Построение и исследование математических моделей наземных экологических систем тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.02, кандидат физико-математических наук Перфильев, Константин Геннадьевич

• Перфильев, Константин Геннадьевич
• кандидат физико-математических наук
• 1983

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Перфильев, Константин Геннадьевич

Оглавление.

Введение.

1. Математическая модель динамики развития наземных экологических систем.

1.1 Принципы построения и общая структура модели наземной экосистемы.

1.2 Подмодель динамики растительного покоова.

1.3 Подмодель динамики почвенных процессов.

1.4 Диалоговая имитационная система экологического развития.

2. Качественное исследование моделей наземных экологических систем.V.

2.1 Некоторые общие свойства моделей экологических систем.

2.2 Упрощенные модели замкнутых наземных экологических систем.

2.3 Стационарные режимы моделей наземных экосистем и анализ их устойчивости.

3. Идентификация моделей наземных экосистем.

3.1 Постановка задачи идентификации.

3.2 Идентификация моделей, слабо чувствительных к возмущениям начальных данных.

3.3 Идентификация моделей, слабо чувствительных к возмущениям внешних воздействий.

3.4 Дискретная постановка задачи идентификации.

3.5 Алгоритм решения задачи идентификации.

3.6 Адекватность модели экспепиментальным данным и метод получения допустимого набора параметров.

3.7 Комплекс программ идентификации моделей экологических систем.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Построение и исследование математических моделей наземных экологических систем»

