Полнота корневых функций пучков дифференциальных операторов и суммируемость по ним произвольных функций тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат физико-математических наук Галяев, Владимир Сергеевич

• Галяев, Владимир Сергеевич
• кандидат физико-математических наук
• 2004

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Галяев, Владимир Сергеевич

Введение

ОГЛАВЛЕНИЕ

Глава I. Асимптотика по параметру решений дифференциальных систем.

§ 1. Общая теорема об асимптотике решений систем линейных дифференциальных уравнений с большим параметром.

§2. Следствие асимптотической теоремы, частные случаи.

Глава II. Алгебраические критерии «-кратной полноты корневых функций пучков линейных обыкновенных дифференциальных операторов с общими краевыми условиями

§ 1. Постановка задачи и вспомогательные леммы.

§2. Теорема «-кратной полноты в случае пучков с граничными условиями регулярного типа.

§3. Анализ условий теоремы 1.

§4. Постановка проблемы w-кратной полноты в случае пучков с граничными условиями нерегулярного типа и некоторые построения.

§5. Теорема «-кратной полноты в случае пучков нерегулярного типа

§6. Анализ условий теоремы 3.

Глава III. Суммируемость обобщённых рядов Фурье, связанных с дифференциальными операторами

§ 1. Определение регулярности для пучков дифференциальных операторов. Функция Грина.

§2. Полюсы функции Грина.

§3. Асимптотическое представление функции Грина и вспомогательные леммы.

§4. Формула разложения по собственным элементам пучка (1)-(2)

§5. Суммируемость по Фейеру рядов Фурье по корневым функциям пучка (1)-(2).

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Полнота корневых функций пучков дифференциальных операторов и суммируемость по ним произвольных функций»

1. Вопросы разложимости функций в ряды по собственным функциям линейных дифференциальных операторов восходят к работам Фурье, Пуассона, Коши, Лиувилля, Пуанкаре, В. Стеклова, Д. Гильберта и др. Их решение в более общей постановке, в случае обыкновенных дифференциальных операторов, было дано в фундаментальных работах Г. Биркгофа [47]-[48].

Основательные исследования условий разложимости в ряды по собственным функциям эллиптических операторов, а также обыкновенных дифференциальных операторов имеются в работах В.А. Ильина и его учеников, [17]-[25]. В работах [30]-[31] В.Б. Лидского рассмотрены вопросы суммируемости по Абелю рядов Фурье по корневым векторам несамосопряжённых операторов определённых классов. Позже они рассматривались в работах [43], [44], [29], [34], [27], [45] А.П. Хромова, А.Г. Костю-ченко, A.C. Маркуса, В.Э. Кацнельсона, А.А, Шкаликова.

Пучки обыкновенных дифференциальных операторов впервые рассмотрены в книге [40] Я.Д. Тамаркина, где автор не затрагивал вопрос об n-кратных разложениях в ряды Фурье по системам корневых функций пучка. Это упущение было восполнено в фундаментальных работах [27], [28] М.В. Келдыша, посвященных n-кратной полноте корневых векторов пучков линейных операторов и имевших большое влияние на последующее развитие спектральной теории. Оно отражено в работах И.Ц. Гохберга и М.Г. Крейна [15], Дж.Э. Алахвердиева [1], С. Агмона [46], М.Л. Расулова [38], М.Г. Гасымова и А.М. Магеррамова [14], В.И. Мацаева [33], В. Эбе-гарда [49], А.И. Вагабова [3], Г. Фрейлинга [52] и др. Большое место принадлежит труду американских математиков Н. Данфорда и Дж. Шварца [16].

В теории пучков операторов, в частности дифференциальных операторов, остаётся много интересных проблем, имеющих конкретное содержание.

Данная диссертация посвящена изучению пучков обыкновенных дифференциальных операторов. Основное внимание уделено критериям п-кратной полноты корневых функций пучков, а также вопросу суммируемости рядов Фурье произвольных функций по корневым функциям пучка.

