Полуклассическая и квантовая теории спазера тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.13, кандидат наук Андрианов, Евгений Сергеевич

• Андрианов, Евгений Сергеевич
• кандидат наук
• 2015

Оглавление диссертации кандидат наук Андрианов, Евгений Сергеевич

Оглавление

Введение

Глава 1. Обзор существующих результатов и некоторые вспомогательные

результаты

1.1.Теоретическая модель для описания взаимодействия металлической наночастицы

и молекулы активной среды

1.1.1. Моды поверхностного плазмона

1.1.2. Взаимодействие электрического поля наночастицы и двухуровневого атома

1.1.3. Учёт диссипации и шумов, уравнения Максвелла-Блоха

1.1.4. Стационарный режим генерации спазера

1.2. Экспериментальные результаты по созданию спазера

Глава 2. Полуклассическая теория спазера

2.1. Введение

2.2. Динамика установления стационарного режима генерации спазера, осцилляции Раби

2.3. Спазер в поле внешней оптической волны, синхронизация спазера

2.4. Отклик дипольного момента наночастицы на внешнее поле, компенсация потерь ниже порога генерации спазер

2.5. Выводы

Глава 3. Коллективные эффекты в структурах на основе спазеров

3.1. Введение

3.2. Гармоническая плазмонная автоволна в одномерном массиве спазеров

3.3. Оптическая бистабильность цепочки спазеров: волны переключения и образование структур

3.4. Выводы

Глава 4. Квантовая теория спазера

4.1. Введение

4.2. Спектр поверхностных плазмонов, возбуждаемых спонтанными переходами квантовой точки

4.3. Спектр резонансной флуоресценции двухуровневой системы в ближнем поле плазмонной наночастицы

4.4. Выводы

Заключение

Список цитируемой литературы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Полуклассическая и квантовая теории спазера»

Введение

Актуальность темы

В последнее время получила развитие новая область оптики — плазмоника, [1-8]. Хотя плазмоника имеет дело с волновыми явлениями, она оперирует с масштабами, много меньшими длины волны в вакууме. Это наделяет плазмонику многими чертами ближнепольной оптики и делает ее востребованной современными нанотехнологиями. Здесь можно, прежде всего, упомянуть микроскопию на основе поверхностных плазмонов [9], SERS [10], концентраторы энергии [11]. Стремительный прогресс плазмоиики может увеличить быстродействие будущих компьютеров благодаря созданию наноразмерных аналогов элементов электрических цепей, работающих в ближнем ИК диапазоне [12], и устройств на основе метаматериалов, производящих аналоговые вычисления [13].

Работа плазмонных устройств предполагает использование плазмонного резонанса металлических наноструктур. При плазмонном резонансе в металле наблюдаются довольно высокие джоулевы потери. Для компенсации этих потерь можно использовать активные среды [14]. В результате взаимодействия мод плазмонных наноструктур и молекул активной среды происходит образование положительной обратной связи. Это ведет к образованию спазера [15] - аналога лазера, в котором роль моды резонатора играет мода плазмонной наноструктуры. Разновидностями спазера [15] являются дипольный нанолазер [16], нанолазер на магнитной моде [17]. Об экспериментальной реализации спазера сообщается в работе [18]. В качестве возможных приложений спазера можно указать усилитель в оптических устройствах [19], усилитель плазмоной спектроскопии [20], источник света, преобразующий ближние поля в дальние [21-23], компенсация потерь в наноплазмонных устройствах. Малые размеры спазеров делают необходимым учёт квантовых эффектов.

В эксперименте, как правило, используют не одиночный спазер, а целые структуры, составленные из упорядоченных линеек или решеток спазеров [21, 23]. Поэтому для развития теории спазера представляет интерес рассмотрение плазмонов, распространяющихся вдоль таких одномерных объектов, как проволока, цепочка наночастиц или канавка в металле [24-26]. В этом случае коллективное взаимодействие между спазерами может существенно изменять свойства автономных колебаний спазеров, и даже приводить в этих структурах к новым явлениям [27].

Хотя имеющиеся на сегодняшний день теоретические оценки и экспериментальные разработки в области квантовой плазмоники находятся на уровне рассмотрения простейших моделей, они указывают на перспективность применения спазеров при создании элементной базы оптических информационных устройств, оптических компьютеров и устройств на основе метаматериалов.

В настоящее время теория устройств на основе спазеров далека от своего завершения, и в литературе ведется дискуссия по поводу фундаментальных свойств таких материалов. Поэтому создание как полуклассической теории спазера, так и квантовой теории, учитывающей квантовые флуктуации ближних полей плазмонных структур, является актуальной задачей, решение которой поможет в создании активных метаматериалов и устройств на их основе.

Цели диссертационной работы

Целью диссертационной работы является полуклассическое и квантовое рассмотрение процессов, происходящих как в одном спазере, так и в состоящих из спазеров структур:

1. Исследование возбуждения и установления процесса стационарной генерации автономного спазера; изучение режима синхронизации спазера внешней электромагнитной волной, а также компенсация потерь электромагнитного поля, взаимодействующего со спазером.

2. Численное и теоретическое исследование коллективных явлений в цепочке спазеров: распространение по цепочке спазеров плазмонной автоволны, кинков и образование диссипативных структур в цепочке спазеров, взаимодействующих с электромагнитной волной.

3. Исследование влияния квантовых флуктуаций ближних полей плазмонных нанострктур на условия генерации и спектральные свойства спазера.

Научная новизна

1. Впервые показано, что осцилляции, возникающие в переходном режиме динамики спазера, являются осцилляциями Раби. Показано, что частота и амплитуда этих колебаний определяются начальным числом возбуждённых плазмонов и временем релаксации плазмонов в металле.

2. Определена область синхронизации автономного спазера внешней электромагнитной волной (найден Язык Арнольда). Впервые показана возможность и дано объяснение

компенсации потерь внешней электромагнитной волны, взаимодействующей со спазером, работающем ниже порога автономной генерации.

3. Впервые показано, что в одномерной цепочке спазеров возможно распространение нелинейной плазмонной гармонической автоволны, частным случаем которой являются синфазные колебания дипольных моментов наночастиц. Причиной синфазных колебаний является взаимодействие наночастиц через квантовые точки соседних спазеров.

4. Обнаружено возникновение диссипативных структур и распространение кинков в одномерной цепочке спазеров, возбуждаемых внешней электромагнитной волной. Реализация конкретного режима зависит от джоулевых потерь в наночастице и от амплитуды внешнего поля.

5. Впервые рассчитан спектр электромагнитного поля, генерируемого спазером, работающим вблизи порога генерации в режиме сильных квантовых флуктуаций. Также рассмотрено изменение спектра резонансной флуоресценции двухуровневого атома, находящегося вблизи плазмонной металлической наночастицы.

