Построение и анализ систем массового обслуживания с диффузионной интенсивностью входного потока тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.16, кандидат физико-математических наук Писаренко, Татьяна Алексеевна

• Писаренко, Татьяна Алексеевна
• кандидат физико-математических наук
• 1999

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Писаренко, Татьяна Алексеевна

Содержание

Введение

Глава 1. Вывод уравнений для плотности диффузионного процесса и уравнений для характеристик СМО типа М / М/\/< Ыц < со, с диффузионной

интенсивностью входного потока

§1. Уравнения для плотности диффузионного процесса

и СМО с нулевым коэффициентом сноса

п.1.1. Уравнения для плотности диффузионного процесса

п.1.2. Уравнения для вероятностных характеристик

СМО типа М/М/1/#0

п. 1.3. Уравнения для характеристик числа заявок СМО

типа М!М! 1/

п.1.4. Уравнения для СМО типа М/М/1

п.1.5. Уравнения для СМО типа М/М/1/0

§2. Уравнения для плотности диффузионного процесса и характеристик СМО типа МIМ11 / Ыд,

0 < Ы0 < оо, с диффузионной интенсивностью

входного потока с ненулевым коэффициентом сноса

п.2.1. Уравнения для плотности диффузионного

процесса

п.2.2. Уравнения для вероятностных характеристик

СМОтипаМ/М! 1/ЛГ0, 0 < <00

п.2.3. Уравнения для характеристик числа заявок СМО

типа М/М/1/7У0, 0 < 7У0 <оо

п.2.4. Уравнения для СМО типа М/М/1

п.2.5. Уравнения для СМО типа М/М /1/0

Глава 2. СМО типа М/М /1/0 с диффузионной

интенсивностью входного потока

§1. СМО типа М/М/1/0 с диффузионной интенсивностью входного потока с нулевым

коэффициентом сноса

§2. СМО типа М/М/1/0 с диффузионной интенсивностью входного потока с ненулевым

коэффициентом сноса

§3. Численный анализ

Глава 3. Анализ СМО с конечным накопителем типа М/М /1 / Л^ с диффузионной интенсивностью

входного потока

§1. Матричный анализ СМО типа М/М /1 / с

нулевым коэффициентом сноса

п.1.1. Теоремы существования и единственности решения краевой задачи относительно стационарных

характеристик ^^ (х), 0 < к < N

п.1.2. Решение краевой задачи относительно

стационарных характеристик (х), 0 < к < N

§2. Матричный анализ СМО типа М / М Ш N0 с

ненулевым коэффициентом сноса

п.2.1. Функция и оператор Грина

п.2.2. Оценки оператора Грина в некоторых

функциональных пространствах

п.2.3. Краевая задача для СМО с конечным

накопителем

п.2.4. О положительности характеристик числа заявок

§3. Численный анализ СМО с конечным накопителем

Заключение

Библиографический список использованной литературы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Построение и анализ систем массового обслуживания с диффузионной интенсивностью входного потока»

Введение

Актуальность проблемы. Развитие вычислительной техники и средств передачи информации привело к возникновению сетей ЭВМ, сетей передачи информации. В настоящее время активно проводятся исследования по проектированию и анализу функционирования таких сетей [11, 13, 32, 33, 34, 82]. Аналитическими моделями сети в целом и отдельных её элементов являются, соответственно, сети и системы массового обслуживания (СМО) [64, 68, 75]. При рассмотрении СМО задается ее структура, т.е. входной поток, обслуживание, комплекс обслуживающих приборов, емкость накопителя, и дисциплина обслуживания. Входной поток описывается совместной функцией распределения интервалов времени между соседними появлениями заявок , / > 1, а для ординарных рекуррентных потоков, когда интервалы гг- независимы и одинаково распределены, - функцией распределения А(т) = Р{т1 < Т, 1} . Таким образом, чтобы указать о какой именно СМО

идет речь, надо задать функцию распределения интервалов между соседними появлениями заявок, функцию распределения длительности обслуживания, количество обслуживающих приборов и емкость накопителя. В теории массового обслуживания приняты следующие обозначения для классификации СМО:

А/В/т/М,

где А, В обозначают типы функций распределения для входного потока и обслуживания, т - количество обслуживающих приборов, N - емкость накопителя. А, В принимают значения из набора {М, (7, Н% и др.], где М -экспоненциальное распределение, G - распределение общего вида, Нк — гиперпоказательное распределение порядка Я.

Большинство авторов изучает системы массового обслуживания в предположении, что параметры СМО не изменяются со временем [31, 36, 48,

57, 62, 64, 68, 69, 89, 92]. Однако для реальных моделей (элементы сетей ЭВМ, вычислительных комплексов, сетей связи) это предположение не всегда выполняется. Параметры потоков сообщений в таких системах претерпевают с течением времени случайные или детерминированные изменения по следующим причинам:

- нестационарность входных потоков сети [16, 20, 33, 50, 59, 73, 108];

- изменение маршрутов сообщений, в силу чего на элементе сети возникают и исчезают потоки сообщений;

- выход из строя отдельных элементов сети и блокировка их, что приводит к исчезновению потоков сообщений на последующих элементах

сети.

Кроме того, функционирование узлов локальных вычислительных сетей [32, 45], а также узлов глобальных вычислительных сетей типа ИНТЕРНЕТ (провайдерские узлы связи, шеЬ-серверы, передающие станции и т.д.) описывается СМО с параметрами, изменяющимися в случайные моменты времени [110].

