Полуабелевы категории и категории банаховых пространств тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.04, кандидат физико-математических наук Глотко, Николай Владимирович

• Глотко, Николай Владимирович
• кандидат физико-математических наук
• 2004

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Глотко, Николай Владимирович

Введение.

Глава 1. Комплексы в полуабелевых категориях.

1. 1. О Ker — Coker— последовательности в полуабелевой категории.

1. 2. О когомологической последовательности для короткой точной последовательности комплексов в полуабелевой категории.

Глава 2. Комплексы соболевских пространств, ассоциированные с абстрактным гильбертовым комплексом.

2. 1. Предварительные сведения об операторах в банаховых пространствах.

2. 2. Соболевские пространства, ассоциированные с замкнутым оператором.

2. 3. Гильбертовы комплексы.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Полуабелевы категории и категории банаховых пространств»

Согласно известной теореме де Рама [1] у гладкого многообразия М сингулярные когомологии с вещественными коэффициентами совпадают с когомологиями комплекса де Рама

О —> fi°(Af) -±>tl\M) ----U Qj(M) А Г2;+1(М) -А • • •, где Q?(M)~ пространство гладких дифференциальных форм степени j на М, a d- оператор внешнего дифференцирования. Еще в 50- е годы было показано, что на замкнутом римановом многообразии пространство когомологий изоморфно пространству гармонических форм. Оператор * Ходжа на римановом многообразии позволил ввести на пространстве DJ (M) дифференциальных форм степени j с компактными носителями, лежащими в Int М, внутреннее произведение ш,0) = / CJA*0, Jm пополнение .пространства £)J (M) относительно которого совпадает с гильбертовым пространством Ь32(М) дифференциальных форм степени j на М, удовлетворяющих условию Цс^Щ = fMu А *и> < оо.

При этом оператор внешнего дифференцирования d : ——>

Z)J+1(M) можно расширить до замкнутого оператора, заданного на подпространстве пространства Ь32{М). Именно, будем считать, что форма ср лежит в области определения оператора d, если и только если существует последовательность {}Рц} С°°— форм такая, что срц и dtp^ сходятся в норме || • ||2- Положим dip = lim dtp^.

Л—>оо

Использование методов гильбертова пространства сделало возможным получить различные варианты разложения Ходжа- Кодаиры [23]. Это позволило Коннеру [4] поставить задачи Дирихле и Неймана для дифференциальных форм на римановом многообразии и исследовать вопросы их разрешимости.

В 1976 г. в работе [5] М. Атья впервые определил L2— когомологии ри-манова многообразия и положил начало их использованию для изучения некомпактных римановых многообразий и римановых многообразий с особенностями. В дальнейшем L2— когомологии изучались М. Гаффни, Дж. Доджиком, Дж. Чигером, М. Громовым, В. Мюллером, С. Цуке-ром, В. Пансю и другими авторами. В 80- е годы В. М. Гольдштейн, В. И. Кузьминов и И. А. Шведов ввели в рассмотрение Lp— комплекс де Рама риманова многообразия М и начали изучать его Lp— когомологии. Эта тематика активно разрабатывается ими в настоящее время.

На п— мерном римановом многообразии М для каждой дифференциальной формы и определен ее модуль х |о;(а;)|. Для 1 < р < оо и непрерывной положительной функции г на М пусть символ г) обозначает банахово пространство, образованное измеримыми формами степени j на М, модуль которых интегрируем с весом г в степени р на М для р < оо и удовлетворяет условию ess sup \со(х)\т(х) < 00 для р = оо. хем

Норма в пространстве LJp(M, г) вводится формулой

Г {/ Мх)\рмтр(х)(Ь}^р, если 1 < р < оо, м^ц . J м

Ьр(м,т) j ess SUp \ш(х)\мт(х), еслир = оо. I хем

Через Di(M) обозначим векторное пространство форм степени j на М с компактными носителями, содержащимися в Int М.

Дифференциальная форма ф 6 называется (обобщенным) дифференциалом du формы и) G L3lloc(M), если для любой формы и G DnJ1(M), носитель которой лежит в ориентированной области, и ее обычного внешнего дифференциала du выполняется равенство

J uAdu= {-l)j+1 J фЛи. м м

Положим

W}(M,т) = {ие Li(M,r)\du е Ц+1(м,г)}.

Норму в пространстве W^(M,r) введем формулой

H\w>(M,r) = (1М|^(дед + M^W'""

Замыкание в пространстве т) подпространства D^(M) будем обозначать через Vjj(M, т).

