Пороговые явления в квантовой механике тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.16, кандидат наук Гриднев, Дмитрий Константинович

• Гриднев, Дмитрий Константинович
• кандидат наук
• 2013

Оглавление диссертации кандидат наук Гриднев, Дмитрий Константинович

Оглавление

Введение

1 Исследование стабильности /»/-частичных систем

1.1 Условие стабильности трех зарядов

1.2 Переход от трех частиц к одной в эффективном потенциале

1.3 Связанные состояния в эффективном потенциале

1.4 Условие стабильности четырех зарядов

1.5 Стабильность нейтронноизбыточных ядер

2 Пороговые состояния в многочастичных системах без дальнодействующих потенциалов

2.1 Общие сведения

2.2 Растекание и связанные пороговые состояния

2.3 Случай, когда волновая функция трех частиц не растекается

2.4 Связанные состояния с нулевой энергией в многочастичных системах

2.5 Теорема о декластеризации

3 Резонансы с нулевой энергией в трехчастичной системе

3.1 Функция Грина двухчастичного резонанса с нулевой энергией

3.2 Условие растекания трехчастичного основного состояния

3.3 Построение резонанса с нулевой энергией путем настройки констант взаимодействий

3.4 Асимптотическое поведение растекающейся волновой функ-

ции двух частиц

3.5 Универсальное угловое распределение вероятности для

трех частиц вблизи порога

4 Формирование пороговых состояний за счет дальнодей-ствующего потенциала отталкивания

4.1 Связанные состояния около порога

4.2 Оценки Функции Грина

4.2.1 Потенциалы, спадающие как 1 /г2

4.2.2 Потенциалы, спадающие как 1 /г

4.3 Существование пороговых состояний

4.4 Связанные пороговые состояния, возникающие из-за ку-лоновского отталкивания

4.5 Формулировка основной теоремы

4.6 Оценка сверху двухчастичной функции Грина

4.7 Доказательство основной теоремы

4.8 Приложения

4.8.1 Три заряженные частицы с конечными массами

4.8.2 Отрицательные ионы атомов

4.9 Критерии для нерастекающихся последовательностей

5 Эффект Ефимова для N частиц

5.1 Обобщенный принцип Бирмана-Швингера

5.2 Теорема Вугальтера и Жислина

5.3 Основная теорема и ее следствия

5.4 Система N частиц, имеющая критическую константу связи177

5.5 Доказательство основной теоремы

Заключение

Список публикаций автора и литература

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Пороговые явления в квантовой механике»

Введение

Объектом исследования настоящей работы являются пороговые явления в задачах ядерной и атомной физики, такие как стабильность многочастичных конфигураций, а также поведение волновых функций и спектра вблизи порога.

Актуальность. Пороговые явления охватывают широкий круг современных проблем в квантовой теории. Еще со времен Бора [1] ученые задаются вопросом, какие комбинации протонов и нейтронов создают стабильное ядро, какие комбинации заряженных частиц разного сорта могут создавать стабильные молекулы и экзотические ионы. В этом отношении существует целый ряд современных работ, список которых будет заведомо неполным, так как охватывает очень широкий круг проблем. При приближении к границам стабильности энергия связи по определению стремится к нулю. При этом немаловажно знать, как ведут себя волновые функции молекул, атомов, ядер, когда они описывают слабосвязанный объект. Обнаружение в 1985 году И. Танихата стабильных ядер 6Не и и1л открыло новую главу в ядерной физике. Выяснилось, что данные слабосвязанные ядра обладают очень большой пространственной протяженностью нуклонной плотности, сравнимой с 208РЬ, который содержит в 34 раза больше нуклонов. Дальнейшие современные исследования показали, что можно ожидать множество подобных ядер вблизи границы стабильности. Исследование границ стабильности и поведение волновых функций вблизи них является современной и исключительно важной фундаментальной проблемой.

Целью настоящей работы является исследование пороговых явле-

ний в задачах ядерной и атомной физики с помощью точных математических методов.

Научная новизна. Все основные результаты, представленные в настоящей работе и выносимые на защиту, являются новыми. Перечислим эти результаты.

1. Найдены необходимые условия стабильности для трех заряженных частиц, обладающих конечной массой, где под стабильностью понимается существование связанного состояния.

2. Найдены необходимые условия стабильности для четырех заряженных частиц, обладающих конечной массой. В частности, дается строгое доказательство нестабильности молекулы водород-антиводород, состоящей из протона, антипротона, электрона и позитрона.

3. Методом Хартри-Фока исследована стабильность разных изотопов с большим числом нейтронов. Предсказано существование полуостровов стабильности и сверхмассивных стабильных изотопов урана.

4. Разработан строгий метод анализа волновых функций вблизи порога, основанный на понятии "растекающейся" последовательности функций

5. Исследовано поведение волновых функций вблизи порога в двухчастичной задаче, где во взаимодействии наличествует дальнодейству-ющее отталкивание. Получены строгие и асимптотически корректные оценки функций Грина и волновых функций.

6. Получено строгое математическое доказательство того, что отрицательные ионы атомов имеют связанное пороговое состояние, если заряд атома становится критическим.

7. Исследовано пороговое поведение волновой функции в трехчастич-ной задаче. Получены строгие условия существования связанных пороговых состояний.

8. Доказано существование в трехчастичной системе несвязанных пороговых состояний, если отсутствует отрицательный сплошной спектр, а хотя бы одна пара частиц имеет резонанс при нулевой энергии.

9. Получено явное универсальное выражение угловой плотности рас-

пределения трех частиц в случае, когда за счет изменения констант связи, основное состояние полностью растекается. Данное выражение повторяет распределение так называемого двухнейтронного пика, наблюдаемое в ядрах со структурой двухнейтронного гало. Предсказано существование подобных состояний в атомной и молекулярной физике.

10. Получено новое короткое доказательство теоремы Жислина-Вугальтера о конечности дискретного спектра в многочастичной задаче.

11. Получены новые условия конечности дискретного спектра в многочастичной задаче. В качестве одного из следствий данного результата, получено строгое доказательство того факта, что эффект Ефимова невозможен в случае четырех и более бозонов.

Методы исследования. Основными методами исследования, применяемыми в настоящей работе, являются обобщенный вариационный принцип, операторные методы, математический анализ. Также используются Хартри-Фоковские методы расчета энергий ядер и деформаций.

Достоверность полученных в диссертации результатов обусловлена тем, что:

— применяются проверенные, математически точные и строго обоснованные методы исследования;

— многие результаты диссертации являются обобщением полученных ранее результатов и совпадают с этими результатами в частных случаях;

— все основные результаты диссертации доказаны и опубликованы. Апробация. Основные результаты, изложенные в диссертации, опубликованы в 27 публикациях.

Результаты докладывались

на научных семинарах кафедры ядерной физики Санкт-Петербургского государственного университета в 2002-2012 г.г.;

— На научных семинарах в университетах Франкфурта на Майне, Кас-селя, Кайзерслаутерн в Германии в 2006-2012 г.г.;

— на международной конференции "Workshop on Quantum Few-Body

Systems" в Архусе, Дания, Март 19-20 2007;

— на международной конференции "Workshop on Critical Stability" в Эриче, Италия Октябрь 19-20 2008. ;

— на международной конференции "Symposium on Exciting Physics", Макутси, Юар, Ноябрь 13-20 2011;

Краткое описание содержания работы по главам. Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения и списка использованной литературы.

