Построение оптимальных траекторий кооперативного движения беспилотных летательных аппаратов с использованием расширенных многочленов Бернштейна и годографа Пифагора тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 00.00.00, кандидат наук Ганьшин Константин Юрьевич

• Ганьшин Константин Юрьевич
• кандидат наук
• 2023

Оглавление диссертации кандидат наук Ганьшин Константин Юрьевич

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА 1. МЕТОДЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ ТРАЕКТОРНОГО УПРАВЛЕНИЯ ГРУППОЙ БПЛА

1.1 Анализ методов моделирования динамики мультироторных беспилотных летательных аппаратов

1.1.1 Формальное представление динамической модели четырёхроторного БПЛА

1.1.2 Упрощённые модели на основе методов системной идентификации

1.1.3 Нейросетевые методы определения динамической модели квадрокоптера

1.2 Анализ методов управления с прогнозирующими моделями

1.3 Методы генерации траекторий для беспилотных летательных аппаратов

1.4 Методы группового управления мультироторными БПЛА

1.5 Формулировка научной задачи и обоснование частных научных задач диссертационного исследования

1.6 Выводы по главе

ГЛАВА 2. РАЗРАБОТКА МЕТОДА ОПТИМИЗАЦИИ ТРАЕКТОРИЙ ОБЛЁТА СРЕДЫ С ПРЕПЯТСТВИЯМИ НА ОСНОВЕ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ КРИВЫХ БЕЗЬЕ С ГОДОГРАФОМ ПИФАГОРА

2.1 Обоснование выбора способа генерации пространственных траекторий

2.2 Разработка метода оптимизации найденного пути кривыми Безье с годографом Пифагора

2.2.1 Определение пространственной кривой Безье пятого порядка с годографом Пифагора

2.2.2 Разработка метода проецирования трёх пространственных точек на плоскость

2.2.3 Разработка метода упрощённого определения параметров пространственных кривых Безье с годографом Пифагора

2.3 Вывод метода построения оптимальных траекторий

2.4 Разработка метода облёта неизвестных препятствий

2.4.1 Разработка метода облёта препятствий на основе алгоритма де Кастельжо

2.4.2 Разработка метода облёта препятствий на основе метода виртуальных потенциальных полей

2.5 Построение математической модели управления четырёхроторными БПЛА на основе MPC

2.5.1 Обоснование выбора системы управления

2.5.2 Математическая модель БПЛА в форме Лагранжа

2.5.3 Построение системы ограничений MPC

2.5.4 Обоснование выбора оптимизатора MPC

2.6 Разработка численного метода поиска решений на основе метода штрафных функций и ускорения итерационных процессов Эйткина

2.7 Вывод метода траекторного управления на основе кривых Безье с годографом Пифагора

2.8 Выводы по главе

ГЛАВА 3. РАЗРАБОТКА МЕТОДА ГРУППОВОГО УПРАВЛЕНИЯ БПЛА С ОБЛЕТОМ ПРЕПЯТСТВИЙ И ПОДДЕРЖАНИЕМ ФОРМАЦИИ

3.1 Разработка метода перемещения группы агентов без поддержания формации

3.2 Разработка метода перемещения группы агентов с поддержанием формации

3.2.1 Описание метода треугольной сетки

3.2.2 Масштабирование математической модели траекторного управления и поддержания формации группы автономных БПЛА

3.2.3 Масштабирование метода траекторного управления для перемещения группы агентов

3.3 Выводы по главе

ГЛАВА 4. РАЗРАБОТКА ПРОГРАММНОГО КОМПЛЕКСА ГРУППОВОГО УПРАВЛЕНИЯ. ОЦЕНКА ЭФФЕКТИВНОСТИ МЕТОДОВ

4.1 Определение технологий, используемых в разработке

4.1.1 Выбор программного обеспечения среднего слоя

4.1.2 Выбор системы представления карты местности

4.1.3 Выбор библиотеки для решения оптимизационных задач

4.2 Проектирование архитектуры программного комплекса

4.2.1 Модуль картографического сервера и модуль узла представления карты

4.2.2 Модуль планировщика траекторий

4.2.3 Модуль управления на основе MPC

4.2.4 Модуль сбора и передачи групповых состояний

4.2.5 Модуль интерфейса управления БПЛА

4.2.6 Модуль пользовательского терминала

4.3 Анализ эффективности работы программного комплекса

4.3.1 Определение условий экспериментов

4.3.2 Эксперимент с полётом отдельного БПЛА в составе группы

4.4 Выводы по главе

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Построение оптимальных траекторий кооперативного движения беспилотных летательных аппаратов с использованием расширенных многочленов Бернштейна и годографа Пифагора»

ВВЕДЕНИЕ

Актуальность темы исследования и степень её разработанности

На сегодняшний день стремительное развитие получают летательные робототехнические системы по типу малогабаритных мультироторных летательных аппаратов, которые способны не только перемещаться в воздушном пространстве, но и удерживать свою позицию в нём. Данные роботы используются во многих сферах: транспортировка объектов, обеспечение охранного периметра, проведение видеосъёмок, сканирование местности с целью получения трёхмерной её модели, картографирование земных поверхностей, применение в развлекательных шоу. Помимо одиночного управления, данные средства часто используются в наиболее перспективной области робототехники - групповой робототехнике. Формирование групп из мультироторных агентов позволяет ускорить выполнение исследовательских задач на местности и повысить отказоустойчивость общей системы, но вместе с тем возникают следующие проблемы: описание механизма распределения задач, разработка подсистемы траекторного управления.

Данное исследование касается проблемы траекторного управления группой БПЛА: существует множество подходов, решающих данную задачу, где эффективность её выполнения определяется одним из нескольких критериев: время генерации траектории, длина конечной траектории, гладкость траектории. Диссертационная работа посвящена математическому моделированию движения БПЛА для построения гладких проходимых траекторий с целью снижения ошибки отклонения траектории автономного БПЛА от оптимальной, а также разработке программного комплекса траекторного управления группой, который включает в себя разработанный метод генерации гладких траекторий и метод траекторного управления, которые вместе позволяют минимизировать ошибку слежения за траекторией каждым отдельным БПЛА из всей группы. В исследуемой области

обнаружено противоречие: стандартная ошибка отклонения траектории автономного БПЛА от оптимальной под воздействием случайных факторов, составляет 20%, правило трёх сигм при использовании методов траекторного управления на основе линейно-кусочных траекторий.

Объект исследования: группа автономных четырёхроторных летательных аппаратов.

Предмет исследования: математические методы и алгоритмы траекторного управления группой автономных БПЛА.

Цель исследования: снижение ошибки отклонения движения отдельного БПЛА от заданной траектории в автономной группе БПЛА.

Научная задача состоит в разработке метода оптимизации, численного метода и программного комплекса для генерирования кратчайших траекторий группы БПЛА, следование по которым обеспечит минимальную ошибку отклонения от заданного пути.

Для решения научной задачи необходимо произвести её декомпозицию на следующие частные научные задачи:

1. Разработка математической модели управления движением автономного БПЛА и на ее основе - метода построения оптимальных траекторий, позволяющего получать гладкие проходимые траектории с высокой масштабируемостью для перемещения группы БПЛА.

2. Разработка метода оптимизации траекторий движения БПЛА, позволяющего получать гладкие проходимые траектории, с высокой масштабируемостью для перемещения группы автономных БПЛА.

3. Разработка численного метода решения задачи построения оптимальных траекторий движения и поддержания формации группы автономных БПЛА.

4. Масштабирование математической модели траекторного управления и поддержания формации группы автономных БПЛА.

5. Разработка программного комплекса управления группой автономных БПЛА, позволяющего строить гладкие проходимые траектории, применимые для кооперативного параллельного перемещения группы.

