Повышение пространственной разрешающей способности радиометрических систем при недостаточной информации об аппаратной функции тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.12.21, кандидат технических наук Павлов, Алексей Сергеевич

• Павлов, Алексей Сергеевич
• кандидат технических наук
• 1999

Оглавление диссертации кандидат технических наук Павлов, Алексей Сергеевич

ВВЕДЕНИЕ.

1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ АППАРАТНОЙ ФУНКЦИИ РАДИОМЕТРИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ ПО НАБЛЮДЕНИЮ ОБЪЕКТА С ЧЕТКИМИ ГРАНИЦАМИ.

1.1. Метод определения АФ по наблюдению объекта с четкими границами.

1.2. Численное моделирование.

1.3. Выводы.

2. СРАВНЕНИЕ МЕТОДОВ ВОССТАНОВЛЕНИЯ ИЗОБРАЖЕНИЙ И ПОВЫШЕНИЯ ПРОСТРАНСТВЕННОЙ РАЗРЕШАЮЩЕЙ СПОСОБНОСТИ РАДИОМЕТРИЧЕСКИХ СИСТЕМ.

2.1. Цели сравнения.

2.2. Метод минимизации сглаживающего функционала.

2.3. Метод максимальной энтропии.

2.4. Сравнение методов восстановления изображений по вычислительным затратам.

2.5. Экспериментальное сравнение методов восстановления изображений по критерию максимальной разрешающей способности.

2.6. Экспериментальное сравнение методов восстановления изображений по критерию минимальной ошибки восстановления.

2.7. Выводы.

3. ПОВЫШЕНИЕ ПРОСТРАНСТВЕННОЙ РАЗРЕШАЮЩЕЙ СПОСОБНОСТИ РАДИОТЕЛЕСКОПА РТ-7.5 МГТУ.

3.1. Радиотелескоп РТ-7.5 МГТУ. Первичная обработка данных.

3.2. Определение ДН радиотелескопа РТ-7.5 по Солнцу.

3.3. Восстановление изображений Солнца.

3.4. Особенности используемых численных методов.

3.5. Представление выходной информации.

3.6. Выводы.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Повышение пространственной разрешающей способности радиометрических систем при недостаточной информации об аппаратной функции»

Любая измерительная система характеризуется аппаратной функцией, оказывающей сглаживающее воздействие на результат измерений. Вследствие этого измерительная система имеет ограниченную разрешающую способность. Настоящая диссертационная работа посвящена радиометрическим системам, хотя ее результаты имеют более общее применение. К таким системам относятся радиотелескопы, системы пассивной радиолокации, радио- и тепловидения, устройства дистанционного зондирования природной среды. Для радиометрических систем важна пространственная разрешающая способность, которая представляет собой один из основных параметров прибора, поэтому разработка методов ее повышения актуальна.

Типичная радиометрическая система состоит из антенны, собственно приемника (радиометра), устройства регистрации и обработки. Если антенна осуществляет сканирование пространства по угловым координатам, на выходе приемника формируется последовательность отсчетов изображения наблюдаемых объектов. Отсчеты подвергаются чистке, фильтрации и представляются в виде одномерного или двумерного изображения.

Пространственная разрешающая способность радиометрической системы определяется геометрическими размерами антенны. Увеличение размеров антенн обходится дорого и часто наталкивается на технологические ограничения, поэтому получили распространение методы повышения пространственной разрешающей способности путем специальной обработки наблюдаемого изображения.

Математически изображение ит на выходе приемника радиометрической системы с аппаратной функцией (АФ) к описывается интегралом свертки

Здесь гт и щ - функции наблюдаемого объекта и его изображения, х - пространственная координата, которая при сканировании антенны по одному

В.1)

00 углу представляет собой скалярную величину, а при сканировании по двум углам - двухэлементный вектор. Функции с индексом "Т" следует понимать как точные функции, не искаженные шумами, в отличие от них функции с тильдой имеют погрешности. Чаще применяется более компактная операторная форма записи

Агт = ит.' (В.2)

В дальнейшем для краткости функция гт объекта и функция щ изображения называются просто объектом и изображением. Решение уравнения (В.1) относительно гт позволяет повысить пространственную разрешающую способность за счет того, что объект полностью или частично освобождается от сглаживающего воздействия АФ к. Аналогичные (В.1) интегралы повсеместно встречаются при интерпретации результатов измерений [1] и называются обратными задачами.