Таким образом, с каждым римановым многообразием М, числом р G [1, оо] и непрерывной положительной функцией т на М связан банахов комплекс

LP(M, т) : 0 —> L°p(M, т) A Llp(M, т) -А • • ■

Щм, г) А 4+\М,т) ^ • • •, (0.1) образованный банаховыми пространствами L3p(M, г) и замкнутыми плотно определенными линейными операторами dP. Наряду с комплексом (0.1) удобно бывает рассматривать также комплекс

WP(M, г) : 0 —> Жр°(М, т) А W*(M, г) А • • •

•A^rlA^tM,^-, . (0.2) в котором операторы $ уже всюду определены и непрерывны. Когомоло-гии Н£(М,т) комплекса (0.1) (совпадающие с когомологиями комплекса (0.2)) называются (весовыми) Ьр-когомологиями риманова многообразия М. Факторпространство Щ(М,т) по замыканию нуля дает банахово пространство Н3р(М, т) редуцировнных Ьр-когомологий М. Пространства Щ(М,т) и Нр(М,т) совпадают тогда и только тогда, когда нормально разрешим. Меняя в формуле (0.2) всюду W на V, получим комплекс Vi(M,r), когомологии которого обозначаются символом

С(М, г) ( а редуцированные когомологии - соответственно Н3рс(М, т) )■'

Предположим, что многообразие М представлено в виде объединения двух замкнутых множеств М\ и Мг, причем М\ и Мг- гладкие п- мерные подмногообразия, а М1ПМ2- гладкое п — 1- мерное подмногообразие М, Mi П М2 С Int М. Пусть : W}(M,r) —У И^'(Мьт)- оператор ограничения форм с М на Mi, а ip* : V^(M2,r) —>• т)- оператор продолжения нулем с М2 на М. Эти операторы перестановочны с дифференциалами и образуют короткую точную последовательность комплексов

О —► VP(M2, т) WP(M, т) A Wp(Mb г) —* 0.

Этой точной последовательности комплексов соответствует точная последовательность Lp— когомологий

• • • Щ-\МЪ г) ^ H>pfi(M2, т) ^ Щ{М, г) ^ Щ(М\, т) —> •. • и полуточная последовательность редуцированных когомологий

----► HS;\MU Т) П г) г) ^ т) ■ • •.

0.3)

Возникает естественный вопрос: когда последовательность (0.3) является точной? Этот вопрос исследовали В. И. Кузьминов и И. А. Шведов в [6] для короткой точной последовательности произвольных банаховых комплексов, компоненты которых суть банаховы пространства, а дифференциалы- замкнутые плотно определенные линейные операторы. Эти авторы изучили (Теорема 1 из [6]), как влияет на точность последовательности редуцированных когомологий предположение о нормальной разрешимости дифференциалов одного из комплексов Л, В или С.

Категория ВАМ банаховых пространств и непрерывных линейных операторов представляет собой пример полуабелевой категории . Аддитивная категория с ядрами и коядрами называется полуабелевой , если она удовлетворяет условиям а)если коммутативный квадрат

А В d 91 (1.1)

С -> D Р коуниверсален, то из условия /3 = coker ker/З следует, что а = coker ker а и Ь) если квадрат (1.1) универсален, и а = ker coker а, то /3 = ker coker (3.

Важность распространения понятий и методов, используемых при изучении абелевых категорий, на более широкий класс категорий, обусловлена тем, что многие важные категории функционального анализа и топологической алгебры не являются абелевыми. Исследования в этом направлении начали румынские математики К. Бэникэ и Н. Попэску (пре-дабелевы категории [7]), М. Журеску и А. Ласку (канторовы категории [8]). В 1969 г. в [9] Д. А. Райков ввел понятие полуабелевой категории, подробно исследованное затем В. И. Кузьминовым и А. Ю. Черевики-ным в [10] и самим Райковым в [11]. Р. Суччи Кручани в [12] изучала существование функторов Extn в квазиабелевой (канторовой аддитивной) категории. Как отметил Райков, квазиабелева категория в смысле Суччи Кручани является полуабелевой. В 1998 г. Ж. -П. Шнайдере дал определение квазиабелевой категории, совпадающее с данным выше определением полуабелевой категории. Как доказали в [10] еще в 1972 г. Кузьминов и Черевикин, это определение эквивалентно определению полуабелевой категории, данному Райковым.

Морфизм ц называется строгим (коротко ц G Ос), если в его каноническом разложении д = (нп/л)Д(coim/z) Д- изоморфизм. В категории ВАМ строгость означает нормальную разрешимость. Когомологии ко-цепного комплекса А в категории ВАМ представляют собой редуцированные когомологии банахова комплекса А.

