Полугрупповая координатизация решеток тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.06, кандидат физико-математических наук Запатрин, Роман Романович

• Запатрин, Роман Романович
• кандидат физико-математических наук
• 1999

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Полугрупповая координатизация решеток»

Восходящая к античной математике проблема координатизации была в явном виде сформулирована Г.Биркгофом для геометрических решеток как проблема представления их "замкнутыми" подмножествами некоторой алгебраической системы, например, подпространствами или "плоскикми подмножествами" векторного или аффинного пространства [1]. Для булевых алгебр исчерпывающее решение этой проблемы было найдено М.Стоуном, установившим взаимно однозначное соответствие между булевыми алгебрами и вполне несвязными компактными Тг-пространствами [2].

Помимо своего чисто алгебраического контекста, проблема координатизации возникает еще и в логике и в теоретической физике. В рамках логики булевы алгебры являются стандартными моделями для классических исчислений высказываний. Вопросы, возникающие в теории неклассических логик, потребовали развития алгебраических методов анализа их моделей. В 1936 году появилась статья Г.Биркгофа и Дж. Фон Неймана "О логике квантовой механики" [3], в которой был проведен анализ наблюдаемых свойств квантовомеханических систем. Они указали, что простейшая проверка дистрибутивности для алгебры свойств основывается на перестановочности и повторяемости физических наблюдений, что, в свою очередь, противоречит квантовой механике, математическая структура которой описывает свойства квантовых систем как замкнутые подпространства гильбертова пространства. Отправляясь от эвристических соображений об аналогии с решеткой всех замкнутых подпространств, они предположили "ослабленную булевость" решетки свойств физической системы. Это свойство было названо ортомодулярностью (см. ниже Определение 7).

Проблема координатизации ортомодулярных решеток была решена Д.Фулисом [4,5]. Он установил взаимно однозначное соответствие между ортомодулярными решетками и решетками замкнутых проекторов бэро-вских полугрупп (бэровская полугруппа — это мультипликативная полугруппа кольца с единицей, каждый левый аннулятор которого порожден идемпотентом, такие кольца также называются бэровскими [6,7]).

Недавние исследования в области квантовой гравитации привели к рассмотрению более общих решеток свойств, которые могут не обладать и свойством ортомодулярности [8,9,10]. Проблеме координатизации некоторых классов решеток и посвящена настоящая диссертация. Изложение структурировано следующим образом.

В Главе 1 вводятся основные определения и понятия.

В Главе 2, применяя методы, разработанные Фулисом в [4], коорди-натизируются атомарно порожденные полные орторешетки: для любой такой решетки L строится полугруппа S(L) такая, что L изоморфно решетке левых аннуляторов полугруппы S(L). Согласно Фулису [4], полугруппа S(L) была построена из эндоморфизмов решетки L, что делало такую конструкцию неэффективной.

В Главе 3 построено представление полугруппы S(L) открыто-замкнутыми бинарными отношениями на множестве атомов решетки L. При таком представлении композиция двух эндоморфизмов из S(L) переходит в замыкание обычного произведения отношений на множестве атомов решетки L, а частичный порядок на S(L) переходит в теоретико-множественное включение отношений.

В Главе 4 координатизируется более общий класс решеток — так называемые САС (complete atomistic coatomistic) решетки, т.е. полные решетки L такие, что каждый их элемент может быть представлен как сумма атомов, равно как и пересечение коатомов решетки Ь. В частности, все решетки, рассматриваемые в [8], попадают в класс САС. Используемые при этом вполне 0-простые рисовские полугруппы позволяют кооординатизировать и произвольные конечные решетки.

Результаты, представленные в Главах 2,3, опубликованны в [11], а результаты Главы 4 — в [12,13].

1 Основные понятия и определения

Для замкнутости изложения в этом разделе сведены основные понятия и определения, используемые в диссертации.

1.1 Частично упорядоченные множества и решетки.

Объектом исследования в настоящей работе являются различные классы решеток, для которых сформулированы теоремы представления. Одной из основных особенностей решеток является двоякое их толкование: их можно рассматривать с одной стороны, как множества с отношением ("релятив") либо как множество с заданными на нем операциями ("операционал"). Техническое содержание работы базируется на сочетании этих двух подходов.

Определение 1 Упорядоченным множеством называется множество, на котором определено бинарное отношение х < у, удовлетворяющее для всех х,у,г следующим условиям:

Р1 х < х (рефлексивность);

Р2 если х < у и у < х, то х = у (антисимметричность);

РЗ если х < у и у < г то х < г (транзитивность).

Если х х, и тогда оно читается как" у содержит ж" ( или "у включает ж"). Аналогично х < у записывают и как^> х. Введенные обозначения и терминология являются стандартными.

Приведем два типичные ситуации возникновения частично упорядоченных множеств.

Семейства подмножеств. ст{У) — некоторое семейство подмножеств некоторого множества V, включая само V и пустое подмножество 0, а х < у означает, что х является подмножеством в у.

Семейства отображений. Е состоит из функций /(ж), определенных на некотором множестве М с областью значений в произвольном частично упорядоченном множестве , и / < д означает, что

Ух£МЦх)

В частности, в дальнейшем будут рассмотрены эндоморфизмы частично упорядоченных множеств, которые сами частично упорядочены в соответствии с (1).

Определение 2 Наименьшим элементом подмножества X упорядоченного множества Р называется элемент а £ X такой, что а < х для всех х € X. Наибольшим элементом подмножества X называется элемент Ъ £ X такой, что Ь > х для всех х £ X.

Введенные понятия не следует смешивать с понятиями минимального и максимального элементов. Минимальный элемент подмножества X упорядоченного множества Р - это такой элемент а, что неравенство а > х невозможно ни для какого х £ X] максимальные элементы определяются двойственно. Понятно, что наименьший элемент обязательно будет минимальным, а наибольший элемент максимальным, но обратные утверждения уже не верны.

Верхней гранью подмножества X в упорядоченном множестве Р называется элемент а £ Р, содержащий все х £ X. Точная верхняя грань подмножества X - это такая его верхняя грань, которая содержится в любой другой его верхней грани; она обозначается символом sup X. Согласно (Р2), если точная верхняя грань sup X существует, то она единственна. Понятия нижней грани подмножества X и точной нижней грани (которая обозначается символом inf X) определяются двойственно. Также согласно Р, если точная нижняя грань inf X существует, то она единственна.

