Повышение эффективности итерационных методов решения нелинейных уравнений и их применение для задач математического моделирования тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат наук Юманова, Ирина Фарисовна

• Юманова, Ирина Фарисовна
• кандидат наук
• 2017

Оглавление диссертации кандидат наук Юманова, Ирина Фарисовна

Оглавление

Введение

Глава 1. Итерационные методы решения скалярной задачи о неподвижной точке на базе процессов Манна

§ 1. Построение итерационных методов, требования к

параметрам

§ 2. Исследование сходимости

§ 3. Алгоритмы и численные примеры

§ 4. Выводы

Глава 2. Итерационные методы решения систем нелинейных уравнений

§ 5. Постановка задачи

§ 6. Покоординатное использование скалярных

методов в п -мерных пространствах

§ 7. Алгоритмы и их обоснование

§ 8. Тестирование предложенных алгоритмов

§ 9. Выводы

Глава 3. Итерационные методы решения нелинейных операторных

уравнений

§ 10. Постановка задачи

§ 11. Исследование сходимости

§ 12. Применение к системам нелинейных уравнений

§ 13. Применение к нелинейным интегральным

уравнениям

§ 14. Выводы

Глава 4. Применение разработанных методов к решению некоторых прикладных задач

§ 15. Модель взаимодействия иммунной системы и ВИЧ

§ 16. Исследование модели электростатического пленочного реле

продуктов горения органического топлива

§ 18. Выводы

Глава 5. Программный комплекс

§ 19. Используемые технологии

§ 20. Состав программного комплекса и его функциональные возможности

§ 21. Примеры работы программного комплекса

Заключение

Список литературы

Публикации автора по теме диссертации

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Повышение эффективности итерационных методов решения нелинейных уравнений и их применение для задач математического моделирования»

Введение

Актуальность темы и степень ее разработанности. При решении многих прикладных задач на разных этапах появляется необходимость поиска корней нелинейных уравнений. В частности, нелинейных скалярных уравнений вида /(х) = 0 или

х = р(х), (0.1)

возникающих, например, при моделировании задач электростатики, экономики, популяционной динамики, а также систем нелинейных алгебраических или трансцендентных уравнений вида

Е(х) = 0 (0.2)

или

х = Ф(х), (0.3)

где Е : ^ (или Ф : ^ соответственно) — векторная функция векторного аргумента, возникающих в теплофизике, баллистике, биофизике, экономике и других областях. В общем случае рассматривается нелинейное операторное уравнение

Г (х) = 0, (0.4)

где Г — нелинейный оператор, действующий из (р С X банахова пространства X в банахово пространство У, здесь (р — область определения Г. Также может быть рассмотрена задача о неподвижной точке

х = ф(х), (0.5)

где Ф — нелинейный оператор, действующий из (ф С X банахова пространства X в X, здесь (ф — область определения Ф. К уравнениям вида (0.4) и (0.5) относятся интегральные уравнения, которые возникают, например, в задачах геофизики, рентгеноспектрального анализа и других.

Примером задачи, где требуется решать системы нелинейных уравнений,

является задача внутренней баллистики ракетных двигателей твердого топлива (РДТТ) с учетом химически равновесных процессов в камере сгорания двигателя (см., например, [2,4]). Вопросы расчета химически равновесного состава продуктов сгорания, актуальны и в задачах, связанных с утилизацией РДТТ [15], так как позволяют установить наличие в продуктах переработки вредных и токсичных веществ.

Как отмечено в [5], существует большое количество программных продуктов (см. [3,8,42] и ссылки в них), позволяющих выполнить расчет химически равновесного состава продуктов сгорания. Однако применение их в составе программ расчета нестационарных задач внутренней баллистики для РДТТ различных типов может оказаться затруднительным. Это объясняется тем, что при численном решении нестационарных задач внутренней баллистики расчет химически равновесного состава продуктов сгорания осуществляется многократно (на каждом шаге интегрирования по времени и для каждого рассматриваемого в камере сгорания элементарного объема, что может составлять миллион и более раз). В связи с этим надежность решения задачи внутренней баллистики в существенной степени определяется надежностью вычислительных алгоритмов расчета химически равновесного состава.

Для расчета равновесных параметров в гетерогенных продуктах сгорания твердых топлив наиболее распространенным методом решения является метод, предложенный академиком В.Е. Алемасовым и успешно развиваемый его научной школой [2]. В соответствии с [2] решение итоговой системы нелинейных уравнений после преобразований (переход от массовых и мольных концентраций к их логарифмам) осуществляется методом Ньютона с определением итерационных поправок на каждом шаге итерации методом Гаусса. В частности, вместо метода Гаусса можно применить либо ЬИ-метод, либо QR-метод (см., например, [39]).

Другой подход, рассматриваемый в [1,8,48], состоит в представлении задачи о химически равновесном составе продуктов горения органического топлива в виде задачи математического программирования и последующем ее решении

известными вычислительными методами (см., например, [28]).

В [2,3] для решения задачи о химически равновесном составе продуктов горения применяется итерационный алгоритм, при этом отмечается, что надежность алгоритма и время решения задачи существенным образом зависят от удачного выбора начального приближения. Так же в [5] отмечено, что в отдельных случаях, например, для рецептур с условной формулой вида

CaHb OcNdSf Kj MghClg Alk Lii BemBnNaP)

чтобы избежать вычислительной неустойчивости (и, как следствие, аварийного завершения расчетов на вычислительной технике) алгоритмов [2, 3] (использовалась программа [42]), требуется тщательная подготовка исходных данных. На практике (при решении задачи о выходе ракетного двигателя на режим, задачи о работе двигательной установки на переходных режимах и т. д.) с учетом многократного решения задачи о составе продуктов горения, практически невозможно исключить аварийное завершение расчетов задачи внутренней баллистики.

Применение перечисленных методов не всегда оказывается успешным, в связи с этим актуальна разработка и программная реализация новых вычислительных методов решения систем нелинейных уравнений, возникающих в задаче о химически равновесном составе продуктов горения органического топлива.

