Построение изображений рассеивающих объектов в истинных амплитудах тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат физико-математических наук Протасов, Максим Игоревич

• Протасов, Максим Игоревич
• кандидат физико-математических наук
• 2006

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Протасов, Максим Игоревич

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1. ИЗУЧЕННОСТЬ ВОПРОСА.

ГЛАВА 2. ПОСТРОЕНИЕ "ПОЧТИ" ОБРАТНОГО ОПЕРАТОРА

ЛИНЕАРИЗОВАННОЙ ОБРАТНОЙ ЗАДАЧИ СЕЙСМКИ В СКАЛЯРНОМ СЛУЧАЕ.

2.1. Постановка обратной задачи и её линеаризация.

2.2. Асимптотическое решение обратной задачи.

2.2.1. Ключевая интегральная формула.

2.2.2. Формула обращения, и её свойства.

2.3. Численные примеры построения изображений для простой модели.

ГЛАВА 3. ЧИСЛЕННОЕ ПОСТРОЕНИЕ ИЗОБРАЖЕНИЙ НА ПРИМЕРЕ

СИНТЕТИЧЕСКИХ ДАННЫХ SIGSBEE2A.

3.1. Описание модели Sigsbee2a.

3.2. Построение изображений в простой части модели Sigsbee2a.

3.3. Построение изображений в сложной части модели Sigsbee2a.

3.3.1. Трассирование гауссовых пучков в сглаженной модели.

3.3.2. Построение изображений в сглаженной модели.

3.4. Численное исследование устойчивости метода.

ГЛАВА 4. ПОСТРОЕНИЕ ИЗОБРАЖЕНИЙ В АНИЗОТРОПНЫХ

СРЕДАХ.

2.1. Гауссовы пучки в анизотропной среде.

2.2. Построение изображений рассеивающих объектов.

2.3. Численные примеры построения изображений рассеивающих объектов в трансверсально-изотропной среде.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Построение изображений рассеивающих объектов в истинных амплитудах»

Объектом исследований в данной работе являются волновые сейсмические поля многократного перекрытия.

Актуальность. Одним из основных этапов обработки сейсмических данных является построение волновых изображений. Входной информацией при их реализации, кроме самих данных, является наличие макроскоростной модели. Ниже под этим выражением, следуя устоявшейся к настоящему времени терминологии, будет пониматься такое распределение скорости, которое предписывает правильные времена распространения волн, но не приводит к возникновению сколько-нибудь значимых отражений. Естественно, это верно для достаточно больших расстояний - порядка нескольких длин воли. Построение изображений, таким образом, сводится к отображению в заданной скоростной модели объектов, вызывающих изменение направления распространения сейсмической энергии и ее возвращение па свободную поверхность, к расположенной там системе наблюдений.

Используемые в настоящее время методы построения изображений в заданной макроскоростной модели весьма разнообразны и имеют довольно давнюю историю. Наиболее исследованным среди них является сейсмическая миграция, восходящая еще к предложенному Ю.В. Ризпиченко [28] методу полей - времен. К настоящему времени это направление является одним из наиболее развиваемых в современной геофизике. Здесь необходимо подчеркнуть, что подавляющее большинство используемых в настоящее время миграционных процедур в качестве "скелета" используют прямое и обратное "кинематическое отображение" элементарных рассеивающих объектов. Такое отображение переводит элементарный рассеивающий объект (рассеивающая "точка") из пространственной области в поверхность Гюйгенса во временной области (годограф дифрагированной волны ), а точку из временной области - в поверхность равных времен пробега дифрагированных волн или изохрону [58],[77]. Подавляющее количество используемых в настоящее время алгоритмов миграции сейсмических данных базируется на построении изображений путем суммирования исходных данных вдоль годографа дифрагированной волны. Естественно, что при использовании корректной макроскоростной модели будет получено "кинематически" корректное изображение изучаемой среды. Однако его динамическая достоверность при этом никоим образом не гарантируется, так как не принимается в учет изменчивость амплитуды волны в процессе ее распространения. Поэтому, при прочих равных условиях, интенсивность, или "яркость", более глубоко залегающих границ на получаемом волновом изображении, будет, как правило, меньше, чем у вышележащих. В то же время, получение изображений, яркость которых отражает распределение физических свойств горных пород, слагающих разрез, является чрезвычайно важной проблемой современной сейсморазведки и необходимым условием для проведения правильной интерпретации результатов обработки сейсмических данных. В настоящее время для получения таких изображений осуществляют вышеупомянутое отображение с некоторым весом, предназначенным компенсировать изменчивость амплитуды волн при их распространении в среде.