Определение 3 Решеткой называется упорядоченное множество L, в котором любые два элемента имеют точную нижнюю грань, или "пересечение", обозначаемое х Л у, и точную верхнюю грань, или "объединениеобозначаемое х У у. Решетка L называется полной, если любое ее подмножество X имеет в L точные верхнюю и нижнюю грани.

Полагая X = L, мы видим, что любая непустая полная решетка содержит наименьший элемент О и наибольший элемент I.

Бинарные операции Л и V в решетках имеют важные алгебраические свойства, некоторые из которых аналогичны свойствам обычных умножения и сложения (■ и +).

Под дополнением элемента х в решетке с О и I понимают элемент у G L такой, что х /\у = О ж хЧ у = 1. Решетка L называется решеткой с дополнениями, если все ее элементы имеют дополнения.

Определение 4 Орторешеткой называется решетка с универсальными гранями и унарной операцией а —У а1 такой, что

• а Л а1 = О, а V а1 = I для всех а;

• {а1)1 = а; аЛЪ)-1 = а1 УЪ1-* (а V Ъ)х = Л Ъ1 '

Очевидно, любая орторешетка обладает дополнениями. Элемент а решетки Ь называется У-неразложимым, если его нельзя представить как точную верхнюю грань множества элементов Ь, не содержащего а. Двойственным образом вводится понятие А-неразложимого элемента.

Определение 5 Атомом решетки Ь с универсальными гранями называется ее минимальный отличный от 0 элемент. Двойственно, коатом — это максимальный отличный от I элемент Ь.

Определение 6 Решетка Ь называется атомарной, если для любого ее элемента а ф 0 существует атом V решетки Ь такой, что V < а, и атомарно порожденной, если любой ее элемент а ф 0 представим как точная верхняя грань атомов, содержащихся в а.

Двойственным образом вводятся понятия коатомарной и коато-марно порожденной решетки.

Следующий пример показывает, что понятия атомарности и атомарной порожденности не тождественны:

Здесь V = {1, 2} — множество атомов, Л = {3,4} — множество коатомов. Решетка Об является атомарной и коатомарной, но не является ни атомарно порожденной, ни коатомарно порожденной. Примером неатомарной (но полной) решетки может служить отрезок [0,1] вещественной оси с обычным отношением порядка. Введем еще одно важное в дальнейшем понятие.

Определение 7 Орторешетка Ь называется ортомодулярной решеткой, если в ней выполняется ортомодулярный закон — квазитождество х < у => х V (хх А у) = у

Например, всякая модулярная орторешетка будет ортомодулярной решеткой. Полную ортомодулярную решетку образуют замкнутые подпространства гильбертова пространства Н. Эта решетка модулярна тогда и только тогда, когда Н конечномерно.

1.2 Полярности и замыкания.

Опишем теперь важную конструкцию, которая позволяет из произвольного бинарного отношения на множестве получить операцию замыкания.

Пусть р — некоторое бинарное отношение между элементами двух множеств I ж J. Для любых подмножеств X С /, У С ,/ определим Хк С ,/ — правую поляру множества X следующим образом:

Хк = {у е 3 ] Ух € X хру}

Аналогичным образом определяется и левая поляра ЬУ любого подмножества У С «/: ьу = {ж е 11 уу е г хру}

Упорядоченную тройку V = (/./, р) будем называть полярностью. Множество всех подмножеств /, инвариантных относительно операции X (Xя), всегда образует полную решетку, которая называется решеткой левых поляр. Обозначим ее Гх,:

Г^ = ТЬ(Г) = {ХС1\Х=Ь (Xй)} (2)

Аналогичным образом определяется и левая решетка^поляр Гд:

Гл = Г = {ХС1\Х = (ЬХ)Я}

Построенные решетки Гь и Гд антиизоморфны [1]. При этом любой элемент У £ Гд есть пересечение у = ГНМЙI * & У} (3)

Рассмотрим один частный случай, который будет активно использован в дальнейшем изложении. Пусть множества I, J совпадают: / = ./, а отношение р симметрично. В этом случае, во-первых, понятие левой и правой поляр совпадут: ЯХ = Хь, и в полной решетке замкнутых множеств соответствие X И- Xя будет инволюцией, то есть для любых замкнутых множеств X, У

Хя)я = X хку\я = ХяУУя

ХУУ)Я = Xя А Уя

Если при этом отношение р будет антирефлексивным (то есть хрх не имеет места ни для какого х) или если рх влечет хру для всех у, то

ХЛХЯ = 0 ХМ Xя = I

1.3 Теорема Макларена о представлении полных решеток замкнутыми множествами

Как было упомянуто выше, решетка Ь называется атомарно порожденной, если любой ее элемент есть сумма атомов, и орторешеткой, если на ней задана унарная операция ортодополнения. На элементах ор-торешетки вводится отношение ортогональности элементов: а 1 Ь & а < У (4) являющееся

• симметричным а ] Ь Ъ 1 а

• антирефлексивным У а а / а

Обозначим через V множество атомов орторешетки Ь. Поскольку V является подмножеством Ь, сузим отношение ортогональности Л (4) с Ь на V С Ь. Для множества V заданным на нем симметричным антирефлексивным отношением построим решетку левых поляр которая является орторешеткой в силу изложенного в разделе 1.2.

Имеет место следующая теорема представления, доказанная Макла-реном [14]:

Теорема Макларена. Орторешетки (Гь(У),-1-) и (Ь,') изоморфны.

Доказательство.См. [14]. Явный вид изоморфизма следующий. Строятся два отображения ^ : Ь Г^К) и О : Гь{У) —> Ь:

-Р(а) = {V £ < а} ; ^(0) = 0

3(А) = Уь{г;|«бА} ; (7(0) = 0 для всех а € Ь, А £ Г£,(У).

1.4 Бэровские полугруппы.

