Полное преобразование Фурье-Бесселя и сингулярные дифференциальные уравнения с DB-оператором Бесселя тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат физико-математических наук Райхельгауз, Леонид Борисович

• Райхельгауз, Леонид Борисович
• кандидат физико-математических наук
• 2011

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Райхельгауз, Леонид Борисович

Введение.

Часть 1. Полное преобразование Фурье-Бесселя, обратимость, свертки.

1. Введение.

1.1 Формулы обращения.

1.2 Полное преобразование Фурье-Бесселя и дифференциальные операции.

1.3 Свертки и псевдосвертки, порождаемые полным преобразованием Фурье-Бесселя.'.

Часть 2. О решениях сингулярных обыкновенных

В-дифференциальных уравнений с весовыми начальными условиями.

2. Введение.

2.1 Преобразование Фурье-Бесселя функции гл

2.2 Пример задачи Коши для обыкновенного сингулярного дифференциального уравнения с весовыми граничными условиями

2.3 Полигармоническое уравнение.

2.4. Полигармоническое уравнение с дробным индексом размерности пространства и В-полигармоническое уравнение.

2.5. Обыкновенные дифференциальные уравнения с оператором Бесселя.

2.6 Фундаментальное решение обыкновенного сингулярного дифференциального уравнения.

2.7 В-производные от функций с конечным весовым скачком

2.8 Пример — весовая задача Коши для сингулярного уравнения Бесселя.

Часть 3. Задача Коши для систем дифференциальных уравнений с Ив-оператором Бесселя

3. Введение.

3.1.Фундаментальные решения сингулярного оператора теплопроводности

3.2. Фундаментальные решения сингулярного оператора теплопроводности с особенностью на координатной гиперплоскости.

3.3 Системы дифференциальных уравнений с Дв-оператором Бесселя.

3.4 О теоремах Гельфапда-Шилова о мультипликаторах и свертывателях.

3.5 Общие формулы решения задачи Коши

3.6 Параболические системы.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Полное преобразование Фурье-Бесселя и сингулярные дифференциальные уравнения с DB-оператором Бесселя»

Актуальность темы диссертации.

Задачи для дифференциальных уравнений с особенностью в коэффициентах давно и хорошо известны. Однако, методы их решения не являются стандартными и, как правило, зависят от характера особенностей уравнения. Один из подходов, развитый И.А. Куприяновым и его научной школой (Л.А. Иванов, В.В. Катрахов, М.И. Ключанцев, Л.Н. Ляхов и др.), заключается в использовании интегральных преобразований, приспособленных именно к данной особенности. В диссертации исследуются уравнения с ¿^-оператором Бесселя, появление которого можно проследить даже в классических задачах. Например, применение интегрального преобразования Фурье-Бесселя для определения фундаментального решения £т,п,7 полигармонического уравнения Дт/ = 0 в Лп приводит к следующей задаче Коши с весовыми начальными условиями, определяемыми младшими ¿^-производными: с12 , П-1 (1 . уравнение — = ¿пь где 1 = ^ + — 1

171,71,7 4' )— |51(П)|

Итго г» Б2™ 1^т1п>7(г)=1с-^, М=п- 1 начальные условия .

Нт^о к=О,1,. , 2т - 2, где | (гг) | — площадь единичной сферы в а

О* - I В»2' к = 21> I- 12

Как видим, даже при исследовании классических задач приходится иметь дело с сингулярным дифференциальным оператором Бесселя Ив порядка к. Этот оператор появляется и совсем в простых задачах, например, В{иу) = Виу + 2и'у' + иВу, но здесь первые производные это и есть оператор ¿^ (первого порядка). Уравнения с ¿^-оператором Бесселя естественно исследовать, используя специальное „полное" смешанное преобразование Фурье-Бесселя (введено И.А. Киприяновым и В.В. Катраховым), поскольку в его образах этот оператор имеет весьма обычный символ — Ясно, что соответствующая методика оказывается общей и может применяться к более широкому классу операторов, например, к оператору с особенностью на координатных