Приемы, используемые для построения таких весов берут свое начало от работ [39], [63], [41] и основаны на применении различных видов асимптотического разложения функции Грина в неоднородной среде. Наиболее употребительным при этом является использование нулевого члена лучевого разложения. Однако, его область применения ограничена только теми средами, для которых центральное поле лучей оказывается регулярным. Предлагаемый в настоящей работе подход к построению изображений в истинных амплитудах свободен от такого недостатка, так как основан на асимптотическом представлении функции Грина в виде суперпозиции Гауссовых пучков, являющихся регулярными во всем пространстве. Замечательным фактом при этом оказалась и возможность получения с помощью этих же Гауссовых пучков так называемых "селективных" изображений. Селективные изображения - это такие изображения среды, на которых представлены только лишь определенным образом расположенные (наклоненные) в пространстве отражающие объекты. Они несут в себе чрезвычайно полезную информацию при изучении распределения в среде различного рода сингулярных объектов, таких как разломы, зоны повышенной трсщшговатости и другие. Используемые в настоящее время приемы для построения изображений таких зон никоим образом не позволяют получать "истинные" амплитуды и, следовательно, получать количественные оценки концентрации и степени неоднородности этих объектов. Предлагаемый в данной работе подход позволяет это сделать и, тем самым, существенно повысить информативность результатов обработки.

Цель исследований - обеспечить повышение информативности результатов обработки сейсмических данных за счет получения изображений (включая и селективные изображения) отражающих/рассеивающих объектов в "истинных" амплитудах для макроско-ростных моделей сколь угодно сложного строения.

Научная задача - разработать численные методы решения лииеаризованной обратной задачи сейсмики и на этой основе создать алгоритмы обработки сейсмических данных многократного перекрытия, обеспечивающие достоверное восстановление расположения и физических свойств отражающих/рассеивающих объектов, помещенных в макроскорост-ную модель сколь угодно сложного строения.

Основные этапы исследований:

• получить основные интегральные тождества, связывающие точные решения уравнения Гельмгольца и уравнения эластодинамики с их асимптотическими решениями (Гауссовы пучки);

• с помощью конечно-разностного моделирования изучить основные особенности процессов распространения Гауссовых пучков в сложноустроенных средах на примере модели SIGSBEE2A и установить на этой основе границы применимости полученных интегральных тождеств;

• на основе полученных интегральных тождеств и теории псевдодифференциальных операторов построить "почти" обратный оператор для отыскания приближенного решения линеаризованной обратной задачи сейсмики;

• провести серию численных экспериментов для верификации полученных соотношений.

Методы исследований и фактический материал.

Теоретической основой решения поставленной научной задачи являются:

• результаты современной теории распространения волновых полей в сложнопостро-енных средах, особенно относящиеся к построению приближенных, асимптотических решений, обладающих свойством локальной сосредоточенности;

• теория псевдодифференциальиых операторов, позволившая получить представление действия сконструированного "почти" обратного оператора по степеням гладкости;

• конечно-разностные методы, позволившие верифицировать полученные результаты.

Численные алгоритмы создавались и тестировались в процессе обработки представительной серии синтетических данных многократного перекрытия, среди которых ключевую роль занимал международно признанный набор данных для модели SIGSBEE2A.

Верификация результатов осуществлялась на наборе данных SIGSBEE2A, представляющем из себя данные многократного перекрытия для тонкослоистой среды с серией малоамплитудных разломов, содержащей в себе массивное соляное тело с границей чрезвычайно сложной формы.

Защищаемые научные положения:

• Построен "почти" обратный оператор линеаризованной обратной задачи сейсми-ки, восстанавливающий амплитуды "разрывов" контраста скорости среды.

• Построены селективные изображения рассеивающих объектов и отражающих площадок, на основе "почти" обратного оператора.

Новизна работы. Личный вклад.

• Выполненные автором лично преобразования тождества, полученного с использованием теоремы Грина, и анализ получеппых соотношений, основывающиеся на использовании теории псевдодифферепциальпых операторов, позволили построить "почти" обратный оператор для линеаризованной задачи сейсмики.

