Полулинейные модели вырожденных эволюционных процессов тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат наук Давыдов, Павел Николаевич

• Давыдов, Павел Николаевич
• кандидат наук
• 2014

Оглавление диссертации кандидат наук Давыдов, Павел Николаевич

Содержание

Введение

Актуальность темы исследования

Степень разработанности темы исследования

Цели и задачи

Научная новизна

Теоретическая и практическая значимость работы

Методология и методы исследования

Положения, выносимые на защиту

Степень достоверности и апробация результатов

Краткое содержание диссертации

1 Предварительные сведения

1.1 Нелокальная разрешимость невырожденного полулинейного эволюционного уравнения

1.2 Относительные резольвенты

1.3 Относительно р-радиальные операторы

1.4 Относительно а-ограниченныс операторы

2 Локальная разрешимость полулинейных моделей вырожденных эволюционных процессов

2.1 Полулинейное невырожденное эволюционное уравнение

2.2 Локальная разрешимость некоторых классов

вырожденных полулинейных моделей

2.3 Модифицированные модели фильтрации

в трещиновато-пористой среде

2.4 Модели обобщенного гидродинамического типа

2.5 Сильно вырожденная модель движения жидкости

Кельвина- Фойгта

3 Нелокальная разрешимость полулинейных моделей вырожденных эволюционных процессов

3.1 Нелокальная разрешимость в смысле классического решения

3.2 Нелокальная разрешимость в смысле сильного решения

3.3 Модель эволюции свободной поверхности

фильтрующейся жидкости

3.4 Один пример нелинейной модели

с сильно (Ь, 1)-радиальным оператором

3.5 Квазистациопарная модель фазовых переходов первого рода

4 Численное решение модели Осколкова

4.1 Разностная схема модели Осколкова

4.2 Линеаризованная модель

4.3 Порядок аппроксимации численного метода

4.4 Устойчивость разностной схемы

4.5 Численный эксперимент

4.6 Алгоритм и программная реализация численного метода

Список обозначений и соглашений

Список литературы

Список иллюстративного материала

Приложения

Исходный код программы «Численное решение системы уравнений

Осколкова»

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Полулинейные модели вырожденных эволюционных процессов»

Введение

Актуальность темы исследования

Математические модели многих процессов в естествознании и технике представляют собой начально-краевые задачи для нелинейных уравнений или систем уравнений в частных производных, не разрешенных относительно производной по выделенной переменной, как правило по времени. Особый класс образуют уравнения или системы, содержащие при этой производной вырожденный линейный оператор, т. е. оператор с нетривиальным ядром. Это может быть дифференциальный оператор по пространственным переменным, как у многих математических моделей теории фильтрации, или матрично-дифферепциальный оператор соответствующий системе уравнений, не содержащей производных по времени от одной из неизвестных функций или содержащей уравнение без производных но времени. Таковыми, например, являются системы уравнений, описывающие процессы в несжимаемых сплошных средах и поэтому содержащие уравнение несжимаемости V -и(х,Ь) = 0. При этом уравнения или их системы рассматриваемого класса могут быть, и часто являются, нелинейными или квазилинейными относительно частных производных по пространственным переменным, а потому и в целом, являются полулинейными при их операторной записи с выделением переменной времени.

Далее уравнения с вырожденным оператором при производной по времени будем называть вырожденными эволюционными уравнениями, а описываемые ими процессы — вырожденными эволюционными процессами. Если такое уравнение (система уравнений) не является линейным, но линейно относительно производной но времени, то оно будет называться полулинейным вырожденным эволюционным уравнением. Моделям процессов, описываемых именно такими уравнениями, посвящена данная работа.

Математические модели вырожденных эволюционных процессов не укла-

дываются в рамки классической математической физики и требуют отдельных методов исследования, качественного и численного. Разработкой таких методов уже несколько десятилетий занимаются многие исследователи, которые при этом достигли определенных успехов [4,30,61,92]. В настоящее время такие модели, линейные и нелинейные, по-прежнему привлекают внимание исследователей, о чем свидетельствуют большое количество посвященных их изучению монографий, вышедших в последние годы [11,13,26,27,31,82,93,94]. Однако и сейчас, для различных классов вырожденных эволюционных процессов задачи качественного и численного исследования их математических моделей являются актуальными.

Степень разработанности темы исследования

Внимание нелинейным математическим моделям, формализуемым в виде уравнений в частных производных и начально-краевых задач для них, начали уделять в XVIII и XIX веках выдающиеся математики того времени, которые и заложили фундамент соответствующей теории. Этот период отмечен выдающимися работами Г. Монжа, Ф. Г. Фробениуса, Ж. Г. Дарбу, К. Г. Я. Якоби, А. Бэклунда, С. Ли и многих других. Традиционно большой интерес к нелинейным моделям вызван тем, что окружающий мир существенно нелинеен в своих проявлениях. Интенсивное исследование нелинейных задач в значительной степени обусловлено многочисленными проблемами практики, поскольку зачастую нелинейные модели по сравнению с линейными моделями более точно описывают исследуемые процессы. Поэтому нелинейные задачи представляют собой активно развивающуюся область современной математики.

Математические модели вырожденных эволюционных процессов изучались впервые, видимо, в работе А. Пуанкаре [91] в 1885 году. Ее результаты, а также результаты работ С. W. Oseen [89], F. К .G. Odqvist [88], J. Leray [87],

E. Hopf [86], О. А. Ладыженской [30], касающихся модели Навье—Стокса вязкой несжимаемой жидкости, работ С. Л. Соболева [59-62] середины XX века, посвященных динамике идеальной равномерно вращающейся жидкости, привлекли повышенное внимание ученых к классу математических моделей вырожденных эволюционных процессов, заложили фундамент нового направления. Отдавая дань вкладу С. Л. Соболева в развитие этого направления, уравнения, не разрешенные относительно производной по выделенной переменной, в том числе вырожденные эволюционные уравнения, часто называют уравнениями соболевского типа [31], уравнениями типа Соболева [47], уравнениями типа Соболева—Гальперна [28], а также псевдопараболическими уравнениями [21], уравнениями не типа Коши—Ковалевской [10].

Качественные методы исследования математических моделей вырожденных эволюционных процессов можно условно разделить на две группы. Первой соответствует исследование моделей, формализованных в виде начально-краевых задач для уравнений и систем уравнений в частных производных, не разрешенных относительно производной по времени.'К этому направлению следует отнести работы С. А. Гальперна [7], А. Г. Костючен-ко и Г. И. Эскина [28], Т. И. Зеленяка [15], В. Н. Врагова [5], А. И. Ко-жанова [20-24], Г. В. Демиденко, С. В. Успенского, И. И. Матвеевой [9-11], И. А. Шишмарева, Е. И. Кайкиной, П. И. Паумкина [17,18] и многих других.

К другой группе относятся методы исследования моделей в виде дифференциально-операторных уравнений в абстрактных пространствах, содержащих нетождественный оператор при производной, с приложением полученных абстрактных результатов к конкретным начально-краевым задачам математической физики. Другими словами, прикладные задачи являются иллюстрациями исследования «абстрактных» задач. Первые исследования такого типа проводились М. И. Вишиком [4], С. Г. Крейпом и его учениками [14,29]. В настоящее время в этой области активно и плодотворно работают R. Е. Showalter [92], Н. А. Сидоров, М. В. Фалалеев и их ученики

и последователи, в работах которых (см. [56-58,68,69,93] и библиографию там же) исследуются математические модели вырожденных эволюционных процессов с использованием условий фредгольмовости оператора при производной и существования обобщенного жордапова набора, а также методов теории фундаментальных оператор-функций.