Достоверность результатов

Достоверность результатов, представленных в диссертации, подтверждается совпадением теоретических результатов с результатами численного моделирования, а также публикациями в ведущих мировых научных журналах и докладами на международных конференциях.

Научная и практическая значимость работы

Результаты диссертационной работы посвящены широко обсуждаемым научным проблемам, и имеют перспективные практические применения. Результаты, полученные в диссертации, позволяют перейти к проектированию устройств на основе спазеров. В диссертационной работе подробно рассмотрена динамика возбуждения поверхностных плазмонов в спазере, исследуются условия возникновения и характер установления генерации поверхностных плазмонов в спазере. Показано, что процессу установления стационарных автономных колебаний предшествуют осцилляции Раби. Их период определяется начальным числом возбуждённых плазмонов, а длительность пропорциональна времени релаксации плазмонов в металлической наночастице.

В диссертационной работе показано, что спазеры могут быть использованы для создания активных метаматериалов. В частности, показано, что существует область

значений амплитуды внешней волны и частоты расстройки (язык Арнольда), где спазер синхронизируется внешней волной. За пределами этой области спазер проявляет стохастические колебания. Если имеется ненулевая расстройка, то существует пороговое значение напряженности внешнего поля, синхронизующего спазер. Это поле растет с увеличением расстройки. Также показано, что точная компенсация джоулевых потерь может быть достигнута с использованием спазеров как ниже, так и выше порога генерации поверхностных плазмонов в наночастице.

В диссертационной работе рассмотрено распространение гармонической плазмонной автоволны по цепочке автономных спазеров. В отличие от обычных плазмонных волн, по цепочке спазеров плазмонная волная может распространяться на сколь угодно большие расстояния. Также исследовано влияние явления бистабильности на динамику связанных между собой спазеров, образующих линейную цепочку. Показано, ] что при высоких потерях в спазере по цепочке спазеров распространяется нелинейная

автоволна переключения, переводящая цепочку спазеров из состояния с низкой в состояние с высокой инверсией населённостей спазера. При низких потерях возникают квазипериодические диссипативные структуры, динамика возникновения которых имеет характер «самосборки». Волны переключения в бистабильной цепочке спазеров можно использовать для переключения среды спазеров из низко инвертированного в высоко инвертированное состояние. Возникающие в среде бистабильных спазеров контрастные диссипативные структуры можно использовать в качестве масок для оптических систем записи информации.

В последнее время в связи с активным развитием плазмоники большой интерес вызывает задача о влиянии взаимодействия двухуровневых атомов и плазмонных структур на их оптические свойства. Отправной работой для этих исследований является статья Пёрселла [28], положившая начало изучению влияния окружения на спонтанный переход атома (см. [29] и приведённые там ссылки). Недавно в рамках подхода Пёрселла рассмотрено, в частности, влияние наноструктур на спектр резонансной флуоресценции атомов [30, 31]. В диссертационной работе, в приближении малого числа плазмонов, получен спектр поверхностных плазмонов, возбуждаемых спонтанными переходами квантового излучателя. Также учтено влияние квантовых флуктуаций и корреляций на динамику наночастицы и двухуровневого атома во внешнем оптическом поле в приближении малого числа плазмонов. Данное рассмотрение имеет важное фундаментальное значение в связи с тем, что экспериментально достижимые значения накачки таковы, что спазер работает вблизи и ниже порога автономной генерации.

Основные результаты и положения, выносимые на защиту

1. Осцилляции, возникающие в переходном режиме динамики спазера, являются осцилляциями Раби, период которых определяется начальным числом возбуждённых в наночастице плазмонов, а длительность осцилляции определяется временем релаксации плазмонов в металле.

2. Существуют значения амплитуды и частоты внешней монохроматической волны (область значений, называемая языком Арнольда), при которых колебания спазера синхронизуются, так, что их частота совпадает с частотой внешнего поля.

3. Определены режимы работы спазера, при которых спазер компенсирует потери внешней электромагнитной волны. Найденные режимы компенсации потерь реализуются при работе спазера как выше, так и ниже порога его автономной генерации.

4. В одномерной цепочке автономно осциллирующих спазеров возможно распространение нелинейных гармонических плазмонных автоволн. Частным случаем являются синфазные колебания дипольных моментов всех наночастиц.

5. При накачке ниже пороговой в цепочке спазеров, находящихся в поле внешней волны, возможно распространение волн переключения (кинков) и образование диссипативных структур.

6. Когда число возбуждённых квантов ближнего поля мало, спектр спазера качественно отличается от спектра Шавлова-Таунса и представляет собой сумму двух лоренцевских линий. Ширина одной линии определяется диссипацией в наночастице, а другой — распадом возбуждённого состояния квантовой точки. Время распада определяется константой Раби взаимодействия квантовой точки и наночастицы.

7. При сближении атома и наночастицы, находящихся во внешнем поле, вследствие Фано-резонанса форма молловского триплета определяется частотой Раби взаимодействия атома с наночастицей. Когда эта частота становится больше частоты Раби взаимодействия атома с внешним полем, триплет вырождается в лоренцевскую линию.

Апробация результатов

Основные результаты работы докладывались на следующих международных и

российских конференциях: 53-я научная конференция МФТИ, Москва, Россия, 25-26

ноября 2010; Двенадцатая ежегодная научная конференция ИТПЭ РАН, Москва, Россия,

4-7 апреля 2011; International Conference Days on Diffraction'2011 (DD'2011), St. Petersburg, Russia, May 30 - June 3, 2011; International Conference on Materials for Advanced Technologies'2011 (ICMAT 2011), Singapore, June 26-July 1 2011; International Conference on Electrodynamics of Complex Materials for Advanced Technologies (PLASMETA'2011), Samarkand, Uzbekistan, September 21 - 26, 2011; 54-я научная конференция МФТИ, Москва, Россия, 25-26 ноября 2011; Тринадцатая ежегодная научная конференция ИТПЭ РАН, Москва, Россия, 14-16 мая 2012; International Conference Days on Diffraction'2012 (DD'2012), St. Petersburg, Russia, May 30 - June 3, 2012; International Conference SPIE Optics+Photonics'2012 (SPIE 0+P'2012), San-Diego, USA, August 28 -1, 2012; 12th International Conference on Near-Field Optics and Nanophotonics (NFO'12), San Sebastian, Spain, September 3-7,2012; Metamaterials 2012: The 6th International Congress on Advanced Electromagnetic Materials in Microwaves and Optics, St. Petersburg, Russia, 17-22 September, 2012; 5nd International Workshop on Theoretical and Computational Nano-Photonics (TaCoNa-Photonics 2012), Bad Honnef, Germany, Oct. 24-26, 2012; 55-я научная конференция МФТИ, Москва, Россия, 19-22 ноября 2012; Четырнадцатая ежегодная научная конференция ИТПЭ РАН, Москва, Россия, 4-7 апреля 2013; International Conference Days on Diffraction'2013 (DD'2012), St. Petersburg, Russia, May 27-31, 2013; International Conference on Materials for Advanced Technologies'2013 (ICMAT'2013), Singapore, June 30 - July 5; 56-я научная конференция МФТИ, Москва, Россия, 19-22 ноября 2013

Публикации

По теме диссертации опубликовано 25 работ, в том числе И статей в ведущих рецензируемых научных журналах и других изданиях, включенных в список ВАК.