При рассмотрении таких систем возникает задача расчета характеристик узлов сети, например, среднего количества сообщений, находящихся в системе, распределения числа сообщений на узле сети.

Указанные узлы сетей предлагается моделировать системой массового обслуживания с дважды стохастическим пуассоновским входным потоком, экспоненциальным обслуживанием, т обслуживающими приборами, конечной емкостью накопителя .

Входной поток сообщений в реальных сетях, как правило, является пуассоновским, в связи с тем, что поступление заявок обладает свойствами ординарности и отсутствия последействий, т. е. сообщения поступают на обслуживание по одному и количество сообщений, поступивших на одном ин-

тервале времени, не зависит от количества заявок, поступивших за другой временной интервал.

Диффузионный характер пуассоновского потока возникает в связи с тем, что сообщения на обслуживание поступают по множеству линий. По каждой линии связи проходит пуассоновский поток со своей интенсивностью, причем суммарный поток, в силу известных теорем теории массового обслуживания, будет являться пуассоновским, а интенсивность - суммой ин-тенсивностей потоков линий связи. Вследствие того, что канал или несколько каналов могут в случайные моменты времени отключаться из работы, интенсивность входного потока будет претерпевать изменения и обладать свойствами диффузионного процесса при достаточно большом количестве пользователей.

В реальных узлах сети обслуживание происходит по экспоненциальному закону, в связи с тем, что сообщения обрабатываются с постоянной скоростью, а длина сообщений является случайной величиной, распределенной по экспоненциальному закону из-за того, что сумма длительностей обслуживания на одном временном интервале не зависит от суммы длительностей обслуживания на других интервалах.

Естественными являются предположения о конечной емкости накопителя и конечного числа обслуживающих приборов.

Анализ СМО с изменяющимися во времени параметрами является сложной математической задачей. Однако достаточно универсальных методов (как приближённых, так и численных), применяемых к расчёту характеристик СМО, пока не существует, поэтому есть необходимость в разработке таких методов хотя бы для определённых классов систем. В последнее время большое внимание уделяется изучению дважды стохастических (ДС) потоков. В работах [60, 61, 67] исследуются ДС потоки, интенсивность которых является процессом с независимыми приращениями или гауссовским про-

цессом. Данная работа посвящена исследованиям СМО, на вход которых поступает дважды стохастический поток заявок с диффузионной интенсивностью с нулевым или ненулевым коэффициентом сноса.

Целью работы является построение и исследование систем массового обслуживания с экспоненциальным обслуживанием, одним обслуживающим прибором, конечной емкостью накопителя, с дважды стохастическим пуас-соновским входным потоком заявок с диффузионной интенсивностью, принимающей значения из конечного интервала с упругим экраном.

Для этого необходимо решить следующие задачи:

1. Построить модели указанных СМО, описываемые уравнениями относительно характеристик числа заявок в системах типа М/М/Х/Ыо , 0 < < 00, с конечным накопителем, М/М/1 с

бесконечным накопителем с диффузионной интенсивностью входного потока.

2. Аналитически и численно изучить стационарные характеристики числа заявок в системе М / М1X1О с отказами с диффузионной интенсивностью входного потока.

3. Разработать матричный метод анализа СМО типа М / М/X/Ы0

с конечным накопителем с диффузионной интенсивностью входного потока.

Состояние проблемы. В настоящее время достаточно хорошо изучены СМО с пуассоновским простейшим входным потоком заявок, экспоненциальным обслуживанием с постоянными параметрами в стационарном режиме [47, 50, 57, 69, 89]. Основная сложность анализа СМО в нестационарном режиме, в особенности, если параметры СМО являются зависящими от времени детерминированными функциями, заключается в решении, как правило, большой или бесконечной системы дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами.

Изучение СМО с зависящими от времени детерминированными интен-сивностями входящих потоков и обслуживающих приборов началось в середине 50-х годов работой Кларка [72]. В этой работе нестационарное распределение вероятностей состояния в СМО M(t)/M(t)/1/ со было выражено в явном виде через неизвестную функцию, которая находится численным решением интегрального уравнения. Впоследствии такая задача для этой же СМО была решена несколько другим методом Гешевым [14]. В дальнейшем появилось множество работ, посвященных анализу и расчёту нестационарных характеристик СМО с постоянными интенсивностями входного потока и обслуживания, в частности, исследовались СМО M / M /1 [21, 57, 92, 109, 108], M/M/1/N0 [33, 43, 50]. Далее анализ СМО с детерминированно изменяющимися параметрами шел в основном по двум направлениям: теоретическое исследование случайных процессов в СМО и разработка численных методов расчёта характеристик СМО. Довольно хорошо как с теоретической, так и с практической точки зрения исследованы СМО с пуассоновским входящим потоком, интенсивность которого есть периодическая функция времени [58, 93, 99, 100, 103]. Приближенные методы анализа СМО с детерминированно изменяющимися во времени параметрами, использующие зачастую эвристические предположения, рассматривались в работах [39, 40, 44]. Так, например, в работе [25] временной интервал изменения параметров СМО M(t) / M(î) /1 разбивался на подынтервалы с различной загрузкой и в каждом подынтервале проводился анализ характеристик СМО в предположении, что параметры в этом подынтервале изменяются медленно. В работе [59] автор приводит приближенное выражение для средней длины очереди в системе M{t) / M /1. В теоретическом плане исследованы системы M(t)l G(t)/\ [85]. Численные методы анализа СМО разработаны для систем Mit)/Mit)/1, Mit)/MH/N [91], Mit)/Mit)/s!N [95].