Один из подходов к исследованию вырожденных эволюционных процессов предполагает использование методов теории полугрупп операторов. Такой подход используется в работах А. Рауш1, А. Yagi [81-83,95], И. В. Мельниковой [34], В. Е. Федорова [70-74], М. В. Фалалеева [66,67].

В работах Г. А. Свиридюка, Т. Г. Сукачевой и их учеников [40,41,43-48, 52-55,63,64], использующих теорию полугрупп операторов при исследовании полулинейных уравнений, нелинейная часть в уравнении (системе уравнений), соответствущем математической модели вырожденного эволюционного процесса, не зависит явно от времени, либо имеет вид; и) — М\(и) + /(£). При этом во многих случаях речь идет о существовании и единственности решений, являющихся так называемыми квазистационарными траекториями уравнения (см., например, [49]). В этих работах показано, что задача Коши для стационарных вырожденных эволюционных уравнений разрешима лишь при начальных данных, взятых из некоторого многообразия, так называемого фазового пространства уравнения, и большое значение уделено исследованию морфологии этого многообразия [51-54]. Проблема выбора начального значения исчезает при переходе от задачи Коши к обобщенной задаче Шоуолтера—Сидорова [42,57,92].

В работах А. Г. Свешникова, М. О. Корпусова, А. Б. Альшина, Ю. Д. Плетнера [25-27,31] и их учеников (см. [78,79] и др.) рассматриваются проблемы нелокальной и локальной разрешимости, вопросы разрушения решений начально-краевых задач для различных классов линейных и нелинейных уравнений и систем уравнений в частных производных, не разрешенных относительно производной по времени. Многие рассмотренные уравне-

кия и системы уравнений имеют невырожденный оператор при производной по времени, в ряде случаев он является нелинейным. Помимо аналитических методов предложены и реализованы численные методы поиска решений.

Отметим также исследования алгебро-дифференциальных систем уравнений иркутских математиков Ю. Е. Бояринцева, В. Ф. Чистякова, М. В. Булатова, А. А. Щегловой [1-3,77], в которых изучены качественные свойства математических моделей вырожденных эволюционных процессов в конечномерных пространствах, а также осуществлен поиск численных методов решений соответствующих задач.

При численном исследовании полулинейных математических моделей вырожденных эволюционных процессов в данной диссертации будут использоваться конечно-разностные методы. Среди основополагающих научных результатов, сыгравших важную роль в развитии конечно-разностных методов решения уравнений в частных производных, отметим следующие: необходимое условие устойчивости явного численного решения некоторых дифференциальных уравнений в частных производных, сформулированное в 1928 г. в статье Р. Куранта, К. Фридрихса и Г. Леви [38]; локальный критерий устойчивости Д. фон Неймана и Р. Д. Рихтмайера [38]. Основная идея их получения состоит в том, что разностному уравнению с переменными коэффициентами ставится в соответствие некоторое семейство разностных уравнений с постоянными коэффициентами. Если уравнения, принадлежащие этому семейству, устойчивы, то исходное разностное уравнение тоже устойчиво.

В дальнейшем в работах С. К. Годунова, П. Лакса, В. С. Рябенького, А. В. Филиппова и других [8] был получен ряд существенных результатов по устойчивости разностных схем, соответствующих линейным и квазилинейным уравнениям параболического и гиперболического типов. Были введены такие понятия, как символ разностной схемы, спектр семейства разностных операторов и ядро спектра семейства, которые позволили получить оценки норм степеней операторов шага. Важные результаты в теории разностных

схем были получены на основе энергетического метода, разработанного Р. Курантом, К. Фридрихсом, Г. Леви, О. А. Ладыженской, Л. А. Люстерником и другими. Исследования аппроксимации, устойчивости и сходимости разностных методов создали необходимую базу для широкого иоиска эффективных разностных схем, предназначенных для решения уравнений в частных производных.

Цели и задачи

Целью диссертационной работы является развитие как качественных методов исследования полулинейных математических моделей вырожденных эволюционных процессов, так и разработка, обоснование и тестирование эффективных вычислительных методов для указанного класса моделей с применением современных компьютерных технологий с последующей реализацией эффективных численных методов и алгоритмов в виде комплекса проблемно-ориентированных программ для проведения вычислительного эксперимента при исследовании вырожденных эволюционных процессов.

Научная новизна

В работе осуществлено качественное исследование математических моделей вырожденных эволюционных процессов. В частности, получены условия локальной однозначной разрешимости соответствующих рассматриваемым моделям начально-краевых задач для полулинейных вырожденных эволюционных уравнений. Кроме того, при исследовании некоторых прикладных задач, например, задач оптимального управления, важно иметь гарантии существования решения уравнения не локального, а на заданном наперед временном отрезке. В диссертационной работе получены также условия существования таких решений (нелокальных). Вопросы существования нелокальных решений для нелинейных вырожденных эволюционных уравнений

в данной работе исследовались, по-видимому, впервые. В работах М. О. Кор-пусова и его учеников, например, [31,78,79], оператор при производной но времени, если является линейным, как правило, не является вырожденным.

Отличительной особенностью полученных в данной работе результатов является тот факт, что они касаются именно полулинейных математических моделей вырожденных эволюционных процессов, т. е. случая, когда линейный оператор при производной по времени в соответствующем нелинейном эволюционном уравнении имеет нетривиальное ядро. При этом пространство состояний моделируемого процесса, вообще говоря, бесконечномерно в отличие от результатов Ю. Е. Бояринцева, В. Ф. Чистякова, ядро этого оператора может быть бесконечномерным в отличие от соответствующих работ Н. А. Сидорова и его соавторов, а нелинейная часть соответствующих исследуемым моделям уравнений может быть нестационарной и может не зависеть раздельно от функция состояния и переменной времени в отличие от работ Г. А. Свиридюка и Т. Г. Сукачевой.

Полученные результаты позволили установить условия локальной и нелокальной разрешимости начально-краевых задач для системы уравнений, моделирующей фазовые переходы первого рода в предположении, что время релаксации равно нулю, для некоторых моделей вязкоупругих жидкостей, модифицированных моделей из теории фильтрации. Построены разностные схемы численного исследования модели Осколкова жидкости Кельвина—Фойгта, установлена их аппроксимация исследуемой задачи с порядком 1, а также устойчивость и сходимость в случае, соответствующем линеаризованной системе. Разработан комплекс проблемно-ориентированных программ для получения численного решения соответствующей задачи, проведения вычислительного эксперимента.

Теоретическая и практическая значимость работы

В настоящее время, в связи с развитием компьютерных технологий, усилился интерес к численному моделированию процессов в естествознании и технике. Однако численные методы не гарантируют существования решения, его единственности, не могут полностью описать характер его поведения. Поэтому важным является качественное исследование описывающих моделируемые процессы систем уравнений, доказательство существования и единственности решения начально-краевых задач для них. Доказательства устойчивости и сходимости методов численного решения также являются необходимыми, значимыми как теоретически, так и практически.