Личный вклад соискателя

Все изложенные в диссертации оригинальные результаты получены лично автором, либо при его непосредственном участии. Автор принимал непосредственное участие в выборе объектов исследования, постановке задач, разработке теоретических подходов, численном моделировании и обсуждении полученных результатов.

Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из введения, четырёх глав, заключения и списка литературы из 140 наименований. Общий объем 116 страниц, в том числе 53 рисунка.

Глава 1

Обзор существующих результатов и некоторые вспомогательные

результаты

1.1. Теоретическая модель для описания взаимодействия металлической наночастицы и молекулы активной среды

1.1.1. Моды поверхностного плазмона.

Сначала опишем модовую структуру плазмонной наночастицы (НЧ) и проведём её

квантование.

Как известно, эти моды задаются собственными решениями уравнения Лапласа

У(е(г)У<р(г)) = 0,

(1)

для скалярного потенциала (р с граничными условиями на поверхности шара

д<р"

дп

= £„

д(р°

дп

(2)

И-

где а - радиус сферы, ет, еш и <рт, (роШ - диэлектрическая проницаемость и потенциал внутри и снаружи сферы соответственно. Для простоты будем считать, что еои, = 1. Тогда решение (1) с граничным условием (2) будет [32]

<Рпт =

/

Г

а

Гпт{в,<р),Па

I

упт {в,(р),г>а

(За)

при этом п - ая резонансная частота определяется из условия:

п +1

(36)

В дальнейшем будем считать, что дисперсия металлической НЧ описывается формулой Друде

= (4)

(О

откуда получаем резонансные частоты

Отметим, что собственные функции, определяемые уравнением (За), вырождены, т.е. каждой резонансной частоте с номером п соответствует 2п + \ собственных функций, а параметр т пробегает значения от -п до п.

При увеличении номера резонанса, п -» оо, резонансная частота соп -> озр, / , т.е. имеется точка сгущения собственных частот.

Теперь приступим к квантованию электромагнитного поля НЧ. Здесь нужно сделать важное замечание. Поскольку уравнение Лапласа описывает только статическое (ближнее) поле сферической НЧ, то в таком приближении электрическое поле не меняется во времени, а магнитное поле равно нулю. Поскольку квантование электромагнитного поля и концепция кванта возбуждения связаны с той частью векторного потенциала, которая зависит от времени, то, казалось бы, квантование в данном приближении невозможно. Однако здесь можно поступить следующим образом.

Будем рассматривать квазистатическое приближение, т.е. считать, что координатная зависимость потенциала задаётся выражением (За), а временная зависимость есть просто гармонические колебания на частоте соответствующего резонанса, т.е. электрическое поле имеет вид Епт (г,/) = -4<рпт (г)ехр(/гу„/). Такое

допущение означает, что электрическое поле представляет собой гармонический осциллятор, квантование которого проводится стандартным образом (см, например, [33]).

На частоте л-го плазмонного резонанса соответствующая мода электрического поля НЧ описывается уравнением осциллятора с собственной частотой, равной частоте плазмонного резонанса:

Ё +со2 Е =0. (6)

пт п пт Чи/

Введём бозе-операторы рождения, , и уничтожения, апт(/), электрического поля

соответствующей моды поверхностного плазмона, возбуждённого в НЧ,

удовлетворяющие коммутационному соотношению = при этом оператор

электрического поля запишется следующим образом

Е пт = -Ё„пУ<Рпт [кт

(7)

где Ёпт - «квант» электрического поля, размерный множитель, который ещё предстоит определить, а гамильтониан гармонического осциллятора принимает вид Нпт=Ьсоп(а+птапт+\12).

Величина Епт определяется из равенства энергии кванта и энергии одного плазмона в п ой моде:

= 1 гЭ(а>11ее(<р)) " 8 п1

да

IЁ 1-Уф'ОУ.

пт\ тпт тпт

(8)

Примем во внимание, что

1 гд(<у11е£(й)))

8тЛ

дю

Р^/мп

8л-

со

а(Кее(со))

доз

(9)

г)гп1П г)таи

Используя уравнение Лапласа У(Кее(шпУ7<р) = 0, граничные условия е —— ~еои,——■

дг дг

и интегрируя по частям, получим, что второе слагаемое в скобках обращается в ноль:

с1УоМ ср:тЧ{Кее(а>)У<рпт)1 + {<р*пт е„

\*т

5<Р1 „ дер,

ОШ \

ВУ

дг дг

(10)

п = 0

Считая, что еоШ = 1, т.е. вне НЧ среда не обладает дисперсией, так что дгош / дсо = 0,

подставляя в первое слагаемое правой части (9) выражение (За) для (рпт, и считая, что

внутри НЧ диэлектрическая проницаемость не зависит от координаты и описывается выражением (4), получаем

ц

8л- J

со

dRee(co)

да

со2, г

V<pnm -VcplJV = —^j J V(p'nmV(pnmdV =

I

(

_ 03 P>

Altar

¡vl^dS-lcpl^JV

\svtn

0)r

-J^f naYLYnmdQ = ^l±la

Ancol J nm "m An

(П)

'n £1

где использовалась нормировка сферических функций J YjmYnmdQ = 1 и выражение (5).

п

В итоге получаем

к I? I2 2n + l ho)SP=\EM\ a-j—

(12)

откуда Ёпп = \[АттР1Сопт / а (2п +1) . Далее, для удобства, обозначим Епт = Ёпт / л/2 . Таким

А __/ А Л \

образом, оператор электрического поля п - моды НЧ есть Епт = -ЕптУ<рпт \апт +а+\, где

Enm=pTthconm/a(2n + \) [34].

1.1.2. Взаимодействие электрического поля наночастицы и двухуровневого атома.

Гамильтониан двухуровневого атома (two-level system -TLS) можно записать в следующем виде [5,29, 35-44]

Hns=h(0iisV1<* > (13)

где <r = |g)(e| - оператор перехода между возбуждённым | е) и основным |g) состояниями атома. При этом предполагается, что атом обладает только дипольным моментом, равным d^ = + =/¿TLSem(cr(t) + <j*(t)^, где Mtls = {e\er\s) -

матричный элемент дипольного момента, a eTLS - единичный вектор, определяющий направление дипольного момента двухуровневого атома.