Многими авторами исследовались СМО с параметрами, изменяющимися во времени случайным образом. Для таких СМО в литературе принято название «СМО, функционирующие в случайной среде» [44, 53, 86, 110]. Как правило, рассматривались СМО, параметры которых постоянны в течение некоторого случайного времени, а затем мгновенно изменяются [58, 99, 101]. Набор значений параметров конечен, а процесс их переключения есть либо марковский [37, 43, 62], либо полумарковский [3, 9, 10, 36, 95, 98]. В работах [99, 101] исследовались СМО в предположении, что интенсивность потока и обслуживания могут принимать два значения, выбор которых осуществляется вероятностным образом на основе цепей Маркова. В [99] для системы с бесконечной очередью получено необходимое и достаточное условие эргодичности процесса, а для СМО с конечным накопителем получены выражения для некоторых показателей производительности СМО. В работе [87] расчет характеристик СМО сводится к решению матричных уравнений. Система, функционирующая в полумарковской среде, исследуется в работе [80], в предположении, что среда изменяется редко, т.е. длительность пребывания

среды в каждом состоянии имеет порядок , где £ - малый параметр. Получены формулы для коэффициента разложения распределения числа заявок в системе в ряд по параметру £. Анализ СМО со случайно изменяющейся интенсивностью входного потока проводился также в работах [18, 19, 20, 24]. Работы [29, 33, 38, 54, 56, 83] посвящены изучению скачкообразных процессов и СМО со скачкообразной интенсивностью входного потока. Росс высказал предположения о нижней границе вероятности потери требования в системе с ДС пуассоновским входным потоком [67].

Одним из удобных инструментов, используемых теорией массового обслуживания, в настоящее время является аппроксимация процессов, происходящих в СМО, диффузионными процессами, т. е. так называемая диффузионная аппроксимация. Использование диффузионной аппроксимации

для анализа стационарного режима приводится в работах [4, 16, 17, 52, 70, 73, 79, 99] при исследовании виртуального времени ожидания, времени до первого переполнения системы. Исследование диффузионной аппроксимации в нестационарном режиме для расчета характеристик числа заявок и времени ожидания заявками начала обслуживания в различных СМО приводится в работах [4, 90]. Изучение диффузионных процессов проводится в работах [8, 46, 55, 63]. Работы [2, 65, 66, 113] посвящены анализу уравнений Фоккера-Планка для плотности диффузионного процесса при различных типах граничных условий.

В данной работе исследуются системы массового обслуживания различной структуры по количеству обслуживающих приборов и емкости накопителя, функционирующие в случайной среде, а именно, системы обслуживания с дважды стохастическим пуассоновским входным потоком заявок, интенсивность которого является диффузионным процессом, принимающим значения на конечном интервале. Предполагаются определенные условия на диффузионный процесс в граничных точках. Анализируются стационарные характеристики таких СМО и условия существования стационарного режима.

Содержание работы. В первой главе проводится вывод уравнений для плотности диффузионного процесса и нестационарных и стационарных характеристик числа заявок в системах массового обслуживания типа с экспоненциальным обслуживанием, одним обслуживающим прибором, конечной или бесконечной емкостью накопителя, на вход поступает дважды стохастический пуассоновский поток заявок с диффузионной интенсивностью. В первом параграфе получены уравнения для СМО с нулевым коэффициентом сноса, во втором параграфе проведен вывод уравнений для систем с ненулевым коэффициентом сноса.

Вторая глава содержит анализ СМО типа МIМ! 1/0 с отказами с диффузионной интенсивностью входного потока. В первом параграфе доказаны теоремы существования и единственности решения краевой задачи относительно стационарных характеристик числа заявок и найдены стационарные характеристики числа заявок в системе с нулевым коэффициентом сноса. Второй параграф содержит решение краевой задачи относительно стационарных характеристик числа заявок в системе с отказами с ненулевым коэффициентом сноса. В третьем параграфе проведен численный анализ СМО с отказами.

В третьей главе, используя матричный метод анализа, находятся выражения для стационарных характеристик числа заявок в системах типа < NQ < со, с диффузионной интенсивностью входного потока. В первом параграфе проводится анализ систем указанного типа с нулевым коэффициентом сноса, доказана теорема существования и единственности решения краевой задачи относительно стационарных характеристик числа заявок. Во втором параграфе более подробно рассмотрен оператор Грина для краевой задачи, получены оценки оператора Грина в различных пространствах, приведена теорема существования и единственности стационарных характеристик числа заявок в системах с ненулевым коэффициентом сноса. Для частного случая получены достаточные условия положительности характеристик числа заявок в системе.

Методика исследования. При выводе уравнений и для решения задач расчета стационарных характеристик числа заявок в дважды стохастических СМО с диффузионной интенсивностью использовались методы теории массового обслуживания, теории случайных процессов, теории матриц, теории интегральных и дифференциальных уравнений. Для подтверждения обоснованности теоретических выводов проводился численный анализ на ЭВМ.

Научная новизна.

1. Построены модели систем массового обслуживания типа M / M /1/ N0 , 0 < N0 < 00, с конечным накопителем, M/МП с

бесконечным накопителем с диффузионной интенсивностью входного потока, с экспоненциальным обслуживанием.

2. Доказана теорема существования, единственности и положительности решения краевой задачи относительно характеристик числа заявок в системе М/Л//1/0.

3. Найдены стационарные характеристики числа заявок в ДС системе M / M /1 / 0 с отказами с диффузионной интенсивностью входного потока с нулевым или ненулевым коэффициентом сноса.

