Построение и исследование дифференциальных уравнений ошибок бесплатформенной инерциальной навигационной системы, функционирующей в нормальной географической системе координат тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.11.03, кандидат наук Логинов, Михаил Юрьевич

• Логинов, Михаил Юрьевич
• кандидат наук
• 2015

Оглавление диссертации кандидат наук Логинов, Михаил Юрьевич

Содержание

Введение

1 Обзор литературы, постановка задачи

1.1 Обзор литературы

1.2 Постановка задачи инерциальной навигации и ориентации объекта

в географической системе координат

1.3 Исходные уравнения инерциальной навигации в географической

системе координат

2 Уравнения ошибок БИНС, функционирующей в нормальной географической системе координат

2.1 Замена переменных

2.2 Полные (нелинейные) уравнения ошибок

2.3 Линейные уравнения ошибок

2.4 Преобразование неоднородной части линейных уравнений ошибок

2.5 Выводы

3 Оценки погрешностей определения параметров ориентации

и навигации объекта

3.1 Вектор абсолютной угловой скорости вращения нормальной географической системы координат

3.2 Углы ориентации объекта

3.3 Кватернион ориентации и параметры навигации объекта

3.4 Погрешности БИНС, обусловленные погрешностями акселерометров

3.5 Погрешности БИНС, обусловленные погрешностями гироскопов

3.6 Выводы

4 Аналитические решения линейных дифференциальных

уравнений ошибок БИНС

4.1 Движение вдоль экватора

4.2 Неподвижный объект

4.3 Движение вдоль параллели

4.4 Выводы

5 Численное исследование уравнений ошибок БИНС

5.1 Моделирование работы БИНС

5.1.1 Различие результатов интегрирования линейных и нелинейных уравнений

5.1.2 Условия моделирования

5.2 Неподвижный объект

5.2.1 Влияние погрешностей гироскопов

5.2.2 Влияние погрешностей акселерометров

5.2.3 Влияние погрешностей начального задания координат местоположения

5.2.4 Влияние погрешностей начального задания параметров ориентации

5.3 Вертикальный полёт

5.3.1 Влияние погрешностей гироскопов

5.3.2 Влияние погрешностей акселерометров

5.3.3 Влияние погрешности начального задания высоты

5.4 Полёт вдоль экватора

5.4.1 Влияние погрешностей гироскопов

5.4.2 Влияние погрешностей акселерометров

5.4.3 Влияние погрешностей начального задания координат местоположения

5.4.4 Влияние погрешностей начального задания параметров ориентации

5.5 Полёт вдоль меридиана

5.5.1 Влияние погрешностей гироскопов

5.5.2 Влияние погрешностей акселерометров

5.5.3 Влияние погрешностей начального задания координат местоположения

5.5.4 Влияние погрешностей начального задания параметров ориентации

5.6 Выводы

Заключение

Список сокращений

Список литературы

Приложение А. Формулы преобразования угловых величин

Приложение Б. Моделирующий программный комплекс

Б.1 Блок-схема комплекса

Б.2 Модуль задания констант (SetConstants.m)

Б.З Модуль задания погрешностей датчиков (SensorNoise.m)

Б.4 Модуль задания невозмущённого движения объекта (ActualMotion.m)

Б.5 Модуль дифференциальных уравнений ошибок и идеального функционирования

БИНС (ModelEquations.m)

Б.6 Главный модуль комплекса (go.m)

Б.7 Модуль вычисления матрицы направляющих косинусов

через углы ориентации объекта (Angles2Ckappa.m)

Б.8 Модуль вычисления параметров Эйлера (Родрига-Гамильтона)

через углы ориентации объекта (Angles2Q.m)

Б.9 Модуль вычисления углов ориентации объекта

через параметры Эйлера (Родрига-Гамильтона) (Q2Angles.m)

Б. 10 Модуль вычисления матрицы направляющих косинусов через параметры Эйлера

(Родрига-Гамильтона) (Q2C.ni)

Б. 11 Модуль вычисления кватернионной матрицы ш-типа через параметры Эйлера

(Родрига-Гамильтона) (Q2m.ni)

Б. 12 Модуль вычисления кватернионной матрицы п-типа через параметры Эйлера

(Родрига-Гамильтона) (Q2n.ni)

Б. 13 Модуль построения графиков параметров невозмущённого движения (plot_s.ni)

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Построение и исследование дифференциальных уравнений ошибок бесплатформенной инерциальной навигационной системы, функционирующей в нормальной географической системе координат»

Введение

Актуальность темы.

Теория инерциальной навигации вызывает большой интерес с самого момента своего зарождения в начале XX века, так как позволяет строить системы автономной навигации и ориентации, не требующие после процедуры начальной выставки никаких внешних по отношению к себе данных.

Одной из важнейших задач теории инерциальной навигации является анализ погрешностей, возникающих при работе инерциальных навигационных систем (ИНС). Эта задача должна быть решена для эффективной разработки ИНС любого класса точности. Основным инструментом для решения этой задачи являются уравнения ошибок ИНС, задающие функциональную зависимость между погрешностями сё составных частей, погрешностями используемой моделей поля тяготения Земли, погрешностями начального задания координат и ориентации объекта и т.п., с одной стороны, и ошибками ИНС определения параметров ориентации и навигации, с другой. Исследованию погрешностей ИНС, в том числе уравнениям ошибок ИНС, посвящено множество публикаций и книг, изданных в России и за рубежом.

В последнее время развитие технологий изготовления чувствительных элементов (акселерометров и гироскопов) и бортовых вычислителей привело к возможности создания прецизионных бесплатформенных инерциальных навигационных систем (БИНС), которые, во-первых, конструктивно проще из-за отсутствия в их составе гиростабилизированной платформы, во-вторых, способны обеспечивать высокую точность навигации и ориентации даже при длительной автономной работе. Следовательно, повышаются требования к качеству анализа погрешностей, необходимого для разработки таких ИНС. Тема данного исследования, таким образом, является в настоящее время высоко актуальной.

Диссертационная работа посвящена построению и изучению дифференциальных уравнений ошибок БИНС, функционирующей в нормальной географической системе координат (НГСК), в том числе математическому моделированию работы БИНС с помощью полных (нелинейных) уравнений ошибок и построению аналитических решений линеаризованных уравнений ошибок для трёх частных случаев движения объекта.

Цели работы:

— построение полных (нелинейных) и линеаризованных дифференциальных уравнений ошибок БИНС, функционирующей в НГСК;

— аналитическое исследование построенных уравнений ошибок, включая получение аналитических оценок погрешностей определения параметров ориентации и навигации объекта, построение и изучение аналитических решений линейных дифференциальных уравнений ошибок БИНС, функционирующей в НГСК, для неподвижного относительно Земли объекта, для объекта, движущегося вдоль земного экватора с постоянной скоростью на постоянной высоте и для объекта, движущегося с постоянной скоростью на постоянной высоте вдоль земной параллели с ненулевой широтой;

— исследование влияния погрешностей чувствительных элементов БИНС и погрешностей начальной выставки системы на точность работы БИНС;

— получение для указанных случаев движения объекта формул для амплитуд, частот, начальных фаз гармонических составляющих законов изменения ошибок определения высоты, широты, долготы и ошибок определения вертикальной, северной и восточной составляющих относительной скорости объекта, а также формул для показателей экспоненциальных составляющих погрешностей определения этих навигационных величин, характеризующих их затухание или нарастание во времени;

— анализ устойчивости решений дифференциальных уравнений ошибок БИНС для указанных случаев движения объекта;

— разработка специального программного комплекса для математического моделирования работы БИНС;

— численное исследование зависимостей погрешностей определения параметров ориентации и навигации БИНС от погрешностей начального задания этих параметров и от погрешностей чувствительных элементов (гироскопов и акселерометров).

Научная новизна работы заключается в следующем:

1. Построены полные (нелинейные) и линейные (линеаризованные) дифференциальные уравнения ошибок БИНС, функционирующей в НГСК. В этих уравнениях для описания ориентации объекта используются параметры Эйлера (Родрига-Гамильтона), а в качестве модели Земли принят референц-эллипсоид Ф. Н. Красовского.

2. Получены с помощью линеаризованных дифференциальных уравнений ошибок аналитические оценки погрешностей определения параметров ориентации и навигации объекта, а также формулы для инструментальных погрешностей БИНС, обусловленных погрешностями гироскопов и акселерометров.

3. Решены в точных (неупрощённых) формулировках задачи построения аналитических решений линеаризованных дифференциальных уравнений ошибок определения географических координат местоположения объекта и проекций вектора относительной скорости объекта на оси НГСК для случая неподвижного относительно Земли объекта, для случая движения объекта вдоль земного экватора с постоянной скоростью на постоянной высоте и для случая движения объекта с постоянной скоростью на постоянной высоте вдоль земной параллели с ненулевой широтой. В отличие от ранее известных работ других авторов, для корней характеристических уравнений интегрируемых уравнений ошибок получены явные точные формулы, позволяющие выразить эти корни через коэффициенты исходных систем уравнений (параметры невозмущённого движения объекта). Полученные формулы характеризуют неустойчивость или устойчивость работы БИНС для указанных частных случаев движения объекта.

4. Получены для трёх вышеуказанных частных случаев движения объекта формулы, позволяющие в явном виде находить амплитуды, частоты и начальные фазы гармонических составляющих, а также показатели экспоненциальных составляющих, входящих в состав построенных аналитических решений линейных уравнений ошибок и характеризующих собственную динамику БИНС.