В Главе 1 исследуется стабильность трех и четырех заряженных частиц с конечными массами, а также стабильность нейтронноизбыточ-ных ядер. С помощью вариационных методов выводятся необходимые условия стабильности, выражаемые в требуемом соотношении масс частиц. В §1.5 с помощью численных расчетов методом Хартри-Фока с силами Скирма исследуется расположение границы нейтронной стабильности на карте нуклидов. Показывается возможность существования полуостровов стабильности и нейтронных гало.

В Главе 2 исследуется возможность существования связанных пороговых состояний в многочастичных системах с короткодействующими потенциалами. Вводится формализм, строящийся на понятии "растекающейся последовательности волновых функций". Строго доказывается существование связанных пороговых состояний, при условии, что отсутствуют виртуальные уровни с нулевой энергией во всех парах частиц, а также связанные состояния подсистем с энергией меньшей или равной нулю.

В Главе 3 рассматривается возможность существования виртуальных (не связанных) уровней с нулевой энергией в трехчастичных системах. Доказывается, что такие уровни существуют исключительно при условии, что хотя бы одна из пар частиц имеет резонанс с нулевой энергией. Полученный результат доказывает существование полностью растекающейся последовательности связанных уровней трех частиц. Для такой последовательности в явном виде рассчитывается уг-

ловое распределение вероятности, которое оказывается универсальным (не зависящим от конкретного поведения потенциала).

В Главе 4 исследуется формирование связанных пороговых состояний за счет дальнодействующего потенциала отталкивания. Полученные результаты помогают установить существование связанного порогового состояния для отрицательного иона в том случае, когда заряд ядра становится критическим. Полученные результаты также объясняют отсутствие протонных гало в ядрах. Разработан способ асимптотически корректных оценок функций Грина в задачах с таким потенциалом, что помогает понять асимптотику волновой функции.

В Главе 5 исследуется конечность уровней многочастичной системы с короткодействующими потенциалами. В случае трех частиц за счет эффекта Ефимова может образовываться бесконечная последовательность уровней. Строго доказывается, что в случае 4-х бозонов может существовать лишь конечное число уровней с отрицательной энергией, при условии, что сплошной спектр системы неотрицателен. Также приводится относительно простое доказательство теоремы Вугальтера-Жислина о конечности связанных состояний.

Глава 1

Исследование стабильности А^-частичных систем

Проблема стабильности частиц, взаимодействующих посредством ку-лоновских сил, является непростой даже в случае, когда число частиц равно трем или четырем. Вариационные методы, как известно, могут лишь точно предсказать стабильность, но иногда весьма трудно с уверенностью судить о возникающей нестабильности, поскольку увеличение числа базисных функций понижает уровень энергии. Ситуация усугубляется тем, что возле порога волновые функции растекаются в пространстве. Поясним это на примере. Для случая частиц с зарядами {+1,-1,-1} стабильность зависит исключительно от соотношения масс в системе и можно построить так называемую диаграмму стабильности [5], где стабильные системы ограничены кривой стабильности. Около этой кривой энергия отделения одной из частиц стремится к нулю, при этом Нт6_>о $\х\<ц \Фе(х)\2(^6х = 0 для любого Я, > 0, где 1ре(х) обозначает волновую функцию с энергией отделения частицы е. Таким образом, волновая функция "размазывается" по всему пространству вблизи порога, и в таких случаях вариационные подсчеты носят очень приближенный характер.

1.1 Условие стабильности трех зарядов

Известный австрийский ученый В. Тирринг в своей книге [2] заканчивал некоторые главы списками нерешенных проблем. Проблема стабильности трех заряженных частиц с конечными массами, взаимодействующих исключительно по закону Кулона, находится на первом месте в конце главы 4 в [2]. С тех пор многое было прояснено в отношении стабильности трех заряженных частиц, область стабильности была оценена с помощью полуаналитических методов, как в работе [3], так и с помощью строго математических методов [2], [5]. Достаточные условия стабильности N частиц были рассмотрены в [А1].

В наши дни в лабораториях производится большой набор разных заряженных частиц, из которых строятся экзотические молекулы и атомы. Данные объекты могут иметь теоретическое и прикладное значение. Для построения таких систем понимание принципов стабильности является критическим, что делает данную работу целесообразной. Под стабильностью системы, описываемой Гамильтонианом Н мы всегда будем понимать существование связанного состояния ниже границы сплошного спектра, которую мы будем обозначать как т£аезз(Н). Известно, что три частицы с зарядами {1+£, —1,-1}, взаимодействующие исключительно посредством кулоновских сил, при любом е > 0 образуют стабильную систему, независимо от значений масс частиц. При е = О ситуация резко меняется, и из-за эффекта экранировки не все системы остаются стабильными. Типичный пример в этом отношении представляет собой мюонный атом водорода где мюон, обращающийся рядом с протоном, экранирует заряд так, что система распадается. При этом ре~е~ имеет ровно одно связанное состояние ниже порога, то есть является стабильным. Данный факт был доказан строго в работе [4].

Среди доказательств нестабильности систем из трех зарядов наиболее простым и наглядным представляется доказательство Тирринга [2], которое является аналитическим и не требует численных расчетов.

Тирринг рассматривал экзотический отрицательный ион водорода, в котором масса ядра принималась равной бесконечности. Тирринг показал, что отрицательный ион будет нестабильным, если к водороду присоединить отрицательную частицу массой в 7г раз больше электрона. Более поздний анализ [6, 9] показывает, что константу 7г можно заменить меньшей константой 1.57. В своем методе Тирринг пользуется тем фактом, что основной уровень атома водорода существенно отдален от остальных состояний (согласно Бальмеровской последовательности 1/п2). Тем самым подчеркивается роль основного состояния.

Данный факт подсказывает "проекцию"задачи на пространство, где атом водорода всегда находится в основном состоянии. Подобная проекция позволяет свести проблему к задаче, где третья частица движется в поле образованном двумя другими частицами, находящимися в основном состоянии. И вопрос связанности трех частиц сводится к вопросу о связанности данных частицы в поле двух других. В данном методе основным недостатком является требование бесконечной массы ядра. Только в этом случае проектор на связанное состояние атома водорода коммутирует с парным взаимодействием третьей частицы и ядра. В случае конечных масс это уже не так.

Существенное улучшение оценки Тирринга было получено в [5], где было, например, доказано, что мюонный ион является нестабиль-

ным для действительных значений масс. Тем не менее, данное улучшение метода Тирринга (Уравнение (24) в [5]) уже не справляется с ситуацией, когда вторая частица слишком тяжела по сравнению с остальными (например, невозможно доказать, что ион (1~ре+ является нестабильным). В работе [7] строго доказана нестабильность таких систем как е~ре+ и ц~ре+. Но данный метод требует вспомогательных численных вычислений. Еще важнее, тот факт, что метод разработанный в [7] основывается на разделении переменных в задаче с двумя фиксированными центрами, что делает метод целиком неприменимым к задаче четырех частиц.

В последующем изложении мы будем использовать идею Тирринга, но не будем требовать бесконечности масс. Получаемое необходимое условие стабильности ограничивает соотношение масс Якоби (см. определение ниже), при котором система может быть стабильной. Полученное нами условие вместе с условием вогнутостью области стабильности [5] позволяет получить аналитически достаточно точную оценку границы стабильности.

Недостатком, как метода Тирринга, так и метода, представленного ниже, является то, что они неприменимы в ситуации, когда энергии порогов развала находятся рядом друг с другом или равны (например, когда массы обеих одинаково заряженных частиц равны). В частности, подобным методом к сожалению не удается доказать так называемый эффект перенагрева [8], когда система из трех частиц с зарядами {+1, — <?, — (/} и одинаковыми массами становится нестабильной при <7 > <?о5 где до > 0 не зависит от масс.