4. Доказаны теоремы существования и единственности решений краевых задач относительно стационарных характеристик числа заявок в системах типа M ! MIII Nq с нулевым и ненулевым коэффициентом сноса.

5. Проведен матричный анализ СМО типа M / M /1/ Nq с конечным накопителем с дважды стохастическим пуассоновским потоком заявок с диффузионной интенсивностью, в результате которого получено в явном виде стационарное распределение числа заявок в указанной СМО.

В процессе решения данных задач проведены численные эксперименты для проверки некоторых основных результатов и для подтверждения обоснованности теоретических выводов.

Практическая значимость. Предложенные методы могут быть использованы для расчета характеристик узлов локальных вычислительных сетей, а также узлов глобальных вычислительных сетей типа ИНТЕРНЕТ: провайдерских узлов связи, web-серверов, передающих станций и т.д.

Теоретические результаты данной работы и составленные на языке

Паскаль программы расчета распределения числа сообщений на узле сети и среднего числа сообщений, находящихся в системе, будут использованы в Дальневосточной государственной академии экономики и управления и других организациях для расчета характеристик действующих и проектируемых узлов связи.

Публикации.

По материалам диссертации имеется ряд публикации: работы [115] -[131] в библиографическом списке.

Аппробация результатов.

Основные результаты диссертации докладывались на

1. XXXVII, XXXVIII, ХХХХ Всероссийских межвузовских научно-технических конференциях (Владивосток, 1994, 1995, 1997);

2. II Международной конференции по математическому моделированию (Якутск, 1997);

3. 1-й Дальневосточной конференции студентов и аспирантов по математическому моделированию (Владивосток, 1997);

4. Дальневосточной математической школе-семинаре имени академика Е.В. Золотова (Владивосток, 1998);

5. Третьем Сибирском Конгрессе по прикладной и индустриальной математике, посвященном памяти C.JI. Соболева (Новосибирск, 1998);

6. 2-й Дальневосточной конференции студентов и аспирантов по математическому моделированию (Владивосток, 1998);

7. Всероссийской научно-технической конференции, посвященной 150-летию со дня рождения С.О. Макарова (Владивосток, 1998).

8. объединенном семинаре в ИПМ ДВО РАН (1999).

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Писаренко, Татьяна Алексеевна, 1999 год

Библиографический список использованной литературы

1. Абрамов В.М. Исследование системы обслуживания, зависящей от длины очереди. Душанбе: Дониш, 1991. 164 с.

2. Алмазов М. О поведении решения стохастического диффузионного уравнения при неограниченном росте коэффициента сноса на конечном отрезке // Теор. вер. и мат. стат. (Киев). 1988. № 39. С. 3-4

3. Анисимов В.В., Алиев А.О. Предельные теоремы для рекуррентных процессов полумарковского типа // Теория вер. и мат. статистика (Киев). 1989. №41. С. 9-15

4. Асенишвили Г.Л. Диффузионная аппроксимация виртуального времени ожидания системы М/М/1 (мартингальный подход) // Кибернетика. 1991. № 1.С. 90-93

5. Баруча-Рид А.Т. Элементы теории марковских процессов и их приложения. М.: Наука, 1969. 512 с.

6. Боровков A.A. Условия эргодичности цепей Маркова, не связанные с неприводимостью по Харрису // Сиб. мат. ж. 1991. 32. № 4. С. 6-19

7. Бурлаков М.В. Об одном методе аппроксимации немарковских управляемых процессов обслуживания // Автоматика и телемеханика. 1996. № 7.

С. 90-104

8. Буценко Ю.П. Об одном подходе к понятию диффузионного процесса // Стат. и управление случайными процессами. М. 1989. С. 17-19.

9. Валеев К.Г., Артдех С. О сведении немарковской цепи к марковской / Инт нар. хоз-ва: Киев, 1989. 15с.: Библиогр.

ю.Валеев К.Г., Сулима И.М. К теории случайных полумарковских процессов // Вычислит, и прикладная математика (Киев) 1989. № 69. С. 121-128

п.Вероятностное моделирование систем и сетей обслуживания: Межвуз. сб. / Ред. Чернецкий В.И. Петрозаводск: Университет, 1988. 108 с.

12. Волковинский М.И., Волковинский О.Ф. Система обслуживания с переменными параметрами // Автоматика и телемеханика. 1988. № 7.

С. 107-120

13. Вычислительные сети коммутации процессов: Тез.докл. v Всесоюз. конф. Рига, 1987.

и. Гешев А. Нестационарна опашка от вида M(t) / M{t) /1 // Науч. Тр./ Пловдив. Ун-т мат. 1984. Т.22. №1. С. 321-328

15. Гнеденко Б.В. Курс теории вероятностей. М.: Физматгиз, 1961.

16. Головко Н.И. Распределения числа заявок в марковской нестационарной СМО // Управл. системы массов. обслуж. (Томск). 1986. № 4. С. 22-27

17. Головко Н.И. Расчет характеристик многолинейной СМО в диффузионном приближении при медленно флуктуирующем входном потоке // Поиск сигнала в многоканал. системах (Томск). 1985. №1. С. 513.