5. Дан анализ устойчивости решений линеаризованных и полных (нелинейных) дифференциальных уравнений ошибок БИНС для трёх вышеуказанных частных случаев движения объекта.

6. Разработан программный комплекс для среды МАТЬАВ, позволяющий посредством численного интегрирования дифференциальных уравнений идеальной работы БИНС, а также полных (нелинейных) и линеаризованных дифференциальных уравнений ошибок, моделировать работу БИНС, функционирующей в НГСК, для любых заданных параметров невозмущенного движения объекта, любых погрешностей чувствительных элементов и любых погрешностей начального задания координат и параметров ориентации объекта.

7. С помощью численного моделирования получены для двухчасового интервала времени движения объекта зависимости погрешностей определения параметров ориентации и навигации БИНС от погрешностей начального задания этих параметров и от погрешностей чувствительных элементов (гироскопов и акселерометров) для случая неподвижного основания, для случаев движения объекта вдоль экватора, вдоль меридиана и по вертикали.

Достоверность результатов обеспечивается корректностью математической постановки задач, строгостью применяемых методов и использованием алгоритмов численного решения дифференциальных уравнений, разработанных и апробированных ранее для задач изучаемого класса, а также совпадением результатов численных и аналитических исследований уравнений ошибок БИНС.

На защиту выносятся:

1. Полные (нелинейные) и линеаризованные дифференциальные уравнения ошибок БИНС, функционирующей в нормальной географической системе координат, описывающие зависимости погрешностей определения параметров ориентации и навигации объекта от погрешностей их начального задания и от инструментальных погрешностей чувствительных элементов БИНС (акселерометров и гироскопов).

2. Оценки погрешностей определения параметров ориентации и навигации объекта, а также формулы для инструментальных погрешностей БИНС, обусловленных погрешностями гироскопов и акселерометров, полученные с помощью линеаризованных дифференциальных уравнений ошибок.

3. Аналитические решения линеаризованных дифференциальных уравнений ошибок БИНС для следующих случаев движения объекта:

- неподвижного относительно Земли объекта;

- движения с постоянной скоростью на постоянной высоте вдоль земного экватора;

- движения с постоянной скоростью на постоянной высоте вдоль земной параллели с ненулевой широтой.

4. Формулы для амплитуд, частот и начальных фаз гармонических составляющих, а также для показателей экспоненциальных составляющих, входящих в состав построенных аналитических решений линейных уравнений ошибок БИНС и характеризующих собственную динамику БИНС, для трех вышеуказанных частных случаев движения объекта.

5. Результаты анализа устойчивости работы БИНС (решений линеаризованных и полных (нелинейных) дифференциальных уравнений ошибок БИНС) для трёх вышеуказанных частных случаев движения объекта.

6. Программный комплекс для моделирования невозмущённой и возмущённой работы БИНС, функционирующей в НГСК.

7. Установленные с помощью математического моделирования работы БИНС зависимости погрешностей определения параметров ориентации и навигации БИНС от погрешностей начального задания этих параметров и от погрешностей чувствительных элементов БИНС (гироскопов и акселерометров) для случая неподвижного основания, для случаев движения объекта вдоль экватора, вдоль меридиана и по вертикали.

Научная и практическая ценность. Полученные дифференциальные уравнения ошибок БИНС, результаты их численного и аналитического исследования, построенные аналитические решения линеаризованных уравнений ошибок, построенные оценки инструментальных погрешностей БИНС н разработанный моделирующий программный комплекс могут быть использованы при изучении свойств БИНС, построении алгоритмов функционирования автономных (некорректируемых) и корректируемых БИНС, а также при определении требований к точности чувствительных элементов БИНС.

Личный вклад автора. Все научные результаты, вошедшие в диссертационную работу, получены её автором индивидуально. Научному руководителю принадлежат используемые в диссертации исходные дифференциальные уравнения функционирования БИНС в нормальной географической системе координат (НГСК) и постановка задач исследования.

Использование результатов. Результаты, полученные в диссертационной работе, были использованы при выполнении временным трудовым коллективом под руководством д.ф.-м.н., проф. Ю.Н.Челнокова работ по заказу ООО «Аэроспецпроект» (Московская обл., г. Жуковский) в рамках договора «Разработка технологии разработки программно-аппаратных модулей для БИНС нового поколения на базе прецизионных ВОГ» от 01.02.2013, заключённого на основании положений этапа №2 по ГК №12411.1400099.18.009 от 15.10.12 (НИР). Имеется акт о внедрении.

Полученные результаты были также использованы при выполнении лабораторией «Механики, навигации и управления движением» Института проблем точной механики и управления РАН научно-исследовательских работ по теме «Исследование проблем механики, навигации и управления движением с использованием кватернионных и бикватернионных моделей и методов пространства состояний» (2013-2015 гг.).

Апробация работы и публикации. Основные результаты диссертационной работы докладывались на 8-й международной конференции «Авиация и космонавтика» (Россия, Москва,

2009); 27-й конференции памяти Н. II. Острякова (Санкт-Петербург, 2010); 17-й международной конференции по интегрированным навигационным системам (Россия, Санкт-Петербург, 2010); 12-й конференции молодых учёных «Навигация и управление движением» (Санкт-Пе1ербург,

2010); всероссийской научной конференции «Проблемы критических ситуаций в точной механике и управлении» (Саратов, 2013). Результаты докладывались также на научных конференциях механико-математического факультета Саратовского государственного университета им. Н.Г.Чернышевского и на научных семинарах лаборатории «Механики, навигации и управления движением» ИПТМУ РАН (2008-2015 гг.).

По результатам исследований опубликовано десять работ, в том числе четыре научные статьи в журналах, рекомендованных ВАК РФ для соискателей учёной степени кандидата наук.

Объем и структура работы. Диссертационная работа состоит из введения, пяти глав, заключения, списка сокращений, списка использованной литературы и двух приложений. Полный объем диссертации составляет 227 страниц, включая 142 рисунка, 67 таблиц и 13 листингов программного кода. Список литературы содержит 77 наименований.

Глава 1

Обзор литературы, постановка задачи

1.1 Обзор литературы

В первой половине XX века возникла и начала развиваться инерциальная навигация — способ определения местоположения и ориентации движущегося объекта в инерциальной системе координат по показаниям инерциальных датчиков (физических приборов, расположенных на борту объекта и измеряющих те или иные характеристики его движения в инерци-альном пространстве). Принципы инерциальной навигации основаны на сформулированных Ньютоном законах механики. Большой вклад в развитие теории инерциальной навигации внесли Е. Б. Левенталь, Б.В.Булгаков, Я. Н. Ройтенберг, А. 10. Ишлинский, В.Д.Андреев, М. Шулер, Ч. Дрейпер и другие исследователи. Значительную роль в теоретических основах инерциальной навигации играет теория устойчивости, созданная А. М. Ляпуновым.

Физические приборы, называемые датчиками или чувствительными элементами, измеряющие характеристики движения объекта в инерциальном пространстве, и бортовой вычислитель, позволяющий вычислять в реальном масштабе времени по определённому алгоритму и информации чувствительных элементов местоположение и ориентацию объекта, образуют систему инерциальной ориентации и навигации движущегося объекта.

Чувствительные элементы системы инерциальной ориентации и навигации могут быть расположены либо непосредственно (жёстко) на борту движущегося объекта, либо на платформе^ имеющей относительно объекта три степени свободы и сохраняющей в инерциальном пространстве свою ориентацию неизменной или вращающейся в инерциальном пространстве при движении объекта так, чтобы на борту объекта эта платформа (т. е. система координат, жёстко с ней связанная) физически моделировала тот или иной инерциальный или неинерциальный координатный трёхгранник, например, орбитальный трёхгранник, географический или ортодромиче-ский сопровождающий трёхгранник, азимутально свободный трёхгранник.

В первом случае система инерциальной ориентации и навигации называется бесплатформенной (сокращённо БИНС или БИСОН), во втором —платформенной. Габариты и вес БИНС (а также её стоимость) значительно меньше габаритов, веса и стоимости платформенной системы ориентации и навигации, однако чувствительные элементы БИНС функционируют в менее благоприятных условиях, и к ним предъявляются более жёсткие требования, чем к чувствительным элементам платформенных инерциальных навигационных систем. Кроме того, объём вычислений, проводимых на бортовом вычислителе бесплатформенной ииерциальной навигационной системы, значительно превышает объём вычислений платформенной навигационной системы.

Тем не менее, прогресс в создании высокопроизводительных вычислителей и высокоточных чувствительных элементов инерциальной ориентации и навигации делает БИНС наиболее привлекательной для массового использования в современных транспортных средствах различного назначения (космического, авиационного, морского, речного, наземного).

Для функционирования инерциальной навигационной системы не требуется внешних по отношению к ней данных —вся необходимая информация вырабатывается на борту движущегося объекта с помощью чувствительных элементов и бортового вычислителя. Это обстоятельство обеспечивает высокую автономность инерциальной навигационной системы, что является её существенным преимуществом перед, например, спутниковыми навигационными системами в тех случаях, когда использование внешней информации на борту движущегося объекта невозможно или нежелательно по тем или иным причинам.