• - Проведенный автором лично анализ данного оператора, позволил построить селективные изображений среды, на которых преимущественно представлены только лишь определенным образом ориентированные отражающие и рассеивающие элементы. Соискателем лично разработано программное обеспечение, реализующее действие данного "почти" обратного оператора.

• Соискателем лично получены тождества, посредством использования теоремы Грина, на основе которых построены изображения рассеивающих объектов в анизотропных средах.

Теоретическая и практическая значимость результатов.

Впервые предложен и обоснован метод построения изображений отражающих и рассеивающих объектов, сохраняющий их амплитудные характеристики (коэффициенты отражения и интенсивность рассеяния), без каких-либо ограничений па строение макроско-ростной модели. Проведенная серия численных экспериментов на международно признанном тестовом наборе синтетических данных SIGSBEE2A позволила верифицировать предложенный метод и уточнить его границы применимости. Разработанное программное обеспечение может служить прототипом для создания промышленных обрабатывающих систем, обеспечивающих построение изображений отражающих/рассеивающих объектов в истинных амплитудах.

Апробация работы и публикации.

• Основные положения и результаты докладывались на Международной научной студенческой конференции "МНСК - 2004" (Новосибирск, 2004) [24], Международной конференции по вычислительной математике "МКВМ 2004" (Новосибирск, 2004), Международной конференции "Сейсмические волны в латерально-неоднородных средах" (Прага(Чехия), 2005) [71], международной конференции "Дни дифракции 2005" (Санкт-Петербург, 2005) [70], а также па семинарах Института геофизики СО РАН, Института вычислительной математики и математической геофизики СО РАН и Института математики СО РАН.

• Результаты исследований по теме диссертации изложены в 8 опубликованных работах. Из них 4 работы - это тезисы докладов [24], [25], [26], [70] на российских международных конференциях. Одна работа - это тезисы доклада [71] на Международной конференции, проводимой раз в четыре года Институтом геофизики Чешской АН. Одна работа - это расширенные тезисы на Международной конференции, проводимой EAGE в Мадриде в июне 2005 г[09]. Ещё одна работа - это статья в рецензируемых материалах международной конференции "Дни дифракции 2005" [72]. И последняя работа - это статья в журнале Докл. РАН [27].

Диссертация выполнена в лаборатории динамических проблем сейсмики Института геофизики СО РАН.

Автор выражает искреннюю признательность научному руководителю, к.ф.-м.н. В.А. Чеверде за всестороннюю поддержку и постоянное внимание. Хочется также поблагодарить к.ф.-м.н. A.M. Айзенберга и к.ф.-м.н. А.А. Дучкова за то, что они взялись за труд ознакомиться с работой и высказать о ней свое мнение.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Протасов, Максим Игоревич

Заключение

Основным результатом работы является развитие, реализация и тестирование оригинального подхода построения сейсмических изображений, который позволяет получать изображения в истинных амплитудах в сложноустроеппых средах. Его отличительной особенностью является использование отдельных гауссовых пучков. Использование гауссовых пучков позволяет получать изображение геологической среды в истинных амплитудах во всех точках целевой области, в том числе и в сингулярных точках поля лучей. Метод также позволяет строить селективные изображения рассеивающих объектов, а также изображения отражающих площадок с заданным наклоном при чем в истинных амплитудах.

Корректное выполнение процедуры трассировки гауссовых пучков является ключевым моментом для получения информативного изображения изучаемого геологического объекта. Так для сред, в которых не происходит дифракции или рассеяния гауссовых пучков, продемонстрирована работоспособность метода на примере синтетических данных Sigsbee2a. В таких средах метод содержит ограничения, связанные с ограниченностью апертуры системы наблюдения и спектра зондирующего сигнала, которые имеют и все другие методы. Нужно сказать, что ограниченность апертуры накладывает два основных ограничения на стандартные способы миграции: появляются ложные изображения ("краевые эффекты"), и восстанавливаются не все отражающие площадки (условия освещения). Недавно, в работе [62] предложено усовершенствование миграции Кирхгофа, позволяющее избежать этих ложных изображений. Кратко говоря, идея метода заключается в "обрезании" изображения по зонам Френеля. Развиваемый в настоящей работе метод автоматически производит такие "обрезания" за счёт сосредоточенности гауссовых пучков, а также за счёт их специального выбора.

