаты эксперимента

3.2. Полунатурное моделирование работы комплекса ОЭИС под воздействием внешних динамических возмущений

3.2.1. Описание процесса моделирования

3.2.2. Метод упрощённого формирования сигналов ОЭИС

3.2.3. Результаты моделирования

3.3. Выводы по третьей главе

Общие выводы и заключение

Список литературы

Приложение

СПИСОК СОКРАЩЕНИЙ И УСЛОВНЫХ ОБОЗНАЧЕНИЙ

АЧХ — амплитудно-частотная характеристика

ВП — виброподставка

ВЧ — высокочастотный

ДДП — дифракционный датчик перемещений

ИНС — инерциальная навигационная система

ЛГ — лазерный гироскоп

ЛИП — лазерный интерферометр перемещений

НЧ — низкочастотный

ОСБ — оптический считывающий блок

ОЭИС — оптико-электронная измерительная система

ПИ — пропорционально-интегральный

ПИД — пропорционально-интегрально-дифференциальный

ПЛИС — программируемая логическая интегральная схема

ПП — полупроводниковый

СК — система координат

ТКЛР — температурный коэффициент линейного расширения

ТЭМ — термоэлектрический модуль

ЧЭ — чувствительный элемент

ЭДС — электродвижущая сила

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Повышение точностных и динамических характеристик лазерного гироскопа с виброподставкой и оптико-электронной системой измерения угловых перемещений»

ВВЕДЕНИЕ

Актуальность темы исследования. Лазерный гироскоп (ЛГ) широко применяется в качестве датчика угла поворота или угловой скорости при создании инерциальных навигационных систем, измерительной техники и геодезических приборов. По сравнению с другими типами датчиков ЛГ обладает уникальным сочетанием свойств, таких как высокая точность в широком динамическом диапазоне измерений, практически линейная выходная характеристика, малые массо-габаритные параметры и высокая надёжность.

Возникающие в измерениях ЛГ погрешности обусловлены искажениями его выходной характеристики [1]. Такие искажения вызываются сдвигом нуля гироскопа, нарушением стабильности масштабного коэффициента и синхронизацией частот встречных волн. Последнее обуславливает нечувствительность прибора к малым угловым скоростям, в частности скорости вращения Земли, и является основным недостатком ЛГ.

Искажения, вызванные сдвигом нуля выходной характеристики, уменьшают путем технологического совершенствования ЛГ [2] и использования алгоритмической коррекции [3, 4]. Погрешность масштабного коэффициента снижают за счёт пассивной стабилизации и активной регулировки периметра кольцевого лазера [5]. Применение алгоритмической обработки позволяет добиться её дальнейшего уменьшения [6, 7]. Для устранения связи встречных волн применяют реверсивное смещение рабочей точки прибора из зоны нечув-

V-/ V-* X/*

ствительности с помощью так называемой частотной подставки. К настоящему времени практическое применение нашли два способа её создания [8, 9], а именно механический и магнитооптический, основанный на эффекте Зеемана. Наибольшее распространение получил первый способ, при котором кольцевой лазер, выполняющий в ЛГ роль чувствительного элемента (ЧЭ), совершает крутильные колебания вокруг оси чувствительности за счёт механического виброподвеса с частотой в диапазоне от 150 до 750 Гц. Такую реализацию частотной подставки называют виброподставкой (ВП). Гироскопам с ВП посвящены исследования В.Н. Курятова (АО «НИИ «Полюс» им. М.Ф. Стель-

маха»), П.С. Ланды (МГУ им. М.В. Ломоносова), В.Н. Енина, В.Ф. Судакова (МГТУ им. Н.Э. Баумана), А.В. Молчанова (ПАО «МИЭА»), М.В. Чиркина, В.Ю. Мишина (РГРТУ им. В.Ф. Уткина) [10—16] и других учёных.

В режиме ВП в выходном сигнале ЛГ появляется дополнительная составляющая, которую необходимо компенсировать. Основными способами компенсации составляющей ВП являются оптическое вычитание, прямая цифровая фильтрация выходного сигнала гироскопа и вычитание с применением датчиков угловых перемещений.

При использовании способа оптического вычитания [17] блок совмещения встречных световых волн устанавливают не на самом ЧЭ, а на основании ЛГ, относительно которого осуществляются колебания кольцевого лазера. Длина оптического пути, пройденного одной из двух встречных волн, изменяется в процессе этих колебаний. При соблюдении некоторых условий разность частот встречных волн, обусловленная работой ВП, компенсируется изменением разности хода этих волн в блоке совмещения. В результате составляющая частотной подставки исключается из выходного сигнала прибора. К недостаткам способа относятся необходимость точной юстировки блока совмещения лучей и сильное влияние температуры на схему компенсации. Помимо этого, оптические компенсаторы ВП используют собственное излучение кольцевого лазера, что приводит к повышению дрейфа ЛГ вследствие появления разности добротностей и обратных рассеяний для встречных световых волн.

Широко распространён способ устранения составляющей ВП путём прямой цифровой фильтрации выходного сигнала прибора. Например, известно применение режекторного эллиптического фильтра десятого порядка [18] с полосой пропускания в диапазоне от 0 до 100 Гц и коэффициентом ослабления от 60 до 65 дБ на частоте ВП, равной 400 Гц. Более существенное подавление сигнала ВП осуществляет комбинированный фильтр [19], состоящий из рекурсивного режекторного фильтра второго порядка, рекурсивного низкочастотного (НЧ) фильтра четвёртого порядка и линейно-фазового нерекурсивного НЧ-фильтра 42-ого порядка. Фильтр имеет аналогичную полосу пропускания и обеспечивает ослабление около 100 дБ на частоте 725 Гц. При

сужении полосы пропускания можно обеспечить ещё большее подавление составляющей ВП. Так, комбинированный трёхкаскадный фильтр [20] с полосой пропускания в диапазоне от 0 до 60 Гц имеет коэффициент ослабления, достигающий 190 дБ на частоте 400 Гц.

Описанный подход имеет ряд недостатков. Во-первых, фильтр ограничивает полосу пропускания ЛГ в лучшем случае диапазоном от 0 до 100 Гц и подавляет не только составляющую ВП, но и гармоники полезного сигнала. При этом динамический диапазон вращательного движения современных приборов, устанавливаемых в навигационные системы, должен оставаться широким. Во-вторых, фильтрация не компенсирует движение ЧЭ, вызываемое внешними динамическими возмущениями, а именно пространственным вращением гироскопа и действием на него линейных и угловых ускорений. В-третьих, использование цифровых фильтров сопровождается существенной задержкой выходного сигнала ЛГ, которая обычно составляет от 2 до 10 мс и ограничивает его применение на высокоманёвренных объектах. Помимо этого, в навигационных системах используется триада гироскопов, частоты ВП которых разнесены во избежание взаимного резонанса, вследствие чего настройка цифровых фильтров для каждого гироскопа выполняется индивидуально. В связи с этим задержки их выходных сигналов могут быть различными, что усложняет синхронизацию всей триады ЛГ.

Более полная и быстрая компенсация составляющей ВП возможна за счёт использования датчика относительных крутильных колебаний ЧЭ. Известно применение в качестве таких датчиков пьезоэлектрического кристалла [21, 22], закрепляемого на одном из плечей упругого торсиона виброподвеса, или магнитоэлектрического (индуктивного) датчика [23, 24], имеющего подвижную и стационарную части. Такие устройства вырабатывают сигнал основного перемещения ЧЭ вокруг оси чувствительности, который после обработки вычитается из выходного сигнала гироскопа. К недостаткам указанных аналоговых датчиков относятся наличие температурной погрешности, гистерезиса и нелинейности преобразования, а также влияние нестабильно-

V-* V-/ тл

сти параметров измерительной цепи на точность измерений. В связи с этим погрешность компенсации составляет от 3 " до 6 " [24].

Эта погрешность может быть снижена с помощью дополнительного детектора нулевого положения [25]. Известно устройство [26] для измерения перемещений колеблющегося ЧЭ, состоящее из пьезоэлектрического или индуктивного датчика угловой скорости, детектора нулевого положения, выходной сигнал которого соответствует моментам прохождения ЧЭ реперного положения относительно основания ЛГ, и фильтра Калмана, который на основе модели динамического процесса с учётом показаний датчика скорости и детектора вырабатывает оценку перемещения ЧЭ. Точность такой системы во многом определяется точностью детектора нулевого положения. При этом высокоточные детекторы не подходят для применения в гироскопе по массо-габаритным параметрам и имеют высокую стоимость. Таким образом, дальнейшее совершенствование систем компенсации ВП, включающих упомянутые датчики, затруднено, а случаи внедрения в ЛГ датчиков, основанных на иных физических принципах, не упоминаются в научно-технической литературе.

Современные оптико-электронные измерительные устройства (лазерные интерферометры перемещений, дифракционные датчики и др.) обладают разрешением на уровне долей угловой секунды, что позволяет измерять перемещение ЧЭ с высокой точностью. Проблемы применения таких устройств в роли датчика относительных перемещений ЧЭ вокруг оси чувствительности и компенсации с их помощью составляющей ВП в настоящее время не решены.