В процессе работы бортовой вычислитель инерциальной навигационной системы интегрирует в реальном масштабе времени дифференциальные уравнения, лежащие в основе теории инерциальной навигации и ориентации, используя при этом информацию чувствительных элементов. Эти дифференциальные уравнения называются уравнениями идеального функционирования ИНС.

В уравнения идеального функционирования входят соотношения, описывающие ориентацию объекта. Традиционно для этого используются кинематические уравнения в углах Эйлера (или в самолётных углах) либо кинематические уравнения в направляющих косинусах (уравнения Пуассона). Использование уравнений в углах Эйлера приводит к громоздким тригонометрическим выражениям и к возникновению дополнительных особых точек, в которых уравнения вырождаются. Уравнения Пуассона существенно увеличивают размерность системы уравнений идеальной работы ИНС [58].

Этих недостатков можно избежать, используя для описания ориентации объекта гиперкомплексную переменную —кватернион поворота, компонентами которого являются параметры Эйлера (Родрига-Гамильтона). При этом в составе уравнений идеального функционирования ИНС появляется дифференциальное кватернионное уравнение ориентации, имеющее компактную и невырождающуюся форму [10,58].

Исследуемые в диссертационной работе исходные дифференциальные уравнения функционирования БИНС (см. п. 1.3) были предложены в 80-х годах XX века при разработке алгоритмического и программно-математического обеспечения авиационной БИНС по заказу Конструкторского бюро промышленной автоматики (г.Саратов). Эта разработка выполнялась под руководством Ю. Н. Челнокова коллективом кафедры высшей математики и механики Балаков-ского филиала Саратовского политехнического института по инициативе заместителя главного конструктора предприятия С.В.Петрова. В основе разработанного в те годы алгоритмического и программно-математического обеспечения БИНС лежат уравнения идеального функционирования БИНС в ортодромической и географической сопровождающих системах координат, использующие кватернионы и кватернионные матрицы поворотов для описания ориентации объекта и сопровождающих трёхгранников. Эти уравнения были опубликованы в 1988 году Ю.Н.Челноковым и С.В.Петровым [60].

В 2007-2010 гг. эти уравнения функционирования БИНС и их модификации были использованы сотрудниками лаборатории механики, навигации и управления движением Института проблем точной механики и управления РАН (г. Саратов) для построения алгоритмов функционирования БИНС-1000 на волоконно-оптических гироскопах по заказу ООО НПК «Оптолинк» (заявляемая точность БИНС — 1,85 км за час движения по положению и 1 м/с по скорости), а также для построения одного из вариантов алгоритмов функционирования БИНС-05 на лазерных гироскопах, разрабатываемой ОАО «Концерн Авионика» (заявляемая точность БИНС — 0,93 км за час полета по положению и 0,5 м/с по скорости). В 2013-14 гг. эти же уравнения и их модификации были использованы сотрудниками той же лаборатории для построения алгоритмов БИНС повышенной точности на базе прецизионных волоконно-оптических гироскопов в рамках государственного контракта № 12411.1400099.18.009 от 15.10.12 (НИР), заключенного между ООО «Аэроспецпроект» (г. Жуковский) и Министерством промышленности и торговли РФ.

Уравнения идеального функционирования достаточны для описания работы системы ипер-циальной навигации лишь в том случае, когда все её элементы не имеют погрешностей (идеальны) и когда заданные начальные условия работы системы точно соответствуют начальным условиям движения объекта.

В реальных системах вышеописанные условия выполняются лишь с некоторой степенью приближения. Поэтому режим работы реальной БИНС отличается от того, который описывается уравнениями идеальной работы, а навигационные параметры определяются системой с ошибками. Такой режим работы (т. е. движение) БИНС, определяемый с учётом погрешностей элементов и начальных условий, называют возмущённым движением навигационной системы.

Алгоритм работы системы, описывающий её невозмущённое движение, известен, поэтому в возмущённом движении наибольший интерес представляет отклонение от невозмущённого движения.

Уравнения для отклонений переменных, задающих состояние инерциальной системы навигации, от их значений, определяемых уравнениями идеальной работы, называют уравнениями ошибок. Эти уравнения определяют устойчивость работы инерциальной системы в целом. Они дают также связь между погрешностями элементов схемы и неточностями начальных условий, с одной стороны, и ошибками определения системой параметров ориентации и навигации, с другой. Таким образом, свойства уравнений ошибок в конечном счёте определяют точность работы инерциальной системы. .

Анализ уравнений ошибок позволяет определить требования к составляющим системы, если она должна обеспечивать при работе заданную точность. Изучение уравнений ошибок также позволяет сделать обоснованный выбор в пользу того или иного алгоритма идеальной работы (включая систему координат, в которой определяется ориентация и местоположение объекта). Привлечение уравнений ошибок даёт возможность судить о допустимости различных упрощений алгоритма работы ИНС. Кроме того, на основании свойств уравнений ошибок можно судить о необходимости коррекции ИНС, а также об эффективности того или иного способа коррекции.

В работе [14] при помощи теорем Ляпунова в нелинейной постановке доказывается неустойчивость движения материальной точки в поле сил притягивающего центра для лю-

бых ограниченных некоторыми пределами движения точки, то есть фактически доказывается неустойчивость решений уравнений автономной инерциальной навигации. Неустойчивость этих решений приводит к невозможности длительной автономной навигации, так как ошибки навигационной системы накапливаются с течением времени [3,11,16,58]. Тем не менее, с помощью уравнений ошибок можно предъявить такие требования к элементам инерциальной навигационной системы, что она будет обеспечивать требуемую точность в течение заданного конечного интервала времени. Такое свойство называется технической устойчивостью [3]. Для примера, заявленная погрешность определения координат современной высокоточной бесплатформенной инерциальной навигационной системы Sigma 95N компании Sagem (Франция), построенной на кольцевых лазерных гироскопах, составляет через час работы примерно 0,9 км [77].

Для компенсации эффекта накопления ошибок БИНС с течением времени можно, жертвуя автономностью, использовать коррекцию по внешним по отношению к БИНС данным, если таковые доступны [4,6,45]. В качестве таких данных могут быть использованы показания спутникой навигационной системы, барометрического высотомера, допплеровского измерителя скорости и т.п.

Рассмотрим основные источники ошибок БИНС, возмущающие её работу. Сущность работы систем инерциальной навигации заключается в обработке по определённому алгоритму информации, поступающей от чувствительных элементов БИНС (акселерометров и гироскопов), поэтому инструментальные ошибки этих чувствительных элементов в первую очередь приводят к погрешностям в работе БИНС [3,41,44].

Основным содержанием алгоритма работы БИНС является интегрирование дифференциальных уравнений инерциальной навигации (уравнений идеальной работы). Это интегрирование требует задания начальных условий, в качестве которых выступают параметры ориентации и координаты местоположения объекта в начальный момент времени. Погрешности задания этих начальных условий также приводят к ошибкам в работе БИНС.

При решении уравнений идеальной работы используется априорное знание зависимости величины напряжённости поля тяготения Земли от координат в связанной с Землёй системе отсчёта. Кроме этого, предполагается заданным движение Земли вокруг своего центра масс. Погрешности задания поля тяготения и угловой скорости вращения Земли приведут, очевидно, к ошибкам.

Наконец, приборная реализация алгоритма интегрирования уравнений идеальной работы в реальных устройствах связана с погрешностями. Эти погрешности могут быть вызваны как особенностями реализованных в бортовом вычислителе численных методов, так и с особенностями самого бортового вычислителя, например, ограниченностью его разрядной сетки. Сюда же относятся такие погрешности, как технологические неточности изготовления механических (кинематических) элементов схемы: неточность размеров, углов между базовыми плоскостями и направлениями, несоосность отдельных элементов, люфты, упругие деформации и т.п.

Система инерциальной навигации состоит, как правило, из большого количества элементов и устройств, каждое из которых привносит свои погрешности в работу системы. Попытка отразить в уравнениях ошибок погрешности возможно большего числа элементов привела бы к су-

ществениому усложнению анализа этих уравнений. В. Д. Андреевым показано, что в подавляющем большинстве случаев инструментальные погрешности любых элементов и устройств схемы могут быть приведены к некоторым эквивалентным основным погрешностям, т. е. к некоторым эквивалентным погрешностям источников первичной информации. В качестве таких эквивалентных основных погрешностей удобно использовать инструментальные погрешности чувствительных элементов ИНС (гироскопов и ныотонометров).

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Логинов, Михаил Юрьевич, 2015 год

Список литературы

1. Алёшкин, В. В. Оценка влияния погрешностей датчиков на точность комплексной системы ориентации и навигации на грубых инерциальных датчиках / В. В. Алёшкин, П.Н. Голованов // Вестник СГТУ. - 2010. - № 4. - С. 58-64.

2. Андреев, В. Д. Автономные инерциальные навигационные системы / В. Д. Андреев, Е. А. Де-вянин // Развитие механики гироскопических и инерциальных систем. — М.: Наука, 1973. — С. 307.

3. Андреев, В. Д. Теория инерциальной навигации. Автономные системы / В. Д. Андреев. — М.: Физматгиз, 1966. — 579 с.

4. Андреев, В. Д. Теория инерциальной навигации. Корректируемые системы / В. Д. Андреев. — М.: Физматгиз, 1967. — 648 с.