Поскольку оператор поля НЧ есть Е = -^Епт7<рпт(апт +а*т дипольный момент атома

пт

А /А *+ \ AAA

^715 = MnseJis[&0) + <r'(0)» то взаимодействие между ними - V = -ilE - в приближении вращающейся волны принимает вид гамильтониана Джейнса-Каммингса [44-59]

У = + (14)

пт

где упт - константа Рабн взаимодействия атомного диполя с пт -ой модой поля НЧ, которую предстоит определить.

Далее, для простоты, рассмотрим следующую геометрию. В данной задаче есть два вектора, её определяющих: вектор направления дипольного момента атома (будем считать его заданным структурой самого атома) и вектор, соединяющий центр НЧ и атома. Будем считать, что эти два вектора коллинеарны, т.е. диполь расположен «над» НЧ. Выбор такой геометрии обусловлен следующим обстоятельством. Если рассматривать возбуждение только дипольной моды НЧ, то именно в описанной выше геометрии атом будет возбуждать диполь НЧ таким образом, что поля диполей будет складываться в фазе. Именно такая схема наиболее благоприятна для создания излучающего спазера (^¡г^-зраБег) [19]. Если же рассматривать случай, когда дипольный момент атома перпендикулярен линии, соединяющей НЧ и атом, то поля диполей будут в противофазе, и излучение будет подавлено. Такая геометрия не подходит для создания излучающего спазера, однако может быть использована для возбуждения ближнего поля.

Выберем такую систему координат, чтобы ось г проходила через центр НЧ и атома (что означает, что угол 0 = 0). По предположению диполь атома также ориентирован вдоль оси г. Очевидно, что тогда атомный диполь будет взаимодействовать только с радиальной компонентой поля. Также атом будет взаимодействовать только с симметричными конфигурациями поля НЧ, т.е. с такими, для которых т = 0. Чтобы это показать, воспользуемся представлением сферических функций через полиномы

¡2/1 + 1 (п_я?)'

Лежандра: 7„и = I——(со80)ехр(ш?9>). Поскольку Епт г(0,<р) ~ Упт {0,ср)

(радиальная компонента поля имеет такую же угловую зависимость, как и потенциал), и

¿¡т

0 = 0, Р„°( 1) = 1, а Р„т(со50) = 5тт0—-— Р„°(соз0)=О, то взаимодействие будет

с/(соз0)

только с той модой поля, для которой т = 0. Пользуясь вышесказанным, выпишем константу взаимодействия в явном виде

w2=

2 . /„..42, W) (15)

2лсоп {п + \у(ау^2п + \} ,2 _ ~ha{2n + \) a2 UJ 4л

= ted^LçM (n + lf (2п +1)",/2 2ha

где £ = а / г.

Теперь выпишем полный гамильтониан системы НЧ + двухуровневый атом:

H = (йЯ +1 / 2) + Йй^ст + /„ (фт + ¿4 ). (16)

я л

где îu„ и задаются выражениями (5) и (15) соответственно.

При простейшем устройстве спазера двухуровневая квантовая точка (КТ) размера гш располагается на расстоянии г от металлической НЧ размером гт, в твёрдой диэлектрической или полупроводящей среде. Обычно предполагается [15, 16, 19, 35-39, 42, 60-68], что г » rKP, rTLS, и частота перехода КТ coTLS совпадает с частотой дипольного

плазмонного резонанса (о{ = a>sp. В таком случае можно рассмотреть возбуждение только основной (дипольной) моды.

Тогда из гамильтониана (16) получаем следующий гамильтониан системы взаимодействующих НЧ и КТ в дипольном приближении [5,15-17, 69, 70]

Н = Н5Р + НШ + У, (17)

где HSP = hcûgpâ^â и HTLS = hiv^â^â - гамильтонианы дипольного поверхностного плазмона и двухуровневой КТ, а оператор V = hQR(â^â + â*â) определяет взаимодействие между двухуровневой КТ и НЧ. Здесь Ол = у10 - константа Раби взаимодействия между дипольным моментом КТ и дипольной модой НЧ. Отметим, что в случае произвольной ориентации эта константа имеет вид QR = /й, где m соответствует

m

различным ориентациям дипольной моды НЧ. Стоит подчеркнуть, что для создания излучающего спазера наиболее предпочтительной является геометрия, в которой дипольный момент КТ параллелен линии, соединяющей центры КТ и НЧ.

Далее используем стандартные коммутационные соотношения =

[(Tt,(rJ=jD для операторов â(t), è{t) и оператора инверсии населенности D(t). Также

сделаем замену переменных а({) = а(() ехр(-яо/), сг(/) = <т(/)ехр(-ку/), где ¿у - частота генерации, которую будет определена ниже. Исходя из гамильтониана (17), получаем следующие уравнения движения Гейзенберга [44,47,48, 53-59, 71-74]:

(18)

£> = 2 ¡Пя(а*(т-<т'а),

6 = ¡5& + ¡0.г>аЕ>,

Л (19)

¿ = 1'Да-/ПЛ<т, (20)

где 5 = оз- , А = а> - <о5Р - «расстройки» частот.

1.1.3. Учёт диссипации и шумов, уравнения Максвелла-Блоха.

Отметим, что система (18) - (19) не описывает ни процесса накачки, ни диссипации энергии. В работах [16, 19, 75] эти процессы были учтены феноменологически, введением соответствующих членов, записанных в г - приближении. Это позволило вычислить частоту, порог и амплитуду генерации спазера [16, 19, 75]. Однако такой подход не учитывает спонтанные переходы в двухуровневой системе, а также случайные шумы, которые, согласно флуктуационно-диссипативной теореме [56, 57], присутствуют в системе наряду с диссипацией.

Для учёта спонтанных переходов двухуровневой системы и шумов вместо уравнений Максвелла-Блоха можно записать уравнения на операторы числа плазмонов а+а, заселённости верхнего уровня пе и на оператор «обмена энергией» ¡(а+& - <у+а), а

затем совершить переход к С-числам [76]. В таком подходе при выводе уравнений, как следствие коммутационных соотношений, появляются дополнительные слагаемые. При этом для получения замкнутой системы уравнений «расцепляется» коррелятор = . Полученные уравнения дают беспороговое поведение лазера. В

отличие от подхода в рамках уравнений Максвелла-Блоха число плазмонов ниже порога генерации не равно нулю. Это трактуется как учёт спонтанного излучения. Для исследования динамики спазера вблизи порога данный подход использовался в работе [42]. Однако данный подход не позволяет найти ни частоту генерации спазера, ни ширину линии его излучения.

