Повышение разрешения спектроанализаторов на основе тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.11.01, кандидат наук Кривых Александр Владимирович

• Кривых Александр Владимирович
• кандидат наук
• 2014

Оглавление диссертации кандидат наук Кривых Александр Владимирович

Введение

Глава 1 Обзор методов решения обратной задачи спектрометрии

1.1 Методы обработки непрерывных спектров

1.2 Методы обработки дискретных спектров

1.3 Выводы по главе

Глава 2 Разработка методики восстановления непрерывных спектров

2.1 Отличие измеренных спектров от истинных

2.2 Аппаратные функции спектральных приборов

2.3 Математическое описание обратной задачи спектрометрии

2.4 Метод регуляризации Тихонова

2.5 Способ вычислительных экспериментов

2.6 Численный алгоритм

2.7 Метод регуляризации для уравнения типа свертки

2.8 Выводы по главе

Глава 3 Разработка методики восстановления дискретных спектров

3.1 Математическое описание обратной задачи спектрометрии

3.2 Алгоритм интегральной аппроксимации

3.3 Выводы по главе

Глава 4 Исследование и апробация разработанных методик восстановления непрерывных и дискретных спектров

4.1 Исследование разработанной методики восстановления непрерывных спектров с помощью математического моделирования

4.2 Апробация разработанной методики восстановления непрерывных спектров на реальном спектре

4.3 Апробация разработанной методики восстановления непрерывных спектров в случае разностной аппаратной функции

4.4 Апробация разработанной методики восстановления дискретных спектров с

помощью математического моделирования

4.5 Апробация разработанной методики восстановления дискретных спектров на реальном спектре

4.6 Использование интерполяции данных

4.7 Выводы по главе

Заключение

Список литературы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Повышение разрешения спектроанализаторов на основе»

Введение

Актуальность темы исследования. Для качественного и количественного исследования веществ, диагностики дефектов, определения температуры, давления, скорости движущихся объектов широко используется спектральный анализ [1-8], выполняемый спектральными приборами (вибрационными спектроанализа-торами, спектрометрами и др.). Областями его применения являются: механика (диагностика дефектов машин и оборудования по вибрационным и акустическим сигналам и спектрам), физика (изучение спектров газов, жидкостей, металлов, плазмы), астрофизика (изучение спектров звезд, планет), металлургия (определение состояния расплавленного металла в домне), химия (определение химического состава вещества), геофизика (разведка руд, нефти, газа) и т.д.

Эффективность применения спектрального анализа зависит, в первую очередь, от разрешения спектрального прибора, а именно, разрешает ли прибор близкие линии, выделяет ли слабые линии, определяет ли сверхтонкую структуру линии1. Если разрешение спектроанализатора является недостаточным, то и применение спектрального анализа будет некачественным. Тем не менее, если спектральные измерения дополнить математической обработкой, то можно повысить разрешение спектрального прибора, т.е., с позиций метрологии, повысить точность измерений и тем самым улучшить качество диагностики оборудования или вещества.

Восстановление непрерывного (сплошного) или дискретного (линейчатого) спектра по измеренному спектру и известной аппаратной функции (АФ) спектрального прибора современными математическими методами является перспективным направлением развития спектрометрии. Отличие измеренного спектра от

1 Математически разрешающую способность спектрального прибора (спектроанализатора, спектрометра и т.д.) можно определять как Я = 1/51, где 1 - средняя длина волны рабочего диапазона, а 51 - спектральное разрешение прибора, примерно равное ширине его аппаратной функции. Чем больше Я, тем выше разрешение прибора. В данной работе разрешающая способность будет трактоваться согласно критерию Рэлея [8]: две спектральные линии одинаковой интенсивности разрешимы, если провал между ними равен примерно 20%.

В работе используется также критерий Манойлова-Заруцкого [9] (см. гл. 4) о разрешении пиков на основе понятия степени наложения пиков и отношения их амплитуд.

истинного проявляется в большей сглаженности его по сравнению с истинным спектром и в его зашумленности (слабые линии «тонут» в шуме).

Задача восстановления спектра заключается, с точки зрения метрологии, в извлечении количественной информации об истинном спектре из измеренного спектра. Она называется обратной задачей спектрометрии, или задачей редукции к идеальному спектру [7] и является одним из вариантов редукционной проблемы Рэлея. Это некорректная задача , а именно, малым погрешностям измерения спектра и погрешностям в АФ могут соответствовать сколь угодно большие погрешности в восстановленном спектре. Поэтому для ее численного решения требуется применение устойчивых методов. В настоящей диссертации излагается методика восстановления различных спектров с помощью математической обработки измеренных спектров путем решения интегрального уравнения (ИУ) методом регуляризации Тихонова в случае непрерывного спектра и системы линейно-нелинейных уравнений (СЛНУ) оригинальным алгоритмом интегральной аппроксимации в случае дискретного спектра.

