Постмаксвелловские эффекты нелинейной электродинамики вакуума и гравитации тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.02, кандидат физико-математических наук Соколов, Владимир Андреевич

• Соколов, Владимир Андреевич
• кандидат физико-математических наук
• 2010

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Соколов, Владимир Андреевич

Введение

Глава I. Нелинейная электродинамика вакуума, основные модели и их экспериментальный статус

§1. Основные модели нелинейной электродинамики вакуума

§2. Современный экспериментальный статус нелинейной электродинамики вакуума

Глава II. Развитие формализма Ньюмена-Пенроуза для интегрирования уравнений нелинейной электродинамики вакуума

§3. Уравнения нелинейной электродинамики произвольного вида в формализме Ньюмена-Пенроуза.

§4. Уравнения для поля электрического диполя электродинамики

Борна-Инфельда в формализме Ньюмена-Пенроуза.

§5. Стационарное решение для распределенной системы зарядов в гравитационном поле силового центра в электродинамике

Борна-Инфельда.

Глава III. Постмаксвелловские эффекты нелинейной электродинамики вакуума в астрофизических приложениях

§6. Генерация кратных гармоник вращающимся пульсаром в параметризованной постмаксвелловской нелинейной электродинамике.

§7. Непертурбативное исследование движения фотона в поле массивного заряженного силового центра

§8. Эффективная метрика для фотона в теории

Эйнштейна-Борна-Инфельда.

§9. Метрика фонового пространства-времени заряженного силового центра.

§10. Свойства изотропных геодезических в поле массивного заряженного силового центра в теории Эйнштейна-Борна

Инфельда.

§11. Распространение электромагнитных волн в поле быстро вращающегося пульсара

Глава IV. Прецизионные измерения эффектов постмаксвелловской нелинейной электродинамики вакуума в лабораторных условиях

§12. Исследование эффектов постмаксвелловской нелинейной электродинамики вакуума в лабораторных лазерных прецизионных экспериментах.

§13. Взаимодействие электромагнитных волн в постоянном однородном магнитном поле в эксперименте с кольцевым лазером.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Постмаксвелловские эффекты нелинейной электродинамики вакуума и гравитации»

Представления о нелинейной природе электромагнитного вакуума на протяжении длительного промежутка времени носили абстрактный характер и сама возможность проверки эффектов, вызванных нелинейностью природы электромагнитных взаимодействий, была достаточно условной. Развитие техники эксперимента позволило существенно расширить возможности получения сильных электромагнитных полей в лаборатории, а также значительно увеличить чувствительность измерительной аппаратуры, тем самым открыв возможности для исследования новых эффектов нелинейной электродинамики вакуума. Сам факт нелинейного взаимодействия электромагнитных волн в вакууме был экспериментально подтвержден в работе [1], но точный вид лагранжиана нелинейной электродинамики вакуума остается на сегодняшний день неизвестным, поэтому разработка новых экспериментов и теоретические исследования нелинейных свойств электромагнитного вакуума представляют одну из важнейших задач.

В настоящей диссертации рассматривается ряд эффектов нелинейной электродинамики вакуума, как с точки зрения проверки самосогласованности той или иной теории, так и с точки зрения выявления возможностей построения современных лабораторных и астрофизических экспериментов для проверки новых эффектов.

В первой главе диссертации приводятся современные модели нелинейной электродинамики вакуума, подробно описаны свойства этих теорий и основные эффекты, к которым они приводят. Обсуждается современный экспериментальный статус нелинейной электродинамики вакуума, рассматриваются астрофизические и лабораторные источники сильных электромагнитных полей и возможность регистрации эффектов нелинейной электродинамики вакуума в этих полях.

Основной сложностью на пути теоретического исследования таких эффектов является отсутствие общих методов интегрирования нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных, составляющих основу математического аппарата современных теоретико-полевых моделей. Отсутствие общих методов поиска решений заставляет развивать частные методы. Например, в теории гравитации широкое распространение получил достаточно эффективный и в то же время гибкий метод поиска частных решений — формализм Ньюмена-Пенроуза [2]-[7]. В работе [8] нами получены уравнения нелинейной электродинамики произвольного вида, записанные в рамках формализма Ньюмена-Пенроуза. Результаты построения этих уравнений описаны во второй главе. В рамках развитого формализма нами было найдено новое точное решение для электродинамики Борна-Инфельда.