В то же время конструкция механического виброподвеса имеет конечную жёсткость и подвержена влиянию внешних динамических возмущений, вследствие чего ЧЭ совершает не только перемещения вокруг своей оси чувствительности, но и нежелательные конические движения [27]. Такие движения обуславливают возникновение кинематической погрешности ЛГ, проявляющейся в виде дополнительного сдвига нуля гироскопа. Вопросы измерения нежелательных угловых перемещений ЧЭ и компенсации кинематической погрешности ЛГ изучены недостаточно.

В этой связи повышение характеристик гироскопа с помощью оптико-электронной системы, реализующей измерение угловых перемещений кольцевого лазера как вокруг оси чувствительности, так и в других направлениях, представляется актуальной научно-технической задачей.

Целью диссертационной работы является повышение технических характеристик лазерного гироскопа с виброподставкой за счёт измерения и учёта относительных угловых перемещений его чувствительного элемента, а также создание оптико-электронной системы, реализующей эти измерения.

Для достижения поставленной цели в работе были решены следующие научно-технические задачи:

1. Проанализирована возможность использования существующих оптических датчиков перемещений для измерения относительных перемещений чувствительного элемента в лазерном гироскопе с виброподставкой.

2. С учётом проведённого анализа предложена функциональная схема оптико-электронной измерительной системы и разработаны её основные узлы.

3. Построены математические модели измерительной системы, с помощью которых проведено исследование её инструментальных погрешностей, в том числе с учётом воздействия внешних динамических возмущений.

4. Разработан алгоритм обработки выходных сигналов измерительной системы, обеспечивающий уменьшение её погрешностей.

5. Предложен метод компенсации составляющей виброподставки в выходном сигнале гироскопа с использованием комплекса, состоящего из нескольких измерительных систем.

6. Разработаны методы измерения параметров конического движения чувствительного элемента и компенсации соответствующей кинематической погрешности гироскопа с помощью комплекса измерительных систем.

7. Проведены экспериментальные исследования макетного образца измерительной системы и полунатурное моделирование работы комплекса таких систем в составе гироскопа, находящегося на реальном подвижном объекте.

Объектом исследования является лазерный гироскоп с виброподставкой.

Предметом исследования является оптико-электронная система измерения относительных угловых перемещений чувствительного элемента в лазерном гироскопе с виброподставкой.

Методы исследования. При решении теоретических и прикладных задач были использованы: методы теории оптических систем, методы скалярной теории дифракции, методы теоретической механики, методы теории автоматического управления, методы цифровой обработки сигналов, численные методы интегрирования и решения дифференциальных уравнений.

Научная новизна работы состоит в следующем:

1. Впервые показано, что измерение относительных угловых перемещений чувствительного элемента в лазерном гироскопе с виброподставкой целесообразно выполнять с помощью оптико-электронной системы, в основе которой лежат принципы построения накопителей информации на цифровых оптических дисках.

2. Построены математические модели оптического канала измерительной системы и движения её компонентов, что позволяет определять взаимное расположение этих компонентов при различных динамических возмущениях и формировать выходные сигналы системы с учётом этого расположения.

3. Установлено, что метод компенсации составляющей виброподставки в выходном сигнале гироскопа по показаниям комплекса измерительных систем позволяет в сравнении с методом прямой цифровой фильтрации уменьшить задержку этого сигнала и расширить полосу пропускания гироскопа.

4. Установлено, что метод компенсации кинематической погрешности гироскопа по показаниям комплекса измерительных систем позволяет устранить дополнительный сдвиг нуля, вызванный коническим движением чувствительного элемента.

Положения, выносимые на защиту:

1. Оптико-электронная измерительная система, в основе которой лежат принципы построения накопителей информации на цифровых оптических дисках, позволяет компенсировать основной поворот чувствительного элемента в лазерном гироскопе с виброподставкой с погрешностью менее 0,1".

2. Разработанные методы компенсации составляющей виброподставки и кинематической погрешности в выходном сигнале гироскопа по показаниям комплекса измерительных систем обеспечивают задержку этого сигнала, равную 0,5 мс, ширину полосы пропускания гироскопа, равную 500 Гц, и позволяют устранить сдвиг нуля, вызванный коническим движением чувствительного элемента.

Практическая ценность работы заключается в следующем:

1. Разработанная оптико-электронная измерительная система может изготавливаться по хорошо освоенным технологиям производства накопителей информации на цифровых оптических дисках, имеет малые массо-габаритые параметры и может применяться в серийных лазерных гироскопах без изменения конструкции их чувствительного элемента.

2. Предложенный метод компенсации составляющей виброподставки позволяет применять гироскоп на высокоманёвренных объектах, где требуются приборы с малой задержкой выходного сигнала и широкой полосой пропускания.

3. Разработанный метод компенсации кинематической погрешности гироскопа позволяет повысить точность его работы в условиях воздействия внешних динамических возмущений.

4. Предложенная измерительная система облегчает синхронизацию триады гироскопов, входящих в состав инерциальной навигационной системы.

5. Измерение параметров движения чувствительного элемента позволяет производить адаптивную настройку блока управления виброподставкой.

Реализация и внедрение результатов исследования. Результаты диссертационной работы использованы в ООО «НПК «Электрооптика» в процессе разработки перспективных образцов лазерных гироскопов с виброподставкой, что подтверждается соответствующим актом.

Достоверность полученных в работе результатов обеспечивается корректностью использованных приближений, применением апробированных методов теории оптических систем, теории дифракции и теоретической механики, согласием результатов теоретических и экспериментальных исследований.

Апробация результатов работы. Основные положения диссертационной работы представлялись на 11 научно-технических конференциях:

— Международной научной конференции «Физико-математические проблемы создания новой техники» (Москва, 2014 г.);

— VI молодёжной конференции Московского отделения Международной общественной организации «Академия навигации и управления движением» (Москва, 2015 г.);

— XVIII, XIX, XX, XXI, XXII и XXIII конференциях молодых учёных «Навигация и управление движением» с международным участием (Санкт-Петербург, 2016—2021 гг.);

— XXIII, XXV и XXVIII Санкт-Петербургских международных конференциях по интегрированным навигационным системам (Санкт-Петербург, 2016, 2018 и 2021 гг.).

Публикации. Результаты диссертации изложены в 11 печатных работах, из которых 7 научных работ опубликованы в изданиях, входящих в Перечень ВАК РФ [28—31] или международную базу цитирования Scopus [32—34], 1 работа является патентом на изобретение [35] и 3 работы опубликованы в прочих изданиях [36—38].

Структура и объём диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, трёх глав, заключения, списка литературы, содержащего 130 библиографических описаний, и приложения. Диссертация изложена на 206 страницах машинописного текста, включает 91 рисунок и 15 таблиц.

Во введении обоснована актуальность диссертационной работы, сформулированы цель и задачи исследования, определены научная новизна и практическая ценность полученных результатов, а также изложены защищаемые научные положения.

В первой главе проведён обзор прецизионных оптических датчиков перемещений и проанализирована возможность их применения в ЛГ. В качестве устройств, подходящих для измерения перемещений ЧЭ, были рассмотрены лазерные интерферометры перемещений, дифракционные датчики, а также устройства, построенные на основе оптического считывающего блока.

Вторая глава посвящена оптико-электронной системе измерения перемещений ЧЭ, построенной на основе оптического считывающего блока, а также методам компенсации составляющей ВП и кинематической погрешности ЛГ по показаниям комплекса таких измерительных систем.

В третьей главе приводятся результаты экспериментальных исследований, выполненных для подтверждения теоретических положений диссертации. Для проверки функционирования оптико-электронной системы и оценки погрешности компенсации составляющей ВП был разработан макетный образец измерительной системы, установленный на серийный ЛГ. Исследование проводилось в лабораторных условиях. Работа комплекса измерительных систем под воздействием внешних динамических возмущений исследовалась путём полунатурного моделирования. Для этого использовалась запись параметров движения реального объекта.

Заключение содержит основные результаты диссертационной работы.

ГЛАВА 1. АНАЛИТИЧЕСКИЙ ОБЗОР ОПТИЧЕСКИХ ДАТЧИКОВ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ И ОЦЕНКА ИХ ПРИМЕНИМОСТИ В ЛАЗЕРНОМ ГИРОСКОПЕ

В главе рассмотрены наиболее точные оптические датчики перемещений, приведены их характеристики, указаны достоинства и недостатки, а также проведён анализ возможности применения этих датчиков для измерения относительных перемещений чувствительного элемента в лазерном гироскопе с виброподставкой. В качестве подходящих устройств были выбраны лазерные интерферометры перемещений, дифракционные датчики и устройства, построенные на основе оптического считывающего блока. Последний применяется в накопителях информации на цифровых оптических дисках.

1.1. Лазерные интерферометры перемещений

Конструкция лазерных интерферометров перемещений (ЛИП) объединяет лазер, интерферометр и электронные средства обработки данных в едином приборе. В процессе развития лазерной интерферометрии разрешающая способность этих приборов повысилась до долей нанометра, а допустимые пределы измерений расширились до нескольких десятков метров. 1.1.1. Принципы построения ЛИП

Процесс измерений в ЛИП основан на принципе сравнения величины перемещения с естественной константой: длиной волны излучения стабилизированного по частоте лазера. Большинство таких приборов содержат двух-лучевой интерферометр Майкельсона [39], в измерительном и опорном плечах которого плоские зеркала заменены уголковыми отражателями (триппель-призмами) для исключения влияния погрешностей направляющих.