Обратные задачи типа свертки относятся к классу некорректно поставленных. Согласно формальному определению Адамара [2], задача нахождения решения г , принадлежащего пространству Z, по исходным данным и из пространства и называется корректной или корректно поставленной при выполнении следующих трех условий:

1. для любого и е11 существует решение г eZ ;

2. решение определяется однозначно;

3. решение устойчиво к малым изменениям и.

Если хотя бы одно из них не выполняется, задача называется некорректной или некорректно поставленной.

Для решения некорректных обратных задач разработан ряд специальных методов, называемых методами восстановления изображений. Наиболее общие методы решения некорректных задач впервые разработаны А.Н.Тихоновым [3]. Возможность восстановления связана с использованием априорной информации. При этом возникает проблема влияния априорной информации на точность восстановления.

Повышению пространственной разрешающей способности препятствует неизбежный шум в наблюдаемом изображении и погрешности априорного знания АФ. Специфика многих радиометрических систем состоит в наличии больших погрешностей АФ, которые, как правило, преобладают над шумом в изображении и сильно ограничивают возможности повышения разрешающей способности. В процессе эксплуатации АФ не остается статичной, поскольку любая конструкция подвержена влиянию внешних условий. При наблюдениях через среду распространения с рассеянием общая АФ прибора зависит от параметров среды распространения сигнала. В связи с этим для повышения пространственной разрешающей способности необходимо знать форму АФ непосредственно во время наблюдения. Такая АФ далее будет называться мгновенной.

Разработка метода определения мгновенной АФ, сравнение характеристик методов восстановления и практическая реализация полученных результатов являются задачами данной работы. Непосредственным импульсом к ее выполнению послужила настоятельная потребность повышение пространственной разрешающей способности радиотелескопа РТ-7.5 МГТУ им. Н.Э.Баумана при солнечных наблюдениях в миллиметровом диапазоне. На эту задачу опираются все приведенные в работе конкретные примеры.

В современной литературе к методам определения мгновенной АФ относят аппроксимацию и слепую деконволюцию. Для получения АФ методом аппроксимации строится ее модель, параметры которой определяются по одному или нескольким контрольным наблюдениям. В [4, 5] рассмотрена аппроксимация диаграммы направленности радиотелескопа субмиллиметрового диапазона суммой трех гауссоид. Другой пример аппроксимации можно найти в [6], где построена сложная оптическая модель космического телескопа Хаббла. Достоинство метода аппроксимации состоит в возможности получения АФ на дискретной сетке любой плотности. Вместе с тем точность полученных результатов определяется адекватностью модели и, как правило, остается неизвестной.

Метод слепой деконволюции (blind deconvolution) [7, 8] позволяет определять из уравнения (В.1) одновременно АФ и объект. В основе метода лежит процедура оптимизации, которая среди всех возможных объектов и АФ выбирает такие, которые дают при свертке друг с другом изображение, наиболее близкое к наблюдаемому. Модификации метода [9 - 11] сводятся к введению в оптимизацию априорной информации об объекте и АФ. К ее недостаткам следует отнести необходимость априорной информации об объекте и АФ, а также возможность получения тривиальных и вырожденных решений. Метод применялся на телескопе Хаббла [9, 11].

Аппроксимация и слепая деконволюция используют априорную информацию и не позволяют контролировать точность АФ, поэтому представляет интерес разработка метода, свободного от отмеченных недостатков.

При известной мгновенной АФ наблюдаемый объект определяется из (В.2). Эта процедура осложняется тем, что на практике вместо точного изображения щ известно изображение и с аддитивным шумом 77 и = ит + 7].