Третья глава посвящена исследованию нелинейных свойств электромагнитного вакуума в астрофизических приложения. Нами исследован эффект генерации кратных гармоник вращающимся пульсаром [9]. На основании полученных выражений для коэффициентов преобразования интенсивностей излучения и каталога пульсаров [10] выполнена оценка величины этого эффекта.

В этой главе также проводится непертурбативное исследование движения фотонов в поле массивного заряженного силового центра по законам электродинамики Борна-Инфельда. С использованием численных методов поиска решений нелинейных уравнений определены свойства пространства-времени массивного заряженного силового центра в электродинамике Борна-Инфельда и исследованы изотропные геодезические в этом пространстве. Результаты исследования были опубликованы нами в статье [11].

Заключительный параграф третьей главы посвящен постмаксвел-ловским эффектам нелинейной электродинамики вакуума в поле быстро вращающегося пульсара. Данное исследование является обобщением результатов работ [12]-[ 16] на случай влияния поля собственного излучения пульсара на эффекты искривления и запаздывания лучей.

В четвертой главе диссертации рассматриваются эффекты взаимодействия электромагнитных волн в присутствии постоянного однородного магнитного поля. На основании полученных результатов нами опубликована статья [17], в которой предлагается использование эксперимента с кольцевыми лазерами для определения постмаксвелловских параметров нелинейной электродинамики вакуума.

В заключении перечислены основные результаты, полученные в настоящей диссертации и выносимые на защиту.

Приложение содержит уравнения гравитационного поля, записанные в формализме Ньюмена-Пенроуза. Эти уравнения вместе с полученными во второй главе выражениями (2.10), (2.11) образуют замкнутую систему уравнений нелинейной электродинамики - гравитации.

Результаты диссертации были опубликованы нами в трех журнальных статьях [8], [9], [17], одном препринте [ 11 ] и тезисах трех конференций [18]-[20]. Все статьи опубликованы в изданиях, входящих в утвержденный ВАК перечень ведущих рецензируемых научных изданий, в которых рекомендовано размещение основных научных результатов диссертаций на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук. Результаты диссертации были доложены на международных конференциях "Ломоносов - 2005" и "Ломоносов -2009", проходивших в МГУ имени М.В. Ломоносова, конференции "Ломоносов - 2006", проходившей в Черноморском филиале МГУ имени М.В. Ломоносова, а также на семинарах кафедры квантовой теории и физики высоких энергий и кафедры теоретической физики МГУ имени М.В. Ломоносова.

ГЛАВA I

НЕЛИНЕЙНАЯ ЭЛЕКТРОДИНАМИКА ВАКУУМА, ОСНОВНЫЕ МОДЕЛИ

И ИХ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЙ СТАТУС

Заключение диссертации по теме «Теоретическая физика», Соколов, Владимир Андреевич

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Перечислим основные результаты, полученные в диссертации и выносимые на защиту.

1. Построена система уравнений нелинейной электродинамики произвольного вида в формализме Ньюмена-Пенроуза. Выполнена проверка непротиворечивости новых уравнений. С использованием развитого формализма найдено новое точное решение электродинамики Борна-Инфельда для распределенной системы зарядов, находящейся в поле массивного силового центра.

2. В постмаксвелловском приближении решена задача о генерации кратных гармоник вращающимся пульсаром. Определены интенсивности излучения кратных гармоник для ряда известных пульсаров.

3. Обнаружено регуляризирующее действие электродинамики Борна-Инфельда, приводящее к устранению горизонта Коши в пространстве-времени массивного заряженного силового центра.

4. Получено непертурбативное выражение метрического тензора эффективного пространства-времени для фотона, распространяющегося по законам нелинейной электродинамики Борна-Инфельда на фоне псевдориманова пространства-времени. Обнаружены качественно новые свойства изотропных геодезических в пространстве-времени массивного заряженного силового центра в теории Эйн-штейна-Борна-Инфельда.

5. В параметризованном постмаксвелловском приближении найдены уравнения лучей и вычислена величина эффекта относительного запаздывания нормальных волн, распространяющихся в поле быстро вращающегося пульсара.