Эффективное решение данной задачи позволит повысить разрешение спек-троанализатора, а значит, повысить качество спектрального анализа (разрешить близкие линии, выделить слабые линии из шума, восстановить тонкую структуру линии и т.д.) с помощью математической обработки спектров и, как следствие, уточнить по спектрам вибрационную диагностику дефектов машин и оборудования [10] (выявить расцентровку валов и небаланс роторов [11], сложные колебания агрегата, разрушение лопаток турбины и подшипников, поломку зубьев [12] и т.д.), повысить точность измерения таких механических величин, как скорость движения объекта (на основе эффекта Доплера), акустическое давление, толщина покрытия (на основе смещения и уширения спектральных линий), состав и концентрация веществ, а также оценить напряженности электрического и магнитного полей (на основе эффектов Штарка и Зеемана) и т.д.

2 Задача называется корректной по Адамару, если решение существует, оно единственно и устойчиво. Если хотя бы одно из условий не выполняется, задача называется некорректной. Под некорректностью будет подразумеваться, главным образом, неустойчивость решения.

В вопросы обработки различных спектров (вибрационных, оптических, акустических и др.) внесли вклад А.В. Барков, Н.А. Баркова, Т.А. Болохова, Т.Г. Брагинская, Ю.Е. Воскобойников, М.В. Глазов, Д.Г. Грязин, М.А. Ельяшевич, И.В. Заруцкий, В.С. Иванов, В.К. Кирилловский, В.В. Клюбин, Ю.Л. Колесников, Э.К. Краулиня, А.С. Леонов, В.В. Манойлов, В.Н. Остриков, В.В. Пикалов, Н.Г. Преображенский, С.Г. Раутиан, В.А. Русов, А.Б. Соловьев, Г.Н. Солопченко, В.Н. Старков, В.Ф. Турчин, А.Р. Ширман, А.Г. Ягола, T. Fleckl, H. Jäger, B. Krakow, I. Obernberger, L.S. Rothman, R.H. Tourin и др.

А в разработку устойчивых методов решения обратных задач, связанных с задачей спектрометрии, внесли вклад А.Н. Тихонов, М.М. Лаврентьев, В.К. Иванов, В.Я. Арсенин, А.Б. Бакушинский, В.В. Васин, А.Ф. Верлань, А.В. Гончарский, В.А. Морозов, E.O. Ákesson, K.J. Daun, H. Engl, S. Farsiu, M. Hanke, P. Hansen, A. Neubauer, L. Rudin и др.

Следует также отметить, что решением систем линейно-нелинейных уравнений (СЛНУ) применительно к дискретным спектрам занимались Прони, Пиблз, Берковиц, С.Е. Фалькович, Л.Н. Коновалов, G. Golub, M. Hegland, K. Mullen и др.

Однако, несмотря на большое число публикаций по обработке спектров и решению некорректных задач, по-прежнему актуальным является вопрос об учете дополнительной информации о решении (восстанавливаемом спектре), о выборе параметра регуляризации в методе регуляризации Тихонова и об оценке погрешности восстановления спектра. В диссертации предложен новый способ, направленный на решение этих вопросов, способствующих более точной обработке спектров, - способ модельных (эталонных, обучающих) спектров.

Что касается СЛНУ (описывающих дискретные спектры), то в диссертации предложен новый алгоритм решения СЛНУ, достаточно точный и использующий лишь линейные операции, - алгоритм интегральной аппроксимации.

Таким образом, разработка методов, алгоритмов и способов восстановления спектров, учитывающих специфику спектров и аппаратных функций спектральных приборов, является актуальной задачей.

Целью данной диссертационной работы является повышение разрешения спектральных приборов на основе математической обработки измеренных спек-тров3.

Задачами работы являются:

1) анализ существующих методов обработки спектров;

2) разработка математических моделей экспериментальных непрерывных (сплошных) и дискретных (линейчатых), вибрационных, оптических и акустических спектров;

3) разработка устойчивых методик повышения разрешения спектральных приборов с использованием математической обработки измеренных непрерывных и дискретных спектров;

4) разработка новых численных алгоритмов решения ИУ и СЛНУ в задачах восстановления непрерывных и дискретных спектров;

5) разработка программного обеспечения и апробация разработанных методик непрерывных и дискретных, модельных и реальных, вибрационных и оптических спектров для различных АФ спектрометров.