Для сред, в которых, наоборот, происходит дифракция или рассеяние гауссовых пучков, метод содержит ограничения. Результатам, полученным с помощью предлагаемого метода, доверять нельзя в тех случаях, когда используются гауссовы пучки, при распространении которых происходит их дифракция или рассеяние.

Надо сказать, что по временным затратам метод сравним с миграцией Кирхгоффа, Хила(по гауссовым пучкам), и значительно быстрее работает конечпо-разпостпых миграций. Современные вычислительные машины делают возможным использовать конечно-разностные миграции на практике пока только в двумерном случае. Однако трёхмерные реализации конечно-разностных миграций очень трудоёмки, поэтому в этом случае используется в основном миграция Кирхгоффа. Альтернативой миграции Кирхгоффа в этом случае может служить трёхмерная реализация для уравнений упругости, изложенного в настоящей работе, подхода. В связи с этим в дальнейшем предполагается полностью обобщить описанный подход для уравнений упругости в 3-D постановке.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Протасов, Максим Игоревич, 2006 год

1. Алексеев А.С., Костин В.И., Хайдуков В.Г., Чеверда В.А. Восстановление двумерных возмущеиий скорости вертикально-неоднородной акустической среды по данным многократного перекрытия.// Геология и геофизика, 1997, т.38, с.1980-1992.

2. Бабич В.М., Болдырев B.C. Асимптотические методы в задачах дифракции коротких волн.// Москва, Наука, 1972, 456 с.

3. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы.// М.: Наука, 1987, 542 с.

4. Виппик A.M., Эйдус Д.М. Об условиях излучения для областей с бесконечными границами.// Докл. АН СССР, 1974, т. 214(1), с.12-15.

5. Владимиров B.C. Уравнения математической физики.// М.: Наука, 1972, 395 с,

6. Годунов С.К., Антонов А.Г., Кирилюк О.П. , Костип В.И. Гарантированная точность решения систем линейных уравнений в евклидовых пространствах.// Новосибирск, Наука, 1990, 352 с.

7. Гольдип С.В. Оценка кинематических параметров сейсмических волн по методу фокусировки.// Геология и геофизика, 1982, JVa4, с.71-80.

8. Гольдип С.В. Использование каустик при оценке кинематических параметров сейсмических волн.// Геология и геофизика, 1982, №9, с.130-132.

9. Гольдин С.В. Интегральные продолжения волновых полей.// Геология и геофизика, 1985, №3, с.71-76.

10. Гольдин С.В. Динамический анализ изображений в сейсмике.// Геология и геофизика, 1987, №2, с.90-98.

11. Гольдин С.В. Оценка коэффициента отражения при миграции обменных и монотипных волн.// Геология Геофизика, 1992, ЛЧ с.90-105.

12. Дубровин Б.А., Новиков С.П.,Фоменко А.Т. Современная геометрия.// М.: Наука, 1979, с.357.

13. Кирпичпикова Н.Я. О построении сосредоточенных вблизи лучей решений уравнений теории упругости для неоднородного изотропного пространства.// Труды МИАН СССР, 1971, т.115, с.114-130.

14. Клаербоут Д.Ф. Сейсмические изображения земных недр.// М.: Недра, 1989, 406 с.

15. Купрадзе В.Д. Трёхмерные задачи математической теории упругости и термоупругости.// М.: Наука, 1976, 663 с.

16. Ладыженская О.А. Краевые задачи математической физики.// М.: Наука, 1973, 453с.

17. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Механика.// М.: Наука, 1973, 375 с.

18. Мизохата С. Теория уравнений с частными производными.// М.: Мир, 1977, 504 с.

19. Номофилов В.Е. Асимптотические решения системы дифференциальных уравнений второго порядка, сосредоточенные в окрестности луча.// Зап. паучн. семин. ЛОМИ, 1981, т.104, с.170-179.

20. Поздняков В.А., Сафонов Д.В., Чеверда В.А. Оптимизация параметров фокусирующих преобразований с использованием численного моделирования.// Геология и геофизика, 2000, т.41. п.6, с.930 938.

21. Поздняков В.А., Чеверда В.А., Ледяев А.И. Фокусирующие преобразования многокомпонентных сейсморазведочных данных.// Геофизика XXI века прорыв в будущее, 2003, с.254-261.

22. Попов М.М. Метод суммирования гауссовых пучков в изотропной теории упругости.// Изв. АН СССР, сер. Физика Земли, 1983, №9, с.39-50.