Всесторонний анализ основных закономерностей развития экологических систем различного уровня организации [78] от биос()еоы нашей планеты в целом до элементарных ее составляюших биогеоценозов, представляется в настоящее время одной из важнейших задач в решении широкого класса проблем, связанных с повышением ЗЬг[1ективности системами. Актуальность и необходимость получения зультатов (фундаментальных реуправления социально-экономическими и биологическими в этой области исследований, их скооеишего внедрения в практику народнохозяйственного планирования и управления неоднократно отмечались в документах партийных и государственных решений. В частности, в "Основных направлениях экономического и социального развития СССР на I98I-I985 гг. и на период до 1990 г.", утвержденных на ХХУ1 съезде КПСС, проблема усиления охраны природы, земли, ее недр, атмос(11ерного воздуха, водоемов, животного и э)гЬективности использования всех растительного мира, повышения природных ресурсов в целом входит в число семи основных задач [I], а в современного социально-экономического развития стоаны постановлении Верховного Совета СССР от 20 сентября 1972 г. записано: "Охрана природы и рациональное использование природных сурсов рев условиях быстрого развития промышленности, транспорта и хозяйства, развертывания научно-технической революсельского ции... ставятся одной из важнейших общегосударственных задач, от народнохозяйственных решения которой зависит успешное выполнение Основные направления экономического и социального развития СССР на I98I-I985 годы и на период до 1990 года.- В сб.: Материалы ХХУ1 съезда К П С С М.: Политиздат, I98I, с.131-205.л планов, благосостояние нынешних и будущих поколений" [2]. В связи с этим неудивительно, что разработка методов математического моделирования динамики экологических систем в настоящее время является одной из наиболее актуальных проблем кой биологии [39,40,41]. Современное состояние разработки теории и методов гГзормального исследования биологических систем создает реальную основу для окруматематичесполучения важных практических результатов в области охраны жающей среды, включая оценку возможных последствий антропогенных на естественные и полуестественные экосистемы воздействий [31,52,67], управления восстановлением пастбищных и лесных оесурсов [18,100], повышения продуктивности и программирования урожайности агроэкологических и механизмах систем [11,15,73], интеграции знаний о в биологических системах структуре регуляции [81,106] и т.д. Исторически методы математического моделирования и г11ормального исследования биологических систем берут свое начало с пабот Вольтепра, Лотки [13] и далее Гаузе, Колмогорова, Костицына и до. [99,101,102], посвященных анализу моделей взаимодействующих популяций, которые позднее подверглись весьма строгой критике. "Пои этом забывается, что целью Вольтерра являлось не точное описание пригодны обтих без какой-либо конкретной ситуации (для этого обычно больше статистические оегрессионные модели), а исследование свойств таких систем. Естественно, что при этом не сильных обойтись упоошений реальной картины" [70]. Неудивительно поэтому, что указанные работы, а также большой ряд оабот, последовавших за ними [45,110], имели скорее теоретическое, нежели поактическое этой значение и служили целям разработки аппарата исследований в Ведомости Верховного Совета СССР, 1972, 39, с.346.новой области. Началом развития методов математического моделирования дукционного пропроцесса растительного покрова, как одной из составэкологической системы, следует считать ляющих всякой наземной 1953 г., когда поя1Г!лась работа Монси и Саэки [11,105], где была от радиации, предложена первая модель фотосинтеза в зависимости относительной площади листьев и их ориентации. Развитием предложенных в указанной работе идей является [95], где впервые вводится уравнение роста растительной биомассы как разности между готосинтезом и дыханием. Дальнейшая моди(Т)икация и уточнение моделей экологических систем привели к включению в них, наряду с описанием процессов (Фотосинтеза и роста, также (!)ормального представления механизмов переноса вещества, энергии и прежде всего транспорта элементов) в системе элементов минерального питания (биогенных "растительность почва атмос(Т)ера" [18,90], динамики влаги (транспирация, эвапотранспирация, динамика таз) [11,76], динамики ассимилятов [11,12,36], механизмов онтогенеза растительности [39] с учетом современных достижений в области Физиологии растений, экологии, почвоведения, метеорологии и т.д. Подводя итог результатам, полученным в настоящее время в области математического моделирования динамики экологических сисналичие двух быстро развивающихся тем, следует констатировать направлений исследований: построение комплексных моделей экосистем и построение специализированных моделей отдельных процессов в экосистемах. К первой гоуппе моделей относятся прежде всего модели агроэкологических систем [60,61,73,94], а также модели гаироколиственных листопадных лесов [96,97,103,113], поерии и луговых экосистем [18,100]. Вторая группа значительно более многочисленна (см. например, [11,12,36,39,76,77,104]). Следует отметить, что построение комплексных моделей нередко осуществляется путем обьединения специализиоованных частных моделей в единое пЬоомальное описание. Однако реализация такого подхода в моделиоовании наталкивается на определенные трудности вследствие разного уровня детализации описания специализированных моделей (блоков). Как свидетельствует накопленный опыт построения и вания использомоделей экологических систем, успешное проведение исследований зависит от правильного выбора методологической основы. Особенностью настоящего этапа развития современной методологии моделирования является пюрмирование междисциплинарных комплексов знаний, "которые включают общественно-научные, естественные и технические дисциплины" [83]. Традиционный подход к изучению различных процессов и явлений состоит в выделении небольшого числа основных параметров, определяющих протекание процесса, и исследовании их взаимных на характерном интервале изменений времени. При этом предполагается, что исследовании, не изменение других параметров, неучитываемых при вносит на выбранном характерном временном интервале заметных корректив в картину явления. Традиционность рассмотрения позиций явления с какого-либо одного научного направления и определяет как уровень детализации описания, так и величину характерного отрезка времени исследования. Такой традиционный подход к исследованию конкретных экологических систем наталкивается на принципиальные трудности. Всякая организованную систему из экосистема представляет собой сложно большого числа элементов, испытывающих воздействия самого разнонеобходиобразного характера, что приводит, в конечном итоге, к мости [14]. включения в модель значительного количества параметров Разрешение всех указанных трудностей, возникающих в ровании экологических моделисистем самого различного уровня опганизации, может быть достигнуто только на основе системного мекдисциплинаоного, подхода, при котооом учитывается огромное число параметров и связей между ними, изучается поведение системы в целом, а не отдельных ее частей. Существенным стимулом использования исследованиях идей и методов системного анализа в экологических служат последние достижения в области цифровой вычислительной техники и особенно диалоговые возможности современных ЭВМ. Подводя итог накопленному в настоящее воемя опыту ческого моделирования сложных математидинамических систем, в том числе экологических, с позиций системного подхода, весь процесс постпоения, анализа и использования модели можно разбить на следующие приложениях этапы, присутствующие в той или иной степени во всех системного анализа [23,50]: выбор и формулировка проблемы; постановка задачи и ограничение степени ее сложности, установление иерархии целей и задач; разработка математической модели системы; аналитическое исследование модели и качественный анализ степени ее пригодности; алгоритмизация и составление программы для ЭВМ; иденти(!)