5. Анучпн, О.Н. Бесплатформенные инерциальные системы навигации и ориентации (БИНС И БИСО): учеб. пособие / О.Н. Анучин, Г. И. Емельянцев. - СПб.: ИТМО, 1995. - 110 с.

6. Аиучин, О. Н. Интегрированные системы ориентации и навигации для морских подвижных объектов / О. Н. Анучин, Г. И. Емельянцев; под общ. ред. академика РАН В. Г. Пешехонова. — 2-е изд., перераб. и доп. — СПб.: ГНЦ РФ ЦНИИ «Электроприбор», 2003. — 357 с.

7. Беленький, В. А. К вопросу невозмущаемости инерциальных систем / В. А. Беленький // Механика твёрдого тела. — 2013. — № 6. — С. 27-32.

8. Бранец, В.Н. Введение в теорию бесплатформенпых инерциальных навигационных систем / В. Н. Бранец, И. П. Шмыглевский. — М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1992. — 280 с.

9. Бранец, В. Н. Лекции по теории бесплатформенных инерциальных навигационных систем управления: учеб. пособие / В. Н. Бранец — М.: МФТИ, 2009. — 304 с.

10. Бранец, В. II. Применение кватернионов в задачах ориентации твёрдого тела / В. II. Бранец, И. П. Шмыглевский. — М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1973. — 320 с.

11. Бромберг, П. В. Теория инерциальных систем навигации / П. В. Бромберг. — М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1979. — 296 с.

12. Бронштейн, И.Н. Справочник по математике для инженеров и учащихся высших технических учебных заведений / И.Н. Бронштейн, К.А. Семендяев. — 13-е изд., исправленное. — М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1986. — 544 с.

13. Гмурман, В. Е. Теория вероятностей и математическая статистика: Учеб. пособие для вузов / В. Е. Гмурман. — 9-е изд., стер. — М.: Высш. шк., 2003. — 479 с.

14. Девяшш Е. А. Об устойчивости движения точки в поле сил притягивающего центра / Е. А. Девяшш, H.A. Парусников // Изв. АН СССР. МТТ, 1969. - №4.

15. Захарин, М. И. Кинематика инерциальных систем навигации / М.И. Захарин. — М.: Машиностроение, 1968. — 236 с.

16. Ишлипский, А. 10. Ориентация, гироскопы и инерциальная навигация / А. 10. Ишлинский. — М.: Наука. Гл. ред. физ.-маг. лит., 1976. — 670 с.

17. Калихман, Д. М. Калибровка масштабного коэффициента кварцевого маятникового акселерометра: Методические указания к учебно-исследовательской лабораторной работе по курсу «Инерциальные и комплексные навигационные системы» для студ. спец. 190100 / Д. М. Калихман, Н. А. Калдымов, А. В. Полушкин, В. Ю. Чеботаревский. — Саратов: Сарат. гос. техн. ун-т, 2004. - 34 с.

18. Калихман, Д. М. Прецизионные управляемые стенды для динамических испытаний гироскопических приборов / Д. М. Калихман. — СПб.: ГНЦ РФ ЦНИИ «Электроприбор», 2008. — 296 с.

19. Каракашев, В. А. Обобщенные уравнения ошибок инерциальных навигационных систем / В. А. Каракашев // Изв. вузов СССР. Приборостроение. — 1973. — №3.

20. Колодежный, JI. П. Надёжность и техническая диагностика / Л. П. Колодежный, A.B. Чер-нодаров. — М.: Военно-воздушная академия им. Н.Е. Жуковского и 10. А. Гагарина, 2010. — 452 с.

21. Кробка, II. И. Концепция строгих уравнений ошибок и оценки квантовых пределов точности бесплатформенных инерциальных навигационных систем на лазерных гироскопах, волоконно-оптических гироскопах и атомных интерферометрах на волнах де Бройля / Н. И. Кробка // XVII Санкт-Петербургская международная конференция по интегрированным навигационным системам (31 мая-02 июня 2010 г., Санкт-Петербург, Россия). Сборник докладов. - СПб: ГНЦ РФ ЦНИИ «Электроприбор». - 2010. - С. 91-108.

22. Кробка, Н.И. Об одном заблуждении, не замеченном много десятилетий, в теории инерци-альной навигации / II. И. Кробка и др. // XX Санкт-Петербургская международная конференция по интегрированным навигационным системам (27-29 мая 2013 г., Санкт-Петербург, Россия). Сборник докладов. - СПб: ГНЦ РФ ЦНИИ «Электроприбор». - 2013. - С. 58-63.

23. Кробка, Н.И. О влиянии неидеальности бортовой шкалы времени на структуру уравнений ошибок и на точность бесплатформенных инерциальных навигационных систем / Н.И. Кробка // XXI Санкт-Петербургская международная конференция по интегрированным навигационным системам (26-28 мая 2014 г., Санкт-Петербург, Россия). Сборник докладов. - СПб: ГНЦ РФ ЦНИИ «Электроприбор». - 2014. - С. 304-307.

24. Кробка, II. И. О влиянии случайных возмущении угловой скорости на решение кинематической задачи / Н. И. Кробка // Механика твёрдого тела. — 1984. — № 1. — С. 145-150.

25. Кробка, II. И. Оценки квантовых пределов точности БИНС на основе строгих уравнении ошибок / II. И. Кробка // Гироскопия и навигация. — 2013. — № 4 (83). — С. 46-59.

26. Кузовков, Н.Т. Инерциальная навигация и оптимальная фильтрация / Кузовков II. Т., Салы-чев О. С. — М.: Машиностроение, 1982. — 216 с.

27. Логинов, М. Ю. Аналитическое решение дифференциальных уравнений ошибок БИНС для случая неподвижного основания / М. 10. Логинов // Сборник тезисов всероссийской научной конференции «Проблемы критических ситуаций в точной механике и управлении» (2527 сентября 2013 г., ИПТМУ РАН, Саратов, Россия). Сборник докладов. — Саратов: ООО Издательский центр «Наука». — 2013.

28. Логинов, М. Ю. Аналитическое решение линейных дифференциальных уравнений ошибок БИНС для случая неподвижного объекта / М.Ю. Логинов, 10. И. Челноков // Мехатроника, автоматизация, управление. — 2012. — № 10. — С. 55-63.

29. Логинов, М. Ю. Аналитическое решение линейных дифференциальных уравнений ошибок БИНС, функционирующей в нормальной географической системе координат, для случая движения вдоль земной параллели с посюянной скоростью и на постоянной высоте / М. Ю. Логинов, Ю. П. Челноков. // Авиакосмическое приборостроение. — 2013. — № 6. — С. 34-47.

30. Логинов, М.Ю. Аналитическое решение линейных дифференциальных уравнений ошибок БИНС, функционирующей в нормальной географической системе координат, для случая движения вдоль экватора с постоянной скоростью на постоянной высоте / М. Ю. Логинов, М. Г.Ткаченко, Ю.Н. Челноков // Известия Саратовского университета. Новая серия. Серия Математика. Механика. Информатика. — 2013. — № 1. — С. 69-84.

31. Логинов, М. 10. Дифференциальные уравнения ошибок БИНС и их аналитические решения / М. 10. Логинов, Ю. Н. Челноков // Сборник тезисов всероссийской научной конференции «Проблемы критических ситуаций в точной механике и управлении» (25-27 сентября 2013 г., ИПТМУ РАН, Саратов, Россия). Сборник докладов. — Саратов: ООО Издательский центр «Наука». — 2013.

32. Логинов, М.Ю. Дифференциальные уравнения ошибок корректируемой БИНС, функционирующей в нормальной географической системе координат / М. Ю. Логинов, Ю. Н. Челноков // Мехатроника, автоматизация, управление. — 2009. — № 10. — С. 64-72.

33. Логинов, М.Ю. Дифференциальные уравнения ошибок корректируемой БИНС, функционирующей в нормальной географической системе координат. Вывод, аналитические решения и результаты моделирования / М. Ю. Логинов, Ю. Н. Челноков // XXVII конференция памяти H.H. Острякова (12-14 октября 2010 г., Санкт-Петербург). Сборник докладов. — СПб: ГНЦ РФ ЦНИИ «Электроприбор». - 2010.

34. Логинов, М.Ю. Дифференциальные уравнения ошибок корректируемой БИНС, функционирующей в нормальной географической системе координат. Вывод и результаты моделирования / М. 10. Логинов, 10. II. Челноков // VIII международная конференция «Авиация и космонавтика» (2009 г., Москва). Сборник докладов. — 2009.

35. Логинов, М. Ю. Дифференциальные уравнения ошибок корректируемой БИНС, функционирующей в нормальной географической системе координат. Вывод и результаты моделирования / М.Ю. Логинов, Ю.Н.Челноков // XII конференция молодых учёных «Навигация и управление движением» (16-18 марта 2010 г., Санкт-Петербург). Сборник докладов. — СПб: ГНЦ РФ ЦНИИ «Электроприбор». - 2010.

36. Логинов, М. Ю. Дифференциальные уравнения ошибок корректируемой БИНС, функционирующей в нормальной географической системе координат. Вывод и результаты моделирования / М. Ю. Логинов, Ю. Н. Челноков // XVII Санкт-Петербургская международная конференция по интегрированным навигационным системам (31 мая-02 июня 2010 г., Санкт-Петербург, Россия). Сборник докладов. — СПб: ГНЦ РФ ЦНИИ «Электроприбор». — 2010.