23. Попов М.М. Новый метод расчёта волновых полей в высокочастотном приближении.// Заи. научн. семин. ЛОМИ, 1981, т.104, с.195-216.

24. Протасов М.И. Построение сейсмических изображений с помощью гауссовых пучков./ / Тезисы докладов Второй Сибирской международной конференции молодых ученых по наукам о Земле, 2004, с. 144.

25. Протасов М.И., Чеверда В.А. Построение сейсмических изображений в истинных амплитудах.// Докл. РАН, 2006, т.407(4)

26. Ризниченко Ю.В. Геометрическая сейсмика слоистых сред.// Тр.ин-та теор. Геофизики, Вып.1, 1946, с.3-114.

27. Романов В.Г. Одна задача нитегральной геометрии и линеаризованная обратная задача для дифференциального уравнения.// Сиб. мат. жури., 1969, т.Ю, №6, с.1364-1374.

28. Романов В.Г. Обратные задачи математической физики.// М.: Наука, 1984, 264 с.

29. Тимошин Ю.В. Основы дифракционного преобразования сейсмических сигналов.// М.: Недра, 1972, 263 с.

30. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач.// М.: Наука, 1986, 286 с.

31. Чеверда В.А., Гольдин С.В., Костин В.И., Неклюдов Д.А. Отделение рассеяния/дифракции от регулярного отражения в сейсмических данных.// Геология и геофизика, 2003, 8, с.819 827.

32. Шубин М.А. Псевдодифференциальные операторы и спектральная теория.// М.: Наука, 1978, 279 с.

33. Эйдус Д.М. Принципы предельной амплитуды.// УМН, 1969, Т.ХХ1У, с.91-156.

34. Bamberger A., Chavent G., Lailly P. About the stability of the inverse problem in a 1-D wave equation application to the interpretation of seismic profiles.// Journal of Applied Mathematics and Optimization, 1979, v.5, pp. 1-47.

35. Ben-Menahem A., Beydoun W. Range of validity of seismic ray and beam methods in general inhomogeneous media-I. General theory.// Geophys. J. R. astr. Soc., 1985, v.82, pp.207-234.

36. Bevc D., Fliedner M., Crawley S., Biondi B. Wave Equation Imaging Comparisons: Survey Sinking vs. Shot Profile Methods.// SEG International Exposition and 73 Annual Meeting, 2003, main menu.

37. Beylkin G. Imaging of discontinuities in the inverse scattering problem of a casual generalized Radon transform.// J. Math. Phys., 1985, v.26(l), pp.99 108.

38. Biondi B. Stable wide-angle Fourier Finite Difference downward extrapolation of 3d wave fields.// SEG Technical Program Expanded Abstracts, 2001, pp. 1009-1012.

39. Bleistein N. On the imaging of reflectors in the earth.// Geophysics, 1987, v.52, pp.931 -942.

40. Cerveny V, Molotkov I.A., Psencik I. Ray method in seismology.// Univerzita Karlova, Praha, 1977, 214 p.

41. Cerveny V., Popov M.M., Psencik I. 1982 Computation of wave fields in inhomogeneous media. Gaussian beam approach.// Geoph. J. R. Astr. Soc., v.70, pp. 109-128.

42. Cerveny V. Seismic Ray Theory.// Cambridge, Cambridge Univ. Press, 2001, 697 p.

43. Chavent G., Plessix R. An optimal true amplitude least squares prestack depth migration operator.// Geophysics, 1999, v.9, pp.312 325.

44. Cheverda V.A., Kostin V.I. r-pseudoinverses for compact operators in Hilbert spaces: existence and stability.// J. of Inverse and Ill-Posed Problems, 1995, №3, pp.131-148.

45. Claerbout J. F. Coarse grid calculations of waves in inhomogeneous media with applications to delneation of complicated seismic structure//Geophysics, 1970, v.35, pp.407- 418.

46. Claerbout J. F. and Stephen M.D. Downward continuation of moveout-corrected seismograms.// Geophysics, 1972, v.37, pp.741-768.

47. Clement F., Khaidukov V.G., Kostin V.I., Tcheverda V.A., Linearized inversion of multi-offset data for vertically-inhomogeneous background.// Journal of Inverse and Ill-Posed problems, 1998, v.6, pp.455 477.

48. Costabel M., Dauge M. On Representation Formulas and Radiation Conditions.// Mathemtical Methods in the Applied Sciences, 1997, v.20, pp.133-150.