В работе предложены методы качественного исследования нелинейных математических моделей, описывающих вырожденные эволюционные процессы, встречающиеся в гидродинамике, теории фильтрации, теории фазового поля и других областях естествознания [11,13,30,31,35,94]. Найдены условия, гарантирующие разрешимость начально-краевых задач для нелинейных систем уравнений в частных производных, моделирующих такие процессы. Разработаны численные методы решения таких задач, построены разностные схемы, доказана их устойчивость и сходимость решения разностной системы уравнений к решению исходной задачи. Тем самым, проведено полное исследование класса моделей и решена задача, имеющая существенное значение для математического моделирования.

В практическом смысле результаты работы дают возможность использовать ее результаты при исследовании конкретных математических моделей, выбирать такие их параметры, которые допускают корректную постановку соответствующих начально-краевых задач. В диссертационной работе также создан программный продукт, позволяющий проводить численный поиск решений таких задач для вырожденных дифференциальных уравнений в частных производных, изучать их решения при различных параметрах, осуществ-

лять численный эксперимент. Разработанные разностные схемы и методы исследования могут в дальнейшем стать отправной точкой при исследовании близких по структуре математических моделей.

Методология и методы исследования

В работе при исследовании полулинейных математических моделей вырожденных эволюционных процессов используются методы теории вырожденных полугрупп операторов [94]. Суть методов заключается в редукции описывающей эволюционный процесс начально-краевой задачи для уравнения или системы уравнений в частных производных к начальной задаче, например, задаче Коши

u{t0) = щ (1)

для полулинейного дифференциального уравнения

Lu(t) = Mu{t) + N(t, u(t)) (2)

в банаховом пространстве И. Здесь L, М — линейные операторы, действующие из пространства Я в банахово пространство L непрерывен и вырожден, т. е. ker L ф {0}, М замкнут и плотно определен на своей области определения dornМ С ii. Нестационарный нелинейный оператор N определен на некотором открытом подмножестве U С 1хИи действует в iJ. Преимуществом исследования математических моделей в форме задач вида (1), (2) состоит в том, что всякая такая задача со специальным образом подобранными условиями на операторы L, М, N представляет собой абстрактную форму целого ряда начально-краевых задач для уравнений и систем уравнений в частных производных. Тем самым, реализуется возможность «исследовать не деревья в лесу, а лес в целом» [31].

При исследовании предполагается, что пара операторов L, М порождает вырожденную полугруппу, сильно непрерывную или продолжимую до

аналитической группы в плоскости [70,72,94]. Это позволяет методами теории вырожденных полугрупп операторов редуцировать исходную задачу (1), (2) к задаче Коши для системы уравнений, определенных не на пространстве Я, а на взаимно дополнительных его подпространствах, одно из которых является образом, а другое — ядром единицы Р разрешающей полугруппы соответствующего однородного уравнения (УУ = 0). Эти уравнения имеют вид

й1^) = ь^Мги1^) + ¿^дл^У (О + (3)

Нй°№ = и°(1) + мц\1 - + и0У)) (4)

и заданы на подпространствах И1 = [тР и 1Л° = кег Р соответственно. Здесь и\Ь) = Ри{1), и0 = (/ - Р)и{1), Ьк = Ь\иь, Мк = М\цкпЛотА1, к = 0,1, Н = Мц1Ьо, ф — проектор на пространстве также определяемый операторами Ь и М. При некоторых предположениях на нелинейный оператор N эта система уравнений принимает достаточно простой вид и поддается анализу. Именно, предполагается, что нпЛГ С И1 или Л/"(£, и) = Ри) при всех (£, и) 6 и таких, что (£, Ри) £ Далее уравнение (3) исследуется с использованием результатов А. Рагу [90], а при изучении уравнения (4) существенную роль играет нильпотентность оператора II.

Для построения численного решения системы уравнений Осколкова в двумерном случае используется метод конечных разностей на равномерной сетке. После аппроксимации дифференциальной задачи последовательно моделируются три неявных разностных схемы. Первая моделируемая схема вычисляет значения давления по известным значениям скоростей на одном временном слое. Тем самым преодолевается проблема отсутствия производной давления по времени в системе. Оставшиеся разностные схемы вычисляют значения скоростей на следующем временном слое по известным значениям скорости и давления на предыдущем временном слое.

Программная часть работы реализована на языке программирования

Сф в виде объектно-модульного программного комплекса. Использованы свободные библиотеки для построения 2Б, ЗБ графиков, для работы с матрицами.

Положения, выносимые на защиту

1. Найдены условия локальной и нелокальной однозначной разрешимости начальных задач для некоторых классов полулинейных математических моделей вырожденных эволюционных процессов при различных ограничениях на нелинейный оператор.

2. Общие результаты использованы при исследовании разрешимости начально-краевых задач для конкретных нелинейных моделей вырожденных эволюционных процессов: моделей вязкоунругих жидкостей, квазистационарной модели фазового поля, модели свободной поверхности фильтрующейся жидкости и др.

3. Разработаны разностные схемы для численного исследования модели Осколкова жидкости Кельвина—Фойгта. Для таких схем доказаны ап-проксимационная сходимость и устойчивость, на их основе разработаны алгоритмы поиска численных решений соответствующих начально-краевых задач.

4. Построен комплекс проблемно-ориентированных программ «Численное решение системы уравнений Осколкова», позволяющий осуществлять численный поиск решений начально-краевых задач для системы при различных значениях параметров и начальных данных.

Степень достоверности и апробация результатов

Обоснованность и достоверность полученных результатов обусловлена математической строгостью методов исследования и корректным использова-

нием математического аппарата, адекватностью рассматриваемых моделей.

Результаты диссертации докладывались и обсуждались на семинарах кафедры математического анализа Челябинского государственного университета (рук. д.ф.-м.н., проф. В. Е. Федоров), на конференциях: Международная конференция, посвященная столетию со дня рождения С. Л. Соболева, «Дифференциальные уравнения. Функциональные пространства. Теория приближений», Институт математики им. С. Л. Соболева СО РАН, г. Новосибирск, 2008 г.; Международная конференция «Воронежская зимняя математическая школа С. Г. Крейна», Воронежский государственный университет, г. Воронеж, 2010 г.; IX международная научно-техническая конференция «Физика и технические приложения волновых процессов», Челябинский государственный университет, г. Миасс, оз. Тургояк, 2010 г.; Международная конференция, посвященная 90-летию со дня рождения академика Н. Н. Яненко, «Современные проблемы прикладной математики и механики: теория, эксперимент и практика», Институт вычислительных технологий СО РАН, Институт теоретической и прикладной механики им. С. А. Христиановича СО РАН г. Новосибирск, 2011 г.; Международная конференция «Физико-математические науки и образование», Магнитогорский государственный университет, г. Магнитогорск, 2012 г.; Международная конференция «Нелинейные уравнения и комплексный анализ», Институт математики с вычислительным центром УНЦ РАН, оз. Банное, Башкортостан, 2013 г.; Международная конференция «Дифференциальные уравнения и их приложения», Белгородский государственный университет, г. Белгород, 2013 г.

Все результаты диссертации получены лично автором. В совместных работах с В. Е. Фёдоровым научному руководителю принадлежат постановка задачи и общее руководство. В совместной статье с М. В. Плехановой и Е. А. Омельченко автор осуществлял техническую часть работы, связанную с написанием программы на языке программирования С#.