Главное место среди известных методов приближенного решения систем нелинейных алгебраических или трансцендентных уравнений (0.2), (0.3) и уравнений (0.4), (0.5) принадлежит итерационным методам. Обширная библиография по современным численным методам посвящена методам решения уравнений (0.2), (0.3) (см., например, [7,14,20,21,24,29,53]), а методы решения уравнений (0.4), (0.5) содержатся во многих учебниках по функциональному анализу (см., например, [31,49,52]). Фундаментальные результаты теории и применения итерационных методов нашли отражение в монографиях А.М. Островского, Л.В. Канторовича, Л. Коллатца, Дж. Ортеги и В. Рейнболдта, Дж. Трауба, Дж. Дэнниса и Р. Шна-беля, М.А. Красносельского и многих других. Совершенствованию, обоснованию

и обощению предложенных ранее, а также конструированию новых итерационных процессов посвящено огромное количество научных статей.

В бывшем Советском Союзе существовало несколько научных школ, работавших в этом направлении: в Воронеже (М.А. Красносельский, П.П. Забрейко и другие), в Днепропетровске (В.М. Чернышенко, В.А. Огнева, С.Д. Балашова), в Екатеринбурге (В.В. Васин, И.И. Еремин), в Иркутске (Б.А. Бельтюков, С.С. Волокитин), в Баку (Р.А.Шафиев), в Кишиневе (Д.К. Лика) и в других регионах. Особо следует отметить роль математиков Эстонии (С.Ю. Ульм, Г.М. Вайникко,

0.М. Ваарманн, А. Роозе) и львовских математиков (М.Я. Бартиш, Ю.Н. Щербина, П.С. Сеньо, С.М. Шахно), которые внесли вклад не только собственными научными результатами, но способствовали развитию теории итерационных методов в нашей стране, устраивая обмен мнениями на проводимых ими симпозиумах по методам решения нелинейных уравнений.

В последние годы с начала XXI века более активно по сравнению с российскими математиками развивают данное направление зарубежные ученые (S. Amat,

1.K. Argyros, S. Bisquer, C. Brezinski, J.A. Ezquerro, M. Frontini, M.A. Hernandez-Veron, J.M. Gutierrez, H.H.H. Homiez, F.A. Potra, V. Ptak, X. Shang, X. Shao, P. Wu, T. Yamamoto и другие).

Простейший процесс построения последовательности приближений к неподвижной точке отображения ^ для одномерной задачи о неподвижной точке определяется формулой

Xk+i = ^(xk), k = 0, 1, 2,..., (0.6)

что называют методом последовательных приближений или методом простых итераций (в дальнейшем, сокращенно МПИ). Переписав одномерную задачу о неподвижной точке в виде x — ^(x) = 0, можно сказать, что это есть уравнение f (x) =0 c f (x) := x — ^(x). Преобразование в обратную сторону, то есть приведение уравнения f (x) = 0 к виду (0.1), тоже возможно (см., например, [21]). Следовательно, для уравнения f(x) = 0 можно также применять МПИ.

Метод простых итераций — один из фундаментальных и хорошо изученных

итерационных методов решения уравнений различной природы. Имеется множество утверждений, устанавливающих сходимость элементов итерационной последовательности (х&) МПИ к искомому элементу £ такому, что £ = р(£), элемент £ — неподвижная точка отображения р. Подобные утверждения носят как самый общий характер (для абстрактных операторов в абстрактных пространствах), так и весьма конкретный, позволяющий использовать их непосредственно в вычислительной практике. В любом случае,

1) теоремы сходимости для МПИ (0.6), как правило, одновременно являются и теоремами существования и единственности;

2) условия, выставляемые в теоремах сходимости, являются только достаточными; необходимые требования к р для сходимости МПИ известны только для линейных отображений;

3) оценки близости значений к £ квалифицируют МПИ (0.6) как линейно сходящийся процесс, причем величина знаменателя геометрической прогрессии, характеризующая быстроту сходимости в рамках методов первого порядка, существенно зависит от константы сжатия отображения р.

Как всякий процесс последовательных приближений, простой одноэтапный итерационный процесс можно улучшать, преследуя при этом две цели: ускорение сходимости процесса и ослабление условий сходимости.

Для осуществления этих целей можно воспользоваться двумя средствами: изменять итерационный процесс и изменять заданное уравнение х = р(х). Первое средство состоит в построении нестационарных процессов на основе МПИ (см., например, [21,29]). Второе средство состоит в том, что когда р(х) — нелинейное дифференцируемое отображение из К1 в К1, пытаются ускорить сходимость итерационного процесса, заменяя заданное уравнение х = р(х) другим уравнением х = д(х), в котором функция д(х) удовлетворяет двум требованиям: 1) уравнение х = д(х) имеет те же решения £, что и заданное уравнение, и 2) для каждого из решений £ выполняются условия д(п\£) = 0 (п = 1, 2, ..., т — 1) и д(т)(£) = 0

при т не менее 2. В частности, при т = 2 итерационный процесс имеет вид

= _ /(хк) хк+1 хк о. / \ ,

/ /(хк )

что определяет основной метод Ньютона, сходящийся квадратично (см., например, [23,51]).

Теоретические результаты исследований и рекомендации по практическому применению метода Ньютона можно найти почти в любой литературе по вычислительной математике. Несмотря на достаточно высокую эффективность и вычислительную устойчивость [6,22,41,46], метод Ньютона (как, впрочем, и любой другой итерационный метод) не лишен недостатков, среди которых: необходимость вычисления производной на каждом итерационном шаге, сугубо локальный характер сходимости, подразумевающий знание достаточно близкого к корню начального приближения. В связи с этим были созданы некоторые модификации метода:

— упрощенный (или модифицированный) метод Ньютона [21], предполагающий вычисление производной только в точке начального приближения. Данный метод, являющийся частным случаем метода простых итераций, обладает лишь скоростью сходимости геометрической прогрессии [21];

— конечноразностные модификации (конечноразностный метод Ньютона и метод секущих [14,21,22], метод Стеффенсена [41], метод экспоненциального спуска и некоторые другие методы подобного типа (см., например, [90])). В некоторых случаях подобный подход повышает вычислительную эффективность метода с сохранением высокой скорости сходимости (от сверхлинейной до квадратичной);

— параметрические модификации (например, метод Ньютона-Шрёдера [21,41,45, 51]). Здесь введение параметров в итерационную формулу метода Ньютона вместе с соответствующим правилом их выбора позволяют как увеличить быстроту сходимости классического метода Ньютона (например, в случае кратных корней), так и повысить его устойчивость к выбору начального приближения;

— модификации, полученные суперпозицией метода Ньютона и какого-либо другого итерационного процесса. Эти модификации либо сочетают быструю сходи-

мость метода Ньютона с «глобальной», но обычно более медленной сходимостью другого метода (например, метода дихотомии) [51], либо являются сложными многоэтапными или вложенными итерационными процессами [59, 72, 75] и другие, в которых результирующие итерационные последовательности имеют более высокий порядок сходимости по сравнению с ньютоновскими.