Объект исследования - обработка искаженных (непрерывных, дискретных и зашумленных) спектров в технических системах измерений и обработки информации.

Предмет исследования - восстановление спектров, искаженных аппаратной функцией и шумами, устойчивыми методами регуляризации.

Научная новизна заключается в следующем:

1) разработаны новые регулярные алгоритмы численного решения ИУ Фред-гольма I рода (некорректная задача) с использованием оригинального способа вычислительных экспериментов и дополнительной (априорной) информации о непрерывном спектре;

3 Под спектром подразумевается [8] зависимость интенсивности вибрационных, оптических, акустических и др. колебаний от частоты (или длины волны), а под спектральным прибором - спектроанализатор (прибор для измерения параметров спектральных составляющих, уровня шума, вибрации и т.д. с различных датчиков - вибропреобразователей и акселерометров) или спектрометр (например, интерферометр Фабри-Перо).

2) разработан новый адаптивный способ модельных (эталонных, обучающих) спектров выбора параметра регуляризации и оценки погрешности восстановления непрерывных спектров, основанный на усечении сингулярных чисел оператора;

3) разработан адаптивный алгоритм интегральной аппроксимации решения СЛНУ в задаче обработки дискретных спектров, в котором наиболее сложная часть - определение нелинейно входящих частот линий - решается линейно, а также используется априорная информация о дискретном спектре (оценки частот и интенсивностей линий и т.д.).

Практическая значимость работы. Предлагаемые устойчивые методы и алгоритмы решения обратной задачи спектрометрии являются универсальными и могут быть применены для восстановления заглаженных и зашумленных спектров в различных областях (в механике, физике, астрофизике, металлургии, химии, геофизике). Спектральный прибор может быть подключен к персональному компьютеру, использующему разработанный комплекс программ, или дополнен специализированным вычислительным устройством (СВУ), реализующим устойчивые методы и алгоритмы обработки спектров. При этом используя спектрометр с широкой аппаратной функцией, можно за счет математической обработки спектров достичь таких же результатов, как с помощью спектрометра с более узкой аппаратной функцией, т.е. повысить разрешение спектрального прибора (анализатора спектра вибрации, спектрометра и т.д.) и, как следствие, повысить метрологическую точность измерения механических величин, а также точность диагностики дефектов оборудования (расцентровка валов, небаланс вращающегося ротора, разрушение лопаток турбин, поломка зубьев шестерен).

Методы исследования включают в себя устойчивые (регулярные) численные методы решения интегральных уравнений и систем линейно-нелинейных уравнений, методы вычислительной математики, математической физики, обработки сигналов, математического моделирования, современные технологии разработки программного обеспечения.

Положения, выносимые на защиту:

1) методика устойчивого решения ИУ Фредгольма I рода, включающая метод регуляризации Тихонова, способ вычислительных экспериментов, новый способ (модельных, или обучающих, спектров) выбора параметра регуляризации и оценку погрешности восстановления непрерывного спектра;

2) методика решения СЛНУ, включающая адаптивный алгоритм интегральной аппроксимации, в котором нелинейно входящие в СЛНУ частоты линий находятся путем решения линейного ИУ;

3) методика повышения разрешения спектральных приборов на основе математической обработки спектров, реализованная в программном обеспечении и апробированная на модельных, «синтетических» и реальных, вибрационных и оптических спектрах.

Достоверность научных результатов и выводов обеспечивается строгой математической постановкой задачи, адекватностью применяемого математического аппарата, устойчивостью применяемых численных методов, а также результатами практической апробации диссертации.

Апробация результатов. Изложенные в диссертации результаты докладывались и обсуждались на следующих международных и всероссийских конференциях:

1) ХХХУШ, XXXIX, XL и XLI международных научно-практических конференциях «Неделя науки СПбГПУ» (Санкт-Петербург, 2009, 2010, 2011, 2012);

2) V международной молодежной научной школе-конференции «Теория и численные методы решения обратных и некорректных задач» (Новосибирск, 2013);

3) I, II и III всероссийских конгрессах молодых ученых НИУ ИТМО (Санкт-Петербург, 2012, 2013, 2014);

4) VI и VIII всероссийских межвузовских конференциях молодых ученых СПбГУ ИТМО (Санкт-Петербург, 2009, 2011),

5) XXXIX, XL, XLI, XLII и XLIII научных и учебно-методических конференциях НИУ ИТМО (Санкт-Петербург, 2010, 2011, 2012, 2013, 2014).