Краткое содержание диссертации

Диссертационная работа содержит введение, четыре главы, список обозначений и соглашений, список литературы и приложение, содержащее исходный код программы. Список литературы не претендует на полноту и отражает лишь личные пристрастия автора.

Во введение речь идет об актуальности темы исследования, ее степени разработанности, о целях и задачах работы, ее научной новизне, о методологии и методах исследования. Также формулируются положения выносимые на защиту, степень достоверности и апробация результатов.

Во первой главе собраны факты, которые так или иначе используются при доказательстве основных результатов диссертации. Приведены основные факты о нелокальной разрешимости невырожденных полулинейных уравнений, об относительных резольвенетах, сильно (Ь, /^-радиальных и (Ь,^-ограниченных операторах и соответствующих им сильно непрерывных полугруппах и аналитических группах операторов с ядрами, доказанные ранее в работах Г. А. Свиридюка и В. Е. Федорова (см., например, [94]).

Пусть оператор Ь 6 £(Я;3") (т. е. линеен и непрерывен), оператор М Е (т. е. линеен, замкнут и плотно определен). Обозначим р1"(М) = {¡1 Е

С : (fib - M)'1 е ОД;Я)}, аь(М) = С \ pL{M), R^M) = {¡iL - M)~lL, Lj:(M) = L(fiL-M)-1.

Оператор M называется сильно (L,p)-радиальным, если

(i) Зав R V/jL > a fie pL{M);

(ii) 3K > 0 V^ > a Vn£ N

тах{||(^(М))^+1)||£(д), \\(Lf^))nip+1]\\m} <

К

(/i - a)"^1) '

о

существует плотный в 5 линеал £ такой, что при любом /х > а

\\М(цЬ - M)_1(L^(M))p+1/lb <

К

- (/i — а)р+2'

Теорема 0.0.1. Пусть оператор М сильно (Ь,р)-радиален. Тогда

(i) Р = s- lim URLAM)Y+l, Q = s- lim (ßbLu{M)Y+l - проекторы,

/z-Я-оо м /¿-Я-оо И

обозначим далее ker P — Я0, imP = Ii1, kerQ = 5го, im <5 = 31;

(ii) LP = QL, Vu G dorn M Pu e dorn M и MPu = QMu\

(iii) Lk = L\& eC{ttk;3k);

(iv) Mk = M|domMnu* e Cl(ilfc;3*), k = 0,1;

(v) существует оператор L¡f1 e ; iX1);

(vi) существует оператор M0-1 £ £(5r0;il°); оператор H = Mq1Lq нильпотентен степени не больше р.

Оператор М называется (L, а)-ограниченным, если

W Р = Ш I RiiMW> Я = Ш f L£(M)dM ~ проекторы, обо-

значим далее кег Р = Я0, нп Р = Я1, кег <3 = 3°, ип <Э = -У1;

(11) ЬР = С}Ь, \/и е dom М Ри е dom М и МРи = С}Ми; (Ш) Ьк = Ь\& е£(Ик:$к);

(1у) М0 ее М\йотМта е С/(Я°; 5го), Мг = М\Лтамп& €Е ¿(Я1;^);

(у) существует оператор Ь^1 6 £(^1;Я1);

(у1) существует оператор М^1 Е /^(З^Я0).

(Ь, (г)-ограниченный оператор М называется (Ь, ^-ограниченным при р Е N0, если оператор Н = нильпотентен степени р.

Во второй главе рассмотрены вопросы локальной разрешимости задачи Коши для невырожденного полулинейного эволюционного уравнения с непрерывными линейным и нестационарным нелинейным операторами при искомой функции. Пусть X — банахово пространство, А Е £(£), жо 6

За > 0 \ffie С {\ц\ > а) (fi е РЬ{М)).

Теорема 0.0.2. Пусть оператор М (L, а)-ограничен. Тогда

|р|=а+1

|м|=о+1

U — открытое множество в R х X, оператор В : U —> X, вообще говоря, нелинейный. Рассматривается задача Коши для полулинейного уравнения

x(ta)=x0, (0.0.1)

x(t) = Ax(t) + B{t, x{t)). (0.0.2)

Найдены минимальные требования на гладкость нелинейного оператора, достаточные для существования локального решения повышенной гладкости.

Теорема 0.0.3. Пусть А £ U ~ открытое множество в R х X,

п £ N, отображение В £ Cn~l{JJ\X) локально Липшицев о по х. Тогда для любого (to,xo) £ U существует такое ti > to, что задача (0.0.1), (0.0.2) имеет единственное решение х £ С1 ([¿о, ii]; X) на отрезке [¿о, При этом

xec^t^x).

Далее этот результат использован при рассмотрении вырожденного полулинейного эволюционного уравнения

Lu(t) = Mu{t) + N(t, u{t)), (0.0.3)

где L £ kerL Ф {0}, оператор M £ Cl( 11; 5") (£,р)-ограничен, нели-

нейный оператор N: U 3 задан на открытом в R х Я множестве U. Локальным решением задачи Коши

u{t0) = щ (0.0.4)

для уравнения (0.0.3) называется функция и £ С1 ([¿о, t\},SX) при некотором ¿1 > to, для которой выполняется условие (0.0.4), для t £ [¿о, h) пара ('t,u(t)) £ С/ и выполняется равенство (0.0.3).

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Давыдов, Павел Николаевич, 2014 год

Список литературы

[1] Бояринцев, Ю. Е. Линейные и нелинейные алгебро-дифференциальные системы / Ю. Е. Бояринцев. — Новосибирск: Наука, 2000. — 223 с.

[2] Бояринцев, Ю. Е. Алгебро-дифферсициальные системы: Методы решения и исследования / Ю. Е. Бояринцев, В. Ф. Чистяков. — Новосибирск: Наука. Сиб. предприятие РАН, 1998. — 224 с.

[3] Булатов, М. В. О преобразовании алгебро-дифференциальных систем уравнений / М. В. Булатов // Журн. вычислит, математики и мат. физики. — 1994. - Т. 34, № 3. — С. 360-372.

[4] Вишик, М. И. Задача Коши для уравнений с операторными коэффициентами, смешанная краевая задача для систем дифференциальных уравнений и приближенный метод их решения / М. И. Вишик // Мат. сб. — 1956. - Т. 38, № 1. - С. 51-148.

[5] Врагов, В. Н. Краевые задачи для неклассических уравнений математической физики / В. Н. Врагов. — Новосибирск: Новосиб. гос. ун-т, 1983.

[6] Гаевский, X. Нелинейные операторные уравнения и операторные дифференциальные уравнения / X. Гаевский, К. Грегер, К. Захариас. — М.: Мир, 1978. - 336 с.

[7] Гальперн, С. А. Задача Коши для общих систем линейных уравнений с частными производными / С. А. Гальперн // Тр. Моск. мат. о-ва. — 1960. - Т. 9. - С. 401-423.

[8] Годунов, С. К. Воспоминания о разностных схемах / С. К. Годунов // Метод Годунова в газовой динамике: материалы междунар. симпозиума. — 1997. - С. 38.

[9] Демиденко, Г. В. Задача Коши для псевдопараболических систем / Г. В. Демиденко // Сиб. мат. журн. - 1997. - Т. 38, № 6. - С. 12511266.