18. Головко Н.И., Коротаев И.А. Анализ некоторых систем массового обслуживания с переменной интенсивностью входящего потока // Поиск сигнала в многоканальных системах (Томск). 1987. № 2. С. 65-76

19.Головко Н.И., Коротаев И.А. Системы массового обслуживания со случайно изиеняющейся интенсивностью входящего потока // Автоматика и телемеханика. 1990. № 7. С. 80-85

20. Головко Н.И., Коротаев И.А. Время задержки сообщения в узле сети при переменной интенсивности входящего потока // АиТ. 1989. №2. С.36-39

21.Головко H.H., Коротаев И.А. Расчёт характеристик нестационарных систем массового обслуживания // АиТ. 1991. №2. С.97-102

22.Горцев A.M., Назаров A.A., Терпугов А.Ф. Управление и адаптация в системах массового обслуживания. Томск: Изд-во Томского ун-та, 1978.

23. Дудин А.Н. Простейшая система массового обслуживания, функционирующая в случайной среде // Вероятн. моделир. систем и сетей обслуж. 1988. С. 14-20

24. Дудин А.Н., Клименок В.И. Расчет характеристик однолинейной системы обслуживания, функционирующей в синхронной случайной среде // Автоматика и телемеханика. 1997. № 1. С. 74-84

25. Дудин А.Н. Об обслуживающей системе с переменным режимом работы // АиТ. 1985. №2. С.27-29

26.Жакод Ж., Ширяев А.Н. Предельные теоремы для случайных процессов: пер. с англ. М.: Физматлит, 1994. 542 с.

27. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. М.: Наука, 1971.576с.

28.Кениг Д., Штойян Д. Методы теории массового обслуживания. М.: Радио и связь, 1981.

29. Китаев М. Ю. Полумарковские и скачкообразные марковские управляемые модели // Теор. вероятн. и ее примен. 1985. Т. XXX, вып. 2. С. 252-268

30. Клейнрок Л. Теория массового обслуживания. М.: Машиностроение, 1979.

зтКоротаев И.А., Ташлицкий И.А. Расчет характеристик системы массового обслуживания с групповым обслуживанием и ненадежным прибором // Стохастические модели сложных систем. 1990. С. 58-61

32. Лебедев Е.А. О стационарном распределении для сети обслуживания с узлами типа в/МА // Сетеметрия, анал. и моделир. инф.-вычисл. сетей. 1988. С. 53-61

33. Ляхов А.И. Асимптотический анализ замкнутых сетей очередей, включающих устройства с переменной интенсивностью обслуживания // Автоматика и телемеханика. 1997. № 3. С. 131-143

34. Математические методы исследования систем и сетей массового обслуживания: Тез. докл. 9 Белорус, зим. шк.-семин. по теории масс, обслуж. Минск, февр., 1993. 108 с.

35. Немура А., Клекис Э. Оценивание параметров и состояния систем: системы со скачкообразноменяющимися свойствами. Вильнюс: Мокслас. 1988. 183 с.

Зб.Обжерин Ю.Е., Снатков A.B. Полумарковская модель системы массового обслуживания с потерями // Динам, системы . 1989. № 8. С. 83-90

37.Портенко Н.И., Скороход A.B., Шуренков В.М. Марковские процессы // Итоги науки и техники. Серия: соврем, пробл. мат. фундам. направления: ВИНИТИ 1989. Вып. 46. С. 5-245

38. Саксонов М.Т. Об управлении скачкообразными процессами при наличии конечномерных ограничений // Мат. моделир. процессов упр. в условиях неопределенности. 1987. С. 101-118

39. Самочернова Л.И. Многоуровневая система массового обслуживания с интенсивностью обслуживания, зависящей от времени ожидания : Том. политех. ун-т. Томск, 1995. 10 е.: библиогр.: 5 назв.

40. Самочернова Л.И., Нерзмекин А.Ф. СМО с гистерезисной стратегией управления интенсивностью обслуживания : Том. политех, ун-т. Томск, 1995. 11 е.: библиогр.: 5 назв.

41.Сатаев Е.А. Непрерывная зависимость финальных распределений от переходных вероятностей асимптотически марковского процесса // Теория вероятности и ее применения. 1995. Вып. 40. № 1. С. 183-188

42. Случайные процессы, математическая статистика и их приложение. / МГУ, Мех.-мат. фак./Ред. Гнеденко Б.В., Розанов Ю.А. М., 1989.

43.Стрик Я. Предельные результаты для переключаемых марковских систем обслуживания с конечным числом источников // Кибернетика и сист. анал. 1994. № 1. С. 79-84

44. Таташев А.Г. Система массового обслуживания с переменной интенсивностью входного потока // Автоматика и телемеханика. 1995. № 12. с. 78-84

45. Телеавтоматические системы массового обслуживания: Матер. Всес. конф. Кишинев: Тимпул, 1988. 114 с.

46. Тершкович М.М. Сравнение двух способов описания диффузионных процессов. Вычислительные аспекты // Исслед. по прикл. мат. и физ. 1990. С. 27-33

47.Тихоненко О.М. Системы обслуживания требований случайной длины с ограничениями//Автоматика и телемеханика. 1991. № 10. С. 126-134

48.Тихоненко О.М., Завгороднев С.М., Позняк Р.И. Распределение суммарного объема требований в многолинейных системах массового обслуживания // J. Inf. Process and Cybern. EIK. 1989. 25. № 4. P. 173-183

49. Тихонов A.H., Васильева А.Б., Свешников А.Г. Дифференциальные уравнения. М.: Наука, 1985. 231 с.

50. Тривоженко Б.В. Оценка интенсивности нестационарного пуассоновского потока // Поиск сигнала в многоканал. системах (Томск). 1985. № 1.