Простейшая оптическая схема ЛИП представлена на Рисунке 1.1. Излучение лазера 1 направляется на светоделитель 2, выполненный в виде куба. Уголковые отражатели 3 и 4 образуют плечи интерферометра (опорное и измерительное соответственно), причём отражатель 4 жёстко связывается с объ-

ектом измерений и является подвижным. При движении объекта изменяется оптическая разность хода между световыми пучками, распространяющимися в опорном и измерительном плечах. В точках рекомбинации этих пучков возникает движущаяся интерференционная картина, которая регистрируется фотоприёмником 5, что позволяет измерять перемещение объекта.

Рисунок 1.1. Схема ЛИП Майкельсона с уголковыми отражателями.

Представим световые волны W1 и W2, пришедшие от отражателей 3 и 4, в точке рекомбинации следующим образом:

Wi = а1е-г(ш'-4пх1/Х), W2 = «2 е-г(ш*-4пж2/л),

где а1 и а2 — амплитуды волн в опорном и измерительном плечах интерферометра соответственно; х1 и х2 — расстояния от светоделительного куба до отражателей 3 и 4; ш и Л — частота и длина волны излучения лазера в среде. Интенсивность I суммарной интерференционной картины, образованной световыми волнами, описывается выражением:

I =(Wi + W2XW1 + W2)* = а{ + а22 + 2аю,2 cos

4П

~(х2 - Xi) Л

где символом «*» обозначена комплексно-сопряжённая величина. Учитывая

скорость движения объекта измерений V(£), определим величину х2 как:

t

х2(г) = х0 ± J V 0

где х0 — начальное положение объекта. Тогда интенсивность примет вид:

9 9

аг + а 2 + 2й! й2 сое

4П 4П [

—(хо — X1) ± у V(г)йъ

Согласно последнему выражению электрический сигнал фотоприёмника и(£), помещённого в месте наблюдения интерференционной картины, будет изменяться по закону:

^ (¿) = ио + сое

4п Г

Фо ± — V(г)йЪ

где и0 — постоянная составляющая сигнала фотоприёмника; ит — его амплитуда; ф0 = 4п(х0 — х{)/А — начальная фаза этого сигнала в момент времени Ь = 0. Фазу переменной составляющей сигнала, зависящую от величины перемещения объекта Ь(Ъ), представим как ф = ф0 ± (4^:/^)^), откуда:

Ф — ф0 А

2п ' 2.

Щ = ±

При движении отражателя 4 происходит смещение интерференционных полос, регистрируемое фотоприёмником 5 как изменение фазы от ф0 до ф. Схема обработки сигналов фотоприёмника выделяет направление смещения этих полос и осуществляет их подсчёт с учётом знака. Полное перемещение объекта вычисляется как:

Дф \ А

~2п ) 2,

Ь = ± N +

(1.1)

где N — целое число интервалов [0,2п] приращений фазы сигнала, обусловленное перемещением Ь; Дф — изменение фазы в пределах [0,2п].

Таким образом, при измерении перемещения Ь возникают три локальные задачи: 1) регистрация N с учётом знака; 2) регистрация Дф; 3) умножение (Ж + Дф/2п) на А/2. Для решения первой задачи предложены надёжные алгоритмы реверсивного счёта полос [40, 41]. Как правило, реверсивный счёт осуществляется при наличии двух выходных сигналов интерферометра, смещённых друг относительно друга по фазе на 90 Такие сигналы принято называть квадратурными. Для их получения в ЛИП устанавливают несколько фотоприёмников. На Рисунке 1.1 показаны фотоприёмники 5 и 6, вырабатывающие квадратурные сигналы. Фазовый сдвиг обеспечивается поляризаци-

г

онными фильтрами 7, 8 и 9. Вторая задача может быть решена с помощью интерполяции дробных долей полосы [42—44]. Решение третьей задачи выполняется вычислителем на стадии обработки результатов измерений. 1.1.2. Погрешности ЛИП

Несмотря на высокую точность измерений, лазерные интерферометры обладают рядом принципиально неустранимых погрешностей. В соответствии с выражением (1.1) в любом лазерном интерферометре имеют место три основные погрешности [45, 46]: погрешность определения длины волны излучения, погрешность определения коэффициента преломления воздуха и погрешность определения порядка интерференции.

Погрешность определения длины волны излучения. Для определения величины перемещения необходимо точно знать длину волны излучения лазера, с которой сравнивается это перемещение. Погрешность 6Л определения длины волны в вакууме Л0 определяется воспроизводимостью её значения ДЛ/Л0 и относительной погрешностью первичного эталона 6Ле, по которому производится аттестация лазера:

6л = ^6л2е + (ДЛ/Л0)2.

Относительная погрешность эталона имеет порядок 10-9 и менее, поэтому ограничимся рассмотрением воспроизводимости длины волны основного лазера. Она зависит от выбранного метода стабилизации частоты излучения.

Широко распространена стабилизация лазерного излучения по насыщенному поглощению в веществе. Поскольку линии поглощения имеют малую спектральную ширину, такой метод обеспечивает крайне высокий уровень стабильности и воспроизводимости. Он позволяет получить относительную погрешность длины волны излучения порядка 10-10 и менее.

В работающих на одной моде газовых лазерах возникает небольшой провал на кривой усиления, если преобладает обусловленное эффектом Доплера неоднородное уширение. Это явление носит название провала Лэмба и часто используется для эффективной стабилизации частоты лазера. Относительная погрешность такой стабилизации имеет порядок 10-7 и менее.

Для лазера также существует метод поляризационной стабилиза-

ции. Геометрия резонатора выбирается таким образом, чтобы генерировались

^у ^ т-ч

только две моды с ортогональной линейной поляризацией. В процессе стабилизации уравниваются интенсивности этих мод излучения, поэтому такой процесс также обеспечивает некоторую стабильность интенсивности. Метод позволяет достичь относительной погрешности частоты порядка 10—7.

Погрешность определения коэффициента преломления воздуха. Длина волны распространяющегося в воздухе светового излучения А зависит от его показателя преломления п: А = А0/п. Значение п, как правило, определяется путём учёта его отклонения Дп от показателя преломления воздуха п0, измеренного при нормальных условиях. Это отклонение вычисляется по результатам измерений температуры давления р и влажности е в соответствии модифицированной формулой Эдлена [45, 47]:

Дп = п — П0 = [а(г — 20) + Ь(р — 760) + с(е — 10)], (1.2)

где а = —93 ■ 10—8; Ь = 36 ■ 10—8; с = —6 ■ 10—8. Значения коэффициентов определены для He-Ne лазера, однако применение другого источника, работающего в пределах видимой области спектра и ближнего ИК диапазона, не приведёт к их существенному изменению. При особо точных измерениях коэффициенты следует уточнить. Как видно из выражения (1.2), нормальными условиями считаются те, при которых Ь = 20 °С; р = 760 мм рт.ст.; е = 10 мм рт.ст. Другие факторы, такие как содержание в воздухе углекислоты и температурные градиенты, не учитываются из-за малого влияния на показатель преломления.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Авиев Алексей Андреевич, 2022 год

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Aronowitz, F. Fundamentals of the ring laser gyro / F. Aronowitz // Optical gyros and their application. RTO AGARDograph 339 ; ed. by D. Loukianov, R. Rodloff, H. Sorg, B. Stieler. — Quebec : Canada Communication Group Inc., 1999. — P. 3-1—3-45.

2. Молчанов, А. В. Исследование конструктивно-технологических характеристик лазерного гироскопа с целью повышения его качества : специальность 05.11.14 «Технология приборостроения» : диссертация на соискание учёной степени кандидата технических наук / Молчанов Алексей Владимирович ; ОАО «Московский институт электромеханики и автоматики». — М., 2005. — 172 с.

3. Суханов, С. В. Методы и алгоритмы повышения точностных характеристик лазерного гироскопа : специальность 05.13.01 «Системный анализ, управление и обработка информации (в науке и промышленности) по техническим наукам» : диссертация на соискание учёной степени кандидата технических наук / Суханов Сергей Валерьевич ; Арзамасский политехнический институт (филиал) Нижегородского государственного технического университета имени Р.Е. Алексеева. — Н. Новгород, 2009. — 136 с.

4. Multiple-point temperature gradient algorithm for ring laser gyroscope bias compensation / G. Li, P. Zhang, G. Wei [et al.] // Sensors. — 2015. — Vol. 15, no. 12. — P. 29910—29922.

5. Катков, А. А. Влияние теплового расширения конструкционных материалов на оптический контакт и стабильность периметра кольцевого лазерного гироскопа : специальность 05.11.07 «Оптические и оптико-электронные приборы и комплексы» : диссертация на соискание учёной степени кандидата технических наук / Катков Александр Анатольевич ; АО «Научно-исследовательский институт «Полюс» им. М.Ф. Стельмаха». — М., 2016. — 173 с.

6. A calibration method for the errors of ring laser gyro in rate-biased mode / Z. Liu, L. Wang, K. Li [et al.] // Sensors. — 2019. — Vol. 19, no. 21. — P. 4754.

7. Влияние обратного рассеяния на нелинейные искажения масштабного коэффициента лазерного гироскопа с прямоугольной подставкой / С. Е. Бекетов, А. С. Бессонов, Е. А. Петрухин [и др.] // Квантовая электроника. — 2019. — Т. 49, № 11. — С. 1059—1067.