[10] Демиденко, Г. В. Краевые задачи в четверти пространства для систем не типа Коши-Ковалевской / Г. В. Демиденко, И. И. Матвеева // Тр. Ин-та математики СО РАН. - 1994. - Т. 26. - С.42-76.

[11] Демиденко, Г. В. Уравнения и системы, не разрешенные относительно старшей производной / Г. В. Демиденк, C.B. Успенский. — Новосибирск: Научная книга, 1998. — 438+xviii с.

[12] Дзекцер, Е. С. Обобщение уравнения движения грунтовых вод со свободной поверхностью / Е. С. Дзекцер // Докл. АН СССР. - 1972. - Т. 202, № 5. - С. 1031-1033.

[13] Звягин, В. Г. Исследование начально-краевых задач для математических моделей движения жидкостей Кельвина—Фойгта / В. Г. Звягин, М. В. Турбин // Современная математика. Фундаментальные направления. - 2009. - Т. 31. - С. 3-144.

[14] Зубова, С.П. О линейном дифференциальном уравнении с фредгольмо-вым оператором при производной / С. П. Зубова, К. И. Чернышов // Дифференц. уравнения и их применения. — 1976. — Т. 14. — С. 21-39.

[15] Зеленяк, Т. И. Избранные вопросы качественной теории уравнений с частными производными / Т. И. Зеленяк. — Новосибирск: Новосиб. гос. ун-т, 1970.

[16] Иосида, К. Функциональный анализ / К. Иосида. — М.: Мир, 1967.

[17] Кайкина, Е. И. Задача Коши для уравнения типа Соболева со степенной нелинейностью / Е. И. Кайкина, П. И. Наумкин, И. А. Шишмарёв // Изв. РАН. Сер. мат. - 2005. - Т. 69, № 1. - С. 61-114.

[18] Кайкина, Е. И. Периодическая задача для нелинейного уравнения Соболева / Е. И. Кайкина, П. И. Наумкин, И. А. Шишмарсв // Функц. анализ и его приложения. — 2010. — Т. 44, № 3. — С. 14-26.

[19] Ким, А. В. Обратные задачи динамики параболических систем / А. В. Ким // Прикл. математика и механика. — 1990 — Т.54, № 5. — С. 754-759.

[20] Кожанов, А. И. Краевые задачи для уравнений математической физики нечетного порядка / А. И. Кожанов. — Новосибирск: Новосибир. гос. ун-т, 1990.

[21] Кожанов, А. И. О свойствах решений для одного класса псевдопараболических уравнений / А. И. Кожанов // ДАН СССР. - 1992. - Т. 326, № 5. - С. 781-786.

[22] Кожанов, А. И. О краевых задачах для некоторых классов уравнений высокого порядка, не разрешенных относительно старшей производной / А. И. Кожанов // Сиб мат. жури. - 1994. - Т. 35, № 2. - С. 359-376.

[23] Кожанов, А. И. Задача с косой производной для некоторых псевдопараболических и близких к ним уравнений / А. И. Кожанов // Сиб мат. журн. - 1996. - Т. 37, № 6. - С. 1335-1346.

[24] Кожанов, А. И. Начально-краевая задача для уравнения типа обобщенного уравнения Буссинеска с нелинейным источником / А. И. Кожанов // Мат. заметки. - 1999. - Т. 65, № 1. - С. 70-75.

[25] Корпусов, М. О. О разрешимости одной начально-краевой задачи для уравнения внутренних волн / М. О. Корпусов // Журн. вычислит, математики и мат. физики. — 1997. — Т.37, № 5. — С. 617-620.

[26] Корпусов, М. О. Разрушение в неклассических волновых уравнениях / М. О. Корпусов. — М.: Книжный дом «Либроком», 2010. — 240 с.

[27] Корпусов, М. О. Разрушение в неклассических нелокальных уравнениях / М. О. Корпусов. — М.: Книжный дом «Либроком», 2011. — 376 с.

[28] Костюченко, А. Г. Задача Коши для уравнений типа Соболева— Гальперна / А. Г. Костюченко, Г. И. Эскин // Тр. Моск. мат. о-ва. — 1961. - Т. 10. - С. 273-285.

[29] Крейн, С. Г. Сингулярно возмущенные дифференциальные уравнения в банаховом пространстве / С. Г. Крейн, К. И. Чернышов. — Новосибирск. Препринт Ип-та математики СО РАН, 1979.

[30] Ладыженская, О. А. Математические вопросы динамики вязкой несжимаемой жидкости / О. А. Ладыженская. — М.: Гос. изд-во физ.-мат. литературы, 1961. — 204 с.

[31] Линейные и нелинейные уравнения соболсвского типа / А. Г. Свешников, А. Б. Алынии, М. О. Корпусов, Ю. Д. Плетнер. — М.: Физматлит, 2007. — 736 с.

[32] Лионе, Ж.-Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач / Ж.-Л. Лионе. - М.: Мир, 1965.

[33] Марчук, Г. И. Методы и проблемы вычислительной математики / Г. И. Марчук. - М.: Наука, 1972. - С. 168-187.

[34] Мельникова, И. В. Обобщенная корректность задачи Коши и интегрированные полугруппы / И. В. Мельникова, М. А. Алынанский // Докл. Академии наук. - 1995. - Т. 343, № 4. - С. 448-451.

[35] Осколков, А. П. Начально-краевые задачи для уравнений движения жидкостей Кельвина—Фойгта и жидкостей Олдройта / А. П. Осколков // Тр. Мат. Ин-та АН СССР. - 1988. - Т. 179. - С 126-164.

[36] Плотников, П. И. Уравнения фазового поля и градиентные потоки маргинальных функций / П. И. Плотников, А. В. Клепачева // Сиб. мат. журн. - 2001. - Т.42, № 3. - С. 651-669.

[37] Плотников, П. И. Задача Стефана с поверхностным натяжением как предел модели фазового поля / П. И. Плотников, В. Н. Старовойтов // Дифферент уравнения. — 1993. — Т. 29, № 3. — С. 461-471.

[38] Рихтмайер, Р. Д. Разностные методы решения краевых задач / Р. Д. Рих-тмайер. — М.: Иностр. лит., 1960. — 262 с.

[39] Руткас, А. Г. Задача Коши для уравнения Ах1(1) + Вх(Ь) = /(£) / А. Г. Руткас // Дифференц. уравнения. - 1975. - Т. И, № 11. — С. 19962010.

[40] Свиридюк, Г. А. Об одной модели динамики несжимаемой вязкоупругой жидкости / Г. А. Свиридюк // Изв. вузов. Математика. — 1988. — № 1. — С. 74-79.

[41] Свиридюк, Г. А. О многообразии решений одной задачи несжимаемой вязкоупругой жидкости / Г. А. Свиридюк // Дифференц. уравнения. '— 1988. - Т.24, № 10. - С. 1846-1848.

[42] Свиридюк, Г. А. Об одной задаче БЬочуаЬег / Г. А. Свиридюк // Дифференц. уравнения. — 1989. — Т. 25, № 2. - С. 338-339.

[43] Свиридюк, Г. А. Одна задача для обобщенного фильтрационного уравнения Буссинеска / Г. А. Свиридюк // Изв. вузов. Математика. — 1989. — № 2. С. 55-61.