С. 169-174

51.Ушаков В.Г., Харитонцева И.Г. О системе с зависимыми временами обслуживания // Математические модели и цифровая обработка информации. М., 1990. С. 154-163

52. Федосов A.A. Диффузионная аппроксимация процессов обслуживания требований в транспортных системах // Теория и моделир. управл. систем. Киев, 1989. С. 164-171

53. Фомин Г.И. Об однолинейной системе со случайно меняющейся скоростью обслуживания // Изв. АН СССР. Техн. кибернет. 1988. № 1.

С.134-137

54. Чеботарев A.M. Достаточные условия регулярности скачкообразных марковских процессов // Теор. вер. и ее применение. 1988. 33. № 1. С. 25-39

55. Черкасов И.Д. Преобразования диффузионных процессов и их применения. Кн. 1. Саратов: изд-во ун-та, 1988. 160 с.

56. Юшкевич A.A. Управляемые скачкообразные марковские модели // Теор. вер. и ее примен. 1980. Т. XXV, в. 2. С. 247-270

57. Abate Joseph, Whitt Ward. Simple spectral representations for the M/M/l queue // Queueing Syst. 1988. 3. № 4. P. 321-345

58. Afanas'ev L. G., Kibkalo A. A. Uniform bounds for the periodic queue in the M(t)/G/1/ system // Soviet Math. 1988. 40. № 4. P. 454-457

59. Alfa Attahiru Sule. Approximating queue lenght in M(t)/D/1 queues // Fur. J. Oper. Res. 1990. 44.№ 1. P. 60-66

60. Alvarer-Andrade Sergio. On the increments of doubly stohastic Poisson processes // C. R. Acad. Sci. Paris Ser. I. Math. 1992. 92. № 5. P. 609-614

61. Alvarez-Andrade Sergio. Strong approximation of doubly stochastic Poisson processes // C. R. Acad. Paris Ser. I. Math. 1993. 316. № 8. P. 869-872

62.Asmussen Soren. Ladder heights and the Markov-modulated M/G/l queue // Stochast. Process and Appl. 1991. 37. №2. P. 313-326

63. Berman Simeon M. Extreme sojourns of diffusion processes // Ann. Probab. 1988. 16. № l.P. 361-374

64. Brandt Andreas, Brandt Manfred, Sulanke Hannelore. A single server model for the packetwise transmission of messages: Analytical solution for the Poisson case // Prepr. Sekt. Math. / Humboldt Univ. Berlin. 1989. № 229. P. 1-14

65. Chancelier Jean-Philippe, Cohen de Lara Michel, Pacard Frank. Equation de Fokker-Planck pour la densite d'un processus aleatoire dans un ouvert regulier // C. R. Acad. Sci. Ser. 1995. 321. № 9. P. 1251-1256

66. Chancelier Jean-Philippe, Cohen de Lara Michel, Pacard Frank. Fokker-Planck equation for the density of a diffusion process in a regular open set // C. R. Acad. Sci. Paris Ser. I. Math. 1995. 321. № 9. P. 1251-1256

67. Chang Cheng-Shang, Chao Xiu Li, Pinedo Michael. Monotonicity results for queues with doubly stochastic Poisson arrivals: Ross's conjecture // Adv. Appl. Probab. 1991. 23. № 1. P. 210-228

68. Chang Cheng-Shang, Pinedo Michel. Bounds and inequalities for single server loss systems // Q. S. T. A. 1990. 6. № 4. P. 425-435

69. Chao Xiuli, Dai, Li Yi. A monotonicity result for a single-server loss system // Appl. Probab. 1995. 32. №4. P. 1112-1117

70. Choi Bong Dae, Lee Yong Wan, Shin Yang Woo. Diffusion approximation for first overflow time in GI/G/m system with finite capacity // J. Appl. Math, and Stochast. Anal. 1995. 8. № 1. P. 11-28

71. Choi Bong Dae, Rhee Kyung Hyune, Park Kwang Kyu. The M/G/l retrial queue with retrial rate control policy // Probab. Eng. and Inf. Sci. 1993. 7. № 1. P. 29-46

72. Clark A.B. A waiting line process of Markov type // Annals of Mathematical Statistics. 1956. Vol. 27. № 2. P. 452-459

73. Di Crescen Zo, Antonio Nobile, Amelia G. Diffussion approximation to a queueing system with time-depent arrival and service rates // Queueing Systems Theory Appl. 1995. 19. №1,2. P. 41-62

74. Domine Marco. Moments of the first-passage time of a Wiener process with drift between two elastic barriers // J. Appl. Probab. 1995. 32. № 4. P. 10071013

75.Doshi Bharat. Conditional and unconditional distributions for M/G/l type queues with server vacations // Queueing Syst. 1990. 7. № 3-4. P. 229-235

76.Dshalalow Jewgeni H. Single-server with controlled bulk service, random accumulation level, and modulated input // Stochast. Anal, and Appl. 1993. 11. №1. P. 29-41

77.Dynkin E. B. Kolmogorov and the theory of Markov process // Ann. Probab. 1989. 17. №3. P. 822-832

78. Fill James Allen. Time to stationarity for a continuous-time Markov chain // Probab. Eng. and Inf. Sci. 1991. 5. № 1. P. 61-76

79. Giorno V., Nobile A. G., Ricciardi L. M. On some time-non-homogeneous diffussion approximation to queueing systems // Adv. Appl. Probab. 1987. 17. №4. P. 974-994

80. Harlamov B. P. On statistics of continuous Markov processes: semi-Markov approach // Probability theory and math, statistics. Vol. 1. 1990. P. 504-511