Положения, выносимые на защиту:

1. Математическая модель управления движением автономного БПЛА, позволяющая получать гладкие проходимые траектории для перемещения группы автономных БПЛА за счёт параметризации кривых Безье с годографом Пифагора.

2. Численный метод решения задачи построения оптимальных траекторий движения и поддержания формации группы автономных БПЛА.

3. Программный комплекс управления группой автономных БПЛА, позволяющий строить гладкие проходимые траектории, применимые для кооперативного параллельного перемещения группы.

Научная новизна:

1. Впервые в работе предложен новый подход к построению оптимальных траекторий группой автономных БПЛА с применением кривых Безье, аппроксимируемых расширенными многочленами Бернштейна;

2. Разработан новый метод оптимизации траекторий движения БПЛА, отличающийся от известных использованием пространственных кривых Безье 5-го порядка с годографом Пифагора, что позволило снизить ошибку слежения до 7%.

3. Разработан численный метод решения задачи построения оптимальных траекторий движения и поддержания формации группы автономных БПЛА, отличающийся от известных использованием прогнозирующих моделей (MPC), оптимизируемых методом штрафных функций, что позволило увеличить скорость движение БПЛА за счёт сокращения времени расчета оптимальной траектории.

4. Разработан программный комплекс управления группой автономных БПЛА, позволяющий строить гладкие проходимые траектории, применимые для кооперативного параллельного перемещения группы, отличающийся от известных использованием простой параметризации кривых Безье с годографом Пифагора.

Практическая значимость определяется прикладным характером диссертационных исследований, направленных на построение гладких проходимых траекторий автономных БПЛА, применимых для кооперативного параллельного перемещения группы на местности со сложным рельефом. В работе получены следующие важные практические результаты: применение

разработанного метода оптимизации траекторий движения БПЛА, отличающегося от известных использованием пространственных кривых Безье 5-го порядка с годографом Пифагора, позволило снизить ошибку слежения до 7%; применение методов прогностического управления позволило уменьшить ошибку по углам Эйлера (крен, тангаж, рысканье) на 15% и достичь относительного значения в 6% по сравнению с вычисленным значением по математической модели; ошибка по отслеживаемым координатам также показала уменьшение относительного значения на 11% по сравнению с решениями на основе традиционных методов автоматического управления. Разработан уникальный программный комплекс автономного управления гомогенной группой автономных четырёхроторных БПЛА, позволяющий строить гладкие проходимые траектории, применимые для кооперативного параллельного перемещения группы.

Теоретическая значимость результатов диссертационной работы определяется развитием методов: поиска и построения пути в трёхмерных средах с препятствиями; оптимизации пространственных кривых Безье, апроксимируемых расширенными многочленами Бернштейна, для построения гладких проходимых траекторий; построения пространственных кривых Безье в кватернионном базисе; решения нелинейных оптимизационных задач на основе метода штрафных функций, а также численного метода решения задачи построения оптимальных траекторий движения и поддержания формации группы автономных БПЛА.

Методология и методы исследования. Решение поставленных в работе задач осуществлялось с применением алгоритмов и методов теории управления, методов нелинейного математического программирования, алгоритмов управления с прогнозирующими моделями.

Апробация работы: основные материалы докладывались и обсуждались на следующих международных, всероссийских конференциях и семинарах, а также выполнялись при поддержке следующих грантов и внедрены на следующих предприятиях:

• Грант РФФИ «Аспиранты» от сентября 2020 года, название проекта: «Построение безопасных траекторий кооперативного движения беспилотных

летательных аппаратов с использованием расширенных многочленов Бернштейна и годографа Пифагора», номер ЦИТиС: АААА-А20-120090490111-6;

• III Международная научная конференция MIP Engineering-III 2021: Модернизация, Инновации, Прогресс: Передовые технологии в материаловедении, машиностроении и автоматизации, 29-30 апреля 2021 г. Красноярск, Россия;

• VI Международная научная конференция «Нелокальные краевые задачи и родственные проблемы математической биологии, информатики и физики», 5-9 декабря 2021г., Нальчик;

• III Международная научная конференция «Современные проблемы прикладной математики, информатики и механики» и Школа молодых ученых: «Актуальные вопросы подготовки кадров высшей квалификации». Место проведения: база КБГУ в п. Эльбрус. (ЭУНК), 23 - 26 июня 2022.

• Свидетельство о регистрации программы для ЭВМ 2023617125 «FlockODrones - комплекс автономного управления группой БПЛА»

• Акт о внедрении результатов диссертационной работы в ПАО «Сигнал».

• Акт о внедрении результатов диссертационной работы в ГК «Стилсофт».

Публикации. По тематике исследования всего опубликовано 10 научных работ общим авторским объемом 2.775 п.л., из них 4 статьи в журналах из перечня ВАК РФ, Scopus, MathSciNet, zbMATH [29, 108, 110, 112] по шифру специальности 1.2.2; 5 публикаций в сборниках статей и научных докладов [109, 111, 113, 115, 116]; 1 свидетельство о государственной регистрации программ для ЭВМ [117].

При использовании в публикациях и в тексте диссертационной работы результатов и материалов других авторов, на первоисточники представлены корректные библиографические ссылки.

В работах, опубликованных совместно с Д.Л. Винокурским, О.С. Мезенцевой, Ф.В. Самойловым [110, 112], авторский вклад заключается в разработке метода генерации траекторий на основе кривых Безье с годографом

Пифагора. В работе, опубликованной совместно с Д.Л. Винокурским, О.С. Мезенцевой, Ф.В. Самойловым [108], авторский вклад заключается в решении задачи перестроения существующей траектории с помощью алгоритма де Кастельжо. В работе [29], выполненной совместно с О.С. Мезенцевой, Я.С. Агахановой, авторский вклад представлен разработкой алгоритма интерполяции криволинейных траекторий пространственными кривыми Безье пятого порядка с годографом Пифагора. В работе [113], опубликованной совместно с Д.Л. Винокурским, О.С. Мезенцевой, Ф.В. Самойловым, авторский вклад заключается в разработке численного метода решения оптимизационной задачи управления группой летательных агентов. Авторский вклад в работах [109, 116], опубликованных совместно с Д.Л. Винокурским, О.С. Мезенцевой, Ф.В. Самойловым, заключается в разработке математических моделей четырёхроторных БПЛА, используемых в решении задачи группового управления с методами на основе прогнозирующих моделей. В работе [111], выполненной совместно с Д.Л. Винокурским и Ф.В. Самойловым, авторский вклад заключается в разработке метода поддержания формации группы агентов. В работе [115], выполненной совместно с В.И. Дроздовой, Г.В. Шагровой, Д.Л. Винокурским, авторский вклад заключается в разработке метода облёта препятствий, ранее представленном в работе [108]. Авторский вклад в работе [117] заключается в программной реализации разработанных методов и моделей в составе программного комплекса для ЭВМ.

Структура и объём работы. Диссертационная работа состоит из введения, 4-х глав, заключения, списка литературы, включающего 118 источников, и изложена на 129 страницах машинописного текста.

В первой главе настоящей работы производится анализ литературы по тематике исследования: рассмотрение способов моделирования динамической системы четырёхроторных беспилотных летательных аппаратов; анализ существующих подходов к траекторному управлению как единичными, так и множественными агентами в составе группы; анализ подходов к генерации траектории различными методами, приведение результатов сравнения наиболее

подходящих подходов, среди которых - методы поиска пути на равномерных пространственных сетках, использующих теорию графов, и вероятностные методы, осуществляющие поиск пути по случайным пространственным выборкам. В конце главы осуществляется постановка задачи и вывод частных задач исследования.

Вторая глава посвящена решению первой и второй частных научных задач: разработан метод оптимизации траекторий движения БПЛА на основе пространственных кривых Безье (5-го порядка с годографом Пифагора), а также разработан численный метод поиска оптимального решения методом штрафных функций с применением ускорения сходимости итерационных процессов методом Эйткина.