[44] Свиридюк, Г. А. Многообразие решений одного нелинейного сингулярного псевдопараболического уравнения / Г. А. Свиридюк // Докл. АН СССР. - 1989. - Т. 289, № 6. - С. 1315-1318.

[45] Свиридюк, Г. А. Об одной задаче динамики вязкоупругой жидкости / Г. А. Свиридюк // Дифференц. уравнения. — 1990. — Т.26, № 11. — С. 1992-1998.

[46] Свиридюк, Г. А. Разрешимость задачи термоконвекции вязкоупругой несжимаемой жидкости / Г. А. Свиридюк // Изв. вузов. Математика. —

1990. - № 12. - С. 65-70.

[47] Свиридюк, Г. А. Полулинейные уравнения типа Соболева с относительно ограниченным оператором / Г. А. Свиридюк // Докл. АН СССР. —

1991. - Т. 318, № 4. - С. 828-831.

[48] Свиридюк, Г. А. Полулинейные уравнения типа Соболева с относительно секториальным оператором / Г. А. Свиридюк // Докл. Академии наук. — 1993. — Т. 329, № 3. — С. 274-277.

[49] Свиридюк, Г. А. Квазистационарныс траектории полулинейных динамических уравнений типа Соболева / Г. А. Свиридюк // Изв. РАН. Сер. мат. - 1993. - Т.57, № 3. - С. 192-207.

[50] Свиридюк, Г. А. К общей теории полугрупп операторов / Г. А. Свиридюк // Успехи мат. наук. — 1994. — Т. 49, № 4. — С. 47-74.

[51] Свиридюк, Г. А. Фазовые пространства полулинейных уравнений типа Соболева с относительно сильно секториальным оператором / Г. А. Свиридюк // Алгебра и анализ. — 1994. — Т. 6, № 5. — С. 252-272.

[52] Свиридюк, Г. А. Фазовое пространство начально-краевой задачи для системы Осколкова / Г. А. Свиридюк // Дифференц. уравнения. — 1996. — Т. 32, № 11. - С. 1538-1543.

[53] Свиридюк, Г. А. Фазовое пространство начально-краевой задачи для уравнения Хоффа / Г. А. Свиридюк, В. О. Казак // Мат. заметки. — 2002. - Т. 71, № 2. - С. 292-297.

[54] Свиридюк, Г. А. О складке фазового пространства одного неклассического уравнения / Г. А. Свиридюк, А. Ф. Карамова // Дифференц. уравнения. - 2005. - Т. 41, № 10. - С. 1476-1581.

[55] Свиридюк, Г. А. О разрешимости нестационарной задачи динамики несжимаемой вязкоупругой жидкости / Г. А. Свиридюк, Т. Г. Сукачева // Мат. заметки. - 1998. - Т. 63, № 3. - С. 442-450.

[56] Сидоров, Н. А. Общие вопросы регуляризации в задачах теории ветвления / Н. А. Сидоров. — Иркутск: Иркут. гос. ун-т, 1982. — 311 с.

[57] Сидоров Н. А. Об одном классе вырожденных дифференциальных уравнений с конвергенцией / Н. А. Сидоров // Мат. заметки. — 1984. — Т. 25, № 4. - С. 569-578.

[58] Сидоров, Н. А. Обобщенные решения дифференциальных уравнений с фредгольмовым оператором при производной / Н. А. Сидоров, М. В. Фа-лалеев // Дифференц. уравнения. - 1987. — Т. 23, № 4. — С. 726-728.

[59] Соболев, С. Л. Об одной новой задаче для систем уравнений частных производных / С. Л. Соболев // Докл. АН СССР. - 1951. - Т. 81, № 6. -С. 1007-1009.

[60] Соболев, С. Л. Задача Коши для частного случая систем, не принадлежащих типу Ковалевской / С. Л. Соболев // Докл. АН СССР. — 1952. — Т. 82, № 2. - С. 205-208.

[61] Соболев, С. Л. Об одной новой задаче математической физики / С. Л. Соболев // Изв. АН СССР. Сер. мат. - 1954. - Т. 18. - С. 3-50.

[62] Соболев, С. Л. О движении симметрического волчка с полостью, наполненной жидкостью / С. Л. Соболев // Прикл. механика и техн. физика. — 1960. - № 3. - С. 20-55.

[63] Сукачева, Т. Г. О разрешимости нестационарной задачи динамики несжимаемой вязкоупругой жидкости Кельвина—Фойгта ненулевого порядка / Т. Г. Сукачева // Изв. вузов. Математика. — 1998. — № 3. — С. 47-54.

[64] Сукачева, Т. Г. Задача термоконвекции несжимаемой вязкоупругой жидкости Кельвина—Фойгта ненулевого порядка / Т. Г. Сукачева, О. П. Матвеева // Изв. вузов. Математика. — 2001. — № 11. — С. 46-53.

[65] Трибель X. Теория интерполяции. Функциональные пространства. Дифференциальные операторы / X. Трибель. — М.: Мир, 1980.

[66] Фалалеев, М. В. Начально-краевые задачи для интегро-дифференциальных уравнений вязкоупругости / М. В. Фалалеев, С. С. Орлов // Обозрение прикл. и промышленн. математики. — 2010. — Т. 17, вып. 4. — С. 597—600.

[67] Фалалеев, М. В. Вырожденные интегро-дифференциальные уравнения специального вида в банаховых пространствах и их приложения / М. В. Фалалеев, С. С. Орлов // Вестник Южно-Уральск. гос. ун-та. Сер. Мат. моделирование и программирование. — 2011. — Вып. 7, № 4 (211). — С. 100-110.

[68] Фалалеев, М. В. Интегро-дифференциальные уравнения с вырождением в банаховых пространствах и их приложения в математической теории упругости / М. В. Фалалеев, С. С. Орлов // Изв. Иркутского гос. ун-та. Сер. Математика. - 2011. - Т. 4, №. 1. - С. 118-134.

[69] Фалалеев, М. В. Вырожденные интегро-дифференциальные операторы в банаховых пространствах и их приложения / М. В. Фалалеев, С. С. Орлов // Изв. вузов. — 2011. - №. 10. - С. 68-79.

[70] Федоров, В. Е. Вырожденные сильно непрерывные полугруппы операторов / В. Е. Федоров // Алгебра и анализ. — 2000. — Т. 12, № 3. — С. 173-200.

[71] Федоров, В. Е. Оптимальное управление линейными уравнениями соболевского типа / В. Е. Федоров // Дифференц. уравнения. — 2004. — Т. 40, № 11. - С. 1548-1556.

[72] Федоров, В. Е. Обобщение теоремы Хилле — Иосиды на случай вырожденных полугрупп в локально выпуклых пространствах / В. Е. Федоров // Сиб. мат. жури. - 2005. - Т. 46, № 2. - С. 426-448.

[73] Федоров, В. Е. Неквазистационарные траектории одного класса полулинейных уравнений соболевского типа / В. Е. Федоров // Дифференц. уравнения и смежные проблемы: тр. междунар. науч. конф. — Уфа: Ги-лем, 2008. — С. 111-115.

[74] Федоров, В. Е. Свойства псевдорезольвент и условия существования вырожденных полугрупп операторов / В. Е. Федоров // Вестник Челяб. гос. ун-та. Сер. Математика. Механика. Информатика. — 2009. — Вып. 11, №20 (158). - С. 12-19.