Полугруппой называется непустое множество 5", на котором задана бинарная операция о, удовлетворяющая закону ассоциативности ж о (у о г) = (ж о у) о г

Полугруппа Б инволютивна, если на ней задана операция * : Б —^ ,5' такая, что ж** = ж (ж о у)* = ж* о у*

Непустое подмножество М полугруппы Б называется правым идеалом Б тогда и только тогда, когда ж £ М =Ф- (У у £ Б) х у £ М, левым идеалом, если ж £ М =>■ (\/у £ б') уж £ М, и (двусторонним) идеалом, если оно является одновременно левым и правым идеалом. Для всякого ж £ 5* и всякого М С- Б обозначим: жМ = {ху ; у £ М} Мж = {уж ; у £ М}

Для каждого ж £ Б назовем множество хБ главным правым идеалом, порожденным элементом ж. Аналогичным образом определяется главный левый идеал. Обозначим через РН(б'), Рп(5) множества всех левых и, соответственно, правых идеалов полугруппы Б. Заметим, что оба они частично упорядочены по теоретико-множественному включению.

Зафиксируем какой-либо идеал К полугруппы ¿Г. Если М С то определим левый Л'-аннулятор подмножества М следующим образом:

ЬК(М) = {у е Б \\/те М ут е К} и, соответственно, правый /^-аннулятор:

В.К(М) = {у е 5 | Ут € М ту <Е К}

В случае, если М = {ж} будем записывать 1/ц(х) вместо Ьк({х}), и, соответственно, Дк(ж) вместо Д^({ж}). Очевидно, любой левый К-аннулятор есть левый идеал Б, а любой правый А'-аннулятор будет правым идеалом.

Важно отметить, что п. "лютт единственность соответствующих идемпотентов не постулируется в этом определении. Мы не будем требовать е = /, шя будем допускать возможность существования д, /г таких, что при е / /г соответствующие идеалы будут равны: еБ = Sf = Следующее свойство идемпотентов е, / будет использовано в дальнейшем: у е еЗ У = еу У^Б} у = у/

1.5 Фокус, фокальные идеалы и эндоморфизмы.

Предположим теперь, что < в, К > - бэровская полугруппа, и пусть х Е К. Тогда существуют идемпотенты е, / такие, что Кк{х) = еБ и Рк{х) = Из того факта, что К есть идеал, немедленно следует, что 3 = ев = 5"/. Таким образом, е есть левая, а / есть правая единица 3. Отсюда немедленно следует, что е = f есть (двусторонняя) единица полугруппы Б, будем обозначать ее в дальнейшем через 1. Заметим при этом, что

1х е К & х1 е к о- х е к

Тогда, если Кк{ 1) — дБ и Ьк(1) = Бк, то К — дБ = Бк. Но тогда д = к будет единицей в К. Обозначая ее через к, имеем к = к2 К = кБ = Бк

Тогда для любого х £ Б мы имеем хк 6 К =>■ хк = кхк кх £ К =Ф- кх = кхк и поэтому для любого х £ Б всегда кх = хк. Итак, было показано, что К есть главный идеал, порожденный центральным (т.е., коммутирующим с любым элементом £) идемпотентом. В силу вышеизложенного, мы всегда будем рассматривать бэровские полугруппы как пары < Б, к >, где к будет некоторым центральным идемпотентом Б, обладающим следующим свойством: для любого х £ Б существуют идемпотенты е, / такие, что Як(х) = еБ и Ьк(х) = Б/, где использованы следующие сокращенные обозначения: Як(х) = Якз(х) и Ьи(х) = Ьзк{%)идеал кБ С. Б - фокальным, если для любого х £ Б существуют идемпотенты е, / такие, что ад = ¿7 1;

Общее понятие гомоморфизма имеет для решеток четыре различные (хотя и связанные) интерпретации и каждая из них находит важные приложения.

Определение 8 Определение. Отображение 0 : Ь —» М решетки Ь в решетку М называется изотопным, если из х < у следует, что 0(ж) < 0(у); и У-гомоморфизмом, если

9(ж V у) = 0(ж) V 0(у) для всех ж, у £ Ь (6)

А -гомоморфизмом, если выполняется двойственное равенство

0(ж Л у) = 0(ж) Л 0(у) для всехх,у € Ь (7) гомоморфизмом (или "решеточным гомоморфизмом"), если выполняются оба равенства (6-7).

Как всегда, гомоморфизм 0 называется

1. изоморфизмом, если он является взаимо однозначным соответствием

2. наложением, или эпиморфизмом, когда оно отображает Ь на М;

3. вложением, или мономорфизмом, в случае взаимной однозначности I и 0(£)

4. эндоморфизмом, если Ь = М

Конечно, понятия V- и Л-гомоморфизма имеет смысл рассматривать в более общем смысле для \/-полурешеток и А-полурешеток соответственно, а изотонные отображения — вообще для всех упорядоченных множеств. Следующие два утверждения очевидны.

• Любой \/-гомоморфизм для \^-полурешеток является изотонным, как и любой Д-гомоморфизм для Д-полурешеток.

• Любое изотонное взаимо однозначное соотвнтствие, обращение которого изотонно, является решеточным изоморфизмом.

Таким образом, для взаимо однозначных соответствий нет необходимости делать вышеуказанные различия.

Каждое (из вышеприведенных) семейство гомоморфизмов образует полугруппу относительно композиции соответствующих отображений. В настоящей работе будут исследованы эндоморфизмы решеток.

Помимо эндоморфизмов, нас еще будут интересовать антитонные отбраженил 9, инвертирующие частичный порядок: ж < У 0(х) > 6{у)

2 Координатизация полных атомарно порожденных решеток с ортодополнениями

2.1 Решетка аннуляторов.

Пусть (5, *, О) - инволютивная полугруппа с нулем. Введем отношение О на 51: хОу ху = О и рассмотрим тройку (Б, Б, О) как полярность. Как уже было упомянуто, решетки левых и правых поляр изоморфны. Однако Г к и Г^ также изоморфны в силу инволютивности полугруппы Б. Изоморфизм между ними устанавливается следующим образом: если А есть элемент Гд, то найдется такое В С ,9, что

А = Вп = {х | Вх = 0} Однако множество А*:

А* = {х* | Вх = 0} = {у | у В* = 0} = есть элемент решетки Г/, левых поляр. Итак, для любых А, В (Е Я

Вп* = Ь{В*) и

ЬА)* = А*к

Таким образом, отображение Л И- А* будет изоморфизмом между Гд и Гь- Значит, решетки Г л и Г/, изоморфны и антиизоморфны одновременно.