В третьей главе осуществляется расширение метода траекторного управления, предложенного во второй главе, за счёт добавления ограничений к методу MPC по получению векторов состояний соседних агентов. Для группового управления предложен метод, устанавливающий агенты в узлах треугольной сетки. Формация агентов представляет собой расширение метода траекторного управления единичным агентом на основе MPC.

В четвёртой главе приводится обоснование выбора программных и аппаратных средств, необходимых для использования в составе программного комплекса и постановки экспериментов. Осуществляется вывод условий для постановки экспериментов, приводятся параметры ограничений, необходимых для устойчивой работы управления на основе прогнозирующих моделей.

В заключении сделаны выводы по всем этапам исследования.

ГЛАВА 1. МЕТОДЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ ТРАЕКТОРНОГО УПРАВЛЕНИЯ ГРУППОЙ БПЛА

На данный момент развитие групповых робототехнических систем обусловлено тенденцией замены человеческого труда в задачах картографирования местности и исследования закрытых помещений, спасательных операциях, транспортировке объектов и многих других. Данные задачи изначально переносились на единичных беспилотных роботов, однако при исследованиях крупных пространств возможно выполнение работ с большей скоростью и отказоустойчивостью за счёт применения множества агентов. Использование многоагентных систем сопряжено с множеством проблем, возлагающихся на исследователей, в числе которых стоят задачи построения оптимальных траекторий движения аппаратов, обнаружение и обход препятствий, возникающих по ходу перемещения, синтез устойчивой системы управления, способной вести аппараты по заданным траекториям при минимальных энергетических затратах.

В работах по траекторному управлению приводятся разработки в следующих областях:

1. Алгоритмы генерации траекторий для единичных агентов;

2. Методы построения формации групп БПЛА;

3. Математические модели БПЛА.

1.1 Анализ методов моделирования динамики мультироторных беспилотных летательных аппаратов

На данный момент существует множество различных конфигураций миниатюрных беспилотных летательных аппаратов (вертолёты, самолёты вертикального взлёта и посадки и т.д.), однако в данном разделе будут рассматриваться четырёхроторные летательные аппараты.

Четырёхроторный летательный аппарат (квадрокоптер) впервые был создан в 1922 году и представлял собой устройство массой в 1700 кг с X-образным шасси, подъёмную силу же создавали четыре шестилопастных винта диаметром в 8.1 метра каждый с изменяемым углом атаки. Отмечается, что данный аппарат обладал недостаточной тяговооружённостью, плохой отзывчивостью, сложной управляемостью и был механически сложно устроен. Как следует из опыта лётчиков описываемого аппарата, устройство не было снабжено автоматическими системами управления, способными осуществлять стабильный полёт и обеспечивать пилотов простыми манипуляторами для осуществления перемещения в пространстве. До последних лет отсутствовали исследования и разработки с применением четырёхвинтовых летательных аппаратов. Современные методы и подходы к управлению мультироторными летательными аппаратами предполагают моделирование динамики аппарата и дальнейший синтез системы управления на основе полученной модели.

1.1.1 Формальное представление динамической модели четырёхроторного

БПЛА

Наиболее известная математическая модель четырёхроторного летательного аппарата выведена за счёт применения Лагранжевого формализма, что видно в работах [33, 11].

Основной вектор состояния квадрокоптера можно представить следующим образом:

q = (х,у,г,-ф,6,ф) ЕШ6, (1.1)

где (х, у, z) - положение центра масс аппарата в инерциальной системе отсчёта, (ф, в, ф) - углы Эйлера, определяющие ориентацию аппарата. Данные компоненты вектора состояний разделяются на координаты переноса и поворота f и tj соответственно:

% = (x,y,z) ЕЖ3, т] = (\р,в,ф)Е83. (1.2)

Отсюда, кинетическая энергия переноса Ttrans аппарата представлена следующим образом:

Ttrans — ~ С С, (1.3)

где m - масса летательного аппарата. Кинетическая энергия поворота Trot выражена как:

Trot —1flTM, (14)

где - матрица инерции полной кинетической энергии вращения беспилотного летательного аппарата, выраженная в обобщённых координатах tj.

Необходимо также учесть потенциальную энергию, которая представлена в виде гравитационной энергии малого тела:

Ug = mgz, (1.5)

где д - сила тяжести, z - высота положения центра масс тела.

Отсюда, функция Лагранжа динамической системы четырёхроторного летательного аппарата выражается следующим образом:

т . . 1 (1.5)

L(q, q) = Ttrans + Trot - Ug =+- mgz.

Через уравнения Эйлера-Лагранжа производится выведение математической модели динамики квадрокоптера:

±д£-д_£ = р (1.7)

dtdq dq '

где F = (F^,t). F^ в данном случае - сила перемещения, вызываемая изменением управляющих сигналов, применяемая к летательному аппарату, а г - обобщённые моменты.

Представим вектор управления u:

U = f!+f2+f3+f4, (1.8)

fi = kiW2, i = 1.....4, (1.9)

где kt> 0 - константа, wt - угловая скорость i-го двигателя, ft - тяга i-го двигателя. Отсюда,

. /0\ (1.10) F = Ü

F^=RF , (1.11)

где R - матрица трансформаций, представляющая ориентацию летательного

аппарата в пространстве:

(cos в cos-ф sin^sind -sin б \ (1.12)

cos-ф sin в sin ф - sin-ф cos ф sin-ф sin в sin ф + cos-ф cos ф cos в sin ф cos-ф sin в cos ф + sin-ф sin ф sin-ф sin в cos ф - cos-ф sin ф cos в cos ф/

Обобщённые моменты представлены следующим образом:

(ТФ\ (1.13)

т ±(те

где Ту = ^4=1тМ1, тв = (Í2 -f4)l, ТФ = (fs -fi)l, где I - расстояние от мотора до центра масс, а М¿ - момент двигателя i.

Теперь, уравнение Эйлера-Лагранжа возможно разделить на составляющие: смещающие % и поворотные

/ 0 \ (1.14) \тд/

п- п- (1.15) Если определить центростремительный вектор У(ц, ц) как

л • 1 д , Т л (1.16)

то выражение (1.15) можно переопределить следующим образом:

Т = де + у(л,ц). (1Л7)

Теперь получим выражения:

/ -sine \ / 0 \ (1.18)

= и ( cos в sin ф ) + ( 0 Vcos в cos ф) \-rng,

Если ввести параметр изменяемых величин т, то выражение (1.19) можно представить в следующем виде:

т = У(-П,-П)+УТ, (120)

- ГЛ -

где т = \тв ) =п.

V*/

Опираясь на выражения (1.18, 1.19), получим динамическую модель четырёхроторного летательного аппарата, используемую далее в математической модели траекторного управления:

тх = —и sin в ту = и cos в sin ф mz = и cos в cosф — тд (1.21)

Ф = ^, ,

0 = 4

Ф = ¿ф,

где х,у - координаты в горизонтальной плоскости, z - положение по вертикальной оси (высота); 'ф - поворот вокруг оси Z (рысканье), в - поворот вокруг оси Y (тангаж), ф - поворот вокруг оси X (крен); и - управляющий сигнал полного газа;

- управляющие сигналы по заданию угловых моментов по трём соответствующим осям.

Описанная динамическая модель массово применяется как в реальных физических БПЛА [32, 50], так и в симуляционных средах [36, 49], она находит применение в различных исследованиях, посвящённых анализу свойств мультироторных летательных аппаратов [88].