2. Дадим краткий обзор содержания работы.

Первая глава служит основой всего последующего текста. В ней дано изложение теории асимптотических по большому параметру решений системы линейных уравнений y'-\^\-JAj(x)y = 0, a<x<b. (1) j=о

Удалось понизить на единицу классические требования гладкости матриц Aj(x). Найдено решение, имеющее асимптотический вид:

XXfDti)d;

Y(х, X) = {МО) + Е(х, Х)}е а (2) в секторе S, XeS, и являющееся обобщением классической асимптотической формулы. Здесь М(х) - матрица, трансформирующая Aq(x)в диагональную матрицу D(x). Исключительно важно то, что указана оценка: шах x,i,j

Еу(х,Х) | = 0(5(Х)), где 8(Х) определяется по формуле:

8(Х) = шах x,k,j

М"1 (0(4 (t)M(t) - МЩц е * dt показывающей характер её стремления к нулю при X —> оо, в зависимости от свойств гладкости матриц А0(х), А1(х).

Формула (2) для решения уравнения (1) использована для получения асимптотически экспоненциальных решений типа (2) в случае одного уравнения вида у™ +Хрх{х,Х)у^ +. + Хпрп{х,Х)у = 0,

7=0

3)

Подобные представления были получены в работе [4]. В случае постоянных Ру(х) нами обосновано существование фундаментальной системы аналитических при |А,|»1 решений уравнения (3), имеющих простую глобальную асимптотику ск5

4)

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Галяев, Владимир Сергеевич, 2004 год

1. Алахвердиев Дж. Э. О многократно полных системах и несамосопряжённых операторах, зависящих от параметра. //ДАН СССР. Т. 166, №1. 1966. С.11-19.

2. Алимов Ш.А., Ильин В.А., Никишин Е.М. Вопросы сходимости кратных тригонометрических рядов и спектральных разложений. //УМН. Т31, №6. 1976. С.29-83; УМН. Т32, №1. 1977. С.107-130.

3. Вагабов А.И. О теореме кратной полноты для обыкновенных дифференциальных пучков. //ДАН СССР. Т.275, №1. 1984. С. 13-17.

4. Вагабов А.И. Асимптотика решений дифференциальных уравнений по параметру и приложения. //ДАН СССР. Т.326, №2. 1992. С.219-223.

5. Вагабов А.И. О равносходимости разложений в тригонометрический ряд Фурье и по главным функциям обыкновенных дифференциальных операторов. //Изв. АН СССР. Серия матем. Т.48, №3. 1984. С.614-630.

6. Вагабов А.И. Введение в спектральную теорию дифференциальных операторов. Ростов-на-Дону. Изд-во РГУ. 1994. 160 с.

7. Галяев B.C., Вагабов А.И. Суммируемость по Фейеру обобщённых рядов Фурье, связанных с дифференциальными операторами. //Докл. РАН. Т.379, №5.2001. С.439-442.

8. Галяев B.C., Вагабов А.И. Алгебраические критерии «-кратной полноты корневых функций пучков линейных обыкновенных дифференциальных операторов с общими краевыми условиями. //Докл. РАН. Т.382, №6.2002. С.1-3.

9. Галяев B.C. Вопросы суммируемости и равносходимости обобщённых рядов Фурье, связанных с регулярными дифференциальными пучками. //Деп. в ВИНИТИ. 02.03.01. №549-В. 2001.12 с.

10. Галяев B.C. С-суммируемость рядов Фурье интегрируемых функций по собственным элементам дифференциального пучка. //Сб. Тезисы докладов Воронежской весенней матем. школы. Воронеж. 2001. С.41.

11. Галяев B.C. Глобальная асимптотика по большому параметру решений линейных дифференциальных уравнений//Сб. Тезисы X Межд. конференции «Математика. Экономика. Образование», Ростов-на-Дону, 2002.