Следуя [11], рассмотрим абстрактную решетку N(3), изоморфную обеим решеткам Г л и Г^. Антиизоморфизм между Г л и Г^ индуцирует инволюцию на Аг(5'), обозначаемую (-)х. Когда N(3) представлена с помощью Гд, эта инволюция имеет вид:

Ах = (ЬА)* = А*н

Условие на ортодополнимость для N(3) выглядит следующим образом.

Теорема 1 3) есть орторешетка тогда и только тогда, когда полугруппа Я удовлетворяет условию: х*х = 0 =>• ж = 0 (8)

Доказательство.Поскольку (-)1 есть инволюция, достаточно доказать, что для всякого ^ £ N(3) имеет место д А д1 = 0. Пусть N(3) представлено с помощью Гл- Тогда требуемое условие имеет вид:

АП (М)* = 0 для любого А £ Гд. Поскольку (ЬА)* = {Ь* | ЬА = {0}}, любой элемент из А П А1 должен удовлетворять условию а*а = 0. Если (8) выполнено, то А П Ах = 0 и N(3) будет орторешеткой.

Для доказательства обратной импликации положим А П Ах = 0 для каждого А € Гл, и допустим, что существует х £ 3 такой, что х*х = 0. Рассмотрим А = Ш1!1{ж} как элемент Гл- В силу экстенсивности операции ИС1 всегда х 6 11С1{ж}. В то же время А1 = {ьх}* = {Ъ* | Ьх = {0}} содержит х. Итак, х £ А П Ах = {0}^, значит, условие (8) выполнено.

2.2 Резидуальные эндоморфизмы.

Особый интерес для нас будет представлять полугруппа М[Ь) всех монотонных отображений Ь в себя. Заметим, что У(Ь) само является частично упорядоченным множеством. Частичный порядок там задается поточечно: для ф, ф € М(Ь): ф < ф \/а £ Ь ф(а) < ф(а)

Пусть ) — орторешетка. Обозначим через /, 0 ее наибольший и наименьший элементы, соответственно. Рассмотрим набор М(Ц) всех монотонных отображений ф : Ь —Ь. Назовем два отображения ф, ф сопряженными, и обозначим это фСф, если для любого элемента а £ Ь аф)'ф < а' (,афуф < а'

Очевидно, отношение С симметрично. Термин "сопряженное" употреблен здесь в силу следующей леммы:

Лемма 1 Любое ф £ М(Ь) имеет не более одного сопряженного:

Ф\=Ф2 фСф1 фСф2

Доказательство.Условие (9) допускает следующую эквивалентную переформулировку. Для любых а,Ъ £ Ь аф <Ъ' Ьф < а откуда афх <Ъ' Ъф< а' аф2 < Ъ' в том числе и для Ъ' = аф\. Значит, для любого а имеет место аф2 < аф\. Совершенно аналогично доказывается и аф\ < аф2. В силу антисимметричности отношения частичного порядка отображения ф] и ф2 обязаны совпадать. +

Для любого отображения ф £ М^Ь) обозначим его сопряженное (если оно существует) через ф+. Такие отображения называются резидуаль-I ными [15]. Напомним, что М(Ь) обладает естественной структурой полугруппы относительно композиции отображений.

В случае если Ь - полная решетка, М(Ь), рассматриваемое как упорядоченное множество, также будет полной решеткой, и ф+ имеет следующее явное выражение [15] с. 11: аф+ = М{Ъ еЬ \ Ъ'ф< а'}

Лемма 2 Резидуалъные отображения на любом частично упорядоченном множестве Ь образуют полугруппу Б^Ь), являющуюся подполугруппой М{Ь).

Доказательство.Пусть ф, ф резидуальны. Тогда по определению существуют отображения ф+, ф+, удовлетворяющие (9). Непосредственная проверка показывает, что их композиция ф+ о ф+ обеспечивает выполнение условий (9) для ф о ф. +

2.3 Теорема Фулиса. о и «лмихя

В 1960 г. Д.Фулис [4] доказал теорему вродставлспия, послужившую отправным пунктом для настоящей диссертации. Введем основные определения.

Определение. Абстрактной фулисовской полугруппой называется тройка < М, К, * >, такая, что

• < М, К > - бэровская полугруппа

• < М, * > -полугруппа с инволюцией

• фокус (5) любого элемента является проектором: * — р2 ех — ех — ех

Проекторы, являющиеся фокусом какого-либо элемента, называются замкнутыми. Заметим, что не любой проектор является фокусом какого-либо элемента.

Основным результатом работы [4] является следующая теорема. Теорема Фулиса. Множество замкнутых проекторов любой абстрактной фулисовской полугруппы образует ортомодулярную решетку относительно следующего частичного порядка: е< / е/ = /е = е

Кроме того, для любой ортомодулярной решетки L существует абстрактная фулисовская полугруппа S(L) такая, что множество ее замкнутых проекторов изоморфно L.

Если вместо замкнутых проекторов рассматривать аннуляторы, то класс представимых таким образом решеток существенно расширяется.

2.4 Фулисовские порождающие полугруппы.

Обозначим через S(L) множество резидуальных отображений:

S(L) = {фе M(L) I зф+ е м(ь)} и назовем S(L) фулисовской порождающей полугруппой для L. Убедимся в корректности этого определения.

Лемма 3 S(L) есть инволютивная полугруппа, а именно, для любых i) Ф++ = ф.

П) (фф)+ = ф+ф+

Доказательство.(i) следует непосредственно из (9). Докажем (ii). По определению, для любого элемента L, в частности, аф, имеет место (■афф)'ф+ < (аф)', и тогда в силу первого из условий (9) афф)'ф+ф+ < (аф)'ф+ < а'

Выполнение второго из условий (9) для фф проверяется аналогично.