Для осуществления управления четырёхроторным БПЛА он должен быть оснащён инерциальной навигационной системой, благодаря которой производится определение положения и ориентации БПЛА в пространстве. Для этой задачи применяются такие устройства, как гироскопы и акселерометры. Первое устройство позволяет определить текущую угловую скорость, а второе - линейные ускорения. Для дальнейшего определения состояния БПЛА данные, полученные с гироскопов и акселерометров, должны быть обработаны подсистемой оценки состояния. Как правило, в качестве такой подсистемы используются либо комплементарный фильтр, либо расширенный фильтр Калмана. Как описано в [81], комплементарный фильтр представляет собой одномерный частный случай реализации фильтра Калмана, и обладает меньшей вычислительной сложностью, при этом, используя данные лишь от гироскопа и акселерометра, позволяет

произвести оценку ориентации в пространстве (углы по крену, тангажу и рысканью). Фильтр Калмана, в свою очередь, позволяет производить оценку также и местоположения, и линейной скорости квадрокоптера, и отдельные его реализации позволяют внедрять дополнительные системы навигации, повышающие точность итоговой оценки.

Для обеспечения возможности управления четырёхроторным БПЛА необходимо организовать систему управления. На примере исследовательского квадрокоптера с открытыми исходными кодами Вйсгаге СгагуШе 2.1, можно увидеть внутреннюю структуру данной системы, представленной на изображении 1.1.

Рисунок 1.1 - Представление системы управления БПЛА СгаугШе 2.1

Как видно из схематического представления, группы из РГО-регуляторов обеспечивают две цепи отрицательной обратной связи: внутренняя цепь используется для поддержания заданных угловых скоростей БПЛА и не учитывает плоскость горизонта; внешняя цепь обеспечивает управление с заданием желаемой пространственной ориентации БПЛА и учитывает плоскость горизонта. РГО-регуляторы оказываются простыми в реализации, обеспечивают стабильность полёта, достаточную для управления БПЛА при должном подборе масштабных коэффициентов. Зелёным цветом отмечены векторы состояний, оранжевым -векторы управления.

Таким образом, внутренние программные PID-регуляторы квадрокоптеров обеспечивают минимальный и достаточный набор управляющих сигналов вектора управления для осуществления перемещения БПЛА в пространстве.

Для решения задач траекторного управления вводится ещё один, внешний, контроллер, обеспечивающий ведение летательного аппарата по заданной траектории в условиях реальных сред, где существуют возмущения, оказывающие влияние на поведение БПЛА. Для того, чтобы обеспечить устойчивое слежение и ведение агента по определённой траектории, существуют разные методологии, основывающиеся на различных регуляторах, например, на основе линейно-квадратичного регулятора (Linear-Quadratic Regulator, LQR), на основе PID-регуляторов и на основе регуляторов с прогнозирующими моделями (Model-Predictive Control, MPC). Так, в работе [46] представлены варианты реализации системы траекторного управления БПЛА на основе MPC. Ключевыми особенностями использования данного типа системы управления являются применение математической модели исследуемой системы и возможность прогнозировать будущие её состояния. За счёт прогнозирования определяется наиболее вероятное будущее состояние, для коррекции которого вычисляется необходимый вектор управления, который в дальнейшем поступает в управляемую систему [98].

1.1.2 Упрощённые модели на основе методов системной идентификации

Зачастую готовые аппаратные реализации четырёхроторных БПЛА обладают встроенной системой управления, обеспечивающей стабильный полёт устройства и не требующей ввода значений угловых моментов со стороны исследователя.

Исходя из того, что полученные в разделе 1.2.1 уравнения, описывающие динамику мультироторного летательного аппарата, являются нелинейными,

выполнение задач по траекторному управлению на высоких скоростях и со сложными манёврами при поддержании стабильности полёта устройства оказываются затруднительными для решения. Построение точной математической модели конкретного летательного аппарата сопряжено с необходимостью измерения свойств лопастей и двигателей БПЛА, а также измерения его массогабаритных свойств. Помимо этого, необходимо учитывать как сам встроенный контроллер, обеспечивающий стабильность полёта устройства, так и его параметры. Итоговая модель оказывается довольно сложной, нелинейной и подходящей только к конкретному промоделированному устройству.

В исследовании [101] приводится способ синтеза модели мультироторных беспилотных летательных аппаратов для дальнейшего её применения в контроллерах траекторного управления. Описываемая модель получена с применением классических методов системной идентификации. Как следует из определения в [67], системная идентификация - процесс приближённого моделирования для конкретного применения на основе наблюдаемых ранее данных и предшествующих знаний о системе.

Для построения системы траекторного управления, была выведена нелинейная математическая модель мультироторного БПЛА следующего вида:

р(ь) = КО,

/0\ /0\ (Ах 0 0 \ (1.22)

= Я(-ф,в,ф)(о) + ( 0 )-( 0 Ау 0 )р(Ь) + й(Ь),

\Т/ \-д) \ 0 0 Аг)

Фа) =—(кффйа)-фа)),

Тф 1

в(1)=-(Кввй(1)-в(1)), тв

где р,у - координаты и скорость центра масс летательного аппарата соответственно; д,й - гравитационное ускорение и внешнее возмущение соответственно; Я - матрица поворота, преобразующая поворот из системы отсчёта

тела летательного аппарата в глобальную инерциальную систему; Т -нормированная по массе тяга аппарата; Ах,Ау,Аг - нормированные по массе коэффициенты аэродинамического сопротивления; Тф,Тд,Кф,Кв - постоянные времени и коэффициенты усиления внутренней стабилизирующей системы управления БПЛА по углам крена и тангажа соответственно.

Рисунок 1.2 - Схематическое представление внутреннего ориентационного

контроллера квадрокоптера

Исходя из общей структуры большинства современных коммерчески-доступных квадрокоптеров, их систему ориентационного контроля можно изобразить схематически, что представлено на рис. 1.2. Учитывая, что в роли контроллера ориентации могут выступать различные системы управления (например, семейство РГО-контроллеров, контроллеры на нечёткой логике), их можно представить в качестве «чёрного» или «серого» ящика, согласно общей теории систем[67]. В данном случае, авторы предположили использование состояния свободного полёта: БПЛА поддерживает очень малые углы по осям наклона при поддержании направления, направленного вдоль оси х общей инерциальной системы. Таким образом, модель динамики БПЛА приобретает следующий вид:

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Ганьшин Константин Юрьевич, 2023 год

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Aggarwal, S. Path planning techniques for unmanned aerial vehicles: A review, solutions, and challenges /S. Aggarwal, N. Kumar // Comput. Commun. - DOI: 10.1016/j.comcom.2019.10.014 - 2020. - Vol. 149. - Pp. 270-299.

2. Akenine-Moller, T. Real-time rendering, fourth edition /T. Akenine-Moller, E. Haines, N. Hoffman. // 4-е изд. - London, England. - CRC Press. - 2018.

3. Alrifaee, B. Sequential convex programming MPC for dynamic vehicle collision avoidance /B. Alrifaee, J. Maczijewski, D. Abel // 2017 IEEE Conference on Control Technology and Applications (CCTA). - IEEE. - DOI: 10.1109/ccta.2017.8062778 - 2017.

4. Bansal, S. Learning quadrotor dynamics using neural network for flight control /S. Bansal, A.K. Akametalu, F.J. Jiang, F. Laine, C.J. Tomlin // ArXiv. - DOI: 10.48550/ARXIV.1610.05863 - 2016.

5. Bassolillo, S.R. Decentralized mesh-based model predictive control for swarms of UAVs /S.R. Bassolillo, E. D'Amato, I. Notaro, L. Blasi, M. Mattei // Sensors (Basel). - DOI: 10.3390/s20154324 - 2020. - Vol. 20, № 15.

6. BinKai, Q. Research on UAV path planning obstacle avoidance algorithm based on improved artificial potential field method /Q. BinKai, L. Mingqiu, Y. Yang, W. XiYang // J. Phys. Conf. Ser. - DOI: 10.1088/1742-6596/1948/1/012060 - 2021. - Vol. 1948, № 1.