В работе [77] было предложено использовать для описания спазера уравнения Гейзенберга-Ланжевена на операторы уничтожения плазмона НЧ а, дипольного перехода

А _

КТ а и инверсной заселённости £). Далее делался переход от операторных к С-числовым уравнениям, решение которых находились численно. Данный подход оправдан в том случае, когда накачка в КТ достаточно велика, а амплитуда дипольного момента НЧ достаточно большая, так, что квантовыми корреляциями можно пренебречь. Как и следовало ожидать, для ширины линии получена формула Шавлова-Таунса в несколько модифицированном виде. Однако вблизи и ниже порога генерации спазера флуктуации величин порядка самих величин, и приближение, сделанное в работе [77], несправедливо.

Для последовательного учета диссипации необходимо учесть то, что спазер -открытая квантовая система. Следуя [43, 44, 78], введем в рассмотрение окружение спазера, с которым взаимодействуют НЧ и КТ. Не ограничивая общности, можно считать, что это - резервуары, представляющие собой континуум мод бозонного поля, взаимодействуя с которыми НЧ и КТ релаксируют. В зависимости от доминирующего механизма релаксации [79], такими бозонами могут быть фотоны, фононы, поляритоны, поверхностные плазмоны и т.д. [80]. Отметим, что в случае излучающего спазера основные потери приходятся на излучение, и резервуар, с которым взаимодействует спазер - свободное пространство, кванты мод такого резервуара - фотоны. Гамильтонианы резервуаров, с которыми взаимодействуют НЧ и КТ, можно записать в виде

НКР_я=Н^{Ъ% + \!2), (21)

]

+1/2)

1 (22)

А А

где Ъ, Ъ*, с, с* - операторы уничтожения и рождения бозонов теплового резервуара для НЧ и КТ соответственно, а гамильтонианы взаимодействия НЧ и КТ с этими резервуарами имеют вид

г* + + + (23)

] 1

А

Гамильтониан Ук также записан в «приближении вращающейся волны», поскольку

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Андрианов, Евгений Сергеевич, 2015 год

Список цитируемой литературы

1. Bozhevolniy S.I., ed. Plasmonic. Nanoguides and Circuits. 2009, Pan Stanford Publishing : Singapore.

2. Gaponenko S.V. Introduction to Nanophotonics - Cambridge: Cambridge University Press, 2010.

3. Wang Z.M., Neogi A., eds. Nanoscale Photonics and Optoelectronics 2010, Springer : Berlin.

4. Климов B.B. Наноплазмоника\\УФН-2008- 178-305-314c.

5. Новотный JI., Хехт Б. Основы нанооптики - Москва: Физматлит, 2009 - 484с.

6. Майер С.А. Плазмоника: Теория и приложения - Москва - Ижевск: Регулярная и хаотическая динамика, 2011 - 256с.

7. Сарычев А.К, Шалаев В.М. Электродинамика метаматериалов - Москва: Научный Мир, 2011 -224с.

8. Shalaev V.M., Kawata S., eds. Nanophotonics with surface plasmons. Advances in Nano-Optics and Nano-Photonics. 2007, Elsevier : Amsterdam.

9. Rothenhausler В., Knoll W. Surface plasmon microscopy \\ Nature - 1988 - 332 - 615-617p.

10. Kneipp K., Moskovits M., Kneipp H., eds. Surface-Enhanced Raman Scattering Topics in Applied Physics. Vol. Berlin. 2006, Springer : Dordrecht.

11. Yang J., Huang M„ Yang C., Xiao Z, Peng J. Metamaterial electromagnetic concentrators with arbitrary geometries \\ Opt. Express - 2009 - 17 - 19656-19661 p.

12. Caglayan H., HongS.-H„ Edwards В., Kagan C.R., EnghetaN. Near-Infrared Metatronic Nanocircuits by Design \\ Phys. Rev. Lett. - 2013 - 111 - 073904р.

13. Silva A., Monticone F., Castaldi G., Galdi V., Alu A., Engheta N. Performing Mathematical Operations with Metamaterials \\ Science - 2014 - 343 - 160-163p.

14. Ramakrishna S.A., Pendry J.B. Removal of absorption and increase in resolution in a near-field lens via optical gain \\ Phys. Rev. В - 2003 - 67 - 201101 p.

15. Bergman D.J., Stockman M.I. Surface Plasmon Amplification by Stimulated Emission of Radiation: Quantum Generation of Coherent Surface Plasmons in Nanosystems \\ Phys. Rev. Lett.-2003-90-027402р.

16. Protsenko I.E., Uskov A.V., Zaimidoroga O.A., Samoilov V.N., O'Reilly E.P. Dipole nanolaser \\ Phys. Rev. A - 2005 - 71 - 063812р.

17. Sarychev A.K, Tartakovsky G. Magnetic plasmonic metamaterials in actively pumped host medium and plasmonic nanolaser \\ Phys. Rev. В - 2007 - 75 - l-9p.

18. Noginov M.A., Zhu G., Belgrave A.M., Bakker R., Shalaev V.M., Narimanov E.E., Stout S., Herz E., Suteewong Т., Wiesner U. Demonstration of a spaser-based nanolaser \\ Nature -2009-460- 1110-1112p.

19. Stockman M.I. The spaser as a nanoscale quantum generator and ultrafast amplifier \\ J. Opt-2010- 10-024004p.

20. Lozovik Y.E., Nechepurenko I.A., Dorofeenko A. V, Andrianov E.S., Pukhov A.A. Spaser spectroscopy with subwavelength spatial resolution \\ Physics Letters A - 2014 - 378 - 723-727p.

21. Beijnum F.v., Veldhoven PJ.v., Geluk E.J., Dood M.J.A.d, Hooft G.W.t., Exter M.P.v. Surface Plasmon Lasing Observed in Metal Hole Arrays \\ Phys. Rev. Lett. — 2013 — 110 — 206802 l-5p.

22. Dorofeenko A.V., Zyablovsky A.A., Vinogradov A.P., Andrianov E.S., Pukhov A.A., Lisyansky A.A. Steady state superradiance of a 2D-spaser array \\ Opt. Express - 2013 - 21 -14539-14547p.

23. MengX., Liu J., Kildishev A. V, Shalaev V.M. Highly directional spaser array for the red wavelength region \\ Laser & Photonics Reviews - 2014 - l-8p.

24. Davis L.C. Electostatic edge modes of a dielectric wedge \\ Phys. Rev. В - 1976 - 14 -5523р.

25. Eguiluz A., Maradudin A.A. Electrostatic edge modes along a parabolic wedge \\ Phys. Rev. В — 1976 — 14 — 5526р.

26. Novikov I. V., Maradudin A.A. Channel polaritons \\ Phys. Rev. В - 2002 - 66 - 035403р.

27. Pusch A., Wuestner S., Hamm J.M., Tsakmakidis K.L., Hess O. Coherent Amplification and Noise in Gain-Enhanced Nanoplasmonic Metamaterials: A Maxwell-Bloch Langevin Approach \\ ACS Nano - 2012 - 6 - 2420-2431 p.