Исследования по теме диссертационной работы были поддержаны грантами РФФИ №09-08-00034 «Новые алгоритмы восстановления искаженных изображений в технических системах обработки информации» и №13-08-00442 «Устойчивые технологии комплексированного восстановления спектров в технических системах спектроскопии».

Публикации. По материалам диссертации опубликовано 16 печатных работ, в том числе 4 - в изданиях из перечня ВАК РФ. Получено свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы (48 наименований). Содержит 115 страниц текста, включая 2 таблицы и 32 рисунка.

Во введении обоснована актуальность темы работы, сформулированы цели и задачи исследования, отмечена научная новизна, практическая значимость работы и основные положения, выносимые на защиту.

В первой главе представлен критический анализ основных существующих методов решения обратной задачи спектрометрии - восстановления истинного спектра по измеренному спектру и известной аппаратной функции (АФ) спектрального прибора применительно к различным спектрам и АФ.

Вторая глава посвящена разработке методики восстановления непрерывных спектров, когда искомый спектр представляет собой кусочно-непрерывную функцию длины волны 1.

Третья глава посвящена методике восстановления дискретных спектров, когда искомый спектр состоит из отдельных практически монохроматических спектральных линий.

В четвертой главе приведены результаты исследования и апробации методик восстановления непрерывных и дискретных спектров с помощью моделирования и анализ результатов восстановления спектров.

В заключении изложены основные результаты выполненного исследования, рекомендации и перспективы дальнейшей разработки темы.

Работа выполнена в Санкт-Петербургском национальном исследовательском университете информационных технологий, механики и оптики, на кафедре Измерительных технологий и компьютерной томографии.

Глава 1 Обзор методов решения обратной задачи спектрометрии

Спектральный анализ заключается [5, с. 708] в измерении сигнала и/или спектра и в их обработке, а затем в диагностике дефектов машин и оборудования, определении состава вещества, температуры, плотности, давления и т.д. на основе изучения измеренных и обработанных спектров.

При этом под спектром в механике понимается распределение значений некоторой физической величины (например, виброускорений, виброскоростей и т.д.). Следует отметить, что спектры характерны для всех колебательных процессов: вращающегося ротора электродвигателя, вращающегося вокруг ядра электрона и т.д. В оптике, в частности, под спектром понимается зависимость интенсивности излучения (или поглощения) от частоты V или длины волны X.

По характеру распределения значений физической величины спектры бывают [5, 6, 8]: непрерывные, дискретные, полосатые и комбинированные.

Непрерывный, или сплошной, спектр представлен на рисунке 1а. Примерами непрерывных спектров являются спектры расплавленного металла, Солнца, горячего газового потока в сопле ракеты, в выхлопной трубе автомобиля и т.д., в общем, спектры веществ с повышенной плотностью.

Дискретный, или линейчатый, спектр (рисунок 1б) состоит из отдельных (монохроматических) спектральных линий, соответствующих дискретным значениям длины волны X (или частоты V). Строго говоря, отдельная спектральная линия не является дискретной линией, поскольку имеет, во-первых, минимальную (естественную, радиационную) ширину, обусловленную квантовыми эффектами, во-вторых, ширину, обусловленную эффектами Доплера (тепловое уширение), Зеемана (магнитное уширение), Штарка (электрическое уширение), дифракцией на диафрагмах оптической системы спектрального прибора [4, с. 24] и т.д. Однако если линия имеет лишь естественную ширину, то обычно ее считают дискретной (монохроматической). Примерами дискретных спектров являются спектры вибра-

ционных сигналов [10-12], спектры веществ, находящихся в глубоком вакууме, в частности, спектры рассеянных межзвездных туманностей и т.д.

Непрерывный (сплошной)

Дискретный,

или линейчатый

Полосатый

Дискретно-полосатый

Сплошной + линии поглощения

Рисунок 1 - Типы спектров

Полосатый спектр (рисунок 1в) состоит из ряда полос, каждая из которых, в свою очередь, состоит из набора близких дискретных линий. Примерами полосатых спектров являются спектры испускания паров йода, а также спектры веществ, находящихся в неглубоком вакууме, в частности, спектры люминесцентных ламп и ламп «дневного света».