1.2 Переход от трех частиц к одной в эффективном потенциале

Пускай тг, гг Е М3 обозначают массы, заряды и вектора местоположения частиц г = 1,2,3. Мы выбираем заряды слеующим образом — +1, и (?2,з = —1- Тогда взаимодействия между частицами принимают вид Угк = С[гЦк/|гг — ГА;|- Мы пронумеровываем частицы таким образом, что энергия частиц (1,2) определяет порог развала трехча-стичной системы. Мы пользуемся системой единиц в которых К = 1. Для того, чтобы отделить движение центра масс мы пользуемся координатами Якоби [11]. Обозначим х = г\ — г 2 и у = гз — Г1 + ах, где безразмерный параметр а имеет вид а — тгДгп! + тг). Соответствующие координатам Якоби импульсы принимают видрху = —ъ^7х_у. Введем обозначения приведенных масс Якоби /лх = тхгпч!{гп\ + гаг) и = тз(т1+Ш2)/(т1 + ?7г2 + тз). Умножение всех масс на постоянный

коэффициент не влияет на стабильность или нестабильность. Таким образом можно сделать упрощающее преобразование, когда все массы умножаются на такой коэффициент, чтобы выполнялось ¡1Х — 2. (В конце мы проведем обратное преобразование, возвращающее массам их изначальные значения). Гамильтониан системы удобно рассматривать на тензорном произведении пространств 1/2 (И^3)®-^^3)- Гамильтониан выглядит следующим образом.

V2

2(1.

у

где мы обозначили

^ = + 1/23 = -■ 1 , + тр.-—г (1-1)

|ах-у| |(1 — а)х + у|

и Н\2 — Рх/^ — 1/ж обозначает Гамильтониан пары частиц (1,2) (х обозначает |х|). Волновая функция основного состояния Гамильтониана ¡112 имеет следующий вид фо = д/8/7гехр(—2ж), так что выполнено /¿120о = ~Фо- Н самосопряжен на Т>(Н) = £)(#о) С Ь2(Ж6). Согласно ХВЖ теореме сплошной спектр Н расположен в интервале ае38(Н) = [— 1,оо). Имеет смысл разделить потенциал V/ на положительную и отрицательную части, а именно V/ = — где мы ввели обозначения := (\Ш\ - \¥)/2 и 1У+ := (-И0- = + \¥)/2, причем нетрудно заметить, что У/± > 0.

Вместо Н мы будем рассматривать следующий Гамильтониан

V2

Н = к + - (1.2)

IV- можно также записать в следующем виде

УУ- = -(У13 + У2зГ(х,у)) (1.3)

Нетрудно заметить, что выполнено следующее операторное неравенство (Н — р2з) < Н < Н. Гамильтониан (Н — Угз) это изначальный Гамильтониан, в котором "выкинута"часть потенциала, соответствующая отталкиванию. Согласно ХВЖ теореме т£аезз(Н — Ъ^з) = — 1. Но

тогда применяя принцип минимакса [10] (том 4) мы заключаем, что

inf (Jess(H) = "I-

Будем исходить из того, что Н стабилен, т. е. Н имеет по крайней мере одно связанное состояние с энергией —1. Поскольку Н < Н применяя вариационный принцип заключаем, что Н также имеет связанное состояние Ф £ Т>{Н) с энергией, лежащей ниже чем inf aess(H) = —1. Таким образом, мы можем написать уравнение для связанного состояния.

ЯФ = (-1-5)Ф (1.4)

где 5 > 0 дополнительная энергия связи.

Теперь наша задача, как уже упоминалось, состоит в построении проекции на пространство, где атом находится в основном состоянии. Проекционный оператор имеет следующий вид Ро = \Фо)(Фо\ <8> 1, где (Ро : Т>(Н) —»• Т>(Н)). Ортогональный проектор Ро позволяет разбить волновую функцию Ф на две компоненты г] := РоФ и £ := (1 — Ро)Ф, так что и Ф = г) + £ (при этом г], £ е T>(Hq). Последовательно образуя скалярное произведение обеих частей уравнения (1.4) с функциями г} и £ мы получим

№ ® - W-\n) - (r¡\W-\0 = -¿IMI2 (1.5)

Z/iy

v2

® lio + <£ii ® - w-\t) - <)

¿Ну

= (-l-«ll2 (1.6)

где мы использовали тот факт, что, благодаря тому что операторы Ро и 1 коммутируют, выполнено следующее уравнение (т]\1 <8>Ру\£) = 0. Сейчас мы сделаем дополнительное предположение, состоящее в том что 11гу11, ||£|| ф 0 (от этого дополнительного предположения мы избавимся в Теореме 1). В таком случае мы вправе выбрать нормировку Ф таким образом, чтобы выполнялось ||£|| = 1.

Спектр оператора h\2 хорошо известен (спектр атома водорода), от-

куда можно получить следующее неравенство [2]

h12 ® 1 > -Р0 - 1/4(1 - Р0) (1.7)

Таким образом для первого члена в уравнении (1.6) мы получаем оценку (£1^12 ® 1|£) > —1/4. Имеет смысл ввести следующие неотрицательные величины а := у/(r¡\W-\r]) и ß := у/Применяя неравенство Коши-Буняковского-Шварца мы получим неравенство

№W-\ri)\<aß (1.8)

Предыдущие неравенства позволяют нам переписать уравнения (1.5)-(1.6) в виде пары неравенств

2

{r¡\l ® р-- W-\r¡) - aß < 0 (1.9)

2

(C|l < (1.10)

Неравенство (1.10) поможет нам сверху величину ß/a. Подставляя эту оценку в неравенство (1.9) мы сможем сформулировать условие стабильности. Необходимую оценку можно представить в виде следующего утверждения.

Лемма 1. Предположим, что выполнено Ур. (1.10), а также цу < 3/2. Тогда справедливо следующее неравенство

Доказательство. Сперва покажем, что для любой константы А > 0 выполнено следующее неравенство

inf■ Ml 0 р- ~ AW.\x) > (1.12)

xeV(H) 2 ßy 2

11x11=1

Достаточно доказать это утверждение для функций вида х £ Со°(М6). Используя (1.3) и вариационный принцип мы получим

(X|l ® ~ AW-\x) > f dx. [ ¿УХ*(х,У) ~ r^—i) Х(х,у) 2Ну J J цу Iах - у\J

> J dxj dy|X|2(x,ax + y) = -^Hxll2 (1.13)

где мы использовали явное значение энергии основного состояния атома водорода. Из неравенства выше легко следует (1.12). (На самом деле, используя подходящие пробные функции можно показать, что вместо знака неравенства в (1.12) можно поставить знак равенства. Мы не будем этого делать, так как это нам не пригодится в дальнейшем). Используя неравенство (1.12) мы получаем следующую цепочку неравенств.