37. Матвеев, В. А. Навигационные системы на волновых твердотельных гироскопах / В. А. Матвеев, Б. С. Лунин, М. А. Басараб. — М.: Физматлит, 2008. — 240 с.

38. Матвеев, В. В. Основы построения бесплатформенных инерциальных навигационных систем: учебное пособие для специальности «Приборостроение» / В. В. Матвеев, В. Я. Распопов; под общ. ред. В. Я. Распопова. — СПб.: ГНЦ РФ ЦНИИ «Электроприбор», 2009. — 280 с.

39. Меркин, Д. Р. Введение в теорию устойчивости движения: учеб. пособие для вузов / Д. Р. Меркин. — 3-е изд., перераб. и доп. — М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1987. — 304 с.

40. Михеев, А. В. Разработка и применение модели шумов датчиков первичной информации при математическом моделировании работы бесплатформенпой инерциальной навигационной системы / А. В. Михеев // Вестник СГТУ. - 2009. - № 2. - С. 149-159.

41. Плотников, П. К. Влияние погрешностей гироскопического измерителя абсолютной угловой скорости объекта на точность определения его ориентации с помощью БИНС / П. К. Плотников, 10. Н. Челноков. — Саратов: Саратовский политехнический институт, 1979. — Деп. в ВИНИТИ 17.04.79, № 134579. - 16 с.

42. Плотников, П. К. Волоконно-оптический гирокомпас на основе бесплатформенной инерциальной системы ориентации и навигации / П. К. Плотников // XI Санкт-Петербургская международная конференция по интегрированным навигационным системам (24—26 мая 2004 г., Санкт-Петербург, Россия). Сборник докладов. — СПб: ГНЦ РФ ЦНИИ «Электроприбор». — 2004. - С. 140-141.

43. Плотников, П. К. Исследование работы БИНС в условях высоких широт с учётом погрешностей реальных датчиков / П. К. Плотников // XVI Санкт-Петербургская международная

конференция по интегрированным навигационным системам (25-27 мая 2009 г., Санкт-Петербург, Россия). Сборник докладов. — СПб: ГНЦ РФ ЦНИИ «Электроприбор». — 2009. — С. 57-60.

44. Плотников, П. К. О влиянии погрешности гироскопического измерителя угловой скорости объекта на точность определения его ориентации / П. К. Плотников // Известия вузов. Приборостроение. - 1999. - № 5-6. - С. 25-28.

45. Плотников, П. К. Повышение точности навигации на основе интеграции БИНС, одометров и приемников GPS/ГЛОНАСС / П. К. Плотников, В. Б. Никишин, А. И. Синев, С. Г. Наумов // XVII Санкт-Петербургская международная конференция по интегрированным навигационным системам (31 мая—02 июня 2010 г., Санкт-Петербург, Россия). Сборник докладов. — СПб: ГНЦ РФ ЦНИИ «Электроприбор». - 2010. - С. 169-174.

46. Плотников, П. К. Погрешности бесплатформеиного гирокомпаса для объектов с неограниченными углами поворотов / П. К. Плотников // XX Санкт-Петербургская международная конференция по интегрированным навигационным системам (27-29 мая 2013 г., Санкт-Петербург, Россия). Сборник докладов. — СПб: ГНЦ РФ ЦНИИ «Электроприбор». — 2013. — С. 50-53.

47. Плотников, П. К. Сравнительный анализ точности алгоритмов определения ориентации объекта в параметрах Родрига-Гамильгона и направляющих косинусах / П. К. Плотников, Ю. Н. Челноков // Космические исследования. — 1979. — Т. 17. — Вып.З. — С. 371-377.

48. Плотников, П. К. Экспериментальные исследования ВОГ и акселерометров, анализ их параметров и прогнозирование на их основе погрешностей БИНС / П. К. Плотников // XV Санкт-Петербургская международная конференция по интегрированным навигационным системам (26-28 мая 2008 г., Санкт-Петербург, Россия). Сборник докладов. - СПб: ГНЦ РФ ЦНИИ «Электроприбор». — 2008. — С. 80-86.

49. Плотников, П. К. Элементы теории работы одной разновидности бесплатформенных инер-циальных систем ориентации / П. К. Плотников // Гироскопия и навигация. — 1999. — № 3 (26). - С. 23-35.

50. Проскуряков, Г. М. Геометрия и кинематика пространственного состояния подвижных объектов: учеб. пособие. 2-е изд., перераб. и доп. / Г. М. Проскуряков, П. К. Плотников. — Саратов: Сарат. гос. техн. ун-т, 2008. — 156 с. .

51. Фокин, Л. А. Бесплатформенные ИНС для высокоточной околоземной навигации и спутниковой геодезии: анализ функционирования и погрешностей / Л. А. Фокин, А. Г. Щипицын // Известия РАН. Теория и системы управления. — 2008. — № 3. — С. 164-176.

52. Фридлендер, Г. О. Инерциальные системы навигации / Г. О. Фридлендер — М.: Гос. изд. физ.-мат. лит., 1961. — 155 с.

53. Хсгай, Д. К. Состояние и перспективы развития бесплатформенных инерциальных навигационных систем малых космических аппаратов / Д. К. Хегай // Известия вузов. Приборостроение. - 2004. - №3. - С. 45-52.

54. Челноков, Ю. Н. Алгоритм идеальной работы системы ориентации для подвижного объекта / Ю. Н. Челноков, JI. А. Челнокова, И. В. Ланденок // Вопросы авиационной науки и техники: сборник трудов. — М. — 1988. — Вып. 10.

55. Челноков, Ю. Н. Инерциальная ориентация и навигация движущихся объектов: учеб. пособие для студентов мех.-мат. фак. / Ю. Н. Челноков. — Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2002. — 64 с.

56. Челноков, Ю. Н. Кватернионные алгоритмы систем пространственной инерциальной навигации / Ю. Н. Челноков // Изв. АН СССР. Механика твёрдого тела. — 1983. — №6. — С. 14-21.

57. Челноков, Ю. Н. Кватернионные и бикватернионные методы в задачах механики твёрдого тела и материальных систем: авгореф. дис. ... доктора физ.-мат. наук / Ю. Н. Челноков. — М., 1987. — 36 с.

58. Челноков, Ю. Н. Кватернионные и бикватернионные модели и методы механики твёрдого тела и их приложения. Геометрия и кинематика движения / Ю. Н. Челноков. — М.: Физматлит, 2006. — 512 с.

59. Челноков, Ю. Н. Кватернионные модели и методы динамики, навигации и управления движением / Ю. Н. Челноков. — М.: Физматлит, 2011. — 560 с.

60. Челноков, 10. Н. О задачах ориентации и навигации объекта в географической и ортодро-мической системах координат / Ю. Н. Челноков, С. В. Петров. — Деп. в ВИМИ 27.05.88, №Д07701. -21 с.

61. Челноков, Ю. Н. Об одной форме уравнений инерциальной навигации / Ю. Н. Челноков // Изв. АН СССР. Механика твёрдого тела. - 1981. - № 5. - С. 20-28.

62. Челноков, 10. Н. Об определении ориентации объекта в параметрах Родрига-Гамильтона по его угловой скорости / 10. Н. Челноков // Изв. АН СССР. Механика твёрдого тела. — 1977. -№3. - С. 11-20.

63. Челноков, Ю. Н. Определение местоположения и ориентации подвижных объектов по показаниям чувствительных элементов БИНС посредством решения на бортовом вычислителе кватернионных уравнений движения гироскопических систем / Ю. Н. Челноков // Изв. РАН. Механика твёрдого тела. — 1991. — №4 — С. 3-12.

64. Челноков, Ю. Н. Определение ориентации твёрдого тела по его угловой скорости: Учеб. пособие по механике и математическому моделированию / Ю. Н. Челноков. — Саратов: Издательство «Саратовский источник», 2013. — 51 с.

65. Челнокова, Л. А. Моделирование работы бесплатформенной инерциальной навигационной системы, определяющей ориентацию объекта в ортодромической и географической системах координат, на универсальных ЭВМ / Л. А. Челнокова, Ю. II. Челноков. — Саратов: Сарат. политехи, ин-т., 1988. - Деп. в ВИНИТИ 11.05.88, №3763-В88. - 21 с.

66. Челнокова, Л. А. Моделирование работы БИНС на универсальных ЭВМ / Л. А. Челнокова, 10. II. Челноков. — Саратов: Сараг. политехи, ин-т., 1989. — Деп. в ВИНИТИ 13.06.89, №3909-В89. - 15 с.

67. Чернодаров, А. В. Лётная отработка программно-математического обеспечения инерциаль-но-спутниковой навигационной системы на базе трёхкомпонеитного лазерного моноблока / А. В. Чернодаров, С. Е. Переляев, А. П. Патрикеев // Материалы XX Санкт-Петербургской международной конференции по интегрированным павигационым системам. — СПб: ГНЦ РФ ОАО «Концерн «ЦНИИ «Электроприбор», 2013. - С. 173-176.

68. Чернодаров, А. В. Объектно-ориетированная модульная технология создания навигационных интегрированных систем / А. В. Чернодаров, А. П. Патрикеев, Ю. Н. Коркишко, В. А. Фёдоров // Материалы XXI Санкт-Петербургской международной конференции по интегрированным навигационым системам. — СПб: ГНЦ РФ ОАО «Концерн «ЦНИИ «Электроприбор», 2014.-С.70-73.