7. Braun, J. A comparison of A* and RRT* algorithms with dynamic and real time constraint scenarios for mobile robots /J. Braun, T. Brito, J. Lima, P. Costa [и др.] // Proceedings of the 9th International Conference on Simulation and Modeling Methodologies, Technologies and Applications. - SCITEPRESS - Science and Technology Publications. - DOI: 10.5220/0008118803980405 - 2019.

8. Byrd, R.H. A limited memory algorithm for bound constrained optimization /R.H. Byrd, P. Lu, J. Nocedal [h gp.] // SIAM J. Sci. Comput. - 1995. - Vol. 16, № 5. -Pp. 1190-1208.

9. Castillo, G.P. Modelling and control of mini-flying machines /G.P. Castillo, R. Lozano, A.E. Dzul // 2005th ed. - London, England. - Springer. - DOI: 10.1007/184628-179-2 - 2005.

10. Chang, J.-W. Computation of the minimum distance between two Bezier curves/surfaces /J.-W. Chang, Y.-K. Choi, M.-S. Kim, W. Wang // Comput. Graph. -2011. - Vol. 35, № 3. - Pp. 677-684.

11. Chen, Z. A Survey on Open-Source Simulation Platforms for Multi-Copter UAV Swarms /Z. Chen, J. Yan, B. Ma, K. Shi [h gp.] // Robotics. - 2023. - T. 12. № 2. -C. 53.

12. Chen, Z. A survey on open-source simulation platforms for multi-copter UAV swarms /Z. Chen, J. Yan, B. Ma, K. Shi [h gp.] // Robotics. - DOI: 10.3390/robotics12020053 - 2023. - Vol. 12, № 2.

13. Chi, W. A generalized Voronoi diagram-based efficient heuristic path planning method for RRTs in mobile robots /W. Chi, Z. Ding, J. Wang, G. Chen [h gp.] // IEEE Trans. Ind. Electron. - 2022. - Vol. 69, № 5. - Pp. 4926-4937.

14. Chinedu Amata Amadi, W.S. Design and implementation of Model Predictive Control on Pixhawk Flight Controller /W.S. Chinedu Amata Amadi // Stellenbosch University. - 2018.

15. Choe, R. Trajectory generation using spatial Pythagorean hodograph bezier curves /R. Choe, J. Puig, V. Cichella, E. Xargay [h gp.] // AIAA Guidance, Navigation, and Control Conference. - Reston, Virginia. - American Institute of Aeronautics and Astronautics. - DOI: 10.2514/6.2015-0597 - 2015.

16. Chung, S.-J. A survey on aerial swarm robotics /S. -J. Chung, A.A. Paranj ape, P. Dames, S. Shen, V. Kumar // IEEE Trans. Robot. - 2018. - Vol. 34, № 4. - Pp. 837855.

17. Cichella, V. A Lyapunov-based approach for Time-Coordinated 3D Path-Following of multiple quadrotors /V. Cichella, I. Kaminer, E. Xargay, V. Dobrokhodov,

N. Hovakimyan, A.P. Aguiar, A.M. Pascoal // 2012 IEEE 51st IEEE Conference on Decision and Control (CDC). - IEEE. - DOI: 10.1109/cdc.2012.6425933 - 2012.

18. Cirnu, M.I. Newton-Raphson Type Methods /M.I. Cirnu // Int. J. Open Probl. Comput. Sci. Math. - 2012. - Vol. 5, № 2. - Pp. 95-104.

19. D'Amato, E. Distributed reactive model predictive control for collision avoidance of unmanned aerial vehicles in civil airspace /E. D'Amato, M. Mattei, I. Notaro // J. Intell. Robot. Syst. - 2020. - Vol. 97, № 1. - Pp. 185-203.

20. Di Ruscio, D. Model Predictive Control with Integral Action: A simple MPC algorithm /D. Di Ruscio // Model. Identif. Control Nor. Res. Bull. - 2013. - Vol. 34, № 3. - Pp. 119-129.

21. Doerr, B. Random Finite Set theory and centralized control of large collaborative swarms /B. Doerr, R. Linares, P. Zhu, S. Ferrari // ArXiv. - DOI: 10.48550/ARXIV.1810.00696 - 2018.

22. Farouki, R.T. Existence of Pythagorean-hodograph quintic interpolants to spatial G1 Hermite data with prescribed arc lengths /R.T. Farouki // J. Symb. Comput. -2019. - Vol. 95. - Pp. 202-216.

23. Farouki, R.T. Path planning with Pythagorean-hodograph curves for unmanned or autonomous vehicles /R.T. Farouki, C. Giannelli, D. Mugnaini [h gp.] // Proc. Inst. Mech. Eng. G J. Aerosp. Eng. - 2018. - Vol. 232, № 7. - Pp. 1361-1372.

24. Farouki, R.T. Pythagorean hodographs /R.T. Farouki, T. Sakkalis // IBM J. Res. Dev. - 1990. - Vol. 34, № 5. - Pp. 736-752.

25. Farouki, R.T. Pythagorean—hodograph curves in practical use /R.T. Farouki // Geometry Processing for Design and Manufacturing. Society for Industrial and Applied Mathematics. - 1992. - Pp. 3-33.

26. Farouki, R.T. Pythagorean-hodograph curves: Algebra and geometry inseparable /R.T. Farouki - 2008th ed. Berlin, Germany: Springer. - 2007.

27. Ferreau, H.J. qpOASES: a parametric active-set algorithm for quadratic programming /H.J. Ferreau, C. Kirches, A. Potschka [h gp.] // Math. Program. Comput. -2014. - Vol. 6, № 4. - Pp. 327-363.

28. Fink, W. Globally optimal rover traverse planning in 3D using Dijkstra's algorithm for multi-objective deployment scenarios /W. Fink, V.R. Baker, J.-W. Alexander, M. Flammia [h gp.] // Planet. Space Sci. - DOI: 10.1016/j.pss.2019.104707 -2019. - Vol. 179

29. Ganshin, K.Y. The Constructing UAV Trajectories Method Using Bezier Curves and Pythagorean Hodograph /K.Y. Ganshin, O.S. Mezentceva, Y.S. Agakhanova // 2022 International Russian Automation Conference (RusAutoCon). - Sochi, Russian Federation. - DOI: 10.1109/RusAutoCon54946.2022.9896357. - 2022. - pp. 711-716.

30. Gao, F. Online safe trajectory generation for quadrotors using fast marching method and Bernstein basis polynomial /F. Gao, W. Wu, Y. Lin, S. Shen // 2018 IEEE International Conference on Robotics and Automation (ICRA). - IEEE. - DOI: 10.1109/icra.2018.8462878 - 2018.

31. Garcia, G.A. Modeling and flight control of a commercial nano quadrotor /G.A. Garcia, A.R. Kim, E. Jackson, S.S. Kashmiri, D. Shukla // 2017 International Conference on Unmanned Aircraft Systems (ICUAS). - IEEE. - DOI: 10.1109/icuas.2017.7991439 - 2017.

32. Giernacki, W. Crazyflie 2.0 quadrotor as a platform for research and education in robotics and control engineering /W. Giernacki, M. Skwierczynski, W. Witwicki, P. Wronski [h gp.] // 2017 22nd International Conference on Methods and Models in Automation and Robotics (MMAR). - IEEE. - DOI: 10.1109/mmar.2017.8046794 - 2017.

33. Guo, Y. FC-RRT*: An improved path planning algorithm for UAV in 3D complex environment /Y. Guo, Xi. Liu, Xu. Liu, Y. Yang [h gp.] // ISPRS Int. J. Geoinf. - 2022. - Vol. 11, № 2. - Pp. 112.

34. He, M. A review of monocular visual odometry /M. He, C. Zhu, Q. Huang [h gp.] // Vis. Comput. 2020. - Vol. 36, № 5. - Pp. 1053-1065.