икация и веригикация модели; анализ и проведение численных экспериментов с моделью, внедрение результатов экспериментов. Важность первого из указанных этапов обусловлена поежде всего тем, что осмысление действительной необходимости проведения чем выбор прявильного конкретного исследования не менее важно, метода решения. Второй из выделенных этапов, столь же слабо f)0Dмaлизyeмый на современном уровне развития методов системного анализа, как и концептуального первый, заключается, (Т)актически, в построении описания моделируемого явления или процесса и, в первую очередь, выделении необходимого набооа реакторов и взаимосвязей, учет которых обеспечивает достикение поставленных целей. Именно этот этап во многом определяет возможность получения практических пезультатов, поскольку "успех и неудача всего исследования во многом зависят от тонкого равновесия между упрощением и усложнением оавновесия, при котором сохранены все взаимосвязи с исходной пооблемой, достаточные для того, чтобы аналитическое лось интерпретации" [23]. Исследование сложной динамической системы позиций системного любой природы с решение поддаваподхода основывается на использовании строго формального математического аппарата, применение которого, в конечном итоге, позволяет провести достаточно полный качественным анализ свойств модели. В своем подавляющем большинстве модели наземных экологических систем представляют собой сложные системы обыкновенных ди)гперенциальных уравнений или их конечно-разностные аналоги, построение которых и является предметом следующего третьего этапа исследований. С целью повышения наглядности и облегчения процесса формальной структуры анализа модели за последнее десятилетие был создан среди ряд методов гра(!1Ического описания моделируемой экосистемы, которых камерный наиболее анализ язык часто используются "системная динамика" [98], язык энергетических цепей [89,111], дискретных [107,108,109], шизико-химических систем CII4]. Каждый из этих языков представления структуры модели основывается на аппарате дифференциальных или конечно-разностных уравнений, причем в некоторых случаях соответствие между ними СТРОГО обосновано [92,93]. Качественное (1оормальной исследование некоторых свойств предлагаемой модели является мелью следующего четвертого этапа и позволяет уже на ранних стадиях работы избежать ряда неточностей ошибок и в процессе ее построения. Следует отметить, что просложных математических ведение качественного анализа достаточно моделей реальных систем часто оказывается весьма затруднительно. Как уже отмечалось ранее, в своем абсолютном большинстве математические модели экологических систем самого различного уровня организации представляют собой достаточно слосные системы обыкновенных дифференциальных или конечно-разностных уоавнений, иденти( к ц я и вериГпикация котооых на экспериментальном материале ока!иаи зывается весьма сложной, а порой и неразрешимой проблемой в СИЛУ данных. Между тем, некоторые отсутствия или неполноты опытных важные общие свойства поведения экологической системы могут быть с малым исследованы на основе простейших математических моделей числом параметров, базирующихся на концепции "минимальной модели" [47,48]. Такой подход позволяет, с одной стороны, с минимальными затратами осуш.ествить экспериментальную проверку предлагаемой модели, а с другой, провести полное исследование качественных бенностей моделируемой экосистемы. Несмотря на то, что сам замысел схематического описания воеменной эволюции экологической системы в терминах изменения параосометров ее состояния при помощи системы ди(1))еренциальных уравнений весьма несовершенен [28], для такого класса моделей был получен теоряд интересных результатов имеющих большую практическую и ретическую ценность, например, установление i K a циклического faT развития сообщества из двух и более взаимодействующих популяиий в классической модели "хищник-жертва" [13,28,71], исследование качественных свойств моделей так называемых Л-систем (основанных на Подробную библиогра1ИГО по отечественным работам в ласти можно найти в [44,45], а по зарубежным в П О этой обII использовании принципа лимитирования Либиха [59]) [17,34] и Однако, как правило, т.д. эти результаты являются следствием выбора систеконкретного вида правых частей, используемых в уравнениях мы Вместе с тем, большой интерес для исследования реальных экологических систем, полная количественная информация о которых нередко отсутствует, представляют качественные результаты, вытекающие из весьма обших качественных предпосылок о виде правых частей диг!)ференциальных уравнений, описывающих динамику системы. Реальная аппаратная основа для проведения такого рода исследований в настоящее время уже имеется, поскольку, например, для технических систем подобные методы разработаны достаточно хорошо. В первую очередь здесь следует отметить развитый аппарат теории успешно устойчивости [21,42,43,86], некоторые методы которой уже применялись для исследования стационарных состояний отдельных классов моделей экологических систем [62,66,71]. Пятый и седьмой из отмеченных ранее этапов исследования посредственно несвязаны с применением современных средств вычислигоды появился тельной техники. Несмотря на то, что за последние целый ряд работ, посвященных автоматизации процесса разработки специального программного обеспечения для целей имитационного моделирования [6,91,112], результаты каждого из этих этапов в знаи интуиции чительной степени зависят от искусства, возможностей исследователя. Следует отметить, что на первом из этих этапов может возникнуть целый ряд дополнительных проблем технического характера. Прежде всего к ним относятся задачи выбора временных сеток и методов интегрирования возникающей задачи Коши, вопросы соответствия конечно-разностных соотношений описания динамики экосистемы исходной системе дифференциальных уравнений и т.д. [66]. Наконец, важность шестого этапа едва ли вызывает сомнение, поскольку именно он, в конечном итоге, обеспечивает получение математической модели исследуемой системы, пригодной для поактических применений [88], и оценку возмояной области ее применимости. вопросы Однако, как показывает дане поверхностный анализ, именно иденти(1)икации не нашли в настоящее время должного отражения в работах по математической биологии и, в частности, по кому моделированию наземных экологических математичессистем. То же самое можно сказать и о вериг[1икации моделей одном из наиболее трудных и одновременно слабо изученных