Замена щ. на и приводит к тому, что вместо точного объекта гт возможно определить его приближение г . Уравнение (В.2) приобретает вид

А1 = и .

При этом АФ к или оператор А считаются заданными точно. Их возможные ошибки можно включить в шум 77 наблюдаемого изображения.

Решение л —

2 = А и, вычисляемое через обратный оператор, называется инверсным. Оно неприемлемо, так как оказывается шумоподобным и не имеет сходства с ожидаемым объектом. Несколько относящихся к этой теме примеров можно найти в [1,3].

Поведение г легко объясняется, если рассматривать свертку как пространственный фильтр нижних частот (ФНЧ), эквивалентный АФ к. В таком случае восстановление изображения состоит в прохождении и через фильтр с инверсной по отношению к ФНЧ частотной характеристикой, имеющей сильный подъем в области высоких пространственных частот. Шум т] также проходит через инверсный фильтр. Вследствие того, что его спектр шире спектра щ, высокочастотные составляющие г] значительно усилятся и на их фоне гт оказывается незаметным.

Для решения некорректных задач за последние 50 лет создан ряд методов, которые можно условно разделить на три большие группы. К первой группе относятся линейные методы восстановления изображений, реализующие метод минимизации сглаживающего функционала А.Н.Тихонова [12, 13]. Вторую группу составляют нелинейные методы восстановления, появившиеся в 60-х годах, среди которых выделяются классический метод максимальной энтропии [14 - 16] и его современные модификации, например [17], а также метод Люси [18]. Методы третьей группы основаны на статистическом подходе к задаче восстановления изображений [19 - 21]. Область их применения ограничена случаем некоррелированного шума. До настоящего времени широкого распространения такие методы не получили.

Все методы восстановления изображений в явной или неявной форме используют априорную информацию о неизвестном гт. Ее влияние на получаемые результаты нуждается в исследовании. В этой связи представляет интерес сравнение методов восстановления изображений по критериям минимальной ошибки г - гт восстановления объекта и наибольшего увеличения разрешающей способности. Сравнение должно проводиться с учетом специфики наблюдаемых объектов и АФ. Методы восстановления требуют значительных вычислительных ресурсов, поэтому имеет смысл провести также их сравнение по числу операций, необходимых для обработки одного изображения.

Для сравнения целесообразно выбрать метод минимизации сглаживающего функционала и метод максимальной энтропии, так как они дали начало группам линейных и нелинейных методов восстановления изображений.

Объектом внедрения результатов данной работы является радиотелескоп РТ-7.5 МГТУ. Его АФ представляет собой диаграмму направленности (ДН) антенны, которая изменяется под действием температуры и весовых деформаций. При наблюдениях сквозь плотную облачность сказывается влияние рассеяния в среде распространения радиосигнала. Чтобы повысить пространственную разрешающую способность РТ-7.5, необходимо создать новое программное обеспечение обработки данных, реализующее определение мгновенной АФ и метод восстановления изображения, обладающий лучшими характеристиками в задаче солнечного картографирования.

Цель работы состоит в решении задачи повышения пространственной разрешающей способности радиометрических систем в условиях недостаточной информации об АФ. В процессе исследований решались следующие задачи:

1. Разработка метода определения АФ, позволяющего контролировать точность результатов и обладающего малой зависимостью от априорной информации;

2. Исследование ошибки восстановления объекта и степени повышения разрешающей способности для метода минимизации сглаживающего функционала и ММЭ. Выбор метода, обладающего лучшими характеристиками;

3. Реализация метода определения АФ и выбранного метода восстановления в виде программы обработки данных радиометрической системы. Внедрение программы обработки данных на радиотелескопе РТ-7.5.

Научная новизна. Предложен новый и не имеющий прямых аналогов метод определения АФ радиометрической системы по наблюдению объекта с четкими границами. Метод позволяет выполнить измерение мгновенной АФ для конкретного наблюдения и впоследствии восстановить изображение объекта одним из известных методов. Тем самым для случая наблюдения объекта с четкими границами решена задача повышения пространственной разрешающей способности радиометрической системы в условиях недостаточной информации об АФ.