Следствие.S(L) есть подполугруппа М(Ь)

Лемма 4 Любое отображение ф Е 3(Ь) есть верхний гомоморфизм полных полурешеток. А именно, для любого множества {аг} элементов Ь:

Уаг)ф = У(а^)

Доказательство.Заметим сначала, что существование левой и правой части равенства гарантировано полнотой решетки Ь. Кроме того, из монотонности ф следует, что

Уа^ф > У(а{ф)

Пусть теперь с > а{ф для каждого из а». Тогда с' < (а4-ф)', следовательно, с'ф+ < (а,-ф)'ф+ < а < Да < (Уа,-)' и тогда \/аг- < (с'ф+)'. Однако из монотонности ф следует (Ув{)ф < с'ф+)'ф < с. Следовательно, (Уа^ф есть точная верхняя грань для {а^ф}.

2.5 Порождающие полугруппы Фулиса для полных орторешеток

Теперь применим к полугруппе 3(Ь) результаты, полученные в разделе 2.1. Выясним сначала структуру аннуляторов в 3(Ь). Условие (8) всегда выполнено в силу (1ф+)'ф = 0 (где I есть наибольший элемент Ь), и 1ф+ф = 0 влечет (в силу леммы 4)

1Ф+У у 1ф+) = 1ф = о следовательно N(S(L)) есть орторешетка. Определим для каждого а £ L отображение Оа : L ^ L I 0 , если х = О х®а := <

I а в противном случае тогда сопряженным к нему будет следующее отображение: Г 0 , если х < а' а ' [ / в противном случае и определим отображение G : -> L:

G(A) := V{/a | о; £ Л}

Заметим, что отображение G корректно определено на всех подмножествах полугруппы S(L), так как решетка L полна.

Лемма 5 Для любого А С S(L)

LCI А = {а \ Ia< G{A)}

Доказательство.Правый аннулятор $ А есть

Ая = {/? | (Va £ А)а/3 = 0} = {/? | {G(A))(3 = 0} поскольку /3 есть эндоморфизм L как V-полурешетки. Если а = G(A), то

LC1A = l(Ar) = {а | aj3 = 0 а/3 = 0} = {а | /а < С(А)} поскольку существует отображение ©J £ S(L), являющееся элементом AR: Г О , если х < а хку I := -ч г

I ] в противном случае +

Следствие.

• Если а = С(Л), то ЬСЬ4 = ь{0+,}.

• Для любого а Е Ь множество .Р(а) = {а | 1а < а} есть элемент Г^,.

Очевидно, оба отображения ^ и С монотонны. Для любого а Е Ь

7(,Р(А)) = | /а < а} = а поскольку 0а Е 5'( А) и /Оа = а. Кроме того, для любого /I £ Г/,

С(А)) = {/а | /а < С(А)} = А

Итак, Г^ и сама Ь изоморфны как решетки. Пусть теперь орторе-шетка аннуляторов представлена с помощью Г^. Тогда имеет место слеующая теорема:

Теорема 2 Орторешетки Ь и АГ(3(Ь)) изоморфны:

Ь ~ ^(5(1))

Доказательство.Для доказательства теоремы достаточно показать, что оба отображения сохраняют ортодополнения. Пусть А Е Г^ и а = С(А). Однако

А ± = l(A+) = L((L{0+,)+ = LCl{0a/} = F (а') откуда немедленно вытекает, что ортодополнения сохраняются. Результаты этого раздела опубликованы в [11].

3 Представление фулисовских порождающих полугрупп реляционными алгебрами.

3.1 Реляционные алгебры.

Пусть У — некоторое множество. Отношением на У называется любое подмножество Я С У х У. Будем писать иЯл) тогда и только тогда, когда (и, у) € Я. Тогда В(У) )есть полугруппа всех отношений на множестве У, закон композиции для которой определяется следующим образом:

Я\ ■ Я2 = {(«,«) : Зги (и, го) £ Я\, (го, и) £ Я2}

Если Я — отношение, то по определению Я* = {(и, и)| (и, и) Е Я}. Тогда для любых отношений К, Б на V имеет место (Я ■ Б)* = Б* • Я*- Единицей полугруппы В (У) всех бинарных отношений является тождественное отношение 1 = {(и, и) |г; Е У}. В В(У) имеется также нулевой элемент — пустое отношение. Включение множеств определяет на В (У) естественный частичный порядок, и этот частичный порядок двусторонне совместим с умножением и инволюцией: УЯ,Б,Т Е В (У), Я С Б влечет

Я* С Б* Я-Т С Б-Т Т • Я С Т ■ Б

Для бинарного отношения Я на У обозначим через Я его теоретико-множественное дополнение до V х У. Имеет место следующая лемма:

Лемма 6 Следующие два утверждения эквивалентны:

• иЯБу

• Уго £ иЯю =ф- юБУ Доказательство.Очевидно. |

3.2 Замыкания на реляционных алгебрах.

Отношение ±£ В (У) называется ортогональностью, если оно симметрично и ± V ^ V ± и и антирефлексивно и 1 и =>- (\/и £ V и 1 у)

Вспомним, что мы можем рассматривать тройку (V, V, 1) как полярность. Тогда, если мы зафиксируем отношение !, оно породит некоторый оператор замыкания на V. А теперь рассмотрим дополнительное к 1 отношение "неортогональности"

Р =

Затем определим две операции (-)0 и на В(У) следующим образом:

Я0 = ИР

Я = РЯ (10)

Очевидно, обе операции (-)0 и °(-) антитонны относительно теоретико-множественного включения на В (У). Кроме того, одна из них выражается через другую:

В0* = (ЯР)* = РЯ* = °(Д*) (11) аналогичным образом имеет место и (°В)* = В)*. Дважды применяя (антитонный) оператор (-)0, мы получаем оператор (-)00 на 2УхУ который будет уже монотонным:

В н> В00 = (В0)0

Лемма 7 Следующие два утверждения эквивалентны:

• в = в00

• Для всякого и £ V множество {и | иВи} замкнуто относительно операции замыкания, порожденноой отношением ортогональности 1.

Доказательство.Построим замыкание множества {и | иВи} как бипо-ляру. Начнем с правой поляры: у | иВи}1 = {ю | \fvuBv V ± ш} = {и>\ иВ°ги} согласно Лемме 6. Таким образом, искомое замыкание есть:

С1{и | иВи} = {ш I иВ ш) = {и | иВ°%)

Следствие./? = 00В тогда, и только тогда, когд^для всякого и £ V множество {улМ иКу} замкнуто.