12. Галяев B.C. Теорема о полноте корневых функций пучков линейных обыкновенных дифференциальных операторов в случае пучков с граничными условиями нерегулярного типа. //Докл. Адыгейской АН. Т.6., №2, 2003. С.23-28.

13. Галяев B.C., Вагабов А.И. О полноте корневых функций пучков линейных обыкновенных дифференциальных операторов с общими краевыми условиями. //Дифф. уравнения. Т. 40, №1.2004. С.5-14.

14. Гасымов М.Г., Магеррамов A.M. О кратной полноте системы собственных и присоединённых функций дифференциальных операторов. //ДАН Азерб.ССР. Т.30, №12.1974. С.9-12.

15. Гохберг И.Ц., Крейн М.Г. Введение в теорию линейных несамосопряжённых операторов. М., 1965.448 с.

16. Данфорд Н., Шварц Дж. Т. Линейные операторы. М., Т.З. 1974. 661 с.

17. Ильин В.А. О разрешимости смешанных задач для гиперболического и параболического уравнений. //УМН. Т.15, №2(92). 1960. С.98-154.

18. Ильин В.А. О сходимости разложений по собственным функциям оператора Лапласа. //УМН. Т.13, №1. 1958. С.87-180.

19. Ильин В.А. Проблемы локализации и сходимости для рядов Фурье по фундаментальным системам функций оператора Лапласа. //УМН. Т.23, №2. 1968. С.61-120.

20. Ильин В.А. Необходимые и достаточные условия базисности и равносходимости с тригонометрическим рядом спектральных разложений. I, II //ДУ. 1980. Т.16., №5. С.771-794; Т.16, №6. С.981-1009.

21. Ильин В.А. Необходимые и достаточные условия базисности в Ь2 и равносходимости с тригонометрическим рядом спектральных разложений и разложений по системам экспонент. //ДАН СССР. Т. 273, №4. 1983. С.789-792.

22. Ильин В.А. О безусловной базисности на замкнутом интервале систем собственных и присоединённых функций дифференциального оператора второго порядка. //ДАН СССР. Т.273, №5. 1983. С. 1048-1053.

23. Ильин В.А. Необходимые и достаточные условия базисности Рисса корневых векторов разрывных операторов второго порядка //ДУ. Т.22, №12. 1986. С.2059-2071.

24. Ильин В.А., Тихомиров В.В. О базисности риссовских средних спектральных разложений, отвечающих обыкновенному несамосопряжённому дифференциальному оператору порядка п //ДУ. Т. 18, №12. 1982. С.2098-2125.

25. Ильин В.А., Моисеев Е.И. Оператор Штурма-Лиувилля с нелокальными краевыми условиями второго рода. //ДАН СССР. Т.294, №6. 1987. С.1340-1345.

26. Кацнельсон В.Э. О сходимости и суммируемости по корневым векторам некоторых классов несамосопряжённых операторов. //Дис. канд. физ.-мат. наук. Харьков. 1967.

27. Келдыш М.В. О собственных функциях и собственных значениях некоторых классов несамосопряжённых линейных уравнений. //ДАН СССР. Т.77, №1. 1951. С.11-14.

28. Келдыш M.B. О полноте собственных функций некоторых классов несамосопряжённых линейных операторов. //УМН. Т.26, №4. 1971. С. 1541.

29. Костюченко А.Г., Шкаликов A.A. О суммируемости разложений по собственным функциям дифференциальных операторов и операторов свёртки. //Функц. анализ. Т. 12, №4. 1978. С.24-40.

30. Лидский В.Б. О суммируемости рядов по главным векторам несамосопряжённых операторов. //Труды Моск. матем. общества. Т. 11. 1962. С.3-35.

31. Лидский В.Б. О разложении в ряд Фурье по главным функциям несамосопряжённого эллиптического оператора. //Матем. сборник. Т.57, №2. 1962. С.137-150.

32. Ломов С.А. Введение в общую теорию сингулярных возмущений. М., 1981,400 с.