6. Решена задача о взаимодействии двух электромагнитных волн в присутствии постоянного однородного магнитного поля. Получено дисперсионное соотношение для поля слабой волны, на основании которого выполнен расчет частот генерации кольцевого лазера. Проведена оценка величины этих частот и показана возможность их измерения при использовании современных прецизионных кольцевых лазеров.

Автор выражает глубокую благодарность научному руководителю доктору физико-математических наук профессору Денисову Виктору Ивановичу за постановку задачи для исследования, полезные рекомендации и замечания, а также всему коллективу кафедры квантовой теории и физики высоких энергий МГУ имени М.В. Ломоносова, возглавляемой академиком РАН Анатолием Алексеевичем Логуновым, за создание благоприятной атмосферы, способствующей работе над диссертацией.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Соколов, Владимир Андреевич, 2010 год

1. Kinnersley W. Type D Vacuum Metrics. J. Math. Phys., 1969, V 10, № 7, P. 1195-1204.

2. Newman E., Penrose R. An Approach to Gravitational Radiation by a Method of Spin Coefficients. J. Math. Phys., 1962, V 3, № 3, P. 566-579.

3. Newman E. et al. Errata: An Approach to Gravitational Radiation by a Method of Spin Coefficients., J. Math. Phys., 1963, V. 4, № 3, P. 998.

4. Пенроуз P. Структура пространства-времени. M.: Мир, 1972. -521 С.

5. Крамер Д., Штефани X., Херльт Э., Мак-Каллум М. Под ред. Шмут-цера Э. Точные решения уравнений Эйнштейна. М. :Энергоиздат, 1982. - 416 С.

6. Алексеев Г. А., Хлебников В. И. Формализм Ньюмена-Пенроуза и его применение в общей теории относительности. ЭЧАЯ., 1978, Т. 9, Вып. 5, С. 790-870.

7. Вшивцева П. А., Зубрило А. А., Кривченков И. В., Соколов В. А. Развитие метода спиновых коэффициентов для интегрирования уравнений нелинейной электродинамики вакуума. Вестник Московского Университета, сер. 3, 2006, № 5, С. 6-8.

8. Соколов В. А. Генерация второй и третьей гармоник вращающимся пульсаром в параметризованной постмаксвелловской электродинамике. Вестник Московского Университета, сер. 3, 2008, № 4, С. 51-52.

9. Manchester R. N. Binary and millisecond radio pulsars. Advances in space research, 2006, V. 38, № 12, P. 2709 -2715.

10. Денисов В.И., Соколов В.А. Движение фотона в поле массивного заряженного силового центра по теории Эйнштейна-Борна-Инфельда. Препринт, физический факультет МГУ имени М.В. Ломоносова, №4/2009 -4 С.

11. Denisov V. I., Svertilov S. I. Vacuum nonlinear electrodynamics curvature of photon trajectories in pulsars and magnetars. A&A, 2003, V 399, P. 39-42.

12. Denisov V. I., Svertilov S. I. Nonlinear electrodynamic and gravitational actions of the neutron star fields on the propagation of the electromagnetic waves. Physical Review D, 2005, V. 71, № 6, P. 063002-063015.

13. Денисов В. И., Денисова И. П., Кривченков И. В. Эффект нелинейно-электродинамического запаздывания электромагнитного сигнала в поле магнитного диполя. ЖЭТФ, 2002, Т. 122, N° 8, С. 227-232.

14. Вшивцева П. А., Денисов В. И., Денисова И. П., Кривченков И. В. Нелинейно-электродинамическая задержка электромагнитных сигналов в магнитном поле нейтронной звезды. Доклады РАН. 2004, Т. 399, № 3, С. 330-333.

15. Соколов В. А. Взаимодействие электромагнитных волн в сильном постоянном магнитном поле. Вестник Московского Университета, 2009, сер. 3, № 3, С. 108-110.

16. Соколов В.А. Исследование эффектов нелинейной электродинамики вакуума. Тезисы докладов международной конференции "Ломоносов-2006", Черноморский филиал Московского государственного университета имени М.В. Ломоносова, 2006, секция "Физика", С. 190.

17. Buchanan М. Past the Schwinger limit. Nature Physics, 2006, V 2, P. 721.

18. Зельдович Я.Б., Рузмайкин А.А., Соколов Д.Д. Магнитные поля в астрофизике. Ижевск: РХД, 2006. -384 С.