28. Purcell E.M., Torrey H.C., Pound R.V. Resonance Absorption by Nuclear Magnetic Moments in a Solid \\ Phys. Rev. - 1946 - 69 - 37-38p.

29. Ораевский A.H. Спонтанное излучение атома в резонаторе \\ УФН - 1994 — 164 — 415-427с.

30. Gu У., Huang L., Martin O.J.F., Gong Q. Resonance fluorescence of single molecules assisted by a plasmonic structure \\ Physical Review B -2010-81-193103p.

31. Vladimirova Y.V., Klimov V.V., Pastukhov V.M., Zadkovl V.N. Modification of two-level-atom resonance fluorescence near a plasmonic nanostructure \\ Phys. Rev. A - 2012 - 85 -053408 l-9p.

32. Климов B.B. Наноплазмоника- Москва: Физматлит, 2010 —480с.

33. Waks E., Sridharan D. Cavity QED treatment of interactions between a metal nanoparticle and a dipole emitter \\ Phys. Rev. A - 2010 - 82 - 043845 l-14p.

34. Andrianov E.S., Pukhov A.A., Vinogradov A.P., Dorofeenko A.V., Lisyansky A.A. Spontaneous radiation of a two-level atom into multipole modes of aplasmonic nanoparticle \\ Photonics and Nanostructures — Fundamentals and Applications - 2014 — in press.

35. Андрианов E.C., Пухов A.A., Виноградов А.П., Дорофеенко A.B., Лисянский A.A. Изменение спектра резонансной флуоресценции двухуровневого атома в ближнем поле плазмонной наночастицы \\ Письма в ЖЭТФ -2013 - 97 - 522-528с.

36. Андрианов Е.С., Пухов A.A., Дорофеенко A.B., Виноградов А.П., Лисянский A.A. Динамика переходного режима работы спазера \\ Радиотехника и электроника - 2011 - 56 - 1501-1510с.

37. Андрианов Е.С., Пухов A.A., Дорофеенко A.B., Виноградов А.П., Лисянский A.A. Работа спазера во внешнем оптическом поле \\ Радиотехника и электроника - 2012 - 57 — 114-124с.

38. Андрианов ЕС., Пухов A.A., Дорофеенко A.B., Виноградов А.П., Лисянский A.A. Волны переключения и диссипативные структуры в цепочке спазеров \\ Квант, электроника - 2012 - 42 - 834-838с.

39. Андрианов Е.С., Пухов A.A., Дорофеенко A.B., Виноградов А.П., Лисянский A.A. Спектр поверхностных плазмонов, возбуждаемых спонтанными переходами квантовой точки \\ ЖЭТФ - 2013 - 144 - 112-121с.

40. Быков В.П. Лазерная электродинамика. Элементарные и когерентные процессы при взаимодействии лазерного излучения с веществом - Москва: Физматлит, 2006 - 384с.

41. Пантел Р., Путхов Г. Основы квантовой электроники — Москва: Мир, 1972 р.

42. Проценко И.Е. Теория дипольного нанолазера\\УФН-2012- 182- 1116-1122с.

43. Скалли М. О., Зубайри М. С. Квантовая оптика - Москва: Физматлит, 2003 - 630с.

44. Хакен Г. Лазерная светодинамика - Москва: Мир, 1988 — 350с.

45. Carmichael Н. An Open Systems Approach to Quantum Optics - Berlin: SpringerVerlag, 1991 - 179p.

46. Cohen-Tannoudji C., Dupont-Roc J., Grynberg G. Atom-Photon Interactions — Weinheim: Wiley-VCH Verlag GmbH & Co.KGaA, 2004.

47. Garrison J.C., Chiao R.Y. Quantum Optics - Oxford: Oxford University Press, 2008 -716p.

48. Gerry C.C., Knight P.L. Introductory Quantum Optics - Cambridge: Cambridge University Press, 2005 - 317p.

49. Haken H. Laser theory - Berlin: Springer, 1984 - 320p.

50. Haken H. Light Vol. 1: Waves, photons, atoms - Amsterdam: North-Holland, 1985 -353p.

51. Haken H. Light Vol. 2: Laser light dynamics - Amsterdam: North-Holland, 1985 - 336p.

52. Loudon R. The quantum theory of light - Oxford: Oxford University Press, 2000 - 438p.

53. Vogel W, Welsch D. G. Quantum Optics - Weinberg: Wiley-VCH, 2006 - 508p.

54. Walls D.F., Milburn G.J. Quantum Optics - Berlin: Springer, 2008 - 425p.

55. Yamamoto Y., Imamoglu A. Mesoscopic quantum optics - New York: John Wiley & Sons, 1999-301 p.

56. Мапдель JJ., Вольф Э. Оптическая когерентность и квантовая оптика - Москва: Физматлит, 2000 - 895с.

57. Скалли М. О., Зубайри М. С. Квантовая оптика - Москва: Физматлит, 2003 - 510с.

58. Хапип Я.И. Основы динамики лазеров - Москва: Наука, 1999 - 368с.

59. Шляйх В.П. Квантовая оптика в фазовом пространстве - Москва: Физматлит, 2005 - 756с.

60. Protsenko I.E. Theory of the dipole nanolaser \\ Phys. Usp. - 2012 - 55 - 1040-1046p.

61. Protsenko I.E., O'Reilly E.P. Dipole lasing phase transitions in media with singularities in polarizabilities \\ Phys. Rev. A - 2006 - 74 - 033815p.

62. Protsenko I.E., Uskov A.V., Krotova K.E., O'Reilly E.P. Dipole nano-laser \\ J. Phys.: Conf. Ser. - 2008 - 107 - 01201 Op.

63. Stockman M.I. Spasers explained \\ Nature Photonics - 2008 - 2 - 327-329p.

64. Stockman M.I. Ultrafast nanoplasmonics under coherent control \\ New J. Phys. - 2008 — 10-025031р.

65. Stockman M.I. Spaser Action, Loss Compensation, and Stability in Plasmonic Systems with Gain \\ Phys. Rev. Lett. - 2011 - 106 - 156802р.

66. Stockman M.I. Loss Compensation by Gain and Spasing \\ Phil. Trans. R. Soc. A - 2011 -369-3510-3524p.

67. Stockman M.I. Stockman Replies \\ Phys. Rev. Lett. - 2011 - 107.

68. Stockman M.I. Nanoplasmonics: past, present, and glimpse into future \\ Opt. Express -2011-19-22029-22106p.

69. Виноградов А.П., Андрианов E.C., Пухов A.A., Дорофеенко А.В., Лисяиский А.А. Квантовая плазмоника метаматериалов: перспективы компенсации потерь при помощи спазеров \\ УФН - 2012 - 182 - 1122-1130с.

70. Лагарьков А.Н., Сарычев А.К., Кисель В.Н., Тартаковский Г. Сверхразрешение и усиление в метаматериалах \\ УФН - 2009 - 179 - 1018-1027с.