71 V гиперплоскостях: А+ !„г дх ' ^ оператор Лапласа в -Кп, 1 г=у/х\+. , сл=0, 1, а кг — действительные числа. Конечно, и сама методика нахождения фундаментального решения, и возможности ее применения к новым сингулярным уравнениям открывают новые перспективы в теории сингулярных дифференциальных уравнений, поэтому ее разработка представляется актуальной. Интерес вызывает и другая проблема: как решать (в рамках полного преобразования Фурье-Бесселя) задачи для наиболее общих дифференциальных уравнений и систем с £>^-оператором Бесселя. В 50-х годах исследование систем дифференциальных уравнений в рамках теории обобщенных функций (распределений), с применением интегрального преобразования Фурье, было инициировано И.М.Гельфандом, Г.И. Шиловым. В.М. Борок применила теорию мультипликаторов для построения интегральных представлений решений таких систем. Известен подход В.М. Борок, развитый Я.И. Житомирским еще в 1955 году к системам с оператором Бесселя одного индекса (изотропная сингулярность), когда роль преобразования Фурье выполнило преобразование Фурье-Бесселя. Ев-мультипликаторы (смешанного преобразования Фурье-Бесселя) введены в 1997 году И.А.Куприяновым, Л.Н. Ляховым. Распространение подхода Гельфанда-Шилова-Борок для исследования систем уравнений с -оператором Бесселя, используя при этом теорию Рв-мультипликаторов, является актуальной задачей для современной теории дифференциальных и сингулярных дифференциальных уравнений. Кроме того, актуальной задачей для математического анализа представляется изучение и приложения „полного" преобразования Фурье-Бесссля, введенного ранее И. А. Килрияновым и В.В. Катраховым.

Цель работы. 1) Разработать методику применения полного преобразования Фурье-Бесселя к исследованию операционным методом задач Коши для обыкновенных сингулярных уравнений с -О^-оператором Бесселя и весовыми начальными условиями. Найти фундаментальное решение оператора с особенностью типа — на координатной гиперплоскости. 2) Исследовать нормальные системы дифференциальных уравнений с .О -операторами Бесселя разного индекса по разным направлениям (анизотропная сингулярность). Доказать соответствующие теоремы о существовании и единственности решения. 3) Применить вариант критерия Рв~ мультипликатора для вектор-функций к исследованию решений систем линейных сингулярных дифференциальных уравнений. 4) Получить интегральную форму решений нормальных систем линейных сингулярных уравнений и сингулярных параболических уравнений с -оператором Бесселя.

Методика исследований. В работе используются методы теории функций, функционального анализа, а также методы, развитые в работах И.А. Киприяпова и его учеников при исследовании весовых функциональных пространств и сингулярных дифференциальных уравнений.

Научная новизна и значимость полученных результатов.

Следующие результаты, полученные в работе, являются новыми.

1. Найдено фундаментальное решение сингулярного

2 о \ т дифференциального оператора (+ ^ ) для случая, когда ^ — действительные числа, удовлетворяющие условию п + ^7г > 1. В случае, если все числа 7г > О, этот оператор называется В-полигармоническим. Дано интегральное представление фундаментального решения более п общего оператора Ав+ X) к<х- ' э!"7' где — оператор Лапласаг=1

Бесселя в . , — 0, 1 при условии п+ ¡7| + ^ ^г > 1

2. Доказана теорема о представлении фундаментального решения обыкновенного сингулярного уравнения с постоянными коэффициентами, сингулярность которого порождена соответствующими степенями Ив-оператора Бесселя.

3. Доказаны теоремы существования и единственности решения систем сингулярных уравнений с ¿^-операторами Бесселя разных индексов по некоторым переменным.

4. Получена интегральная форма решений систем сингулярных параболических систем уравнений с .О^-операторами Бесселя разных индексов по некоторым переменным.

Практическая и теоретическая значимость. Работа носит теоретический характер и дает конструктивное описание математических объектов. Полученные в ней результаты могут быть использованы в математической физике, в теории сингулярных дифференциальных уравнений и др.

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались и обсуждались на Международной конференции по дифференциальным уравнениям и динамическим системам в г. Суздаль в 2008 г., в 2010 г., на научной конференции "Герценовские чтения" в г. С.-Петербурге в 2009—2010 гг., на международной конференции "Современные проблемы математики, механики и их приложений" в г. Москве, в 2009 г., па международной конференции "Актуальные проблемы прикладной математики, информатики и механики" в г. Воронеже в 2009—2010 гг, на международной конференции "Аналитические методы анализа и дифференциальных уравнений" в г. Минске, Беларусь в 2009 г., в Российской Школе-конференции с международным участием "Математика, информатика, их приложения и роль в образовании" в Российском университете дружбы народов, Москва в 2009 г., в Воронежской зимней математической школе в 2010 г.

Публикации. Основные результаты опубликованы в работах автора [1] — [11] . Из совместных публикаций [1],[2],[5],[9],[11] в диссертацию вошли результаты, принадлежащие лично автору. Работа [11] опубликована в издании, соответствующем списку ВАК РФ.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, 3-х глав и списка цитируемой литературы, включающего 42 наименования. Общий объем диссертации 110 стр.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Райхельгауз, Леонид Борисович, 2011 год

1. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. Т. 1,2. М.: Наука. 1973. 294 с.

2. Борок В.М. Решение задачи Коши для некоторых типов систем линейных уравнений в частных производных. // Математ. сборник. 1955. Т.36 (78). № 2. С. 281-310.