35. Hehn, M. Quadrocopter trajectory generation and control /M. Hehn, R. D'Andrea // IFAC Proc. Vol. 2011. - Vol. 44, № 1. - P. 1485-1491.

36. Hentati, A.I. Simulation tools, environments and frameworks for UAV systems performance analysis /A.I. Hentati, L. Krichen, M. Fourati, L.C. Fourati // 2018

14th International Wireless Communications & Mobile Computing Conference (IWCMC). - IEEE. - DOI: 10.1109/iwcmc.2018.8450505 - 2018.

37. Hornung, A. OctoMap: an efficient probabilistic 3D mapping framework based on octrees /A. Hournung, K. Wurm, M. Bennewitz, C. Stachniss [h gp.] // Auton. Robots. - 2013. - T. 34. № 3. - C. 189-206

38. Houska, B. ACADO Toolkit - An Open-Source Framework for Automatic Control and Dynamic Optimization. /B. Houska, H.J. Ferreau, M. Diehl // Optimal Control Methods and Application. - 2011. - T. 32, № 3. - pp. 298-312

39. Howard, T.M. Optimal rough terrain trajectory generation for wheeled mobile robots /T.M Hovard, A. Kelly // Int. J. Rob. Res. - 2007. - Vol. 26, № 2. - Pp. 141-166.

40. Hyunchul, S.D. Control system design for rotorcraft-based unmanned aerial vehicles using time-domain system identification /S.D. Hyunchul, H.J. Kim, S. Sastry // Proceedings of the 2000 IEEE International Conference on Control Applications. -Conference Proceedings (Cat. No.00CH37162). - IEEE. - 2002.

41. Ille, M. Collision avoidance between multi-UAV-systems considering formation control using MPC /M. Ille, T. Namerikawa // 2017 IEEE International Conference on Advanced Intelligent Mechatronics (AIM). - IEEE. - DOI: 10.1109/aim.2017.8014091 - 2017.

42. Jezierski, A. A comparison of LQR and MPC control algorithms of an inverted pendulum /A. Jezierski, J. Mozaryn, D. Suski // Advances in Intelligent Systems and Computing. - Cham: Springer International Publishing. - 2017. - Pp. 65-76.

43. Jingyuan Zhan, X.L. Flocking of Discrete-time Multi-Agent Systems with Predictive Mechanisms /X.L. Jingyuan Zhan // IFAC Proceedings Volumes. - 2011. - Vol. 44, № 1. - Pp. 5669-5674.

44. Joshi, A.A. Modification of Hilbert's space-filling curve to avoid obstacles: A robotic path-planning strategy /A.A. Joshi, M.C. Bhatt, A. Sinha // 2019 Sixth Indian Control Conference (ICC). - IEEE. - DOI: 10.1109/icc47138.2019.9123166 - 2019.

45. Kaiser, E. Sparse identification of nonlinear dynamics for model predictive control in the low-data limit /E. Kaiser, J.N. Kutz, S.L. Brunton // Proc. Math. Phys. Eng. Sci. - DOI: 10.1098/rspa.2018.0335 - 2018. - Vol. 474, № 2219.

46. Kamel, M. Model predictive control for trajectory tracking of unmanned aerial vehicles using robot operating system /M. Kamel, T. Stastny, K. Alexis, R. Siegwart // Studies in Computational Intelligence. - Cham: Springer International Publishing. - ISBN: 9783319549262 - 2017. - Pp. 3-39.

47. Karaman, S. Sampling-based algorithms for optimal motion planning /S. Karaman, E. Frazzoli // ArXiv. - DOI: 10.48550/ARXIV.1105.1186 - 2011.

48. Kim, H. -C. Parameter identification and design of a robust attitude controller using H ro methodology for the raptor E620 small-scale helicopter /H.-C. Kim, R. Hardian, T. Kang, A. Budiyono, G. Lee, W. Adiprawita // Int. J. Control Autom. Syst. -2012. - Vol. 10, № 1. - Pp. 88-101.

49. Koenig, N. Design and use paradigms for gazebo, an open-source multirobot simulator /N. Koenig, A. Howard // 2004 IEEE/RSJ International Conference on Intelligent Robots and Systems (IROS) (IEEE Cat. No.04CH37566). - IEEE. - DOI: 10.1109/iros.2004.1389727 - 2005.

50. Koval, A. AR.Drone as a platform for measurements /A. Koval, E. Irigoyen, T. Koval // 2017 IEEE 37th International Conference on Electronics and Nanotechnology (ELNANO). - IEEE. - DOI: 10.1109/elnano.2017.7939812 - 2017.

51. Kuriki, Y. Formation control with collision avoidance for a multi-UAV system using decentralized MPC and consensus-based control /Y. Kuriki, T. Namerikawa // 2015 European Control Conference (ECC). - IEEE. - DOI: 10.1109/ecc.2015.7331006 - 2015.

52. LaValle, S.M. Planning Algorithms /S.M. LaValle // Cambridge, England. -Cambridge University Press. - 2006.

53. Lawrynczuk, M. Introduction to model predictive control /M. Lawrynczuk // Nonlinear Predictive Control Using Wiener Models. - Cham: Springer International Publishing. - 2022. - Pp. 3-40.

54. Li, X. A triangular formation strategy for collective behaviors of robot swarm /X. Li, M.F. Ercan, Y.F. Fung // Computational Science and Its Applications -ICCSA 2009. - Berlin, Heidelberg. - Springer Berlin Heidelberg. - 2009. - Pp. 897-911.

55. Lindqvist, B. Nonlinear MPC for collision avoidance and control of UAVs with dynamic obstacles /B. Lindqvist, S. Mansouri, A. Agha-mohammadi [и др.] // IEEE Robot. Autom. Lett. - 2020. - Vol. 5, № 4. - Pp. 6001-6008.

56. Liu, J. Artificial potential function safety and obstacle avoidance guidance for autonomous rendezvous and docking with noncooperative target /J. Liu, H. Li // Math. Probl. Eng. - 2019. - Vol. 2019. - Pp. 1-17.

57. Macenski, S. Spatio-temporal voxel layer: A view on robot perception for the dynamic world /S. Macenski, D. Tsai, M. Feinberg // Int. J. Adv. Robot. Syst. - DOI: 10.1177/1729881420910530 - 2020. - Т. 17. № 2.

58. Mao, X. Flocking of quad-rotor UAVs with fuzzy control /X. Mao, H. Zhang, Y. Wang // ISA Trans. - 2018. - Vol. 74. - Pp. 185-193.

59. Mehdi, S.B. Collision Avoidance through Path Replanning using Bezier Curves /S.B. Mehdi, R. Choe, V. Cichella, N. Hovakimyan // AIAA Guidance, Navigation, and Control Conference. - Reston, Virginia. - American Institute of Aeronautics and Astronautics. - DOI: 10.2514/6.2015-0598 - 2015.

60. Mellinger, D.W. Trajectory Generation and Control for Quadrotors /D.W. Mellinger // University of Pennsylvania. - 2012. [диссертация]

61. Meng, J. UAV path planning system based on 3D informed RRT* for dynamic obstacle avoidance /J. Meng, V.M. Pawar, S. Kay, A. Li // 2018 IEEE International Conference on Robotics and Biomimetics (ROBIO). - IEEE. -DOI: 10.1109/robio.2018.8665162 - 2018.

62. Moon, H.P. Construction and shape analysis of PH quintic Hermite interpolants /H.P. Moon, R.T. Farouki, H.I. Choi // Comput. Aided Geom. Des. - 2001. -Vol. 18, № 2. Pp. 93-115.

63. Moravec, H. High resolution maps from wide angle sonar /H. Moravec, A. Elfes // Proceedings. 1985 IEEE International Conference on Robotics and Automation. - Silver Spring, MO. - IEEE Computer Society Press. - 2005. - pp. 116-121.