2

inf (¿iio^-wqo (i.i4)

iev{H) 2 Цу

<£|и/_ю=/?2

v2

= max inf ((£|l<g>^-(A + l)HqO + A/32) a>-I £е2?(Я) 2/j,y

v2

> max inf - (A + 1)W_|0 + Х/32)

~\>-i^€V(H) 2 fiv

U\\=i

> max(A/32 - (A + 1) 2My/2) = - /32

Подставляя полученный результат в (1.10) и полагая а = s(3 мы получаем

(з + 1)/?2<4 (1.15)

2 (1у

Теперь остается только найти минимум левой части (1.15) по /З2, чтобы получить оценку снизу по е. Результат представлен в (1.11). □

Следует обратит внимание на то, что соотношение представленное в лемме заключает в себе принцип неопределенности, а именно, когда

/З2 растет кинетическая энергия растет быстрее, как /З4. Введем обозначение эффективного потенциала Veff(y) := / Справедлива следующая теорема

Теорема 1. Если система из трех кулоновских зарядов стабильна, а также цу < 3/2, тогда частица с массой \ху должна иметь связанное состояние в потенциале — + (л/3/2/ху — К//.

Доказательство. Пускай |Н|, ||£|| ф 0. Функция г] факторизуется в виде г, = 0о(х)/(у), где / £ Я2(К3), ||/|| ф 0. Подставляя (1.11) в (1.9) и используя явные выражения для а2 и г] мы получаем необходимое условие стабильности

</1^ - (1 + (у/з/Ъь - I)-1) К//1/) < о (1.16)

Ниже мы будем рассматривать функцию (у) и покажем, что она является непрерывной и спадает как 1/у2. Неравенство (1-16) как раз и означает, что частица массой цу образует связанное состояние в указанном потенциале. Для того, чтобы закончить доказательство нам остается доказать, что теорема остается справедливой, когда либо £ = 0 либо 77 = 0. Если £ = 0 мы получим, что и /5 = 0 и, подставляя /3 = 0 в (1.9) мы приходим к условию более строгому чем (1.16). Если же г) = 0, то тогда ||£|| = 1 и а = 0. Если подставить а = 0 в (1.10) и использовать (1.12) вместе с условием цу < 3/2, то это приводит к противоречию. □

1.3 Связанные состояния в эффективном потенциале

Теперь мы переходим к рассмотрению эффективного потенциала и оценке тех значений силы потенциала Л, при которых Гамильтониан р2 — АУец обладает связанными состояниями. В нашем случае эффективный потенциал обладает "нефизическим"членом, спадающим как 1/у2. (Напомним, что в эффективный потенциал Тирринга [2] спадает

как 1 /у3). Подобное нефизическое поведение потенциала объясняется обрезанием положительной части физического потенциала и приводит к образованию бесконечного числа связанных состояний (именно поэтому мы и называем такое поведение "нефизическим"). Еще Гильберт и Курант [13] показали, что дальнодействующий притягательный потенциал, спадающий как 1 /у2, обладает связанными состояниями только при достаточной силе потенциала. Так, если выполнено A max^ y2Veff(y) < 1/4, то тогда справедливо следующее операторное неравенство

р2у - XVeff > 0 (1.17)

Неравенство (1.17) означает отсутствие в эффективном потенциале связанных состояний частицы с массой 1/2 (доказательство смотри в [10], том 2). Таким образом, нам нужно определить критическую силу потенциала, при которой начинают возникать связанные состояния. Заметим, что в потенциалах, спадающих обратно пропорционально квадрату расстояния, критическая сила потенциала не зависит от присутствия ограниченных коротко-действующих сил отталкивания [14].

Чтобы рассчитать Veff мы должны избавиться от положительной части потенциала W. Из уравнения (1.1) следует, что условие W < 0 эквивалентно cos6 > x/(uiy), где мы обозначили ш = (а — 1 /2)~1 и cos в = х • у/ху. М рассмотрим отдельно случаи а>1/2иа<1/2.

Случай а > 1/2

В этом случае интегралы считаются легче. Вычисления интеграла в

сферических координатах по области, где cos в > х/{шу) дает

Veff(y) = 16у2 [ ds se~4sy J о

у/а( 1 - a)s2 + 1 I as — 1| (1 - a)s + 1

x

a( 1 — a) a 1 — a

16y2

f ds se'4sy(^/a( 1 - a)s2 + 1 - 1) + U (1.18)

Jo

a(l - a) Jо где ввели обозначение

рш

U = 32y2 dsse-Asy(l/a-s) < 0 (1.19)

il/a

Выполнять интегрирование в (1.19) нет никакой необходимости, достаточно увидеть, что получаемый результат представляет собой короткодействующее отталкивание, которое не играет роли в нашем случае. Для расчета первого интеграла в (1.18) воспользуемся неравенством

у/а( 1 - а)в2 + 1 < 1 + а(1 - а)й2/2, (1.20)

что дает

УеИ<8у2 (1.21)

Окончательно мы получаем операторное неравенство следующего вида р2 — \Veff > р2 — А(3/16)у~2. Справедливо [12] следующее известное неравенство р2 — (1/4)у~2 > 0. Таким образом, в случае, когда присутствует связанное состояние, а именно когда существует / такая что (1\р1 ~ < 0, должно соблюдаться А > 4/3. Сравнивая это

условие с (1-16) мы получим, что три заряда образуют нестабильную систему, если ^ < 3/2 и

2Му + (д/з/2- 1)-^ < 4/3 (1.22)

Решая это простое неравенство получаем, что система нестабильна, если цу < 2(11 - 2\/Т0)/27 ~ 0.3463.

Случай а < 1/2

Рассмотрим сначала только а < 1/2. Чтобы подчеркнуть зависимость от параметра а мы будем писать У/(а) вместо ИЛ Интегрирование упрощается, если воспользоваться соотношением \¥{а) = —\¥(1 — а). Тогда получаем

УУ-(а) = (~\У{1 - а))_ = Ж+(1 - а) = \У(1 - а) + Ж_(1 - а). (1.23)

Из этого соотношения следует Veff(a) = —W(a) + Veff(l — a). Дополнительный интеграл \¥(а) : = / с1х\фо\2]¥ легко сосчитать, а выражение Уе//(1 — а) для а < 1/2 уже нами посчитано. Таким образом,

г>00

-Ж(а) = 16у2 / <¿5 е"45^

Jo

X

1 V 1 г> 1 с _ _

1-а) + О 1-а О - а

= 32у2 [1/а ¿з е-АзУ (з2 -

+32у

-ОО / -1

2 1 (18 I

1

Л/а \а 1-а/

Используя (1.18), (1-19) и приближение для квадратного корня

у/а{1 - а)в2 + 1 < 1 + а(1 - а)52/2

мы заключаем, что

р—ш

Veff(l - а) < 8у2 / ^ 53е"45у J о

/•—а; / е> \

+32у2 /

(1.24)

(1.25)

е"4^

г1/(1-«)

1 — а

(1.26)

Складывая (1.24) и (1.26), а также явное вычисление интегралов при-

водит к следующему выражению для а < 1 /2

т/ / ^ л-4 у/а

8(1 ~ ")У + + 1

а2 а у

-еАшу

(1.27)

4 2 у V - уу 4 ■ у ■ 16?/2

Когда а < 1/2, тогда и си < —2, и легко видеть, что все члены в квадратных скобках положительны. Таким образом Уец < (3/16)у~2, что приводит к тому же условию стабильности, что и (1.22). Случай а = 1/2 не обязательно рассматривать явно: из-за непрерывности \У(а) по а следует то же условие (1.22).

В самом начале мы сделали размерное преобразование масс т,{ —У 2гп1/цх, получая таким образом цх = 2. Производя обратное преобразование мы находим из (1-22), что система нестабильна, если нУ/нх < (11 - 2л/10)/27 0.1732. В случае бесконечно тяжелого ядра это дает оценку 7723/7722 < 0.1732, которая слабее оценки, полученной в [5, 9] 777,3/777,2 < 1/1.57. В нашем случае точность теряется при обрезании положительной части потенциала, что приводит к дальнодействующему притяжению (появляющиеся при этом короткодействующие отталкива-тельные члены не осуществляют никакого вклада в оценку, полученную нами). Тем не менее полученный результат более чем достаточен для доказательства нестабильности таких систем как рц~е~ или ц~ре+ (достаточно просто подставить массы в условие стабильности).