71. Carmichael H.J. An open systems approach to quantum optics - Berlin: Springer, 1993 -179p.

72. Cohen-Tannoudji C., Dupont-Roc J., Grynberg G. Atom-photon interactions Basic processes and applications - New York: John Wiley & Sons, 1992 - 656p.

73. Erneux Т., Glorieux P. Laser dynamics - Cambridge: Cambridge University Press, 2010 -361p.

74. Siegman A.E. Lasers - California: University Sci. Books, Mill Valley, 1986 - 1283p.

75. Andrianov E.S., Pukhov A.A., Dorofeenko A.V., Vinogradov A.P., Lisyansky A.A. Rabi oscillations in spasers during non-radiative plasmon excitation \\ Phys. Rev. В - 2012 - 85 — 1-9p.

76. Siegman A.E. Lasers - California: University Science Books, Mill Valley, 1986 p.

77. Чиркин А.С., Шипулин А.В. Обобщённая формула для естественной ширины спектра излучения квантовых генераторов \\ Письма в ЖЭТФ - 2011 — 93 - 129-133с.

78. Rosenthal A.S., Ghannam Т. Dipole nanolasers: A study of their quantum properties \\ ■ Phys. Rev. A - 2009 - 79 - 043824р.

79. Фёдоров A.B., Рухлепко И.Д., Баранов А.В., Кручинин С.Ю. Оптические свойства полупроводниковых квантовых точек - Санкт-Петербург: Наука, 2011 - 188с.

80. Зуев B.C. Поверхностные поляритоны и плазмоны: спонтанное излучение атома вблизи тела малого размера \\ Российская Академия Наук, Физический институт имени П. Н. Лебедева, Препринт №3 - 2006.

81. Звелто О. Принципы лазеров - Санкт-Петербург: Лань, 2008 - 719с.

82. Khurgin J.В., Sun G. Injection pumped single mode surface plasmon generators: threshold, linewidth, and coherence \\ Opt. Express - 2012 - 20 - 15309-15325p.

83. Khurgin J.B., Sun G. Practicality of compensating the loss in the plasmonic waveguides using semiconductor gain mediumW App. Phys. Lett. —2012- 100- l-3p.

84. Li D., Stockman M.I. Electric Spaser in the Extreme Quantum Limit \\ Phys. Rev. Lett. -2013- 110- 106803р.

85. Oulton R.F., Sorger V.J., ZentgrafT., Ma R.-M., Gladden C., Dai L„ Bartal G., ZhangX. Plasmon lasers at deep subwavelength scale, \\ Nature — 2009 — 461 — 629-632p.

86. Lu Y.-J., Kim J., Chen H.-Y., Wu C.t Dabidian N., Sanders C.E., Wang C.-Y., Lu M.-Y., Li B.-H., QiuX, Chang W.-H., Chen L.-J., Shvets G., Shih C.-K, Guo S. Plasmonic Nanolaser Using Epitaxially Grown Silver Film \\ Science - 2012 - 337 - 450-453p.

87. Fedyanin D.Y. Toward an electrically pumped spaser \\ Opt. Lett. - 2012 - 37 - 404-406p.

88. Fedyanin D.Y., Arsenin A.V. Surface plasmon polariton amplification in metal-semiconductor structures \\ Opt. Express — 2011 - 19 - 12524-12531 p.

89. Fedyanin D.Y., Krasavin A.V., Arsenin A.V., Zayats A.V. Surface Plasmon Polariton Amplification upon Electrical Injection in Highly Integrated Plasmonic Circuits \\ Nano Lett. -2012 - 12 - 2459-2463p.

90. Suh J.Y., Kim C.H., Zhou IV., Huntington M.D., Co D.T., Wasielewski M.R., Odom T.W. Plasmonic Bovvtie Nano laser Arrays \\ Nano Lett. — 2012 - 12 - 5769-5774p.

91. Zhou W., Dridi M., Suh J.Y., Kim C.H., Co D.T., Wasielewski M.R., Schatz G.C., Odom T.W. Lasing action in strongly coupled plasmonic nanocavity arrays \\ Nat Nano - 2013 - 8 -506-51lp.

92. Cai W., Shalaev V. Optical Metamaterials: Fundamentals and Applications - Dordrecht: Springer, 2010-200p.

93. Marques R., Martin F., Sorolla M. Metamaterials with negative parameters: theory, design and microwave applications - New Jersey: Wiley, 2008 - 315p.

94. Premaratne M., Agrawal G.P. Light propagation in gain medium - New York: Cambridge University Press, 2011.

95. Pendry J.B. Negative Refraction Makes a Perfect Lens \\ Phys. Rev. Lett. - 2000 - 85 -3966-3969p.

96. Belov P.A., Hao Y. Subwavelength imaging at optical frequencies using a transmission device formed by a periodic layered metal-dielectric structure operating in the canalization regime \\ Phys. Rev. В - 2006 - 73 - 11311 Op.

97. Belov P.A., Simovski C.R., Ikonen P. Canalization of subwavelength images by electromagnetic crystals \\ Phys. Rev. В - 2005 - 71 - 193105р.

98. Belov P.A., Zhao Y., Tse S., Ikonen P., Silveirinha M.G., Simovski C.R., Tretyakov S., Hao Y, Parini C. Transmission of images with subwavelength resolution to distances of several wavelengths in the microwave range \\ Phys. Rev. В - 2008 - 77 - 193108р.

99. Liu Z., Lee Я, Xiong Y., Sun C., Zhang X. Far-Field Optical Hyperlens Magnifying Sub-Diffraction-Limited Objects \\ Science - 2007 - 315 - 1686p.

100. Leonhardt U. \\ IEEE J. Sei. Top. Quantum Electron. - 2003 - 9 - 102p.

101. Veselago V.G. The Electrodynamics of Substances with Simultaneously Negative Values of e and ц \\ Sov. Phys. Usp. - 1968 - 10 - 509-514p.

102. Колоколов A.A., Скроцкий F.B. Интерференция реактивных компонент электромагнитного поля \\ УФН — 1992 - 12 — 165-174с.

103. PikovskyA., Rosenblum М., Kurths J. Synchronization. A universal concept in nonlinear sciences - Cambridge: Cambridge University Press, 2001.

104. Кузнецов А.П., Кузнецов С.П., Рыскин Н.М. Нелинейные Колебания - Москва: Физматлит, 2002.

105. Andrianov E.S., Pukhov A.A., Dorofeenko A.V., Vinogradov A.P., Lisyansky A.A. Forced Synchronization of Spaser by an External Optical Wave \\ Opt. Express — 2011 - 19 — 24849-24857p.

106. Li K, Li X., Stockman M.I., Bergman D.J. Surface plasmon amplification by stimulated emission in nanolenses \\ Phys. Rev. В - 2005 - 71 - 115409р.