Практическая ценность работы. Создана программа обработки данных радиометрической системы, в которой реализован метод определения АФ по наблюдению объекта с четкими границами (Солнца) и метод максимальной энтропии. Для метода максимальной энтропии выполнены измерения коэффициента сверхразрешения и средней ошибки восстановления объекта, позволяющие оценить полученный эффект. Применение программы обработки данных привело к реальному повышению пространственной разрешающей способности радиотелескопа РТ-7.5 МГТУ в 1.5 раза и расширению доступной для анализа части солнечного диска в 2 раза.

Достоверность предложенного метода определения АФ подтверждается численным моделированием процесса наблюдения объекта с четкими границами. Результаты моделирования совпадают с результатами, полученными аналитически.

Апробация результатов. Результаты диссертации докладывались и обсуждались на заседаниях кафедры "Радиоэлектронных системы и устройства" МГТУ им. Н.Э.Баумана, на отчетной конференции Радиоастрономического учебно-научного центра РАН 25 декабря 1998г, на Второй Всероссийской научной конференции "Физические проблемы экологии" 18-21 января 1999г, на семинаре ИРЭ РАН "Проблемы сверхразрешения радиометрических систем миллиметрового диапазона" 25 марта 1999г, на семинаре кафедры "Лазерные и оптико-электронные приборы управления" МГТУ им. Н.Э.Баумана. Полученные результаты изложены в трех отчетах по НИР кафедры. По теме диссертации опубликовано три научных статьи [22 -24].

Положения, выносимые на защиту:

1. Метод определения АФ радиометрической системы по наблюдению объекта с четкими границами;

2. Результаты сравнения методов восстановления изображений по критериям максимального увеличения разрешающей способности и минимальной ошибки восстановления объекта;

3. Программа обработки данных радиометрической системы, позволяющая повысить пространственную разрешающую способность в условиях недостаточной информации об АФ и результаты восстановления, демонстрирующие увеличение яркости края солнечного диска в миллиметровом диапазоне.

Содержание работы. Диссертация состоит из введения, трех глав и заключения.

Заключение диссертации по теме «Радиотехнические системы специального назначения, включая технику СВЧ и технологию их производства», Павлов, Алексей Сергеевич

-1403.6. Выводы

1. Созданная в данной работе программа МЕМЗБ представляет заметный шаг в совершенствовании обработки данных наблюдений на радиотелескопе РТ-7.5. Она позволяет определять ДН РТ-7.5 по любому двумерному изображению Солнца и обеспечивает восстановление изображений Солнца методом максимальной энтропии, который повышает пространственную разрешающую способность радиотелескопа и увеличивает доступную для анализа поверхность Солнца. МЕМЗБ внедрена на РТ-7.5 и используется как рабочая программа обработки данных.

2. В программе МЕМЗБ реализован представленный в главе 1 метод определения АФ радиометрической системы по наблюдению объекта с четкими границами. Программа позволяет найти ДН радиотелескопа РТ-7.5 по любому двумерному изображению Солнца. При этом Солнце используется как естественный объект с четкими границами. Ошибки определения ДН складываются из погрешностей, вызванных отклонением формы априорного объекта от наблюдаемого объекта и шумом в наблюдаемом изображении. Количественная оценка этих составляющих дает для типичных условий наблюдения значения 1.9% и 3.2%. Общая ошибка определения ДН при этом составляет 3.7%.

3. При помощи метода максимальной энтропии программа МЕМЗБ позволяет по наблюдаемому изображению Солнца и ДН получить улучшенное приближение к действительному изображению Солнца. При типичных условиях наблюдения пространственная разрешающая способность РТ-7.5 увеличивается в 1.5 раза. При этом качественно меняется вид наблюдаемого объекта. Среднеквадратическая погрешность восстановления Солнца составляет 3.1%. В результате восстановления увеличивается доступная для анализа поверхность Солнца. Выполненный контрольный вычислительный эксперимент показал, что заметный на изображениях эффект уярчения краев Солнца не является следствием проводимой обработки данных.