8. 50 лет лазерному гироскопу / Д. П. Лукьянов, Ю. В. Филатов, Ю. Д. Голяев [и др.] // ХХ Санкт-Петербургская международная конференция по интегрированным навигационным системам : сборник материалов. — СПб., 2013. — С. 7—21.

9. Пешехонов, В. Г. Перспективы развития гироскопии / В. Г. Пешехо-нов // Гироскопия и навигация. — 2020. — Т. 28, № 2 (109). — С. 3—10.

10. Курятов, В. Н. Частотные характеристики кольцевого лазера на колеблющейся подставке / В. Н. Курятов, П. С. Ланда, Е. Г. Ларионцев // Известия высших учебных заведений. Радиофизика. — 1968. — Т. 11, № 12. — С. 1839—1848.

11. Курятов, В. Н. Динамические зоны синхронизации кольцевого лазера при использовании периодической подставки / В. Н. Курятов, В. Ф. Судаков // Квантовая электроника. — 2008. — Т. 38, № 8. — С. 739—743.

12. Ланда, П. С. Частотные характеристики кольцевого лазера на колеблющейся подставке с учетом флуктуаций / П. С. Ланда, Е. Ф. Слинько // Вестник Московского университета. — 1970. — № 4. — С. 400—405.

13. Енин, В. Н. Фазовый метод анализа алгоритма измерения угловой скорости лазерным гироскопом с виброподставкой / В. Н. Енин, В. Ф. Судаков // Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Серия «Приборостроение». — 2001. — № 1. — С. 77—85.

14. Енин, В. Н. Численный анализ влияния частотной подставки на выходную характеристику лазерного гироскопа / В. Н. Енин, В. И. Санеев // Наука и образование: научное издание МГТУ им. Н.Э. Баумана. — 2015. — № 3. — С. 120—139.

15. Прецизионный лазерный гироскоп для автономной инерциальной навигации / А. Г. Кузнецов, А. В. Молчанов, М. В. Чиркин, Е. А. Измайлов // Квантовая электроника. — 2015. — Т. 45, № 1. — С. 78—88.

16. Мишин, В. Ю. Методы обработки информации в лазерном гироскопе с прецизионной регистрацией перемещений интерференционной картины : специальность 01.04.01 «Приборы и методы экспериментальной физики» : диссертация на соискание учёной степени кандидата технических наук / Мишин Валерий Юрьевич ; ФГБОУ ВПО «Рязанский государственный радиотехнический университет». — Рязань, 2013. — 160 с.

17. Patent № 4411527 United States, Int. Cl. G01C 19/64. Ring laser gyroscope with compensation : № 278767 : filed 29.06.1981 : published 25.10.1983 / Gamertsfelder G. R., Ljung B. H. G. ; assignee The Singer Company. — 5 p.

18. Фильтрация выходных сигналов триады лазерных гироскопов / М. В. Чиркин, В. Ю. Мишин, Д. А. Морозов [и др.] // XXI Санкт-Петербургская международная конференция по интегрированным навигационным системам : сборник материалов. — СПб., 2014. — С. 327—329.

19. Chen, A. Dither signal removal of ring laser gyro POS based on combined digital filter / A. Chen, J. Li, Z. Chu // 8th IEEE international symposium on instrumentation and control technology, ISICT : proceedings. — London, 2012. — P. 178—182.

20. Regimanu, B. Development of multistage digital filters for dither signal removal in ring laser gyro / B. Regimanu, K. C. Das, K. S. Rao // Frequenz. — 2019. — Vol. 73. — P. 123—130.

21. Patent № 4406965 United States, Int. Cl. G01B 9/02, H01L 41/08. Dither pick-off transducer for ring laser gyroscope : № 262732 : filed 12.05.1981 : published 27.09.1983 / Ljung B. H. G. ; assignee The Singer Company. — 7 p.

22. An improved dither-stripping scheme for strapdown ring laser gyroscopes / K. Banerjee, B. Dam, K. Majumdar [et al.] // 2004 IEEE region 10 conference TENCON 2004 : proceedings. — Vol. A(1). — Chiang Mai, 2004. — P. 689—692.

23. Patent № 4597667 United States, Int. Cl. G01C 19/64. Dither controller for ring laser angular rotation sensor : № 448363 : filed 09.12.1982 : published 01.07.1986 / Curby R. D., McCammon G. H.; assignee Litton Systems, Inc. — 22 p.

24. Некоторые пути улучшения тактико-технических характеристик бесплатформенных инерциальных навигационных систем / Г. И. Чесноков, Е. Ф. Поликовский, А. В. Молчанов, В. И. Кремер // Х Санкт-Петербургская международная конференция по интегрированным навигационным системам : сборник материалов. — СПб., 2003. — С. 155—164.

25. Ларичев, Р. А. Автоколлимационный нуль-индикатор: разработка и применение в динамической гониометрии / Р. А. Ларичев, Ю. В. Филатов // Оптический журнал. — 2013. — Т. 80, № 9. — С. 39—44.

26. Patent № 4888705 United States, Int. Cl. G01C 19/64. System for measuring the position of vibrating object : № 112636 : filed 26.10.1987 : published 19.12.1989 / Friedland B.; assignee Kearfott Guidance and Navigation Corp. — 10 p.

27. Кветкин, Г. А. Инструментальные погрешности измерительного блока на базе триады лазерных гироскопов при динамических возмущениях : специальность 05.11.03 «Приборы навигации» : диссертация на соискание учёной степени кандидата технических наук / Кветкин Георгий Алексеевич ; Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. — М., 2011. — 206 с.

28. Авиев, А. А. Оптико-электронная система для измерения параметров колебаний виброподставки в кольцевом лазерном гироскопе / А. А. Ави-ев // Известия Тульского государственного университета. Технические науки. — 2016. — № 6. — С. 14—25.

29. Авиев, А. А. Распределение амплитуды оптического поля на транспаранте оптико-электронной системы для измерения параметров виброподставки в лазерном гироскопе / А. А. Авиев, В. Н. Енин // Научно-технический вестник информационных технологий, механики и оптики. — 2018. — Т. 18, № 2. — С. 197—204.

30. Авиев, А. А. Динамическая модель оптико-электронной системы измерения параметров виброподставки в лазерном гироскопе / А. А. Авиев, В. Н. Енин // Известия высших учебных заведений. Приборостроение. — 2021. — Т. 64, № 4. — С. 276—287.

31. Авиев, А. А. Пьезоактюатор объектива системы измерения параметров виброподставки в лазерном гироскопе / А. А. Авиев, В. Н. Енин // Приборы. - 2021. - № 1 (247). - С. 26-32.

32. Aviev, A. A. Processing of optoelectronic system signals for measuring parameters of dither vibrations in a ring laser gyro / A. A. Aviev // 23rd Saint Petersburg International Conference on Integrated Navigation Systems, ICINS 2016 : proceedings. — Saint Petersburg, 2016. — P. 116—119.

33. Enin, V. N. Instrumental errors of optoelectronic system for measuring of dither system parameters in ring laser gyro / V. N. Enin, A. A. Aviev // 25th Saint Petersburg International Conference on Integrated Navigation Systems, ICINS 2018 : proceedings. - Saint Petersburg, 2018. - P. 1-4.

34. Aviev, A. A. Simulation of the dither parameters measuring provided by the optoelectronic system for a laser gyro under the influence of real disturbances / A. A. Aviev // 28th Saint Petersburg International Conference on Integrated Navigation Systems, ICINS 2021 : proceedings. - Saint Petersburg, 2021. - P. 1-3.

35. Патент № 2613043 C1 Российская Федерация, МПК G01C 19/66 (2006.01), H01S 3/083 (2006.01). Лазерный гироскоп с компенсацией составляющей, вносимой виброподставкой : № 2015147695 : заявл. 06.11.2015 : опубл. 15.03.2017 / Авиев А. А., Болотнов С. А., Енин В. Н. ; заявитель ООО «НПК «Электрооптика». - 20 с.

36. Авиев, А. А. Экспериментальное исследование зависимостей масштабного коэффициента лазерного гирометра от температуры и скорости вращения / А. А. Авиев. - Текст : электронный // Инженерный вестник. - 2014. -№ 10. - С. 578-589. - URL: https://www.elibrary.ru/item.asp?id=22792825 (дата обращения: 05.02.2022).

37. Авиев, А. А. Экспериментальное исследование оптико-электронного датчика параметров относительных крутильных колебаний кольцевого лазера / А. А. Авиев. - Текст : электронный // Радиооптика. - 2015. - № 02. -С. 20-31. - URL: https://www.elibrary.ru/item.asp?id=26701614 (дата обращения: 05.02.2022).

38. Авиев, А. А. Двухкоординатная оптико-электронная система для измерения положения кольцевого лазера / А. А. Авиев. — Текст : электронный // Радиооптика. — 2016. — № 02. — С. 11—25. — URL: https://www.elibraryru/item.asp?id=26194228 (дата обращения: 05.02.2022).

39. Кирьянов, В. П. Лазерные интерферометры перемещений / В. П. Кирьянов, В. П. Коронкевич // Автометрия. — 1998. — № 6. — С. 65—84.