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Перфильев, Константин Геннадьевич, 1983 год

1. Основные направления экономического и социального развития СССР на 1.81-I985 годы и на период до 1990 года.- В сб.: Материалы ХХУ1 сьезда КПСС.- М.: Политиздат, 1981, с.131-205.

2. Ведомости Верховного Совета СССР, 1972, № 39, с.346.

3. Агроценозы степной зоны.- Новосибирск: Наука, 1984.- 290с.

4. Андерсон Т. Статистический анализ временных рядов.- М.: Мир, 1976.- 755с.

5. Антипин А.С. Методы нелинейного программирования, основанные на прямой и двойственной модификации Функции Лагранжа. Препринт.- W.: ВНИИСИ, 1979.- 73с.

6. Варбашин Е.А. Функции Ляпунова.- И.: Наука, 1970.- 2,40с.

7. Бард И. Нелинейное оценивание параметров.- ¥.: Статистика, 1979.- 349с.

8. Баутин Н.Н., Леонтович Е.А. Методы и приемы качественного исследования динамических систем на плоскости.- М.: Наука, 1976.- 496с.

9. Березин И.С., Жидков Н.П. Методы вычислений. Том I.- М.: Наука, 1966.- 632с.

10. Бихеле З.Н., Молдау Х.А., Росс Ю.К. Математическое моделирование транспирации и Фотосинтеза растений при недостатке почвенной влаги.- Л.: Гидрометеоиздат, 1980.- 217с.

11. Бихеле И.Г., Молдау Х.А., Росс Ю.К. Субмодель распределения ассимилятов и роста растения при водном дефиците. Препринт- 95 А-5.- Тарту: ТАО, 1980.- 23с.