Существуют также и другие, идейно близкие методу Ньютона, методы порядка сходимости выше второго, но они, как правило, содержат старшие производные заданной функции. Таковыми являются, например, известные методы Чебышева-Шрёдера и Хэлли [71] и другие.

Большинство из полученных современными авторами результатов, связанных с различными модификациями одномерного метода Ньютона, укладывается в общую теорию итерационных функций, описанную в монографии Трауба [51].

Безусловный интерес представляет повышение эффективности итерационных методов. Под эффективностью в диссертационной работе понимается получение более точных результатов без дополнительных вычислений функций, их производных и обращений матриц (Якоби, разделенных разностей и других) посредством изменения итерационных процессов.

Одно направление такого повышения — это ускорение сходимости итерационных последовательностей за счет построения на их базе более быстро сходящихся к тому же пределу последовательностей [21]. Классическим примером тому служит А2 -преобразование Эйткена (А2 -процесс Эйткена) [41,57,84], а также метод Вегстейна [87]. Подробный обзор на эту тему можно найти в работе [67]. Геометрическая иллюстрация

А2

-процесс Эйткена приведена в [88]. Следует отметить также, что А2 -процесс Эйткена и метод Вегстейна являются модификациями метода секущих (см., например, [21,41]). Доказательства этого факта приведены, например, в [21] и [19] соответственно. Другое направление — это создание на базе хорошо зарекомендовавших себя классических методов таких модификаций, которые бы успешно с ними конкурировали по части вычислительной эффективности.

В данной работе направление поиска способа ускорения сходимости МПИ

заключается в таком преобразовании отображения р, которое усиливало бы его сжимающие свойства. Этого можно добиться, построив итерационные процессы типа Манна [77]:

хк+1 = Хкр(хк) + (1 — Хк)хк, к = 0, 1, 2, ...,

где Хк € (0, 1). Также можно строить итерационные процессы Красносельского, Ишикавы и другие [33,83,92].

Обобщение А2 -процесса Эйткена на решение нелинейных функциональных уравнений в абстрактных пространствах называют методом Эйткена-Стеффенсена (или просто методом Стеффенсена) [14,40,41,84], в [10-12,32,54,76] методы типа Эйткена-Стеффенсена применены к решению нелинейных функциональных уравнений в абстрактных пространствах, в [10] для улучшения сходимости метода Эйткена-Стеффенсена введен параметр, в [13] рассмотрены блочные модификации параметризованного метода Эйткена-Стеффенсена, когда обратный оператор вычисляется через некоторое число итераций, а на промежуточных шагах обратные операторы аппроксимируются частичными суммами специального ряда, некоторое обобщение способа Эйткена-Стеффенсена изложено в [43], в работах [35-37] и других исследован аналог метода типа Эйткена-Стефенсена, основанный на методе линейной интерполяции [34]. В [61] проводится обзор существующих модификаций метода Эйткена-Стеффенсена: двухэтапные процедуры, методы высоких порядков сходимости для нелинейных скалярных уравнений, обобщения для решения систем нелинейных уравнений, предиктор-корректорные модификации, многоэтапные процедуры. Основные преимущества метода Эйткена-Стеффенсена по сравнению с классическим методом Ньютона и его модификациями:

1) метод не требует знания первой производной оператора, что позволяет применять его, когда, например, рассматриваемый оператор заведомо не является дифференцируемым в окрестности решения уравнения;

2) имеет второй порядок сходимости;

3) в ряде случаев фактически сходится быстрее метода Ньютона.

Обобщенные итерационные методы и результаты их изучения могут быть естественным образом применены к решению и исследованию конечномерных уравнений вида (0.2) и (0.3), а также операторных уравнений вида (0.4) и (0.5). Примерами таких операторных уравнений являются нелинейные интегральные уравнения и краевые задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений.

Несмотря на внушительное число методов приближенного решения нелинейных скалярных уравнений и систем, а также операторных уравнений, не теряет актуальности поиск новых методов, а также способов повышения эффективности известных хорошо зарекомендовавших себя в вычислительной практике методов.

Цели и задачи. Целью данной диссертации является обобщение А2 -процесса Эйткена в форме итераций Манна на системы нелинейных уравнений, на операторные уравнения в банаховых пространствах и применение полученных обобщений для задач математического моделирования, а именно, к модели электростатического пленочного реле, к модели взаимодействия иммунной системы и ВИЧ и к задаче о химически равновесном составе продуктов горения органического топлива. К задачам диссертационной работы относятся исследование сходимости рассматриваемых обобщений, указание требований, при которых они выигрывают по эффективности у классического метода Ньютона; демонстрация эффективности применения рассматриваемых обобщений в сравнении с классическим методом Ньютона и другими известными методами на конкретных прикладных задачах; программная реализация предложенных обобщений.

Научная новизна. Выполнено обобщение А2 -процесса Эйткена в форме итераций Манна на системы нелинейных уравнений и на операторные уравнения в банаховых пространствах; исследованы вопросы сходимости предложенных обобщений. Разработан расширяемый программный комплекс, реализующий построенные алгоритмы для решения задачи о неподвижной точке. Показано эффективное применение программного комплекса к конкретным прикладным задачам.

Теоретическая и практическая значимость. Теоретическая и практическая ценность работы состоит в том, что ее основные результаты вносят вклад

в теорию итерационных методов решения нелинейных уравнений. Разработанные обобщения А2 -процесса Эйткена и метода Вегстейна предоставляют принципиальные возможности улучшить сходимость и расширить границы применимости классических методов решения систем нелинейных уравнений и нелинейных операторных уравнений.

Необходимость решения нелинейных систем уравнений возникает при исследовании многих реальных задач (см., например, [2,4]). Интерес к численным методам решения таких задач обусловлен тем, что ввиду сложной внутренней структуры последних найти решение в явном виде удается лишь в исключительных случаях. Круг задач, описываемых нелинейными операторными уравнениями в функциональных пространствах и допускающих аналитическое решение, еще уже. К такого рода уравнениям относятся интегральные уравнения, которые возникают, например, в задачах геофизики, рентгеноспектрального анализа и других.