40. Peck, E. R. Wavelength or length measurement by reversible fringe counting / E. R. Peck, S. W. Obetz // Journal of the optical society of America. — 1953. — Vol. 43, no. 6. — P. 505—509.

41. Chen, B. Code counting of optical fringes: methodology and realization / B. Chen, J. Luo, D. Li // Applied optics. — 2005. — Vol. 44, no. 2. — P. 217—223.

42. Cook, H. D. An automatic fringe counting interferometer for use in the calibration of line scales / H. D. Cook, L. A. Marzetta // Journal of research of the National bureau of standards, section C: Engineering and instrumentation. — 1961. — Vol. 65C, no. 2. — P. 129—140.

43. Resolving quadrature fringes in real time / M. A. Zumberge, J. Berger, M. A. Dzieciuch, R. L. Parker // Applied optics. — 2004. — Vol. 43, no. 4. — P. 771—775.

44. Кирьянов, А. В. Алгоритмы интерполяции квадратурных сигналов для высокоразрешающих преобразователей линейных и угловых перемещений / А. В. Кирьянов, В. П. Кирьянов, В. В. Чуканов // Автометрия. — 2019. — Т. 55, № 1. — С. 64—71.

45. Коронкевич, В. П. Лазерная интерферометрия / В. П. Коронкевич, В. С. Соболев, Ю. Н. Дубнищев. — Новосибирск : Наука, 1983. — 216 с.

46. Badami, V. Displacement measuring interferometry / V. Badami, P. De Groot // Handbook of optical dimensional metrology ; ed. by K. Harding. — Boca Raton : CRC Press, 2013. — P. 157—238.

47. Edlen, B. The refractive index of air / B. Edlen // Metrologia. — 1966. — Vol. 2, no. 2. — P. 71—80.

48. High resolution interferometer with multiple-pass optical configuration / J. Ahn, J.-A. Kim, C.-S. Kang [et al.] // Optics express. — 2009. — Vol. 17, no. 23. — P. 21042—21049.

49. Лазерный интерферометр линейных и угловых перемещений / В. П. Кирьянов, Г. А. Ленкова, А. И. Лохматов, Г. Г. Тарасов // Автометрия. — 1994. — № 4. — С. 61—65.

50. Grassani, D. Active stabilization of a Michelson interferometer at an arbitrary phase with subnanometer resolution / D. Grassani, M. Galli, D. Bajoni // Optics letters. — 2014. — Vol. 39, no. 8. — P. 2530—2533.

51. Laser homodyne straightness interferometer with simultaneous measurement of six degrees of freedom motion errors for precision linear stage metrology / Y. Lou, L. Yan, B. Chen, S. Zhang // Optics express. — 2017. — Vol. 25, no. 6. — P. 6805—6821.

52. A heterodyne straightness and displacement measuring interferometer with laser beam drift compensation for long-travel linear stage metrology / B. Chen, L. Cheng, L. Yan [et al.] // Review of scientific instruments. — 2017. — Vol. 88, no. 3. — P. 035114.

53. 19-picometer mechanical step displacement measurement using heterodyne interferometer with phase-locked loop and piezoelectric driving flexure-stage / T. D. Nguyen, Q. A. Duong, M. Higuchi [et al.] // Sensors and actuators A: Physical. — 2020. — Vol. 304. — P. 111880.

54. Зюзев, Г. Н. О компенсации частотной подставки лазерного датчика абсолютной угловой скорости / Г. Н. Зюзев // Труды МВТУ. Теория электрических цепей и элементы систем управления и регулирования. — 1982. — № 385. — С. 10—16.

55. Multi-wavelength interferometry for length measurements using diode lasers / K. Meiners-Hagen, R. Schodel, F. Pollinger, A. Abou-Zeid // Measurement science review. — 2009. — Vol. 9, no. 1. — P. 16—26.

56. Dobosz, M. Laser diode distance measuring interferometer — metrolog-ical properties / M. Dobosz // Metrology and measurement systems. — 2012. — Vol. XIX, no. 3. — P. 553—564.

57. Real-time correction and stabilization of laser diode wavelength in miniature homodyne interferometer for long-stroke micro/nano positioning stage metrology / Y. Cai, B. Feng, Q. Sang, K.-C. Fan// Sensors. — 2019. — Vol. 19, no. 20. — P. 4587.

58. Donati, S. Laser diode feedback interferometer for measurement of displacements without ambiguity / S. Donati, G. Giuliani, S. Merlo // IEEE Journal of quantum electronics. — 1995. — Vol. 31, no. 1. — P. 113—119.

59. Активная лазерная интерферометрия: состояние и перспективы /

B. С. Соболев, Е. Н. Уткин, А. М. Щербаченко [и др.] // Автометрия. — 2004. — Т. 40, №6.— С. 4—18.

60. Li, J. Laser feedback interferometry and applications: a review / J. Li, H. Niu, Y. X. Niu // Optical engineering. — 2017. — Vol. 56, no. 5. — P. 1—20.

61. Liu, H. A nanometer-resolution displacement measurement system based on laser feedback interferometry / H. Liu, H. Yao, L. Feng // 8th annual IEEE international conference on nano/micro engineered and molecular systems : proc-cedings. — Suzhou, 2013. — P. 1295—1298.

62. Bartl, J. Tuning of the laser diode / J. Bartl, R. Fira, V. Jacko // Measurement science review. — 2002. — Vol. 2. — P. 9—15.

63. Сравнение температурных и электрических методов управления длиной волны излучения полупроводниковых лазеров / А. А. Ветров, Д. А. Данилов, С. С. Есипов, С. С. Комиссаров // Оптический журнал. — 2009. — Т. 76, № 8. — С. 90—96.

64. Шостаковский, П. Современные решения термоэлектрического охлаждения для радиоэлектронной, медицинской, промышленной и бытовой техники / П. Шостаковский // Компоненты и технологии. — 2009. — № 12. —

C. 120—126.

65. Комоцкий, В. А. Оптоэлектронные дифракционные датчики малых угловых перемещений / В. А. Комоцкий, В. И. Корольков, Ю. М. Соколов // Фотоника. — 2011. — № 1. — С. 16—19.

66. Комоцкий, В. А. Исследование датчика малых линейных перемещений на основе двух фазовых дифракционных решёток / В. А. Комоцкий,

B. И. Корольков, Ю. М. Соколов // Автометрия. — 2006. — Т. 42, № 6. —

C. 105—112.

67. Cheng, F. Linear diffraction grating interferometer with high alignment tolerance and high accuracy / F. Cheng, K.-C. Fan // Applied optics. — 2011. — Vol. 50, no. 22. — P. 4550—4556.

68. A long-stroke nanopositioning control system of the coplanar stage / H. Wang, K. Fan, J. Ye, C. Lin // IEEE/ASME Transactions on mechatronics. — 2014. — Vol. 19, no. 1. — P. 348—356.

69. Design and construction of linear laser encoders that possess hightoler-ance of mechanical runout / C.-K. Lee, C.-C. Wu, S.-J. Chen [et al.] // Applied optics. — 2004. — Vol. 43, no. 31. — P. 5754—5762.

70. A displacement measuring system based on grating double diffraction / B. Zhao, L. Wang, M.-E. Xu [et al.] // Ninth international symposium on precision engineering measurement and instrumentation : proceedings. — Vol. 9446. — Changsha, Zhangjiajie, 2015. — P. 1121—1127.

71. Hsieh, H.-L. Heterodyne Wollaston laser encoder for measurement of inplane displacement / H.-L. Hsieh, W. Chen // Optics express. — 2016. — Vol. 24, no. 8. — P. 8693—8707.

72. «Нанометр НДГ-70» — голографический высокоразрешающий длин-номер / Б. Турухано, Н. Турухано, В. Добырн [и др.] // Наноиндустрия. —

2012. — Т. 34, № 4. — С. 46—48.

73. A six-degree-of-freedom surface encoder for precision positioning of a planar motion stage / X. Li, W. Gao, H. Muto [et al.] // Precision engineering. —

2013. — Vol. 37, no. 3. — P. 771—781.

74. Error compensation of grating interferometer due to angular error of linear stage / K. C. Fan, Y. L. Zhang, J. W. Miao, F. Cheng // 2012 IEEE/ASME International conference on advanced intelligent mechatronics (AIM) : proceedings. — Kachsiung, 2012. — P. 428—431.

75. High displacement resolution encoder by using triple grating combination interferometer / C.-C. Hsu, H. Chen, H.-Y. Tseng [et al.] // Optics & laser technology. — 2018. — Vol. 105. — P. 221—228.

76. Optimizing design of an optical encoder based on generalized grating imaging / G. Ye, H. Liu, Y. Shi [et al.] // Measurement science and technology. — 2016. — Vol. 27, no. 11. — P. 115005.

77. Комоцкий, В. А. Оптоэлектронный измеритель угловых колебаний конструкций / В. А. Комоцкий, Ю. М. Соколов // Вестник РУДН. Серия Математика. Информатика. Физика. — 2007. — № 1-2. — С. 138—146.

78. Исследование оптоэлектронного датчика угловых смещений на основе глубокой отражательной фазовой дифракционной решётки / В. А. Комоц-кий, Ю. М. Соколов, А. Н. Алексеев, Е. В. Басистый // Вестник РУДН. Серия Математика. Информатика. Физика. — 2009. — № 4. — С. 95—101.