Доказательство.Следует из (11): (В00)* = 00(В*). +

Лемма 8 Операция В ь-> В00 есть замыкание на подмножествах V х V, а именно, для любых (¿,В £ 2УхУ:

С1) В С В00

С2) я с к д00 с в00 СЗ) в0000 = в00

Доказательство.С1, равно как и С2, следует из Леммы 7. Для доказательства СЗ достаточно проверить что В000 — В0. Для любого и £ V множество {и | иВ°у} есть поляра к множеству {и | иВу}, значит, оно замкнуто. И тогда, применяя Лемму 7, получаем В° — (В0)00 = В000. +

Следствие.Операция В Н- 00В есть также замыкание на V х V. +

Обозначим через Е (соответственно, Е*) множество всех (-)00-замкнутых (соответственно, 00(-)-замкнутых) подмножеств V х V, то есть, бинарных отношений:

Е = {ВеУ XV \В = В00} Е* = {феУхУ |д = 00д}

Использование обозначения Е* здесь корректно, так как ДеЕ тогда, и только тогда, когдаЯ* € Е*. Заметим, что, если мы будем рассматривать V X V как полугруппу бинарных отношений, то Е и Е* не будут ее подполугруппами, поскольку произведение двух замкнутых отношений может не быть замкнуто.

Заметим, однако, что как Е, так и Е* суть муровские семейства множеств [1], а значит, их пересечение Е П Е* также будет муровским семейством. Обозначим через [•] операцию замыкания, порожденную муровским семейством Е П Е*:

Щ = Г\{Q$eEnE*\RCQ}

12)

3.3 Реляционные представления фулисовских полугрупп для атомарно порожденных орторешеток.

В разделе 2.4 было введено понятие фулисовской порождающей полугруппы для данной орторешетки Ь. Элементы Б{Ь) являются автоморфизмами решетки Ь, удовлетворяющими неравенствам (9). В [11] было показано, что, однако, имеется более "экономный" способ представления полугруппы ЯЩ в том случае, когда решетка Ь атомарно порождена. Напомню, что последнее означает, что любой элемент решетки Ь в точности равен объединению входящих в него атомов: где V есть множество атомов решетки Ь.

В случае атомарно порожденной решетки любому монотонному отображению ф : Ь —> Ь можно поставить в соответствие следующее бинарное отношение Яф на множестве V атомов решетки:

И, напротив, с любым бинарным отношением Я на множестве атомов V можно ассоциировать монотонное отбражение фп : Ь —>■ Ь, определенное сначала на V:

УаеЬ а = У{у вУ\у <а} и ЯфУ ^ у < иф

13) ифл := и затем продолженное на всю Ь: иЯу} афп := У{ифп\и < а} (14) продолжение определено корректно, поскольку решетка Ь предполагается полной.

Лемма 9 Если ф есть У -эндоморфизм решетки Ь, и отношение Я ассоциировано с ф согласно (13), то ф = фл.

Доказательство.Поскольку решетка Ь атомарно порождена, достаточно доказать, что иф = ифл для любого и € У. В самом деле: ифя = \/{г?|иЛг;} = у <= иф} = иф +

А теперь вспомним отношение Я0 — ЯР, введенное в (10).

Лемма 10 Для любого отношения Я на множестве атомов V и для любых двух атомов и, у следующие два утверждения эквивалентны:

• V < ('ифпУ

• иЯ°у

Доказательство.Будучи атомарно порожденной орторешеткой, Ь с необходимостью является коатомарно порожденной. Разложим (ифп)' по коатомам: (ифя)' = А{к/| иЯи>}, и потому у < (ифп)' эквивалентно

Vи> иЯю и) 1 V что, в свою очередь, эквивалентно и ЯР и в соответстви с леммой 6. +

Лемма 11 Пусть Я — некоторое бинарное отношение на множестве атомов V, и пусть ф = фц. Тогда отношение Яф есть Е-замыкание отношения Я: г? — к>00 Кф — К

Доказательство.иЯфУ означает V < ифя, или (ифр)' < у'. Поскольку Ь атомарно порождена, последнее неравенство эквивалентно ш гу < (ифл)' ю 1. у

В силу леммы 10 это означает, что V«; иЯ°ю =>■ ю ± г>, что, в свою очередь, означает и Я00 у. +

Инволюция (9) в полугруппе 3(Ь) может быть выражена с помощью соответствующих бинарных отношений. Сначала заметим, что условия (9) можно сформулировать следующим образом:

Vа,Ъ£Ь а < (Ъф)' Ъ < (аф)' (15)

Тогда можно сформулировать следующую лемму:

Лемма 12 Если отображения ф,ф сопряжены, то, обозначив Я = Яф-,Я = Яф> имеем: я° = д°* (16)

Доказательство.В соответствии с леммой 10 условие (14) принимает вид Уи, V иЯ°у и поэтому Я0 = +

Следствие.В силу леммы 8 для любого отображения ф £ Я(Ь) имеет место Щ £ Е. Таким образом, если для найдется такое ф, что Д° = Д^*, то Щ £ Е П Е*, в результате чего мы имеем:

Уф ф£ ЗД Я°ф = [Д°] (17) где [•] есть замыкание (12). +

А теперь определим операцию (•)+ на Е следующим образом:

Я+ = [Я0]*0 (18)

Лемма 13 Двойное применение операции (18) есть взятие муровской внутренности на Е, а именно

• я++ а

• д с д д++ с д++ . я++++ = я++

Доказательство.Сначала упростим выражение для операции Д++. Поскольку [Я0] £ Е П Е*, мы имеем [Д0]*00 = [Д0]* и, следовательно [[Д°]*] = Значит,-|Д++ = [Я0]0. Итак

• Я0 С [Д°] влечет Д++ = [Я0]0 С Я00 = Я

• ДСд влечет [д°] С [Д°], и тогда Д++ С д++.

• Д++++ = [[Д0]00]0 = [[Д°]]° = [Д°]° = Д++.