-1414. Выполнена оценка затрат машинного времени на определение ДН и восстановление изображения Солнца по экспериментальным данным. Для компьютера 4860X2-50 они составляют 6-7.5 часов и 4-4.5 часа соответственно. Поскольку основная масса вычислений приходится на дискретную свертку с использованием БПФ, временные затраты можно уменьшить в сотни раз, если применить аппаратные ускорители БПФ.

5. Ввиду того, что возможности по повышению пространственной разрешающей способности определяются погрешностями исходных данных радиотелескопа и, в частности, шумами аппаратуры, проанализированы меры улучшения их качества. Часть этих мер реализована в программе МЕМЗВ.

-142-ЗАЮПОЧЕНИЕ

В диссертации решалась задача повышения пространственной разрешающей способности радиометрических систем в условиях недостаточной информации об аппаратной функции. В процессе исследования получены следующие основные результаты:

1. Разработан новый и не имеющий прямых аналогов метод определения аппаратной функции радиометрической системы по наблюдению объекта с четкими границами. Разработана математическая модель метода и исследованы его возможности в различных условиях. Достоверность определения аппаратной функции разработанным методом подтверждена результатами численного моделирования. Метод может иметь применение во всех случаях, где требуется высокая точность измерения аппаратной функции и есть протяженные объекты с четкими границами.

2. Выполнено сравнение метода минимизации сглаживающего функционала и метода максимальной энтропии по критериям увеличения разрешающей способности и ошибки восстановления объекта, а также по объему вычислений. Показано, что при равной трудоемкости метод максимальной энтропии обладает лучшими характеристиками.

3. Создана программа обработки данных, в которой реализован метод определения аппаратной функции по наблюдению объекта с четкими границами и восстановление изображения при помощи метода максимальной энтропии. Найдена погрешность определения диаграммы направленности антенны радиотелескопа РТ-7.5 МГТУ, ошибка восстановления Солнца и коэффициент повышения пространственной разрешающей способности.

4. Созданная программа обработки данных внедрена в качестве рабочей программы на радиотелескопе РТ-7.5. Ее использование позволило проводить измерения диаграммы направленности антенны в ходе наблюдений и привело к повышению пространственной разрешающей способности радиотелескопа в задаче солнечного картографирования в 1.5 раза. При

-143этом доступная для анализа часть солнечного диска увеличилась примерно в 2 раза. Применение созданной программы обработки данных привело к уверенному обнаружению эффекта уярчения края Солнца в миллиметровом диапазоне.

Таким образом, решена поставленная задача повышения пространственной разрешающей способности радиометрической системы в условиях недостаточной информации об аппаратной функции. Разработанные методы доведены до практического применения.

Список литературы диссертационного исследования кандидат технических наук Павлов, Алексей Сергеевич, 1999 год

1. Некорректные задачи естествознания / Под ред. А.Н.Тихонова.-М.: Изд-во МГУ,1987.-299с.

2. Hadamard J. Le problème de Cauchy et les equations aux dirivees partielles linearies hyperboliques.-Paris.iHermann, 1932.-328p.

3. Тихонов A.H., Арсенин В .Я. Методы решения некорректных задач.-М. :Наука, 1986.-288с.

4. Bastian T.S., Ewell M.W.Jr., Zirin H. The center-to-limb brightness variation of the Sun at Х=850цт // ApJ.-1993.-V.415.-P.364-375.

5. Ewell M.W.Jr., Zirin H., Jensen J.B. Submillimeter observations of the 1991 July 11 total solar eclipse// ApJ.-1993.-V.403.-P.426-433.

6. Redding D., Lee M., Sirlin S. Improved Prescription Retrieval and PSF Modeling Code // The Restoration of HST Images and Spectra.-1993.-V.II.-P. 188-197.