[75] Хеири, Д. Геометрическая теория полулинейных параболических уравнений / Д. Хенри. — М.: Мир, 1985.

[76] Хэссард, Б. Теория и приложения бифуркации рождения цикла / Б. Хэс-сард, Н. Казаринов, И. Вэп. — М.: Мир, 1985. — 280 с.

[77] Чистяков, В. Ф. Избранные главы теории алгебро-дифференциальных систем / В. Ф. Чистяков, А. А. Щеглова. — Новосибирск: Наука, 2003. — 320 с.

[78] Чубенко, П. А. Разрушение решения одного нелинейного нелокального уравнения соболевского типа / П. А. Чубенко // Дифференц. уравнения. - 2009. - Т. 45, № 2. С. 211-219.

[79] Юшков, Е. В. О разрушении решения нелокальной системы уравнений гидродинамического тина / Е. В. Юшков // Изв. РАН. Сер. мат. — 2009. - Т. 76, № 1. С. 201-224.

[80] Яненко, Н. Н. Метод дробных шагов решения многомерных задач математической физики / Н. Н. Яненкою — Новосибирск: Наука, 1967. — 21 с.

[81] Favini, A. Laplace transform method for a class of degenerate evolution problems / A. Favini // Rend. Mat. - 1979. - Vol. 12, № 3-4. - P. 511-536.

[82] Favini, A. Degenerate differential equations in Banach spaces / A. Favini, A. Yagi. — New York etc.: Marcel Dekker Inc., 1999. — 324 p.

[83] Favini, A. Multivalued linear operators and degenerate evolution equations / A. Favini, A. Yagi // Ann. Mat. Pur. ed Appl. - 1993. - Vol. CLXIII. -P. 353-384.

[84] Fedorov, V. E. Solvability of start control problems for semilinear distributed Sobolev type systems / V. E. Fedorov, M. V. Plekhanova // Int. J. Mathematical Modelling and Numerical Optimisation. — 2010. — Vol. 1. — Ж 3. - P. 153-167.

[85] Fedorov, V. E. Local solvability of a class of nonstationary semilinear Sobolev type equations / V. E. Fedorov // Nonlinear Evolution Equations and Mathematical Modeling. Kyoto: Research Institute for Mathematical Sciences, Kyoto University, 2008. — P. 46-61.

[86] Hopf, E. Über die Anfangswertaufgabe für die hydrodynamischen Grundgleichungen / E. Hopf // Math. Nachrichten. — 1950-1951. — Vol. 4. — P. 213-231.

[87] Leray, J. Essai sur le mouvement plans d'un liquide visqueux que limitent des parois / J. Leray // J. Math. Pures Appl. Ser. IX. — 1934. — Vol. XIII, fasc. 4. - P. 331-418.

[88] Odqvist, F. K. G. Beitrage zur Nomographic. II / F. K. G. Odqvist // ZAMM — Journal of Applied Mathematics and Mechanics / Zeitschrift fur Angewandte Mathematik und Mechanik. — 1934. — Vol. 14. — P. 117-121.

[89] Oseen, C. W. Hydrodynamik / C. W. Oseen. — Akad. Verl.-Ges. Leipzig, 1927. - 337 p.

[90] Pazy A. Semigroups of Linear Operators and Applications to Partial Differential Equations / A. Pazy. — N. Y.: Springer-Verlag, 1983. — 279 p.

[91] Poincare, H. Sur l'equilibre d'une masse fluide animee d'unmouvement de rotation / H. Poincare // Acta Math. — 1885. — Vol. 7. — P. 259-380.

[92] Showalter, R. E. Nonlinear degenerate evolution equations and partial differential equations of mixed type / R. E. Showalter // SIAM J. Math. Anal. — 1975. - Vol. 6, no. 1. - P. 25-42.

[93] Sidorov, N. Lyapunov—Schmidt Methods in Nonlinear Analysis and Applications / N. Sidorov, B. Loginov, A. Sinitsyn, M. Falaleev. — Dordrecht; Boston; London: Kluwer Academic Publisher, 2002. — 568 p.

[94] Sviridyuk, G. A. Linear Sobolev Type Equations and Degenerate Semigroups of Operators / G. A. Sviridyuk, V. E. Fedorov. — Utrecht; Boston: VSP, 2003. — 216+vii p.

[95] Yagi, A. Abstract Parabolic Equations and their Applications / A. Yagi. — Berlin; Heidelberg: Springer-Verlag, 2010. — 581 p.

Публикации автора диссертации в журналах, входящих в перечень ведущих периодических изданий

[96] Федоров, В. Е. О нелокальных решениях полулинейных уравнений соболевского типа / В. Е. Федоров, П. Н. Давыдов // Дифференц. уравнения. - 2013. - Т. 49, № 3. - С. 338-347.

[97] Федоров, В. Е. Полулинейные вырожденные эволюционные уравнения и нелинейные системы гидродинамического типа / В. Е. Федоров, П. Н. Давыдов // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. — 2013. — Т. 19, № 4. - С. 267-278.

[98] Омельченко, Е. А. Численное решение линеаризованной квазистационарной системы уравнений фазового поля с запаздыванием / Е. А. Омельченко, М. В. Плеханова, П. Н. Давыдов // Вестник ЮУрГУ. Сер. Математика. Механика. Физика. — 2013. — Т. 5, № 2. — С. 45-51.

[99] Давыдов, П. Н. Сильно вырожденная система уравнений Осколкова / П. Н. Давыдов, В. Е. Федоров // Научн. ведомости Белгород, гос. ун-та. Сер. Математика. Физика. — 2014. — Вып. 34, № 5 (176). — С. 5-11.

Публикации по теме диссертации, примыкающие к основным

[100] Давыдов, П. Н. Дифференциальные уравнения для функций типа Бесселя / П. Н. Давыдов // Вестник. Челяб. гос. ун-та. Сер. Математика. Механика. Информатика. — 2008. — Вып. 10. — С. 25-29.

[101] Давыдов, П. Н. Дифференциальные уравнения для функций типа Бесселя / П. Н. Давыдов // Студент и научно-технический прогресс: тез. докл. XVII студ. науч. конф. — Челябинск: ЧелГУ, 2008. — С. 94.

[102] Давыдов, П. Н. О соответствии функций типа Бесселя одному классу дифференциальных уравнений / П. Н. Давыдов // Тез. докл. Междунар. конф. по дифференц. уравнениям и динамическим системам. — Суздаль: ВГУ, 2008. - С. 82.

[103] Давыдов, П. Н. Полугруппы распределений неоднородных уравнений соболевского типа / П. Н. Давыдов // Конкурс грантов студентов, аспирантов и молодых ученых вузов Челябинской области: сб. реф. научн.-исслед. работ. — Челябинск: Издат. центр ЮУрГУ, 2009. — С. 5.

[104] Давыдов, П. Н. Локальная разрешимость одного класса уравнений соболевского типа / П. Н. Давыдов, В. Е. Федоров // Тез. докл. Воронеж, зимн. мат. шк. С. Г. Крейна. - Воронеж: ВГУ, 2010. - С. 49-50.

[105] Давыдов, П. Н. Локальная разрешимость одного класса уравнений соболевского типа / П. Н. Давыдов, В. Е. Федоров // Тр. Воронеж, зимн. мат. шк. С. Г. Крейна. — Воронеж: ВГУ, 2010. — С. 47-52.