Представленные в диссертации численные методы и реализующий их программный комплекс позволяют при помощи современной вычислительной техники значительно расширить спектр задач, поддающихся моделированию и допускающих приближенное решение. Для демонстрации практической применимости разработанных методов в диссертации приводятся результаты численных экспериментов на модельных примерах (модель электростатического пленочного реле, модель взаимодействия иммунной системы и ВИЧ) и реальных задачах (задача о химически равновесном составе продуктов горения органического топлива).

Методология и методы исследования.

В основе исследования лежат понятия и методы теории итерационных процессов для решения нелинейных уравнений и систем уравнений (см., например, [40]). Так, следуя этой теории, строится обобщение А2 -процесса Эйткена и метода Вегстейна, выводятся условия сходимости, доказывается единственность получаемого решения, доказываются теоремы о порядке сходимости новых методов.

Обобщение методов на многомерный и бесконечномерный (функциональный) случаи потребовало для построения и исследования разрабатываемых чис-

ленных методов использования также аппарата функционального анализа [25], особенно обобщения понятий разделенных разностей на случай абстрактных банаховых пространств (см., например, [55,56]).

Программная реализация численных методов выполнена с применением языков программирования интерпретируемого типа, что, в частности, позволило принимать в качестве входных аргументов не только числовые и строковые параметры, но и код функций (например, функций правой части решаемых уравнений), и, используя встроенные функции типа еуа1 и £еуа1, производить вычисления без изменения основной программы. Также при расчетах была использована длинная арифметика [93], что позволило выполнить численные эксперименты с вычислительным порядком сходимости [86].

Положения, выносимые на защиту.

1. Разработаны, обоснованы и протестированы вычислительные методы в виде обобщений А2 -процесса Эйткена для нелинейных скалярных уравнений, систем нелинейных уравнений и нелинейных операторных уравнений. Получены достаточные условия глобальной сходимости и квадратичной сходимости предложенных методов в одномерном случае, получены достаточные условия сходимости в п -мерном случае. Для предложенного метода решения операторных уравнений получены достаточные условия сходимости нового метода, доказана единственность решения, доказана теорема о порядке сходимости нового метода. Метод приложен к системам нелинейных уравнений и к решению нелинейного операторного уравнения типа Гаммерштейна.

2. Развиты приближенные методы исследования математических моделей: модели электростатического пленочного реле, модели взаимодействия иммунной системы и ВИЧ.

3. Развиты приближенные методы исследования математической модели сгорания органического топлива. Предложен регуляризирующий алгоритм, учитывающий априорную информацию, для решения реальной прикладной задачи о равновесном составе продуктов горения органического топлива.

4. Разработанные вычислительные методы на базе А2 -процесса Эйткена реализованы в виде комплекса проблемно-ориентированных программ для проведения вычислительных экспериментов.

Степень достоверности результатов, апробация результатов. Достоверность полученных в диссертационной работе результатов подтверждается соответствующими математическими доказательствами и проведенными вычислительными экспериментами на тестовых примерах.

Основные результаты, представленные в диссертации, докладывались и обсуждались ранее на следующих научных мероприятиях: семинарах кафедры вычислительной математики и компьютерных наук Института естественных наук и математики УрФУ, семинаре отдела некорректных задач анализа и приложений ИММ УрО РАН, всероссийской научной конференции с международным участием «Теория управления и математическое моделирование» (Россия, Ижевск, 15 — 18 мая 2012 г.), международной научной конференции «Пятая конференция по численному анализу и приложениям» (Болгария, Лозенец, 15 — 20 июня 2012 г.), международной (44-ой всероссийской) молодежной школе-конференции «Современные проблемы математики» (Россия, Екатеринбург, 27 января — 02 февраля 2013 г.), международной конференции «8-ая конференция по прикладной математике и вычислениям в науке» (Хорватия, Шибеник, 10 — 14 июня 2013 г.), международной конференции «Объединенный иммунологический форум — 2013» (Россия, Нижний Новгород, 30 июня — 5 июля 2013 г.), международной научной конференции «Колмогоровские чтения-У1. Общие проблемы управления и их приложения» (Россия, Тамбов, 7—11 октября 2013 г.), международной (45-ой всероссийской) молодежной школе-конференции «Современные проблемы математики и ее приложений» (Россия, Екатеринбург, 02 — 08 февраля 2014 г.), XX всероссийской конференции, посвященной памяти К.И. Бабенко (Россия, Новороссийск, 15 — 20 сентября 2014 г.), всероссийской конференции с международным участием, посвященная памяти В.К. Иванова «Алгоритмический анализ неустойчивых задач» (Россия, Челябинск, 10 — 14 ноября 2014 г.), международной (47-ой

всероссийской) молодежной школе-конференции «Современные проблемы математики и ее приложений» (Россия, Екатеринбург, 31 января — 06 февраля 2016 г.), международной (48-ой всероссийской) молодежной школе-конференции «Современные проблемы математики и ее приложений» (Россия, Екатеринбург, 5 — 11 февраля 2017 г.), международной научной конференции «13-ая международная конференция по вычислительным методам в науке и технике» (Греция, Салоники, 21 —25 апреля 2017 г.)

По результатам диссертации лично автором и в соавторстве опубликовано 19 работ: 6 работ в российских рецензируемых журналах, рекомендованных ВАК [96-101]; 12 работ в других журналах и материалах всероссийских и международных конференций [103-114]; получено 1 свидетельство о государственной регистрации программ для ЭВМ в Роспатенте [102]. В совместных работах [96,97,112] научному руководителю принадлежат постановки задач и общее руководство проводимыми исследованиями, а диссертанту — разработка численных методов, доказательства теорем и компьютерное тестирование алгоритмов на примерах. В совместных работах [98,99,103,109,113] соавторами предложена модель, а диссертанту принадлежит разработка численных методов, доказательства теорем и численные эксперименты с моделями.