79. Built-in optical angular position sensing mechanism for high-resolution vibratory grating scanner / K. K. L. Cheo, G. Zhou, Y. Du, F. S. Chau // 16th International conference on optical MEMS and nanophotonics : proceedings. — Istanbul, 2011. — P. 17—18.

80. Накадзима, Х. Цифровые грампластинки / Х. Накадзима, Х. Огава. — М. : Радио и связь, 1988. — 168 с.

81. Чемес, Е. А. Оптическая запись и воспроизведение цифровой информации / Е. А. Чемес. — Одесса : Наука и техника, 2006. — 316 с.

82. Фролов, М. Е. Проектирование и расчёт высокоапертурных лазерных систем устройств хранения информации на цифровых оптических дисках : специальность 05.11.07 «Оптические и оптико-электронные приборы и комплексы» : диссертация на соискание учёной степени кандидата технических наук / Фролов Максим Евгеньевич ; Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. — М., 2007. — 201 с.

83. IEC 60908. Audio recording — Compact disc digital audio system : international standard / developed by International Electrotechnical Commission. — Geneva, 1999. — 216 p.

84. Patent № 6411376 United States, Int. Cl. G01N 21/00. Method and apparatus for measuring the direction and position of rotating bodies : № 09/602646 : filed 22.06.2000 : published 25.06.2002 / Southam G. R., Dwyer P. H. ; assignee Aim Controls, Inc. — 19 p.

85. Patent № 4929822 United States, Int. Cl. G01J 1/20. Detection system with an optical encoder to optically detect displacement amount of a movable device : № 313672 : filed 22.02.1989 : published 29.05.1990 / Nakamura N., Hi-rose Y., Kai M., Itonaga M. ; assignee Victor Company of Japan, Ltd. — 23 p.

86. Short range displacement sensor using optical pick-up tracking signal / C.-W. Lee, J.-Y. Song, T.-H. Ha, J.-H. Lee // 25th Annual meeting of the american society for precision engineering : proccedings. — Vol. 50. — Atlanta, 2010. — P. 329—332.

87. Development of a nano-displacement measurement system / S.-K. Kuo, C.-C. Hung, C.-C. Lin, W.-H. Yang // Measurement. — 2007. — Vol. 40, no. 3. — P. 255—263.

88. Yen, P.-L. Making a high-precision positioning apparatus by an optical pickup head module / P.-L. Yen, T.-S. Lu // IEEE International conference on mechatronics, ICM'05 : proceedings. — Taipei, 2005. — P. 145—150.

89. Reducing the residual focus error signal in optical pickup head astigmatism displacement systems using the signal conditioning method / Q. Vo, F. Fang, X. Zhang, L. Zhu // Applied optics. — 2018. — Vol. 57, no. 34. — P. 9972—9980.

90. Sekar, R. S. Synchronous detection to reduce offsets in focus error of an optical pickup unit / R. S. Sekar, A. Ajoy // IEEE Transactions on instrumentation and measurement. — 2021. — Vol. 70. — P. 1—8.

91. Zhang, J.-H. An autofocusing measurement system with a piezoelectric translator / J.-H. Zhang, L. Cai // IEEE/ASME Transactions on mechatronics. — 1997. — Vol. 2, no. 3. — P. 213—216.

92. Лазерные технологии в микрооптике. Ч. 1. Изготовление дифракционных оптических элементов и фотошаблонов с амплитудным пропусканием / В. П. Вейко, В. П. Корольков, А. Г. Полещук [и др.] // Автометрия. — 2017. — Т. 53, № 5. — С. 66—77.

93. Лазерные технологиии в микрооптике. Ч. II. Изготовление элементов с трёхмерным микрорельефом / А. Г. Полещук, В. П. Корольков, В. П. Вейко [и др.] // Автометрия. — 2018. — Т. 54, № 2. — С. 3—19.

94. Звелто, О. Принципы лазеров / О. Звелто. — М. : Мир, 1990. — 560 с.

95. Пахомов, И. И. Расчет преобразования лазерного пучка в оптических системах / И. И. Пахомов. — М. : МВТУ, 1984. — 54 с.

96. Носов, П. А. Состояние и перспективы развития методов расчета преобразования лазерного излучения оптическими системами / П. А. Носов, И. И. Пахомов, А. Ф. Ширанков // Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Серия «Приборостроение». — 2012. — № 9. — С. 167—177.

97. Пахомов, И. И. Расчет оптических систем лазерных приборов / И. И. Пахомов, А. Б. Цибуля. — М. : Радио и связь, 1986. — 152 с.

98. Вычислительная оптика. Справочник / М. М. Русинов, А. П. Грамма-тин, П. Д. Иванов [и др.]. — M. : URSS, 2009. — 424 с.

99. Smith, W. J. Modern optical engineering / W. J. Smith. — New York : McGraw-Hill, 2008. — 754 p.

100. Попов, Г. М. Асферические поверхности в астрономической оптике / Г. М. Попов. — М. : Наука, 1980. — 160 с.

101. Spencer, G. H. General ray-tracing procedure / G. H. Spencer, M. V. R. K. Murty // Journal of the optical society of America. — 1962. — Vol. 52, no. 6. — P. 672—678.

102. DiMarzio, C. A. Optics for engineers / C. A. DiMarzio. — Boca Raton : CRC Press, 2011. — 564 p.

103. Демидович, Б. П. Основы вычислительной математики / Б. П. Де-мидович, И. А. Марон. — М. : Наука, 1966. — 664 с.

104. Оптические дисковые системы / Г. Боухьюз, Д. Браат, А. Хейсер [и др.]. — М. : Радио и связь, 1991. — 280 с.

105. Борн, М. Основы оптики : пер. с англ. / М. Борн, Э. Вольф ; под ред. Г. П. Мотулевича. — 2-е испр. изд. — М. : Наука, 1973. — 720 с.

106. Аппель, П. Теоретическая механика/П. Аппель. —М. :ФИЗМАТЛИТ, 1960. —Т. 2. —487 с.

107. Айзерман, М. А. Классическая механика / М. А. Айзерман. — М. : Наука, 1980. — 368 с.

108. Bishop, R. H. Mechatronic systems, sensors, and actuators / R. H. Bishop. — Boca Raton : CRC Press, 2007. — 692 p.

109. Бранец, В. Н. Применение кватернионов в задачах ориентации твёрдого тела / В. Н. Бранец, И. П. Шмыглевский. — М. : Наука, 1973. — 320 с.

110. Никольский, А. А. Точные двухканальные следящие электроприводы с пьезокомпенсаторами / А. А. Никольский. — М. : Энергоатомиздат, 1988. — 160 с.

111. Шёнфельд, Р. Автоматизированные электроприводы / Р. Шёнфельд, Э. Хабигер. — Л. : Энергоатомиздат, 1985. — 464 с.

112. A review, supported by experimental results, of voltage, charge and capacitor insertion method for driving piezoelectric actuators / J. Minase, T.-F. Lu, B. Cazzolato, S. Grainger // Precision engineering. — 2010. — Vol. 34. — P. 692—700.

113. Yi, K. A. A charge controller for linear operation of a piezoelectric stack actuator / K. A. Yi, R. J. Veillette // IEEE transactions on control systems technology. — 2005. — Vol. 13, no. 4. — P. 517—526.

114. Ильинский, В. С. Защита РЭА и прецизионного оборудования от динамических воздействий / В. С. Ильинский. — М.: Радио и связь, 1982. — 296 с.

115. Суровцев, Ю. А. Амортизация радиоэлектронной аппаратуры / Ю. А. Суровцев. — М. : Советское радио, 1974. — 176 с.

116. Болотнов, С. А. Бесплатформенная инерциальная навигационная система на лазерных гироскопах / С. А. Болотнов, Н. М. Вереникина, А. А. Алек-сейченко // Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Серия «Приборостроение». — 2007. — № 3. — С. 37—43.

117. Heydemann, P. L. M. Determination and correction of quadrature fringe measurement errors in interferometers / P. L. M. Heydemann // Applied optics. — 1981. — Vol. 20, no. 19. — P. 3382—3384.

118. Tan, K. K. Adaptive online correction and interpolation of quadrature encoder signals using radial basis functions / K. K. Tan, K.-Z. Tang // IEEE Transactions on control systems technology. — 2005. — Vol. 13, no. 3. — P. 370—377.

119. Signal compensation for analog rotor position errors due to nonideal sinusoidal encoder signals / S.-H. Hwang, D. Kim, J.-M. Kim, D.-H. Jang // Journal of power electronics. — 2014. — Vol. 14, no. 1. — P. 82—91.

120. Васильев, Ф. П. Методы оптимизации / Ф. П. Васильев. — М. : Факториал Пресс, 2002. — 824 с.

121. Balemi, S. Automatic calibration of sinusoidal encoder signais / S. Bale-mi // IFAC Proceedings volumes. — 2005. — Vol. 38, no. 1. — P. 68—73.

122. AN401-23. Closed-loop position estimation with signal compensation for sinusoidal encoders with the AMD401 : application note / Analog Devices Inc. — 2000. — 28 p.

123. Хачумов, В. М. Вычисление математических функций на основе разрядно-параллельных схем / В. М. Хачумов // Информационные технологии и вычислительные системы. — 2016. — № 3. — С. 26—44.