[106] Федоров, В. Е. Глобальная разрешимость некоторых полулинейных уравнений соболевского типа / В. Е. Федоров, П. Н. Давыдов // Вестник. Челяб. гос. ун-та. Сер. Математика. Механика. Информатика. — 2010. — Вып. 12, № 23 (204). - С. 80-87.

[107] Давыдов, П. Н. О существовании глобальных решений одного класса полулинейных уравнений соболевского типа / В. Е. Федоров, П. Н. Давыдов, М. М. Якупов // Физика и технические приложения волновых процессов: материалы IX междунар. науч.-тех. конф. — Челябинск: Изд-во ЧелГУ, 2010. - С. 206-207.

[108] Давыдов, П. Н. О нелокальных решениях полулинейных уравнений соболевского типа / П. Н. Давыдов, М. В. Плеханова, В. Е. Федоров // Современные проблемы прикладной ¿математики и механики: теория, эксперимент и практика: тез. докл.

междунар. конф., посвящ. 90-летию со дня рождения академика Н. Н. Яненко. — Новосибирск: Академгородок, 2011. — С. 117. — http://conf.nsc. ru/files/conferenccs/niknik90/fulltext/39446/46860/davy-dov.pdf.

[109] Федоров, В. E. О существовании и единственности решения одной полулинейной системы уравнений соболевского типа / В. Е. Федоров, П. Н. Давыдов // Дифференц. уравнения и их приложения: тез. докл. конф. «СамДиф-2011». — Самара: Универс групп, 2011. — С. 124-125.

[110] Федоров, В. Е. Исследование вопросов существования и единственности решения одной системы уравнений соболевского типа / В. Е. Федоров, П. Н. Давыдов // Алгоритмический анализ неустойчивых задач: тез. докл. междунар. конф., посвящ. памяти В. К. Иванова. — Екатеринбург: УрФУ, 2011. - С. 283-284.

[111] Давыдов, П. Н. О существовании и единственности решения нелинейного уравнения Дзекцера / П. Н. Давыдов // Обратные и некорректные задачи математической физики: тез. докл. междунар. конф., посвящ. 80-летию со дня рождения академика М. М. Лаврентьева. — Новосибирск: Сиб. науч. изд-во, 2012. — С. 359.

[112] Давыдов, П. Н. Один класс полулинейных вырожденных эволюционных уравнений / П. Н. Давыдов, В. Е. Федоров // Физ.-мат. науки и образование: материалы Всеросс. научно-практическ. конф. — Магнитогорск: МаГУ, 2012. - С. 76-78.

[113] Федоров, В. Е. An initial problem for a class of semilinear degenerate evolution equations / В. E. Федоров, П. H. Давыдов // Нелинейные уравнения и комплексный анализ: тез. докл. междунар. конф. — Уфа: Ин-т математики с ВЦ УНЦ РАН, 2013. - С. 49-50.

[114] Давыдов, П. Н. Разрешимость задачи Шоуолтера для одного класса полулинейных вырожденных эволюционных уравнений / П. Н. Давыдов, В. Е. Федоров // Функциональные пространства. Дифференциальные операторы. Общая топология. Проблемы математического образования: тез. докл. IV междунар. конф., посвящ. 90-летию со дня рождения чл.-корр. РАН, акад. Европейской академии наук Л. Д. Кудрявцева. — Москва: РУДН, 2013. - С. 179-180.

[115] Давыдов, П. Н. О разрешимости нагруженной системы Осколкова с нелинейной вязкостью / П. Н. Давыдов // Комплексный анализ и его приложения в дифференциальных уранениях и теории чисел: тез. докл. междунар. конф. — Белгород: БелГУ, 2013.

[116] Давыдов, П. Н. Однозначная локальная разрешимость одной полулинейной системы уравнений обобщенного гидродинамического типа / П. Н. Давыдов, В. Е. Федоров // Дифференциальные уравнения. Функциональные пространства. Теория приближений: тез. докл. междунар. конф., посвящ. 105-летию со дня рождения С.Л.Соболева. — Новосибирск: Ин-т математики им. С.Л.Соболева СО РАН, 2013. — С. 124.

[117] Давыдов, П. Н. Сильно вырожденная система уравнений Осколкова / П. Н. Давыдов, В. Е. Федоров // Материалы Воронеж, зимн. мат. шк. С. Г. Крейна. Воронеж: Издат.-полиграфич. Центр «Научная книга», 2014. С.115-118.

[118] Fedorov, V. Е. Nonlocal solvability of hydrodynamical type systems of equations / V. E. Fedorov, P. N. Davydov // Нелинейные уравнения и комплексный анализ: тез. докл. междунар. коиф. памяти акад. А. М. Ильина. — Челябинск: Изд-во Челяб. гос. ун-та, 2014. — С.49-50.

[119] Fedorov, V. Е. On a class of generalized hydrodynamical type systems of equations / V. E. Fedorov, P. N. Davydov // Nonlinear Science and

Complexity: abstracts of 5th International Conference. — Xi'an, China: Xi'an Jiaotong University, 2014. — P. 53.

Список иллюстративного материала

Рисунок 1. График приближенного решения задачи (4.2.5)-(4.2.9) для параметров х = 0.001, v — 0.001, h — 0.06, т = 0.01, щ = sin2 a: sin у cosy, Vq = — sin2 у sin ж COS x при X £ (0, 7г) х (0, тг), и = V = р = 0 при X, у е <Э([0, 7г] X [0,7г]). Номер временного слоя Т = 0. с. 100.

Рисунок 2. График приближенного решения задачи (4.2.5)-(4.2.9) для параметров х = 0.001, и = 0.001, h — 0.06, т = 0.01, щ — sin2 ж sin у cos у, Vq = — sin2 у sin X COS X при X 6 (0, 7г) X (0, 7г), 'U = V = р = 0 при X, у £ <э([0, 7г] X [0,7г]). Номер временного слоя Т = 25. с. 101.

Рисунок 3. График приближенного решения задачи (4.2.5)-(4.2.9) для параметров % = 0.001, ь> = 0.001, h — 0.06, г = 0.01, uq = sin2 ж sin у cos у, Vo = — sin2 у sin X cos X при X £ (0, 7г) X (0, 7г), и — V — р = 0 при х, у 6 <Э([0,7г] х [0,7г]). Номер временного слоя Т — 50. с. 101.

Рисунок 4. График приближенного решения задачи (4.2.5)-(4.2.9) для параметров х — 0.001, и = 0.001, h = 0.06, г = 0.01, щ — sin2 a; sin у cos у, Vo = — sin2 у sin х cos х при ж € (0,7г) х (0,7г), и = V — р — 0 при х, у Е <Э([0,7г] х [0,7г]). Номер временного слоя Т — 100. с. 101.

Рисунок 5. График приближенного решения задачи (4.2.5)-(4.2.9) для параметров х — 0.001, v — 0.001, h = 0.06, т — 0.01, и0 — sin2 ж sin у cos у, vq = — sin2 у sin ж cos х при ж € (0,7г) х (0,7г), и = V = р = 0 при ж, у 6 <Э([0,7г] х [0,7г]). Номер временного слоя Т = 208. с. 102.

Рисунок 6. Алгоритм численного вычисления значений решения задачи (4.2.5)-(4.2.9). с. 103.

Рисунок 7. Главное окно программы, с. 104.