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Гриднев, Дмитрий Константинович, 2013 год

Литература

Список публикаций автора по теме диссертации

[Al] Sufficient Condition For Stability of N-Body System with Attractive Pair Potentials, D.K. Gridnev, Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical A 36, 6725 (2003)

[A2] Classical Decay of Coulomb Charges, D.K. Gridnev and J.S. Vaagen, Physical Review E 63, 26609 (2000)

[A3] Necessary Conditions for Binding in Few-Body Systems, D. K. Gridnev and J. S. Vaagen, Phyical Review С 61, 054304 (2000)

[A4] Stability of Three Unit Charges. Necessary Conditions, D.K. Gridnev, C. Greiner and W. Greiner, J. Math. Phys. 46, 052104 (2005), arXiv math-ph /0502022

[A5] Zero Energy Bound States and Resonances in Three-Particle Systems , D. K. Gridnev, Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical 45 175203 (2012); arXiv:111 1.6788v2

[A6] Comment on the article "On the Existence of the N-Body Efimov Effect" by X. P. Wang, D. K. Gridnev, Journal of Functional Analysis 263, 1485-1486 (2012)

[A7] Rigorous Conditions for the Existence of Bound States at the Threshold in the Two- Particle Case , D. K. Gridnev and M. Garcia,

Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical A 40 (2007) 9016

[A8] Proof that the Hydrogen-Antihydrogen Molecule is Unstable , D.K. Gridnev and C. Greiner, Physical Review Letters 94, 223402 (2005)

[A9] Особенности Границы Стабильности Легких Ядер, Гриднев К.

A., Гриднев Д. К., Митрошин В. Г., Тарасов В. Н., Тарасов Д. В., Грайнер В., Картавенко В. Г. Ядерная физика. 2005. Т. 68. № 7. С. 1311

[А10] Особенности Границы Стабильности Легких Ядер, Гриднев К.А., Гриднев Д.К., Картавенко В.Г., Митрошин В.Е., Тарасов

B.Н., Тарасов Д.В., Грайнер В., Ядерная физика. 2006. Т. 69. № 1. С. 3

[All] Нейтронодефицитные и Нейтроноизбыточные Изотопы Fe и Ni Вблизи Границы Стабильности, Тарасов В.Н., Тарасов Д.В., Гриднев К.А., Гриднев Д.К., Картавенко В.Г., Грайнер В., Митрошин В.Е., Известия Российской академии наук. Серия физическая. 2007. Т. 71. № 6. С. 773-780

[А12] Свойства Изотопов Zr у Границы Нейтронной Стабильности и за ее Пределами , Тарасов В.Н., Тарасов Д.В., Гриднев К.А., Гриднев Д.К., Грайнер В., Картавенко В.Г., Куприков В.И., Известия Российской академии наук. Серия физическая. 2008. Т. 72. № 6. С. 890-895.

[А13] Свойства Изотопов РЬ в Окрестности Границы Нейтронной Стабильности, Тарасов В.Н., Тарасов Д.В., Гриднев К.А., Гриднев Д.К., Грайнер В., Картавенко В.Г., Пилипенко В.В. Ядерная физика. 2008. Т. 71. № 7. С. 1283-1289.

[А14] Model Of Binding Alpha-Particles and Applications to Superheavy Elements, Gridnev K.A., Torilov S.Yu., Gridnev D.K., Greiner W.,

Kartavenko V.G., International Journal of Modern Physics E 14 C. 635-643. (2005)

[A15] Stability Island Near The Neutron-Rich 40-0 Isotope, Gridnev K.A., Gridnev D.K., Kartavenko V.G., Greiner W., Mitroshin V.E., Tarasov V.N., Tarasov D.V. The European Physical Journal A 25 - Hadrons and Nuclei. 2005. № SUPPL. 1. C. 353-354

[A16] On Stability of The Neutron-Rich Oxygen Isotopes, Gridnev K.A., Kartavenko V.G., Greiner W., Gridnev D.K., Mitroshin V.E., Tarasov V.N., Tarasov D.V. International Journal of Modern Physics E 15 2006. C. 673-683.

[A17] Neutron-Deficient and Neutron-Rich Fe and Ni Isotopes near the Drip Line, Тарасов B.H., Тарасов Д.В., Гриднев К.А., Картавенко В.Г., Грайнер В., Гриднев Д.К., Митрошин В.Е, Известия Российской Академии Наук. Серия Физическая, 2007, Том 71, ф 6, стр. 774-780

[А18] Properties of Fe, Ni And Zn Isotopes near the Drip-Lines, Tarasov V.N., Tarasov D.V., Gridnev K.A., Kartavenko V.G., Greiner W., Gridnev D.K. International Journal of Modern Physics E 17, 12731291 (2008)

[A19] Theoretical Prediction of Extremely Neutron Rich Zr and Pb, Gridnev K.A., Gridnev D.K., Greiner W., Tarasov V.N., Tarasov D.V., Pilipenko V.V., International Journal of Modern Physics E 19 C. 449-457 (2010)

[A20] Исследование Нейтронной Стабильности Нейтронно-Избыточных Изотопов О, Ar, Кг, Rn, Тарасов В.Н., Гриднев К.А., Гриднев Д.К., Куприков В.И., Тарасов Д.В., Грайнер В., Виньяс К. Известия Российской академии наук. Серия физическая. 2010. Т. 74. № 11. С. 1624-1634

[А21] Полуострова Нейтронной Стабильности Ядер в Окрестности Нейтронных Магических Чисел, Тарасов В.Н., Гриднев К.А., Грайнер В., Гриднев Д.К., Куприков В.И., Тарасов Д.В., Виньяс К. Ядерная физика. 2012. Т. 75. № 1. С. 19

[А22] The Quest for the Heaviest Uranium Isotope, S. Schramm, D. Gridnev, D. V. Tarasov, V. N. Tarasov, Walter Greiner, International Journal of Modern Physics E 21, (2012) 1250047

[A23] Borromean Halo Nuclei, Vaagen J.S., Gridnev D.K., HeibergAndersen H., Danilin B.V., Ershov S.N., Zagrebaev V.I., Thompson I.J., Zhukov M.V., Bang J.M., Physica Scripta T 88 C. 209-213 (2000)

[A24] Bound States at Threshold Resulting from Coulomb Repulsion, D. K. Gridnev, Journal of Mathematical Physics 53 C. 102108-1-102108-16 (2012)

[A25] Zero Energy Bound States in Many-Particle Systems, D. K. Gridnev, Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical 45 395302 (2012)

[A26] Universal Angular Probability Distribution of Three Particles near Zero Energy Threshold, D. K. Gridnev, Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical 46 115204 (2013)

[A27] Why there is no Efimov effect for four bosons and related results on the finiteness of the discrete spectrum, D. K. Gridnev, Journal of Mathematical Physics 54 C. 042105-1-042105-41 (2012)

Используемая литература

[1] N. Bohr, J. A. Wheeler, Phys. Rev. 56 (1939), 426-450.