Обозначим через Я множество всех (-)++-открытых элеменов Е:

Э = {Я Е Е| Я = Я++} (19) при этом из (16) немедленно следует, что для любого ф Е отношение Яф будет всегда (-)++-открытым. Более того, верно и обратное:

Лемма 14 Для любого Я £ в отображение фл будет элементом 8{Ь).

Доказательство.Пусть ф = Д+, положим ф = фя,ф = фц. Как (,}, так и Я являются элементами Е, и поэтому, согласно лемме 11, Я = Яф и = Яф. Как так и Я лежат в Б, значит <5°* и Я0* суть элементы Е. Тогда С) = Г{+ влечет Я°* = Из леммы 12 следует, что для любых и, V Е V и < (уф)' =Ф- V < (иф)'

Тогда и первое из условий (9) имеет место, поскольку решетка Ь атомарно порождена: аф)'ф = (А{(ш£)'| и < а])ф < А{(иф)'ф\и < а] < а' а второе из условий (9) доказывается аналогично. +

Б есть подмножество полугруппы бинарных отношений на V. Помимо этого, Э наследует полугрупповую структуру из 3(Ь). Заметим, что произведение двух элементов Е как бинарных отношений может уже не быть замкнутым. Причиной тому является структура операции умножения бинарных отношений, эксплуатирующая объединения их как подмножеств. При этом свойство быть замкнутым может быть нарушено. Итак, Е не есть подполугруппа полугруппы бинарных отноений на V. Пусть Д, д £ Э и пусть ф = Фц. ф = фд. Обозначим через о операцию умножения на Я, унаследованную из Б(Ь):

Яо \ = Яфф

Лемма 15 Я о $ = (Д$)00

Доказательство.и(Я о (^)и означает (ифф)' < и'. Согласно (14) ифф = Л{юф\ и> < иф} = Л{шф\ иЯьи}. Поэтому ж < (ифф)' означает:

Уэд) иЯю х < (юф)' что, в силу леммы б, есть иЯС^Рх, или же и(ЯЦ)°х. В то же время (ифф)' < у' означает

Уж) и(ЯЯ)°х ж 1 V откуда следует утверждение леммы Я о = (Я(5)00

Приведенная выше последовательность лемм доказывает следующую теорему:

Теорема 3 Полугруппа отношений Б изоморфна порождающей полугруппе Б(Ь) как полугруппа и как частично упорядоченное множество.

4 Рисовские порождающие полугруппы.

В этой главе описана техника координатизации полных атомарно-коатомарно порожденных решеток, а такжеПроизвольных конечных решеток.

4.1 Рисовские матричные полугруппы

Предположим, что А и В — непустые множества, а О — группа. Обозначим через О0 группу (? (^присоединенным к ней нулем. Пусть С : А х В —> О0 — некоторое отображение.

Определение. Полугруппа [(б?Х АхВ)и{0}, •], где символ 0 обозначает нулевой элемент, с операцией а п А \ (п л Ь \ - / (91С{Ьиа2)д2,аиЬ2) , И С(Ьиа2)^0 называется рисовской полугруппой матричного типа с сэндвич-матрицей С над группой Сг и обозначается как М°((т; А, В, С).

Следовательно, (<71,01,61) • (д2,а2,Ъ2) = 0 тогда и только тогда, когда С(Ь1,а2) = 0.

Иногда удобно представлять элемент (д,а,Ь) как |А| х |В|-матрицу над полугруппой у которой элемент с номером (а, 6) равен <7, а все остальные элементы — нули. Элемент 0 описанной полугруппы следует представлять как нулевую матрицу порядка [А| х \В\. Т/Рда, если С представить как \В\ х |А|-матрицу над С0, произведение матриц (<71, а\} 61)С(<72; 0-2) Ь2) имеет смысл, поскольку операция в индуцирована умножением в группе О и правилом сложения ж + 0 = 0 + ж = ж для любого элемента группы О. Нетрудно проверить, что это дает в точности определенное ранее произведение (<71? Ь\) ■ (д2} а2, Ь2). Иногда элемент (д,а,Ь) будет обозначаться как (д)аь

В этой диссертации достаточно будет в качестве С? взять тривиальную группу из одного элемента.

4.2 Рисовские порождающие полугруппы для САС-решеток.

Пусть Ь — САС решетка. Обозначим через У множество ее атомов и через Л — множество коатомов. Рассмотрим рисовскую Л х У-матричную полугруппу ¿> = М(1, Л. У, Р) над тривиальной группой 1 с сэндвич-матрицей Р, определенной следующим образом: р Г О , если V < А( как и, А € Ь) ^ 1 в противном случае

Будем маркировать ненулевые элементы Б с помощью координат (А, и) ненулевого элемента (т.е. равного в нашем случае 1) элемента: \ / \ л /л \ I (А,и>) , если Рь„ = 1 4 ' 4г 1 ' 1 / ^ у в ПрОТИВНОМ случае 4 '

Начнем со следующих технических лемм.

Лемма 16 Если (А, у) * го) = 0, то для любых А/ € А ;го/ Е У имеет место (А', и) * и/) = О, или же, другими словами

А, и) * (,и, ги) = 0 ^ (А, и) * (^ У) = О

Си^е^ч ММ*суе^сЯ&Ш<*> Доказательство.^оЦижз^сИгесПу Гют (3.2)'.

Следствие.Любой левый аннулятор в Б имеет "прямоугольную форму" (А, А) для некоторого А С Б. Аналогичным образом, любой правый аннулятор имеет форму (В,У) для некоторого В С Л.

Теперь мы можем определить отображение F : С —^ L:

F(A) := V{v | г; £ А} (21)

Рассмотрим множества подмножеств V(V) и V(A). Для каждого а £ Z, определим множества Аа £ "Р(У) and Ва £ "Р(А) следующим образом:

Аа := {и £ У | v < а} С У ; Ва := {А £ Л | а < Л} С Л

Демма 17 Для каждого а £ L

Л, Aaf = (Ва, V) ; (Л, Аа) = (Ва: V)L

Доказательство.Пусть (А,и) £ (Л, Аа) and (n,w) £ (Ba,V), тогда v < а < ¡i, следовательно, PVfl = 0. Поэтому (А, и) * (/i, w) = 0 и (Л, Аа) С (BaiV)L. Докажем обратное включение. (A, v) £ (fía. V)L влечет v < | /i £ Ва} = а, и потому (А, и) £ (Л, Аа).