69. Чернодаров, А. В. Полунатурная отработка программно-математического обеспечения инер-циальпо-спутниковой навигационной системы БИНС-500 на волоконно-оптических гироскопах / А. В. Чернодаров, А. П. Патрикеев, Ю. II. Коркишко, В. А. Фёдоров, С. Е. Переляев // Гироскопия и навигация. — 2010. — № 4. — С. 19-31.

70. Gosiewski, Z., Ortyl, A. Strapdown Inertial Navigation System. Part 2: Error Models. Journal of Theoretical and Applied Mechanics, 1998, Vol. 36, Issue 4, pp. 937-962.

71. Lee, H.K., Lee, J.G., Roll, Y.K., Park, C.G. Modeling Quaternion Errors in SDINS: Computer Frame Approach. IEEE Transactions on Aerospace and Electronic Systems, 1998, Vol. 34, Issue 1, pp. 289-300.

72. Lovren, N. Pieper, J. K. Error Analysis of Direction Cosines and Quaternion Parameters Techniques for Aircraft Attitude Determination. IEEE Transactions on Aerospace and Electronic Systems, 1998, Vol. 34, Issue 3, pp. 983-989.

73. Nassar, S. Improving the Inertial Navigation System (INS) Error Model for INS and INS/DGPS Applications. Ph.D. Thesis, University of Calgary, 2003.

74. Pusa, J. Strapdown Inertial Navigation System Aiding with Nonholonomic Constraints Using Indirect Kalman Filtering. Master's Thesis, Tampere University of Technology, 2009.

75. Titterton, D. H., Weston J.L. Strapdown Inertial Navigation Technology. 1997.

76. Weinred, A., Bar-Itzhack, I. Y. The Psi-Angle Error Equation in Strapdown Inertial Navigation Systems. IEEE Transactions on Aerospace and Electronic Systems, 1978, Vol. AES-14, Issue 3, pp. 539-542.

77. Sagem Sigma 95N Inertial Navigation System [электронный ресурс]. — Режим доступа: http://www.sagem.com/file/download/dl439e_sigma_95n.pdf.

Приложение А. Формулы преобразования

угловых величин

Выраженные в радианах погрешности БИНС определения широты А<ргаа и долготы АХгас1 для объекта, находящегося в точке с широтой р>* на высоте Н*, при условии, что Земля представляет собой сферу радиуса а = 6378245 м, могут быть представлены в линейной мере с помощью соотношений

Арт = Д(рг^И, АХт = АХгас1Всо*<р*гас1, Ц = а + Н*,

где Ар)т и ДАт — погрешности определения широты и долготы соответственно, представленные в линейной мере (в метрах), а р*ай — невозмущённая широта объекта в радианах.

Выразить погрешности А<рга(1 и ДАга(1 в градусах можно с помощью соотношений

180° Л

Ар>аед =-Ар>га а,

7г

а \ _ 180° л x

Д А(/ео — -ДАгай,

7г

где А<рг1ед и АХйед — погрешности определения широты и долготы соответственно, выраженные в градусах.

Приложение Б. Моделирующий программный комплекс

В данном разделе приведены блок-схема разработанного моделирующего комплекса для среды МАТЬАВ, а также описание и программный код всех его модулей.

Б.1 Блок-схема комплекса

Рис. 139. Блок-схема моделирующего комплекса

Б.2 Модуль задания констант (SetConstants.ni)

В модуле SetComtants.ni определяются необходимые для моделирования константы. Входные параметры отсутствуют.

Выходные параметры: большая полуось земного эллипсоида вращения а, квадрат первого эксцентриситета е2, угловая скорость суточного вращения Земли и, параметры дсо и 5 гравитационной модели Земли.

Листинг 1. Код модуля задания констант SetConstants.m Ifunction OUT = SetConstants;

I % Greater semi-axis of Earth spheroid, m OUT.a = 6378245;

i

% Square of the first ellipticity OUT.e2 = 0.006692;

I

|% Angular rate of Earth's daily rotation, secA{-l} I OUT.u = 7.2921151467e-5;

'% Earth gravity coefficient, m/secA{-2} OUT.geo = 9.78049;

% Earth gravity coefficient 'OUT.delta = 5.371e-3;

Б.З Модуль задания погрешностей датчиков (SensorNoise.m)

Модуль SensorNoise.m задаёт зависимости погрешностей чувствительных элементов БИНС (акселерометров и гироскопов) от времени t. Входные параметры: время t.

Выходные параметры: погрешности гироскопов Ашг и акселерометров Ааг (г = 1, 2,3) для заданного момента времени t.

Листинг 2. Код модуля задания погрешностей датчиков SensorNoise.m

|function у = SensorNoise(t)

I

% Read sensor noise model parameters global S_Noise;

% Sensor models should be described below

% Gyroscopes y.dwl = S_Noise.dwl; y.dw2 = S_Noise.dw2; y.dw3 = S_Noise.dw3;

% Accelerometers y.dal = S_Noise.dal; у.da2 = S_Noise.da2; y.da3 = S_Noise.da3;

Б.4 Модуль задания невозмущённого движения объекта

(А сШа1Мойоп. т)

Модуль ActualMotion.ni описывает невозмущённое движения объекта и задаёт зависимости от времени невозмущённых (точных) криволинейных координат местоположения объекта, составляющих его относительной скорости, параметров Эйлера (Родрига-Гамильтона) и самолётных углов, характеризующих нсвозмущённую (точную) ориентацию объекта в нормальной географической системе координат (НГСК), а также невозмущённых (точных) показаний чувствительных элементов БИНС (акселерометров и гироскопов).

Входные параметры: время /,.

Выходные параметры: невозмущённые (точные) высота Н*, широта <р* и долгота А* местоположения объекта, точные составляющие у*н, у*Е его относительной скорости, точные параметры Эйлера (Родрига-Гамильтона) >с} (// = 0,1, 2,3), невозмущённые показания акселерометров а* и гироскопов и>* (г = 1, 2, 3) для заданного момента времени Ь.

Листинг 3. Код модуля задания невозмущённого движения объекта ActualMotion.ni

% Actual motion (equator case) function OUT = ActualMotion(t)

% Read constants global Const;

Set motion parameters

;lambda_0 = 0; % (38 + (50/60)) * (2*pi/360); j phi_0 = 0; % (55 + (4/60)) * (2*pi/3 60); H_0 = 10000;

vE_H = 0;

lvN_H = 200; %le-99; % Division by 0 if set to 0

A1 = 0 A2 = 0 HI = 0

W1 = 0 W2 = 0 W3 = 0

pi * (1 / 7200)

¡psi_s = 0;

•

w_psi = 0; |psi_m = 0; Isigmal = 0;

! fil

0;

theta_s = 0

w_theta = 0

theta_m = 0

sigma2 = ; 0;

fi2 = 0;

gamma_s = 0

w_gamma = 0

gamma_m = 0

sigma3 = : 0;

fi3 = 0;

I % Orientation oscillation - damped or non-damped

i

1UseDampedMode = false;

[% Motion equations

%------------------------------

1 H_h = H_0 ;

H = H_h + Hl*sin(W3*t);

I

|R = Const.a + H;

i !

jphi_h = phi_0 + vN_H*t/R; phi = phi_h + A2*sin(W2*t);

I

Ilambda_h = lambda 0 + vE_H/(2*vN H) * (log((l + sin(phi_h))/...

I

(1 - sin(phi_h))) - log((1 + sin(phi_0))/(1 - sin(phi_0)))} lambda = lambda_h + Al*sin(Wl*t);

i

idH = Hl*W3*cos(W3*t);

j

1 dR = dH;

dphi_h = vN_H*(1/R - dR*t/RA2); dphi = dphi_h + A2*W2*cos(W2*t);

Idlambda_h = vE_H/(2*vN_H)*dphi_h*cos(phi_h)*(1/(1 + sin(phi_h)) i (1 + sin(phi_h))/(1 - sin(phi_h))); dlambda = dlambda_h + Al*Wl*cos(Wl*t);

jcappa = sqrt(l - Const.e2*sin(phi)A2); IR1 = (Const.a + H)/cappa;

R2 = (Const.a + H)*(l - Const.e2)/cappaA3;

i

¡vE = dlambda * R1 * cos(phi); jvN = R2 * dphi;

vH = dH * cappa;

|uN = Const.u * cos(phi); JuH = Const.u * sin(phi);

!

!wN = uN + vE/Rl;

I

|wH = uH + vE/Rl*tan(phi); ¡wE = -VN/R2;

g = (Const.geo*Const.aA2)/(Const.a + H)A2 * (1 + Const.delta*sin(phi)A2); j d2H = -HI*W3A2*sin(W3*t);

<d2R = d2H;

i

i

d2phi_h = vN_H * (2*dR*t/RA3 - (d2R*t + 2*dR)/RA2 ); ,d21ambda_h = vE_H/(2*vN_H) * ( (d2phi_h*cos(phi_h) -... I dphi_hA2*sin(phi_h))*(1/(1 + sin(phi_h)) +...