81. Harrison J. M., Williams R. J. On the quasireversibility of a multiclass Brownian service station // Ann. Probab. 1990. 18. № 3. P. 1249-1268

82. Hsu Guang-Hui. A survey of queueing theory // Ann. Oper. Res. 1990. 24. №14. P. 29-43

83.Iscoe I., McDonald D. Asymptotics of exit times for Markov jump processes // Ann. Probab. 1994. 22. № 1. P. 372-397

84. Ishikawa Yasushi. On the lower bound of the density for jump processes in small time // Bull. Sci. Math. 1993. 117. № 4 P. 463-483

85. Jang, Nam Su, Choe, Jong Ae, Yong Choi. Comparison theorems for M(t)/G(t)/1 queues // Su-hak. 1995. № 1. P. 14-15

86. Karmeshu, Thompson M. E. The one-server Markov queue in a random environment // Bull. Calcutta Math. Soc. 1993. 85. № 3. P. 203-208

87.Keilson J., Servi L. D. The matrix M/M/l system: Retrial models and Markov modulated sources // Adv. Appl. Probab. 1993. 25. № 2. P. 453-471

88. Kersting G., Klebaner F. C. Sharp conditions for nonexplosins and explosions in Markov jump processes // Ann. Probab. 1995. 23. № 1. P. 268-272

89. Kino Jssei, Miyazawa Masakiyo. The stationary work in system of G/G/l gradual input queue // J. Appl. Probab. 1993. 30. №1. P. 207-222

90.Konakov V. D. Local limit theorem on convergence of Markov chain to diffusion processes: Front. Pure and Appl. Probab.: Proc 3. Finn.-Sov. Symp. Probab. Theory and Math. Statist. Turku., 1993. P. 112-134

91. Leandre Remi. Deusite en temps petit d'un processus de sauts // Lect. Notes Math. 1987. №7. 1247. P. 81-99

92. Leguesdron P., Pellaumail J., Rubino G., Sericola B. Transient analysis of the M/M/l queue // Adv. in Appl. Probab. 1993. 25. № 3. P. 702-713

93.Lemoine Austin J.Waiting time and workload in queues with periodic Poisson input // J. Appl. Probab. 1989. 26, № 2. P. 390-397

94. Neuts Marcel E. An explicit solusion to a particular Markov chain of M/G/l type // J. Appl. Probab. 1994. 31A. P. 337-342

95. Obzherin Yu. E., Skatkov A. V. A semi-Markov model of a queueing system with losses // Динамич. сист. 1990. № 8. С. 83-90

96.Parthasathy P. R., Sharafali M. Transient solution to the many server Poisson queue: a simple approach // J. Appl. Probab. 1989. 26. № 3. P. 584-594

97. Pham. Huyen. Optimal stopping of controlled jump diffusion process and viscosity solutions // C. R. Acad. Sci. Ser. 1. 1995. 320. № 9. P. 1113-1118

98. Rao S. Subba. Some approximate results for a heavity loaded single server queue with semi-Markovian services // J. Math, and Phys. Sci. 1991. 25. № 5-6. P. 515-520

99. Rolski Tomasz. Approximation of periodic queues // Adv. Appl. Probab. 1987. 17. №3. P. 691-707

100.Rdski Tomasz. Approximations of performance characteristics in periodic Poisson queues // Queueing and related models, Oxford Statist. Sci. Ser. 1992. № 9. P. 285-298

101.Rosenberg Catherine, Marumdar Ravi, Kleinrock Leonard. On the analysis of exponential queuing systems with randomly changing arrival rates: Stability conditions and finite buffer scheme with a resume level // Rerform. Eval. 1990. 11. №4. P. 273-293

i02.Semi-Markov random evolusions: A survey of the resent results (Swishchuk Anotdy): Trans. 11-th Prague Conf. Inf. Theoryy Statist. Decis. Funct., Random Process. Prague, 1992, P. 403-413

i03.Sharma O. P., Maheswar M. V. R. A note of the alternative form of the busy period density for an М/М/l/ queue // Stoshast. Anal, and Appl. 1993. 11. № 2. P. 231-234

i04.Shin, Yang Woo. Transient diffusion approximation for M/G/m/N queue with state dependent arrival rates // Commun. Korean Math. Soc. 1995. 10. № 3.

P. 715-733

i05.Sinai Ya. G. Kolmogorov's work on ergodic theory // Ann. Probab. 1989. 17. № 3. P. 833-839

íoó.Sreenath N., Chreck H. J. Symbolic solution of non-Markovian jump linear

th

quardratic (JLQ) systems: Proc. 27 Conf. Decis. and Contr. - New-York (N. Y.), 1988. P. 1320-1325 i07.Stamoulis George D., Tsitsiklis John N. On the setting time of the congested

GI/G/1 queue // Adv. Appl. Probab. 1990. 22. № 4. p. 929-956 i()8.Svoronos Antony, Green Linda. A convexity result for single-server exponention loss systems with non-stationary arrivals // J. Appl. Probab. 1988. 25. № 1. P. 224-227

i09.Syski R. Further comments on the solution of the M/M/l queue // Adv. Appl.