64. Moritz Diehl, S.G. Numerical Optimal Control /S.G. Moritz Diehl - 2017.

65. Mueller, M.W. A model predictive controller for quadrocopter state interception /M.W. Mueller, R. D'Andrea // 2013 European Control Conference (ECC). - IEEE. - DOI: 10.23919/ecc.2013.6669415 - 2013.

66. Museth, K. VDB: High-resolution sparse volumes with dynamic topology /K. Museth // ACM Trans. Graph. - 2013. - Vol. 32, № 3. - Pp. 1-22.

67. Nelles, O. Nonlinear system identification: From classical approaches to neural networks and fuzzy models /O. Nelles // Berlin, Germany. - Springer. - DOI: 10.1007/978-3-662-04323-3 - 2010.

68. Ning, Z. Lattice flocking of multi-quadrotor system: an algorithm based on artificial potential field /Z. Ning, L. Song, D. Huang, X. Zhang // Aerosp. Syst. - 2018. -Vol. 1, № 1. - Pp. 13-22.

69. Nunes, G. Design and analysis of multivariable predictive control applied to an oil-water-gas separator: A polynomial approach. University of Florida, 2001.

70. Pachter, M. Tight formation flight control / M. Pachter, J.J. D'Azzo, A.W. Proud // J. Guid. Control Dyn. - 2001. - Vol. 24, № 2. - Pp. 246-254.

71. Peng, Z. UAV formation algorithm based on rapid and effective formation transformation in the air /Z. Peng, C. Bai, S. Hu // 2ND INTERNATIONAL CONFERENCE ON GREEN ENERGY AND SUSTAINABLE DEVELOPMENT (GESD 2019). - AIP Publishing. - DOI: 10.1063/1.5116440 - 2019.

72. Putro, S.T. Commercial Multirotor UAV Campaign on Data Acquisition for Disaster Management /S.T. Putro, F. Nucifera, E. Febriarta // IOP Conf. Ser. Earth Environ. Sci. - DOI: 10.1088/1755-1315/884/1/012031 - 2021. - Vol. 884, № 1.

73. Richalet, J. Model predictive heuristic control /J. Richalet, A. Rault, J Testud [h gp.] // Automatica (Oxf.). - 1978. - Vol. 14, № 5. - Pp. 413-428.

74. Richter, C. Polynomial trajectory planning for aggressive quadrotor flight in dense indoor environments /C. Richter, A. Bry, N. Roy // Springer Tracts in Advanced Robotics. - Cham: Springer International Publishing. - 2016. - Pp. 649-666.

75. Rossiter, J.A. Model-based predictive control: A practical approach /J.A. Rossiter. - Boca Raton, FL: CRC Press, 2003.

76. Rostami, S.M.H. Obstacle avoidance of mobile robots using modified artificial potential field algorithm /S.M.H. Rostami, A.K. Sangaiah, J. Wang, Xi. Liu // EURASIP J. Wirel. Commun. Netw. - DOI: 10.1186/s13638-019-1396-2 - 2019. - Vol. 2019, № 1.

77. Rublee, E. ORB: An efficient alternative to SIFT or SURF /E. Rublee, V. Rabaud, K. Konolige [h gp.] // 2011 International Conference on Computer Vision. -IEEE, 2011.

78. Sa, I. Dynamic System Identification, and Control for a cost effective open-source VTOL MAV /I. Sa, M. Kamel, R. Khanna, M. Popovic, J. Nieto, R. Siegwart // ArXiv. - DOI: 10.48550/ARXIV.1701.08623 - 2017.

79. Saad, Y. Numerical methods for large eigenvalue problems: Revised edition /Y. Saad // Society for Industrial and Applied Mathematics. - 2011.

80. Saif, O. Real-time flocking of multiple-quadrotor system of systems /O. Saif, I. Fantoni, A. Zavala-Rio // 2015 10th System of Systems Engineering Conference (SoSE). - IEEE. - DOI: 10.1109/sysose.2015.7151908 - 2015.

81. Sarim, M. Extended Kalman Filter based quadrotor state estimation based on asynchronous multisensor data /M. Sarim, A. Nemati, M. Kumar, K. Cohen // ASME Dynamic Systems and Control Conference. - American Society of Mechanical Engineers. - DOI: 10.1115/dscc2015-9929 - 2015.

82. Shan E. A dynamic RRT path planning algorithm based on B-spline /E. Shan, B. Din, J. Song, Z. Sun // 2009 Second International Symposium on Computational Intelligence and Design. - IEEE. - DOI: 10.1109/iscid.2009.155 - 2009.

83. Shanmugavel, M. Path planning of UAVs in urban region using Pythagorean Hodograph curves /M. Shanmugavel, A. Tsourdos, B.A. White, R. Zbikowski // Appl. Mech. Mater. - DOI: 10.4028/www.scientific.net/amm.110-116.4096 - 2011. - Pp. 40964100.

84. Shevchenko, A.V. Architecture of a software system for robotics control / A.V. Shevchenko, O.S. Mezentseva, K.Y. Ganshin. // Stavropol : North-Caucasian Federal University. - 2018. - pp. 253-259.

85. Sir, Z. Classification of planar Pythagorean hodograph curves /Z. Sir // Comput. Aided Geom. Des. - 2020. - Vol. 80. - Pp. 101866.

86. Spira, R. The Diophantine equation x2+y2+z2=m2 /R. Spira // Am. Math. Mon. - 1962. - Vol. 69, № 5. - Pp. 360-365.

87. Stentz, A. The D* Algorithm for Real-Time Planning of Optimal Traverses /A. Stentz // Carnegie Mellon University. - 1994.

88. Tsay, T.-S. Guidance and Control Laws for Quadrotor UAV /T.-S. Tsay // WSEAS. - 2014. - Vol. 9. - Pp. 606-613.

89. Valigi, N. Benchmarking occupancy mapping libraries [Электронный ресурс]. - Режим доступа: URL: https://nicolovaligi.com/articles/occupancy-mapping-benchmarks/ (дата обращения 10.11.2022)

90. Vasarhelyi, G. Optimized flocking of autonomous drones in confined environments /G. Vasarhelyi, C. Viragh, G. Somorjai, T. Nepusz [и др.] // Sci. Robot. -DOI: 10.1126/scirobotics.aat3536 - 2018. Vol. 3, № 20.

91. Verschueren, R. Acados: A modular open-source framework for fast embedded optimal control /R. Verschueren, G. Frison, D. Kouzoupis, F. Dmitris [и др.] // arXiv. - DOI: 10.48550/ARXIV.1910.13753 - 2019.

92. Verschueren, R. Towards a modular software package for embedded optimization /R. Verschueren, G. Frison, K. Dmitris [и др.] // IFAC-PapersOnLine. -2018. - Vol. 51, № 20. - P. 374-380.

93. Vinokursky, D.L. Model predictive control for path planning of UAV group / D.L. Vinokursky, O.S. Mezentseva, Ph.V. Samoylov, K.Y. Ganshin // IOP Conference Series: Materials Science and Engineering : III International Scientific Conference. -Krasnoyarsk: IOP Publishing Ltd. - DOI 10.1088/1757-899X/1155/1/012092. - 2021.

94. Viragh, C. Flocking algorithm for autonomous flying robots /C. Viragh, G. Vasarhelyi, N. Tarcai, T. Szôrényi [и др.] // Bioinspir. Biomim. - DOI: 10.1088/17483182/9/2/025012 - 2014. - Vol. 9, № 2.

95. Wadayama, T. Chebyshev inertial iteration for accelerating fixed-point iterations /T. Wadayama, S. Takabe // ArXiv. - DOI: 10.48550/ARXIV.2001.03280 -2020.

96. Wang, N. UAV formation obstacle avoidance control algorithm based on improved artificial potential field and consensus /N. Wang, J. Dai, J. Ying // Int. J. Aeronaut. Space Sci. - 2021. - Vol. 22, № 6. - Pp. 1413-1427.