12. Вольтерра В. Математическая теория борьбы за существование.-М.: Наука, 1976.- 286с.

13. Ворощук А.Н., Пегов С.А., Перфильев К.Г., Соколов А.В. Вопросы системной экологии. Препринт.- М.: ВНИИСИ, 1979.- 52с.

14. Галямин Е.П. 0 построении динамической модели Формирования урожаев агроценозов.- В сб.: Биологические системы в земледелии и лесоводстве.- м.: Наука, 1974, с.70-83.

15. Геловэни В.А., Голубков В.В., Щербов С.Я. Идентификация параметров конечно-разностным методом Гаусса-Ньютона.- В сб.: Моделирование процессов глобального развития. Вып. 8.- М.: ВНИИСИ, 1979, с.104-119.

16. Гильдерман Ю.И., Кудрина К.Н., Полетаев И.А. Модели Л-систем (систем с лимитирующими Факторами).- В сб.: Исследования по кибернетике.- М.: Советское радио, 1970, с.165-170.

17. Гильманов Т.П. Математическое моделирование биогеохимических циклов в травяных экосистемах.- М.: МГУ, 1978.- 166с.

18. Годунов С.К. , Рябенький B.C. Разностные схемы.- М.: Наука, 1977.- 439с.

19. Гроп Д. Методы идентификации систем.- М.: Мир, 1979.- 302с.

20. Демидович Б.П. Лекции по математической теории устойчивости.-М.: Наука, 1967.- 472с.

21. Демьянов В.Ф., Рубинов A.M. Приближенные методы решения экстремальных задач.- Л.: ЛГУ, 1968.- 180с.

22. ДжефФерс Дж. Введение в системный анализ: применение в экологии.- М.: мир, 1981.- 256с.

23. Ивахненко А.Г. Системы эвристической самоорганизации в технической кибернетике.- Киев: Техника, 1971,- 372с.

24. Идентификация и оптимизация нелинейных стохастических систем.- }".: Энергия, 1976.- 440с.

25. Канторович Л.В., Акилов Г.П. Функциональный анализ.- м.: Наука, 1977.- 741с.

26. Коллатц Л. Численные методы решения дифференциальных уравнений.- М.: 14Л, 1953.- 459с.

27. Колмогоров А.Н. Качественное изучение математических моделей популяций.- В сб.: Проблемы кибернетики. Вып. 25,- М.: Наука, 1972, с.100-106.

28. Крамер П., Козловский Т. Физиология древесных растений.- ч.: Гослесбумиздат, 1963.- 627с.

29. Красносельский М.А. Положительные решения операторных уравнений.- М.: Физматгиз, 1962.- 394с.

30. Крутько В.Н., Пегов С.А., Хомяков Д.И., Хомяков П.И. Модель динамики средообразующих Факторов. Препринт.- М.: ВНИИСИ, 1980.- 53с.

31. Крылов В.И. Приближенное вычисление интегралов.- М.: Наука, 1967.- 500с.

32. Крылов В.И., Шульгина Л.Т. Справочная книга по численному интегрированию.- М.: Наука, 1966.- 370с.

33. Кудрина К.Н. Математическая модель высшего растения.- В сб.: Физиология приспособления растений к почвенным условиям.- Новосибирск: Наука, 1973, с.30-35.

34. Куперман И.А., Хитрово Е.В. Дыхательный газообмен как элемент продукционного процесса растений.- Новосибирск: Наука, 1977.-183с.

35. Лайск А. Кинетика Фотосинтеза, и Фотодыхания Сь-оастений.- М.: Наука, 1977.- 195с.

36. Jlapxep В. Экология растений.- М.: Мир, 1978.- 384с.

37. Линник В.Г. Имитационная подсистема СТЭС-3. Проблемы информационного обеспечения.- В сб.: Моделирование процессов экологического развития. Вып. 2.- м.: ВНИИСИ, 1981, с.ПЗ-120.