124. Калиткин, Н. Н. Численные методы / Н. Н. Калиткин. — 2-е испр. изд. — СПб. : БХВ-Петербург, 2011. — 592 с.

125. Корн, Г. Справочник по математике (для научных работников и инженеров) / Г. Корн, Т. Корн. — М. : Наука, 1973. — 832 с.

126. Магнус, К. Колебания / К. Магнус. — М. : Мир, 1982. — 304 с.

127. Феодосьев, В. И. Сопротивление материалов / В. И. Феодосьев. — М. : Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана, 1999. — 592 с.

128. Ким, Д. П. Теория автоматического управления / Д. П. Ким. — М. : ФИЗМАТЛИТ, 2003. — Т. 1. — 288 с.

129. Ньютон, Д. К. Теория линейных следящих систем / Д. К. Ньютон, Л. А. Гулд, Д. Ф. Кайзер. — М. : ФИЗМАТЛИТ, 1961. — 407 с.

130. Новиков, А. Е. Разработка алгоритмов переменной структуры для решения жёстких задач : специальность 01.01.07 «Вычислительная математика» : диссертация на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук / Новиков Антон Евгеньевич ; ФГБУН Институт вычислительного моделирования СО РАН (ИВМ СО РАН). — Красноярск, 2014. — 123 с.

ПРИЛОЖЕНИЕ

П.1. Дополнительные материалы к математической модели оптического канала ОЭИС

П.1.1. Параметры оптической системы ОЭИС

Оптическая система ОЭИС содержит приёмный и передающий каналы. Оптическая схема передающего канала измерительной системы показана на Рисунке П.1. Цифрой 1 обозначен источник излучения (ПП-лазер), цифрами 2, 3 и 4 — коллиматор, объектив и транспарант соответственно. Другие компоненты ОЭИС в расчётах не учитывались и на схеме не показаны. Схема приёмного канала измерительной системы, использованная в работе, отличается от приведённой схемы наличием фотодетектора, установленного на место ПП-лазера. Приёмный канал ОЭИС работает в обратном ходе лучей.

1 2 3 4

Рисунок П.1. Оптическая схема передающего канала ОЭИС.

Оптическая система ОЭИС разработана в программном пакете Zemax с использованием оптимизации по критерию минимума аберраций. Её параметры были приближены к параметрам ОСБ, работающего с цифровыми дисками формата CD. Конструктивные параметры разработанной оптической системы приведены в Таблице П.1. Диаметр её входного зрачка был выбран приблизительно равным 4 мм. Полученное значение числовой апертуры NA составило 0,4765193. При моделировании использовались параметры AlGaAs ПП-лазера Sony SLD104AU, указанные в Таблице П.2. Для определённости длина волны излучения источника Л^ была задана равной 0,78 мкм.

В качестве материала для изготовления линзы объектива был выбран циклоолефиновый термопластичный полимер Zeonex E48R. Он широко используется при производстве оптических деталей (линз и призм цифровых

фотокамер, зеркал, объективов ОСБ, линз лазерных принтеров), а также электронных изделий и медицинских инструментов. Материал обладает высокой прозрачностью, низким двулучепреломлением, высокой химической и термической стойкостью, а также хорошими электроизолирующими свойствами. Такой полимер может быть сформован с высокой точностью.

Таблица П.1.

Параметры оптической системы ОЭИС

Компонент Тип поверхности Радиус R, мм Толщина d, мм Показатель преломления (и материал) Световой диаметр, мм

ПП-Лазер или фотодетектор плоская ж 0

12 1 (воздух)

Коллиматор сферическая -19,969340 3,967567

2 1,52505872 (Б48Я)

сферическая -5,478095 4,439366

7,5 1 (воздух)

Объектив асферическая* 8,714271 4,318917

2,5 1,52505872 (Б48Я)

сферическая -58,446980 3,367323

2,217251 1 (воздух)

Транспарант плоская ж 0,815349

1,2 1,57345600 (поликарбонат)

плоская ж 0

* Параметры асферической поверхности:

— коническая константа kos = 0;

— коэффициент поверхности при р2: aas2 = 0,14519559;

— коэффициент поверхности при р4: aas4 = 0,0034056083;

— коэффициент поверхности при р6: aas6 = 0,00011180128.

В работе полагалось, что подложка транспаранта изготавливается из поликарбоната, поскольку этот материал используется при производстве оптических дисков. Период транспаранта bpt был выбран равным 1,6 мкм.

Аберрации оптической системы ОЭИС, полученные в пакете Zemax, показаны на Рисунке П.2. Величина волновой аберрации W для точки на оси не превышает 0,01Л^ при любой относительной координате Р луча во входном зрачке. Среднее квадратическое значение волновой аберрации Wrms для вне-осевых точек составляет 0,02Л^ при величине линейного поля у' = 0,02 мм.

Указанные характеристики демонстрируют высокое качество разработанной оптической системы.

Таблица П.2.

Параметры лазерного диода Sony SLD104AU

Длина волны излучения 0,76-0,80 мкм

Мощность излучения 3 мВт

Расходимость по уровню 0,5 (меридиональная плоскость) 32 °

Расходимость по уровню 0,5 (сагиттальная плоскость) 17 °

Габаритные размеры 05,6 х 10,8 мм

Масса 0,3 г

Напряжение питания 2 В

V/ v/9v/ X

(а)

Рисунок П.2. Волновые аберрации оптической системы: (а) для точки на оси, (б) для внеосевых точек в зависимости от линейного поля.

П.1.2. Вычисление оптических путей для дифракционного интеграла

Величины оптических путей для интеграла (2.9), описанного в подразделе 2.2.3, определяются положением точки преломления луча на границе двух сред. Исходный и преломлённый лучи всегда лежат в одной плоскости; в ней удобно провести анализ (Рисунок П.3). Пусть луч выпущен из точки М\ в среде с показателем преломления п\ и распространяется в точку М2, находящуюся в среде с показателем п2. Положение точек М\, М2 известно и задаёт траекторию распространения луча, которая, в свою очередь, определяет положение точки преломления Мх. Найдём это положение.

Перпендикуляры, опущенные из М1 и М2 на границу раздела сред, пересекают её в точках И1 и И2. Координаты этих точек определяются формулой:

А, 2 = Мх, 2 + (# • г\ 2)Й,

где N — единичный вектор нормали к плоскости раздела сред; г1, 2 — векторы, соединяющие точку Мх или М2 с любой точкой, принадлежащей плоскости. Обозначим неизвестный отрезок Мх02 через х, а отрезок 0102 — через р. Длины отрезков М1И1 и М202 примем равными и Ф2 соответственно.

Рисунок П.3. Преломление луча на границе двух сред.

Согласно принципу Ферма световое излучение распространяется по пути, оптическая длина которого минимальна. Для оптического пути А между точками Мх и М2 можно записать:

А = пхyjd2 + (р — х)2 + n2^Jd22 + х2 ^ min.

Минимальное величина оптического пути достигается при условии равенства

нулю следующей производном:

dA пх (р — х)

dx

+

п2 х

\Jdl + (р — х)2 \/d22 + х 2

= 0.

После преобразований это равенство примет вид:

/I ч

х 4 — 2р х 3 +

ri^dl — nld\ Л 2 2d2;nX2p dfafp

пх — п2

+ р

О

х

х +

= 0.

пХ — п2

пХ — п2

(П.1)

Использовав обозначения:

-ПЩ 2

а = —2р, Ь = —М2-2т^ + Р

22 щ — щ

2(12п2р (22п'2р2

С о о , ((

2 2 2 2 ^ 2 — п22 п 2 — п22

получим уравнение 4-ой степени вида:

л о О

ж + ах + Ьх + сх + ( = 0.

Приведённое уравнение решается по методу Феррари [125]. Корни исходного уравнения находятся как корни двух квадратных уравнений:

х2 + 2х + | = ±7(0г — 6 + »)ж2 + (а — с)х + | — (П.2)

где уо — один из корней кубического уравнения (резольвенты основного уравнения), определяемого выражением:

у3 — + (ас — 4()у — а 2( + Ш — с2 = 0. (П.3)

При этом подкоренное выражение в правой части соотношения (П.2) является полным квадратом.

Введём для кубического уравнения следующие обозначения: А =1, В = — Ь,

С = (ас — 4(), В = —а 2( + 4Ы — с2, а затем приведём кубическое уравнение к канонической форме путём замены переменной: у = г — В/3А.

Каноническое кубическое уравнение имеет вид:

23 + + ^ = 0, (П.4)

в котором при указанной замене:

_ 3АС — В2 _2В3 — 9АВС + 27А 2В

41 = ЗА , Я2 = 27а3 .

Корни этого уравнения определяются по формуле Кардано [125]:

_ а + |3 , .а — |3 /тг XI = а + |3, ¿2,3 =--2— ±г —2— где

3 2

а = ,-/ -- + в = 3-| - у/д, Я = (§)+(|), ав = -§.

3/ 02

2 • * - у 2 у Ч3У ' \2) ' 3

При этом последнее равенство используется для контроля вычислений.

Из четырёх корней исходного уравнения (П.1) истинным является только один. Выбирается действительный положительный корень, не превышающий величину . По полученному значению расстояния х нетрудно определить координаты точки Мх, а по ним, в свою очередь — длины путей 51 и52.