19. Дайсои Ф., Тер Хаар Д. Нейтронные звезды и пульсары. -М.: Мир, 1973.-192 С.

20. Липунов В.М. Астрофизика нейтронных звезд. М.: Наука, 1987. -295 С.

21. Засов А.В., Постнов К.А. Общая астрофизика. Фрязино: Век 2, 2006. -493 С.

22. Schneider-Muntau, H.J.; Toth, J. and Weijers, H.W. Generation of the highest continuous magnetic fields. IEEE Trans. Appl. Supercond., 2004, V 14, №2, P. 1245-1252.

23. Miller, J.R. The NHMFL 45-T hybrid magnet system: past, present, and future. IEEE Trans. Appl. Supercond., 2003, V 13, № 2, P. 1385-1390.

24. Denisov V. I., Krivchenkov I. V., Kravtsov N. V. The experiment for measuring of the post-Maxwellian parameters of nonlinear electrodynamics of vacuum with laser-interferometer techniques. Physical Review D, 2004, V. 69, № 6, P. 066008-066012.

25. Denisov V. I. New effect in nonlinear Born-Infeld electrodynamics. Physical Review D, 2000, V 61, № 3, P. 036004-036011.

26. Денисов В. И., Денисова И. П. Проверяемый пост-максвелловский эффект нелинейной электродинамики в вакууме. Оптика и спектроскопия, 2001, Т. 90, №> 2, С. 329-335.

27. Denisov V. I. Nonlinear effect of quantum electrodynamics for experiments with a ring laser. Journal of Optics A, 2000, V. 2, №5, P. 372-379.

28. Денисов В.И., Денисова И.П. Эффект взаимодействия плоских электромагнитных волн в нелинейной электродинамике Борна-Инфельда. ТМФ, 2001, Т. 129, №1, С. 131-139.

29. Bonvichini G., Gero Е., Frey R., Koska W., Feld C., Phinney N., Mintev A. First observation of beamstrahlung. Phys. Rev. Lett. ,1989, V. 62, № 20, P. 2381-2384.

30. Ландау Jl.Д., Лифшиц Е.М. Теория поля. -М.: Физматлит, 2001. -534 С.

31. Денисов В. И. Лекции по электродинамике. М. : УНЦ ДО, 2005. -271 С.

32. Денисова И. П. Введение в тензорное исчисление и его приложения. М.: УНЦ ДО, 2004. - 230 С.

33. Born М., Infeld L. Foundation of the new field theory. ProC. Roy. SoC., 1934, V. A144, P. 425-430.

34. Hofman В., Infeld L. On choice of an action function in the new field theory. Phys.Rew., 1937, V 51, № 9, P. 765-773.

35. Boillat G. Nonlinear electrodynamics: lagrangians and equations of motion. J. Math. Phys., 1970, V 11, №3, P. 941-951.

36. Fardkin E.S., Tseitlin A. A. Nonlinear electrodynamics from quantized strings. Phys. Lett. B, 1985 , V 163, № 1, P. 123-130.

37. Cecotti S., Ferrara S. Supersymmetric Born-Infeld lagrangians. Phys. Lett. B, 1987, V 187, № 3, P. 335-339.

38. Берестецкий В.Б., Лифшиц Е.М., Питаевский Л.П. Квантовая электродинамика. -М.: Наука, 1980. -702 С.

39. Heisenberg W., Euler Н. Consequences of dirac theory of the positron. Z. Phys., 1936, V 26, P. 714-720.

40. Халилов В. P. Электроны в сильном магнитном поле. -М.: Энерго-атомиздат, 1988. 207 С.

41. Adler S. L. Photon splitting and photon dispersion in a strong magnetic field. Ann. Phys., 1971, V. 67, № 2, P. 599-647.

42. Adler S. L., Bahcall J. N., Callan C. G., Rosenbluth M. N. Photon splitting in a strong magnetic field. Phys. Rev. Lett., 1970, V. 25, № 15, P. 1061-1065.

43. Bialynicka-Birula Z., Bialynicka-Birula I. Nonlinear effects in quantum electrodynamics. Photon propagation and photon splitting in an external field. Phys. Rev. D, 1970, V 2, № 10, P. 2341-2345.