38. ЛогоФет О.Д. Что такое математическая экология?- В сб.: Математические модели в экологии и генетике.- М.: Наука, 1981, с.8-17.

39. Ляпунов А.А. О кибернетических вопросах биологии.- В сб.: Проблемы кибернетики. Вып. 25.- М.: Наука, 1972, с.5-39.

40. Ляпунов А.А., Багриновская Г.П. 0 методологических вопросах математической биологии.- В сб.: Математическое моделиоование в биологии.- М.: Наука, 1975, с.5-18.

41. Ляпунов A.M. Общая задача об устойчивости движения.- М.: Гос-техиздат, 1950.- 472с.

42. Малкин И.Г. Теория устойчивости движения.- М.: Наука, 1966.-530с.

43. Математическая экология. Библиографический указатель отечественных работ (1935-1974)/ Сост.: Багопкий С.В., Базыкин А.Д.-Пущино-на-Оке: НИВЦ НЦБИ АН СССР, 1975.- 45с.

44. Математическое моделирование в экологии/ Под ред. Базыкина А.Д.- М.: ВИНИТИ, 1981.- 224с.

45. Моисеев Н.Н. Асимптотические методы нелинейной механики.- М.: Наука, I981.- 400с.

46. Моисеев Н.Н. Динамика биосферы и глобальные модели.- В сб.: Число и мысль. Вып. 5.- И.: Знание, 1982, с.56-113.

47. Моисеев Н.Н. Человек, среда, общество.- М.: Наука, 1982.-240с.

48. Мудров В.И., Кушко В.Л. Методы обработки измерений.- М.: Советское радио, 1976.- 192с.

49. Нейлор Т. Машинные имитационные эксперименты с моделями экономических систем.- М.: Мио, 1975.- 500с.

50. Никольский С.М. Приближение Функций многих переменных и теоремы Еложения.- И.: Наука, 1977.- 455с.

51. Одум Ю. Основы экологии.- М.: Мир, 1975.- 740с.

52. ПерФилъев К.Г. Имитационная подсистема СТЭС-3. I.Модель динамики растительного покрова.- В сб.: Моделирование процессов экологического развития. Вып. 2.- №.: ВЧИИСИ, 1981, с.40-55.

53. ПерФильев К.Г. Имитационная подсистема СТЭС-3. П.Модель динамики почвенных процессов.- В сб.: Моделирование пооцессов экологического развития. Вып. 2,.- м.: ВНИИСИ, 1981, с.55-68.

54. ПерФильев К.Г. Качественное исследование некоторых моделей замкнутых экологических систем.- В сб.:Моделирование процессов экологического развития. Вып. 2.- М.: ВНИИСИ, 1982, с.70-77.

55. Перфильев К.Г., Соколов А.В. О методе идентификации параметров динамических моделей.- В сб.: Моделирование процессов экологического развития. Вып. 2.- М.: ВНИИСИ, 1983,

56. Петровский И.Г. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений.- М.: Наука, 1970.- 279с.

57. Полак Э. Численные методы оптимизации.- Мир, 1974.- 376с.

58. Полетаев И.А. 0 математических моделях роста.- В сб.: Физиология приспособления растений к почвенным условиям.- Новосибирск: Наука, 1973, с.7-24.

59. Полуэктов Р.А. Имитационные модели продуктивности агооэкосис-тем.- В сб. трудов по агрономической Физике "Теоретические основы и количественные методы программирования урожаев".-Л.: АФИ, 1979, с.14-23.

60. Полуэктов Р.А., Пых Ю.А., Швытов И.А. Динамические модели экологических систем.- Л.: Наука, 1980.- 288с.

61. Поляк Б.Т. Введение в оптимизацию.- М.: Наука, 1988.- 384с.

62. Пшеничный Б.Н. Метод линеаризации.- М.: Наука, 1983.- 136с.

63. Пшеничный Б.Н., Данилин Ю.М. Численные методы в экстремальных задачах.- И.: Наука, 1975.- 319с.