[2] W. Thirring, Lehrbuch der Mathematischen Physik, Springer Verlag/Wien 1994, vol. 3

[3] E.A.G. Armour and D.M. Schräder, Can. J. Phys. 60, 581 (1982); E.A.G. Armour, J. Phys. B 11, 2803 (1978)

[4] R.N. Hill, J. Math. Phys., 18, 2316 (1977)

[5] A. Martin, J.M. Richard and T.T. Wu, Phys. Rev. A46, 3697 (1992)

[6] A. Martin, J.M. Richard and T.T. Wu, Phys. Rev. A52, 2557 (1995)

[7] E. A. G. Armour, J. Phys. Bll, 2803 (1978); J. Phys. B16, 1295 (1983)

[8] I. M. Sigal, Comm. Math. Phys. 85 p. 309 (1982).

[9] V. Glaser, H. Grosse, A. Martin and W. Thirring, in Studies in Mathematical Physics - Essays in Honor of Valentine Bargmann, Princeton University Press, Princeton, NJ, 169 (1976)

[10] M. Reed and B. Simon, Methods of Modern Mathematical Physics, vol. 2-4, Academic Press (1978)

[11] A. Messiah, Quantum Mechanics, North Holland Publishing, (1964)

[12] M. Reed and B. Simon, Methods of Modern Mathematical Physics, vol. 2-4, Academic Press (1978)

[13] R. Courant and D. Hilbert, Methods of Mathematical Physics, Interscience Publishers, New York, (1953), vol. 1, p. 446

[14] H. van Haeringen, J. Math. Phys. 19, 2171 (1978)

[15] M. Amoretti et.al., Nature (London) 419, 456 (2002); G. Gabrielse et.al, Phys. Rev. Lett. 89, 213401 (2002); G. Gabrielse et.al., Phys. Rev. Lett. 89, 233401, (2002)

[16] B. Zygelman, A. Saenz, P. Froelich and S. Jonsell, Phys. Rev. A 69, 042715 (2004)

[17] D. Bressanini, M. Mella and G. Morosi, Phys. Rev. A 55, 200 (1997)

[18] E.A.G. Armour and C. Chamberlain, Few-Body Systems 31, 101 (2002)

[19] J.-M. Richard, Phys. Rev. A 49, 3573 (1994); Few-Body Systems 31, 107 (2002)

[20] E.A.G. Armour, J.-M. Richard and K. Varga, Phys. Reports 413, pp. 1-90 (2005); arXiv:physics/0411204

[21] W. Thirring, A Course in Mathematical Physics (Springer-Verlag, Berlin, 1981), Vol. 3

[22] W. Greiner, Quantum Mechanics: An Introduction (Springer-Verlag, Berlin 2000)

[23] E. H. Lieb and B. Simon, J. Phys. Bll L537 (1978)

[24] J.M. Levy-Leblond. Phys. Rev. 153 1 (1967); L.D. Landau and E.M. Lifshitz, Quantum Mechanics (Pergamon Press Inc., London, 1958), Sec. 35.

[25] T. Baumann et al., Nature 449, (2007) 1022.

[26] M. V. Stoitsov, J. Dobaczewski, P. Ring, S. Pittel, Phys. Rev. С 61 (2000) 034311; http://www.fuw.edu.pl/ dobaczew/thodri/thodri.html

[27] M. V. Stoitsov, J. Dobaczewski, W. Nazarewicz, S. Pittel, D. J. Dean, Phys. Rev. С 68, (2003) 054312

[28] D. Vautherin and D. M. Brink, Phys. Rev. С 5 (1972) 626; Phys. Rev. С 7 (1973) 296.

[29] Легкие и промежуточные ядра вблизи границ нуклонной стабильности, А. И. Базь, В. И. Гольданский, В. 3. Гольдберг, Я. Б. Зельдович, Москва "Наука" (1972)

[30] The STAR Collaboration, Nature aop, (2011) doi:10.1038/naturel0079.

[31] H. Hogreve, J. Phys. B 31, L439 (1998); Phys. Scr. 58, 25 (1998); private communication.

[32] J.M. Richard, J. Froehlich, G.M. Graf, M. Seifert, Phys. Rev. Lett. 71 (1993) 1332-1334

[33] T. Kraemer, et.al. Nature 440, 315 (2006)

[34] I. Mazumdar, A. R. P. Rau, and V. S. Bhasin, Phys. Rev. Lett. 97, 062503 (2006)

[35] M.V. Zhukov, B.V. Danilin, D.V. Fedorov, J.M. Bang, I.J. Thompson and J.S. Vaagen, Phys. Rep. 231, 151 (1993).

[36] F. Lou, C.F. Giese and W.R. Gentry, J. Chem. Phys. 104, 1151 (1996)

[37] D. V. Fedorov, A. S. Jensen, and K. Riisager, Phys. Rev. C 49, 201 (1994); A. S. Jensen, K. Riisager, and D. V. Fedorov, Rev. Mod. Phys. 76 215 (2004); K. Riisager, D. V. Fedorov and A. S. Jensen, Europhys. Lett. 49, 547 (2000).

[38] M. Klaus and B. Simon, Ann. Phys. 130, 251 (1980).

[39] R. K. P. Zia, R. Lipowski and D.M. Kroll, Am. J. Phys. 56, 160 (1998).

[40] D. Bolle, F. Gesztesy and W.Schweiger, J. Math. Phys 26, 1661 (1985).

[41] R. Newton, Scattering Theory of Waves and Particles, McGraw-Hill/New York 1966.

[42] M Hoffmann-Ostenhof, T Hoffmann-Ostenhof and B Simon, J. Phys. A 16, 1125 (1983).

[43] M. Reed and B. Simon, Methods of Modern Mathematical Physics, vol. 2-4, Academic Press/New York (1978)

[44] B. Simon, J. Functional Analysis 25, 338 (1977).

[45] G. M. Zhislin, Trudy Mosk. Mat. Obsc. 9, 81 (1960); E. F. Zhizhenkova and G. M. Zhislin, Trudy Mosk. Mat. Obsc. 9, 121 (1960)

[46] E. H. Lieb and M. Loss, Analysis, Amer. Math. Soc. second edition, Providence, RI, 2001.

[47] B. Simon, Bull. Amer. Math. Soc. 7, 447 (1982)

[48] B. Simon, Quantum Mechanics for Hamiltonians Defined as Quadratic Forms, Princeton NJ, Princeton Univ. Pr., (1971)

[49] A. Martin, J.M. Richard and T.T. Wu, Phys. Rev. A52, 2557 (1995)

[50] D. Bolle, F. Gesztesy and W.Schweiger, J. Math. Phys 26, p. 1661 (1985);

[51] M. Hoffmann-Ostenhof, T. Hoffmann-Ostenhof and B. Simon, J. Phys. A 16, (1983) 1125

[52] D. V. Fedorov, A. S. Jensen, and K. Riisager, Phys. Rev. C 49, (1994) 201; A. S. Jensen, K. Riisager, and D. V. Fedorov, Rev. Mod. Phys. 76 (2004) 215; K. Riisager, D. V. Fedorov and A. S. Jensen, Europhys. Lett. 49, (2000) 547

[53] M. V. Zhukov, B. V. Danilin, D. V. Fedorov, J. M. Bang, I. J. Thompson and J. S. Vaagen, Phys. Rep. 231 (1993) 151

[54] T. Kraemer, et.al. Nature 440, (2006) 315

[55] P. G. Hansen, Nucl. Phys. A 553, (1993) 89c

[56] P. G. Hansen and A. S. Jensen, Annu. Rev. Nucl. Part. Sci. 45 (1995) 591

[57] H. L. Cycon, R. G. Froese, W. Kirsch and B. Simon, Schrddinger Operators with Applications to Quantum Mechanics and Global Geometry, Springer-Verlag, Berlin Heidelberg (1987)

[58] M. Reed and B. Simon, Methods of Modern Mathematical Physics, vol. 2 Academic Press/New York (1975) and vol. 4, Academic Press/New York (1978).