Следствие.Для всякого а £ L имеет место (Л, Aa)RL = (Л, Аа). Тогда отображение G : L —> r¿ может быть записано следующим образом:

G(a) := (Л, Аа) которое будет монотонно, как, впрочем^ и F. введенное в (21). Лемма 18 G о F = id : L -» L, и F о G = id : С ->• С.

Доказательство.Первое утверждение следует непосредственно из условия атомарности решетки Ь. Для доказательства второго рассмотрим

Л, Л) Е С и обозначим а := ^(А, А). Тогда, в силу коатомарности Ь имеем а = Д{А | а < А} = Л{А | Уи € АР„а = 0} В силу леммы 17 (Л, Ла)й = (Ва, V) = (Л, А)п, и потому о £(Л, А) = С(а) = (Л, Аа) = (Л, Аа)кь = (Д,, У)ь = (Л, А)

Доказательство этой лемммы завершает доказательство следующей теоремы:

Теорема 4 Решетка левых аннуляторов Гь(71{Ь)) полугруппы И(Ь) изоморфна исходной решетке Ь.

4.3 Полярности на конечных множествах. Приводимые полярности

В случае, когда множество I конечно, любую полярность можно описать с помощью {0,1}-матрицы Р размером ]/| х которая определяется следующим образом:

Р(г л = ( 1 > есЛИ т (22) у ' 10 в противном случае у ' итак, мы теперь вправе использовать Р вместо р в обозначении полярностей:

Замечание. Матрица (22) не есть стандартная матрица инцидентности отношения Р.

Вполне может случиться, что две полярности V1 = (71, 71, Р1) и V2 =■ (/2, Р2) будут иметь изоморфные решетки поляр. Введем процедуру редукции полярностей. Пусть V = (/, Р) — полярность. Элемент г0 6 / назовем избыточным, если и только если г0-ая строка марицы Р может быть получена как поэлементное произведение других строк этой же матрицы. Другими словами, избыточность означает, что существует набор {га}, а £ А, такой, что

Уа € А, У? г0 влечет Р(г0,= П\ а 6 А}

Аналогичным образом, но уже в терминах столбцов матрицы Р, определяются избыточные элементы множества 3.

Пусть ¿о — избыточный элемент I. Образуем ¿о-редуцированную матрицу Р°, полученную вычеркиванием г0-й строки матрицы Р. Обозначим редуцированную полярность следующим образом: V \ {г0}

ПЫ = (/\Ы,

Лемма 19 ГН(Т°) = ГК{Г)

Доказательство.Непосредственно из (3) следует, что левая поляра ^{го} есть пересечение

Ь{го} = [}{(ЬЫ),*еА} (23)

Представляя элементы Гд('Р) через (3), каждое вхождение '"{го} может быть заменено пересечением (23), которое уже не будет содержать i0. +

Следствие. ГЬ(Т°) = ТЬ(Т)

• Аналогичный результат может быть получен для любого избыточного элемента £ J.

Назовем полярность V = (I, неприводимой, если как /, так и 7 не содержат избыточных элементов. Будучи примененной к любой конечной решетке, процедура редукции рано или поздно закончится. Таким образом, любая решетка поляр изоморфна решетке поляр некоторой неприводимой полярности.

Лемма 20 Две неприводимые полярности

V1 = (71, Л-Р1) V2 = \l\J\P2) изоморфны тогда и тголъко тогда, когда найдется пара взаимно однозначных отображений сг : I1 —I2 и т : переводящих их матрицы Р друг в друга, то есть для любых г1 £ £ 71

Доказательство.Отображение а индуцирует взаимно однозначное отображение конечных решеток £ : Г^Р1) —> Гь(Т2), сохраняющее порядок. Следовательно оно есть решеточный изоморфизм. То же верно и для отбражения Т : Гд('Р1) —Гд(Р2), индуцированного т. +

Таким образом, любая конечная решетка оказывается изоморфной решетке Ть(Л) левых аннуляторов некоторой рисовской матричной полугруппы над тривиальной группой {1}, сэндвич-матрица которой непри-водима. Результаты этой главы опубликованы в [12,13].

Литература.

1 ] Биркгоф, Г., Теория решеток, М., Наука, 1984

2 ] Stone, М.Н., The theory of representations for Boolean algebras, Trans. AMS, 40, 37 (1936)

3 ] Birkhoif, G., Von Neumann, J., On the logic of quantum mechanics, Ann. Math., 37, 823 (1936)

4 ] Foulis D., Baer *-semigrous, Proceedings of the American Mathematical Society, 11, 648, (1960)

5 ] Kalmbach G., Orthomodular lattices, Springer-Verlag, Berlin et al., (1990)

6 ] Kaplansky I., Rings of operators, Benjamin, New York (1968)

7 ] Общая алгебра, Сборник под редакцией Л.А.Скорнякова, М., Наука, 1990

8 ] Isham С.J., Quantum topology and the quantization on the lattice of topologies, Classical and Quantum Gravity, 6, 1509, (1989)

9 ] Sorkin R.D., Does a discrete order underly spacetime and its metric In: Procs. Of the 3rd Canadian conference on general relativity and quantum cosmology, A. Coley et al. (eds), World Scientific, Singapore (1993)

10 ] Zapatrin R.R., Pre-regge calculus: topology via logic, International Journal of Theoretical Physics, 32, 779 (1993)

11 ] Zapatrin R.R., Generating *-semigroups for atomistic ortholattices, Semigroup Forum, 47, 36-47, (1993)

12 ] Zapatrin R.R., A representation theorem for CAC lattices by closures and interiors, Semigroup Forum, 51, 263-266, (1995)

13 ] Zapatrin R.R., Quantum Logic Without Negation, Helvetica Physica Acta, 67, 188-199, (1994)

14 ] MacLaren M.D., Atomic orthocomplemented lattices, Pacific Journal of Maths., 14, 597, (1964)

15 ] Blyth, T.S., and M.F.Janowitz, Residuation theory, Pergamon Press, New York, 1972