107. Andrianov E.S., Pukhov A.A., Dorofeenko A. V., Vinogradov A.P., Lisyansky A.A. Dipole Response of Spaser on an External Optical Wave \\ Opt. Lett. - 2011 - 36 - 4302-4304p.

108. Wuestner S., Pusch A., Tsakmakidis K.L., Hamm J.M., Hess O. Overcoming Losses with Gain in a Negative Refractive Index Metamaterial \\ Phys. Rev. Lett. -2010- 105 - 127401p.

109. Wegener M., Garcia-Pomar J.L., Soukoulis C.M., Meinzer N.. Ruther M., Linden S. Toy model for plasmonic metamaterial resonances coupled to two-level system gain \\ Opt. Express -2008 - 16— 19785-19798p.

110. Ландау Л.Д., Лифшиц E.M. Электродинамика сплошных сред - Москва: Физматлит, 2003

111. Luk'yanchuk В., Zheludev N.I., Maier S.A., Halas N.J., Nordlander P., Giessen H., Chong C.T. The Fano resonance in plasmonic nano structures and metamaterials \\ Nature materials -2010-9- 707-715p.

112. Fano U. Some theoretical considerations on anomalous diffraction gratings \\ Phys. Rev.

- 1936-50.

113. Pendry J.B., Maier S.A. Comment on "Spaser Action, Loss Compensation, and Stability in Plasmonic Systems with Gain" \\ Phys. Rev. Lett. -2011 - 107.

114. Andrianov E.S., Baranov D.G., Pukhov A.A., Dorofeenko A.V., Vinogradov A.P., Lisyansky A.A. Loss compensation by spasers in plasmonic systems \\ Opt. Express - 2013 - 21

- 13467-13478p.

115. Tamm I.E. Fundamentals of the theory of electricity - Moscow: Mir Publishers, 1979 -684p.

116. Gramotnev D.K., Bozhevolnyi S.I. Plasmonics beyond the diffraction limit \\ Nat. Photon. -2010-4 —83-91p.

117. Hill M.T., Marell M., Leong E.S.P., Smalbrugge В., Zhu Y, Sun M., van Veldhoven P.J., Geluk E.J., Karouta F., Oei Y.-S., Nötzel R., Ning C.-Z., Smit M.K. Lasing in metal-insulator-metal sub-wavelength plasmonic waveguides \\ Opt. Express - 2009 - 17 — 11107-11112p.

118. Lisyansky A,A., Nechepurenko I.A., Dorofeenko A.V., Vinogradov A.P., Pukhov A.A. Channel spaser: Coherent excitation of one-dimensional plasmons from quantum dots located along a linear channel \\ Phys. Rev. В - 2011 - 84 - 153409р.

119. Martin-Cano D., Martin-Moreno L., Garcia-Vidal F.J., Moreno E. Resonance energy transfer and superradiance mediated by plasmonic nanowaveguides \\ Nano Lett. - 2010 - 10 — 3129-3134p.

120. Noginov M.A., Podolskiy V.A., Zhu G., Mayy M., Bahoura M, Adegoke J.A., Ritzo B.A., Reynolds K. Compensation of loss in propagating surface plasmon polariton by gain in adjacent dielectric mediumW Opt. Express - 2008 - 16 - 1385-1392p.

121. Розанов H.H. Оптическая бистабильность и гистерезис в расперделенных нелинйных системах -Москва: Наука, 1997-333с.

122. Скотт Э. Нелинейная наука: рождение и развитие когерентных структур — Москва: Физматлит, 2007 — 560с.

123. Andrianov E.S., Pukhov А.А., Dorofeenko A.V., Vinogradov A.P., Lisyansky A.A. Stationary behavior of a chain of interacting spasersW Phys. Rev. В-2012-85- 165419 l-9p.

124. Maier S.A. Plasmonics: Fundamentals and Applications - New York: Springer, 2007 -223p.

125. Quinten M., Leitner A., Krenn J.R., Aussenegg F.R. Electromagnetic energy transport via linear chains of silver nanoparticles \\ Opt. Lett. - 1998-23 - 133 l-1333p.

126. Yaghjian A.D. Scattering-Matrix Analysis of Linear Periodic Arrays \\ IEEE Transactions on Antennas and Propagation - 2002 - 50 - 1050-1064p.

127. Хакен Г. Синергетика - Москва: Мир, 1980 - 404с.

128. Романовский Ю.М., Степанова Н.В., ЧернавскийД.С. Математическая биофизика — Москва: Наука, 1984-303с.

129. Васильев В.А., Романовский Ю.М., Яхно B.F. Автоволновые процессы - Москва: Наука, 1987.

130. Klimov V. V. Nanoplasmonics \\ Phys. Usp. - 2008 - 51 - 839-844р.

131. Bayer М., Forchel A. Temperature dependence of the exciton homogeneous linewidth in In0.60Ga0.40As/GaAs self-assembled quantum dots \\ Phys. Rev. В - 2002 - 65 - 041308р.

132. Наг bold J.M., Du H., Krauss T.D., Cho K.-S., Murray C.B., Wise F.W Time-resolved intraband relaxation of strongly confined electrons and holes in colloidal PbSe nanocrystals \\ Phys. Rev. В - 2005 - 72 - 195312 p.

133. Sosnowski T.S., Norris T.B., Jiang H., Singh J., Kamath K., Bhattacharya P. Rapid carrier relaxation in In0.4Ga0.6As/GaAs quantum dots characterized by differential transmission spectroscopy \\ Phys. Rev. В - 1998 - 57 - R9423p.

134. Stietz F., Bosbach J., Wenzel Т., Vartanyan Т., Goldmann A., Träger F. Decay Times of Surface Plasmon Excitation in Metal Nanoparticles by Persistent Spectral Hole Burning \\ Phys. Rev. Lett. - 2000 - 84 - 5644p.

135. Yamamoto Y., Imamoglu A. Mesoscopic Quantum Optics - New York John Wiley & Sons, inc., 1999-301p.

136. Гардинер K.B. Стохастические методы в естественных науках - Москва: Мир, 1986 - 526с.

137. Sanchez-Munoz С., Gonzalez-Tudela A., Tejedor С. Plasmon-polariton emission from а coherently p-excited quantum dot near a metal interface \\ Phys. Rev. В - 2012 - 85 - 125301 1-6p.

138. Mollow B.R. Power Syectrum of Light Scattered by Two-Level Systems \\ Phys. Rev. -1969- 198- 1969-1975p.

139. Fang A., Koschny Т., Soukoulis C.M. Lasing in metamaterial nanostructures \\ J. Opt. -2010- 12-024013р.

140. Fang A., Koschny Т., Wegener M., Soukoulis C.M. Self-consistent calculation of metamaterials with gain \\ Phys. Rev. В - 2009 - 79 - 241104(R)p.