Структура работы. Диссертация состоит из введения, пяти глав, объединяющих 21 параграф, заключения и списка литературы. Общий объем диссертации 134 страниц, библиографический список включает 114 наименований. Диссертация содержит 9 рисунков и 17 таблиц. Нумерация параграфов сквозная. Нумерация формул двойная: в первой позиции указывается номер параграфа, в котором приведена формула, во второй — порядковый номер формулы в этом параграфе. Такая же нумерация принята для определений, лемм, теорем, примеров и таблиц. Нумерация рисунков одинарная сквозная. Все используемые обозначения объяснены в тексте работы там, где впервые встречаются.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Юманова, Ирина Фарисовна, 2017 год

Список литературы

1. Алемасов, В. Е. Термодинамические и теплофизические свойства продуктов сгорания: Справочник в 6 томах / В. Е. Алемасов, А. Ф. Дрегалин, А. П. Ти-шин, В. А. Худяков; под ред. В. П. Глушко. - М. : ВИНИТИ, 1971. 6 т.

2. Алемасов, В. Е. Теория ракетных двигателей: Учебник для студентов высших технических учебных заведений / В. Е. Алемасов, А. Ф. Дрегалин, А. П. Ти-шин. — М. : Машиностроение, 1989. — 464 с.

3. Алемасов, В. Е. Математическое моделирование высокотемпературных процессов в энергосиловых установках / В. Е. Алемасов, А. Ф. Дрегалин, В. Г. Крюков, В. И. Наумов. М. : Наука, 1989. — 285 с.

4. Алиев, А. В. Внутренняя баллистика РДТТ/РАРАН : практическое пособие / А. В. Алиев и др. — Москва : Машиностроение, 2007. — 504 с.

5. Алиев, А. В. Модели нестационарных термогазодинамических процессов в ракетных двигателях с учетом химического равновесия продуктов сгорания / А. В. Алиев, О. А. Воеводина, Е. С. Пушина // Наука и образование: научное издание МГТУ им. Н.Э. Баумана. — 2015. — №11. — С. 253—266.

6. Бартиш, М. Я. Возмущенные аналоги методов типа Ньютона-Канторовича. В кн. «Матем. сб.» / М. Я. Бартиш. — Киев : Наукова думка, 1976. — С. 59—62.

7. Бахвалов, Н. С. Численные методы / Н. С. Бахвалов, Н. П. Жидков, Г. М. Кобельков. — М. : Лаборатория Базовых Знаний, 2001. — 632 с.

8. Белов, Г. В. Термодинамическое моделирование: методы, алгоритмы, программы / Г. В. Белов. — М. : Научный Мир, 2002. — 184 с.

9. Бельтюков, Б. А. Об одном методе решения нелинейных функциональных уравнений / Б. А. Бельтюков // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. — 1965. — Т. 4, №6. — С. 927—931.

10. Бельтюков, Б. А. О возмущенном аналоге метода Эйткена-Стеффенсена для решения нелинейных операторных уравнений / Б. А. Бельтюков // Сибирский математический журнал. — 1974. — Т. XII, №5. — С. 983—1000.

11. Бельтюков, Б. А. К исследованию возмущенного аналога метода Эйткена-Стеффенсена / Б. А. Бельтюков // Сибирский математический журнал. — 1974. — Т. XV, №5. — С. 1172—1173.

12. Бельтюков, Б. А. Аналог метода Эйткена-Стеффенсена с управляемым шагом / Б. А. Бельтюков // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. — 1987. — Т. 27, №6. — С. 803—817.

13. Бельтюков, Б. А. Блочные модификации возмущенного метода Эйткена-Стеффенсена / Б. А. Бельтюков, С. С. Волокитин // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. — 1973. — Т. 13, №6. — С. 1390—1401.

14. Березин, И. С. Методы вычислений. Т. 2 / И. С. Березин, Н. П. Жидков. — М. : Физматгиз, 1962. — 639 с.

15. Бурдюгов, С. И. Утилизация твердотопливных ракетных двигателей (РДТТ) / С. И. Бурдюгов , М. А. Корепанов , Н. П. Кузнецов и др. — М. ; Ижевск: Ин-т компьютерных исследований, 2008. — 512 с.

16. Вайберг, М. М. Вариационные методы исследования нелинейных операторов / М. М. Вайберг. — М. : Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1956. — 345 с.

17. Васин, В. В. Некорректные задачи с априорной информацией / В. В. Васин, А. Л. Агеев. — Екатеринбург : Наука, 1993. — 264 с.

18. Васин, В. В. Операторы и итерационные процессы фейеровского типа. Теория и приложения / В. В. Васин, И. И. Еремин. — Екатеринбург : УрО РАН, 2005. — 208 с.

19. Вербук, В. М. Метод Вегстейна как модификация метода секущих / В. М. Вербук, Д. И. Мильман // Журнал вычислительной математики и математической физики. — 1977. — Т. 17, №2. — С. 507—508.

20. Вержбицкий, В.М. Численные методы (линейная алгебра и нелинейные уравнения). 2-е изд. / В. М. Вержбицкий. — М. : ОНИКС 21 век, 2005. — 431 с.

21. Вержбицкий, В. М. Основы численных методов. 3-е изд., стер. / В. М. Вержбицкий. — М. : Высш.шк., 2009. — 840 с.

22. Дэннис, Дж. Численные методы безусловной оптимизации и решения нелинейных уравнений / Дж. Дэннис, Р. Шнабель. — М. : Мир, 1988. — 440 с.

23. Загускин, В. Л. Справочник по численным методам решения уравнений /

B. Л. Загускин. — М. : Государственное издательство физико-математической литературы, 1960. — 216 с.

24. Калиткин, Н. Н. Численные методы / Н. Н. Калиткин. — М. : Наука, 1978. — 512 с.

25. Канторович, Л. В. Функциональный анализ / Л. В. Канторович, Г. П. Аки-лов. — М. : Наука, 1984. — 752 с.

26. Канторович, Л. В. Функциональный анализ и прикладная математика / Л. В. Канторович // УМН. — 1948. — Т. III, вып. 6. — С. 89—185.

27. Канторович, Л. В. О методе Ньютона / Л. В. Канторович // Тр. Матем. ин-та АН СССР. — 1949. — 28. — С. 104—144.

28. Карманов, В. Г. Математическое программирование / В. Г. Карманов. — М. : ФИЗМАТЛИТ, 2004. — 264 с.

29. Крылов, В. И. Вычислительные методы, том I / В. И. Крылов, В. В. Бобков, П. И. Монастырный. — М. : Наука, 1985. — 263 с.

30. Мак-Кракен, Д. Численные методы и программирование на ФОРТРАНе / Д. Мак-Кракен, У. Дорн. — М. : Мир, 1977. — 584 с.

31. Колмогоров, А. Н. Элементы теории функций и функционального анализа. 2-е изд. / А. Н. Колмогоров, С. В. Фомин. — М. : Наука, 1968. — 544 с.