7. Lane R.G. Blind deconvolution of specie images // J.Opt.Soc.Am.-1992.-У.А9.-Р.1508-1514.

8. Lane R.G., Bates R.H.T. Automatic multidimensional deconvolution // J.Opt.Soc.Am.-1987.-У. A4.-P. 180-188.

9. Christou J.C., JefFeries S.M., Robison M.W. Blind Deconvolution of HST Simulated Data // The Restoration of HST Images and Spectra.-1993.-V.II.-P.212-218.

10. Lane R.G. Blind deconvolution of specie images // J.Opt.Soc.Am.-1992.-V.A9.-P. 1508-1514.

11. White R.L. Better HST Point Spread Functions. Phase Retrieval & Blind Deconvolution // The Restoration of HST Images and Spectra.-1993.-V.II.-P. 198-205.

12. Тихонов A.H. Об устойчивости обратных задач // ДАН СССР.-1942.-Т.39,№5.-С. 195-198.

13. Тихонов А.Н. О решении некорректно поставленных задач и методе регуляризации//ДАН СССР.-1963.-Т.153,№1.-С.49-52.-14514. Burg J.P. Maximum entropy spectral analysis // Modern spectral analysis.-New York.:IEEE Press, 1968.-P.34-48.

14. Burg J.P. A new analysis technique for time series data // Modern Spectrum Analysis.-New York.: IEEE Press, 1978.-P.42-48.

15. Frieden B.R. Restoring with maximum likelihood and maximum entropy // J.Opt.Soc.Am.-1972.-V.62.-P.511-518.

16. Bontecoe Tj.R., Koper E., Kester D.J.M. Pyramid maximum entropy images of IRAS survey data//Astron. Astrophys.-1994.-V.284.-P. 1037-1053.

17. Lucy L.B. An iterative techique for the rectification of observed distributions // Astron. J.-1974.-V.79,№6.-P.745-754.

18. Теребиж В.Ю. Восстановление изображений при минимальной априорной информации//УФН.-1995.-Т. 165,№2.-С. 143-176.

19. Теребиж В.Ю. Максимально правдоподобное восстановление изображений. Основные соотношения // Астрофизика.-1990.-Т.32,№2.-С.327-339.

20. Теребиж В.Ю. Максимально правдоподобное восстановление изображений. Алгоритм. Одномерные тестовые задачи // Астрофизика.-1990.-T.33,№2.-C.305-315.

21. Павлов А.С. Некорректные задачи в радиоастрономии и дистанционном зондировании // Вестник МГТУ. Приборостроение.-1995.-№4.-С.96-105.

22. Павлов А.С. Построение солнечных карт по данным радиотелескопа РТ-7.5 // Вестник МГТУ. Приборостроение.-1996.-№4.-С.40-49.

23. Павлов А.С. Определение аппаратной функции радиометрической системы по наблюдению объекта с четкими границами // Вестник МГТУ. Приборостроение. -1998. №4. -С .56-60.

24. Рублев А.Н. Курс линейной алгебры.-М.: Высшая школа, 1972.- 424с.

25. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Линейная алгебра.-М.: Наука, 1978.- 304с.

26. Fox R.L. Optimization methods for engineering design.- New York.: Addison-Wesley, 1971.-270p.-14628. Лесин В.В., Лисовец Ю.П. Основы методов оптимизации.-М.: Изд-во МАИ, 1995.- 344с.

27. Harris J.L. Difraction and resolving power // J.Opt.Soc.Am.-1964.-V.54.-P.932-936.

28. Колмогоров A.H., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа.-М.: Наука, 1968.- 496с.

29. Функциональный анализ / Под ред. С.Г. Крейна.-М.: Наука, 1972.- 544с.

30. Гончарский А.В., Черепащук A.M., Ягола А.Г. Некорректные задачи астрофизики.- М.:Наука, 1985, 584с.

31. Тихонов А.Н., Гончарский А.В. Регуляризирующие алгоритмы и априорная информация.-М.: Наука, 1983.- 200с.

32. Гилл Ф., Мюррей У., Райт М. Практическая оптимизация: Пер. с англ.-М.: Мир, 1985.-628с.

33. Химмельблау Д. Прикладное нелинейное программирование: Пер. с англ.-М.: Мир, 1975.- 532с.