64. Пых Ю.А. Равновесие и устойчивость в моделях популяционной динамики.- И.: Наука, 1983.- 184с.

65. РиклеФс Р. Основы общей экологии.- М.: Мир, 1979.- 423с.

66. Розенвассер Е.Н., Юсупов Р.И. Чувствительность систем управления.- М.: Наука, 1981.- 464с.

67. Светлосанов В.А. Экосистема, биогеоценоз и геосистема с точки зрения моделирования.- В сб.: Биогеофизические и математические методы исследования геосистем.- М.: ИГ АН СССР, 1978, с.П-17.

68. Свирежев Ю.М. Вито Вольтерра и современная математическая экология.- Предисловие к кн.: Вольтеора В. Математическая теория борьбы за существование.- М.: Наука, 1976, с.215-286.

69. Свирежев Ю.М., ЛогоФет Д.О. Устойчивость биологических систем.- М.: Наука, 1978.- 352с.

70. Сейдж Э.П., Меле Д.Л. Идентификация систем управления.- М.: Наука, 1974.- 246с.

71. Сиротенко О.Д. Математическое моделирование водно-теплового режима и продуктивности агроэкосистем.- Л.: Гидрометеоиздат, 1981.- 167с.

72. Соболев С.Л. Некоторые применения Функционального анализа в математической Физике.- Новосибирск: Издательство СО АН СССР, 1962.- 255с.

73. Соколов А.В. Имитационная подсистема СТЭС-3. Ш.Модель динамики веществ в сообществах животных.- Веб.: Моделирование процессов экологического развития. Вып. 2.- М.: ВНИИСИ, 1981, с.68-79.- 100

74. Судницын И.И. Движение почвенной влаги и водопотребление растений.- М.: МГУ, 1979.- 255с.

75. Сытник К.М., Кучеренко Т.О., Немченко О.А. Математическая модель пространственного распределения и накопления ассимилятов в растении.- Доклады АН СССР, 1980, К 6, с.I466-1469.

76. ТимоФеев-Ресовский Н.В. Популяции, биогеоценозы и биосФера Земли.- В сб.: Математическое моделирование в биологии.- М.: Наука, 1975, с.19-29.

77. Титлянова А.А., Тихомирова Н.А., Шатохина Н.Г. Продукционный процесс в агроценозах.- Новосибирск: Наука, 1982.- 185с.

78. Тихонов А.Н. О математических методах автоматизации обработки наблюдений.- В сб.: Проблемы вычислительной математики.- м.: МГУ, 1980.- с.3-17.

79. Торнли Д.Г.М. Математические модели в Физиологии растений.-Киев: Наукова думка, 1982.- 312с.

80. Треногин В.А. Функциональный анализ.- М.: Наука, 1980.- 495с.

81. Федосеев П.Н. ФилосоФия и естествознание.- "Правда" от 5 июня 1981 г.

82. Филатов А.Н., Шарова Л.В. Интегральные неравенства и теория нелинейных колебаний.- М.: Наука, 1976.- 152с.

83. Химмельблау Д. Анализ процессов статистическими методами.-М.: Мир, 1973.- 957с.

84. Четаев Н.Г. Устойчивость движения.- М.: Гостехиздат, 1955.-207с.

85. ЭйкхоФФ П. Основы идентификации систем управления. Оценивание параметров и состояния.- М.: Мир, 1975.- 685с.

86. Astrom K.J., Eykhoff P. System identification survey.- Au-tomatica, 1971, vol.7, Ко.2, p.123

87. Atkins G.L. Multicompartment models for biological systems.-London: Methuen & Co. LTD, 1969.- 153p.- 101

88. Веек J., Frissel M.J. Simulation of nitrogen behaviour in soils.- Wageningen: Pudoc, 1973.- 67p.

89. Buehring J.S. UlSSIfl. An Interactive Simulation Control Language. RM-76-24.- Austria, Laxenburg: IIASA, 1976.- 90p.

90. Burns J. Converting Signed Digraphs to Forrester Schematics and Converting Forrester Schematics to Differential Equations.- IEEE Trans, on SMC, 1977, vol.7, No.10, p.695-707.