32. Коппель, Х. О сходимости обобщенного метода Стеффенсена / Х. Коппель // Изв. АН ЭстССР, Сер. физ-матем. н. — 1966. — № 4. — С. 531—538.

33. Красносельский, М. А. Два замечания о методе последовательных приближений / М. А. Красносельский // Успехи математических наук. — 1955. — Т. X, вып. 1(63). — С. 123—127.

34. Курчатов, В. А. Об одном методе линейной интерполяции решения функциональных уравнений / В. А. Курчатов // ДАН СССР. — 1971. — Т. 198, №3. —

C. 524—526.

35. Курчатов, В. А. Об условиях сходимости одного метода линеаризации /

B. А. Курчатов // Изв. вузов. Матем. — 1978. — № 7. — С. 51—56.

36. Курчатов, В. А. Метод линеаризированных невязок для ускорения сходимости метода итерации / В. А. Курчатов // Изв. вузов. Матем. — 1979. — № 8. —

C. 34—44.

37. Курчатов, В. А. Метод линеаризированных невязок приближенного решения функциональных уравнений / В. А. Курчатов // Изв. вузов. Матем. — 1980. — № 1. — С. 27—33.

38. Лукьянова, Р. Г. Расчет статических параметров механической модели пленочного электростатического реле / Р. Г. Лукьянова, С. И. Фадеев, К. В. Шведова // Вычислительные системы. — 1970. — Вып. 40. — С. 3—35.

39. Мищенкова, О. В. Применение ЬИ- и QR-методов при решении задачи о равновесном составе продуктов химической реакции / О. В. Мищенкова, О. А. Воеводина // Вестник Ижевского государственного технического университета имени М. Т. Калашникова. — 2014. — №3. — С. 172—176.

40. Ортега, Дж. Итерационные методы решения нелинейных систем уравнений со многими неизвестными / Дж. Ортега, В. Рейнболдт. — М. : Издательство «МИР», 1970. — 560 с.

41. Островский, А. М. Решение уравнений и систем уравнений / А. М. Островский. — М. : Издательство иностранной литературы, 1963. — 220 с.

42. Программа «Термодинамика» // Каталог инновационных разработок Ижевского государственного технического университета. 2-е изд., доп. и перераб. Ижевск: Изд-во ИжГТУ, 2001. — С. 95.

43. Прокопченко, А. В. Об итерационных процессах высших порядков / А. В. Про-копченко // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. — 1974. — Т. 14, №1. — С. 230—233.

44. Роозе, А. Набор тестовых систем нелинейных уравнений. Изд. 2 / А. Роозе, В. Кулла, М. Ломп, Т. Мерессоо. — Таллинн : Валгус, 1989. — 132 с.

45. Самарский, А. А. Численные методы / А. А. Самарский, А. В. Гулин. — М. : Наука, 1989. — 432 с.

46. Сергеев, А. С. О методе хорд / А. С. Сергеев // Сиб. матем. журн. — 1961. — Т. 2, №2. — С. 282—289.

47. Сергеев, А. С. О сходимости некоторых вариантов метода хорд в нормированных пространствах / А. С. Сергеев // Сборник научных трудов Пермского политехнического института. — 1963. — № 13. — С. 43—54.

48. Соркин, Р. Е. Теория внутрикамерных процессов в ракетных системах на твердом топливе / Р. Е. Соркин. — М.: Наука, 1983. — 288 с.

49. Талдыкин, А. Т. Элементы прикладного функционального анализа / А. Т. Тал-дыкин. — М. : Высш. шк., 1982. — 384 с.

50. Термодинамические и теплофизические свойства твердых ракетных топлив и их продуктов сгорания / под ред. В. Е. Алемасова. — М. : Министерство обороны СССР, 1977. — 316 с.

51. Трауб, Дж. Итерационные методы решения уравнений / Дж. Трауб. — М. : Мир, 1985. — 263 с.

52. Треногин, В. А. Функциональный анализ / В. А. Треногин. — М. : Наука, 1980. — 496 с.

53. Турчак, Л. И. Основы численных методов. 2-е изд. / Л. И. Турчак, И. В. Плотников. — М. : ФИЗМАТЛИТ, 2003. — 304 с.

54. Ульм, С. Ю. Обобщение метода Стеффенсена для решения нелинейных операторных уравнений / С. Ю. Ульм // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. — 1964. — Т. 4, № 6. — С. 1093—1097.

55. Ульм, С. Ю. Об обобщенных разделенных разностях, I / С. Ю. Ульм // Изв. АН ЭстССР, Сер. физ-матем. н. — 1967. — Т. 16, № 1. — С. 13—26.

56. Ульм, С. Ю. Об обобщенных разделенных разностях, II / С. Ю. Ульм // Изв. АН ЭстССР, Сер. физ-матем. н. — 1967. — Т. 16, № 2. — С. 146—156.

57. Хаусхолдер, А. С. Основы численного анализа / А. С. Хаусхолдер. — М. : Иностранная литература, 1956. — 320 с.

58. Шаманский, В. Е. Методы численного решения краевых задач на ЭЦВМ. Часть 2 — Нелинейные краевые задачи и задачи на собственные значения для дифференциальных уравнений / В. Е. Шаманский. — Киев : Наукова думка, 1966. — 244 с.

59. Ababneh, O. Y. New Newton's Method with Third-order Convergence for Solving Nonlinear Equations / O. Y. Ababneh // International Journal of Mathematical, Computational, Physical, Electrical and Computer Engineering. — 2012. — Vol. 6, No. 1. — pp. 118—120.

60. Abad, M. F. Fourth- and Fifth-Order Methods for Solving Nonlinear Systems of Equations: An Application to the Global Positioning System / M. F. Abad, A. Cordero, J. R. Torregrosa // Hindawi Publishing Corporation Abstract and Applied Analysis. — 2013. — Vol. 2013. — Article ID 586708, 10 pages.

61. Advances in Iterative Methods for Nonlinear Equations / S. Amat, S. Busquier (Eds.). — Springer International Publishing, 2016. — 286 p.

62. Agarwal, R. P. Iterative construction of fixed points of nearly asymptotically nonexpansive mappings / R. P. Agarwal, D. O'Regan, D. R. Sahu //J. Nonlinear Convex Anal. — 2007. — 8(1). — pp. 61—79.