I (1+sin(phi_h))/(1 - sin(phi_h))) + dphi_hA2*cos(phi_h)A2 *... ((1 + sin(phi_h))/(1 - sin(phi_h))A2 + 1/(1 - sin(phi_h)) -... 1/(1 + sin(phi_h))A2) ) ;

!d2phi = d2phi_h - A2*W2A2*sin(W2*t); d2lambda = d21ambda_h - Al*WlA2*sin(Wl*t);

dcappa = -dphi*sin(phi)*cos(phi)*Const.e2/sqrt(1 - Const.e2*sin(phi)A2); dRl = dH/cappa - (Const.a + H)*dcappa/cappaA2;

! dR2 = (1 - Const.e2)*(dH/cappaA3 - 3*dcappa*(Const.a + H)/cappaA4);

I

dvE = d21ambda*Rl*cos(phi) + dlambda*(dRl*cos(phi) - Rl*sin(phi)*dphi); fdvN = dR2*dphi + R2*d2phi; JdvH = d2H*cappa + dH*dcappa;

|aN = dvN - wE*vH + (uH + wH)*vE; aH = dvH + wE*vN - (UN + wN)*vE + g; aE = dvE - (uH + wH)*vN + (uN + wN)*vH;

% Set orientation with damped or non-damped oscillations if UseDampedMode

psi = psi_m*exp(-sigmal*t)*sin(w_psi*t); ! theta = theta_m*exp(-sigma2*t)*sin(w_theta*t); ; gamma = gamma_m*exp(-sigma3*t)*sin(w_gamma*t); !

dpsi = psi_s*w_psi*cos(w_psi*t + fil); j dtheta = theta_s*w_theta*cos(w_theta*t + fi2); dgamma = gamma_s*w_gamma*cos(w_gamma*t + fi3);

| else

psi = psi_s*sin(w_psi*t + fil); theta = theta_s*sin(w_theta*t + fi2);

gamma = gamma_s*sin(w_gamma*t + fi3);

dpsi = psi_m*exp(-sigmal*t)*(w_psi*cos(w_psi*t) -...

sigmal*sin(w__psi*t) ) ; dtheta = theta_m*exp(-sigma2*t)*(w_theta*cos(w_theta*t) -.. j sigma2*sin(w_theta*t));

i dgamma = gamma_m*exp(-sigma3*t)*(w_gamma*cos(w_gamma*t) -.. | sigma3*sin(w_gamma*t));

end

% gyro signals

Iwl_gyro = dgamma - dpsi*sin(theta) + wN*cos(theta)*cos (psi ) +.. 1 wH*sin(theta) + wE*cos(theta)*sin(psi);

Iw2_gyro = dtheta*sin(gamma) - dpsi*cos(theta)*cos(gamma) -...

wN*(sin(gamma)*sin(psi) + cos(gamma)*sin(theta)*cos(psi)) + wH*cos(gamma)*cos(theta) + wE*(sin(gamma)*cos(psi) -. cos(gamma)*sin(theta)*sin(psi)); w3_gyro = dtheta*cos(gamma) + dpsi*cos(theta)*sin(gamma) +... wN*(sin(gamma)*sin(theta)*cos(psi) - cos(gamma)*sin(psi)) -wH*sm(gamma)*cos(theta) + wE*(cos(gamma)*cos(psi) +. sin(gamma)*sin(theta)*sin(psi));

% accelerometers data in body-fixed frame j aNHE = [aN aH aE]'; !a_accel = zeros(3,1);

Ia_accel = Angles2Ckappa(psi,theta,gamma) * aNHE;

I % return results ; % Coordinates OUT.H = H; OUT.phi = phi; OUT.lambda = lambda;

% Relative velocity OUT.vN = vN; OUT.vH = vH; OUT.vE = vE;

% Orientation Euler parameters L = Angles2Q(psi,theta,gamma); OUT.L0 = L(1) ; OUT.LI = L(2) ; 1 OUT.L2 = L(3) ; OUT.L3 = L(4);

% Orientation angles OUT.psi = psi; OUT.theta = theta; OUT.gamma = gamma ;

% Accelerometers readings OUT.al = a_accel(l); OUT.a2 = a_accel(2); j OUT.a3 = a_accel(3);

j % Gyroscopes readings OUT.wl = wl_gyro; OUT.w2 = w2_gyro; OUT.w3 = w3_gyro;

Б.5 Модуль дифференциальных уравнений ошибок и идеального функционирования БИНС (ModelEquations.ni)

В модуле ModelEquations.ni описаны линейные и полные (нелинейные) дифференциальные уравнения ошибок БИНС, а также дифференциальные уравнения идеального функционирования БИНС в нормальной географической системе координат (НГСК).

Входные параметры: время ¿; вектор-столбец у, компонентами которого являются параметры невозмущённого движения объекта (высота Н", широта , долгота Л* местоположения объекта, северная вертикальная и*н и восточная и*к составляющие его относительной скорости и параметры Эйлера (Родрига-Гамильтона) х* (] = 0,1,2,3), характеризующие точную ориентацию объекта в НГСК), погрешности БИНС определения параметров ориентации и навигации (погрешности определения высоты АН, широты А(р и долготы АЛ объекта, погрешности определения северной Ау<\, вертикальной Аии и восточной Аиц составляющих его относительной скорости и погрешности А^ (] — 0,1,2,3) определения параметров Эйлера (Родрига-Гамильтона), характеризующие погрешность определения ориентации объекта относительно НГСК), полученные с помощью линеаризованных дифференциальных уравнений ошибок и те же погрешности БИНС определения параметров ориентации и навигации, полученные с помощью полных (нелинейных) дифференциальных уравнений ошибок, для заданного момента времени

Выходные параметры: вектор-столбец dy, содержащий первые производные по времени для всех величин, составляющих входной вектор-столбец у, для заданного момента времени I.

Листинг 4. Код модуля дифференциальных уравнений ошибок и идеального функционирования БИНС ModelEquations.m

function dy = ModelEquations(t,у) %------------------------------

| % Read global constants

¡global Const; a = Const.a; delta = Const.delta; geo = Const.geo; u = Const.u; e2 = Const.e2;

.% Set variables

' О. О

% Undisturbed motion

vN_s = yd)

vH_s = У (2)

vE_s = У(3)

H_s = Y (4)

phi_s = У(5)

lambda_s = У(б)

L0_s = У(7)

Ll_s = У (8)

L2_S = У(9)

L3_S = У(10

j % Errors via linear error equations

i dvN = у(11);

'dvH = у(12);

j dvE = у (13) ;

,dH = у(14);

dphi = у(15);

dlambda = y(16);

j dLO = у(17);

dLl = у(18);

|dL2 = у(19);

dL3 = у(20);

j% Errors via full error equations !f_dvN = у(21); ;f_dvH = у(22); j f_dvE = у(23); !f_dH = у(24);

f_ _dphi = y(25)

f_ ^dlambda = y(26)

f_ _dL0 = Y(27)

f_ dLl = y(28)

f_ _dL2 = y(29)

f_ _dL3 = y(30)

% Undisturbed orientation

|L_s = [L0_s; Ll_s; L2_s; L3_s];

i I

% Orientation errors (linear) dL = [dLO; dLl; dL2; dL3];

j

!% Orientation errors (full) f_dL = [f_dL0; f_dLl; f_dL2; f_dL3];

1 % Sum or undisturbed orientation and full orientation error 'f_L_f = L_s + f_dL;

I % Undisturbed sensor data !%--------------------------

Actual = ActualMotion(t);

% Accelerometers al_s = Actual.al; a2_s = Actual.a2; a3_s = Actual.a3; | a_s = [0; al_s; a2_s; a3_s];

|% Gyroscopes wl_s = Actual.wl; ,w2_s = Actual.w2; w3_s = Actual.w3; .w_s = [0; wl_s; w2_s; w3_s];

% Read sensor errors

Noise = SensorNoise(t);

¡% Accelerometers dal = Noise.dal;

j

!da2 = Noise.da2; da3 = Noise.da3; Ida = [0; dal; da2; da3];

% Gyroscopes

dwl = Noise.dwl;

dw2 = Noise.dw2;

dw3 = Noise.dw3;

dw = [ 0; dwl; dw2; dw3 ] ;

% Undisturbed motion

kappa_s = sqrt(1 - e2*sin(phi_s)A2); |Rl_s = (a + H_s)/kappa_s;

IR2_s = (a + H_s)*(1 - e2)/kappa_sA3;

i

i

uN_s = u * cos(phi_s);

!uH_s = u * sin(phi_s);

I i

IwN_s = uN_s + vE_s/Rl_s; IwH_s = uH_s + vE_s/Rl_s*tan(phi_s); wE_s = -vN_s/R2_s;

|g_s = geo*aA2 / (a + H_s)A2 * (1 + delta * sin(phi_s)A2);

I

I

I aNHE = Q2n(L_s)' * Q2m(L_s) * a_s;

|% Start from aNHE(2), because aNHE(l) = 0

IaN_s = aNHE(2);

IaH_s = aNHE(3);

laE s = aNHE(4); I ~

wNHE_s = [0; wN_s; wH_s; wE_s];

|% Derivatives of undisturbed orientation parameters

|ddt_L_s = 0.5 * (Q2n(w_s) * L_s - Q2n(L_s) * wNHE_s);

[

[% Derivatives of undisturbed relative velocity projections ddt_vN_s = aN_s + wE_s*vH_s - (uH_s + wH_s)*vE_s; ;ddt_vH_s = aH_s - wE_s*vN_s + (uN_s + wN_s)*vE_s - g_s; |ddt_vE_s = aE_s + (uH_s + wH_s)*vN_s - (uN_s + wN_s)*vH_s;