Приведём ряд вспомогательных зависимостей, позволяющих упростить вычисления по указанным выше соотношениям. Введём некоторые дополнительные обозначения:

П-Р^о По(1? 2 с 1 с 1

I = —2-2, 9 = ^-2, Н = р , е1 = ? - 9 + К 62 = /•д^ Н.

П1 - П П1 - П

Тогда значения коэффициентов д1, Я можно определять по формулам:

е12 2 - ^ / е? \

01 = - у, Я2 = - 27 е{ - 4 е2, Я = 4е2 ( е2 + ) .

Среди трёх корней резольвенты (П.3) для подстановки в (П.2) целесообразно выбирать действительный корень. В условиях рассматриваемой задачи таким корнем, как правило, оказывается у1 = г1 + е1/3, поэтому достаточно вычислить только корень 1 кубического уравнения (П.4). Искомый истинный корень в условиях данной задачи определяется с учётом (П.2) из выражения:

1

Х1 = 2

и

+ о-^л/ и2 - 4и)

П>

__у1 I у

и = Р - °1\/у1 - / + 9, ™ = 71 + °1°2у -4 - /Н,

в котором

^£

2 ' 4

01 = 8§п(п2 - П1), 02 = sgn(2/р - ру 1). Здесь sgп — функция знака.

П.1.3. Вычисление дифракционных интегралов

Для вычисления дифракционных интегралов в настоящей работе применялась квадратурная формула Гаусса [103]. В качестве узлов при интегрировании по этой формуле используются нули полинома Лежандра Р степени п:

1 (п

Рп(1) = \(г2 - 1)»1, П е {0,1,...}.

Полином Рп(Ь) имеет п различных и действительных корней ^ на отрезке (—1; 1). Таким образом, определённый интеграл от некоторой функции /(¿) на интервале [—1; 1] вычисляется как:

1

Р п

У №(И = (I)

-1

где А{ — коэффициенты интегрирования, соответствующие корням ^ и определяемые из системы уравнений:

' 1 (_1)А+1

£ = ,(+1) , к е {0,1,..., п — 1}.

¡=1

Вычисление определённого интеграла по произвольному интервалу [ а; ]

осуществляется с помощью подстановки:

Ь + а Ь — а х = ^ +

с учётом которой получим:

ь 1 п

Ь — а [ , (Ь + а Ь — а \ 7 Ь — а , „ (Ь + а Ь — а \

У = (-+- + ')- = -¿-Е А■/ (-+- + -т * •)

а —1 г=1

Окончательно можно записать:

ь

)( = Г ) С = Ь — а А =Ь + а + Ь — а

хт = У Г'Пх'и С = 2 ' Тх = 2 + 2 ^

¡=1

/I V

/(х)-Х = ^ Гг/(Хг), С,

а г=1

Двумерный интеграл вычисляется подобным образом:

й Ъ т п

/(х,У)-Х-У = ^ ^ С,-Гг /^^у3^ С = Ч', = ,

с а 3=1 =

где [с; -] — интервал интегрирования по переменной у; — корни полинома Лежандра Р степени т е {0, 1,...}; А3 — коэффициенты интегрирования, соответствующие этим корням и определяемые аналогично А^.

П.2. Дополнительные материалы к математической модели движения компонентов ОЭИС

П.2.1. Параметры математической модели движения ЧЭ и объектива

В модели использовались параметры ЛГ с периметром 28 см. Оптико-электронный модуль ОЭИС располагался так, что центральное световое пятно находилось на расстоянии = 50 мм от оси колебаний ЧЭ. Частота этих колебаний составляла 368 Гц, а амплитуда принята равной 3'.

Эквивалентная масса. ЧЭ с торсионами, а также объектив с пьезоактю-атором представляют собой колебательные системы. Массу непосредственно ЧЭ или объектива нетрудно определить с помощью средств численного моделирования. Однако, реальный торсион и реальный пьезоэлемент также обладают массой, которая влияет на колебательный процесс. Оценим действие массы упругого элемента на колебательную систему. Для этого заменим её на упрощённую конструкцию, состоящую из пружины и закреплённой на ней материальной точки.

Проанализируем случай, когда колебания осуществляются вдоль оси пружины (Рисунок П.4, а). Найти влияние массы пружины можно, исходя из энергетических соображений [126]. Кинетическая энергия колебательной системы складывается из кинетической энергии материальной точки с массой т и энергии отдельных элементов пружины:

о

где Vт — скорость движения материальной точки; Ь — длина пружины; ц,пр — масса пружины единичной длины; у — координата элемента пружины -у, заданная вдоль направления продольных колебаний.

(П.5)

L

У*

dy

х„

т у

L

Г ^

(а) (б)

Рисунок П.4. К оценке влияния массы пружины: (а) на продольные колебания, (б) на поперечные колебания.

Примем, что в зависимости от координаты у скорость у элемента Ау возрастает приблизительно линейно от нуля (в точке закрепления пружины) до величины (на конце пружины). Тогда справедливо соотношение:

У

~ —и

при подстановке которого в (П.5) получим:

ь

1

1

1

Ткни = 2тш + У 1 (Цпрйу) VI = 1 у2т\т + 3тТ 0

^т + 3тп^ ,

(П.6)

где тпр — масса пружины. Из сопоставления (П.5) и (П.6) видно, что влияние массы пружины выражается в виде слагаемого |тпр, а эквивалентная масса материальной точки т определяется как:

1

т = т + -тпр.

3

(П.7)

Проанализируем теперь случай, когда колебания происходят в направлении, перпендикулярном оси пружины, т.е. когда пружина является стержнем (Рисунок П.4, б). В этом случае кинетическая энергия системы равна:

ь

Ткни = 2ту 2т +12 (ц-прА/) X2,

(П.8)

где х — координата элемента Ау, заданная вдоль линии поперечных колебаний.

Скорость элемента пружины X в рассматриваемом случае уже нельзя принимать за линейную функцию от у. Однако допустимо полагать, что скорость X линейно зависит от величины прогиба пружины Ах в месте расположения элемента Ау и изменяется от нуля (в точке закрепления пружины) до

скорости (на конце пружины):

. _ Ах

Х ^т;

хтах

где хтах — максимальный прогиб, соответствующий концу стержня. Для прогиба под действием сосредоточенной нагрузки Р, приложенной на конце заделанного стержня, теория изгиба даёт [127]:

Ах = ——: у2 (Ь--у ) ,

2У Г \ 3Уу

где У — модуль упругости стержня; I — момент инерции площади поперечного сечения этого стержня. При у = Ь достигается максимальный прогиб:

_ РЬ 3

Хтах

3 УI

С учётом этих выражений энергия колебательной системы (П.8) примет вид:

ь

Ру2 (Ь - 1/3у)-

1 [ 1

Ткни = 2тут + / 2 (^пр(1у)

ТУ!

2 "3 УI'

РЬ 3

т2 = т

= —V 2 т

. 9 Ц-пр т + ТТТТ

4 Ь 6

ь

/ [' ■ (

Ь - 3«

1

2

33

= ту т\т + 140 тпр

откуда видно, что влияние массы пружины учитывается за счёт слагаемо-

33

го ^т^, а эквивалентная масса материальной точки описывается как:

33

т = т + ттттШг

1

4'

т + -гтпр.

(П.9)

140 пр

Рассмотрим эквивалентную массу ЧЭ. В связи с тем, что жёсткость тор-сионов в поперечном направлении значительно ниже, чем в продольном, основные деформации торсионов происходят в соответствии с Рисунком П.4, б. Таким образом, эквивалентную массу ЧЭ следует вычислять с использованием формулы (П.9). Погрешностью вычисления массы для случая продольных колебаний можно пренебречь, поскольку выражения (П.7) и (П.9) дают близкие результаты. С учётом того, что количество торсионов равно четырём, а их

жёсткость приблизительно одинакова, эквивалентная масса ЧЭ примет вид:

1

:4'

где тТор — масса одного торсиона.

тчэ + 4 л ттор — тчэ + ттор ^

2

1

Перейдём к эквивалентной массе объектива. Жёсткость пьезоактюатора в осевом направлении (линия перемещения объектива) значительно ниже, чем в радиальном, поэтому массу объектива также следует определять из выражения (П.9). Таким образом, с учётом массы пьезоэлемента тпэ получим:

1

тоб - тоб + 4тпэ.

Вычисления, проведенные с использованием программного пакета Solidworks, дали значения масс, указанные в Таблице П.3.

Таблица П.3.

Параметры массы

Масса ЧЭ Объектив в оправе

Компонента, кг тчэ = 0,434 тоб = 0,186 ■ 10-3

Упругого элемента, кг тТор = 0,035 тпэ = 1,072 ■ 10-3

Эквивалентная, кг т чэ = 0,469 тоб = 0,454 ■ 10-3

Расположение центра масс и моменты инерции. Смещения центров масс ЧЭ и объектива относительно их геометрических центров, определённые в СК Омхмумхм и СК Олхлулгл соответственно, приведены в Таблице П.4. Моменты инерции ЧЭ и объектива относительно осей СК Омхмумгм и СК Олхлулгл соответственно указаны в таблице П.5. Упомянутые параметры определялись с помощью программы Solidworks.

Таблица П.4.

Смещения центров масс

Координата ЧЭ Объектив

х, мм -0,070 0