63. Aitken, A. On Bernoulli's numerical solution of algebraic equations / A. Aitken // Proceedings of the Royal Society of Edinburgh. — 1926. — Vol. 46. — pp. 289—305.

64. Amat, S. Convergence and Numerical Analysis of a Family of Two-Step Steffensen's Methods / S. Amat, S. Busquier // Computers^ Mathematics with Applications. — 2005. — Vol. 49(1). — pp. 13-22.

65. Amat, S. Expanding the Applicability of a Third Order Newton-Type Method Free of Bilinear Operators / S. Amat, S. Busquier, C. Bermudez, A. A. Magrenan // Algorithms. — 2015. — 8(3). — pp. 669-679; doi:10.3390/a8030669

66. Berinde, V. Iterative Approximation of Fixed Points / V. Berinde. — Berlin : Springer, 2007. — 326 p.

67. Brezinski, C. Convergence acceleration during the 20th century / C. Brezinski // Journal of Computational and Applied Mathematics. — 2000. — Vol. 122. — pp. 1-21.

68. Chugh, R. Strong convergence of a new three step iterative scheme in Banach spaces / R. Chugh, V. Kumar, S. Kumar // American Journal of Computational Mathematics. - 2012. - Vol. 2. - pp. 345-357.

69. Cordero, A. Variants of Newton's Method using fifth-order quadrature formulas / A. Cordero, J. R. Torregrosa // Applied Mathematics and Computation. - 2007.

- 190 (2007). - pp. 686-698.

70. Ezquerro, J. A. On Iterative Methods with Accelerated Convergence for Solving Systems of Nonlinear Equations / J. A. Ezquerro, M. Grau-Sanchez, A. Grau, M. A. Hernandez, M. Noguera, N. Romero //J. Optim. Theory Appl. - 2011. -151. - pp. 163-174.

71. Ezquerro, J. A. On Halley-Type Iterations with Free Second Derivative / J. A. Ezquerro, M. A. Hernandez //J. Comput. Appl. Math. - 2004. - Vol. 170.

- pp. 455-459.

72. Frontini, M. Some variant of Newton's method with third-order convergence / M. Frontini, E. Sormani // Applied Mathematics and Computation. - 2003. -Vol. 140, Iss. 2-3. - pp. 419-426.

73. Ishikawa, S. Fixed points by a new iteration method / S. Ishikawa // PROCEEDINGS OF THE AMERICAN MATHEMATICAL SOCIETY. - 1974. -Vol. 44, № 1. - pp. 147-150.

74. Kirschner, D. E. Resistance, Remission, and Qualitative Differences in HIV Chemotherapy / D. E. Kirschner, G. F. Webb // Emerging Infectious Diseases. -1997. - Vol. 3, No. 3. - pp. 273-283.

75. Kumar, S. M. A Six-order Variant of Newton's Method for Solving Nonlinear Equations / S. M. Kumar // COMPUTATIONAL METHODS IN SCIENCE AND TECHNOLOGY. - 2009. - Vol. 15(2). - pp. 185-193.

76. Kuo-Wang, C. Generalization of Steffensen's method for operator equations in Banach space / C. Kuo-Wang // Commentationes Mathematicae Universitatis Carolinae. - 1964. - Vol. 5, Iss. 2. - pp. 47-77.

77. Mann, W. R. Mean value methods in iteration / W. R. Mann // Proc. Amer. Math. Soc. - 1953. - 44 (1953). - pp. 506-510.

78. Maruster, St. Quasi-nonexpansivity and the convex feasibility problem / St. Maruster // Scientific Annals of Cuza University. - 2005. - Vol. 15. - pp. 47-56.

79. Noor, M. A. Some iterative methods for solving a system of nonlinear equations / M. A. Noor, M. Waseem // Computers and Mathematics with Applications. -2009. - 57 (2009). - pp. 101-106.

80. Rhoades, B. E. The equivalence between the convergences of Ishikawa and Mann iterations for an asymptotically pseudocontractive map / B. E. Rhoades, S. M. Soltuz //J. Math. Anal. Appl. - 2003. - Vol. 283 (2003). - pp. 681-688.

81. Rhoades, B. E. The equivalence of Mann iteration and Ishikawa iteration for non-Lipschitzian operators / / B. E. Rhoades, S. M. Soltuz // Int. J. Math. Math. Sci. - 2003. - Vol. 2003 (2003). - pp. 2645-2652.

82. Rhoades, B. E. The equivalence between Mann-Ishikawa iterations and multistep iteration / B. E. Rhoades, S. M. Soltuz // Nonlinear Anal. TMA. - 2004. - Vol. 58 (2004). - pp. 219-228.

83. Soltuz, S. F. The equivalence between Krasnoselskij, Mann, Ishikawa, Noor and multistep iterations / S. F. Soltuz // Mathematical Communications. - 2007. -Vol. 12. - pp. 53- 61.

84. Steffensen, I. T. Remarks on iteration / I. T. Steffensen // Scandinavian Actuarial Journal. - 1933. - Vol. 1933, № 1. - pp. 64-72.

85. Thukral, R. Further development of Jarratt method for solving nonlinear equations / R. Thukral // Advances in Numerical Analysis. - 2012. - Vol. 2012. -Article ID 493707.

86. Weerakoon, S. A variant of Newton's method with accelerated third-order convergence / S. Weerakoon, T. G. I. Fernando // Applied Mathematics Letters. — 2000. — Vol. 13(2000). — pp. 87—93.

87. Wegstein, J. H. Accelerating convergence of iterative processes / J. H. Wegstein // Communications of the ACM. — 1958. — Vol. 1, Iss. 6. — pp. 9—13.

88. Willers, F. A. Anschauliches zur Konverger z des Iterationsverfahrens von Steffensen / F. A. Willers // Z. angew. Math, und Mech. — 1948. — Vol. 28, № 4. — pp. 125—126.

89. Xue, Z. Q. Remarks of equivalence among Picard, Mann, and Ishikawa iterations in normed spaces / Z. Q. Xue // Fixed Point Theory and Applications. — 2007. — Vol. 2007. — Article ID: 61434.

90. Yamamoto, T. Historical developments in convergence analysis for Newton's and Newton-like methods / T. Yamamoto // Journal of Computational and Applied Mathematics. — 2000. — Vol. 124, №1-2. — pp. 1—23.