Сложный, или комбинированный, спектр (рисунок 1г) состоит из нескольких типов спектров, например, из непрерывного спектра и ряда дискретных линий. Спектры излучения звёзд, где на сплошной спектр фотосферы накладываются хромосферные линии поглощения, а также большинство звуковых спектров являются комбинированными спектрами.

Спектральный анализ можно разделить на широкополосный и узкополосный (рисунок 2).

а

V

б

Рисунок 2 - Широкополосный (а) и узкополосный (б) спектр

Широкополосная спектрометрия - это изучение спектра в широкой области частот (рисунок 2а), например, изучение спектра звезды во всем видимом диапазоне (от красного до фиолетового).

Узкополосная спектрометрия - это изучение спектра в узкой полосе частот (рисунок 2б), например, изучение сверхтонкой структуры мессбауэровской линии, обусловленной магнитными или электрическими полями и тепловыми эффектами [5, с. 407].

Измеренный спектрометром спектр и(Х) (где X - длина волны) обычно отличается от истинного спектра ¿(X) [1, 3, 4, 7, 8, 13-15]. Это проявляется, во-первых, в большей сглаженности спектра и(Х) по сравнению с ¿(X) (не разрешены близкие

линии, сглажена тонкая структура спектральных линий и т.д.), во-вторых, в зашумленности спектра и(Х) (слабые линии «тонут» в шуме). Возникает задача восстановления истинного спектра г(Х) по измеренному зашумленному спектру и(Х) и аппаратной функции К (А, А') спектрального прибора [1, 3, 4, 8, 13-21]. Данная задача называется обратной задачей спектрометрии или задачей редукции к идеальному спектру [21].

Поскольку полосатые и комбинированные спектры представляют собой комбинацию (наложение) непрерывных и дискретных спектров, то в настоящей диссертации рассматриваются только последние из них.

1.1 Методы обработки непрерывных спектров

В случае непрерывного спектра (рисунок 3) задача восстановления истинного спектра описывается интегральным уравнением Фредгольма I рода относительно истинного спектра г(Х) по известному измеренному спектру ы(Х) и аппаратной функции спектрометра К (А, А') [1, 3, 4, 8, 17, 21]:

ь

Аг = | К (А, А') 2(А') йА' = и(А), с <А< й. (1)

а

Рисунок 3 - Непрерывный спектр

Задача решения (1) является некорректной, в первую очередь сильно неустойчивой [3, 4, 8, 22]. Так при численном решении ИУ Фредгольма I рода мето-

дом преобразования Фурье без дополнительного использования какого-либо устойчивого метода решение получается чрезвычайно неустойчивым - в виде так называемой «пилы» (рисунок 4), ничего общего не имеющей с точным решением.

о ^ 6

Л

й 5 о 5 к т

к л о 4 К и н

к 3

0

460 470 480 490 500 510 520 530 540 550 560 570 580 590 600 610 620 630 640

X, нм

Рисунок 4 - Неустойчивость решения ИУ Фредгольма I рода 1 - истинный спектр; 2 - измеренный спектр; 3 - неустойчивое решение («пила»)

В настоящее время широко известны устойчивые методы решения данной задачи [3, 8, 14, 22-28]: метод регуляризации Тихонова, метод фильтрации Винера, метод итераций Фридмана, метод Калмана-Бьюси, методы статистической регуляризации и т.д.

Решением уравнения (1) при К(X, X') = К(Х-Х') по методу регуляризации Тихонова (с преобразованием Фурье) является:

2

а

с»

(X)=^ I

К *(ю)Ц (ю)

2 л | К (ю) |2 +аю2 Р

е—юХ dю,

(2)

где К(ю) =| К(X)егюХdX, и(ю) =Г и(Х)ёюХйХ - преобразования Фурье, а > 0 - параметр регуляризации, р > 0 - порядок регуляризации.

7

2

1

Достоинствами метода регуляризации Тихонова являются достаточно высокая точность восстановления спектров, относительная простота программной реализации и минимальный эффект Гиббса.

Точность решения (1), а значит, и качество восстановления спектра, зависит от выбранного значения параметра регуляризации а. Для выбора а обычно используются следующие способы: принцип невязки, обобщенный принцип невязки, критерий L-кривой, метод перекрестной значимости и др. [3, 8, 14, 22-30]. Однако в них не делается оценка погрешности решения при конечных погрешностях 5 и даже считается, что такая (эффективная) оценка невозможна в некорректных задачах без использования дополнительной информации о решении (а делается, помимо выбора а, лишь асимптотическая оценка при S, ^ 0); во многих способах не учитывается дополнительная информация о решении (кроме а-регуляризации с ограничениями на решение [27], истокопредставимости решения [28], поиска решения на компакте [22, 27] и дескриптивной регуляризации [24]).