34. Цлаф Л .Я. Вариационное исчисление и интегральные уравнения.-М.: Наука, 1970.- 192с.

35. Наттерер Ф. Математические аспекты компьютерной томографии: Пер. снем.-М.: Мир, 1990,- 288с.

36. Wiener N. Extrapolation, interpolation and smoothing of stationary time series with engineering applications.-New York.: J.Wiley, 1949.- 162c.

37. Frieden B.R. Statistical models for image restoration problem // Computer Graphics and Image Processing.-1980.-V.12.-P.40-59.

38. Frieden B.R. Maximum-information data processing: application to optical signals // J.Opt.Soc.Am.-1981 .-V.71 .-P.294-303.

39. Kikuchi R., Soffer B. Maximum entropy image restoration. The entropy expression // J.Opt.Soc.Am.-1977.-V. 67. -P. 1656-1665.

40. Cornwell T.J., Evans K.F. A simple maximum entropy deconvolution algorithm //Astron. Astophys.-1985.-V.143.-P.77-83.

41. Frieden B.R. Band-unlimited reconsruction of optical objects and spectra // J.Opt.Soc.Am.-1967.-V.57.-P.679-688.-14744. Гончарский A.B., Леонов A.C., Ягола А.Г. Обобщенный принцип невязки // ЖВМ и МФ.-1973.-Т.13, №2.-С.294-302.

42. Амосов A.A., Дубинский Ю.А. Вычислительные методы для инженеров.-М.: Высшая школа, 1994,- 544с.

43. Потабенко H.A. Численные методы. Решение задач линейной алгебры и уравнений в частных производных.-М.:Изд-во МАИ, 1996.- 88с.

44. Lord Rayleigh. Scientificpapers.-New York.: Dover, 1964.- 634c.

45. Lucy L.B. Resolution limits for deconvolved images // Astron. J.-1992.-V.104, №3.-P. 1260-1265.

46. Теребиж В.Ю. Максимально правдоподобное восстановление изображений. Предельное разрешение при заданной альтернативе // Астрофизика.-1990.-Т. 33, №3.-С.409-427.

47. Terebizh V.Yu. Superresolution in pattern recognition and image restoration problems // Astron. Astrophys.-1993.-V.270.-P.543-551.

48. Левин Б.P. Теоретические основы статистической радиотехники.-М.: Радио и связь, 1996.- 656с.

49. Боровков A.A. Математическая статистика.-М.: Наука, 1984.- 472с.

50. Василенко Г.И., Тараторин A.M. Восстановление изображений.-М.: Радио и связь, 1986.- 304с.

51. Розанов Б.А. Радиотелескоп миллиметрового диапазона РТ-7.5 МВТУ // Изв. вузов. Радиоэлектроника.-1981.-Т.24, №3.-C.3-9.

52. Розанов Б.А., Соловьев Г.Н., Лебедюк Т.С. Наблюдения радиоизлучения Солнца в коротковолновой части миллиметрового диапазона волн // Вестник МГТУ. Приборостроение.-1994.- №4.-С.4-12.

53. Страуструп Б. Язык программирования С++: Пер. с англ.-М.: Радио и связь, 1991.-352с.

54. Буч Г. Объектно-ориентированное проектирование: Пер. с англ.-М.: Конкорд, 1992.- 519с.

55. Меес Ж. Астрономические формулы для калькуляторов: Пер. с фран.-М.: Мир, 1999.- 168с.

56. Цесевич В.П. Что и как наблюдать на небе.-М.: Наука, 1984,- 304с.

57. Postscript language. Reference manual / Adobe systems Inc.-New York.: Addison-Wesley, 1985.- 324p.

58. Postscript language. Tutorial and cookbook / Adobe systems Inc.-New York.: Addison-Wesley, 1985.- 244p.

59. Postscript language. Program design / Adobe systems Inc.-New York.: Addison-Wesley, 1988.- 226p.

60. Seppo Urpo. Solar observations at Metsahovi in 1993.- Helsinki.: University of Technology, 1994.-94p.