91. Yang, L. The equivalence between the convergence of Ishikawa-Mann iterations and multistep iteration / L. Yang // Houston J. Math. — 2008. — Vol. 34 (4). — pp. 1259—1269.

92. Zhiqun, X. Remarks of Equivalence among Picard, Mann, and Ishikawa Iterations in Normed Spaces / X. Zhiqun // Hindawi Publishing Corporation Fixed Point Theory and Applications. — 2007. — Vol. 2007. — Article ID 61434, 5 pages.

93. Multiprecision Computing Toolbox for MATLAB [Электронный ресурс]. Advanpix.com. 2006—2017 URL: http://www.advanpix.com. (Дата обращения: 22.05.2017).

94. MathWorks Documentation. Function fsolve: [Электронный ресурс]. The MathWorks, Inc. 1994—2017. URL: https://nl.mathworks.com/help/optim/ug/fsolve.html. (Дата обращения: 22.05.2017).

95. MathWorks Documentation. Equation Solving Algorithms: [Электронный ресурс]. The MathWorks, Inc. 1994—2017. URL:

https://www.mathworks.com/help/optim/ug/equation-solving-algorithms.html? requestedDomain=nl.mathworks.com. (Дата обращения: 22.05.2017).

ПУБЛИКАЦИИ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

Статьи, опубликованные в научных изданиях, определенных ВАК:

96. Вержбицкий, В. М. Об одном аналоге метода Вегстейна ускорения сходимости итерационных процессов / В. М. Вержбицкий, И. Ф. Юманова // Интеллектуальные системы в производстве. — 2010. — №1(15). — С. 18—28.

97. Вержбицкий, В. М. О квадратичной сходимости А2 -процесса Эйткена /

B. М. Вержбицкий, И. Ф. Юманова // Журнал вычислительной математики и математической физики. — 2011. — Т. 51, №10. — С. 1770—1774.

98. Солодушкин, С. И. Анализ модели ВИЧ: идентификация параметров и численные эксперименты / С. И. Солодушкин, И. Ф. Юманова // Вестник Тамбовского университета. Серия: естественные и технические науки. — 2013. — Т. 18, № 5-2. — С. 2683—2684.

99. Юманова, И. Ф. Определение химически равновесного состава продуктов сгорания органического топлива / И. Ф. Юманова, О. А. Воеводина // Вестник Ижевского государственного технического университета. — 2013. — №2(58). —

C. 154—156.

100. Юманова, И. Ф. Об одном методе идентификации параметров в системах обыкновенных дифференциальных уравнений на примере модели взаимодействия иммунной системы и ВИЧ / И. Ф. Юманова // Российский иммунологический журнал. — 2013. — Т. 7(16), №2—3. — С. 181.

101. Юманова, И. Ф. Об одном аналоге метода Стеффенсена для решения нелинейных операторных уравнений / И. Ф. Юманова // Вестник Удмуртского университета. Математика. Механика. Компьютерные науки. — 2016. — Т. 26, вып. 4. — С. 579—590.

Патенты и свидетельства о регистрации программ:

102. Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ № 2013616374 «Решение конечномерных задач о неподвижной точке на основе адаптивных алгоритмов» / И. Ф. Юманова. — Федеральная служба по интеллектуальной собственности (Роспатент). Зарегистрировано 04 июля 2013 г.

Другие публикации:

103. Солодушкин, С. И. Идентификация параметров в модели ВИЧ на параллельном вычислителе / С. И. Солодушкин, А. В. Ким, И. Ф. Юманова // Теоретические основы и конструирование численных алгоритмов решения задач математической физики: тезисы XX всероссийской конференции, посвященной памяти К.И. Бабенко. — 2014. — С. 94—95.

104. Юманова, И. Ф. Новые модификации метода простых итераций / И. Ф. Юманова // Материалы XII студенческой научной конференции кафедры ПМИ ИжГТУ. — 2010. — С. 28.

105. Юманова, И. Ф. Об итерационном процессе Манна-Вегстейна / И. Ф. Юманова // Материалы XIII студенческой научной конференции кафедры ПМИ ИжГТУ. — 2011. — С. 36—37.

106. Юманова, И. Ф. Модификации метода Вегстейна как итерации Манна-Ишикавы / И. Ф. Юманова // Материалы XIV студенческой научной конференции кафедры ПМИ ИжГТУ. — 2012. — С. 31—32.

107. Юманова, И. Ф. Модифицированный метод Вегстейна с модулями / И. Ф. Юманова // Теория управления и математическое моделирование : труды конференции. — 2012. — С. 99—100.

108. Юманова, И. Ф. О применении метода Вегстейна к нелинейным системам / И. Ф. Юманова // Современные проблемы математики. Тезисы международной (44-ой всероссийской) молодежной школы-конференции. — 2013. — С. 166—169.

109. Юманова, И. Ф. Определение состава химически реагирующего топлива / И. Ф. Юманова, О. А. Воеводина // Математическое моделирование в обра-

зовании, науке и производстве: тезисы в VIII международной конференции. — 2013. — С. 177—178.

110. Юманова, И. Ф. О применении метода Вегстейна к идентификации параметров в системах обыкновенных дифференциальных уравнений / И. Ф. Юманова // Современные проблемы математики. Тезисы международной (45-ой всероссийской) молодежной школы-конференции. — 2014. — С. 284—286.

111. Юманова, И.Ф. Ускорение сходимости итерационных методов идентификации параметров на примере модели ВИЧ / И. Ф. Юманова // Тезисы докладов Всероссийской конференции с международным участием, посвященная памяти В.К. Иванова «Алгоритмический анализ неустойчивых задач». — 2014. — С. 172—173.

112. Verzhbitskii, V. M. One specification of Mann—Ishikawa iterations / V. M. Verzhbitskii, I. F. Yumanova // NNA'12: Fifth Conference on Numerical Analysis and Applications. Abstracts (June 15—20, 2012, Lozenets). — 2012. — P. 54.

113. Iumanova, I.F. Adaptive Wegstein method for a coefficient inverse problem for one model of HIV infection / I. F. Iumanova, S.I. Solodushkin // CEUR Workshop Proceedings. — 2016. — V. 1662. — P. 261—267.

114. Yumanova, I. F. The solving of finite-dimensional fixed point problem with adaptive algorithms based on Mann—Ishikawa iterations / I. F. Yumanova // Theses of the 8th Conference on Applied Mathematics and Scientific Computing. — 2013. — P. 54—55.