97. Wang, Y. Formation control of multi-UAV with collision avoidance using artificial potential field /Y. Wang, X. Sun // 2019 11th International Conference on Intelligent Human-Machine Systems and Cybernetics (IHMSC). - IEEE. - DOI: 10.1109/ihmsc.2019.00075 - 2019.

98. Wang, Y. Nonlinear model predictive control with constraint satisfactions for a quadcopter /Y. Wang, A. Ramirez-Jaime, F. Xu, V. Puig // J. Phys. Conf. Ser. - DOI: 10.1088/1742-6596/783/1/012025 - 2017. - Vol. 783.

99. Ye, H. TGK-planner: An efficient Topology Guided Kinodynamic planner for autonomous quadrotors /H. Ye, X. Zhou, Z. Wang, C. Xu [h gp.] // ArXiv. - DOI: 10.48550/ARXIV.2008.03468 - 2020.

100. Yi, Z. Study of Three-Dimensional on-line path Planning for UAV based on Pythagorean Hodograph Curve /Z. Yi, Y. Xiu-xia, Z. Wei-wei, Z. He-wei // Int. J. Smart Sens. Intell. Syst. - 2015. - Vol. 8, № 3. - Pp. 1641-1666.

101. Yuksek, B. System identification and model-based flight control system design for an agile maneuvering quadrotor platform /B. Yuksek, E. Saldiran, A. Cetin, R. Yeniceri, G. Inalhan // AIAA Scitech 2020 Forum. - Reston, Virginia. - American Institute of Aeronautics and Astronautics. - DOI: 10.2514/6.2020-1835 - 2020.

102. Zammit, C. Comparison between A* and RRT algorithms for UAV path planning /C. Zammit, E.-J. Van Kampen // 2018 AIAA Guidance, Navigation, and Control Conference. - Reston, Virginia. - American Institute of Aeronautics and Astronautics. - DOI: 10.2514/6.2018-1846 - 2018.

103. Zhan, J. Flocking of multi-agent systems via model predictive control based on position-only measurements /J. Zhan, X. Li // IEEE Trans. Industr. Inform. - 2013. -Vol. 9, № 1. - Pp. 377-385.

104. Zhao, W. Quadcopter formation flight control combining MPC and robust feedback linearization /W. Zhao, T.H. Go // J. Franklin Inst. - 2014. - Vol. 351, № 3. -Pp. 1335-1355.

105. Zheng, Z. Point cloud-based target-oriented 3D path planning for UAVs /Z. Zheng, T.R. Bewley, F. Kuester // 2020 International Conference on Unmanned Aircraft Systems (ICUAS). - IEEE. - DOI: 10.1109/icuas48674.2020.9213894 - 2020.

106. Zhou, B. Robust and efficient quadrotor trajectory generation for fast autonomous flight /B. Zhou, F. Gao, L. Wang, C. Liu, S. Shen // ArXiv. - DOI: 10.48550/ARXIV.1907.01531 - 2019.

107. Zhou, Y. Self-consistent-field calculations using Chebyshev-filtered subspace iteration /Y. Zhou, Y. Saad, M. Tiago [и др.] // J. Comput. Phys. - 2006. - Vol. 219, № 1. - Pp. 172-184.

108. Винокурский, Д.Л. Генерация траекторий оптимальных кривых беспилотного летательного аппарата для обхода статического препятствия /Д.Л. Винокурский, К.Ю. Ганьшин, О.С. Мезенцева, Ф.В. Самойлов // Инженерный вестник Дона, сетевое издание. - 2021. - №9. - 0.65/0.4

109. Винокурский, Д.Л. Оптимальное построение траектории квадрокоптера с помощью MPC управления / Д.Л. Винокурский, К.Ю. Ганьшин, О.С. Мезенцева, Ф.В. Самойлов // Нелокальные краевые задачи и родственные проблемы математической биологии, информатики и физики : Материалы VI Международной научной конференции, Нальчик, Кабардино-Балкарская Республика, Россия, 05-09 декабря 2021 года / Институт прикладной математики и автоматизации - филиал ФГБНУ «Федеральный научный центр «Кабардино-Балкарский научный центр Российской академии наук». - Нальчик, Кабардино-Балкарская Республика, Россия: Издательская типография "Принт Центр", 2021. -С. 54. - EDN PJOIDY.

110. Винокурский, Д.Л. Планирование траектории группы беспилотных летательных аппаратов с использованием годографа Пифагора и составных кривых Бернштейна-Безье на плоскости /Д.Л. Винокурский, Ганьшин К.Ю., Мезенцева О.С, Самойлов Ф.В. // Вестник КРАУНЦ. Физ.-мат. науки. - 2020. - Т.31. №2. - С.70-78. - ISSN 2079-6641.

111. Винокурский, Д.Л. Построение траекторий облёта препятствий группой БПЛА /Д.Л. Винокурский, К.Ю. Ганьшин, Ф.В. Самойлов // Сборник

трудов международной научной конференции «Современные проблемы прикладной математики, информатики и механики», Нальчик: изд-во Кабардино-Балкарского государственного университета им. Х.М. Бербекова, 2022, с. 18

112. Ганьшин, К.Ю. Разработка метода оптимизации траектории облета среды с препятствиями на основе кривых Безье с годографом Пифагора // К.Ю. Ганьшин, Д.Л. Винокурский, О.С. Мезенцева, Ф.В. Самойлов // Инженерный вестник Дона, сетевое издание. - 2023. - № 7. - 0.5/0.35

113. Ганьшин, К.Ю. Численный метод решения оптимизационной задачи траекторного управления и поддержания формации группой автономных БПЛА с прогнозирующими моделями / К.Ю. Ганьшин, Д.Л. Винокурский, О.С. Мезенцева, Ф.В. Самойлов // Известия Кабардино-Балкарского научного центра РАН. - 2023. -№ 3(113). - С. 10-13. - 0.2/0.1

114. Григорьев, М. И. Полиномы Бернштейна и составные кривые Безье /М.И. Григорьев, В.Н. Малоземов, А.Н. Сергеев // Журнал вычислительной математики и математической физики. 2006. Том 46, № 11. С. 1962-1971.

115. Дроздова, В.И. Алгоритм облета препятствий на пути группы БПЛА / В.И. Дроздова, Г.В. Шагрова, Д.Л. Винокурский, Ганьшин К.Ю. [и др.] // Нелокальные краевые задачи и родственные проблемы математической биологии, информатики и физики : Материалы VI Международной научной конференции, Нальчик, Кабардино-Балкарская Республика, Россия, 05-09 декабря 2021 года / Институт прикладной математики и автоматизации - филиал ФГБНУ «Федеральный научный центр «Кабардино-Балкарский научный центр Российской академии наук». - Нальчик, Кабардино-Балкарская Республика, Россия: Издательская типография "Принт Центр", 2021. - С. 73. - БЭК 1ВТУ^.

116. Самойлов, Ф.В. Модернизированный метод контроля групп квадрокоптеров /Ф.В. Самойлов, К.Ю. Ганьшин, О.С. Мезенцева, Д.Л. Винокурский // Современная наука и инновации. - Э01 10.33236/2307-910Х-2020-2-30-52-56. - 2020. - № 2(30). - С. 55-60. - 0.25/0.1

117. Свидетельство о регистрации программы для ЭВМ RU2023617125 «FlocЮDшnes - комплекс автономного управления группой БПЛА»: № 2023617125 : заявл. 20.03.2023 : опубл. 05.04.2023 / Ганьшин К. Ю. - 3 МБ.

118. Фаддеев, Д.К. Вычислительные методы линейной алгебры /Д.К. Фаддеев, В.Н. Фаддеева // Ленинград: Изд-во «Наука». - 1975.