Таким образом, существующие на сегодняшний день способы выбора значения параметра регуляризации а, от которого зависит качество восстановления спектра, не всегда учитывают физическую сущность спектра, не используют дополнительную информацию о решении и не позволяют оценить его погрешность.

Решением уравнения (1) по методу параметрической фильтрации Винера является:

№ ^

R( ) 2п | K(ш) |2 +R '

где R > 0 - некоторая константа (параметр).

Метод фильтрации Винера менее точен, поскольку в нем более грубо подавляются высокие частоты Фурье ю.

В методе итераций Фридмана приближенное решение (1) находится итерационным методом с начальным приближением, обычно z0(X) = 0, и приближени-

ем 2т(А) = 2т_:(А) + у(А * и - А * Ахт_^А)), т = 1,2,... - номер итерации, 0 <у< 2

„А * А ||

К основным недостаткам метода итераций Фридмана можно отнести:

1) необходимость «удачного» начальное приближение, которое не обязательно ¿0(А) = 0;

2) выбор V;

3) достаточно большое количество итераций.

Для решения (1) методом Калмана-Бьюси необходимо знать матрицу кова-риаций и математическое ожидание ошибок.

Методы статистической регуляризации основаны на статистических оценках. Недостатком этих методов является необходимость знать законы распределения ошибок оператора и правой части уравнения.

Таким образом, наиболее предпочтительным для решения обратной задачи спектрометрии является метод регуляризации Тихонова, поскольку обеспечивает большую точность восстановления спектров при относительной простоте программной реализации, при этом возникающий эффект Гиббса минимальный. Поэтому обычно данная задача решается методом квадратур или преобразования Фурье (ПФ) с регуляризацией Тихонова.

Для уменьшения ложных линий (эффекта Гиббса) в восстановленном непрерывном спектре и более точного решения требуется разработка нового способа выбора параметра регуляризации а, использующего дополнительную информацию о спектре (оценку количества линий, их длин волн и амплитуд).

1.2 Методы обработки дискретных спектров

В случае дискретного спектра (рисунок 5) задача восстановления истинного спектра описывается системой линейно-нелинейных уравнений (СЛНУ), поскольку часть неизвестных (значения амплитуд линий и фона Р) входит линейно, а часть (частоты линий у'-) - нелинейно:

п _

XК(V;,V}) 2] + F = ~(уг), / = 1,т, с<vi <й. (3)

}=1

Анализ отечественной и зарубежной научной литературы показал, что такую систему можно рассматривать как систему нелинейных уравнений (СНУ) относительно 2п неизвестных 2} и V ', а также F при некотором п и решать известными

методами решения СНУ, а именно, методами решения СНУ без ограничений на решение: методом Ньютона-Канторовича, градиента, хорд и др. [31-34] или методами решения СНУ с ограничениями на решение (методами нелинейного программирования): проекций градиента, оврагов и др. [27, 33, 35].

и(у)/' •ч \ \

2 / / N--1 /* / к \ \ \ \ \ 2 Чх'' п Ч \

/ / \ \

/ / ** -д— > N 1 \ ч "ч

Рисунок 5 - Дискретный спектр

При этом более эффективным является применение методов нелинейного программирования, так как на неизвестные 2}, V ' и F можно наложить следующие

ограничения, способствующие повышению точности решения [36]: 2j > 0,

V' j е [а, Ь], ^ > 0, где [а,Ь] - некоторый диапазон частот.

Однако данные методы имеют высокую вероятность появления ложных корней нелинейной системы, а кроме того требуют большое количество памяти и компьютерного времени для решения, что ограничивает их использование, например, во встраиваемых системах.

Также для решения такой системы уравнений можно воспользоваться существующими методами, предназначенными для решения СЛНУ, например, мето-

дом Прони [37], алгоритмами Пиблза-Берковица [38] и Фальковича-Коновалова [39] и др.

Однако метод Прони подходит лишь для решения СЛНУ с матрицей Ван-дермонда (когда K(v, vj) изменяется вдоль строки по геометрической прогрессии), а матрица в (3) таковой, вообще говоря, не является.

Алгоритм Пиблза-Берковица на практике оказывается весьма неточным, а алгоритм Фальковича-Коновалова является слишком громоздким, что ограничивает его применение.