33. Мацаев В.И. Несколько теорем о полноте корневых подпространств вполне непрерывных операторов. //ДАН СССР. Т.155, №2. С.273-276.

34. Маркус A.C. О некоторых признаках полноты системы корневых векторов линейного оператора и суммируемость рядов по этой системе. //ДАН СССР. Т.155, №4. 1964. С.753-756.

35. Маркус A.C. Некоторые признаки полноты системы корневых векторов линейного оператора в банаховом пространстве. //Матем. сборник. Т.70, №4.1966. С.526-561.

36. Наймарк М.А. Линейные дифференциальные операторы. М.: Наука, 1969, 526 с.

37. Печенцов A.C. Асимптотические разложения решения линейных дифференциальных уравнений, содержащих параметр. //ДУ. Т. 17, №9. 1981. С.1611-1620.

38. Расулов М.Л. Метод контурного интеграла. М.: Наука, 1964,462 с.

39. Рыхлов B.C. О скорости равносходимости для дифференциальных операторов с ненулевым коэффициентом при (и-1)-й производной. //ДАНСССР. Т.279, №5. 1984. С.1053-1056.

40. Тамаркин Я.Д. О некоторых общих задачах теории обыкновенных дифференциальных уравнений и разложении произвольных функций в ряды. Петроград. 1917, 308 с.

41. Федорюк М.В. Асимптотические методы для линейных обыкновенных дифференциальных уравнений. М., 1983, 352 с.

42. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т.2. М.: Наука, 1966, 800 с.

43. Хромов А.П. Разложение по собственным функциям обыкновенных линейных дифференциальных операторов с нерегулярными распадающимися краевыми условиями. //Матем. сборник. Т.70, №3. 1966. С.310-329.

44. Шкаликов A.A. О полноте и базисности собственных и присоединённых функций краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений. //Дис. канд. физ.-мат. наук. 1977. 121 с.

45. Agmon S. On the eigenfunctions and on the eigenvalues of general alliptic boundary value problems //Comm. Appl. Math. V. 15. 1962. P.l 19-147.

46. Birkhoff G.D. Boundary value and expansion problems of ordinary linear differential equations //Trans. Amer. Math. Soc. V. 9. 1908. P. 337-395.

47. Birkhoff G.D., Langer R.E. The boundary problems and developments with a system of ordinary linear differntial equations of the first order //Proc. Amer. Acad. V. 58. 1923. P.51-128.

48. Eberhard W. Zur Vollständigkeit des Biortogonalsystems von Eigenfunktionen irregulärer Eigenwertprobleme //Math. Z. №146. 1976. S.213-221. .

49. Flax A.H. Aeroelastic problems at Supersonic Speed //Second Internat. Aeronautical Conference. New York. 1949. P.322-360.

50. Freiling G. Zur Vollständigkeit des Systems der Eigenfunktionen und Hauptfunktionen irregulärer Operatorbuschel //Math. Z. Bd. 188. 1984. S.55-68.

51. Freiling G. Uber die mehrfache Vollständigkeit des Systems die Eigenfunktionen und assoziierten Functionen in Z2(0,1) //Z. Angew. Math. u. Mech.Bd. 65, №5.1985. S.336-338.

52. Hopkins J.W. Some convergent developments associated with irregular boundary conditions //Trans. Amer. Math. Soc. V. 20. 1919. P.245-259.

53. Jacksen D. Expansion problems with irregular boundary conditions //Proc. Amer. Acad. V. 51. 1916. P.383-417.

54. Tamarkin J. Some general problems of theory of ordinary linear differential equations and expansion of an arbitrary function in series of fundamental functions //Math. Zs. V. 27. 1927. P.l-54.

55. Ward L. An irregular bounded value and expansion problem //Ann. Math. V. 26. 1925. P.21-36.

56. Ward L. A third-order irregular boudedary value problem and the associated series //Amer. J. of Math. V. 57. 1935. P.345-362.