[59] M. Cwikel, Trans. AMS, 224, (1977) pp. 93-100; E. H. Lieb, Bull. Amer. Math. Soc. 82, pp. 751-753 (1976); G. V. Rozenblum, Dokl. AN SSSR, 202, pp. 1012-1015 (1972), Izv. VUZov, Matematika, 1, pp. 75-86 (1976).

[60] B. Simon, Bull. Amer. Math. Soc. 7 447 (1982)

[61] I. M. Sigal, Annals of Physics 157, pp. 307-320 (1984); private communication.

[62] I. M. Sigal, Comm. Math. Phys. 85 p. 309 (1982).

[63] G. Teschl, Mathematical Methods in Quantum Mechanics; With Applications to Schrddinger Operators, Lecture Notes (2005), http : / / www. mat. uni vie. ac. at/ gerald / ftp/book-schroe / index, html ; Graduate Studies in Mathematics, Vol. 99, Amer. Math. Soc., Providence, 2009.

[64] A. Martin, J.-M. Richard and T. T. Wu, Phys. Rev. A52, (1995) 2557; A. Krikeb, A. Martin, J.-M. Richard and T. T. Wu, Few-Body Systems 29 (2000) 237; E. A. G. Armour, J.-M. Richard and K. Varga, Phys. Rep. 413, (2005) 1

[65] G. M. Zhislin, Trudy Mosk. Mat. Obsc. 9, p. 81 (1960); E. F. Zhizhenkova and G. M. Zhislin, Trudy Mosk. Mat. Obsc. 9, p. 121 (1960).

[66] M. B. Ruskai, Comm. Math. Phys. 82, p. 457 (1982); Comm. Math. Phys. 85, p. 325 (1982).

[67] E. H. Lieb, Phys. Rev. A 29 (1984), 3018.

[68] E. H. Lieb, I. M. Sigal, B. Simon and W. Thirring, Phys. Rev. Lett. 52 (1984), 994.

[69] H. Hogreve, J. Phys. B 31, p. L439 (1998); Phys. Scr. 58, p. 25 (1998); Theoretical Prospect of Negative Ions, Research Signpost, ISBN: 817736-077-9, p. 61 (2002); private communication.

[70] B. Simon, Schrddinger operators in the twenty-first century, Mathematical Physics 2000 (eds. A. Fokas, A. Grigoryan, T. Kibble and B. Zegarlinski), Imperial College Press, London, pp. 283-288

[71] S. Kais and P. Serra, Int.Reviews in Physical Chemistry 19, pp. 97121 (2000).

[72] R. Ahlrichs, J . Math. Phys. 12 p. 1860 (1973).

[73] T. Hoffmann-Ostenhof and M. Hoffmann-Ostenhof, J. Phys. B 11, p. 17 (1978).

[74] F. H. Stillinger and D. K. Stillinger, Phys. Rev. A10, p. 1109 (1974).

[75] J. D. Baker, D. E. Freund, R. N. Hill and J. D. Morgan III, Phys. Rev. A41, p. 1247 (1990)

[76] S. P. Merkuriev, Sov. J. Nucl. Phys. 19 (1974) 222

[77] V. Efimov, Phys. Lett. B 33 (1970) 563; Sov. J. Nucl. Phys. 12 (1971) 589

[78] C. Chin, R. Grimm, R Julienne and E. Tiesinga, Rev. Mod. Phys. 82 (2010) 1225

[79] M. Klaus and B. Simon, Ann. Phys. (N.Y.) 130, 251 (1980)

[80] M. Klaus and B. Simon, Comm. Math. Phys. 78, 153 (1980)

[81] B. Simon, J. Functional Analysis 25, 338 (1977)

[82] M. Hoffmann-Ostenhof, T. Hoffmann-Ostenhof and B. Simon, J. Phys. A 16, 1125 (1983)

[83] D. Bolle, F. Gesztesy and W.Schweiger, J. Math. Phys 26, 1661 (1985)

[84] G. Karner, Few-Body Systems 3, 7 (1987)

[85] M.V. Zhukov, B.V. Danilin, D.V. Fedorov, J.M. Bang, I.J. Thompson and J.S. Vaagen, Phys. Rep. 231, 151 (1993).

[86] A. S. Jensen, K. Riisager, and D. V. Fedorov, Rev. Mod. Phys. 76 215 (2004); K. Riisager, D. V. Fedorov and A. S. Jensen, Europhys. Lett. 49, 547 (2000).

[87] T. Kraemer, et.al. Nature 440, 315 (2006)

[88] G. M. Zhislin, Trudy Mosk. Mat. Obsc. 9, 81 (1960); E. F. Zhizhenkova and G. M. Zhislin, Trudy Mosk. Mat. Obsc. 9, 121 (1960)

[89] E. H. Lieb and M. Loss, Analysis, AMS (1997)

[90] M. Reed and B. Simon, Methods of Modern Mathematical Physics, vol. 2 Academic Press/New York (1975) and vol. 4, Academic Press/New York (1978).

[91] G. Teschl, Mathematical Methods in Quantum Mechanics; With Applications to Schrddinger Operators, Lecture Notes (2005), http://www.mat.univie.ac.at/ gerald/ftp/book-schroe/index.html

[92] L. D. Faddeev, Trudy Mat. Inst. Steklov. 69 (1963) (Russian)

[93] A. V. Sobolev, Commun. Math. Phys. 156, 101 (1993)

[94] D. R. Yafaev, Math. USSR-Sb. 23, 535 (1974); Notes of LOMI Seminars 51 (1975) (Russian)

[95] W. Greiner, Quantum Mechanics: An Introduction, Springer-Verlag, Berlin (2000)

[96] H. L. Cycon, R. G. Froese, W. Kirsch and B. Simon, Schrddinger Operators with Applications to Quantum Mechanics and Global Geometry, Springer-Verlag, Berlin Heidelberg (1987)

[97] D. V. Fedorov, A. S. Jensen, and K. Riisager, Phys. Rev. C 49, 201 (1994); A. S. Jensen, K. Riisager, and D. V. Fedorov, Rev. Mod. Phys. 76 215 (2004); K. Riisager, D. V. Fedorov and A. S. Jensen, Europhys. Lett. 49, 547 (2000)

[98] M. V. Zhukov, B. V. Danilin, D. V. Fedorov, J. M. Bang, I. J. Thompson and J. S. Vaagen, Phys. Rep. 231 151 (1993)

[99] T. Kraemer, et.al. Nature 440, 315 (2006)

[100] P. G. Hansen, Nucl. Phys. A 553, 89c (1993)

[101] P. G. Hansen and A. S. Jensen, Annu. Rev. Nucl. Part. Sci. 45 591 (1995)

[102] R. Newton, Scattering Theory of Waves and Particles, McGraw-Hill/New York 1966.

[103] R. K. P. Zia, R. Lipowski and D. M. Kroll, Am. J. Phys. 56, 160 (1998)

[104] H. Hogreve, J. Phys. B 31, L439 (1998); Phys. Scr. 58, 25 (1998); Theoretical Prospect of Negative Ions, Research Signpost, ISBN: 817736-077-9, 61 (2002); private communication.