Последовательность А В —С называется точной, если imip = ker ф. В полуабелевой категории эта последовательность точна тогда и только тогда, когда coim ф = coker ср.

Последовательность 0 —А В С —> 0 будем называть строго точной и писать <р\ф, если ip = ker ф, ф = coker (р.

Строго точной последовательности о^^АвЛа^о (1.15) коцепных комплексов в полуабелевой категории соответствует когомологическая последовательность —► Нп(А) ^ Нп(В) Нп(С) ^ Нп+1(А) —+ . (1.17)

Вопрос о том, как влияет строгость морфизмов в одном из комплексов, образующих строго точную последовательность (1.15) на точность когомологической последовательности (1.17) и свойства морфизмов этой последовательности был досконально исследован В. И. Кузьминовым и Я. А. Копыловым ([14], [15]). Еще Д.А.Райков в [9] показал, что последовательность (1.17) точна и морфизмы, ее образующие, являются строгими, если все дифференциалы комплексов А, В и С — строгие морфизмы.

В [14] дано следующее обобщение этого результата:

1) если дифференциал dnA комплекса А является строгим морфиз-мом, то последовательность (1.17) точна в членах Нп(С) и Нп(В), а Нп(Ф)— строгий морфизм;

2) если дифференциал d^ комплекса В является строгим морфиз-мом, то последовательность (1.17) точна в членах Нп(С) и Нп+1(А), а А" — строгий морфизм;

3) если дифференциал d£ комплекса С является строгим морфиз- г мом, то последовательность (1.17) точна в членах Нп+1(А) и Нп+1(В) а Нп+1(<р) —строгий морфизм.

Диссертация состоит из двух глав.

В первой главе рассматривается когомологическая последовательность (1.17), соответствующая строго точной последовательности комплексов (1.15) в полуабелевой категории.

Мы вводим «выделенный» класс морфизмов О-р, обладающий рядом существенных свойств класса строгих морфизмов, но, вообще говоря, более широкий, чем класс Ос. Заменяя условие строгости дифференциалов одного из комплексов А, В или С более слабым условием их принадлежности этому «выделенному» классу мы получаем в результате следующий вариант вышеупомянутой теоремы из [14] о точности когомологической последовательности.

Теорема 1. 1 .Для когомологической последовательности (1.17) строго точной последовательности комплексов (1.15) справедливы следующие утверждения:

1) если d\ е Ор, то Нг(ф) £ Ор и последовательность (1.17) точпа в члене Нг(С);

2) если dlB £ Ор, то Аг £ Ор и последовательность (1.17) точна в члене Яг'+1(Л);

3) если dlc £ Op, то Нг+1((р) £ Ор и последовательность (1.17) точна в члене Нг+1 (В);

Теорему 1. 1 дополняет теорема 1. 2, которая решает в некотором смысле «обратную» задачу.

Теорема 1.2. Для короткой точной последовательности комплексов (1.15) с когомологической последовательностью (1-17) выполнены утверждения:

1) если £ Ov, mo{dlB £ Ом d\ £ Op);

2) если с?гд+1, Яг+1(<^) G Ор, то (сГл+г £Ом G ОД;

3) если d?A,dlc, Дг £ Ор, то (cfc £ 0>i £ Ор), где класс Ом удовлетворяет условиям, двойственным условиям, наложенным на класс Ор.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Глотко, Николай Владимирович, 2004 год

1. Де Рам Ж. Дифференцируемые многообразия. М.: Изд- во иностр. лит., 1956. 252 с.

2. Kodaira К. Harmonic fields in Riemannian manifolds (generalised potential theory) // Ann. of Math. 1949. V. 50. P. 586- 665.

3. Duff G. F. D., Spenser D. C. Harmonic tensors on Riemannian manifolds with boundary//Ann. of Math. 1952. V. 56. P. 128- 156.

4. Conner P. E. The Neumann's problem for differential forms on Riemannian manifolds. Providence, R. J., AMS, 1956 ( Memoirs of the AMS, V. 20).

5. Atiyah M. Elliptic operators, discrete groups and von Neumann algebras // Analyse et topologie. Asterisque. 1976. V. 32/ 33. P. 43- 72.

6. Кузьминов В. И., Шведов И. А. Гомологические аспекты теории банаховых комплексов //Сиб. мат. журн. 1999. Т. 40, N. 4. С. 893- 904.

7. Banica С., Popescu N. Sur le categories preabeliennes // Rev. Roumaine Math, pure et appl. 1965. V. 10, N. 5. P. 621- 635.

8. Jurescu M., Lascu N. Morfisme stricte, categorii cantoriene, functori de completare // Studii §i cercetare mat. 1966. T. 18, N. 2. P.219- 234.