49. Crampin S. Suggestions for consistent terminology for seismic anisotropy.// Geophys. Prosp., 1989, v.37, pp.753-770.

50. Gang Bao, 1998, Smoothness Between Coefficients and Boundary Values for the Wave Equationio.// SIAM Journal of Mathematical Analysis, v.29, n.2, pp.380 394.

51. Gauthier, 0., Virieux, J. and Tarantola, A. Two-dimensional nonlinear inversion of seismic waveforms: Numerical results.// Geophysics, 1986, v.51, pp.1387-1403.

52. Gray S. H. The bleeding edge of seismic imaging.// CSEG Recorder, 2003, pp.26-30. 200.

53. Hagedoorn J.G. A process of seismic reflection interpretation.// Geophysical Prospecting, 1954, №2, pp.85-127.

54. Hill N.R. Prestack Gaussian-beam depth migration.// Geophysics, 2001, v.66(4), pp.1240- 1250.

55. Hill N.R. Gaussian beam migration.// Geophysics, 1990, v.55(ll), pp.1416 1428.

56. Hubral P., Schleicher J., Tygel M. A unified approach to 3-D siesmic reflection imaging. Part I: Basic concepts.// Geophysics, 1996, v.61(3), pp.742 758.

57. Klimes L. Second-order and higher-order perturbations of travel time in isotropic and anisotropic media.// Stud, geophys. geod., v.46, pp.213-248.

58. Klimes L. Relation of the wave-propagation metric tensor to the curvatures of the slowness and ray-velocity surfaces.// Stud, geophys. geod., v.46, pp.589-597.

59. Lindsey J., Herman A. Digital migration.// Oil and Gas Journal, 1970, №38, 112-115.

60. Luth S., Buske S., Giese R., Goertz A. Fresnel volume migration of multicomponent data.// Geophysics, 2005, v.70(6), pp.sl21-sl29.

61. Miller D., Oristaglio M., Beylkin G. A new slant on seismic imaging: Migration and integral geometry.// Geophysics, 1987, v.52(7), pp.931 942.

62. Mora P. Inversion=migration+tomography.// Geophysics, 1989, v.54, pp.1575-1586.

63. Paffenholz J., McLain В., Zaske J., Keliher J. Subsalt multiple attenuation and imaging: Observations from the Sigsbee2B synthetic dataset.// SEG Technical Program Expanded Abstracts, 2002, pp.2122-2125.

64. Phares S., N. Jones, V. Dirks, S. Zimine, H. Prigent, K. Ibbotson, J-P. Gruffeille. Prestack wave-equation migration as a routine production tool.// The Leading Edge, 2005, v.24(6), pp.608-613.

65. Popov M.M. A new method of computation of wave fields using Gaussian beams.// Wave motion, 1982, v.4, pp.85-97.

66. Popov M.M., Ray theory and Gaussian beam for geophysicists.// EDUFBA, SALVADOR-BAHIA, 2002, 158 p.

67. Protasov M. I., Tcheverda V.A. True amplitude Gaussian beam imaging.// 67th EAGE conference, 2005, P008.

68. Protasov M.I., Tcheverda V.A. True amplitude Gaussian beam imaging.// Days on Diffraction'2005, 2005, pp.64-65.

69. Protasov M.I., Tcheverda V.A. True amplitude migrarion.// Workshop meeting on seismic waves in laterally inhomogeneous media VI, 2005, p.63.

70. Protasov M.I., Tcheverda V.A. True amplitude Gaussian beam imaging.// Proc. DD-05, 2005, pp.225-235.

71. Saad Y. Iterative methods for sparce linear systems.// SIAM, 2000, 241 p.

72. Snieder R. The role of the Born approximation in nonlinear inversion.// Inverse Problems, 1990, v.6, pp.247-266.

73. Tarantola A. Inversion of seismic reflection data in the acoustic approximation.// Geophysics, 1984, v.49, pp.1259-1266.

74. Thomsen L. Weak elastic anisotropy.// Geophysics, 1986, vol.51(10), pp.1954-1966.

75. Tygel M., Schleicher J., Hubral P. A unified approach to 3-D seismic reflection imaging. Part II: Theory.// Geophysics, 1996, v.61(3), pp.742 758.

76. Zhang H., McMechan G., Stein J. True amplitude wave equation migration.// SEG Expanded Abstracts, 2003, v.22, pp.913-918.