% Derivatives of undisturbed coordinates ! ddt_H_s = vH_s / kappa_s ;

;ddt_phi_s = vN_s / R2_s ;

Iddt_lambda s = vE_s / (Rl_s * cos(phi_s));

|

%-----------------------------

!% Linear error equations

A = zeros(6);

A(l,1) = -vH_s / R2_s;

IA(1,2) = wE_s;

j A(1,3) = -2*wH_s;

;A(1,4) = (wH_s - uH_s)*vE_s / (a + H_s) - wE_s*vH_s / (a + H_s);

IA(1,5) = -aH_s - 2*uN_s*vE_s - (wN_s - uN_s)*vE_s / cos(phi_s)A2 + ...

j vE_sA2*e2*sin(phi_s)A2 / ((a + H_s)*kappa_s) + ...

i 3*vN_s*vH_s*e2*sin(phi_s)*cos(phi_s) / (Rl_s*(l-e2));

A(1,6) = -aE_s * sin(phi_s);

A(2,1) = - 2*wE_s;

A ( 2, 2 ) = 0 ;

A ( 2,3 ) = 2*wN_s;

A( 2,4 ) = (wE_s*vN_s - (wN_s-uN_s)*vE_s + 2*g_s)/(a+H_s );

A(2,5) = aN_s - 2*uH_s*vE_s - ...

2*geo*aA2*delta*sin(phi_s)*cos(phi_s) / (a + H_s)A2 - ...

! 3*vN_sA2*e2*sin(phi_s)*cos(phi_s) / (Rl_s*(l-e2)) - ...

vE_sA2*e2*sin(phi_s)*cos(phi_s) / ((a + H_s)*kappa_s);

A(2,6) = aE_s * cos(phi_s);

i 1

A( 3,1) = uH_s + wH_s;

:A(3,2) = -uN_s - wN_s;

ja(3,3) = (vN_s*tan(phi_s) - vH_s) / Rl_s;

A(3,4) = ((wN_s - uN_s)*vH_s - (wH_s - uH_s)*vN_s) / (a + H_s);

A( 3,5) = 2*uN_s*vN_s + 2*uH_s*vH_s + ...

; (wN_s - uN_s)*vN_s / cos(phi_s)A2 + ...

vE_s*e2*sin(phi_s)*(vH_s*cos(phi_s) - ...

j vN_s*sin(phi_s)) / ((a + H_s)*kappa_s);

A(3,6) = aN_s*sin(phi_s) - aH_s*cos(phi_s);

i

A(4,1 ) = 0;

j A(4,2) = 1 / kappa_s;

j a( 4, 3 ) = 0;

A(4,4) = 0;

IA(4,5) = vH_s*e2*sin(phi_s)*cos(phi_s) / kappa_sA3;

A ( 4, 6 ) = 0 ;

A ( 5,1 ) = 1 / R2_s;

A ( 5, 2 ) = 0 ;

a( 5,3) = 0;

A ( 5, 4 ) = -vN_s / (R2_s* (a + H_s ) ) ;

A(5,5) = -3*vN_s*e2*sin(phi_s)*cos(phi_s) / (Rl_s*(l-e2));

A(5,6) = 0;

!A(6,1) = 0;

a( 6,2) = 0;

íA(6,3) = 1 / (Rl_s*cos(phi_s));

A(6,4) = -vE_s / (Rl_s*cos(phi_s)*(a+H_s));

A ( 6,5) = vE_s*sin(phi_s) / (Rl_s*cos(phi_s)A2) - vE_s*e2*sin(phi_s) /.

j ((a + H_s)* kappa_s); I A( б, 6 ) = 0;

!

I

J dX = [dvN; dvH; dvE; dH; dphi; dlambda];

I

¡C_kappa_s = Q2C(L_s );

lambda_a_s = larnbda_s + u*t; nju_s = zeros(4,l);

nju_s(l) = cos(phi_s/2) * cos(lambda_a_s / 2)

nju_s(2) = cos(phi_s/2) * sin(lambda_a_s / 2)

nju_s(3) = sin(phi_s/2) * sin(lambda_a_s / 2)

nju_s(4) =-sin(phi_s/2) * cos(lambda_a_s / 2)

1dnju = zeros(4,1);

dnju(l) = 0.5 * ( -sin(phi_s/2)*cos(lambda_a_s/2)*dphi - cos(phi_s/2)*.

sin(lambda_a_s/2)*dlambda ); dnju(2) = 0.5 * ( -sin(phi_s/2)*sin(lambda_a_s/2)*dphi + cos(phi_s/2)*.

cos(lambda_a_s/2)*dlambda ); dnju(3) = 0.5 * ( cos(phi_s/2)*sin (lambda_a_s/2)*dphi + sin(phi_s/2)*.

cos(lambda_a_s/2)*dlambda ); ¡dnju(4) = 0.5 * ( cos(phi_s/2)*cos (lambda_a_s/2)*dphi + sin(phi_s/2)*, ! sin(lambda_a_s/2)*dlambda );

C_nj u_s = Q2C(nju_s); LAM_s = Q2m(nju_s) * L_s;

;dLAM = Q2m(nju_s) * dL + Q2m(dnju) * L_s;

dLO = dLAM ( 1 ) ; dLl = dLAM ( 2 ) ; dL2 = dLAM ( 3 ) ; dL3 = dLAM ( 4 ) ;

= LAM_s(l); Ll_s = LAM_s(2); L2_s = LAM_s(3); L3_s = LAM_s(4);

dC_LAM = zeros(3);

dC_LAM(1,1) = 2 * (2*L0_s*dL0 + 2*Ll_s*dLl);

dC_LAM(1,2) = 2 * (Ll_s*dL2 + dLl*L2_s + L0_s*dL3 + dL0*L3_s);

dC_LAM(1,3) = 2 * (Ll_s*dL3 + dLl*L3_s - L0_s*dL2 - dL0*L2_s);

dC_LAM(2,1) = 2 * (Ll_s*dL2 + dLl*L2_s - L0_s*dL3 - dL0*L3_s); dC_LAM(2,2) = 2 * (2*L0_s*dL0 + 2*L2_s*dL2);

dC_LAM(2,3) = 2 * (L2_s*dL3 + dL2*L3_s + L0_s*dLl + dL0*Ll_s);

dC_LAM(3,1) = 2 * (Ll_s*dL3 + dLl*L3_s + L0_s*dL2 + dL0*L2_s); dC_LAM(3,2) = 2 * (L2_s*dL3 + dL2*L3_s - L0_s*dLl - dL0*Ll_s); ,dC_LAM(3,3) = 2 * (2*L0_s*dL0 + 2*L3_s*dL3);

Q = C_nju_s * dC_LAM' ;

О = (C_kappa_s)' * [dal; da2; da3] + C_nju_s *... I (dC_LAM) ' * [al_s ; a2_s; a3_s];

B = [0(1); 0(2); 0(3); 0; 0; 0]; ddt_dX_linear = A * dX + B; % Orientation

[dwN = -(uH_s + vE_s*e2*sin(phi_s)*cos(phi_s)/...

((a + H_s)*kappa_s))*dphi + dvE/Rl_s - (vE_s/(Rl_s*(a+H_s)))*dH; dwH = (uN_s - vE_s*e2*sin(phi_s)A2/. . .

((a + H_s)*kappa_s) + vE_s*(l + tan(phi_s)A2)/Rl_s)*dphi +... dvE*tan(phi_s)/Rl_s - (vE_s*tan(phi_s)/(Rl_s*(a+H_s)))*dH; dwE = 3*(vN_s*e2*sin(phi_s)*cos(phi_s)/(Rl_s*(1 - e2)))*dphi -... dvN/R2_s + (vN_s/(R2_s*(a+H_s)))*dH;

dwNHE = [0; dwN; dwH; dwE];

iddt_dL_linear = 0.5*( Q2n(w_s)*dL + Q2n(dw)*L_s -...

Q2n(L_s)*dwNHE - Q2n(dL)*wNHE_s); %----------------------------------------

|% Full (nonlinear) error equations

%----------------------------------------

I i

, f_vN_f = vN_s + f_dvN;

1f_vH_f = vH_s + f_dvH;

f_vE_f = vE_s + f_dvE;

j f_H_f = H_s + f_dH ;

f_phi_f = phi_s + f_dphi;

'f_kappa_f = (1 - e2*sin(f_phi_f)A2)A0.5; !f_Rl_f = (a + f_H_f) /f_kappa_f ;

i f_R2_f = (a + f_H_f)*(l - e2)/f_kappa_fA3;

i

f_uN_f = u*cos(f_phi_f); I f_uH_f = u*sin (f_phi_f) ;

f_wN_f = f_uN_f + f_vE_f/f_Rl_f ;

f_wH_f = f_uH_f + f_vE_f/f_Rl_f * tan (f_phi_f) ;

f_wE_f = -f_vN_f / f_R2_f;

f_a_f = a_s + da;

i f_daNHE = Q2n(f_L_f) ' * Q2m(f_L_f) * f_a_f - Q2n(L_s)' * Q2m(L_s) *

'f_daN = f_daNHE(2); % f_daNHE(1) == 0 ,f_daH = f_daNHE(3); f_daE = f_daNHE(4);