Можно использовать так называемый метод переменных проекций (the variable projection method) Голуба-Хегланда-Муллена [40], в котором также решается СЛНУ, однако для определения частот используется нелинейный метод (типа Гаусса-Ньютона).

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Кривых Александр Владимирович, 2014 год

Список литературы

1. Раутиан С.Г. Реальные спектральные приборы // Успехи физических наук. -1958. - Т. 66, вып. 3. - С. 475-517.

2. Кочиков И.В., Курамшина Г.М., Пентин Ю.А., Ягола А.Г. Обратные задачи колебательной спектроскопии. - М.: МГУ, 1993. - 204 с.

3. Сизиков В.С. Математические методы обработки результатов измерений. -СПб.: Политехника, 2001. - 240 с.

4. Старков В.Н. Конструктивные методы вычислительной физики в задачах интерпретации. - Киев: Наук. думка, 2002. - 264 с.

5. Физический энциклопедический словарь / Гл. ред. А.М. Прохоров. - М.: Сов. Энциклопедия, 1984. - 944 с.

6. Ландсберг Г.С. Оптика. Уч. пособие для вузов. Изд-е 6-е. - М.: Физматлит, 2006. - 848 с.

7. Fleckl T., Jäger H., Obernberger I. Experimental verification of gas spectra calculated for high temperatures using the HITRAN/HITEMP database // J. Phys. D: Appl. Phys. - 2002. - Vol. 35. - P. 3138-3144.

8. Сизиков В.С. Обратные прикладные задачи и MatLab. - СПб.: Лань, 2011. -256 с.

9. Манойлов В.В., Заруцкий И.В. Возможности алгоритма сверток с производными для оценки параметров масс-спектров, содержащих наложившиеся пики // Научное приборостроение. - 2009. - Т. 19, № 4. - С. 103-108.

10. Барков А.В., Баркова Н.А. Вибрационная диагностика машин и оборудования. Анализ вибрации. - СПб.: СПбГМТУ, 2004. - 156 с.

11. Русов В.А. Диагностика дефектов вращающегося оборудования по вибрационным сигналам. - Пермь, 2012.

12. Ширман А.Р., Соловьев А.Б. Практическая вибродиагностика и мониторинг состояния механического оборудования. - М.: Наука, 1996. - 276 с.

13. Кривых А.В., Сизиков В.С. Применение способа эталонных примеров при решении обратной задачи спектроскопии методом регуляризации // Изв. вузов. Приборостроение. - 2011. - Т. 54, № 9. - С. 44-51.

14. Сизиков В.С. Интегральные уравнения и MatLab в задачах томографии, ико-ники и спектроскопии. - СПб.-Saarbrucken: LAP, 2011. - 252 с.

15. Кривых А.В., Сизиков В.С. Восстановление непрерывных спектров адаптивным способом вычислительных экспериментов с регуляризацией // Научно-технический вестник информационных технологий, механики и оптики. -2013. - № 3 (85). - С. 22-28.

16. Турчин В.Ф., Туровцева Л.С. Восстановление оптических спектров и других неотрицательных функций по методу статистической регуляризации // Оптика и спектроскопия. - 1974. - Т. 36, № 2. - С. 280-287.

17. Тамбовцев Б.З., Дробышевич В.И. О восстановлении истинного контура спектральной линии из реальных измерений // Журнал прикладной спектроскопии. - 1976. - Т. 24, № 2. - С. 310-315.

18. Преображенский Н.Г., Седельников А.И. Оптимизация спектроскопических измерений на основе методов регуляризации // Журнал прикладной спектроскопии. - 1981. - Т. 35, № 4. - С. 592-599.

19. Брагинская Т.Г., Клюбин В.В. Решение обратной задачи спектроскопии оптического смещения методом регуляризации Тихонова. - Л.: Изд-во ЛИЯФ АН СССР, 1983. - 60 с.

20. Глазов М.В., Болохова Т.А. Решение редукционной проблемы Рэлея с использованием различных модификаций метода регуляризации // Оптика и спектроскопия. - 1989. - Т. 67, № 3. - С. 533-537.

21. Краулиня Э.К., Лиепа С.Я., Пикалов В.В., Скудра А.Я. К проблеме исследования атомной сенсибилизированной флуоресценции по контурам спектральных линий // Некорректные обратные задачи атомной физики / Под ред. Н.Г. Преображенского. - Новосибирск: ИТПМ, 1976. - С. 61-72.

22. Верлань А.Ф., Сизиков В.С. Интегральные уравнения: методы, алгоритмы, программы. - Киев: Наук. думка, 1986. - 544 с.