3. Бохнер Лекции об интегралах Фурье. М.: ГИФМЛ. 1962.С. 360

4. Владимиров B.C. Уравнения математической физики. М.: Наука. 1977. С.512.

5. Гельфанд, И.М. Шилов Г.Е. Преобразование Фурье быстро растущих распределений и вопросы единственности решения задачи Коши // Успехи математ. наук. 1953. Т. VIII, вып. 6 (58). С.3-54.

6. Гельфанд, И.М. Шилов Г.Е. Обобщенные функции вып.1. Обобщенные функции и действия над ними / И.М. Гельфанд, Г.Е. Шилов. — М.: ГИФМЛ, 1959. — 470 с.

7. Гельфанд, И.М. Шилов Г.Е. Обобщенные функции вып.З. Некоторые вопросы теории дифференциальных уравнений. М.: ГИФМЛ. 1958. С.275

8. Градштейн И.С., Рыжик И.М. "Таблица интегралов, сумм, рядов и произведений"

9. Житомирский Я.И. Задача Коши для систем линейных уравнений с оператором Бесселя. // Математ. сборник. 1955 Т. 36(78),№ 2. С.299-310.1(5), март 2007 г., с.121-130.

10. Киприянов И.А., Преобразование Фурье Бесселя и теоремы вложения для весовых классов . Труды матем. ин-та им В.А. Стеклова АН ССР, т.89 (2),(1967).

11. Киприянов И А. Сингулярные эллиптические краевые задачи.М.: Наука 1997. С. 200.

12. Киприянов И.А., Кононенко В.И. О фундаментальных решениях некоторых сингулярных уравнений в частных производных. // Дифференд. уравнен. 1969. Т. V/ № 8. С. 1470-1483.

13. Киприянов, И.А. Об ограниченности одного класса сингулярных интегральных операторов / И.А. Киприянов, М.И. Ключанцев // ДАН. 1969.— Т. 186. — N 6.— С. 740-743.

14. Киприянов И.А., Катрахов В.В., Об одном классе одномерных сингулярных псевдодифференциальных операторов. Математ. сборн.,104, № 1, (1977).

15. P.A. Krutitskii "The 2-D Neumann problem in a domain with cuts Rendiconti di Matematica, Serie VII, Volume 19, Roma (1999), 65-68

16. Левитан Б.M.Разложение в ряды и интегралы Фурье по функциям Бесселя. // УМН, 1951, Т. 6, i 2, С. 102-143.

17. Левитан Б.М. Операторы обобщенного сдвига и некоторые их применения. М.: ГИФМЛ. 1962, С. 323.

18. Лизоркин, П.И. Теоремы вложения для функций из пространства Lp(En) / П.И. Лизоркин // ДАН. 1962. — Т. 143. - N 5. - С. 1042-1045.

19. Ляхов Л.Н. Весовые сферические функции и потенциалы Рисса, порожденные обобщенным сдвигом. Воронеж, ВГТА. 1997. 145 с.

20. Ляхов Л.Н. В-гиперсингулярные интегралы и их приложения к описанию пространств Киприянова дробной B-гладкости и интегральным уравнениям с В-потенциальными ялрами. Издательство ЛГПУ, г. Липецк, 2007, 234 с.

21. Ляхов Л.Н. О свертывателях и мультипликаторах классов функций, связанных с преобразованием Фурье-Бесселя. ДАН. 1998. Т. 360, № 1. С.16-19.

22. Ляхов JI.H., Рыжков А.В. О решениях В-полигармонического уравнения // Дифференц. уравнен. 2000. Т.86. № 10. С. 1263-1269.

23. Петровский И.Г. О проблеме Коши для систем линейных уравнений с частными производными в области неаналитичности функций. // Бюллетень МГУ, секция А, выпуск 7. 1938.

24. Самко С.Г. Об основных функциях, исчезающих на заданном множестве, и о делении на функции. // Мат. заметки 1977,т. 21, № 667-689.

25. Самко, С.Г. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения / С.Г. Самко, А.А. Килбас, О.И. Маричев. — Минск: Наука и техника, 1987. — 688 с.

26. Hormander L. Pseudo-differential operators/ // Commun/Pure Apflied/ Math., 1965, 18. C. 501-517.

27. Ф. Хартман. Обыкновенные дифференциальные утравнения // Издательство МИР, Москва 1970.

28. Чечик В.А. Исследование систем обыкновенных дифференциальных уравнений с сингулярностью // Труды Московского математического общества, 1959. Т.8, - С.151-198.

29. Эйдельман С.Д. Параболические системы. М.: Наука. 1964. С.442.

30. Райхельгауз Л.Б. Задача Коши для параболических систем дифференциальных уравнений с .Ов-оператором Бесселя. / Л.Н. Ляхов, Л.Б. Райхельгауз. // Вестник Воронежского государственного университета. Серия физика и математика. № 2/2010.— С. 193 198.