[105] I. M. Sigal, Ann. Phys. (N.Y.) 157, 307 (1984)

[106] T. Hoffmann-Ostenhof and M. Hoffmann-Ostenhof, J. Phys. 11, 17 (1978); R. Ahlrichs, J. Math. Phys. 14, 1860 (1973)

[107] A. Martin, J.-M. Richard and T. T. Wu, Phys. Rev. A52, 2557 (1995); A. Krikeb, A. Martin, J.-M. Richard and T. T. Wu, Few-Body Systems 29 (2000) 237; E. A. G. Armour, J.-M. Richard and K. Varga, Phys. Rep. 413, 1 (2005)

[108] M. Klaus and B. Simon, Ann. Phys. (N.Y.) 130, 251 (1980)

[109] A. V. Sobolev, Commun. Math. Phys. 156, 101 (1993)

[110] D. R. Yafaev, Math. USSR-Sb. 23, 535-559 (1974); Notes of LOMI Seminars 51 (1975) (Russian)

[111] M. Reed and B. Simon, Methods of Modern Mathematical Physics, vol. 2 Academic Press/New York (1975) and vol. 4, Academic Press/New York (1978).

[112] T. Kato, Perturbation Theory for Linear Operators, SpringerVerlag/Berlin Heidelberg (1995)

[113] J.-M. Richard and S. Fleck, Phys. Rev. Lett. 73, 1464 (1994)

[114] M. Klaus and B. Simon, Comm. Math. Phys. 78, 153 (1980)

[115] J. M. Richard, Phys. Rev. A 67, 034702 H'(2003H')

[116] J. M. Richard and S. Fleck, Phys. Rev. Lett. 73, 1464 (1994)

[117] M. Klaus and B. Simon, Ann. Phys. (N.Y.) 130, 251 (1980)

[118] M. Klaus and B. Simon, Comm. Math. Phys. 78, 153 (1980)

[119] F. Ahia, J. Math. Phys. 33, 189 (1992)

[120] A. V. Sobolev, Commun. Math. Phys. 156, 101 (1993)

[121] D. R. Yafaev, Math. USSR-Sb. 23, 535-559 (1974); Notes of LOMI Seminars 51 (1975) (Russian)

[122] H. L. Cycon, R. G. Froese, W. Kirsch and B. Simon, Schrodinger Operators with Applications to Quantum Mechanics and Global Geometry, Springer Verlag, Berlin Heidelberg (1987)

[123] M. Reed and B. Simon, Methods of Modern Mathematical Physics, vol. 2 Academic Press/New York (1975) and vol. 4, Academic Press/New York (1978).

[124] W. Greiner, Quantum Mechanics: An Introduction, Springer-Verlag, Berlin (2000)

[125] B. Simon, Bull. Amer. Math. Soc. 7 447 (1982)

[126] F. Gesztesy and B. Simon, Comm. Math. Phys. 161 503 (1988); Trans. Amer. Math. Soc. 335 329 (1993)

[127] B. Simon, Trace Ideals and Their Applications, Cambridge University Press, 1979

[128] G. M. Zhislin, Trudy Mosk. Mat. Obsc. 9, 81 (1960); E. F. Zhizhenkova and G. M. Zhislin, Trudy Mosk. Mat. Obsc. 9, 121 (1960)

[129] E. H. Lieb and M. Loss, Analysis, American Mathematical Society (1997)

[130] G. Teschl, Mathematical Methods in Quantum Mechanics; With Applications to Schrodinger Operators, Lecture Notes (2005), http://www.mat.univie.ac.at/ gerald/ftp/book-schroe/index.html

[131] S V Petrov, S S Jarovoy and Yu A Babaev, J. Phys. B: At. Mol. Phys. 20 (1987) 4679-4691

[132] D. R. Yafaev, Math. USSR-Sb. 23, 535-559 (1974); Notes of LOMI Seminars 51 (1975) (Russian)

[133] A. V. Sobolev, Commun. Math. Phys. 156, 101 (1993)

[134] M. Klaus and B. Simon, Ann. Phys. (N.Y.) 130, 251 (1980)

[135] M. Klaus and B. Simon, Comm. Math. Phys. 78, 153 (1980)

[136] D. Bolle, F. Gesztesy and W.Schweiger, J. Math. Phys 26,1661 (1985)

[137] B. H. Bransden and C. J. Joachain, Physics of Atoms and Molecules, Longman Scientific and Technical/Harlow, Essex, England (1990).

[138] R. G. Bartle, The Elements of Integration and Lebesgue Measure, John Wiley & Sons, New York (1995).

[139] I. S. Gradshteyn and I. M. Ryzhik, Table of Integrals, Series, and Products, 5-th edition, Academic Press, London (1994)

[140] M. Reed and B. Simon, Methods of Modern Mathematical Physics, vol. 2 Academic Press/New York (1975) and vol. 4, Academic Press/New York (1978).

[141] M.V. Zhukov, B.V. Danilin, D.V. Fedorov, J.M. Bang, I.J. Thompson and J.S. Vaagen, Phys. Rep. 231, 151 (1993); Yu.Ts. Oganessian, V.I. Zagrebaev and J.S. Vaagen, Phys. Rev. Lett. 82, 4996 (1999)

[142] R. D. Amado, J. V. Noble, Phys. Lett. B 35, 25 (1971)

[143] R. D. Amado, J. V. Noble, Phys. Rev. D 5, 1992 (1972)

[144] B. Simon, Helv. Phys. Acta 43, 607 (1970)

[145] Yu.N. Ovchinnikov, I.M. Sigal, Annals of Physics, 123, 274-295 (1979)

[146] H. Tamura, J. Funct. Anal. 95 433 (1991)

[147] H. Tamura, Nagoya Math. J. 130 55 (1993)

[148] А. С. Fonseca, Е. F. Redish, R E. Shanley, Nucl. Phys. А 320, 273 (1978)

149] X. P. Wang, J. Funct. Anal. 209 137 (2004)

150] С. П. Меркурьев, JI. Д. Фаддеев, Квантовая теория рассеяния для систем нескольких частиц, Издательство М. Наука, 1998

151] R. D. Amado, F. С. Greenwood, Phys. Rev. D 7, 2517 (1973)

152] J. von Stecher, J. P. D'Incao and С. H. Greene, Nature Physics 5, 417 (2009)

153] S. A. Vugal'ter, G. M. Zhislin, Trans. Moscow Math. Soc. 49, 97 (1987)

154] S. A. Vugal'ter, G. M. Zhislin, Theoret. Maths. Phys. 55, 357 (1983)

155] A. K. Motovilov, Few-Body Systems 43 (2008), 121-127

156] O. A. Yakubovsky, Sov. J. Nucl. Phys. 5, 937 (1967)

157] S. L. Yakovlev, Theor. Math. Phys. 107, 835 (1996)

158] P. Deift, Duke Math. J. 45, 267 (1978)

159] M. Бирман, Математический Сборник 55, 124 (1961)

160] J. Schwinger, Proc. Nat. Acad. Sei. U.S.A. 47, 122 (1961)

161] E. H. Lieb, Bull. Amer. Math. Soc. 82, 751 (1976)

162] I. M. Sigal, Duke Math. J. 50, 517 (1983)

163] J. Glimm, A. Jaffe, Quantum Physics. A functional integral point of view, Springer-Verlag Berlin New York Heidelberg, 1987

[164] Belle Dume, New Limits for Exotic Molecules, www.physicsworld.com/cws/article/news/22540, 2005.

[165] И. Иванов, Решена квантовая задача о стабильности четырех зарядов, www.elementy.ru/news/25737, 2005