91. Burns J., Ulgen 0., Beights H. An Algorithm for Converting Signed Digraphs to Forrester Schematics.- IEEE Trans, on SMC, 1979, vol.9, Ho.3, p.115-124.

92. Curry R.B., Baker C.H., Streeter J.G. S0YM0D 1: Dynamic simulator of soybean growth and development.- Trans. ASAE, 1975, vol.18, No.5, p.963-968, 974.

93. Davidson J.L., Philip J.R. Light and pasture growth.- In: Climatology and Microcliraatology.- UNESCO, 1953, p.181-1 87

94. Dixon К.П., Luxmoore R.J., Begovich C.L. CERES a model of forest stand biomass dynamics for predicting trace contaminant, nutrient and water effects. 1.Model description.- Ecol. Modelling, 1978, No.5, p.17-38.

95. Dixon K.R., Luxmoore R.J., Begovich C.L. CERES a model of forest stand biomass dynamics for predicting trace contaminant, nutrient and water effects. 2.Model application.- Ecol. Modelling, 1978, No.5, p.93-114.

96. Forrester J.W. Priciples of systems.- Cambridge: Uright-Allen Press, Inc., 1973.- 384p.

97. Gause G.F. The struggle for existence.- Baltimore: Williams &. Ifilkins, 1934.- 1бЗр.

98. Grassland simulation model./ Ed.: Innis G.S.- N.Y.: Springer Verlag, 1978.- 324p.

99. Kolmogoroff A.N. Sulla Theoria di Volterra della Lotta perl'Esisttonza.- Giorn. 1st. Ital. Attuari, 1936, vol.7, p. 74-80.

100. Kostitzin V.A. La Biologie matheraatique.- Paris: A. Colin, 1937.- 223p.

101. Luxraoore R.J., Begovich C.L., Dixon K.R. Modelling solute uptake and incorporation into vegetation and litter.- Eeol. Modelling, 1978, No.5, p.137-171.

102. Milstein J., Bremermann H.J. Parameter identification of the Calvin photosynthesis cycle.- J. Math. Biol., 1979, vol.7, No.2, p.99-116.

103. Monsi M., Saeki T. Uber den Lichtfaktor in den Pflanzenge-sellschaften und seine Bedeutung fur die Stoffproduction.-Jap. J. Bot., 1953, vol.14, Mo.1, p.22-52.

104. Nobel P.S. An introduction to biophysical plant physiology.-San-Francisco: Freeman, 1974.- 488p.

105. Odum H.T. Environment, power and society.- M.Y.: John Wiley & Sons, Inc., 1971.- 331p.

106. Odum H.T. An Energy Circuit Language for Ecological and Social Systems: Its Physical Basis.- In: Systems Analysis and Simulation in Ecology. Vol.2/ Ed.: Patten B.C.- N.Y.: Academic Press, 1972, p.140-211.

107. Odum H.T., Odum E.C. Energy basis for man and nature.- N.Y.: McGraw-Hill Book Co., 1976.- 297p.

108. O'Neill R.V., Forguson N., Watts J.A. A Bibliography of Mathematical Modeling in Ecology. EDFB/IBP-75/5, Oak Ridge National Laboratory, Oak Ridge, Tenn., 1975, 169р.

109. Patten B.C. A primer for ecological modeling and simulation with analog and digital computers.- In: Systems Analysis and Simulation in Ecology. Vol.1/ Ed.: Patten B.C.- II.Y.: Academic Press, 1971, p.3-121.- 103

110. The SCi Continuous System Simulation Language (CSSL).- Simulation, 1967, vol.9, No.6, p.283-303.

111. Shugart H.H., Goldstein R.A., O'Neill R.V., Mankin J.B. TEEM: a terrestrial ecosystem energy model of forests.-Oecol. Plant., 1974, vol.9, No.3, p.231-264.