9. Райков Д.А. Полуабелевы категории //Докл. АН СССР. 1969. т.188. N. 5. с.1006-1009

10. Кузьминов В. И., Черевикин А. Ю. О полуабелевых категориях. // Сиб. мат. журн. 1972. Т. 13, N. 6. С. 1284- 1294.

11. Райков Д.А. Полуабелевы категории и аддитивные объекты. // Сиб. мат. журн. 1976. Т. 17, N. 1. С. 160- 176.

12. Succi Cruciani R. Sulle categorie quasiabeliane. // Rev. Roumaine Math, pure et appl. 1973. V. 18, N. 1. P. 105- 120.

13. Schneiders J. P. Quasu- abelian categories and sheaves. // Memoirs delaSMF, 1999. V. 76.

14. Копылов Я.А., Кузьминов В.И. О точности когомологической последовательности для короткой точной последовательности комплексов в полуабелевой категории. //Тр.конференции "Геометрия и приложения". Новосибирск. Изд-во Ин-та математики, 2001, с.76-83.

15. Копылов Я.А., Кузьминов В.И. О Ker — Coker— последовательности в полуабелевой категории. // Сиб. мат. журн., 2000, Т. 41, N. 3. С. 615- 624.

16. Bruning J., Lesh M. Hilbert complexes. // J. Funct. Anal., 1992, V. 108, N. 1, P. 88-132.

17. Dodziuk J. Sobolev spaces of differential forms and de Rham-Hodge isomorphism // J. Differential Geom., 1981, V. 16, P. 63-73.

18. Кузьминов В. И., Шведов И. А. Метод разделения переменных в задачах о нормальной и компактной разрешимости оператора внешнего дифференцирования. // Сиб. мат. журн., 2000, Т. 41, N. 2, С. 385-396.

19. Гольдштейн В. М., Кузьминов В. И., Шведов И. А. О нормальной и компактной разрешимости линейных операторов. // Сиб. мат. журн., 1989, Т. 30, N. 5, С. 49-59.

20. Рисс Ф., Секефальви-Надь Б. Лекции по функциональному анализу., М.: Мир, 1979.

21. Гольдштейн В. М., Кузьминов В. И., Шведов И. А. О нормальной" и компактной разрешимости оператора внешнего дифференцирования при однородных краевых условиях. // Сиб. мат. журн., 1987, Т. 28, N. 4, С. 82-96.

22. Кузьминов В. И., Шведов И. А. О разложении в ортогональную прямую сумму комплексов де Рама искривленных произведений рима-новых многообразий. // Сиб. мат. журн., 1998, Т. 39, N. 2, С. 354-368.

23. Като Т. Теория возмущений линейных операторов., М.: Мир, 1972.

24. Рид М., Саймон Б. Методы современной математической физики. Т. 1. Функциональный анализ. М.: Мир, 1977.

25. Волевич Р. Л., Панеях Б. Некоторые пространства обобщенных функций и теоремы вложения. // Успехи мат. наук, 1965, Т. 20, вып. 1, (121) с. 1- 41.

26. Хермандер Л. Линейные дифференциальные операторы с частными производными. М.: Мир, 1965 (1963).

27. Ремпель Ш., Шульце Б. Теория индекса эллиптических краевых задач. М.: Мир, 1986.

28. Pillat V., Schulze В.-W Elliptische Randwert- Probleme f'ur Komplexe Pseudodifferentialoperatoren // Math. Nachr., 1980, Bd. 94, S. 173- 210.

29. Дынин А.С. К теории псевдодифференциальных операторов на многообразии с краем // ДАН СССР, 1989, Т. 186, N. 2. С. 251- 253.

30. Дынин А.С. Эллиптические краевые задачи для псевдодифференциальных комплексов. // Функц. анализ и его приложения, 1972, Т. 6,вып. 1. С. 75- 76.

31. Тарханов Н. Н. Метод параметрикса в теории дифференциальных комплексов. Новосибирск: Наука. Сиб. отд- ние, 1990.

32. Глотко Н. В., Кузьминов В.И. О когомологической последовательности в полуабелевой категории. // Сиб. мат. журн., 2002, Т. 43, N. 1. С. 41- 50.

33. Глотко Н. В. Специальные классы морфизмов в полуабелевой категории. // Деп. ВИНИТИ, N. 209- В 2003, Деп. -18 с.

34. Глотко Н. В. О комплексе соболевских пространств, ассоциированном с абстрактным гильбертовым комплексом. // Сиб. мат. журн., 2003, Т. 44, N. 5. С. 992- 1014.