23. Василенко Г.И. Теория восстановления сигналов: О редукции к идеальному прибору в физике и технике. - М.: Сов. радио, 1979. - 272 с.

24. Воскобойников Ю.Е., Преображенский Н.Г., Седельников А.И. Математическая обработка эксперимента в молекулярной газодинамике. - Новосибирск: Наука, 1984. - 240 с.

25. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. - М.: Наука, 1986. - 288 с.

26. Морозов В.А. Регулярные методы решения некорректно поставленных задач. - М.: Наука, 1987. - 240 с.

27. Тихонов А.Н., Гончарский А.В., Степанов В.В., Ягола А.Г. Численные методы решения некорректных задач. - М.: Наука, 1990. - 232 с.

28. Engl H.W., Hanke M., Neubauer A. Regularization of Inverse Problems. - Dordrecht: Kluwer, 1996. - 328 p.

29. Akesson E.O., Daun K.J. Parameter selection methods for axisymmetric flame tomography through Tikhonov regularization // Appl. Optics. - 2008. - Vol. 47, N 3. - P. 407.

30. Hansen P.C. Discrete Inverse Problems: Insight and Algorithms. - Philadelphia: SIAM, 2010. - 213 p.

31. Березин И. С., Жидков Н.П. Методы вычислений. В 2-х т. Изд-е 3-е. Т. 1. - М.: Наука, 1966. - 632 с.

32. Бронштейн И.Н., Семендяев К.А. Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов. Изд-е 13-е. - М.: Наука, 1986. - 544 с.

33. Гончарский А.В., Черепащук А.М., Ягола А.Г. Численные методы решения обратных задач астрофизики. - М.: Наука, 1978. - 336 с.

34. Старостенко В.И. Устойчивые численные методы в задачах гравиметрии. -Киев: Наук. думка, 1978. - 228 с.

35. Химельблау Д. Прикладное нелинейное программирование. - М.: Мир, 1975. -536 с.

36. Сизиков В.С. Устойчивые методы обработки результатов измерений. Учебное пособие. - СПб.: Спецлит, 1999. - 240 с.

37. Кей С.М., Марпл С.Л. Современные методы спектрального анализа (обзор) // Труды Ин-та инж. по электротехнике и радиоэлектрон. - 1981. - Т. 69, № 11. -С. 5-51.

38. Пиблз, Берковиц. Многоцелевой моноимпульсный радиолокатор // Зарубежн. радиоэлектроника. - 1969. - № 10. - С. 3-17.

39. Фалькович С.Е., Коновалов Л.Н. Разрешение неизвестного числа сигналов // Радиотехника и электроника. - 1982. - Т. 27, № 1. - С. 92-97.

40. Mullen K.M., van Stockkum I.H.M. The variable projection algorithm in time-resolved spectroscopy, microscopy and mass spectrometry applications // Numerical Algorithms. - 2009. - Vol. 51. N 3. - P. 319-340.

41. Воскобойников Ю.Е., Мухина И.Н. Локальный регуляризирующий алгоритм восстановления контрастных сигналов и изображений // Автометрия. - 2000. -№ 3. - С. 45-53.

42. Kojdecki M.A. New criterion of regularisation parameter choice in Tikhonov's method // Biuletyn WAT (Biul. Mil. Univ. Technol.). - 2000. - Vol. 49. -No. 1(569). - P. 47-126.

43. Сизиков В.С. О способах невязки при решении некорректных задач // Журн. вычисл. матем. и матем. физики. - 2003. - Т. 43, № 9. - С. 1294-1312.

44. Сизиков В.С. О моделировании некоторых некорректных задач с использованием принципов подобия // Электрон. моделирование. - 1981. - Вып. 6. -С. 3-8.

45. Сизиков В.С. Обобщенный метод редукции измерений. I. Тональная обработка // Электрон. моделирование. - 1991. - Т. 13, № 4. - С. 7-14.

46. Кривых А.В., Сизиков В.С. Восстановление непрерывных спектров методом регуляризации с использованием модельных спектров // Оптика и спектроскопия. - 2014. - Т. 117, № 5. - С. 149-157.

47. Кривых А.В., Сизиков В.С. Обработка дискретных спектров с помощью алгоритма интегральной аппроксимации // Научно-технический вестник СПбГУ ИТМО. - 2011. - № 5 (75). - С. 14-18.

48. Тюрин А.М. Введение в теорию статистических методов в гидроакустике. -Л.: Изд-во ВМОЛА, 1963. - 252 с.