Probab. 1988. 20. №3. P. 693 lio.Sztrik J. Asymptotic analysis of a heterogeneous finite-source communication system operating in random environments // Publ. Math., Debrecen. 1993. 42. № 3-4. P. 225-238

111.Valdescastro Jose E. Cotas para las características de un sistema М/G/ 1/ con tiempo de espera limitado // Invest. Oper. 1990. 11.№ 2. P. 93-99

112.Xie Yingchao. Weak convergence of a sequence of Markov jump processes to diffusion processes // Shuxue Niankan. A. = Chin. Ann. Math. A. 1993. 14. №2. P. 246-254

113.Zhang Weijian. Analytical solutions of a class of multidimensional Fokker-Planck equations // Int. J. Contr. 1988. 48. № 2. P. 791-799

114.Zhang Yu Hui. The conservativity of coupling jump process // Beijing Shifan Daxue Xuebao. 1994. 30. № 3. P. 305-307

115.Головко Н.И., Писаренко Т.А. Системы массового обслуживания с диффузионной интенсивностью входного потока с ненулевым коэффициентом сноса: Сборник докладов. XXXVII Всероссийская межвузовская научно-

техническая конференция. Владивосток: изд-во ТОВВМУ, 1994. Т.1. 4.2. С. 35-37

Пб.Головко Н.И., Писаренко Т.А., Гранильщиков A.C. Анализ однолинейной СМО с отказами при диффузионной интенсивностью входного потока с ненулевым коэффициентом сноса: Сборник докладов. XXXVIII Всероссийская межвузовская научно-техническая конференция. Владивосток: изд-во ТОВВМУ, 1995. Т.1. 4.2. С. 51-53 т.Головко Н.И., Катрахов В.В., Писаренко Т.А. Анализ характеристик числа заявок в системах обслуживания с диффузионной интенсивностью входного потока: Сборник докладов. ХХХХ Всероссийская межвузовская научно-техническая конференция. Владивосток: изд-во ТОВВМУ, 1997. Т.1. 4.2. С. 58-60

118.Головко Н.И., Катрахов В.В., Писаренко Т.А. Незавершенная работа и время ожидания в системах обслуживания с диффузионной интенсивностью входного потока: Сборник докладов. ХХХХ Всероссийская межвузовская научно-техническая конференция. Владивосток: изд-во ТОВВМУ, 1997. Т.1. 4.2. С. 61-62 ш.Головко Н.И., Катрахов В.В., Писаренко Т.А. Матричный анализ системы массового обслуживания с диффузионной интенсивностью входного потока типа М/МIXINq по числу заявок: Сборник докладов. ХХХХ Всероссийская межвузовская научно-техническая конференция. Владивосток: изд-во ТОВВМУ, 1997. Т.1. 4.2. С. 63-65 ш.Головко Н.И., Катрахов В.В., Писаренко Т.А. Незавершенная работа в системе обслуживания с диффузионной интенсивностью входного потока: Тез. докл. II Международная конференция по математическому моделированию. Якутск, 1997. С. 96-98 ш.Головко Н.И., Катрахов В.В., Писаренко Т.А. Анализ систем массового обслуживания с диффузионной интенсивностью входного потока: Тез.

докл. II Международная конференция по математическому моделированию. Якутск, 1997. С. 98-99

122.Головко Н.И., Катрахов В.В., Писаренко Т.А. Анализ однолинейной СМО с отказами при диффузионной интенсивности входного потока: Тез. докл. II Международная конференция по математическому моделированию. Якутск, 1997. С. 100-101

123.Писаренко Т.А. Анализ системы массового обслуживания типа M/M/1/Nq с диффузионной интенсивностью входного потока: Тез. докл. 1-я Дальневосточная конференция студентов и аспирантов по математическому моделированию. Владивосток, 1997. С. 53

124.Писаренко Т.А. Моменты незавершенной работы в системах обслуживания с диффузионной интенсивностью входного потока: Тез. докл. Дальневосточная математическая школа-семинар имени академика Е.В. Золотова. Владивосток, 1998. С. 68

125.Головко Н.И., Катрахов В.В., Писаренко Т.А. Анализ систем массового обслуживания с диффузионной интенсивностью входного потока // Дальневосточный математический сборник. 1999. №7.

126.Писаренко Т.А. Характеристики числа заявок и незавершенная работа в системах обслуживания с диффузионной интенсивностью входного потока: Тез. докл. Третий Сибирский Конгресс по прикладной и индустриальной математике, посвященный памяти C.JI. Соболева. Новосибирск, 1998.

127.Головко Н.И., Катрахов В.В., Писаренко Т.А. Характеристики числа заявок и незавершенная работа в системах обслуживания с диффузионной интенсивностью входного потока: Тез. докл. 2-я Дальневосточная конференция студентов и аспирантов по математическому моделированию. Владивосток, 1998. С. 53

128.Головко Н.И., Писаренко Т.А. Условия существования стационарного режима в системах массового обслуживания типа М / М /1 / Nq с диффузи-

онной интенсивностью входного потока: Сборник докладов. Всероссийская научно-техническая конференция, посвященная 150-летию со дня рождения С.О. Макарова. Владивосток: изд-во ТОВВМУ, 1998. С. 174-177

129.Головко Н.И., Катрахов В.В., Писаренко Т.А. Стационарные системы массового обслуживания с диффузионной интенсивностью входного потока: Препринт ИПМ ДВО РАН. Владивосток: изд-во Дальнаука, 1999. 25 с.

130. Головко Н.И., Катрахов В.В., Писаренко Т.А. Стационарные системы массового обслуживания с диффузионной интенсивностью входного потока с ненулевым коэффициентом сноса: Препринт ИПМ ДВО РАН. Владивосток: изд-во Дальнаука , 1999. 18 с.

ш.Головко Н.И., Катрахов В.В., Писаренко Т.А. Краевые задачи для стационарных систем массового обслуживания с диффузионной интенсивностью входного потока // Дифференциальные уравнения.