44. Karplus R., Neuman M. The scattering of light by light. Phys. Rev. 1951, V 83, № 4, P. 776-784.

45. Akhieser A., Landau L., Pomeranchook I. Scattering of light by light. Nature, 1936, V. 138, P. 206.

46. Reiss H. R. Absorption of light by light. J. Math. Phys., 1962, V. 3, № 1, P. 59-68.

47. Brown L. S., Kibble T. W. Interaction of intense laser beams with electrons. Phys. Rev. 1964, V. 133, № ЗА, P. A705-A719.

48. Денисов В. И., Денисова И. П. Уравнения эйконала в параметризованной нелинейной электродинамике вакуума. Доклады РАН, 2001,1. Т. 378, № 4, С. 463-465.

49. Fliegner D., Reuter М., Schmidt M.G., Schubert С. Two-loop Euler-Heisenberg lagrangian in dimensional regularization. Theor. Math. Phys. 1997, V. 113, №2, P. 1442-1451.

50. Ritus V. I. The different renorminvariant charges in quantum electrodynamics. Phys. Lett. В, V. 65, № 4, P. 355-357.

51. Ритус В.И., Лебедев С.Л. Дисперсионное представление для лагран-жевой функции интенсивного поля, Письма в ЖЭТФ, 1978, Т. 28, Вып. 5, С. 298-301.

52. Халилов В.Р. Квантовые макроскопические эффекты в вырожденном сильно намагниченном газе нуклонов. ТМФ, 2002, Т. 133, №1, С. 103120.

53. Кадышевский В.Г., Родионов В.Н. Поляризация электрон-позитрон-ного вакуума сильным магнитным полем в теории с фундаментальной массой. ТМФ, 2003, Т. 136, №3, С. 517-528.

54. Родионов В. Н. Поляризация электрон-позитронного вакуума сильным магнитным полем с учетом аномального магнитного момента частиц. ЖЭТФ, 2004, Т. 125, №. 3, С. 453-461.

55. Breit G., Wheeler J.A. Collision of Two Light Quanta., Phys. Rev., 1934, V. 46, № 12, P. 1087-1091.

56. Mereghetti S. Workshop "Frontier Objects in Astrophysics and Particle Physics"Vulcano, Italy. May 22-27, 2000. Astro-ph. 01.

57. Mereghetti S. ProC. NATO ASI "The Neutron Star Black Hole Connection"; 1999, Astro-ph/9911252.

58. Thomson C. and Duncan R. C. The Soft Gamma Repeaters as Very Strongly Magnetized Neutron Stars. II. Quiescent Neutrino, X-Ray, and Alfven Wave Emission. Astrophysical Journal, 1996, V. 473, p. 322.

59. Вшивцева П. А., Кривченков И. В. Развитие метода апертур в задаче о нелинейно-электродинамическом линзировании электромагнитных волн. Вестник Московского Университета, сер. 3, 2006, Т. 3, С. 14-17.

60. Вшивцева П. А., Денисов В. И., Кривченков И. В. Нелинейно-электродинамическое линзирование электромагнитных волн в поле магнитного диполя. Теоретическая и математическая физика, 2007, Т. 150, № 1, С. 85-94.

61. Вшивцева П. А., Денисов В. И., Денисова И. П. Нелинейно-электродинамический эффект удвоения частот в поле магнитного диполя. Доклады РАН, 2002, Т. 387, № 2, С. 178-180.

62. Градштейн И. С., Рыжик И. М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. М.: Наука, 1971 . - 1108 С.

63. Янке Е., Эмде Ф., Лёш Ф. Специальные функции. Формулы,- графики, таблицы. М.: Наука, 1964 . -344 С.

64. Фок В. А. Проблемы дифракции и распространения электромагнитных волн. М.: Советское радио, 1970. -517 С.

65. Drummond I.T., Hathrell S.J. QED vacuum polarization in a background gravitational field and its effect on the velocity of photons Phys. Rev. D, 1980, V. 22, № 2, P. 343-355.

66. Кривченков В.И. Развитие метода эйконала в нелинейной электродинамике на основе принципа геометризации. ТМФ, 2007, Т. 150, №1,1. С. 112-117.

67. Денисов В.И. Исследование эффективного пространства-времени нелинейной электродинамики вакуума в поле магнитного диполя. ТМФ, 2002, Т. 132, №2, С. 211-221.

68. Рашевский П.К. Риманова геометрия и тензорный анализ. -М.: Наука, 1967. -664 С.

69. Вшивцева П.А. Теорема об эффективной метрике в нелинейной электродинамике вакуума. Тезисы Международной конференции "XXXIV Га-гаринские чтения", секция "Прикладная математика и математическая физика", 2008, С. 44-45.

70. Чандрасекар С. Математическая теория черных дыр Т. 1. М. : Мир, 1986, -276 С.

71. Чандрасекар С. Математическая теория черных дыр Т. 2. М.: Мир, 1986, -355 С.

72. Reissner Н. Uber die eigengravitation des elektrischen fields nach der Einsteinschen theorie. Ann. Physik, 1916, V. 355, № 9, P. 106-120.

73. Nordstrom G. On the energy of gravitational field in Einstein's theory. Proc. Kon. Ned. Akad. Wet., 1918, V. 20, P. 1238-1245.

74. Sharp N. A. Geodesies in black hole space-times. Gen. Relativity and Gravitation, 1979, V. 10, № 8, P. 659-670.

75. Гальцов Д. В. Частицы и поля в окрестности черных дыр. М.: Изд-во МГУ, 1986, -288 С.

76. Мизнер Ч., Торн К., Уилер Дж. Гравитация T.l. -М.: Мир, 1977, -474 С.

77. Мизнер Ч., Торн К., Уилер Дж. Гравитация Т.2. -М.: Мир, 1977, 525 С.

78. Мизнер Ч., Торн К., Уилер Дж. Гравитация Т.З. -М.: Мир, 1977, -510 С.

79. Лобанов A. E. О механизме образования электрон-позитронных пар при столкновениях тяжелых ионов. Письма в ЖЭТФ, 1989, т. 50, вып. 4, с. 161-163.

80. Арбузов Б.А. Лэмбовский сдвиг и нелинейная электродинамика. ТМФ, 1969, Т. 1, № 2, С. 238-241.

81. Денисов В.И., Кравцов Н.В., Кривченков И.В. Нелинейно-электродинамическое смещение спектральных линий в атоме водорода и водоро-доподобных ионах. Оптика и спектроскопия, 2006, Т. 100, №5,1. С. 701-705.

82. Carley Н., Kiessling М. К.-Н. Nonperturbative calculation of Born-Infeld effects on the Shrodinger spectrum of the hydrogen atom. Phys. Rev. Lett., 2006, V. 96, № 3, P. 030402-030406.

83. Piazza A. Di, Hatsagortsyan K. Z., and Keitel C.H. Harmonic generation from laser-driven vacuum, Phys. Rev. D, 2005, V. 72, № 8, P. 085005085028.

84. Лобанов A. E, Родионов В. H., Тернов И. М., Халилов В. Р. Амплитуды упругого рассеяния электрона и фотона в постоянном электромагнитном поле ТМФ, 1980, Т.45, №3, С. 377-389.

85. Shabad А.Е. Photon dispersion in strong magnetic field. Ann. Phys., 1975, V. 90, № 1,P. 166-195.

86. Жуковский В. Ч., Херрман И. Влияние постоянного электромагнитного поля на фотообразование электрон-позитронных пар. ЯФ, 1971, Т. 14, №5, С. 1014-1019.

87. Родионов В.Н., Тернов И.М., Халилов В.Р. Радиационные эффекты в поле электромагнитной волны с учетом действия постоянного магнитного поля. ЖЭТФ, 1976, Т. 71, №3, С. 871-883.

88. Александров Е. Б., Ансельм А. А., Москалев А. Н. Двойное преломление вакуума в области интенсивного лазерного излучения. ЖЭТФ, 1985, Т. 89, №4, С. 1181-1189.

89. Денисов В. И., Кравцов Н. В., Кривченков И. В. О возможности обнаружения поляризации вакуума в магнитном поле. Квантовая электроника, 2003, Т. 33, № 10, С. 938-939.

90. Stedman G.E. et al. Harmonic analysis in a large ring laser with backscatter-induced pulling. Phys. Rev. A., 1995, V. 51, № 6, P. 4944-4958.

91. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Электродинамика сплошных сред. -М.: Наука, 1982.-621 С.

92. Кравцов Ю.А., Орлов Ю.И. Геометрическая оптика неоднородных сред. -М.: Наука, 1980, 304 С.